Cote n° 152, pages 1–12

Cote n° 152 · batch 1 · pages 1–12 · Transcription · Catégorie des types de mots [dont arbres plans] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1982]
Édition de démonstration

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« Types de mots »

les trois premiers feuillets sont des feuilles d'essais et n'ont pas de titre ; les mots mis ici en tête sont les siens, écrits entre guillemets au milieu de la page 2, et ce sont eux que reprend le titre de l'inventaire. Les pages 1 et 2 sont écrites en paysage dans les bandes laissées libres par un listing ; la page 3 est au crayon

le feuillet est un champ d'essais : une trentaine de petites figures — des cercles portant des points marqués et des rayons, des arbres à trois ou quatre branches, deux cercles accolés — parmi lesquelles quelques lignes seulement sont écrites. Elles sont données ici dans l'ordre où elles se lisent sur la feuille ; les figures ne sont pas décrites une à une

[…] \(S_1\)

systèmes […] deux lettres \(uv,\ u^{-1}v,\ uv^{-1},\ u^{-1}v^{-1}\)

système de trois lettres \(uvw\) ou […]

syst. \(u^{-1}u\) ou \(uu^{-1}\)

sommets principaux le mot désigne, sur la figure qui le porte, deux des points marqués sur le cercle

\(\sigma u^{-1}u\) \(uvu^{-1}\)

deux blocs encadrés au bas du feuillet, le premier portant en tête un mot biffé

[…] conjugués […]

invariants de […]

chacun des deux cadres est suivi d'un petit cercle marqué, le second partagé par un diamètre

[…] \(u+v\) \(u+w\)

deux essais sont numérotés, 1 et 2, en marge du feuillet ; ils ne sont suivis de rien

N.B. […] Dans […] […] quelq. […] […] ordonnés

La cat. des « […] types de mots » de long. \(n\) équivalent : la cat. isotypique des systèmes formés d'un disque [orienté] \(D\), d'un « découpage par cordes » de ce disque, avec au moins un sommet sur chaque arête du contour découpé sur \(\partial D\) par les extrémités des cordes, […]

« équivalent » est écrit sans « est » ; la phrase reste telle quelle

\((D,\ \omega,\) \(K\) \(S\) \(,\ K,\ S_0)\)

les deux lettres biffées sont réécrites aussitôt après, dans l'autre ordre

\[\text{nb.\ d'ordre réduit} \;=\; \sum_{\alpha \in \pi_0(\mathring{D} \smallsetminus K \cap \mathring{D})} \bigl(\operatorname{card}(\alpha \cap S) - 1\bigr)\]

(ou \(\sum_{\alpha \subset P_0}\) […])

le second membre de cette variante est écrit sous l'indice du premier et n'est pas lisible

type de mot trivial : ordre réduit \(= 0\)

type de mot réduit : \(K = \emptyset\) (i.e. trivial)

\(\operatorname{card} S = n \ (\neq 0)\) […] \(\forall\,\alpha\)

en haut du feuillet, un tableau de correspondances en trois colonnes, écrit à la file et sans phrases suivies

disques [ou] découpés par cordes \(\longleftrightarrow\) [arbres] graphes circularisés \(\longleftrightarrow\) contours \(\simeq\) involutions

disques ou polygones découpés, \(\longrightarrow\) graphes (à bouts libres) circularisés \(\longleftrightarrow\) […] contours

une condition que disques […] découpés […]

correspondance […] seulement, ou une plus […] […] (aux choix)

le feuillet est occupé aux trois quarts par de grandes figures au crayon : un disque dont le bord porte des points marqués et qui est découpé par des cordes, avec l'arbre dual tracé à l'intérieur ; puis deux disques reliés par une arête, le second plus petit et rayonnant. La prose est écrite au bas et au milieu, entre les figures

Structure : graphe segmenté, une involution \(\sigma\) […] sur l'ens. des arêtes.

admissible se définit par récurrence sur le […] […] d'arêtes (ordre du graphe)

\(\Gamma\) admissible d'ordre \(n \geq 1\) \(\big|\) \(\sigma = \mathrm{id}\)

ou \(\exists\) orbite \(\varepsilon\) de \(\sigma\) formée de deux arêtes consécutives,

et le graphe \(\Gamma'\) déduit de \(\Gamma\) par contraction en \(1\) pt […] deux […] des arêtes \((\neq)\), et muni de l'involution \(\sigma'\) déduite de \(\sigma\), est admissible

l'exposant \(\varepsilon\) porté par « orbite » est écrit petit et haut ; il n'est pas repris ailleurs

Tout graphe fini d'ordre \(0\) est admissible (d'ordre \(1 \to n\))

Arbres plans

le titre est le sien, souligné en tête de la page 4, qui porte aussi le premier chiffre de sa pagination propre. Celle-ci court sur les six feuillets du texte suivi — \(1\), \(1'\), \(2\), \(2'\), \(3\), \(3'\) sur les pages 4, 6, 7, 9, 10 et 12 des archivistes

4sa page 1

Rappelons qu'un arbre (est un graphe [connexe] \(1\)-connexe (ce qui implique que c'est un graphe strict, i.e. sans boucle fermée, et par deux points [sommets] distincts passe au plus une arête).

« (connexe) » est écrit une seconde fois en interligne au-dessus de la ligne ; et un « s » est ajouté au-dessus de « arête »

On peut donc considérer la structure donnée par \((S,A)\), \(S =\) ens. des sommets, \(A \subset \mathfrak{P}_2(S)\). […] L'on a \(S \neq \emptyset\), et \(A\) \(\neq\) \(= \emptyset \Longleftrightarrow \operatorname{card} S = 1\) (arbre ponctuel).

Les plongements […] ([…] que \(|\Gamma|\) est \(1\)-connexe [et] admet un voisinage […] \(1\)-connexe \(U\) dans \(X\), — d'où \(U \simeq \mathbb{R}^2\) —) s'identifient à […] aux bicircularisations de \(\Gamma\), i.e. les applications paires \((\varepsilon, c)\), \(\varepsilon\) un ens. à \(2\) éléments […] et \(c : \varepsilon \longrightarrow \operatorname{circ}(\Gamma)\) compatible avec le « passage à l'opposé ».

le mot lu « paires » porte une haste que le mot n'a pas ; la lecture suit le sens de la phrase, où \((\varepsilon, c)\) est bien un couple, et non le tracé. La seconde lettre du couple est écrite par-dessus une autre et vaut le \(c\) de la ligne suivante

Ici \(\operatorname{circ}(\Gamma)\) est l'ens. des circularisations de \(\Gamma\), i.e. des systèmes d'ordres circulaires sur les \(A_s\) (i.e. pour \(\forall\, s \in S\), \(A_s\) est l'ens. des arêtes incidentes à \(s\)).

Une plongement [classe de] plongement de \(|\Gamma|\) dans une surface orientée correspond à une circularisation de \(\Gamma\) ; […] […] de l'une […] des \(A_s\) \((s \in S)\) telles que \(\operatorname{card} A_s \geq 3\). Donc si les sommets de \(\Gamma\) sont d'ordre \(\leq 1\), il y a une seule […]

6sa page \(1'\)

Si \(\Gamma\) n'est pas […] ponctuel, Passons à la description […]

Prenant le découpage de \(X\) [suivant \(|\Gamma|\)], on trouve une surface avec un bord connexe, qui est munie de façon naturelle d'une structure de polygone topologique (i.e. […] un ens. fini [de sommets] […] dessus), et le polygone combinatoire corresp. […] ne dépend que de \(\Gamma\), à isom. can. près. Voici

Si on partait d'un graphe circularisé plus général, la même construction marcherait, mais on trouverait un contour […] (pas un contour connexe), dont voici la construction. Soit \(\bar A\) l'ens. des arcs (\(=\) arêtes orientées) de \(\Gamma\), \(\sigma_\Gamma\) l'involution can. sur \(\bar A\) (qui renverse l'orientation \(|\Gamma|\)).

à partir d'ici et jusqu'à la fin du feuillet, un bloc annulé par deux longues horizontales et trois diagonales, écrit sur une page déjà chargée ; ce qu'il porte encore est donné, le reste est laissé […]

[…] \(\bar A\) s'identifie […] aux arêtes […] ([…] : (note générale)) […] difficile […] il reste à définir \(\sigma_\Gamma\). […] l'orientation \(\rho_\Gamma\) (rendant […]) […] décrire […] induit par […]

\[S \simeq \bar A / \rho_\Gamma\]

(si \(\Gamma\) n'a pas de sommet isolé).

7sa page 2

On a une identification bijective :

\[\bar A \ \xrightarrow{\ \mathrm{rd}\ }\ A(C) \qquad \text{ens.\ des arêtes de } C\]

\(\bar a \longmapsto\) « arête gauche droite de \(\bar a\) »

l'indice porté par le \(A\) du second membre est noyé d'encre et n'est pas lisible ; la suite du feuillet écrit ce même ensemble \(A(C)\) sans indice

et chaque arête de \(C\) est orientée de façon naturelle via cette […] ; \(C\) est orienté de façon […]. Donc l'ens. des […] \(\bar A(C)\) s'identifie : \(A(C) \times \{\pm 1\} \simeq \bar A \times \{\pm 1\}\), et l'identification \(\sigma_0^C\) ([…]) : l'autre […] s'identifie : […] \(\sigma_0 \times \tau\), […]

Reste : définir \(\sigma_1^C\), […]

\[\bar A \times \{+1\} = \bar A(C)_+ \quad \bigl[\, = \mathrm{rd}(\bar A)\,\bigr] \qquad \bar A \times \{-1\} = \bar A(C)_- \quad \bigl[\, = \mathrm{rg}(\bar A)\,\bigr]\]

les deux accolades sont écrites sous les membres de droite ; la seconde est en partie couverte

\(\sigma_1^C(\mathrm{rd}(\bar a)) =\) […] \(\mathrm{rd}(\rho_\Gamma^{-1}(\bar a)) = \sigma_0^C\,\mathrm{rd}(\rho_\Gamma(\bar a))\)

\(\sigma_1^C(\mathrm{rg}(\bar a)) = \mathrm{rd}(\rho_\Gamma(\bar a))\) […]

\[\Longrightarrow \quad \rho_C(\mathrm{rd}\,\bar a) = \mathrm{rd}(\rho_\Gamma(\bar a)), \qquad \rho_C(\mathrm{rg}\,\bar a) = \mathrm{rg}(\rho_\Gamma(\bar a))\]

l'exposant de \(\rho_\Gamma\) au second membre de la seconde formule est noyé d'encre ; les deux premières formules sont encadrées et la seconde des deux est raturée en son milieu

[…] […] des […] […] […] ([…] […] autour de […]) […] i.e. […]

N.B. \(\bar A(C)\) […] une réunion […] contours […]

N.B. La définition […] de \(C\) […] contours […] dépend […] […] \(C\) est orienté ([…])

les deux N.B. sont écrits dans la marge de gauche, en biais à quelque vingt-cinq degrés, d'une plume plus rapide ; entre eux, un tripode à trois flèches sortantes

9sa page \(2'\)

Ces deux derniers […] permettant, pour le contour \(C\), de récupérer un graphe circularisé \(\Gamma\), ayant \(\bar A\) comme ens. des arêtes orientées, avec opérations \(\sigma_\Gamma\), \(\rho_\Gamma\) […] définies ainsi :

\[\sigma_\Gamma = \sigma_C, \qquad \rho_\Gamma = \rho_C\]

Envisageons la catégorie des graphes combinatoires circularisés \(\Gamma\) (dont les sommets […] \((\bar A(\Gamma), \rho_\Gamma, \sigma_\Gamma)\) […]) : elle est équivalente à celle des contours orientés, […] une involution sans pt fixe \(\sigma_C\) […] sur l'une des arêtes, soit \(C\) \((= A(C))\) un […] des arêtes de \(S\), \(\rho_C\) […] relations fondamentales des \(C\), \(\sigma_C\) […] \(A(C)\)), […] \(\rho_C\) compatibles […]

\[\begin{array}{rcl} \bar A(\Gamma) & \longleftarrow & A(C)\\[2pt] \sigma_\Gamma & \longleftrightarrow & \rho_C\\[2pt] \rho_\Gamma \sigma_\Gamma & \longleftarrow & \rho_C\\[2pt] \rho_\Gamma & \longleftarrow & \rho_C\,\sigma_C \end{array}\]

ce dictionnaire ne s'accorde pas avec les deux égalités données en tête du même feuillet, qui posent \(\sigma_\Gamma = \sigma_C\) et \(\rho_\Gamma = \rho_C\) ; les deux états sont donnés tels quels et non raccordés. La première flèche porte un \(\simeq\) au-dessus d'elle

On appelle […] […] […] par […]

\(\rho_\Gamma\) relativement […] pour la carte […] définie par \(\Gamma\)

\(\Gamma\) un arbre \(\Longleftrightarrow\) \(C\) est un polygone connexe (non ponctuel), et l'involution \(\sigma_C\) dans \(A(C)\) est totalement non […], i.e. pour deux […] [orbites] disjointes d'arêtes sous \(\sigma_C\), la composition est […]

l'énoncé est encadré au bas du feuillet ; les deux derniers mots ne se laissent pas lire

10sa page 3

[(non pointés)]

« Arbres plans » ([…] […] plus pas circ. orienté)

\(\updownarrow \simeq\)

polygones combinatoires […], une relation (ou […]) […] […] sur l'une des sommets arêtes.

ce bloc est écrit en tête du feuillet et séparé de la suite par un trait

Revenons au cas d'un graphe \(\Gamma\) circularisé [général]. Topologiquement, le graphe top. \(|\Gamma|\) se déduit de \(|C|\) par les identifications […] […] […] quotient par la relation d'équivalence suivante : on recolle l'arête \(a\) et l'arête \(\sigma_C^a\), en renversant les orientations [induites] […] orientations.

il écrit l'involution en exposant, \(\sigma_C^a\), là où le reste du dossier l'écrit \(\sigma_C(a)\) ; c'est transcrit comme il l'a laissé

Dans le cas où \(\Gamma\) est un arbre, on peut interpréter autrement — c'est […] typique considéré […] \(C\) comme […] d'un disque orienté […] en arêtes, et en joignant les « cordes » […] […] qui se correspondent par \(\sigma_C\), de façon à ce que les […] obtenus ne se rencontrent pas.

une figure au bas du feuillet : un disque dont le bord porte des points marqués, et trois cordes tracées à l'intérieur

12sa page \(3'\)

[…] le graphe \(\Gamma\) expriment la façon dont les régions se recollent suivant les frontières communes.

[(pas nécess. plus orientés)]

La catégorie des arbres plans est équivalente : la catégorie isotypique des disques […] (pas nécess. orientés de […]) munis d'un découpage.

Le polygone combinatoire […] de celui […] défini par les cordes du découpage […] sur le bord des disques, les sommets de \(\Gamma\) correspondent à des paquets d'arêtes des […] (celles qui bordent une […] du découpage […]).

le feuillet s'arrête là ; le dossier ne va pas plus loin