« Types de mots »
les trois premiers feuillets sont des feuilles d'essais et n'ont pas de
titre ; les mots mis ici en tête sont les siens, écrits entre guillemets au
milieu de la page 2, et ce sont eux que reprend le titre de l'inventaire. Les
pages 1 et 2 sont écrites en paysage dans les bandes laissées libres par un
listing ; la page 3 est au crayon
le feuillet est un champ d'essais : une trentaine de petites figures —
des cercles portant des points marqués et des rayons, des arbres à trois ou
quatre branches, deux cercles accolés — parmi lesquelles quelques lignes
seulement sont écrites. Elles sont données ici dans l'ordre où elles se lisent
sur la feuille ; les figures ne sont pas décrites une à une
S_1
systèmes deux lettres uv,\ u^{-1}v,\ uv^{-1},\ u^{-1}v^{-1}
système de trois lettres uvw ou
syst. u^{-1}u ou uu^{-1}
sommets principaux
le mot désigne, sur la figure qui le porte, deux des points marqués sur
le cercle
\sigma u^{-1}u uvu^{-1}
deux blocs encadrés au bas du feuillet, le premier portant en tête un
mot biffé
invariants de
chacun des deux cadres est suivi d'un petit cercle marqué, le second
partagé par un diamètre
u+v u+w
deux essais sont numérotés, 1 et 2, en marge du feuillet ; ils ne sont
suivis de rien
N.B. Dans quelq.
ordonnés
La cat. des «
« équivalent » est écrit sans « est » ; la phrase reste telle quelle
(D,\ \omega, K S ,\ K,\ S_0)
les deux lettres biffées sont réécrites aussitôt après, dans l'autre
ordre
\text{nb.\ d'ordre réduit} \;=\; \sum_{\alpha \in \pi_0(\mathring{D} \smallsetminus K \cap \mathring{D})} \bigl(\operatorname{card}(\alpha \cap S) - 1\bigr)
(ou \sum_{\alpha \subset P_0} )
le second membre de cette variante est écrit sous l'indice du premier et
n'est pas lisible
type de mot trivial : ordre réduit = 0
type de mot réduit : K = \emptyset (i.e. trivial)
\operatorname{card} S = n \ (\neq 0)
en haut du feuillet, un tableau de correspondances en trois colonnes,
écrit à la file et sans phrases suivies
disques ou découpés par cordes \longleftrightarrow arbres graphes
circularisés \longleftrightarrow contours \simeq involutions
disques ou polygones découpés, \longrightarrow graphes
(à bouts libres) circularisés \longleftrightarrow contours
une condition que disques découpés
correspondance seulement, ou une plus
(aux choix)
le feuillet est occupé aux trois quarts par de grandes figures au
crayon : un disque dont le bord porte des points marqués et qui est découpé par
des cordes, avec l'arbre dual tracé à l'intérieur ; puis deux disques reliés par
une arête, le second plus petit et rayonnant. La prose est écrite au bas et au
milieu, entre les figures
Structure : graphe segmenté, une involution \sigma sur
l'ens. des arêtes.
admissible se définit par récurrence sur le d'arêtes
(ordre du graphe)
\Gamma admissible d'ordre n \geq 1 \big|
\sigma = \mathrm{id}
ou \exists orbite \varepsilon de \sigma formée de deux arêtes
consécutives,
et le graphe \Gamma' déduit de \Gamma par contraction en 1 pt
deux des arêtes (\neq), et muni de l'involution
\sigma' déduite de \sigma, est admissible
l'exposant \varepsilon porté par « orbite » est écrit petit et
haut ; il n'est pas repris ailleurs
Tout graphe fini d'ordre 0 est admissible (d'ordre 1 \to n)
Arbres plans
le titre est le sien, souligné en tête de la page 4, qui porte aussi le
premier chiffre de sa pagination propre. Celle-ci court sur les six feuillets
du texte suivi — 1, 1', 2, 2', 3, 3' sur les pages 4, 6, 7, 9, 10
et 12 des archivistes
sa page 1
Rappelons qu'un arbre (est un graphe connexe 1-connexe (ce qui
implique que c'est un graphe strict, i.e. sans boucle fermée, et par deux
points sommets distincts passe au plus une arête).
« (connexe) » est écrit une seconde fois en interligne au-dessus de la
ligne ; et un « s » est ajouté au-dessus de « arête »
On peut donc considérer la structure donnée par (S,A), S = ens. des
sommets, A \subset \mathfrak{P}_2(S). \neq = \emptyset \Longleftrightarrow \operatorname{card} S = 1
(arbre ponctuel).
On appelle arbre plan un arbre muni d'une classe de plongements
(dans une surface ) (deux plongements étant identifiés
|\Gamma| \hookrightarrow X et |\Gamma| \hookrightarrow X' ; il existe
des voisinages U, U' de |\Gamma| dans X, X' et un homéo.
U \simeq U' induisant l'identité sur |\Gamma|).
Les plongements ( que |\Gamma| est 1-connexe et admet un
voisinage 1-connexe U dans X, — d'où U \simeq \mathbb{R}^2 —)
s'identifient à aux bicircularisations de \Gamma,
i.e. les applications paires (\varepsilon, c),
\varepsilon un ens. à 2 éléments
le mot lu « paires » porte une haste que le mot n'a pas ; la lecture
suit le sens de la phrase, où (\varepsilon, c) est bien un couple, et non le
tracé. La seconde lettre du couple est écrite par-dessus une autre et vaut le
c de la ligne suivante
Ici \operatorname{circ}(\Gamma) est l'ens. des circularisations de
\Gamma, i.e. des systèmes d'ordres circulaires sur les A_s (i.e. pour
\forall\, s \in S, A_s est l'ens. des arêtes incidentes à s).
Une plongement classe de plongement de |\Gamma| dans une
surface orientée correspond à une circularisation de \Gamma ;
de l'une des A_s (s \in S) telles que \operatorname{card} A_s \geq 3.
Donc si les sommets de \Gamma sont d'ordre \leq 1, il y a une seule
sa page 1'
Si \Gamma n'est pas ponctuel, Passons à la
description
Prenant le découpage de X suivant |\Gamma|, on trouve une surface avec
un bord connexe, qui est munie de façon naturelle d'une structure de polygone
topologique (i.e. un ens. fini de sommets dessus), et le
polygone combinatoire corresp. ne dépend que de \Gamma, à isom. can.
près. Voici
Si on partait d'un graphe circularisé plus général, la même
construction marcherait, mais on trouverait un contour (pas un
contour connexe), dont voici la construction. Soit \bar A l'ens. des
arcs (= arêtes orientées) de \Gamma, \sigma_\Gamma l'involution
can. sur \bar A (qui renverse l'orientation |\Gamma|).
à partir d'ici et jusqu'à la fin du feuillet, un bloc annulé par deux
longues horizontales et trois diagonales, écrit sur une page déjà chargée ; ce
qu'il porte encore est donné, le reste est laissé
\bar A s'identifie aux arêtes
( : (note générale)) difficile
il reste à définir \sigma_\Gamma. l'orientation
\rho_\Gamma (rendant ) décrire
induit par
S \simeq \bar A / \rho_\Gamma
(si \Gamma n'a pas de sommet isolé).
sa page 2
On a une identification bijective :
\bar A \ \xrightarrow{\ \mathrm{rd}\ }\ A(C) \qquad \text{ens.\ des arêtes de } C
\bar a \longmapsto « arête gauche droite de
\bar a »
l'indice porté par le A du second membre est noyé d'encre et n'est pas
lisible ; la suite du feuillet écrit ce même ensemble A(C) sans indice
et chaque arête de C est orientée de façon naturelle via cette
Reste : définir \sigma_1^C,
\bar A \times \{+1\} = \bar A(C)_+ \quad \bigl[\, = \mathrm{rd}(\bar A)\,\bigr]
\qquad
\bar A \times \{-1\} = \bar A(C)_- \quad \bigl[\, = \mathrm{rg}(\bar A)\,\bigr]
les deux accolades sont écrites sous les membres de droite ; la seconde
est en partie couverte
\sigma_1^C(\mathrm{rd}(\bar a)) =
\sigma_1^C(\mathrm{rg}(\bar a)) = \mathrm{rd}(\rho_\Gamma(\bar a))
\Longrightarrow \quad
\rho_C(\mathrm{rd}\,\bar a) = \mathrm{rd}(\rho_\Gamma(\bar a)), \qquad
\rho_C(\mathrm{rg}\,\bar a) = \mathrm{rg}(\rho_\Gamma(\bar a))
l'exposant de \rho_\Gamma au second membre de la seconde formule est
noyé d'encre ; les deux premières formules sont encadrées et la seconde des
deux est raturée en son milieu
des ( autour de )
i.e.
N.B. \bar A(C) une réunion contours
N.B. La définition de C contours dépend
C est orienté ()
les deux N.B. sont écrits dans la marge de gauche, en biais à quelque
vingt-cinq degrés, d'une plume plus rapide ; entre eux, un tripode à trois
flèches sortantes
sa page 2'
Ces deux derniers permettant, pour le contour C, de récupérer un graphe
circularisé \Gamma, ayant \bar A comme ens. des arêtes orientées, avec
opérations \sigma_\Gamma, \rho_\Gamma définies ainsi :
\sigma_\Gamma = \sigma_C, \qquad \rho_\Gamma = \rho_C
Envisageons la catégorie des graphes combinatoires circularisés \Gamma (dont
les sommets (\bar A(\Gamma), \rho_\Gamma, \sigma_\Gamma)
) : elle est équivalente à celle des contours orientés, une
involution sans pt fixe \sigma_C sur l'une des arêtes,
soit C (= A(C)) un des arêtes de S, \rho_C relations
fondamentales des C, \sigma_C A(C)),
\begin{array}{rcl}
\bar A(\Gamma) & \longleftarrow & A(C)\\[2pt]
\sigma_\Gamma & \longleftrightarrow & \rho_C\\[2pt]
\rho_\Gamma \sigma_\Gamma & \longleftarrow & \rho_C\\[2pt]
\rho_\Gamma & \longleftarrow & \rho_C\,\sigma_C
\end{array}
ce dictionnaire ne s'accorde pas avec les deux égalités données en tête
du même feuillet, qui posent \sigma_\Gamma = \sigma_C et
\rho_\Gamma = \rho_C ; les deux états sont donnés tels quels et non
raccordés. La première flèche porte un \simeq au-dessus d'elle
On appelle par
\rho_\Gamma relativement pour la carte définie par
\Gamma
\Gamma un arbre \Longleftrightarrow C est un polygone connexe (non
ponctuel), et l'involution \sigma_C dans A(C) est totalement non ,
i.e. pour deux la composition est
l'énoncé est encadré au bas du feuillet ; les deux derniers mots ne se
laissent pas lire
sa page 3
(non pointés)
« Arbres plans » ( plus pas circ. orienté)
\updownarrow \simeq
polygones combinatoires , une relation (ou )
sur l'une des sommets arêtes.
ce bloc est écrit en tête du feuillet et séparé de la suite par un
trait
Revenons au cas d'un graphe \Gamma circularisé général. Topologiquement,
le graphe top. |\Gamma| se déduit de |C| par
les identifications quotient par la relation
d'équivalence suivante : on recolle l'arête a et l'arête \sigma_C^a, en
renversant les orientations induites
orientations.
il écrit l'involution en exposant, \sigma_C^a, là où le reste du
dossier l'écrit \sigma_C(a) ; c'est transcrit comme il l'a laissé
Dans le cas où \Gamma est un arbre, on peut interpréter autrement — c'est
typique considéré C comme d'un disque orienté
une figure au bas du feuillet : un disque dont le bord porte des points
marqués, et trois cordes tracées à l'intérieur
sa page 3'
le graphe \Gamma expriment la façon dont les régions se recollent
suivant les frontières communes.
(pas nécess. plus orientés)
La catégorie des arbres plans est équivalente : la catégorie
isotypique des disques
Le polygone combinatoire de celui
le feuillet s'arrête là ; le dossier ne va pas plus loin