Cote n° 150, pages 1–20

Cote n° 150 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Espaces stratifiés et voisinages côniques (ou : déploiement des espaces stratifiés) : notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

TEI P5 source — open the XML · download batch-01.fr.xml

Espaces stratifiés et voisinages côniques (ou : déploiement des espaces stratifiés)

1Le titre ci-dessus est le sien, écrit en haut à droite de ce premier feuillet et souligné ; en haut à gauche, la date : « déc. 81 – janv. 82 ».

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal]
 & \Sigma_{ik} \arrow[dl, "{(F_{ik})}"'] \arrow[rr, hook] & & \Sigma_{k} & \\
\Sigma_{i} & & \Sigma_{ijk} \arrow[ul, hook] \arrow[rr, hook] \arrow[dl] & & \Sigma_{jk} \arrow[ul, hook] \arrow[dl, "{(F_{jk})}"] \\
 & \Sigma_{ij} \arrow[ul, "{(F_{ij})}"] \arrow[rr, hook] & & \Sigma_{j} &
\end{tikzcd}

Les deux losanges de droite, \(\Sigma_{ik}\,\Sigma_{k}\,\Sigma_{jk}\,\Sigma_{ijk}\) et \(\Sigma_{ijk}\,\Sigma_{jk}\,\Sigma_{j}\,\Sigma_{ij}\), portent chacun la mention « cart. » (carré cartésien). Les flèches \(\Sigma_{ijk}\to\Sigma_{ik}\) et \(\Sigma_{jk}\to\Sigma_{k}\) sont tracées obliques, le crochet d'inclusion du côté de la source.

\((i<j<k)\)

\(\Sigma_i\ \Sigma_j\ \Sigma_k\) : strates déployées
\(\Sigma_{ij}\ \Sigma_{jk}\ \Sigma_{ik}\) : tubes de raccord des strates 2 à 2
\(\Sigma_{ijk}\) : jonction en \(i,j,k\)

fibres \(F_{ij}, F_{jk}, F_{ik}\) : fibres de raccord des strates 2 : 2.

les flèches \(\hookrightarrow\) sont bordantes

les flèches \(\to\) sont des fibrations (propres) (cas équisingulier)

(\(F_{ijk}\), fibré sur \(F_{ij}\), fibre \(F_{jk}\) : fibre-jonction en \(i,j,k\)

\(\Sigma_i\) est la strate [déployée] « âme » du tube de raccord \(\Sigma_{ij}\), \(\Sigma_j\) en est la strate déployée ambiante« déployée » est ajouté au-dessus de la ligne.

Cas non singulier : a) \(\Sigma_i\) variété à bord, dont le bord est la réunion des \(\Sigma_{ji}\) (\(j<i\))indices tels qu'écrits : \(\Sigma_{ji}\), \(j<i\), alors que la légende ci-dessus ordonne les indices \(i<j\).

b) \(\Sigma_{ik}\to\Sigma_k\) fibrations : fibres des variétés à bord [compactes], le fibré des bords est la réunion des \(\Sigma_{ijk}\) pour \(i<j<k\).

Plus généralement, a) \(\Sigma_{i_0 i_1\cdots i_n}=\Sigma_d\) est une variété à bord, dont le bord est la réunion des \(\Sigma_{d'}\), avec \(d'\) drapeau \(\supset d\), cofinal à \(d\) (il suffit de les prendre de la forme \(d'=d\cup\lbrace j\rbrace\), avec \(j\in I_{<i_0}\amalg I_{i_0<\cdot<i_1}\amalg\cdots\amalg I_{i_{n-1}<\cdot<i_n}\))

b) \(\Sigma_{i_0\cdots i_n}=\Sigma_d\longrightarrow\Sigma_{i_0\cdots i_p}=\Sigma_\delta\) est fibrant, à fibres des variétés à bord compactes, le fibré des bords est réunion des \(\Sigma_{d'}\) avec \(d'\supset d\), \(d\) cofinal dans \(d'\), \(\delta\) segment initial de \(d'\) – il suffit de prendre \(d'=d\cup\lbrace j\rbrace\), avec \(j\in I_{i_p<\cdot<i_{p+1}}\amalg\cdots\amalg I_{i_{n-1}<\cdot<i_n}\).

Espaces et ensembles préordonnés ; pseudo-partitions

2Feuillet double, écrit sur les deux moitiés ; un « 1 » de sa main en haut à gauche. Ce feuillet et les deux suivants (pages 3 et 4, marquées 3 et « 5) ») forment une suite numérotée par lui.

\(X\) espace topologique \(\Rightarrow\) [pré]ordonné par spécialisation : \(\mathrm{Spéc}(X)\)lecture du nom : « Spéc(X) », les lettres sont surchargées. \[x\le y\ \overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow}\ \overline{\lbrace x\rbrace}\subset\overline{\lbrace y\rbrace}\] (ordonné ssi \(X\) satisfait l'axiome de séparation \(T_0\))

\(I\) ens. [pré]ordonné \(\Rightarrow\) espace top., fermés les \(A\subset I\) t.q. \(x\in A\), \(y\le x\Rightarrow y\in A\) ; ouverts les ens. fermés dans \(I^{\circ}\) (opposé à \(I\)) ; base d'ouverts : les ens \(I_{\ge x}=\widetilde{\lbrace x\rbrace}\) (ou désigne l'adh. pour \(I^{\circ}\))

\(\mathrm{Esp}(I)\) […] fondamentalesen marge gauche, deux mots biffés, puis « Vue » (?) également biffé.

NB 1 : si \(I,J\) préordonnés, \(f:I\to J\) une application, alors \(f\) croissante ssi \(f\) continue.

\(\overline{\lbrace x\rbrace}=I_{\le x}=\lbrace y\in I\mid y\le x\rbrace\) donc \(x\le y\Longleftrightarrow\overline{\lbrace x\rbrace}\subset\overline{\lbrace y\rbrace}\Longleftrightarrow x\in\overline{\lbrace y\rbrace}\)

(Plus gén. \(I\to X\) continue ssi elle est croissante)ajout entre les lignes, relié par un long trait à « NB 1 ».

NB 2 Une topologie sur un ens \(I\) est associée à une préordre (nécessairement unique, […] à savoir celle de la spécialisation) ssi les réunions quelc. de fermés sont fermés \(\Longleftrightarrow\) […] intersection d'ouverts est ouvert (i.e. \(\exists\) une « topologie grossière » !)lecture de « grossière » douteuse.

Cas de deux foncteurs \[\mathcal{E}=(\mathrm{Esp})\ \underset{\mathrm{Esp}}{\overset{\mathrm{Ord}}{\rightleftarrows}}\ (\mathrm{Préord})=\mathcal{O}\] avec \(\mathrm{Ord}\circ\mathrm{Esp}=\mathrm{id}_{\mathcal{E}}\), \(\mathrm{Esp}\circ\mathrm{Ord}\to\mathrm{id}_{\mathcal{O}}\) sous \((\mathrm{Esp})\) et \((\mathrm{Préord})\) il écrit, reliés par \(\in\) renversé, \(X\) et \(I\). Les indices \(\mathrm{id}_{\mathcal{E}}\) et \(\mathrm{id}_{\mathcal{O}}\) sont écrits dans cet ordre, alors que la composée \(\mathrm{Ord}\circ\mathrm{Esp}\) est un endofoncteur de \(\mathcal{O}\) : transcrit tel quel.

car l'application \(\mathrm{id}_X:X\to X\) est continue de \(\mathrm{Esp}\,\mathrm{Ord}\,X\) dans \(X\) (et est \(\simeq\) ssi \(X\) satisfait la cond. du NB 2) \[\mathrm{Hom}_{\mathcal{E}}(\mathrm{Esp}(I),X)\ \xrightarrow{\ \sim\ }\ \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}}(I,\mathrm{Ord}(X))\] adjonction \(I\to X\) est continue ssi elle est croissante

Considérons maintenant \(\varphi:X\to I\), i.e. une pseudo-partition \(X=\bigcup_{i\in I}X_i^{*}\) (les \(X_i^{*}\) mutuellement disjoints). [Posons \(X_J^{*}=\varphi^{-1}(J)\), les] continue ssi \(\varphi^{-1}(I_{\ge i})\) ouverts i.e. ssi les \(X_{\tilde\imath}^{*}=\bigcup_{j\ge i}X_j^{*}\) sont ouverts, i.e. ssi les \(X\) \(X_{\complement\tilde\imath}^{*}=\bigcup_{j\in I,\ j\not\ge i}X_j^{*}\) sont fermés. Il faut [donc] pour ceci que les \[X_i\overset{\text{déf}}{=}X_{\bar\imath}^{*}=\bigcup_{j\le i}X_j\] soient fermés, et cette condition est suffisante si \(I\) est fini (car tt fermé [de \(I\)] est alors réunion finie de fermés de la forme \(\bar\imath\)) plus généralement si \(\varphi\) est « loc^t finie » i.e. loc. dans \(X\) […] va fini (NB Si \(I'\subset I\), la top. de \(I'\) associée au préordre induit est la top. induite par \(I\))dans la formule, l'indice de la réunion est bien \(X_j\) ; on attendrait \(X_j^*\).

Moitié droite du feuillet. Tout en haut, dans la marge abîmée, une ligne presque effacée où se lit « \(\Longleftrightarrow\overline{\lbrace x\rbrace}\subset\overline{\lbrace y\rbrace}\) ».

* moyennant […] que la top. de \(I\) […] […], la question est une pure […] : quelles conditions […] que […] les \(X_i^{*}\) […]note ajoutée en haut à droite, appelée par l'astérisque du texte ; lecture très incertaine.

Dans quel cas l'[pré]ordre de l'ens \(I\) est-il déterminé par l'application \(\varphi\) i.e. * [par] la famille \((X_i)_{i\in I}\) […] [Plus précisément] par \((X_i^{*})_{i\in I}\) (dans le cas \(\varphi\) continue) ? quand […] existe-t-il un ordre sur \(I\) qui rende \(\varphi\) continue, et quand cet ordre est-il unique ? Pour l'unicité, il est clair que si \(X=\emptyset\) il faut que card \(I\le 1\), et si \(X\neq\emptyset\) que \(\varphi\) soit surjective i.e. les \(X_i^{*}\neq\emptyset\). Supposons Supposons donc \(\varphi\) surj. i.e. \(X_i^{*}\neq\emptyset\). On aimerait que la top. de \(I\) soit la top. quotient i.e. que \(X_J\) fermé ssi \(J\) fermé dans \(I\) ; cette topologie sur \(I\) est bien telle que les réunions de fermés [(cas \(\varphi\) loc. finie)] sont fermés donc est associée à un ordre unique de \(I\). Pour cet ordre, on aurait donc \(i\le j\) ssi […] \(\forall J\subset I\) tel que \(X_J^{*}\) fermé et \(j\in J\), on a \(i\in J\). À quelles conditions ceci provient-il d'un ordre (NB « en général » ce préordre sera loin d'être discrétique !) Il faut et il suffit que les \(\bar\imath\) soient localement fermés dans \(I\), ce qui indique que les \(X_i^{*}\) soient [loc^t] fermés. […] […] [bien] il faut et il suffit que [[…]] l'on ait […] \(X_{\bar\imath}^{*}\cap X_{\tilde\imath}^{*}=X_i^{*}\) (puisque \(\lbrace i\rbrace=\bar\imath\cap\tilde\imath\)) ce qui équivaut à […] … [\(\supset X_i^{*}\) […]], or \(X_{\bar\imath}^{*}\) est le plus petit fermé de \(X\) « saturé » pour la relation d'équivalence loc. finie associée, et \(X_{\tilde\imath}^{*}\) est le plus petit ouvert saturé \(\supset X_i^{*}\). On pourrait appeler « stratification fidèle » de \(X\) une relation d'équiv. loc^t finie telles que l'ens préordonné quotient \(I\) soit ordonné – ils correspondent aux familles [indexées par \(I\) ordonné] […] \((X_i^{*})_{i\in I}\) [partition], constituée de \(X_i\) […] disjoints et telles que pour \(J\subset I\), on ait \(X_J\) fermé ssi \(J\) fermé. donc telles que a) les \(X_i\overset{\text{déf}}{=}\bigcup_{j\le i}X_j^{*}\) fermés [(i.e. \(J\) fermé \(\Rightarrow X_J\) fermé \(\Rightarrow\) les \(X_i^{*}\) loc. f.)]

b) Si \(X_J\) est fermé, alors \(J\) l'est.Dans cette moitié, les passages de la marge droite sont très serrés et en partie hors du cadre de l'image ; les … marquent des mots coupés ou illisibles.

3Feuillet double, écrit sur les deux moitiés ; « 3 » de sa main en haut à gauche, et en tête de la moitié droite un numéro suivi d'une parenthèse, 4). En haut à droite, quelques signes isolés (« \(\ni x\) », « \(x>\bar x\) », deux \(\Sigma\) soulignés) sans lien lisible avec le texte.

Conditions plus fortes : la topologie de \(I\) est quotient de [puis] l'application [(co-finie, surjection)] \(\varphi\) est [ouverte] […] \(\Longleftrightarrow\) \(\varphi^{-1}(\bar J)=\overline{\varphi^{-1}(J)}\) \(\Longleftrightarrow\) \(\varphi^{-1}(\bar J)=\overline{\varphi^{-1}(J)}\) i.e. \[\bigcup_{j\in\bar J}X_j^{*}\ \ \Big\Vert \qquad \overline{\bigcup_{j\in J}X_j^{*}}=\bigcup_{j\in J}\overline{X_j^{*}}\] \[\overline{X_j^{*}}=\bigcup_{i\in\bar j}X_i^{*}\ \Big(\overset{\text{déf}}{=}X_j\Big).\] les deux égalités de la première ligne sont chacune surmontée d'un signe \(=\) vertical renvoyant à la ligne du dessous : la première à \(\bigcup_{j\in\bar J}X_j^*\), la seconde à \(\overline{\bigcup_{j\in J}X_j^*}\).

Conditions pour une pseudo-partition \((X_i^{*})_{i\in I}\) [loc. finie] (indexée par un ens. préordonné \(I\), i.e. \(\varphi:X\to I\) application, on suppose \(\varphi\) continue, i.e. les \(X_i=\bigcup_{j\le i}X_j^{*}\) fermés (donc les \(X_i^{*}\) loc. fermés))

1°) Top. de \(I\) est finale pour \(\varphi\) (i.e. quotient si \(\varphi\) surjective) \(\Longleftrightarrow\) (\(X_J^{*}\) fermé \(\Rightarrow\) \(J\) fermé) \(\Longleftrightarrow\) (\(X_L^{*}\) ouvert \(\Rightarrow\) \(L\) ouvert)

si \(\varphi\) surj. \(\Uparrow\) 3°) \(\overline{X_j^{*}}=\bigcup_{j\le i}X_i^{*}\) pour tt \(j\in I\) i.e. \(\varphi\) est ouvertesous la réunion, l'indice est écrit « \(j\le i\) » et l'on lit \(X_j^*\) ou \(X_i^*\) : \(X_i^*\).

2°) \(\varphi\) surj. i.e. les \(X_i^{*}\neq\emptyset\)

NB Moyennant 1°, 2°, on récupère l'ordre sur \(I\) comme la relation d'inclusion entre les \(\overline{X_i^{*}}\)…

Une donnée \((X_i^{*})_{i\in I}\) satisfaisant 1°) à 3°) équivaut à une […] : à une relation d'équiv. loc^t finie et ouverte telle que les fermés soient […] ([…] […]) et \(I\) est l'ensemble quotient […] comme la relation de [pré]ordre i.e. l'ens. \(I\) est ordonné […] ssi de spécialisation), ( \(\forall i,j\), \(\overline{X_i^{*}}=\overline{X_j^{*}}\Rightarrow i=j\) ) \(\Longleftrightarrow\) (les \(X_i\) sont loc. fermés).

si \(I\) ordonné \(\Updownarrow\) stratification stricte [évanescente]

famille loc. finie \((X_i)_{i\in I}\) de fermés, telle que \(j<i\) implique que \(X_j\) rencontre \(X_i\), et \(\forall i,j\in I\), on ait \[X_i\cap X_j=\bigcup_{k\in\bar i\cap\bar j}X_k .\]

Dans le cadre de la top. modérée, il faut voir comment pour toute partition par des parties loc. fermées modérées, il existe une plus petite [stratification modérée] partition stricte (formée) […] celles qui majorent la partition donnée.

Moitié droite du feuillet.

\((X_i^{*})_{i\in I}\) une [partition indexée] famille (loc. finie [de \(X\)] en parties disjointes de \(X\), de réunion \(X\) (i.e. […] \(X\to I\))). Cond. équiv.

a) \(\forall i\in I\), \(X_i^{*}\neq\emptyset\) (on suppose, i.e. vraie partition), \(\overline{X_i^{*}}\) est saturé […] \(X_i^{*}\) est loc. fermé

b) \(\exists\) une relation [pré]ordre sur \(I\), telle que l'on ait \(\forall i\in I\) \[\overline{X_i^{*}}=\bigcup_{j\le i}X_j^{*}\] (cette relation […] d'ordre est unique, …) \(i\le j\Longleftrightarrow \overline{X_i^{*}}\subset\overline{X_j^{*}}\) (\(\Longleftrightarrow X_i^{*}\subset\overline{X_j^{*}}\))

c) La top. quotient de \(I\) est telle que \(\varphi:X\to I\) soit ouverte, i.e. \(\forall U\in\mathrm{Ouv}(X)\), le saturé est ouvert

Sous ces conditions, la top. quotient de \(I\) est celle […] associée à la relation d'ordre préordre, qui est aussi la relation de spécialisation pour cette topologie. Pour que \(I\) soit ordonné, il faut et il suffit que les \(X_i^{*}\) soient loc^t fermés, on dit alors que la partition est stratifiante (i.e. […] loc. finie, formée de parties loc. fermées, relation d'équiv. ouverte). On a une […] On a une correspondance 1-1 entre les partitions [stratifiantes] [de \(X\)] […] et les relations d'équivalence loc. finies à classes loc. fermées et ouvertes, et l'ens. des familles (à iso. près) \((X_i)_{i\in I}\) indexées par un ens. ordonné \(I\), loc. finies, 1°) familles croissantes de parties fermées de \(X\), […] recouvrant \(X\), et 2°) \(\forall i,j\in I\), \[X_i\cap X_j=\bigcup_{k\in\bar i\cap\bar j}X_k ,\] [4°) \(X_k\) \(\forall i,j\in I\), \(j<i\) […]] [3°) \(\forall i\), \(X_i^{*}\neq\emptyset\) (\(X_i^{*}\overset{\text{déf}}{=}X_i\setminus\bigcup_{j<i}X_j\))]3°) et 4°) sont des ajouts encadrés et reliés par des traits au texte ; l'énoncé de 4°) est coupé par la marge.

\(\Longrightarrow\) […] \(X_j\) […] dans \(X_i\) … (\(\forall i,j\), \(X_i^{*}=X_i\))ligne ajoutée entre les deux formules, en partie biffée ; lecture très incertaine.

NB […] Moyennant 1°) à 2°), en posant \(X_i^{*}=X_i\setminus\bigcup_{j<i}X_j\), les \(X_i^{*}\) forment une ps. partition [loc. finie] de \(X\) par des ens. loc. fermés, celle-ci satisfait les conditions d'une partition stratifiante stricte [avec l'ordre donné sur \(I\)] ssi on a 3°) et 4°).Le long de la marge gauche de cette moitié, une note verticale presque entièrement illisible, où l'on distingue « NB », « si », « stratifi… ».

Stratification : conditions 1°) et 2°). Strat. stricte : « fidèle » (i.e. 3°) et condition de densité (4°) : Partitions stratifiantes \(\Longleftrightarrow\) strat. strictes.

4\(\varphi:X\to Y\), \(\varphi\) ouverte \(\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow}\) (\(U\) ouvert dans \(X\Rightarrow\varphi(U)\) ouvert) \(\Longleftrightarrow\) […] (\(\forall B\subset Y\), \(\varphi^{-1}(\bar B)=\overline{\varphi^{-1}(B)}\)) (NB \(\subset\) est l'essentiel)

i.e. \(\forall x\in X\), \(\varphi(x)\in\bar B\Rightarrow x\in\overline{\varphi^{-1}(B)}\) i.e. \(\forall U\ni x\), \(U\cap\varphi^{-1}(B)\neq\emptyset\) i.e. \(\forall U\in\mathrm{Ouv}(x)\), \(\varphi(U)\cap B\neq\emptyset\) i.e. \(\forall(B\in\mathfrak{P}(Y),\ x\in X,\ U\in\mathrm{Ouv}_x(X))\), \(\varphi(x)\in\bar B\Rightarrow\varphi(U)\cap B\neq\emptyset\) i.e. \(\forall(U\in\mathrm{Ouv}(X))\) \(\forall(y\in V=\varphi(U),\ B\subset Y)\), \(y\in\bar B\Rightarrow V\cap B\neq\emptyset\) i.e. \(V\cap B=\emptyset\Rightarrow\bar B\not\ni y\) (\(B\subset X\setminus V\))le « \(V=\) » est écrit au-dessus de \(\varphi(U)\) ; sous « \(V\cap B=\emptyset\) », la précision « \(B\subset X\setminus V\) », où l'on attendrait \(Y\setminus V\).

5)« 5) » est en marge gauche : sa numérotation. Les conditions 1° et 2°) sont stables par images inverses par \(X'\to X\), mais pas 3°) bien sûr (par ex. pour un plongement ouvert), ni 4°) (mais si […] ouvert). Les 4°) est stable par induction sur un ouvert. Les relations d'équivalence ouvertes, par contre, s'induisent bien sur un ouvert (mais la partition \(I\) serait bien sur un ouvert (mais […]) en principe). Au fait (supposons …) … \(\forall i,j\in I\), \(X_i\subset X_j\) … 1° 2° (3°) … \(\Rightarrow i\le j\) La condition 3° bis (au plus de 1° et 2°) … la « fidélité » : \(X_i\subset X_j\Longrightarrow i\le j\) (i.e. l'indexation par \(I\) est […] [l'injection] […] des \(X_i\)). […] … fidélité, … si \(X_i^{*}=\emptyset\) i.e. \(X_i=\bigcup_{j<i}X_j\) n'est pas vrai, exemple \(I=\) […] \(\lbrace a,b<c\rbrace\)le dessin de \(I\) est biffé ; on voit \(a\) et \(b\) reliés par deux flèches montantes à un sommet \(c\). \(X_c=X=X_a\amalg X_b\), […] alors \(X_a,X_b\neq\emptyset\), alors… fidèle, [les \(X_i\neq\emptyset\),] mais \(X_c^{*}=\emptyset\).

On suppose [désormais] 1°) 2°) 3° bis). Si \(U\subset X\) est un ouvert, les \(X_i\cap U=U_i\) [(\(i\in I\) tels que \(\neq\emptyset\))] […] forment un ouvert \(I_U\) de \(U\), et […] \((U_i)_{i\in I_U}\) est une stratification […] ps-fidèle de \(U\). (Si on partait d'une stratification stricte, on aurait une stratification stricte sur \(U\).) Ainsi, les strat. ps. fidèles des ouverts de \(X\) forment un préfaisceau, dont les sections sont appelées les stratifications locales.

Moitié droite du feuillet. Le haut en est un passage encadré puis biffé en diagonale ; on en donne ce qui se lit.

Supposons [Soit] \(J\) tel que \(X_J\) fermé, \(J\) non fermé. [Prenons \(J\) minimal …] Donc \(\exists j\in J\) tel que \(\bar j\not\subset J\). Soit \(j\) minimal parmi ces éléments. Donc … \(j\in J\), \(\bar j\not\subset J\), et \(i<j\), \(i\in J\Rightarrow \bar\imath\subset J\), \(\bar j\cap J=\) […] \(\lbrace j\rbrace\cup\bigcup\) […] \(J'=\bar J\cap J\), donc \(X_{J'}=X_{\bar J}\cap X_J\) … est fermé, alors que \(J'\) n'est pas fermé. Considérons … \(J\) est minimal [parmi] les tels \(J\) (on suppose \(I\) fini, pour simplifier) [dans \(I\)] […] pour tt \(K\subset I\), \(K\) fermé et \(K\cap J\) non fermé, … \(K\supset J\). En particulier, \(\forall j\in J\) tel que \(\bar j\not\subset J\), … \(J\subset\bar j\) i.e. \(j\) est plus grand élément de \(J\). Donc \(J\) a un plus grand élément \(j\), tel que pour tt autre élément \(j'\) de \(J\), on ait \(\overline{j'}\subset J\). Donc \(J_0\) \[J_0=J\setminus\lbrace j\rbrace=\bigcup_{j'\in J\setminus\lbrace j\rbrace}\overline{j'}\] est fermé. Donc \(J=J_0\cup\lbrace j\rbrace\), \(J_0\) fermé, et \(J_0\subset\bar j\), \(j\in I\setminus J_0\), \(\exists\, i\in I\setminus J_0\) avec \(i<j\). \(\bar j\cap I\) On a donc \(X_J^{*}=X_{J_0}^{*}\cup X_j^{*}\) (réunion disjointe) qui est fermé, donc \[X_j^{\bullet}\overset{\text{déf}}{=}\overline{X_j^{*}}\setminus X_j^{*}\subset X_{J_0}^{*}=X_{J_0}=\bigcup_{i\in J_0}X_i ,\] bien que pour autant \(\bar j\subset J_0\cup\lbrace j\rbrace\).

Soit \(I'\) une partie fermée de \(I\), minimale pour la propriété : \(\exists J\subset I'\), \(J\) non fermé, avec \(X_J\) fermé. Soit, pour \(I'\) fixé, \(J\) une […] [partie] de \(I'\) minimale pour la propriété précédente. On a \(J\neq\emptyset\), et \(J=J_0\cup\lbrace j\rbrace\), […] \(J_0\) fermé, \(j\notin J_0\), […] \(J\subset\bar j\), \(\bar j\not\subset J\) de, i.e. l'inclusion \(J=J_0\cup\lbrace j\rbrace\subset(J_0\cup\bar j=\bar j)\) […] est stricte. Donc \(I'\) Pour … Comme \(\bar j\setminus\lbrace j\rbrace\) est encore fermé, d'après la condition [minimale] de \(I'=\bar j\) il s'ensuit que pour tt \(J'\subset I'\setminus\lbrace j\rbrace\), \(X_{J'}^{*}\) fermé \(\Rightarrow J'\) fermé.En marge gauche, un petit dessin : une tache marquée \(J_0\) entourée de points, et un point \(j\) à côté, sous le mot « partie ».

particulier, pour […] partie fermée

3 conditions équiv. :

a) \(X_J^{*}\) fermé \(\Rightarrow J\) fermé

b) \(X_L^{*}\) ouvert \(\Rightarrow L\) ouvert

c) \(\Big(\underbrace{X_j^{\bullet}\overset{\text{déf}}{=}\overline{X_j^{*}}\setminus X_j^{*}\subset X_{J_0},\ J_0\ \text{fermé}}_{X^{*}_{J_0\cup\lbrace j\rbrace}\ \text{fermé}}\Big)\Rightarrow \bar j\subset J_0\cup\lbrace j\rbrace\) (i.e. \(J_0\cup\lbrace j\rbrace\) fermé) (NB \(\Rightarrow J_0\subset\bar j\)), et pour tout \(J'\subset\bar j\setminus\lbrace j\rbrace\), \(X^{*}_{J'}\) fermé \(\Rightarrow J'\) ferméDans ces lignes le trait et la taille de la lettre ne distinguent pas toujours \(\bar j\) (adhérence du point \(j\)) de \(\bar J\) ; on a lu \(\bar j\) partout où l'argument, qui porte sur le plus grand élément \(j\) de \(J\), le demande.

Tubes et voisinages : premiers dessins

6En haut à droite, de sa main, « S ». Sous ce titre de l'éditeur, deux dessins. À gauche, un disque épais : au centre un point \(\Sigma_0\), d'où part un rayon marqué \(c_{01}\) ; sur le bord, les arcs \(\Sigma_{02}\) (en haut), \(\Sigma_{012}\) (deux fois), \(\Sigma_{01}\) ; hors du disque partent vers la droite trois demi-droites parallèles marquées \(\Sigma_{12}\), \(\Sigma_1\), \(\Sigma_{12}\), et au-dessus de tout, \(\Sigma_2\). À droite, un petit graphe de cinq points reliés par des flèches, sans légende lisible.

\(\Sigma_{i_0i_1\cdots i_n}\) […] fonctions continues variant par rapport au drapeau variable \((i'_0,\ldots,i'_n)\) \[\Sigma_i=X'_i=X_i\setminus\Big(X_i\cap\bigcup_{k<i}\overset{\circ}{\mathrm{Tub}}(X_k,X_i)\Big)\] \[\Sigma_{(i,j)}=\struck{\ill{}}\,\mathrm{Tub}^{\bullet}\Big(X'_i,\,X_j\setminus\bigcup\mathrm{Tub}(X_k,X_j)\Big)\hookrightarrow X'_j=\Sigma_j\] sous la seconde réunion, un indice longuement raturé ; ce qui reste lisible est « \(i<k<j\) », repris seul plus bas sur la page.

\(i<k<j\)

\[\struck{\Sigma_{i,j}=T.}\] \[V_{i,j}=V(X_i^{*},X_j)\setminus\bigcup_{i<k<j}V(X_i^{*},X_j)\cap X_k\hookrightarrow X_j^{*}\] sous \(V_{i,j}\), une flèche descend vers \(X_i^{*}\), avec \(X\) écrit à gauche ; \(V_{ijk}\) est écrit seul en dessous.

LaTeX source

\begin{tikzcd}
V_{ijk} \arrow[r] \arrow[d] & V_{jk} \arrow[d] & X_k^{*} \arrow[l, hook'] \arrow[d] \\
V_{ij} \arrow[r, hook] \arrow[d] & V(X_j^{*},X_k) & X_k \\
X_i^{*} & &
\end{tikzcd}

Entre \(V_{jk}\), \(X_k^*\), \(V(X_j^*,X_k)\) et \(X_k\), une flèche en pointillé marquée \(r\) part de la flèche verticale \(X_k^*\to X_k\) vers la gauche ; son but n'est pas marqué. Après \(V(X_j^*,X_k)\), une flèche vers \(X_k\) est biffée avec un mot illisible. La flèche \(X_k^*\to V_{jk}\) est tracée « \(\subset\)— », sans pointe.

\(\Sigma_{\delta'}\to\Sigma_{d'}\) au-dessus de \(\Sigma_{\delta}\to\Sigma_{d}\), reliés par deux inclusions verticales ; \(\delta'\subset\bar\delta\) […], \(d\supset\delta\)en marge gauche, écrit en travers ; les indices sont d'une lecture incertaine.

[…] \(=\) […] \(\le\Sigma(\lambda',\lambda'')\)en bas à gauche, en travers, une formule où l'on distingue \(\lambda'\), \(\lambda''\), \(T''\) ; illisible pour le reste.

Trois strates : les données \(\Sigma_0,\Sigma_1,\Sigma_2\)

7\(\Sigma_0,\Sigma_1,\Sigma_2\) espaces top.

\(\Sigma_{01}\subset\Sigma_{0}\times\Sigma_1\), \(\Sigma_{12}\subset\Sigma_1\times\Sigma_2\), \(\Sigma_{02}\subset\Sigma_0\times\Sigma_2\) fermésil écrit « \(\Sigma_{01}\subset\Sigma_{01}\) » ; le second indice est sans doute un lapsus pour \(\Sigma_0\times\Sigma_1\), rétabli d'après les deux inclusions voisines.

a) Posons \[\Sigma_{012}\subset\Sigma_0\times\Sigma_1\times\Sigma_2,\qquad \Sigma_{012}=(\Sigma_{01}\times\Sigma_2)\cap(\Sigma_0\times\Sigma_{12})\]

a) On suppose que \(\mathrm{Im}(\Sigma_{012}\to\Sigma_0\times\Sigma_2)\subset\Sigma_{02}\) de sorte qu'on a un diagramme commutatif

LaTeX source

\begin{tikzcd}
 & \Sigma_{02} \arrow[dl] \arrow[r, hook] & \Sigma_{2} \\
\Sigma_0 & \Sigma_{012} \arrow[l, "{[l]}"'] \arrow[u] \arrow[r, hook] \arrow[d, "{[l]}"'] & \Sigma_{12} \arrow[u] \arrow[d, "{(l)}"] \\
 & \Sigma_{01} \arrow[ul, "{[l]}"] \arrow[r, hook] & \Sigma_1
\end{tikzcd}

Les deux carrés de droite portent chacun la mention « cart » (le haut en partie raturé). Les crochets d'inclusion, en haut, au milieu et en bas, sont repassés en pointillé. On lit « [l] » (ou « (l) ») sur quatre flèches, sans doute pour « lisse », qui apparaît en toutes lettres à f).

signifie que \(\Sigma=\Sigma_0\amalg\Sigma_1\amalg\Sigma_2\) est muni d'une relation d'ordre au-dessus de \([0,1,2]\)écrit en travers dans la marge gauche, à la hauteur du diagramme ; lecture de « au-dessus » incertaine.

b) \(\Sigma_{01}\to\Sigma_1\), \(\Sigma_{02}\to\Sigma_2\), \(\Sigma_{12}\to\Sigma_2\) sont injectifs (et bordants) (donc \(\Sigma_{012}\to\Sigma_{12}\) aussi) (\(\Sigma_{012}\to\Sigma_{02}\) [et fortement] est injectif ([…] \(\Sigma_{012}\to\Sigma_{02}\)). [donc aussi]le « donc aussi » souligné est ajouté sous « (et bordants) » et relié au début de la ligne suivante.

c) est injectif), et de plussous la ligne biffée, un mot souligné, peut-être « en outre ». On a \[\Sigma_{012}=\Sigma_{02}\cap\Sigma_{12}\] dans \(\Sigma_{12}\) i.e. le carré sup. est aussi cartésien

d) \(\Sigma_{12}\to\Sigma_1\) est transversal par rapport aux morphismes bordants \(\Sigma_{01}\to\Sigma_1\) (cela signifie que \(\Sigma_{012}\to\Sigma_{12}\) est aussi bordant)

e) \(\Sigma_{02}\) et \(\Sigma_{12}\) sont (transversales dans \(\Sigma_2\) [parties bordantes]) (donc \(\Sigma_{012}\hookrightarrow\Sigma_{02}\) est aussi bordant)

f) \(\Sigma_{01}\xrightarrow{[\text{lisse}]}\Sigma_0\), \(\Sigma_{02}\to\Sigma_0\), \(\Sigma_{12}\xrightarrow{(\text{lisse}]}\Sigma_1\) fibrants (donc \(\Sigma_{012}\xrightarrow{[\text{lisse}]}\Sigma_{02}\) fibrant […] et \(\Sigma_{0,12}\xrightarrow{[\text{lisse}]}\Sigma_{01}\) aussi)

(f) Quand \(\Sigma\) en ensembles, on a la condition que dans le diagramme \(\Sigma_{01}\leftarrow\Sigma_{012}\to\Sigma_{02}\) … […] … au-dessus de \(\Sigma_0\).Note écrite verticalement dans la marge gauche, en bas ; lecture très incertaine. Plus haut dans la même marge, « \(W\) » et « \(\delta\) » isolés.

9La page ne porte qu'un dessin, le même que celui de la page 6 dans la notation des \(X\) : en haut, \(X_2^{*}\) ; un disque au centre duquel un point marqué \(\underline{X}_0=X_0^{*}\) ; un rayon, puis une demi-droite épaisse sortant du disque, marqués \(X_{01}\) et \(\underline{X}_1\) (l'indice est repassé, \(X_1^*\)) ; de part et d'autre, deux demi-droites parallèles marquées \(X_{12}\).

Espaces stratifiés (étude par voisinages coniques)

11Le titre est le sien, en tête du feuillet : « Espaces stratifiés (étude par voisinages tubulaires coniques) ». En haut à gauche, « 1) » : c'est le premier feuillet d'une suite qu'il numérote, que la page 13 poursuit sous le numéro « 2) » ; au-dessous, un « I » cerclé, que l'on rend par « (I) », comme les numéros cerclés « (1) » à « (4) » des paragraphes.

(I)

(1) Soit \(Y\) un espace topologique. Un voisinage tubulaire conique (« absolu ») de \(Y\) (ou « cône sur \(Y\) ») est un espace est un espace topologique \(T\) […] contenant \(Y\), (le « tube »), muni d'une partie fermée \(\dot T\) (le « bord du tube ») et d'une opération du monoïde topologique \(\mathbf{I}=[0,1]\) (pour la multiplication) sur \(T\), notée \[(1)\qquad (\lambda,t)\longmapsto\lambda t\qquad \mathbf{I}\times T\longrightarrow T\] satisfaisant :

a) \(\lambda y=y\) \(\forall y\in Y\)

b) \(0.\,T\subset Y\) […]

donc les \(\lambda_T:T\to T\) (\(0\le\lambda\le1\)) forment une homotopie de l'identité \(\mathrm{id}_T\) (pour \(\lambda=1\)) à l'application […] de \(T\) une rétraction de \(T\) sur \(Y\), laissant les pts de \(Y\) fixes au cours de l'homotopieà droite de a) b), réunis par une accolade.

c) Le applicat… diagramme d'applications

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=large]
\mathbf{I}\times\dot T \arrow[r, "{(\lambda,x)\mapsto\lambda x}"] & T \\
\lbrace 0\rbrace\times\dot T \arrow[u, hook] \arrow[r, "{(0,x)\mapsto 0.x}"'] & Y \arrow[u, hook, "\mathrm{inc}"']
\end{tikzcd}

La flèche de gauche est tracée \(\updownarrow\), l'inclusion étant évidente ; sur la flèche du haut, un \(f\) biffé.

est cocartésien*, i.e. identifie \(T\) au cône de l'application \[f:\dot T\longrightarrow Y\qquad f(x)=0.x\] \[(4)\qquad T\simeq\mathcal{C}(f)\] Dans cette identification, \(Y\hookrightarrow T\hookleftarrow\dot T\) correspondent aux applications canoniques […] but \(Y\hookrightarrow\mathcal{C}(f)\hookleftarrow\) source, et l'opération de \(\mathbf{I}\) sur \(T\) provient de l'opération de \(\mathbf{I}\) sur \(\mathcal{C}(f)\), définie par passage au quotient de l'opération évidente de \(\mathbf{I}\) sur \(\mathbf{I}\times\dot T\), et de l'op. triviale de \(\mathbf{I}\) sur \(Y\). Les axiomes a) b) c) signifient donc que la situation \((Y\to T\hookleftarrow\dot T,\ \mathbf{I}\times T\to T)\) est isomorphe : celle d'un \(\mathcal{C}(f)\) avec \(f:\dot T\to Y\).

NB La condition b) peut se formuler plus faiblement \(0.\dot T\subset Y\), alors la condition c) (qui […] donne […]) […] […] […] : (3) l'application \(\mathbf{I}_{]0,1]}\times\dot T\to T\setminus Y\) […] est […]note écrite en travers dans la marge gauche, à la hauteur de b) et c) ; une partie est biffée, et elle est en grande partie illisible.

* Cela signifie que \(T\) est […] […] quotient de \(\mathbf{I}\times\dot T\) et […] (3)note appelée par l'astérisque, écrite en travers en marge gauche, sous la précédente.

Notons que \(\dot T\) est connu quand on connaît l'opération de \(\mathbf{I}\) sur \(T\), […] en posant \[(5)\qquad \overset{\circ}{T}=T\setminus\dot T\] (intérieur du tube) et notant que \(\overset{\circ}{T}=\bigcup_{\lambda\in[0,1[}\lambda T\)

12Feuillet sans numéro de sa main ; il continue le texte de la page 11, avant le feuillet « 2) » de la page 13 ; de même la page 14 entre « 2) » et « 3) » (page 15).

2. Soit \(X\) un espace, \(Y\) un sous-espace fermé.

(6) Soit \(T\) NB Les \(T_\lambda\) (\(\lambda\in[0,1]\)) forment une famille croissante de parties fermées de \(T\), les \(\overset{\circ}{T}_\lambda\overset{\text{déf}}{=}\lambda\overset{\circ}{T}\) (\(\lambda\in\,]0,1]\)) une famille croissante de parties ouvertes. Si \(\lambda\in\,]0,1[\), alors \(\overset{\circ}{T}_\lambda\) est bel et bien l'intérieur [topologique] de \(T_\lambda\) dans \(T\), mais bien sûr \(\overset{\circ}{T}_1=\overset{\circ}{T}\) n'est pas l'intérieur [top.] de \(T_1\) dans l'espace topologique \(T_1=T\), i.e. on n'a pas \(\overset{\circ}{T}_1=T\) sauf si \(\dot T=\emptyset\) i.e. \(Y=T\).Un double trait vertical en marge gauche accompagne ce passage.

Posons, pour \(\lambda\in\,]0,1[\) \[\left\lbrace \begin{array}{l} T\setminus\overset{\circ}{T}_\lambda\overset{\text{déf}}{=}E_{1-\lambda=\varepsilon}(T)\\[4pt] \dot E_\varepsilon(T)\overset{\text{déf}}{=}\dot T\cup(1-\varepsilon)\dot T \end{array} \right.\] « épaississement d'indice \(\varepsilon\) » du bord \(\dot T\) dans \(T\)

NB La frontière de \(E_\varepsilon\) dans \(T\) est \((1-\varepsilon)\dot T\), et \(E_\varepsilon\) est un voisinage de \(\dot T\). On a \[(7)\qquad E_\varepsilon(T)\simeq[\underbrace{1-\varepsilon}_{\lambda},1]\times\dot T\]

NB Si \(\dot T\) \(Y\) (ou […]), les \(T_\varepsilon\) (\(\varepsilon\in\,]0,1]\)) forment un […] de voisinages de \(Y\) dans \(T\), ([…]) […] tubulairesNote écrite en travers dans la marge gauche, en grande partie illisible ; une seconde note, plus bas dans la même marge, se lit « … un système fondamental de voisinages … \(T\) fermé (\(T\) compact) … ».

(2) Soit \(Y\hookrightarrow X\) une inclusion fermée d'espaces topologiques. Un voisinage conique de \(Y\) dans \(X\) est un voisinage \(T\) de \(Y\) dans \(X\) muni d'une opération (1) \(\mathbf{I}\times T\to T\) faisant de \(T\) un vois. [conique] […] absolu de \(Y\) satisfaisant les conditions dites. Alors les \(\lambda T=T_\lambda\) (\(\lambda\in\,]0,1]\)) forment d'autres voisinages tubulaires de \(Y\) dans \(X\) (famille croissante) et on voit que pour \(\lambda\in\,]0,1[\), on a \[(8)\qquad \dot T_\lambda=\lambda\dot T\] est la frontière de \(T_\lambda=\lambda T\) dans \(X\).Le numéro « (8) » est surchargé ; on lit aussi « absolu de \(Y\) » dans la ligne biffée, dont « conique » est ajouté au-dessus.

13En haut à gauche, « 2) » de sa main : le feuillet de la page 12, qui ne porte pas de numéro, s'intercale donc entre ses feuillets 1) et 2), vraisemblablement comme verso du premier.

Mais on ne peut pas dire [en général] que \(\dot T\) soit la frontière de \(T\) dans \(X\), i.e. (8) devient faux si \(\lambda=1\) (prendre \(X=T\), […], \(\dot T\neq0\)).

Disons [Évitons] enfin de dire qu'une partie fermée \(Z\) \(Y\) d'un espace topologique \(X\) est une « partie bordante » s'il existe un voisinage […] collant [cylindrique] de \(Y\) dans \(X\), i.e. un voisinage tubulaire conique \(T\) tel que \(\dot T\to Y\) soit un homéomorphisme – ou ce qui revient au même, s'il tel que l'on s'il existe un voisinage \(T\) de \(Y\) dans \(X\) et un homéomorphisme \[(9)\qquad T\simeq Y\times\mathbf{I}\] rendant commutatif le diagramme

LaTeX source

\begin{tikzcd}
Y \arrow[r, hook] \arrow[dr, "{y\mapsto(y,0)}"'] & T \arrow[d, "\wr"] \\
 & Y\times\mathbf{I}
\end{tikzcd}

(10)Dans ce diagramme, l'isomorphisme vertical est noté par un « \(\wr\) » couché (≀) sans pointe ; on l'a mis en flèche descendante.

définir le voisinage […] de frontière … \(E\simeq Y\times[0,1]\) … \(y\mapsto(y,0)\)note en travers dans la marge gauche, en grande partie illisible.

Par exemple, si \(T\) est un voisinage tubulaire conique [(absolu)] de […] \(Y\), alors \(\dot T\) est un sous-espace bordant de \(T\), et un sous-espace bordant de \(T_\lambda\) ; \(E\) \(\dot T\), \((1-\varepsilon)\dot T\) et \(\dot T\cup(1-\varepsilon)\dot T\) sont des sous-espaces bordants de \(E_\varepsilon(T)\). Dans Si \(X\) est un espace compact, et \((Y_i)_{i\in I}\) une partie finie de parties fermées disjointes de \(X\), alors \(Y=\bigcup_{i\in I}Y_i\) est un sous-espace bordant ssi les \(Y_i\) le sont.« une partie finie » : lire une famille finie.

14Feuillet sans numéro de sa main, entre les feuillets « 2) » (page 13) et « 3) » (page 15).

On dit [Soit] \(T\) un voisinage tubulaire [conique] de \(Y\subset X\) dans \(X\), posons \[(11)\qquad X^{*}=X\setminus\overset{\circ}{T}=(X\setminus T)\cup\dot T\] c'est une partie fermée de \(X\). On dit que

Prop. Conditions équivalentes (si \(\lambda\in\,]0,1[\) donné) :

a) \(\dot T\) est une partie bordante de \(X^{*}=X\setminus\overset{\circ}{T}\)

b) Il existe un homéomorphisme de \(X\) sur lui-même, transformant \(T,\dot T\) en \((T_\lambda,\dot T_\lambda)\)

b') Comme b, mais en supposant de plus que l'homéomorphisme induise l'identité sur \(T_{\lambda'}\) (si \(0<\lambda'<\lambda\) \(\lambda'\) est donné, \(0<\lambda'<\lambda\)).

c) Il existe un voisinage tubulaire conique \(T'\) de \(Y\) dans \(X\), tel que et […] tel que \(T=\lambda T'\), d'isomorphismes étant compatibles avec les structures de voisinages coniques.

On dit alors que \(T\) est un vois. tub. conique strict dans \(X\)

Corollaire Quand \(T\) est vois. tub. con. strict dans \(X\), \(\dot T\) est la frontière de \(T\) dans \(X\).

Corollaire Si […] \(T\) [est un] voisinage tubulaire [conique] de \(Y\) dans \(X\), les \(T_\lambda\) (\(\lambda\in\,]0,1[\)) sont des voisinages tubulaires [coniques] stricts

Il vaut mieux partir de la notion de voisinage conique strict comme fondamentale, et définir les voisinages stricts […] … \(T\) partie \(E_\varepsilon(T)\) … (\(\varepsilon>0\))note écrite en travers dans la marge gauche, en bas ; lecture très incertaine, l'ordre des mots l'est aussi.

Le bas du feuillet est blanc ; le texte s'arrête sur ce second corollaire.

15En haut à gauche, « 3) » de sa main : troisième feuillet de la suite numérotée (pages 11, 13, 15), les pages 12 et 14, sans numéro, en étant vraisemblablement les versos.

(3)numéro cerclé. Soit \(X\supset Y\), \(X\) […] de […] espaces \(T\) un voisinage tub. conique absolu de \(Y\). Soient \(T'\subset T\). On dit que \(T'\) est sous-espace conique dans \(T\) si on a

(12) a) \(T'\) stable par les multiplications \(\lambda\in\mathbf{I}\) […]

b) Pour cette opération, \(T'\) est un voisinage tubulaire conique de \(Y\).a) et b) sont réunis par une accolade, numérotée (12). au bout de la ligne a), un mot biffé, peut-être « absolu ». Dans b), le \(T'\) du début est surchargé.

NB On a nécessairement \(\dot T'=T'\cap\dot T\), \(T'_\lambda=T'\cap T_\lambda\), si \((T_i)_{i\in I}\) est une famille, [la donnée de \(T'\) équivaut à celle] d'un sous-espace \(T'\) […] de […] \(Y\), fermé […] et d'un sous-espace \(Y'\) de \(Y\), tels que \(Y'\supset0.\dot T'\), et, on a \[T'=\mathrm{Im}(\mathbf{I}\times\dot T'\to T)\cup Y'.\] Ligne très raturée : les ajouts interlinéaires se lisent « la donnée de \(T'\) équivaut à celle » et « \(\dot T'\) de \(\dot T\) » ; la phrase que l'on donne est une lecture d'ensemble, incertaine dans le détail. On attend « d'un sous-espace fermé \(\dot T'\) de \(\dot T\) ».

On dit que \(T'\) est conique strict si \(\dot T'\cap Y=0.\dot T'\) … i.e. \(T'\) […] ouvert et fermé …note en travers dans la marge gauche ; lecture incertaine.

On dira qu'une structure conique sur un \(T\supset Y\) est compatible avec des sous-espaces [fermés] \(T_i\) de \(T\) (\(i\in I\)) si ces derniers sont coniques pour cette structure.

Soit \(T\) un voisinage conique de \(Y\subset X\) dans \(X\), soit \(X'\) […] partie fermée de \(X\). On dit que \(T\) est compatible * avec \(X'\) si \(X'\cap T\) est conique dans \(T\). On dit qu'il est strictement compatible * avec \(T\), si \(T\) est voisinage conique strict, et s'il existe un voisinage cylindrique de \(\dot T\) dans \(X^{*}=X\setminus\overset{\circ}{T}\), compatible avec \(X'^{*}=X'\cap X^{*}\), ou ce qui revient au même, s'il existe un voisinage \(E\) de \(\dot T\) dans \(X^{*}\), et un iso…

* […] […] tautologie […] […] … définition des voisinages coniques stricts …Notes en travers dans la marge gauche, appelées par les astérisques ; en partie biffées, presque illisibles. Le feuillet s'arrête sur « un iso… » ; la suite n'est pas dans ce lot de pages.

16Suite de la page 15, sans numéro de sa main. \[(13)\qquad E\simeq\dot T\times[0,1]\] rendant commutatif

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\dot T \arrow[r, hook] \arrow[dr, "{t\mapsto(t,0)}"'] & E \arrow[d, "\wr"] \\
 & \dot T\times[0,1]
\end{tikzcd}

il faut que \(X'^{*}\cap E\) s'identifie à une partie de \(\dot T\times[0,1]\) de la forme \(X'_0\times[0,1]\), où \(X'_0\) est une partie fermée de \(\dot T\).Il écrit d'abord \(X^{*}\), surchargé en \(X'^{*}\) (lecture incertaine de l'exposant).

Soit \(B\) une partie bordante stricte de l'espace topologique \(X\). Considérons un vois. cylindrique \(E\) […] de [de] \(B\) dans \(X\). On dit qu'une partie [fermée] \(X'\) de \(X\) est compatible avec \(E\) – i.e. avec l'homéomorphisme \[E\simeq B\times[0,1]\] si \(X'\cap E\) s'identifie à \(B'\times[0,1]\) (\(\ldots\) \(B'=X'\cap B\)). On fera attention que la définition dans la « compatibilité [transversalité] dans le cas cylindrique » n'est pas un cas particulier de celle dans le cas [compatibilité] conique, […] [mais en] […] exigeant que […] [bien exigeant] : correspond au cas où on […] devait […] \(X'\cap E\simeq B'\times[0,1]\cup B\times\lbrace0\rbrace\) [\(T'\cap Y=0.\dot T'\)]Les trois dernières lignes sont raturées et surchargées ; la formule \(X'\cap E\simeq B'\times[0,1]\cup B\times\lbrace0\rbrace\) est biffée d'un trait, et « \(T'\cap Y=0.\dot T'\) », entouré, est ajouté au-dessous. Lecture d'ensemble incertaine.

Il importe […] […] […] que \(B\cap X'\) soit […] … \(X'\)notes en travers dans la marge gauche ; on lit aussi, plus haut, « transversal ».

On définit de même la compatibilité pour une famille finie de parties \((X_i)_{i\in I}\).

17En haut à gauche, « 4) » de sa main : quatrième feuillet de la suite.

On dit qu'une partie bordante [\(B\) de \(X\)] est est compatible avec une famille de parties \(X_i\) de \(X\), s'il existe un voisinage cylindrique [(ou semi-cylindrique)] qui est compatible avec chacune des \(X_i\).

utiliser plutôt la terminologie « transversale »note en travers dans la marge gauche, en haut, soulignée.

Revenons : \(Y\subset X\) et un voisinage conique [strict] \(T\) de \(Y\). On dit que \(T\) est [strictement] compatible avec une famille de \(X_i\subset X\) [s'il est compatible avec chaque \(X_i\) (\(X_i\cap T=\mathbf{I}.\,X_i\cap\dot T\ldots\))], et si \(\dot T\) est un sous-espace bordant de \(X^{*}=X\setminus\overset{\circ}{T}\), compatible avec la famille des \(X_i^{*}=X^{*}\cap X_i\). Dans ce cas implique que \(X_i\cap\dot T\) est un sous-espace bordant (non seulement de \(X_i\cap T\), mais aussi) de \(X_i^{*}\).

[…] … \(X_i^{*}\) … transversal … \(\dot X_i\cap Y=0.\dot X_i\) … transversaux … dire strict … \(0.\dot X_i=X_i\cap Y\) i.e. \(\dot X_i=X_i\setminus X_i\cap Y\)Notes en travers dans la marge gauche, en partie biffées, superposées ; lecture très incertaine, sauf les formules \(0.\dot X_i=X_i\cap Y\) et, soulignée, \(\dot X_i=X_i\setminus X_i\cap Y\).

(4)numéro cerclé. Soit Un voisinage conique (absolu) \(T\) de \(Y\) est dit équisingulier si \(\dot T\to Y\) est une fibration loc. triviale. Il est dit équisingulier pour une famille de \(T_i\subset T\), si de plus les \(T_i\) sont coniques, et \(\dot T_i\to Y\) sont des fibrations localement triviales – et […]Le feuillet s'arrête sur ce mot, en partie biffé.

18Suite de la page 17, sans numéro de sa main.

mieux, si la famille des \(\dot T_i\subset\dot T\) au-dessus de \(Y\) est globalement loc. triviale. On étend cette définition au cas de \(X_i\subset X\), et d'un voisinage tubulaire [conique] \(T\) de \(Y\) dans \(X\) : on dit [qu'il est] équisingulier pour les \((X_i)\), si \(T\) l'est pour les \((X_i\cap T\subset T)_i\). Cela implique […] que si \(\forall i\), \(X_i\cap Y\) est une partie ouverte et fermée de \(Y\), [et,] si \(Y\) est connexe, que \(X_i\cap Y\) l'on ait l'alternative \[(14)\qquad X_i\cap T=\emptyset\quad\text{ou}\quad X_i\supset Y .\]

on dit strictement […] … strict … si \(T\) équisingulier … les \(\lambda T\) … \(\lambda\in\,]0,1[\)notes en travers dans la marge gauche, en partie biffées ; lecture très incertaine.

(5)numéro cerclé, surchargé. On dit aussi que \(X,(X_i)_{i\in I}\) est [(globalement)] équisingulier le long de \(Y\), s'il existe un voisinage conique […] \(T\) de \(Y\) dans \(X\), qui est équisingulier p.r. […] [aux] \((X_i)\) – ce qui équivaut à ce que les \(\lambda T\) (\(\lambda\in\,]0,1[\)) soient strictement équisinguliers.Au-dessus de « \(T\) », un point : il a d'abord écrit \(\dot T\) ou surchargé la lettre. Le bas du feuillet est blanc.

19En haut à gauche, « 5) » de sa main : cinquième feuillet de la suite.

Proposition Considérons la cat. des systèmes \((X,Y,(X_i)_{i\in I},T)\) où \(X\) espace top., \(Y,(X_i)_{i\in I}\) des sous-espaces fermés, \(T\) voisinage conique [conique] de \(Y\) [\(Y\)] [compatible] compatible avec \((X_i)\) (morphismes les iso), et la catégorie des systèmes \((X^{*},\dot X,(X_i^{*}),Y,\ \dot X\to Y)\), \(X^{*}\), \(Y\) espaces top., \(\dot X\) et \(X_i^{*}\) parties fermées de \(X\), \(\dot X\to Y\) application continue. Ces deux catégories sont équivalentes. [Si \(T\) voisinage conique strict] Pour que \(T\) soit strictement [transversal] compatible […] avec [aux] \(X_i\), il faut et il suffit que \(\dot X\) soit un sous-espace bordant de \(X^{*}\), compatible avec les \(X_i^{*}\). Pour que \(T\) soit équisingulier pour \((X_i)\), il faut et il suffit que \[\begin{array}{c}\dot X\longrightarrow Y,\\ \cup\\ (\dot X_i)\end{array}\] soit une fibration localement triviale simultanée (où on pose \(\dot X_i=X_i\cap\dot X\))Les ajouts interlinéaires du milieu (« Si \(T\) voisinage conique strict », « transversal ») remplacent « Pour que \(T\) soit strictement compatible avec les \(X_i\) » ; la syntaxe de la phrase corrigée n'est pas entièrement rétablie sur la page. Dans la seconde catégorie, \(\dot X\) et \(X_i^{*}\) sont dits « parties fermées de \(X\) » : on attendrait \(X^{*}\). Le bas du feuillet est blanc.

20Page entière biffée de deux longues diagonales ; elle se lit néanmoins et on la donne. En haut à gauche, un numéro cerclé biffé, puis « (5) » cerclé : c'est un nouveau départ du paragraphe (5) de la page 18.

(5)numéro cerclé, écrit à côté d'un premier numéro cerclé biffé. Soient \(X\) un espace topologique, \(I\) un ens. ordonné […] fini, \[(15)\qquad (X_i)_{i\in I}\] une famille [croissante] de parties fermées de \(X\). On suppose (stratification de type \(I\)). On a) la famille des \(X_i\) est loc^t finie suppose b) \(i\le j\Longrightarrow X_i\subset X_j\) que Pour faire des récurrences dans nos constructions, On pose, pour \(\forall i\in I\) (16) \(X_i^{*}=X_i\setminus\ldots\) on supposera donnée de plus une sous-espace bordant \(\dot X\) de \(X\), strictement compatible avec la famille des \(X_i\). On veut définir la notion de conification [(compatible avec \(\dot X\))] (de la stratification). Si \(I\) est vide, c'est une structure vide. Si \(I=\lbrace i\rbrace\), \(X_i=Y\), c'est par définition un […] voisinage […] [conique strict] [[…]] de \(Y\) dans \(X\), […] tel que [la partie bordante] \(\dot X\) soit strict compatible avec celui-ci, [i.e.] que \(\dot X\cap T\) [\(\overset{\text{déf}}{=}\ddot T\)] soit un sous-espace bordant de \(\dot T\), [qui soit] \(0.(\dot X\cap\dot T)\) \(0.\ddot T=\dot X\cap Y\) [\(=\dot Y\)] ([…], que \(\dot T\) soit un sous-espace bordant de \(Y\)), et que \(\dot T\to Y\) soit … dans un sens à préciser.Le passage final, depuis « que \(\dot X\cap T\) », est encadré et en partie barré de traits croisés ; « \(\dot T\) soit un sous-espace bordant de \(Y\) » est lu tel quel, alors que l'on attendrait \(\ddot T\) ou \(\dot Y\). Lecture d'ensemble incertaine.