Fonds Grothendieck, cote n° 150, pages 1–20

Espaces stratifiés et voisinages côniques (ou : déploiement des espaces stratifiés)

Le titre ci-dessus est le sien, écrit en haut à droite de ce premier feuillet et souligné ; en haut à gauche, la date : « déc. 81 – janv. 82 ».

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal] & \Sigma_{ik} \arrow[dl, "{(F_{ik})}"'] \arrow[rr, hook] & & \Sigma_{k} & \\ \Sigma_{i} & & \Sigma_{ijk} \arrow[ul, hook] \arrow[rr, hook] \arrow[dl] & & \Sigma_{jk} \arrow[ul, hook] \arrow[dl, "{(F_{jk})}"] \\ & \Sigma_{ij} \arrow[ul, "{(F_{ij})}"] \arrow[rr, hook] & & \Sigma_{j} & \end{tikzcd}

Les deux losanges de droite, \Sigma_{ik}\,\Sigma_{k}\,\Sigma_{jk}\,\Sigma_{ijk} et \Sigma_{ijk}\,\Sigma_{jk}\,\Sigma_{j}\,\Sigma_{ij}, portent chacun la mention « cart. » (carré cartésien). Les flèches \Sigma_{ijk}\to\Sigma_{ik} et \Sigma_{jk}\to\Sigma_{k} sont tracées obliques, le crochet d'inclusion du côté de la source.

(i<j<k)

\Sigma_i\ \Sigma_j\ \Sigma_k : strates déployées \Sigma_{ij}\ \Sigma_{jk}\ \Sigma_{ik} : tubes de raccord des strates 2 à 2 \Sigma_{ijk} : jonction en i,j,k

fibres F_{ij}, F_{jk}, F_{ik} : fibres de raccord des strates 2 : 2.

les flèches \hookrightarrow sont bordantes

les flèches \to sont des fibrations (propres) (cas équisingulier)

(F_{ijk}, fibré sur F_{ij}, fibre F_{jk} : fibre-jonction en i,j,k

\Sigma_i est la strate déployée « âme » du tube de raccord \Sigma_{ij}, \Sigma_j en est la strate déployée ambiante« déployée » est ajouté au-dessus de la ligne.

Cas non singulier : a) \Sigma_i variété à bord, dont le bord est la réunion des \Sigma_{ji} (j<i)indices tels qu'écrits : \Sigma_{ji}, j<i, alors que la légende ci-dessus ordonne les indices i<j.

b) \Sigma_{ik}\to\Sigma_k fibrations : fibres des variétés à bord compactes, le fibré des bords est la réunion des \Sigma_{ijk} pour i<j<k.

Plus généralement, a) \Sigma_{i_0 i_1\cdots i_n}=\Sigma_d est une variété à bord, dont le bord est la réunion des \Sigma_{d'}, avec d' drapeau \supset d, cofinal à d (il suffit de les prendre de la forme d'=d\cup\lbrace j\rbrace, avec j\in I_{<i_0}\amalg I_{i_0<\cdot<i_1}\amalg\cdots\amalg I_{i_{n-1}<\cdot<i_n})

b) \Sigma_{i_0\cdots i_n}=\Sigma_d\longrightarrow\Sigma_{i_0\cdots i_p}=\Sigma_\delta est fibrant, à fibres des variétés à bord compactes, le fibré des bords est réunion des \Sigma_{d'} avec d'\supset d, d cofinal dans d', \delta segment initial de d' – il suffit de prendre d'=d\cup\lbrace j\rbrace, avec j\in I_{i_p<\cdot<i_{p+1}}\amalg\cdots\amalg I_{i_{n-1}<\cdot<i_n}.

Espaces et ensembles préordonnés ; pseudo-partitions

Feuillet double, écrit sur les deux moitiés ; un « 1 » de sa main en haut à gauche. Ce feuillet et les deux suivants (pages 3 et 4, marquées 3 et « 5) ») forment une suite numérotée par lui.

X espace topologique \Rightarrow préordonné par spécialisation : \mathrm{Spéc}(X)lecture du nom : « Spéc(X) », les lettres sont surchargées. x\le y\ \overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow}\ \overline{\lbrace x\rbrace}\subset\overline{\lbrace y\rbrace} (ordonné ssi X satisfait l'axiome de séparation T_0)

I ens. préordonné \Rightarrow espace top., fermés les A\subset I t.q. x\in A, y\le x\Rightarrow y\in A ; ouverts les ens. fermés dans I^{\circ} (opposé à I) ; base d'ouverts : les ens I_{\ge x}=\widetilde{\lbrace x\rbrace} (ou désigne l'adh. pour I^{\circ})

\mathrm{Esp}(I) ~~fondamentales~~en marge gauche, deux mots biffés, puis « Vue » (?) également biffé.

NB 1 : si I,J préordonnés, f:I\to J une application, alors f croissante ssi f continue.

\overline{\lbrace x\rbrace}=I_{\le x}=\lbrace y\in I\mid y\le x\rbrace donc x\le y\Longleftrightarrow\overline{\lbrace x\rbrace}\subset\overline{\lbrace y\rbrace}\Longleftrightarrow x\in\overline{\lbrace y\rbrace}

(Plus gén. I\to X continue ssi elle est croissante)ajout entre les lignes, relié par un long trait à « NB 1 ».

NB 2 Une topologie sur un ens I est associée à une préordre (nécessairement unique, à savoir celle de la spécialisation) ssi les réunions quelc. de fermés sont fermés \Longleftrightarrow intersection d'ouverts est ouvert (i.e. \exists une « topologie grossière » !)lecture de « grossière » douteuse.

Cas de deux foncteurs \mathcal{E}=(\mathrm{Esp})\ \underset{\mathrm{Esp}}{\overset{\mathrm{Ord}}{\rightleftarrows}}\ (\mathrm{Préord})=\mathcal{O} avec \mathrm{Ord}\circ\mathrm{Esp}=\mathrm{id}_{\mathcal{E}}, \mathrm{Esp}\circ\mathrm{Ord}\to\mathrm{id}_{\mathcal{O}} sous (\mathrm{Esp}) et (\mathrm{Préord}) il écrit, reliés par \in renversé, X et I. Les indices \mathrm{id}_{\mathcal{E}} et \mathrm{id}_{\mathcal{O}} sont écrits dans cet ordre, alors que la composée \mathrm{Ord}\circ\mathrm{Esp} est un endofoncteur de \mathcal{O} : transcrit tel quel.

car l'application \mathrm{id}_X:X\to X est continue de \mathrm{Esp}\,\mathrm{Ord}\,X dans X (et est \simeq ssi X satisfait la cond. du NB 2) \mathrm{Hom}_{\mathcal{E}}(\mathrm{Esp}(I),X)\ \xrightarrow{\ \sim\ }\ \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}}(I,\mathrm{Ord}(X)) adjonction I\to X est continue ssi elle est croissante

Considérons maintenant \varphi:X\to I, i.e. ~~une~~ pseudo-partition X=\bigcup_{i\in I}X_i^{*} (les X_i^{*} mutuellement disjoints). Posons X_J^{*}=\varphi^{-1}(J), les ~~continue ssi~~ \varphi^{-1}(I_{\ge i}) ouverts i.e. ssi les X_{\tilde\imath}^{*}=\bigcup_{j\ge i}X_j^{*} sont ouverts, i.e. ssi les X X_{\complement\tilde\imath}^{*}=\bigcup_{j\in I,\ j\not\ge i}X_j^{*} sont fermés. Il faut donc pour ceci que les X_i\overset{\text{déf}}{=}X_{\bar\imath}^{*}=\bigcup_{j\le i}X_j soient fermés, et cette condition est suffisante si I est fini (car tt fermé de I est alors réunion finie de fermés de la forme \bar\imath) plus généralement si \varphi est « loct finie » i.e. loc. dans X va fini (NB Si I'\subset I, la top. de I' associée au préordre induit est la top. induite par I)dans la formule, l'indice de la réunion est bien X_j ; on attendrait X_j^*.

Moitié droite du feuillet. Tout en haut, dans la marge abîmée, une ligne presque effacée où se lit « \Longleftrightarrow\overline{\lbrace x\rbrace}\subset\overline{\lbrace y\rbrace} ».

* moyennant que la top. de I , la question est une pure : quelles conditions que les X_i^{*} note ajoutée en haut à droite, appelée par l'astérisque du texte ; lecture très incertaine.

Dans quel cas l'préordre de l'ens I est-il déterminé par l'application \varphi i.e. * par la famille (X_i)_{i\in I} Plus précisément par (X_i^{*})_{i\in I} (dans le cas \varphi continue) ? quand existe-t-il un ordre sur I qui rende \varphi continue, et quand cet ordre est-il unique ? Pour l'unicité, il est clair que si X=\emptyset il faut que card I\le 1, et si X\neq\emptyset que \varphi soit surjective i.e. les X_i^{*}\neq\emptyset. ~~Supposons~~ Supposons donc \varphi surj. i.e. X_i^{*}\neq\emptyset. On aimerait que la top. de I soit la top. quotient i.e. que X_J fermé ssi J fermé dans I ; cette topologie sur I est bien telle que les réunions de fermés (cas \varphi loc. finie) sont fermés donc est associée à un ordre unique de I. Pour cet ordre, on aurait donc i\le j ssi \forall J\subset I tel que X_J^{*} fermé et j\in J, on a i\in J. À quelles conditions ceci provient-il d'un ordre (NB « en général » ce préordre sera loin d'être discrétique !) Il faut et il suffit que les \bar\imath soient localement fermés dans I, ce qui indique que les X_i^{*} soient loct fermés. bien il faut et il suffit que l'on ait X_{\bar\imath}^{*}\cap X_{\tilde\imath}^{*}=X_i^{*} (puisque \lbrace i\rbrace=\bar\imath\cap\tilde\imath) ce qui équivaut à … \supset X_i^{*} , or X_{\bar\imath}^{*} est le plus petit fermé de X « saturé » pour la relation d'équivalence loc. finie associée, et X_{\tilde\imath}^{*} est le plus petit ouvert saturé \supset X_i^{*}. On pourrait appeler « stratification fidèle » de X une relation d'équiv. loct finie telles que l'ens préordonné quotient I soit ordonné – ils correspondent aux familles indexées par I ordonné (X_i^{*})_{i\in I} partition, constituée de X_i disjoints et telles que pour J\subset I, on ait X_J fermé ssi J fermé. donc telles que a) les X_i\overset{\text{déf}}{=}\bigcup_{j\le i}X_j^{*} fermés (i.e. J fermé \Rightarrow X_J fermé \Rightarrow les X_i^{*} loc. f.)

b) Si X_J est fermé, alors J l'est.Dans cette moitié, les passages de la marge droite sont très serrés et en partie hors du cadre de l'image ; les … marquent des mots coupés ou illisibles.

Feuillet double, écrit sur les deux moitiés ; « 3 » de sa main en haut à gauche, et en tête de la moitié droite un numéro suivi d'une parenthèse, 4). En haut à droite, quelques signes isolés (« \ni x », « x>\bar x », deux \Sigma soulignés) sans lien lisible avec le texte.

Conditions plus fortes : ~~la topologie de I est quotient de~~ puis l'application (co-finie, surjection) \varphi est ouverte \Longleftrightarrow \varphi^{-1}(\bar J)=\overline{\varphi^{-1}(J)} \Longleftrightarrow \varphi^{-1}(\bar J)=\overline{\varphi^{-1}(J)} i.e. \bigcup_{j\in\bar J}X_j^{*}\ \ \Big\Vert \qquad \overline{\bigcup_{j\in J}X_j^{*}}=\bigcup_{j\in J}\overline{X_j^{*}} \overline{X_j^{*}}=\bigcup_{i\in\bar j}X_i^{*}\ \Big(\overset{\text{déf}}{=}X_j\Big). les deux égalités de la première ligne sont chacune surmontée d'un signe = vertical renvoyant à la ligne du dessous : la première à \bigcup_{j\in\bar J}X_j^*, la seconde à \overline{\bigcup_{j\in J}X_j^*}.

Conditions pour une pseudo-partition (X_i^{*})_{i\in I} loc. finie (indexée par un ens. préordonné I, i.e. \varphi:X\to I application, on suppose \varphi continue, i.e. les X_i=\bigcup_{j\le i}X_j^{*} fermés (donc les X_i^{*} loc. fermés))

1°) Top. de I est finale pour \varphi (i.e. quotient si \varphi surjective) \Longleftrightarrow (X_J^{*} fermé \Rightarrow J fermé) \Longleftrightarrow (X_L^{*} ouvert \Rightarrow L ouvert)

si \varphi surj. \Uparrow 3°) \overline{X_j^{*}}=\bigcup_{j\le i}X_i^{*} pour tt j\in I i.e. \varphi est ouvertesous la réunion, l'indice est écrit « j\le i » et l'on lit X_j^* ou X_i^* : X_i^*.

2°) \varphi surj. i.e. les X_i^{*}\neq\emptyset

NB Moyennant 1°, 2°, on récupère l'ordre sur I comme la relation d'inclusion entre les \overline{X_i^{*}}…

Une donnée (X_i^{*})_{i\in I} satisfaisant 1°) à 3°) équivaut à une : à une relation d'équiv. loct finie et ouverte ~~telle que les fermés soient~~ ( ) et I est l'ensemble quotient comme la relation de préordre i.e. l'ens. I est ordonné ssi de spécialisation), ( \forall i,j, \overline{X_i^{*}}=\overline{X_j^{*}}\Rightarrow i=j ) \Longleftrightarrow (les X_i sont loc. fermés).

si I ordonné \Updownarrow stratification stricte évanescente

famille loc. finie (X_i)_{i\in I} de fermés, telle que j<i implique que X_j rencontre X_i, et \forall i,j\in I, on ait X_i\cap X_j=\bigcup_{k\in\bar i\cap\bar j}X_k .

Dans le cadre de la top. modérée, il faut voir comment pour toute partition par des parties loc. fermées modérées, il existe une plus petite stratification modérée ~~partition~~ ~~stricte~~ (formée) celles qui ~~majorent~~ la partition donnée.

Moitié droite du feuillet.

(X_i^{*})_{i\in I} une partition indexée ~~famille~~ (loc. finie de X ~~en parties disjointes de X, de réunion X (i.e. X\to I)~~). Cond. équiv.

a) \forall i\in I, ~~X_i^{*}\neq\emptyset (on suppose, i.e. vraie partition),~~ \overline{X_i^{*}} est saturé ~~X_i^{*} est loc. fermé~~

b) \exists ~~une relation~~ préordre sur I, telle que l'on ait \forall i\in I \overline{X_i^{*}}=\bigcup_{j\le i}X_j^{*} (cette relation d'ordre est unique, …) i\le j\Longleftrightarrow \overline{X_i^{*}}\subset\overline{X_j^{*}} (\Longleftrightarrow X_i^{*}\subset\overline{X_j^{*}})

c) La top. quotient de I est telle que \varphi:X\to I soit ouverte, i.e. \forall U\in\mathrm{Ouv}(X), le saturé est ouvert

Sous ces conditions, la top. quotient de I est celle associée à ~~la relation d'ordre~~ préordre, qui est aussi la relation de spécialisation pour cette topologie. Pour que I soit ordonné, il faut et il suffit que les X_i^{*} soient loct fermés, on dit alors que la partition est stratifiante (i.e. loc. finie, formée de parties loc. fermées, relation d'équiv. ouverte). ~~On a une~~ On a une correspondance 1-1 entre les partitions stratifiantes de X et les relations d'équivalence loc. finies à classes loc. fermées et ouvertes, et l'ens. des familles (à iso. près) (X_i)_{i\in I} indexées par un ens. ordonné I, loc. finies, 1°) familles croissantes de parties fermées de X, recouvrant X, et 2°) \forall i,j\in I, X_i\cap X_j=\bigcup_{k\in\bar i\cap\bar j}X_k , 4°) ~~X_k~~ \forall i,j\in I, j<i 3°) \forall i, X_i^{*}\neq\emptyset (X_i^{*}\overset{\text{déf}}{=}X_i\setminus\bigcup_{j<i}X_j)3°) et 4°) sont des ajouts encadrés et reliés par des traits au texte ; l'énoncé de 4°) est coupé par la marge.

\Longrightarrow X_j dans X_i … (\forall i,j, X_i^{*}=X_i)ligne ajoutée entre les deux formules, en partie biffée ; lecture très incertaine.

NB Moyennant 1°) à 2°), en posant X_i^{*}=X_i\setminus\bigcup_{j<i}X_j, les X_i^{*} forment une ps. partition loc. finie de X par des ens. loc. fermés, celle-ci satisfait les conditions d'une partition stratifiante stricte avec l'ordre donné sur I ssi on a 3°) et 4°).Le long de la marge gauche de cette moitié, une note verticale presque entièrement illisible, où l'on distingue « NB », « si », « stratifi… ».

Stratification : conditions 1°) et 2°). Strat. stricte : « fidèle » (i.e. 3°) et condition de densité (4°) : Partitions stratifiantes \Longleftrightarrow strat. strictes.

\varphi:X\to Y, \varphi ouverte \overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} (U ouvert dans X\Rightarrow\varphi(U) ouvert) \Longleftrightarrow (\forall B\subset Y, \varphi^{-1}(\bar B)=\overline{\varphi^{-1}(B)}) (NB \subset est l'essentiel)

i.e. \forall x\in X, \varphi(x)\in\bar B\Rightarrow x\in\overline{\varphi^{-1}(B)} i.e. \forall U\ni x, U\cap\varphi^{-1}(B)\neq\emptyset i.e. \forall U\in\mathrm{Ouv}(x), \varphi(U)\cap B\neq\emptyset i.e. \forall(B\in\mathfrak{P}(Y),\ x\in X,\ U\in\mathrm{Ouv}_x(X)), \varphi(x)\in\bar B\Rightarrow\varphi(U)\cap B\neq\emptyset i.e. \forall(U\in\mathrm{Ouv}(X)) \forall(y\in V=\varphi(U),\ B\subset Y), y\in\bar B\Rightarrow V\cap B\neq\emptyset i.e. V\cap B=\emptyset\Rightarrow\bar B\not\ni y (B\subset X\setminus V)le « V= » est écrit au-dessus de \varphi(U) ; sous « V\cap B=\emptyset », la précision « B\subset X\setminus V », où l'on attendrait Y\setminus V.

5)« 5) » est en marge gauche : sa numérotation. Les conditions 1° et 2°) sont stables par images inverses par X'\to X, mais pas 3°) bien sûr (par ex. pour un plongement ouvert), ni 4°) (mais si ouvert). Les 4°) est stable par induction sur un ouvert. Les relations d'équivalence ouvertes, par contre, s'induisent bien sur un ouvert (mais la partition I serait bien sur un ouvert (mais ) en principe). ~~Au fait (supposons …) … \forall i,j\in I, X_i\subset X_j … 1° 2° (3°) … \Rightarrow i\le j~~ La condition 3° bis (au plus de 1° et 2°) … la « fidélité » : X_i\subset X_j\Longrightarrow i\le j (i.e. l'indexation par I est l'injection des X_i). ~~… fidélité, … si X_i^{*}=\emptyset i.e. X_i=\bigcup_{j<i}X_j~~ n'est pas vrai, exemple I= \lbrace a,b<c\rbracele dessin de I est biffé ; on voit a et b reliés par deux flèches montantes à un sommet c. X_c=X=X_a\amalg X_b, alors X_a,X_b\neq\emptyset, alors… fidèle, les X_i\neq\emptyset, mais X_c^{*}=\emptyset.

On suppose désormais 1°) 2°) 3° bis). Si U\subset X est un ouvert, les X_i\cap U=U_i (i\in I tels que \neq\emptyset) forment un ouvert I_U de U, et (U_i)_{i\in I_U} est une stratification ps-fidèle de U. (Si on partait d'une stratification stricte, on aurait une stratification stricte sur U.) Ainsi, les strat. ps. fidèles des ouverts de X forment un préfaisceau, dont les sections sont appelées les stratifications locales.

Moitié droite du feuillet. Le haut en est un passage encadré puis biffé en diagonale ; on en donne ce qui se lit.

~~Supposons~~ Soit J tel que X_J fermé, J non fermé. Prenons J minimal … Donc \exists j\in J tel que \bar j\not\subset J. Soit j minimal parmi ces éléments. Donc … j\in J, \bar j\not\subset J, et i<j, i\in J\Rightarrow \bar\imath\subset J, \bar j\cap J= \lbrace j\rbrace\cup\bigcup J'=\bar J\cap J, ~~donc X_{J'}=X_{\bar J}\cap X_J … est fermé, alors que J' n'est pas fermé.~~ ~~Considérons …~~ J est minimal parmi les tels J (on suppose I fini, pour simplifier) dans I pour tt K\subset I, K fermé et K\cap J non fermé, … K\supset J. En particulier, \forall j\in J tel que \bar j\not\subset J, … J\subset\bar j i.e. j est plus grand élément de J. ~~Donc~~ J a un plus grand élément j, tel que pour tt autre élément j' de J, on ait \overline{j'}\subset J. Donc ~~J_0~~ J_0=J\setminus\lbrace j\rbrace=\bigcup_{j'\in J\setminus\lbrace j\rbrace}\overline{j'} est fermé. Donc J=J_0\cup\lbrace j\rbrace, J_0 fermé, et J_0\subset\bar j, j\in I\setminus J_0, \exists\, i\in I\setminus J_0 avec i<j. ~~\bar j\cap I~~ On a donc X_J^{*}=X_{J_0}^{*}\cup X_j^{*} (réunion disjointe) qui est fermé, donc X_j^{\bullet}\overset{\text{déf}}{=}\overline{X_j^{*}}\setminus X_j^{*}\subset X_{J_0}^{*}=X_{J_0}=\bigcup_{i\in J_0}X_i , bien que pour autant \bar j\subset J_0\cup\lbrace j\rbrace.

Soit I' une partie fermée de I, minimale pour la propriété : \exists J\subset I', J non fermé, avec X_J fermé. Soit, pour I' fixé, J une partie de I' minimale pour la propriété précédente. On a J\neq\emptyset, et J=J_0\cup\lbrace j\rbrace, J_0 fermé, j\notin J_0, J\subset\bar j, \bar j\not\subset J de, i.e. l'inclusion J=J_0\cup\lbrace j\rbrace\subset(J_0\cup\bar j=\bar j) est stricte. ~~Donc I'~~ Pour … Comme \bar j\setminus\lbrace j\rbrace est encore fermé, d'après la condition minimale de I'=\bar j il s'ensuit que pour tt J'\subset I'\setminus\lbrace j\rbrace, X_{J'}^{*} fermé \Rightarrow J' fermé.En marge gauche, un petit dessin : une tache marquée J_0 entourée de points, et un point j à côté, sous le mot « partie ».

~~particulier, pour partie fermée~~

3 conditions équiv. :

a) X_J^{*} fermé \Rightarrow J fermé

b) X_L^{*} ouvert \Rightarrow L ouvert

c) \Big(\underbrace{X_j^{\bullet}\overset{\text{déf}}{=}\overline{X_j^{*}}\setminus X_j^{*}\subset X_{J_0},\ J_0\ \text{fermé}}_{X^{*}_{J_0\cup\lbrace j\rbrace}\ \text{fermé}}\Big)\Rightarrow \bar j\subset J_0\cup\lbrace j\rbrace (i.e. J_0\cup\lbrace j\rbrace fermé) (NB \Rightarrow J_0\subset\bar j), et pour tout J'\subset\bar j\setminus\lbrace j\rbrace, X^{*}_{J'} fermé \Rightarrow J' ferméDans ces lignes le trait et la taille de la lettre ne distinguent pas toujours \bar j (adhérence du point j) de \bar J ; on a lu \bar j partout où l'argument, qui porte sur le plus grand élément j de J, le demande.

Tubes et voisinages : premiers dessins

En haut à droite, de sa main, « S ». Sous ce titre de l'éditeur, deux dessins. À gauche, un disque épais : au centre un point \Sigma_0, d'où part un rayon marqué c_{01} ; sur le bord, les arcs \Sigma_{02} (en haut), \Sigma_{012} (deux fois), \Sigma_{01} ; hors du disque partent vers la droite trois demi-droites parallèles marquées \Sigma_{12}, \Sigma_1, \Sigma_{12}, et au-dessus de tout, \Sigma_2. À droite, un petit graphe de cinq points reliés par des flèches, sans légende lisible.

\Sigma_{i_0i_1\cdots i_n} fonctions continues variant par rapport au drapeau variable (i'_0,\ldots,i'_n) \Sigma_i=X'_i=X_i\setminus\Big(X_i\cap\bigcup_{k<i}\overset{\circ}{\mathrm{Tub}}(X_k,X_i)\Big) \Sigma_{(i,j)}=\struck{\ill{}}\,\mathrm{Tub}^{\bullet}\Big(X'_i,\,X_j\setminus\bigcup\mathrm{Tub}(X_k,X_j)\Big)\hookrightarrow X'_j=\Sigma_j sous la seconde réunion, un indice longuement raturé ; ce qui reste lisible est « i<k<j », repris seul plus bas sur la page.

i<k<j

\struck{\Sigma_{i,j}=T.} V_{i,j}=V(X_i^{*},X_j)\setminus\bigcup_{i<k<j}V(X_i^{*},X_j)\cap X_k\hookrightarrow X_j^{*} sous V_{i,j}, une flèche descend vers X_i^{*}, avec X écrit à gauche ; V_{ijk} est écrit seul en dessous.

\begin{tikzcd} V_{ijk} \arrow[r] \arrow[d] & V_{jk} \arrow[d] & X_k^{*} \arrow[l, hook'] \arrow[d] \\ V_{ij} \arrow[r, hook] \arrow[d] & V(X_j^{*},X_k) & X_k \\ X_i^{*} & & \end{tikzcd}

Entre V_{jk}, X_k^*, V(X_j^*,X_k) et X_k, une flèche en pointillé marquée r part de la flèche verticale X_k^*\to X_k vers la gauche ; son but n'est pas marqué. Après V(X_j^*,X_k), une flèche vers X_k est biffée avec un mot illisible. La flèche X_k^*\to V_{jk} est tracée « \subset— », sans pointe.

\Sigma_{\delta'}\to\Sigma_{d'} au-dessus de \Sigma_{\delta}\to\Sigma_{d}, reliés par deux inclusions verticales ; \delta'\subset\bar\delta , d\supset\deltaen marge gauche, écrit en travers ; les indices sont d'une lecture incertaine.

= \le\Sigma(\lambda',\lambda'')en bas à gauche, en travers, une formule où l'on distingue \lambda', \lambda'', T'' ; illisible pour le reste.

Trois strates : les données \Sigma_0,\Sigma_1,\Sigma_2

\Sigma_0,\Sigma_1,\Sigma_2 espaces top.

\Sigma_{01}\subset\Sigma_{0}\times\Sigma_1, \Sigma_{12}\subset\Sigma_1\times\Sigma_2, \Sigma_{02}\subset\Sigma_0\times\Sigma_2 fermésil écrit « \Sigma_{01}\subset\Sigma_{01} » ; le second indice est sans doute un lapsus pour \Sigma_0\times\Sigma_1, rétabli d'après les deux inclusions voisines.

a) Posons \Sigma_{012}\subset\Sigma_0\times\Sigma_1\times\Sigma_2,\qquad \Sigma_{012}=(\Sigma_{01}\times\Sigma_2)\cap(\Sigma_0\times\Sigma_{12})

a) On suppose que \mathrm{Im}(\Sigma_{012}\to\Sigma_0\times\Sigma_2)\subset\Sigma_{02} de sorte qu'on a un diagramme commutatif

\begin{tikzcd} & \Sigma_{02} \arrow[dl] \arrow[r, hook] & \Sigma_{2} \\ \Sigma_0 & \Sigma_{012} \arrow[l, "{[l]}"'] \arrow[u] \arrow[r, hook] \arrow[d, "{[l]}"'] & \Sigma_{12} \arrow[u] \arrow[d, "{(l)}"] \\ & \Sigma_{01} \arrow[ul, "{[l]}"] \arrow[r, hook] & \Sigma_1 \end{tikzcd}

Les deux carrés de droite portent chacun la mention « cart » (le haut en partie raturé). Les crochets d'inclusion, en haut, au milieu et en bas, sont repassés en pointillé. On lit « [l] » (ou « (l) ») sur quatre flèches, sans doute pour « lisse », qui apparaît en toutes lettres à f).

signifie que \Sigma=\Sigma_0\amalg\Sigma_1\amalg\Sigma_2 est muni d'une relation d'ordre au-dessus de [0,1,2]écrit en travers dans la marge gauche, à la hauteur du diagramme ; lecture de « au-dessus » incertaine.

b) \Sigma_{01}\to\Sigma_1, \Sigma_{02}\to\Sigma_2, \Sigma_{12}\to\Sigma_2 sont injectifs (et bordants) (donc \Sigma_{012}\to\Sigma_{12} aussi) (\Sigma_{012}\to\Sigma_{02} et fortement ~~est injectif~~ ( \Sigma_{012}\to\Sigma_{02}). donc aussile « donc aussi » souligné est ajouté sous « (et bordants) » et relié au début de la ligne suivante.

c) ~~est injectif), et de plus~~sous la ligne biffée, un mot souligné, peut-être « en outre ». On a \Sigma_{012}=\Sigma_{02}\cap\Sigma_{12} dans \Sigma_{12} i.e. le carré sup. est aussi cartésien

d) \Sigma_{12}\to\Sigma_1 est transversal par rapport aux morphismes bordants \Sigma_{01}\to\Sigma_1 (cela signifie que \Sigma_{012}\to\Sigma_{12} est aussi bordant)

e) \Sigma_{02} et \Sigma_{12} sont (transversales dans \Sigma_2 parties bordantes) (donc \Sigma_{012}\hookrightarrow\Sigma_{02} est aussi bordant)

f) \Sigma_{01}\xrightarrow{[\text{lisse}]}\Sigma_0, \Sigma_{02}\to\Sigma_0, \Sigma_{12}\xrightarrow{(\text{lisse}]}\Sigma_1 fibrants (donc \Sigma_{012}\xrightarrow{[\text{lisse}]}\Sigma_{02} fibrant et \Sigma_{0,12}\xrightarrow{[\text{lisse}]}\Sigma_{01} aussi)

(f) Quand \Sigma en ensembles, on a la condition que dans le diagramme \Sigma_{01}\leftarrow\Sigma_{012}\to\Sigma_{02} … … au-dessus de \Sigma_0.Note écrite verticalement dans la marge gauche, en bas ; lecture très incertaine. Plus haut dans la même marge, « W » et « \delta » isolés.

La page ne porte qu'un dessin, le même que celui de la page 6 dans la notation des X : en haut, X_2^{*} ; un disque au centre duquel un point marqué \underline{X}_0=X_0^{*} ; un rayon, puis une demi-droite épaisse sortant du disque, marqués X_{01} et \underline{X}_1 (l'indice est repassé, X_1^*) ; de part et d'autre, deux demi-droites parallèles marquées X_{12}.

Espaces stratifiés (étude par voisinages coniques)

Le titre est le sien, en tête du feuillet : « Espaces stratifiés (étude par voisinages ~~tubulaires~~ coniques) ». En haut à gauche, « 1) » : c'est le premier feuillet d'une suite qu'il numérote, que la page 13 poursuit sous le numéro « 2) » ; au-dessous, un « I » cerclé, que l'on rend par « (I) », comme les numéros cerclés « (1) » à « (4) » des paragraphes.

(I)

(1) Soit Y un espace topologique. Un voisinage ~~tubulaire~~ conique (« absolu ») de Y (ou « cône sur Y ») ~~est un espace~~ est un espace topologique T contenant Y, (le « tube »), muni d'une partie fermée \dot T (le « bord du tube ») et d'une opération du monoïde topologique \mathbf{I}=[0,1] (pour la multiplication) sur T, notée (1)\qquad (\lambda,t)\longmapsto\lambda t\qquad \mathbf{I}\times T\longrightarrow T satisfaisant :

a) \lambda y=y \forall y\in Y

b) 0.\,T\subset Y

donc les \lambda_T:T\to T (0\le\lambda\le1) forment une homotopie de l'identité \mathrm{id}_T (pour \lambda=1) à l'application de T une rétraction de T sur Y, laissant les pts de Y fixes au cours de l'homotopieà droite de a) b), réunis par une accolade.

c) Le ~~applicat…~~ diagramme d'applications

\begin{tikzcd}[column sep=large] \mathbf{I}\times\dot T \arrow[r, "{(\lambda,x)\mapsto\lambda x}"] & T \\ \lbrace 0\rbrace\times\dot T \arrow[u, hook] \arrow[r, "{(0,x)\mapsto 0.x}"'] & Y \arrow[u, hook, "\mathrm{inc}"'] \end{tikzcd}

La flèche de gauche est tracée \updownarrow, l'inclusion étant évidente ; sur la flèche du haut, un f biffé.

est cocartésien*, i.e. identifie T au cône de l'application f:\dot T\longrightarrow Y\qquad f(x)=0.x (4)\qquad T\simeq\mathcal{C}(f) Dans cette identification, Y\hookrightarrow T\hookleftarrow\dot T correspondent aux applications canoniques but Y\hookrightarrow\mathcal{C}(f)\hookleftarrow source, et l'opération de \mathbf{I} sur T provient de l'opération de \mathbf{I} sur \mathcal{C}(f), définie par passage au quotient de l'opération évidente de \mathbf{I} sur \mathbf{I}\times\dot T, et de l'op. triviale de \mathbf{I} sur Y. Les axiomes a) b) c) signifient donc que la situation (Y\to T\hookleftarrow\dot T,\ \mathbf{I}\times T\to T) est isomorphe : celle d'un \mathcal{C}(f) avec f:\dot T\to Y.

NB La condition b) peut se formuler plus faiblement 0.\dot T\subset Y, alors la condition c) (qui donne ) : (3) l'application \mathbf{I}_{]0,1]}\times\dot T\to T\setminus Y est note écrite en travers dans la marge gauche, à la hauteur de b) et c) ; une partie est biffée, et elle est en grande partie illisible.

* Cela signifie que T est quotient de \mathbf{I}\times\dot T et (3)note appelée par l'astérisque, écrite en travers en marge gauche, sous la précédente.

Notons que \dot T est connu quand on connaît l'opération de \mathbf{I} sur T, en posant (5)\qquad \overset{\circ}{T}=T\setminus\dot T (intérieur du tube) et notant que \overset{\circ}{T}=\bigcup_{\lambda\in[0,1[}\lambda T

Feuillet sans numéro de sa main ; il continue le texte de la page 11, avant le feuillet « 2) » de la page 13 ; de même la page 14 entre « 2) » et « 3) » (page 15).

~~2. Soit X un espace, Y un sous-espace fermé.~~

(6) ~~Soit T~~ NB Les T_\lambda (\lambda\in[0,1]) forment une famille croissante de parties fermées de T, les \overset{\circ}{T}_\lambda\overset{\text{déf}}{=}\lambda\overset{\circ}{T} (\lambda\in\,]0,1]) une famille croissante de parties ouvertes. Si \lambda\in\,]0,1[, alors \overset{\circ}{T}_\lambda est bel et bien l'intérieur topologique de T_\lambda dans T, mais bien sûr \overset{\circ}{T}_1=\overset{\circ}{T} n'est pas l'intérieur top. de T_1 dans l'espace topologique T_1=T, i.e. on n'a pas \overset{\circ}{T}_1=T sauf si \dot T=\emptyset i.e. Y=T.Un double trait vertical en marge gauche accompagne ce passage.

Posons, pour \lambda\in\,]0,1[ \left\lbrace \begin{array}{l} T\setminus\overset{\circ}{T}_\lambda\overset{\text{déf}}{=}E_{1-\lambda=\varepsilon}(T)\\[4pt] \dot E_\varepsilon(T)\overset{\text{déf}}{=}\dot T\cup(1-\varepsilon)\dot T \end{array} \right. « épaississement d'indice \varepsilon » du bord \dot T dans T

NB La frontière de E_\varepsilon dans T est (1-\varepsilon)\dot T, et E_\varepsilon est un voisinage de \dot T. On a (7)\qquad E_\varepsilon(T)\simeq[\underbrace{1-\varepsilon}_{\lambda},1]\times\dot T

NB Si ~~\dot T~~ Y (ou ), les T_\varepsilon (\varepsilon\in\,]0,1]) forment un de voisinages de Y dans T, () tubulairesNote écrite en travers dans la marge gauche, en grande partie illisible ; une seconde note, plus bas dans la même marge, se lit « … un système fondamental de voisinages … T fermé (T compact) … ».

(2) Soit Y\hookrightarrow X une inclusion fermée d'espaces topologiques. Un voisinage conique de Y dans X est un voisinage T de Y dans X muni d'une opération (1) \mathbf{I}\times T\to T ~~faisant de T un vois.~~ conique ~~absolu de Y~~ ~~satisfaisant les conditions dites.~~ Alors les \lambda T=T_\lambda (\lambda\in\,]0,1]) forment d'autres voisinages tubulaires de Y dans X (famille croissante) et on voit que pour \lambda\in\,]0,1[, on a (8)\qquad \dot T_\lambda=\lambda\dot T est la frontière de T_\lambda=\lambda T dans X.Le numéro « (8) » est surchargé ; on lit aussi « absolu de Y » dans la ligne biffée, dont « conique » est ajouté au-dessus.

En haut à gauche, « 2) » de sa main : le feuillet de la page 12, qui ne porte pas de numéro, s'intercale donc entre ses feuillets 1) et 2), vraisemblablement comme verso du premier.

Mais on ne peut pas dire en général que \dot T soit la frontière de T dans X, i.e. (8) devient faux si \lambda=1 (prendre X=T, , \dot T\neq0).

~~Disons~~ Évitons enfin de dire qu'une partie fermée Z Y d'un espace topologique X est une « partie bordante » s'il existe un voisinage ~~collant~~ cylindrique de Y dans X, i.e. un voisinage ~~tubulaire~~ conique T tel que \dot T\to Y soit un homéomorphisme – ou ce qui revient au même, ~~s'il tel que l'on~~ s'il existe un voisinage T de Y dans X et un homéomorphisme (9)\qquad T\simeq Y\times\mathbf{I} rendant commutatif le diagramme

\begin{tikzcd} Y \arrow[r, hook] \arrow[dr, "{y\mapsto(y,0)}"'] & T \arrow[d, "\wr"] \\ & Y\times\mathbf{I} \end{tikzcd}

(10)Dans ce diagramme, l'isomorphisme vertical est noté par un « \wr » couché (≀) sans pointe ; on l'a mis en flèche descendante.

définir le voisinage de frontière … E\simeq Y\times[0,1] … y\mapsto(y,0)note en travers dans la marge gauche, en grande partie illisible.

Par exemple, si T est un voisinage ~~tubulaire~~ conique (absolu) de Y, alors \dot T est un sous-espace bordant de T, et un sous-espace bordant de T_\lambda ; E \dot T, (1-\varepsilon)\dot T et \dot T\cup(1-\varepsilon)\dot T sont des sous-espaces bordants de E_\varepsilon(T). ~~Dans~~ Si X est un espace compact, et (Y_i)_{i\in I} une partie finie de parties fermées disjointes de X, alors Y=\bigcup_{i\in I}Y_i est un sous-espace bordant ssi les Y_i le sont.« une partie finie » : lire une famille finie.

Feuillet sans numéro de sa main, entre les feuillets « 2) » (page 13) et « 3) » (page 15).

~~On dit~~ Soit T un voisinage ~~tubulaire~~ conique de Y\subset X dans X, posons (11)\qquad X^{*}=X\setminus\overset{\circ}{T}=(X\setminus T)\cup\dot T c'est une partie fermée de X. ~~On dit que~~

Prop. Conditions équivalentes (si \lambda\in\,]0,1[ donné) :

a) \dot T est une partie bordante de X^{*}=X\setminus\overset{\circ}{T}

b) Il existe un homéomorphisme de X sur lui-même, transformant T,\dot T en (T_\lambda,\dot T_\lambda)

b') Comme b, mais en supposant de plus que l'homéomorphisme induise l'identité sur T_{\lambda'} (si ~~0<\lambda'<\lambda~~ \lambda' est donné, 0<\lambda'<\lambda).

c) Il existe un voisinage ~~tubulaire~~ conique T' de Y dans X, ~~tel que et~~ tel que T=\lambda T', d'isomorphismes étant compatibles avec les structures de voisinages coniques.

On dit alors que T est un vois. ~~tub.~~ conique strict dans X

Corollaire Quand T est vois. ~~tub.~~ con. strict dans X, \dot T est la frontière de T dans X.

Corollaire Si T est un voisinage ~~tubulaire~~ conique de Y dans X, les T_\lambda (\lambda\in\,]0,1[) sont des voisinages ~~tubulaires~~ coniques stricts

Il vaut mieux partir de la notion de voisinage conique strict comme fondamentale, et définir les voisinages stricts … T partie E_\varepsilon(T) … (\varepsilon>0)note écrite en travers dans la marge gauche, en bas ; lecture très incertaine, l'ordre des mots l'est aussi.

Le bas du feuillet est blanc ; le texte s'arrête sur ce second corollaire.

En haut à gauche, « 3) » de sa main : troisième feuillet de la suite numérotée (pages 11, 13, 15), les pages 12 et 14, sans numéro, en étant vraisemblablement les versos.

(3)numéro cerclé. Soit ~~X\supset Y, X de espaces~~ T un voisinage ~~tub.~~ conique absolu de Y. Soient T'\subset T. On dit que T' est sous-espace conique dans T si on a

(12) a) T' stable par les multiplications \lambda\in\mathbf{I}

b) Pour cette opération, T' est un voisinage ~~tubulaire~~ conique de Y.a) et b) sont réunis par une accolade, numérotée (12). au bout de la ligne a), un mot biffé, peut-être « absolu ». Dans b), le T' du début est surchargé.

NB On a nécessairement \dot T'=T'\cap\dot T, T'_\lambda=T'\cap T_\lambda, ~~si (T_i)_{i\in I} est une famille,~~ la donnée de T' équivaut à celle d'un sous-espace T' de Y, fermé et d'un sous-espace Y' de Y, tels que Y'\supset0.\dot T', et, on a T'=\mathrm{Im}(\mathbf{I}\times\dot T'\to T)\cup Y'. Ligne très raturée : les ajouts interlinéaires se lisent « la donnée de T' équivaut à celle » et « \dot T' de \dot T » ; la phrase que l'on donne est une lecture d'ensemble, incertaine dans le détail. On attend « d'un sous-espace fermé \dot T' de \dot T ».

On dit que T' est conique strict si \dot T'\cap Y=0.\dot T' … i.e. T' ouvert et fermé …note en travers dans la marge gauche ; lecture incertaine.

On dira qu'une structure conique sur un T\supset Y est compatible avec des sous-espaces fermés T_i de T (i\in I) si ces derniers sont coniques pour cette structure.

Soit T un voisinage conique de Y\subset X dans X, soit X' partie fermée de X. On dit que T est compatible * avec X' si X'\cap T est conique dans T. On dit qu'il est strictement compatible * avec T, si T est voisinage conique strict, et s'il existe un voisinage cylindrique de \dot T dans X^{*}=X\setminus\overset{\circ}{T}, compatible avec X'^{*}=X'\cap X^{*}, ou ce qui revient au même, s'il existe un voisinage E de \dot T dans X^{*}, et un iso…

* tautologie … définition des voisinages coniques stricts …Notes en travers dans la marge gauche, appelées par les astérisques ; en partie biffées, presque illisibles. Le feuillet s'arrête sur « un iso… » ; la suite n'est pas dans ce lot de pages.

Suite de la page 15, sans numéro de sa main. (13)\qquad E\simeq\dot T\times[0,1] rendant commutatif

\begin{tikzcd} \dot T \arrow[r, hook] \arrow[dr, "{t\mapsto(t,0)}"'] & E \arrow[d, "\wr"] \\ & \dot T\times[0,1] \end{tikzcd}

il faut que X'^{*}\cap E s'identifie à une partie de \dot T\times[0,1] de la forme X'_0\times[0,1], où X'_0 est une partie fermée de \dot T.Il écrit d'abord X^{*}, surchargé en X'^{*} (lecture incertaine de l'exposant).

Soit B une partie bordante stricte de l'espace topologique X. Considérons un vois. cylindrique E de de B dans X. On dit qu'une partie fermée X' de X est compatible avec E – i.e. avec l'homéomorphisme E\simeq B\times[0,1] si X'\cap E s'identifie à B'\times[0,1] (\ldots B'=X'\cap B). On fera attention que la définition dans la « ~~compatibilité~~ transversalité ~~dans le cas~~ cylindrique » n'est pas un cas particulier de celle dans le ~~cas~~ compatibilité conique, mais en ~~exigeant que~~ bien exigeant : correspond au cas où on devait X'\cap E\simeq B'\times[0,1]\cup B\times\lbrace0\rbrace T'\cap Y=0.\dot T'Les trois dernières lignes sont raturées et surchargées ; la formule X'\cap E\simeq B'\times[0,1]\cup B\times\lbrace0\rbrace est biffée d'un trait, et « T'\cap Y=0.\dot T' », entouré, est ajouté au-dessous. Lecture d'ensemble incertaine.

Il importe que B\cap X' soit … X'notes en travers dans la marge gauche ; on lit aussi, plus haut, « transversal ».

On définit de même la compatibilité pour une famille ~~finie~~ de parties (X_i)_{i\in I}.

En haut à gauche, « 4) » de sa main : quatrième feuillet de la suite.

On dit qu'une partie bordante B de X ~~est~~ est compatible avec une famille de parties X_i de X, s'il existe un voisinage cylindrique (ou semi-cylindrique) qui est compatible avec chacune des X_i.

utiliser plutôt la terminologie « transversale »note en travers dans la marge gauche, en haut, soulignée.

Revenons : Y\subset X et un voisinage conique strict T de Y. On dit que T est strictement compatible avec une famille de X_i\subset X s'il est compatible avec chaque X_i (X_i\cap T=\mathbf{I}.\,X_i\cap\dot T\ldots), et si \dot T est un sous-espace bordant de X^{*}=X\setminus\overset{\circ}{T}, compatible avec la famille des X_i^{*}=X^{*}\cap X_i. Dans ce cas implique que X_i\cap\dot T est un sous-espace bordant (non seulement de X_i\cap T, mais aussi) de X_i^{*}.

… X_i^{*} … transversal … \dot X_i\cap Y=0.\dot X_i … transversaux … dire strict … 0.\dot X_i=X_i\cap Y i.e. \dot X_i=X_i\setminus X_i\cap YNotes en travers dans la marge gauche, en partie biffées, superposées ; lecture très incertaine, sauf les formules 0.\dot X_i=X_i\cap Y et, soulignée, \dot X_i=X_i\setminus X_i\cap Y.

(4)numéro cerclé. ~~Soit~~ Un voisinage conique (absolu) T de Y est dit équisingulier si \dot T\to Y est une fibration loc. triviale. Il est dit équisingulier pour une famille de T_i\subset T, si de plus les T_i sont coniques, et \dot T_i\to Y sont des fibrations localement triviales – et Le feuillet s'arrête sur ce mot, en partie biffé.

Suite de la page 17, sans numéro de sa main.

mieux, si la famille des \dot T_i\subset\dot T au-dessus de Y est globalement loc. triviale. On étend cette définition au cas de X_i\subset X, et d'un voisinage ~~tubulaire~~ conique T de Y dans X : on dit qu'il est équisingulier pour les (X_i), si T l'est pour les (X_i\cap T\subset T)_i. Cela implique que si \forall i, X_i\cap Y est une partie ouverte et fermée de Y, et, si Y est connexe, que ~~X_i\cap Y~~ l'on ait l'alternative (14)\qquad X_i\cap T=\emptyset\quad\text{ou}\quad X_i\supset Y .

on dit strictement … strict … si T équisingulier … les \lambda T … \lambda\in\,]0,1[notes en travers dans la marge gauche, en partie biffées ; lecture très incertaine.

(5)numéro cerclé, surchargé. On dit aussi que X,(X_i)_{i\in I} est (globalement) équisingulier le long de Y, s'il existe un voisinage conique T de Y dans X, qui est équisingulier p.r. aux (X_i) – ce qui équivaut à ce que les \lambda T (\lambda\in\,]0,1[) soient strictement équisinguliers.Au-dessus de « T », un point : il a d'abord écrit \dot T ou surchargé la lettre. Le bas du feuillet est blanc.

En haut à gauche, « 5) » de sa main : cinquième feuillet de la suite.

Proposition Considérons la cat. des systèmes (X,Y,(X_i)_{i\in I},T) où X espace top., Y,(X_i)_{i\in I} des sous-espaces fermés, T voisinage ~~conique~~ conique de Y Y compatible ~~compatible~~ avec (X_i) (morphismes les iso), et la catégorie des systèmes (X^{*},\dot X,(X_i^{*}),Y,\ \dot X\to Y), X^{*}, Y espaces top., \dot X et X_i^{*} parties fermées de X, \dot X\to Y application continue. Ces deux catégories sont équivalentes. Si T voisinage conique strict ~~Pour que T soit strictement~~ transversal ~~compatible avec~~ aux X_i, il faut et il suffit que \dot X soit un sous-espace bordant de X^{*}, compatible avec les X_i^{*}. Pour que T soit équisingulier pour (X_i), il faut et il suffit que \begin{array}{c}\dot X\longrightarrow Y,\\ \cup\\ (\dot X_i)\end{array} soit une fibration localement triviale simultanée (où on pose \dot X_i=X_i\cap\dot X)Les ajouts interlinéaires du milieu (« Si T voisinage conique strict », « transversal ») remplacent « Pour que T soit strictement compatible avec les X_i » ; la syntaxe de la phrase corrigée n'est pas entièrement rétablie sur la page. Dans la seconde catégorie, \dot X et X_i^{*} sont dits « parties fermées de X » : on attendrait X^{*}. Le bas du feuillet est blanc.

Page entière biffée de deux longues diagonales ; elle se lit néanmoins et on la donne. En haut à gauche, un numéro cerclé biffé, puis « (5) » cerclé : c'est un nouveau départ du paragraphe (5) de la page 18.

(5)numéro cerclé, écrit à côté d'un premier numéro cerclé biffé. Soient X un espace topologique, I un ens. ordonné fini, (15)\qquad (X_i)_{i\in I} une famille croissante de parties fermées de X. ~~On suppose~~ (stratification de type I). On ~~a) la famille des X_i est loct finie~~ ~~suppose~~ ~~b) i\le j\Longrightarrow X_i\subset X_j~~ ~~que~~ Pour faire des récurrences dans nos constructions, ~~On pose, pour \forall i\in I~~ ~~(16) X_i^{*}=X_i\setminus\ldots~~ on supposera donnée de plus une sous-espace bordant \dot X de X, strictement compatible avec la famille des X_i. On veut définir la notion de conification (compatible avec \dot X) (de la stratification). Si I est vide, c'est une structure vide. Si I=\lbrace i\rbrace, X_i=Y, c'est par définition un voisinage conique strict de Y dans X, tel que la partie bordante \dot X soit ~~strict~~ compatible avec celui-ci, i.e. que \dot X\cap T \overset{\text{déf}}{=}\ddot T soit un sous-espace bordant de \dot T, qui soit ~~0.(\dot X\cap\dot T)~~ 0.\ddot T=\dot X\cap Y =\dot Y (, que \dot T soit un sous-espace bordant de Y), et que \dot T\to Y soit … dans un sens à préciser.Le passage final, depuis « que \dot X\cap T », est encadré et en partie barré de traits croisés ; « \dot T soit un sous-espace bordant de Y » est lu tel quel, alors que l'on attendrait \ddot T ou \dot Y. Lecture d'ensemble incertaine.