Cote n° 15 · batch 11 · pages 201–220 · Transcription · Théorie arithmétique. Théorie de Galois des motifs (1965) : notes manuscites (s.d.), tapuscrit (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1977]
Édition de démonstration

TEI P5 source — open the XML · download batch-11.fr.xml

202En plus de la structure entière sur le […] [foncteur] de Hodge-De Rham, relatif à un pt complexe, il faut signaler la décomposition en types, i.e. graduation de nature transcendante (elle est compatible avec la filtration canonique). Une telle […] [est déterminée via filtration] par cette dernière […] [par l'opération] involution [\(\tau\) ½ linéaire] \(\tau'\) dans \(\xi_{x,\infty}\), provenant de l'écriture \[\xi_{x,\infty} = \xi_{x,\mathbb{R}} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \quad\text{où}\quad \xi_{x,\mathbb{R}} \simeq \xi_{x,\mathbb{Z}} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R} .\] « par l'opération » est écrit au-dessus de la ligne, en face d'un mot biffé ; « \(\tau\) ½ linéaire » est ajouté au-dessus de « involution »

Si \(k(x)\) est réel, on a une autre application ½ linéaire involutive \(\tau''\), provenant de \[\xi_{x,\infty} \simeq \xi_{x,\infty\,\mathbb{R}} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}\] et \(\tau\) sur \((\xi_{x,\mathbb{Z}})_{\mathbb{C}}\) n'est autre que \(\tau'\tau''\) \[\tau = \tau'\tau'' = \tau''\tau'\] sous \(\tau'\) il écrit « ½ linéaire transcendante », sous \(\tau''\) « ½ linéaire algébrique (dans le cas réel) » à vérifier

La situation locale [(dans le cas réel)] est connue par la connaissance [Hodge-De Rham réel] du \(\xi_{x,\infty}^{\tau''} = (\xi_{x,\infty} |\mathbb{R})\), muni de \(\bar{\tau} = \tau'\) involution […], [qui est \(\mathbb{R}\)-linéaire sur le dit espace], ou mieux par celle de \(\tau = \tau''\) opérant sur \(\xi_{x,\infty}^{\tau'} \simeq \xi_{x,\mathbb{R}}\), i.e. […] de \(\tau\) sur \(\xi_{x,\mathbb{Z}}\), dont on déduit […] [l'opération de] \[\boxed{\tau \text{ sur } \xi_{x,\ell}}\] [or c'est là l'élément de \(\pi_1(x)\), Frobenius en la place à l'infini réelle !] à vérifier un trait vertical dans la marge gauche marque ces deux dernières lignes ; le « à vérifier » de la marge est répété à leur hauteur

204Ainsi, \(\pi_1(x)\) n'opère trivialement ni sur \(\xi_{x,\mathbb{Z}}\), ni a fortiori sur \(\xi_{x,\mathbb{R}}\), mais l'élément \(f_\infty\) de \(\pi_1(x)\) (Frobenius infini) opère sur \(\xi_{x,\mathbb{Z}}\) et a fortiori sur \(\xi_{x,\mathbb{R}}\) ; on le prolonge linéairement en \(\tau = f_\infty\) …

N.B. La conjecture de Hodge interprète la filtration induite sur la coh. rationnelle transcendante \(\xi_{x,\mathbb{Z}} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}\) [\(= \xi_{x,\mathbb{Q}}\)] par la filtration arithmétique (ou motivique, par le niveau), en termes de la position […] : la graduation [i.e. un terme de la filtration de Hodge — […] multiplicatif — et du \(f_\infty\)]. Elle s'exprime en disant que

Le niveau \(\leq \rho\) \(\Longleftrightarrow\) la partie de niveau \(\leq \rho\) dans \(\xi_{x,\mathbb{Q}}(F)\) n'est autre que \[\xi_{x,\mathbb{Q}}(F) \cap \xi_{x,\infty}(F)^{(\rho)} \cap f_\infty\, \xi_{x,\infty}(F)^{(\rho)} .\]

En particulier, les derniers termes sont intégraux [?] de \(\xi_{x,\mathbb{Q}}(F)\) sont motiviques (provenant d'un sous-motif \(F^{(\rho)}\) de \(F\)), dès que \(\xi_{x,\infty}(F)^{(\rho)}\) et \(f_\infty\,\xi_{x,\infty}(F)^{(\rho)}\) sont motiviques … […] \(\rho\), de dimension […] « niveau » la phrase « En particulier … » est peu sûre dans sa construction ; deux lignes biffées la suivent, dont on ne lit que « \(\rho\) » et « niveau », entre guillemets

206faux, cf. groupoïde fondamental sur \(\mathbb{Z}\) note oblique de sa main dans la marge gauche, entourée d'un ovale qui touche les lignes 3 à 7

Faisons varier \(x\) pt complexe (ou plus […] archimédien). Je pense que les \(\xi_{x,\mathbb{Z}}\) et les \(\xi_{x,\mathbb{R}}\) [\(\simeq \xi_{x,\mathbb{C}}\) muni de \(\tau\)] qui correspondent à des places distinctes sont non isomorphes. Quant aux \(\xi_{x,\mathbb{C}} = \xi_{x,\infty}\), eux sont, isomorphes [[…] il est] […] comme nous avons dit, il faut alg. clos ils sont isomorphes entre eux, mais non canoniquement …

NB Si on a \(p > 0\), je pense que \(T_\alpha(\mathbb{R}) = \emptyset\) en général, ce qui explique qu'il n'y ait pas […] […] de plusieurs des « composantes connexes » […] « Ramification en \(\mathbb{R}\) » … […] considérons alors …

Si vérifier s'il n'y a pas d'analogue des pts à val. dans une cat. réelle ??? la note de marge est oblique, en face du paragraphe « NB » ; le « Si » isolé reste en suspens, suivi d'un double trait horizontal

Pt motivique de \(X\) à valeurs dans un corps (ou un anneau) \(k\) : les objets de \(T(k)\). L'analogue de la fibre d'un motif en un point […] les pts forment une catégorie fibrée sur (Schémas), munie de fpqc, c'est un champ. Pour \(k\) donné, les isom. forment un torseur. Pour \(k\) donné, les isom. d'un […] \(\xi\) de \(T(k)\) sur un autre forment le […] « Touseur » est souligné et biffé en tête de ligne, puis la phrase est reprise ; elle se poursuit au feuillet 208, le 207 étant une page dactylographiée étrangère

208[…] de classes de […], ils sont [s'il y en a au moins un] d'isomorphismes […] automorphismes des premiers, qui forment les pts d'un groupe algébrique. Mais en général il peut y avoir […] des pts à valeurs dans un corps \(k\) non isomorphes. Un groupe de Galois opère […] sur l'ens. des pts à valeurs dans \(k\). Si \(k\) est […], les pts à val. dans \(k\), formant […], […] les […] divisent […] des […] […] \(2\) (plus) groupes […] Aut\((\xi)\).

sur la page, les deux premières lignes sont réunies par une grande accolade à gauche ; la dernière réserve est « corps de car. \(p\) », ajoutée au bout de la ligne des points de Witt

210Questions

À voir « \(F, V\) », « \(\mathbb{R}\) », « \(\mathbb{C}\) avec \(f_\infty\) » sont entourés sur la page ; « F » a été écrit sur un premier signe. Une accolade à gauche réunit les trois questions, et un long trait vertical descend dans la marge jusqu'au bas du feuillet ; « À voir » est écrit obliquement dans la marge gauche. La flèche ondulée part des points de car. \(p > 0\)

[…] cas \(p\)

Pts banaux : Pts à valeurs dans \(\boxed{\mathbb{Z}_\ell}\), \(\ell\) premier aux car. résiduelles, ou \(\boxed{\mathbb{Q}_\ell}\).

Cas particulier important : Pts à valeurs dans les corps finis \(\mathbb{F}_q\) correspondant aux pts à valeurs dans \(\boxed{W(\mathbb{F}_q)}\), avec structure supplémentaire \((F, V)\). les mots « Cas particulier important » et la fin de la ligne sont soulignés

Groupe fondamental motivique discret

titre de sa main, souligné, en tête du feuillet 212

212Soit \(\xi \in T(\mathbb{Z})\), on pose \[\pi_1(X, \xi) = \mathrm{Aut}(\xi) = G_\xi(\mathbb{Z}) .\]

N.B. En vertu de Borel [-Harish], il n'y a qu'un nombre fini de \(\xi \in T_\alpha(\mathbb{Z})\) possibles, pour \(\alpha\) donné. Donc on a un nb fini de groupes fondamentaux discrets. Sont-ils tous isomorphes […] […] […] ??

\[\xi \in T_{(\alpha)}(k), \quad k \text{ un anneau}\] \(M\) motif \(\in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}_\alpha\) ;

\(M_\xi\) fibre en \(\xi\), \(M_\xi = \xi(M)\) ; \[\pi_1(X,\xi) = \mathrm{Aut}(\xi), \qquad G(X,\xi) = \underline{\mathrm{Aut}}(\xi) ;\] \(G_{\cdot}\) \[\pi_1(X,\xi) \simeq G(X,\xi)(k) .\] les deux \(\pi_1(X,\xi)\) de ces formules portent un indice peu lisible, peut-être « \(\mathrm{an}\) » ou « \(0\) »

Comparaison avec \(\pi_1(X^{\mathrm{an}}, \xi)\) quand \(\xi\) provient d'un pt […] …

Ex. \(X\) connexe sur \(\mathbb{C}\), \(\xi\) défini par un pt de \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{C}\). Le foncteur \(\xi\) […] a une structure filtrée. \(\xi\) considéré comme foncteur à valeurs dans les modules […] […] \(\pi_1(X,\xi)\) muni d'une structure de Hodge […] […] …

214(Résulte de la conjonction des conj. de Hodge et de Tate [(sous forme faible)], au moins si \(X\) réduit). Caractérisation de de l'image ?? « Caractérisation de l'image » est souligné deux fois ; un groupe de cinq traits verticaux est tracé dans la marge gauche à la hauteur de ces lignes

Même conclusion si \(X\) défini sur \(k \subset \mathbb{C}\), \(k\) alg. clos, p. ex. \(k = \overline{\mathbb{Q}}\).

Analyser l'exemple de Serre de \(\pi_1\) non isomorphes

[Cas corps de base \(\mathbb{R}\) : tout pt […] [réel] définit un \(\xi_a \in T_\alpha(\mathbb{Z})\). […] un \(\xi\) isomorphe [réel ([…] […] \(\xi\) […] réel)] […] \(X\) […] […] […] […] […] […] isom. Si […] est un pt réel, alors \(\xi\) […] un […] involution d'ordre \(2\), qui […] une autre […] de \(G(X,\xi)\) compatible avec la conj. complexe de \(G(X,\xi)\). Le foncteur \[M \mapsto \bigl(\xi(M_{\mathbb{C}}),\ \text{structure de Hodge} + \text{réalification définie par } f_\infty\bigr)\] est pleinement fidèle.]

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & X \arrow[dd, no head] \\
\mathbb{C} \arrow[ur, no head] \arrow[dr, no head] & \\
 & \mathbb{R}
\end{tikzcd}

petit schéma dans la marge gauche, à la hauteur du « Cas corps de base \(\mathbb{R}\) » : \(X\) au-dessus de \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{C}\) à gauche, trois traits sans flèche

Pb étudier comment varie la structure de Hodge pour un pt [complexe] variable, en fonction de la donnée définie en le pt \(\infty\), un groupe de trois traits verticaux marque ces lignes dans la marge ; la phrase s'arrête sur la virgule au bas du feuillet

216Lien avec la variété des modules pour des motifs polarisés rigidifiés : si \(\mathcal{M}\) est une telle variété modulaire, alors un morphisme \(X \to \mathcal{M}\) est déterminé quand on connaît sa valeur en un seul point, plus l'application \(\pi_1(X) \to \pi_1(\mathcal{M})\) …

C'est une propriété intrinsèque importante de \(\mathcal{M}\), et une propriété de cette nature mérite d'être étudiée pour les groupes unités … Peut-être les […] […] [intervention] […] dites […] [variétés] modulaires pour certains types de motifs.

Introduire la notion de schéma pointé [motiviquement], [(i.e. dans un anneau \(k\))] et morphismes de tels, qui définissent des morphismes correspondants pour les \[G(X,\xi) \to G(Y,\eta),\] donc pour \[G(X,\xi)(k) = \pi_1(X,\xi) \to G(Y,\eta)(k) = \pi_1(Y,\eta) .\]

218feuillet très repris : lignes biffées, insertions reliées par des boucles ; on transcrit la couche qui subsiste

\(X\) […] variété de type fini [univers.] universellement […] sur un corps \(k\), \(v, w\) deux places archimédiennes de \(k\) \(X\), d'où foncteurs fibres \(\xi_v^{\mathbb{Z}}, \xi_w^{\mathbb{Z}}\). Question : a) [Sont-ils] isomorphes ? b) N'est-il […] que [Quand […] […]] [mult.] […] pour les sous-catégories de t.f. de \(\mathcal{M}(X)\), les restrictions de ces foncteurs à \(\mathcal{M}_\alpha(X)\) soient isomorphes ?

N.B. Nous pouvons supposer, quitte à remplacer \(k\) par sa clôture la clôture alg. de \(k\) dans \(k(X)\), que \(k\) est alg. clos dans \(k(X)\) [utiliser le fait \(X\) universel !], donc \(X\) géom. irréd. sur \(k\). Soit \(k_0\) la clôture alg. de \(\mathbb{Q}\) dans \(k\). suivent deux lignes et demie biffées et encadrées d'une boucle, où se lisent « le corps », « des places (= […]) », « […] sur \(k_0\) » ; puis, au-dessus d'une ligne « 1) \(k_0\) […] fini dans \(k\) » également biffée, l'insertion « contient la clôture alg. \(E\) de \(\mathbb{Q}\) dans \(k\) (p. ex. \(k_0\) alg. fini dans \(k\)). Alors »

1°) si \(X\) est défini sur \(k_0\).

a) \(\xi_v^{\mathbb{Z}} \mid \mathcal{M}_\alpha(X) \simeq \xi_w^{\mathbb{Z}} \mid \mathcal{M}_\alpha(X)\) pour \(\forall \alpha\).

En effet, \(X\) et \(\mathcal{M}_\alpha(X)\) proviennent de \(X_0\), [\(\mathcal{M}_\alpha(X_0)\)], de type fini […] \(X_0 \to \operatorname{Spec} A_0\) fid. plat […] [\(A_0 \subset k\)] de type fini sur \(k_0\), et \(\mathbb{Q}\) est canoniquement […] ; on en déduit […] \(k = E_0\), […] […] on obtient le résultat voulu grâce au groupe fondamental transcendant. […] « \(\mathcal{M}_\alpha(X_0)\) » est au-dessus de la ligne ; « \(A_0\) », « \(k_0\) » sont écrits en surcharge d'autres lettres

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & X_0 \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & X \arrow[d, no head] \\
k_0 \arrow[r, no head] & A_0 \arrow[r, no head] & k
\end{tikzcd}

schéma de la marge gauche ; au-dessous, un second schéma du même genre (\(X_0\), \(X\), \(E\), \(k_0\), \(A_0\), \(k\), \(\mathbb{Q}\)) est couvert de hachures et de traits, illisible

b) Si […] [\(v, w\) coïncident sur \(k_0\)], […] […] \(\xi_v^{\mathbb{Z}} \simeq \xi_w^{\mathbb{Z}}\). sinon, […] […] \(\xi_v^{\mathbb{Z}} \not\simeq \xi_w^{\mathbb{Z}}\) ; […] deux rédactions superposées de b), la seconde biffée ; on transcrit ce qui survit, avec réserve

on peut supposer \(X_0 \to \operatorname{Spec} A_0\) fid. plat à fibres connexes, et \(\operatorname{Spec}(A_0) \to k_0\) à fibres connexes, donc \(X_0 \to \operatorname{Spec} k_0\) à fibres connexes. note en bas du feuillet, marquée d'un trait à gauche

220[dénombrable (p. ex. de t.f. sur \(\mathbb{Q}\))] […] […] de génération […], on voit encore que \(\xi_v^{\mathbb{Z}} \simeq \xi_w^{\mathbb{Z}}\). En effet, \(k\) est réunion filtrante d'une suite [[…]] \(A_i\) de sous-\(k_0\)-algèbres de type fini, où l'on peut supposer les morphismes de transition \(\operatorname{Spec} A_j \to \operatorname{Spec} A_i\) lisses à fibres géom. connexes, donc aussi les \(X_j \to X_i\), donc aussi les \(X_{j\mathbb{C}} \to X_{i\mathbb{C}}\). Or si des pts \(x_i, y_i\) des \(X_{i\mathbb{C}}\), s'envoyant les uns sur les autres par les morphismes de transition, et qui […] la limite […] de la connexité des fibres, […] pour les morphismes de transition \[\pi^1(x_j, y_j) \to \pi^1(x_i, y_i)\] sont surjectifs. Donc \(\varprojlim \pi^1(x_i, y_i) \neq \emptyset\), cqfd.

Si \(k\) pas dénombrable, [on se ramène au cas] […] sur \(E\).

2) \(E\) \(\neq k_0\) alg. fini dans \(k\). Alors je pense qu'il existe \(\alpha\) tel que […] \[\xi_v^{\mathbb{Z}} \mid \mathcal{M}_\alpha(X) \not\simeq \xi_w^{\mathbb{Z}} \mid \mathcal{M}_\alpha(X) .\] On peut supposer que \(X = \operatorname{Spec}\) \(k\), \(k\) extension finie de \(\mathbb{Q}\). la lettre après « Spec » est écrite en surcharge d'un \(E\). Le reste du feuillet — trois lignes et un cadre — est biffé ; on y lit « \(\mathbb{Q}\) » à deux reprises. Dans la marge gauche, une formule en \(\xi_v^{\mathbb{Z}}(M)\), \(\xi_w^{\mathbb{Z}}(M)\) est couverte de traits. Le lot 12 s'ouvre (feuillet 222) sur « Il s'agirait de construire \(X\) projectif lisse sur \(k\) … », qui en est vraisemblablement la suite