Fonds Grothendieck, cote n° 15, pages 201–220

En plus de la structure entière sur le [foncteur] de Hodge-De Rham, relatif à un pt complexe, il faut signaler la décomposition en types, i.e. graduation de nature transcendante (elle est compatible avec la filtration canonique). Une telle [est déterminée via filtration] par cette dernière [par l'opération] involution [\tau ½ linéaire] \tau' dans \xi_{x,\infty}, provenant de l'écriture \xi_{x,\infty} = \xi_{x,\mathbb{R}} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \quad\text{où}\quad \xi_{x,\mathbb{R}} \simeq \xi_{x,\mathbb{Z}} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R} . « par l'opération » est écrit au-dessus de la ligne, en face d'un mot biffé ; « \tau ½ linéaire » est ajouté au-dessus de « involution »

Si k(x) est réel, on a une autre application ½ linéaire involutive \tau'', provenant de \xi_{x,\infty} \simeq \xi_{x,\infty\,\mathbb{R}} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} et \tau sur (\xi_{x,\mathbb{Z}})_{\mathbb{C}} n'est autre que \tau'\tau'' \tau = \tau'\tau'' = \tau''\tau' sous \tau' il écrit « ½ linéaire transcendante », sous \tau'' « ½ linéaire algébrique (dans le cas réel) » à vérifier

La situation locale [(dans le cas réel)] est connue par la connaissance [Hodge-De Rham réel] du \xi_{x,\infty}^{\tau''} = (\xi_{x,\infty} |\mathbb{R}), muni de \bar{\tau} = \tau' involution , [qui est \mathbb{R}-linéaire sur le dit espace], ou mieux par celle de \tau = \tau'' opérant sur \xi_{x,\infty}^{\tau'} \simeq \xi_{x,\mathbb{R}}, i.e. de \tau sur \xi_{x,\mathbb{Z}}, dont on déduit [l'opération de] \boxed{\tau \text{ sur } \xi_{x,\ell}} [or c'est là l'élément de \pi_1(x), Frobenius en la place à l'infini réelle !] à vérifier un trait vertical dans la marge gauche marque ces deux dernières lignes ; le « à vérifier » de la marge est répété à leur hauteur

Ainsi, \pi_1(x) n'opère trivialement ni sur \xi_{x,\mathbb{Z}}, ni a fortiori sur \xi_{x,\mathbb{R}}, mais l'élément f_\infty de \pi_1(x) (Frobenius infini) opère sur \xi_{x,\mathbb{Z}} et a fortiori sur \xi_{x,\mathbb{R}} ; on le prolonge linéairement en \tau = f_\infty …

N.B. La conjecture de Hodge interprète la filtration induite sur la coh. rationnelle transcendante \xi_{x,\mathbb{Z}} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} [= \xi_{x,\mathbb{Q}}] par la filtration arithmétique (ou motivique, par le niveau), en termes de la position : la graduation [i.e. un terme de la filtration de Hodge — multiplicatif — et du f_\infty]. Elle s'exprime en disant que

~~Le niveau \leq \rho \Longleftrightarrow~~ la partie de niveau \leq \rho dans \xi_{x,\mathbb{Q}}(F) n'est autre que \xi_{x,\mathbb{Q}}(F) \cap \xi_{x,\infty}(F)^{(\rho)} \cap f_\infty\, \xi_{x,\infty}(F)^{(\rho)} .

En particulier, les derniers termes sont intégraux [?] de \xi_{x,\mathbb{Q}}(F) sont motiviques (provenant d'un sous-motif F^{(\rho)} de F), dès que \xi_{x,\infty}(F)^{(\rho)} et f_\infty\,\xi_{x,\infty}(F)^{(\rho)} sont motiviques … ~~\rho, de dimension « niveau »~~ la phrase « En particulier … » est peu sûre dans sa construction ; deux lignes biffées la suivent, dont on ne lit que « \rho » et « niveau », entre guillemets

faux, cf. groupoïde fondamental sur \mathbb{Z} note oblique de sa main dans la marge gauche, entourée d'un ovale qui touche les lignes 3 à 7

Faisons varier x pt complexe (ou plus archimédien). Je pense que les \xi_{x,\mathbb{Z}} et les \xi_{x,\mathbb{R}} [\simeq \xi_{x,\mathbb{C}} muni de \tau] qui correspondent à des places distinctes sont non isomorphes. Quant aux \xi_{x,\mathbb{C}} = \xi_{x,\infty}, eux sont, ~~isomorphes~~ [ il est] ~~comme nous avons dit, il faut~~ alg. clos ils sont isomorphes entre eux, mais non canoniquement …

NB Si on a p > 0, je pense que T_\alpha(\mathbb{R}) = \emptyset en général, ce qui explique qu'il n'y ait pas de plusieurs des « composantes connexes » « Ramification en \mathbb{R} » … considérons alors …

Si vérifier s'il n'y a pas d'analogue des pts à val. dans une cat. réelle ??? la note de marge est oblique, en face du paragraphe « NB » ; le « Si » isolé reste en suspens, suivi d'un double trait horizontal

Pt motivique de X à valeurs dans un corps (ou un anneau) k : les objets de T(k). L'analogue de la fibre d'un motif en un point les pts forment une catégorie fibrée sur (Schémas), munie de fpqc, c'est un champ. Pour k donné, les isom. forment un torseur. Pour k donné, les isom. d'un \xi de T(k) sur un autre forment le « Touseur » est souligné et biffé en tête de ligne, puis la phrase est reprise ; elle se poursuit au feuillet 208, le 207 étant une page dactylographiée étrangère

de classes de , ils sont [s'il y en a au moins un] d'isomorphismes automorphismes des premiers, qui forment les pts d'un groupe algébrique. Mais en général il peut y avoir des pts à valeurs dans un corps k non isomorphes. Un groupe de Galois opère sur l'ens. des pts à valeurs dans k. Si k est , les pts à val. dans k, formant , les divisent des 2 (plus) groupes Aut(\xi).

Pts \ell-adiques : valeurs \mathbb{Z}_\ell ou \mathbb{Q}_\ell Pts transcendants : valeurs \mathbb{R} ~~ou \mathbb{C}~~ voire \mathbb{Z} [structure supplémentaire]. Il semble que ces pts correspondent biunivoquement aux pts de X à valeurs dans \mathbb{C}, mod la conjugaison Pts Hodge-de Rham : valeurs dans k quelconque Pts de Witt : valeurs W_p(k) [k corps de car. p]

sur la page, les deux premières lignes sont réunies par une grande accolade à gauche ; la dernière réserve est « corps de car. p », ajoutée au bout de la ligne des points de Witt

Questions

pts [de X] à val. dans k [du cas p > 0] : correspondant aux [pts] de X à val. dans W(k) (ou corps des fractions ?), pts motiviques avec structure supplémentaire \boxed{F, V} [foncteurs des groupes formels] \rightsquigarrow pts motiviques généralisés (sur une cat. divisée) dans k, avec structure filtrée ! pts [de X] à val. dans k de car. 0 : correspondant aux pts motiviques dans k, avec structure filtrée pts [de X] à valeurs en \mathbb{C} mod la conj. complexe (= plus) \longleftrightarrow pts [motiviques] à valeurs dans \boxed{\mathbb{R}}, ou à valeurs dans \boxed{\mathbb{C} \text{ avec } f_\infty}, ou à valeurs dans \mathbb{Z}

À voir « F, V », « \mathbb{R} », « \mathbb{C} avec f_\infty » sont entourés sur la page ; « F » a été écrit sur un premier signe. Une accolade à gauche réunit les trois questions, et un long trait vertical descend dans la marge jusqu'au bas du feuillet ; « À voir » est écrit obliquement dans la marge gauche. La flèche ondulée part des points de car. p > 0

cas p

Pts banaux : Pts à valeurs dans \boxed{\mathbb{Z}_\ell}, \ell premier aux car. résiduelles, ou \boxed{\mathbb{Q}_\ell}.

Cas particulier important : Pts à valeurs dans les corps finis \mathbb{F}_q correspondant aux pts à valeurs dans \boxed{W(\mathbb{F}_q)}, avec structure supplémentaire (F, V). les mots « Cas particulier important » et la fin de la ligne sont soulignés

Groupe fondamental motivique discret

titre de sa main, souligné, en tête du feuillet 212

Soit \xi \in T(\mathbb{Z}), on pose \pi_1(X, \xi) = \mathrm{Aut}(\xi) = G_\xi(\mathbb{Z}) .

N.B. En vertu de Borel [-Harish], il n'y a qu'un nombre fini de \xi \in T_\alpha(\mathbb{Z}) possibles, pour \alpha donné. Donc on a un nb fini de groupes fondamentaux discrets. Sont-ils tous isomorphes ??

\xi \in T_{(\alpha)}(k), \quad k \text{ un anneau} M motif \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{M}_\alpha ;

M_\xi fibre en \xi, M_\xi = \xi(M) ; \pi_1(X,\xi) = \mathrm{Aut}(\xi), \qquad G(X,\xi) = \underline{\mathrm{Aut}}(\xi) ; ~~G_{\cdot}~~ \pi_1(X,\xi) \simeq G(X,\xi)(k) . les deux \pi_1(X,\xi) de ces formules portent un indice peu lisible, peut-être « \mathrm{an} » ou « 0 »

Comparaison avec \pi_1(X^{\mathrm{an}}, \xi) quand \xi provient d'un pt …

Ex. X connexe sur \mathbb{C}, \xi défini par un pt de X à valeurs dans \mathbb{C}. Le foncteur \xi a une structure filtrée. \xi considéré comme foncteur à valeurs dans les modules \pi_1(X,\xi) muni d'une structure de Hodge …

(Résulte de la conjonction des conj. de Hodge et de Tate [(sous forme faible)], au moins si X réduit). Caractérisation de de l'image ?? « Caractérisation de l'image » est souligné deux fois ; un groupe de cinq traits verticaux est tracé dans la marge gauche à la hauteur de ces lignes

Même conclusion si X défini sur k \subset \mathbb{C}, k alg. clos, p. ex. k = \overline{\mathbb{Q}}.

Analyser l'exemple de Serre de \pi_1 non isomorphes

[Cas corps de base \mathbb{R} : tout pt [réel] définit un \xi_a \in T_\alpha(\mathbb{Z}). un \xi isomorphe [réel ( \xi réel)] X ~~isom.~~ Si est un pt réel, alors \xi un involution d'ordre 2, qui une autre de G(X,\xi) compatible avec la conj. complexe de G(X,\xi). Le foncteur M \mapsto \bigl(\xi(M_{\mathbb{C}}),\ \text{structure de Hodge} + \text{réalification définie par } f_\infty\bigr) est pleinement fidèle.]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & X \arrow[dd, no head] \\ \mathbb{C} \arrow[ur, no head] \arrow[dr, no head] & \\ & \mathbb{R} \end{tikzcd}

petit schéma dans la marge gauche, à la hauteur du « Cas corps de base \mathbb{R} » : X au-dessus de \mathbb{R}, \mathbb{C} à gauche, trois traits sans flèche

Pb étudier comment varie la structure de Hodge pour un pt [complexe] variable, en fonction de la donnée définie en le pt \infty, un groupe de trois traits verticaux marque ces lignes dans la marge ; la phrase s'arrête sur la virgule au bas du feuillet

Lien avec la variété des modules pour des motifs polarisés rigidifiés : si \mathcal{M} est une telle variété modulaire, alors un morphisme X \to \mathcal{M} est déterminé quand on connaît sa valeur en un seul point, plus l'application \pi_1(X) \to \pi_1(\mathcal{M}) …

C'est une propriété intrinsèque importante de \mathcal{M}, et une propriété de cette nature mérite d'être étudiée pour les groupes unités … Peut-être les [intervention] dites [variétés] modulaires pour certains types de motifs.

Introduire la notion de schéma pointé [motiviquement], [(i.e. dans un anneau k)] et morphismes de tels, qui définissent des morphismes correspondants pour les G(X,\xi) \to G(Y,\eta), donc pour G(X,\xi)(k) = \pi_1(X,\xi) \to G(Y,\eta)(k) = \pi_1(Y,\eta) .

feuillet très repris : lignes biffées, insertions reliées par des boucles ; on transcrit la couche qui subsiste

X variété de type fini [univers.] universellement sur un corps k, v, w deux places archimédiennes de k X, d'où foncteurs fibres \xi_v^{\mathbb{Z}}, \xi_w^{\mathbb{Z}}. Question : a) [Sont-ils] isomorphes ? b) ~~N'est-il que~~ [Quand ] [mult.] pour les sous-catégories de t.f. de \mathcal{M}(X), les restrictions de ces foncteurs à \mathcal{M}_\alpha(X) soient isomorphes ?

N.B. Nous pouvons supposer, quitte à remplacer k par ~~sa clôture~~ la clôture alg. de k dans k(X), que k est alg. clos dans k(X) [utiliser le fait X universel !], donc X géom. irréd. sur k. Soit k_0 la clôture alg. de \mathbb{Q} dans k. suivent deux lignes et demie biffées et encadrées d'une boucle, où se lisent « le corps », « des places (= ) », « sur k_0 » ; puis, au-dessus d'une ligne « 1) k_0 fini dans k » également biffée, l'insertion « contient la clôture alg. E de \mathbb{Q} dans k (p. ex. k_0 alg. fini dans k). Alors »

1°) si X est défini sur k_0.

a) \xi_v^{\mathbb{Z}} \mid \mathcal{M}_\alpha(X) \simeq \xi_w^{\mathbb{Z}} \mid \mathcal{M}_\alpha(X) pour \forall \alpha.

En effet, X et \mathcal{M}_\alpha(X) proviennent de X_0, [\mathcal{M}_\alpha(X_0)], de type fini ~~X_0 \to \operatorname{Spec} A_0 fid. plat~~ [A_0 \subset k] de type fini sur k_0, et \mathbb{Q} est canoniquement ; on en déduit k = E_0, on obtient le résultat voulu grâce au groupe fondamental transcendant. « \mathcal{M}_\alpha(X_0) » est au-dessus de la ligne ; « A_0 », « k_0 » sont écrits en surcharge d'autres lettres

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & X_0 \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & X \arrow[d, no head] \\ k_0 \arrow[r, no head] & A_0 \arrow[r, no head] & k \end{tikzcd}

schéma de la marge gauche ; au-dessous, un second schéma du même genre (X_0, X, E, k_0, A_0, k, \mathbb{Q}) est couvert de hachures et de traits, illisible

b) Si [v, w coïncident sur k_0], \xi_v^{\mathbb{Z}} \simeq \xi_w^{\mathbb{Z}}. ~~sinon, \xi_v^{\mathbb{Z}} \not\simeq \xi_w^{\mathbb{Z}} ;~~ deux rédactions superposées de b), la seconde biffée ; on transcrit ce qui survit, avec réserve

on peut supposer X_0 \to \operatorname{Spec} A_0 fid. plat à fibres connexes, et \operatorname{Spec}(A_0) \to k_0 à fibres connexes, donc X_0 \to \operatorname{Spec} k_0 à fibres connexes. note en bas du feuillet, marquée d'un trait à gauche

[dénombrable (p. ex. de t.f. sur \mathbb{Q})] ~~de génération~~ , on voit encore que \xi_v^{\mathbb{Z}} \simeq \xi_w^{\mathbb{Z}}. En effet, k est réunion filtrante d'une ~~suite~~ [] A_i de sous-k_0-algèbres de type fini, où l'on peut supposer les morphismes de transition \operatorname{Spec} A_j \to \operatorname{Spec} A_i lisses à fibres géom. connexes, donc aussi les X_j \to X_i, donc aussi les X_{j\mathbb{C}} \to X_{i\mathbb{C}}. Or si des pts x_i, y_i des X_{i\mathbb{C}}, s'envoyant les uns sur les autres par les morphismes de transition, et qui la limite de la connexité des fibres, pour les morphismes de transition \pi^1(x_j, y_j) \to \pi^1(x_i, y_i) sont surjectifs. Donc \varprojlim \pi^1(x_i, y_i) \neq \emptyset, cqfd.

Si k pas dénombrable, [on se ramène au cas] sur E.

2) E ~~\neq k_0 alg. fini dans k~~. Alors je pense qu'il existe \alpha tel que \xi_v^{\mathbb{Z}} \mid \mathcal{M}_\alpha(X) \not\simeq \xi_w^{\mathbb{Z}} \mid \mathcal{M}_\alpha(X) . On peut supposer que X = \operatorname{Spec} k, k extension finie de \mathbb{Q}. la lettre après « Spec » est écrite en surcharge d'un E. Le reste du feuillet — trois lignes et un cadre — est biffé ; on y lit « \mathbb{Q} » à deux reprises. Dans la marge gauche, une formule en \xi_v^{\mathbb{Z}}(M), \xi_w^{\mathbb{Z}}(M) est couverte de traits. Le lot 12 s'ouvre (feuillet 222) sur « Il s'agirait de construire X projectif lisse sur k … », qui en est vraisemblablement la suite