Cote n° 15 · batch 8 · pages 141–160 · Transcription · Théorie arithmétique. Théorie de Galois des motifs (1965) : notes manuscites (s.d.), tapuscrit (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1977]
Édition de démonstration

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141la phrase interrompue au bas du feuillet 140 (lot 7) ne reprend pas ici mais en tête du feuillet 142 ; ce feuillet-ci, qui explicite la condition (iii) et donne le Corollaire 1, se lit à la suite du feuillet 142

Pour expliciter la condition (iii), il suffit donc : expliciter les tores compacts quotients du \(T\) \(V_{L}\), et prouver que ce sont les quotients de \(V_{L}/V_{L_{0}}\). i.e. […] \(V_{L_{0}}\) n'est majoré par des [tores] quotients compacts, donc en interligne, au-dessus de la fin de la ligne biffée : « sauf le premier membre » (lecture douteuse)

Le plus grand quotient compact de \(V_{L}\) est majoré par \(V_{L}/V_{L_{0}}\). Il reste : prouver que ce dernier est compact. Posons C'est trivial si \(L = L_{0}\). Sinon, (faisant \(L = K\) pour simplifier les notations), considérons i.e. que […] \(V_{L}/V_{L}\) i.e. […] [la première partie] prouver des […] \[\struck{L_{\mathbb{R}} \simeq \mathbb{R}^{r}} \qquad L_{0\mathbb{R}} = \ill{}\] tout ce paragraphe est barré de quatre longs traits obliques et, en partie, encadré ; la formule finale est laissée inachevée

Corollaire 1. Supposons \(K\) weilien, soit \(K_{0} = K \cap \mathbb{R}\). Alors \(V_{K}/V_{K_{0}}\) est compact, et \(V_{K_{0}}\) n'a d'autre [tore] quotient compact que le tore unité. L'image de \(E_{K}\) dans [De plus \(E_{K} \cap V_{K_{0}}(\mathbb{Q})\) est d'indice fini dans \(E_{K}\), i.e. (pour la première assertion)] l'image de \(E_{K}\) dans \(V_{K}/V_{K_{0}}\) est finie. « weilien » : le mot s'écrit w-a-i-l-i-e-n, précédé d'un trait d'attaque ; c'est le mot que le lot 7 (feuillet 140) transcrit « Weilien », pour le plus grand sous-corps \(L\) de \(K\) tel que \(L_{0} = L \cap \mathbb{R}\) soit d'indice \(1\) ou \(2\) dans \(L\). Il est transcrit ainsi dans tout le lot

Il suffit de prouver l'[…] analogue […] puis […] [dans \(V_{L_{0}}\) et […]] de la base \(\mathbb{Q} \to \mathbb{R}\). Alors \(K_{0\mathbb{R}} \simeq \mathbb{R}^{r}\), […] \(V_{L_{0}}\) est un [tore] déployé, donc tout quotient est déployé, donc compact seulement s'il est nul. D'autre part \(V_{K}/V_{K_{0}}\) est compact : c'est trivial si \(K = K_{0}\), sinon on a \(K_{\mathbb{R}} \simeq \mathbb{C}^{r}\), et \[V_{K}/V_{K_{0}} \simeq T_{K}/T_{K_{0}} \simeq \Bigl[\Bigl(\prod_{\mathbb{C}/\mathbb{R}} \mathbb{G}_{m}\Bigr) \big/ \mathbb{G}_{m}\Bigr]^{r} \simeq \mathbb{U}^{r}\] est compact. devant le crochet, un premier signe \(\prod\) est biffé

La dernière inclusion […] signifie que \(E_{K_{0}}\) est d'indice fini dans \(E_{K}\). Or les rangs sont respectivement, si \([K_{0} : \uncertain{K}] = r\), \(r-1\) et \(r-1\), OK. on attendrait \([K_{0} : \mathbb{Q}] = r\) ; la lettre lue est un \(K\)

(iv) \(\Longrightarrow\) (ii) Résulte immédiatement du fait que \(N_{L/K}\) applique \(E_{1K}\) dans \(E_{1L}\), et de la dernière assertion du corollaire.

142la page reprend la phrase interrompue au bas du feuillet 140 (lot 7), « et \(E_{1}\) (donc \(F\)) est un » s-groupe discret de rang \(r_{1} + r_{2} - 1\), de sorte que le quotient \(V(\mathbb{R})/F\) est compact. Il en est a fortiori de même de \(V(\mathbb{R})/\overline{F}\), donc de \(V'_{\mathbb{R}}\) qu'il majore.

(iii) \(\Longrightarrow\) (i), car si \(V'_{\mathbb{R}}\) est compact i.e. \(V'(\mathbb{R})\) compact, considérant \(V'(\mathbb{R})\) comme quotient de \(\mathbb{R}^{*+(r_{1}+r_{2}-1)} \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{r_{1}} \times \mathbb{U}^{r_{2}}\), on voit que ce sera un quotient de \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{r_{1}} \times \mathbb{U}^{r_{2}}\), or l'image de \(E_{1}\) dans ce dernier est déjà finie [l'image […]] paragraphe encadré, barré de traits obliques et d'un trait horizontal

(iii) \(\Longrightarrow\) (iv) Si \(V'_{K}\) est un tore compact, les groupes des car. à […] valeurs dans […] \(\overline{\mathbb{Q}}\) [\(\subset \mathbb{C}\)], regardés comme modules sous \[G = \mathrm{Gal}(\widetilde{K}/K)\] (\(\widetilde{K}\) \(\subset \mathbb{Q}\) une ext. de \(K\) finie galoisienne sur \(\mathbb{Q}\)) et tels que \(\tau \in G\) [la conjugaison complexe] y opère par \(-\mathrm{id}_{M}\), […] […], […] \(G'\) […] [donc est central, donc \(M\) est un \(G' = G/P\)-module]. Donc si \(G' = G/H\) est le quotient de \(G\) qui […] […] [quotient de Galois de la plus grande […] ext. weilienne] […] une extension \(K' \subset \widetilde{K}\) […] \(R \supset \mathrm{Ker}(N_{K/L} | V_{K})\) i.e. que \(V_{L}\) est un quotient de \(V_{K}\). Prouvons d'abord que […] considérons […] \(\tau' = \mathrm{Im}(\tau \mapsto G')\) est dans le centre de \(G'\), donc \(K'\) est weilien. passage très surchargé, barré de plusieurs traits et en partie encadré ; seul le squelette en est rendu

\(I_{K}\) [\(= G/Q\)] espace homogène sous \(G\) des hom. de \(K\) dans \(\overline{\mathbb{Q}}\) ; \(\mathbb{Z}[I_{K}]\) [groupe libre engendré par \(I\)] groupe des caractères de \(T_{K}\) à valeurs dans \(\overline{\mathbb{Q}}\), comme \(G\)-module. \(N \subset \mathbb{Z}[I]\) tel que \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}[I_{K}]\) fonctions constantes sur \(I\).

\begin{tikzcd}
\mathbb{Z} \arrow[r, hook] & N \arrow[r, hook] & \mathbb{Z}[I_{K}] \\
\mathbb{Z} \arrow[u, "\wr" description, no head] \arrow[rr, hook] & & \mathbb{Z}[I_{L}] \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

\(N\) sous \(G\)-module, tel que \(\tau\) opère sur \(N/\mathbb{Z}\) par \(-\mathrm{id}\), donc \(P\) y opère trivialement ; donc \(H\) opère trivialement sur \(N\), donc \(N \subset \mathbb{Z}[I_{K}]^{P} = \mathbb{Z}[P \backslash I_{K}]\). […] Or \(P \backslash I_{K} = I_{L}\), donc on trouve \(N \subset \mathbb{Z}[I_{L}]\), ce qui signifie que le quotient \(V'\) de \(V_{K}\) est majoré par \(V_{L}\).

treillis de corps dans la marge gauche :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
K \arrow[r, no head, "Q"] \arrow[d, no head, "H"'] & \widetilde{K} \arrow[d, no head, "P"] \\
L = K \cap K' \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & K' \\
\mathbb{Q} \arrow[ur, no head, "G' = G/P"'] \arrow[uur, no head, bend right=40, "G"'] &
\end{tikzcd}

\(I_{K} = G/Q\), \(I_{L} = G/PQ = P \backslash I_{K}\) ; \(\tau \in G\) d'ordre \(2\) dans la figure, les deux arcs partent de \(\mathbb{Q}\) et aboutissent à \(K'\) et à \(\widetilde{K}\) ; au-dessus de \(K\), un \(\widetilde{K}\) biffé

143Corollaire 2. Parmi les \(V'\) satisfaisant les conditions de la proposition, il y en a un maximal [\(V_{K}^{\mathrm{cpt}}\) […] \(V^{\mathrm{cpt}}\)], correspondant à un \(R\) minimal. Le \(R\) correspondant est connu. Avec les notations de (iv), [\(N_{L/K}\) induit un isom. \(V_{K}^{\mathrm{cpt}} \simeq V_{L}/V_{L_{0}} = V_{L}^{\mathrm{cpt}}\), le \(R\) correspondant] c'est aussi le produit \([\mathrm{Ker}(N_{K/L})] \cdot V_{L_{0}}\). et l'hom[…]

Seule la dernière assertion demande encore une vérification. Comme \(N_{K/L}(\lambda) = \lambda^{r}\) si \(\lambda \in L\), on voit que le \(R\) cherché contient \(V_{L_{0}}\), et aussi bien sûr \(\mathrm{Ker}(N_{K/L})\). Ou bien donc \(R\) contient le produit \(R'\). Alors Comme bien \(\lambda \mapsto \lambda^{r}\) de \(V_{L_{0}}\) dans lui-même est un épimorphisme, on trouve que \(N_{L/K}\) induit un isom. \[V_{K} / (\mathrm{Ker}(N_{K/L}) \cdot V_{L_{0}}) \simeq V_{L} / N_{L/K}(V_{L_{0}}) \simeq V_{L}/V_{L_{0}} ,\] ce qui établit le corollaire 2.

On désigne par \(S^{\circ}_{K}\) le quotient \(T_{K}/R\), donc on a une suite exacte \[1 \longrightarrow V'_{K} \longrightarrow S^{\circ}_{K} \xrightarrow{\;\varepsilon\;} \mathbb{G}_{m} \longrightarrow 1\] déduite d'une suite exacte

\begin{tikzcd}
1 \arrow[r] & V_{K} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{can}"] & T_{K} \arrow[r, "N_{K}"] \arrow[d, "\mathrm{can}"] & \mathbb{G}_{m} \arrow[r] \arrow[d, no head] & 1 \\
1 \arrow[r] & V'_{K} \arrow[r] & S^{\circ}_{K} \arrow[r] & \mathbb{G}_{m} \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

\((*)\) le trait vertical de droite est un double trait d'égalité

Pour \(K\) variable, \(S^{\circ}_{K}\) est contravariant en \(K\) pour \(N_{K'/K}\), ainsi que le diagramme \((*)\) [[…] la fonction du plus gd quotient cpct est fonctorielle en le tore \(T\) sur \(\mathbb{Q}\)]. Il est aussi covariant […] par \(i_{K,K'}\) [même raison], mais bien sûr cette injection n'est plus compatible avec \(\varepsilon\), on a de façon précise, pour \(K \subset K'\)

144

\begin{tikzcd}
1 \arrow[r] & V'_{K} \arrow[r] \arrow[d] & S^{\circ}_{K} \arrow[r] \arrow[d, "i_{K/K'}"] & \mathbb{G}_{m} \arrow[r] \arrow[d, "\lambda \mapsto \lambda^{r}"] & 1 \\
1 \arrow[r] & V'_{K'} \arrow[r] & S^{\circ}_{K'} \arrow[r] & \mathbb{G}_{m} \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

\((**)\) \(r = [K' : K]\)

On trouve :

Corollaire 3. Le système projectif des \(S^{\circ}_{K}\), pour \(K\) sous-extension finie de \(\overline{\mathbb{Q}}\), est essentiellement […] ([…] […]), équivalent au syst. projectif des \(S^{\circ}_{K}\) pour \(K \subset \overline{\mathbb{Q}}\), \(K\) weilien (et galoisien […]), on trouve un syst. projectif des \(T_{K}\) \(T_{K}/V_{K_{0}}\), où \(K \subset \overline{\mathbb{Q}}\) est weilien et \(K_{0} = K \cap \mathbb{R}\).

Corollaire 4. Soit \(K\) ext. finie de \(\mathbb{Q}\). Il existe un et un seul hom \[\mathbb{G}_{m} \xrightarrow{\;i\;} S^{\circ}_{K}\] tel que \(\varepsilon i(\lambda) = \lambda^{2}\).

Comme \(\mathrm{Ker}\,\varepsilon\) est compact, et les hom \(\mathbb{G}_{m} \to \mathrm{Ker}\,\varepsilon\) sont nuls, l'unicité est claire. Pour l'existence, on peut donc supposer que \(K\) est weilien. Si […] [i.e. \(K_{0} = K\)] \(K \subset \mathbb{R}\), on a \(S^{\circ}_{K} \xrightarrow[\sim]{\;\varepsilon\;} \mathbb{G}_{m}\), et il suffit de prendre \(i(\lambda) = \lambda^{2}\). Si \(K_{0} \neq K\), alors on prend pour \(i = i_{K_{0},K} : S^{\circ}_{K_{0}} = \mathbb{G}_{m} \to S^{\circ}_{K}\), en utilisant la commutativité de \((**)\) (où \(r = 2\)).

§ 2

« § 2 », entouré, dans la marge gauche du feuillet 146

146[…] […] \(\Sigma\) de \(E \otimes K\) Soient \(E, K\) deux extensions de \(\mathbb{Q}\), \(\Sigma\) \(\mathfrak{A}\) un idéal de \(E \otimes_{\mathbb{Q}} K\) [\(= E_{K}\)], \(\overline{K}\) une clôture algébrique de \(K\). On dit que \(\mathfrak{A}\) définit une CM-structure sur \(E\), relativement à \(K\), si l'idéal \(\mathfrak{A}'\) de \(E \otimes_{\mathbb{Q}} \overline{K} = E_{K} \otimes_{K} \overline{K}\) engendré par \(\mathfrak{A}\) correspond à un sous-ensemble \(\Sigma\) de l'ensemble […] \[\mathrm{Spec}\, E_{\overline{K}} \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{alg}}(E, \overline{K})\] qui est tel que pour tout élément \(\tau\) de \(G = \mathrm{Gal}(\overline{K}/K)\) qui est une conjugaison, on ait \(\tau(\Sigma) = (\mathrm{Spec}\, E_{\overline{K}}) - \Sigma\). Notez que ceci implique que pour \(g \in G\), on a aussi \(g \tau g^{-1}(\Sigma) = (\mathrm{Spec}\, E_{\overline{K}}) - \Sigma = \tau \Sigma\), donc \(\tau^{-1} g \tau g^{-1}(\Sigma) = \Sigma\), donc \(\Sigma\) est invariant […] par le s-groupe […] fermé invariant \(H\) engendré par les \(\tau^{-1} g \tau g^{-1}\). Cela signifie que, si \(K_{0} \subset K\) est le corps de définition de l'idéal \(\mathfrak{A}\) de \(E_{K}\), le corps \(K_{0}\) [\(= K_{\Sigma}\)] est weilien ; et il est d'ailleurs weilien non réel, car \(\tau(\Sigma) \neq \Sigma\) [puisque sinon on aurait \(\mathrm{Spec}\, E_{\overline{K}} = \emptyset\), ce qui n'est pas]. Alors le groupe de […] \(\overline{\mathbb{Q}}\).

Soit \(\overline{\mathbb{Q}}\) une clôture algébrique de \(\mathbb{Q}\) Supposons maintenant également \(K\) fini sur \(\mathbb{Q}\), [de] groupe de Galois \(G\). Alors \(E, K\) correspondent à des espaces homogènes compacts sous \(G\), soient \(I_{E}, I_{K}\). La donnée de \(\mathfrak{A}\) correspond à celle d'une partie fermée de \(I_{E} \times I_{K}\), invariante par \(G\). Choisissons un plongement \(K \subset \overline{\mathbb{Q}}\), donc \(I_{K} \simeq G/Q\), \(Q\) le sous-groupe de \(G\) qui laisse fixe les éléments de \(K\). L'hypothèse Remplaçant Prenant \(K\) pour \(\overline{K}\) [\(\overline{\mathbb{Q}} =\)] (pour […] des […] \(\overline{\mathbb{Q}}\)), et \(\Sigma\) […] \(I_{K}\) pour son pt origine \(y\) […] [le plongement \(y\) de \(K\) dans \(\overline{\mathbb{Q}}\)], soit \(\Sigma' = (I_{E} \times I_{K}) - \Sigma\), d'où \(\Sigma'_{y}\). [Écrire] \(\Sigma_{y} = \Sigma \cap (I_{E} \times y)\). L'hypothèse est que pour tte conjugaison \(\tau \in G\), \((\tau \times 1)(\Sigma \cap (I_{E} \times y)) = (I_{E} - \Sigma)\) \[(\tau \times 1)\Sigma_{y} = \Sigma'_{y}\] \((\tau \times 1)\Sigma_{y} = I_{E} - \Sigma_{y}\) i.e. \((\tau \times 1)\Sigma_{y} \subset I_{E} - \Sigma\), \((\tau \times 1)\Sigma'_{y} \subset I_{E} - \Sigma_{y}\) pour […] écrire aussi le bas de la page est une suite d'essais biffés de la même condition

147Il est évident que la condition envisagée ne dépend pas du choix de l'immersion \(K \hookrightarrow \overline{\mathbb{Q}}\), […] i.e. du choix de \(y\), et peut donc s'écrire \[(\tau \times 1)\Sigma = \Sigma' \qquad \text{pour tte conjugaison } \tau\] \((\ill{})\) Je dis qu'elle équivaut aussi à \[(1 \times \tau)\Sigma \uncertain{\subset} \Sigma' \qquad \text{pour tte conjugaison } \tau\] le signe entre \(\Sigma\) et \(\Sigma'\) dans la seconde formule ressemble à \(\subset\) ; dans la première, un \(=\) appuyé recouvre peut-être un autre signe i.e.,

En effet, comme \((\tau \times \tau)\Sigma = \Sigma\), la relation envisagée équivaut à \[(\tau \times 1)(\tau \times \tau)\Sigma = \Sigma' \quad \text{i.e.} \quad (1 \times \tau)\Sigma = \Sigma' .\] Donc la condition envisagée est symétrique en \(E, K\).

Considérons maintenant le sous-corps \(K_{0}\) de \(K\), corps des invariants du sous-groupe \(H \subset G\) [le corps des invariants […]], [formé des \(g \in G\) tels que] définition de \(\Sigma_{y}\) : c'est \((g \times 1)\Sigma_{y} = \Sigma'_{y}\), ce qui équivaut (comme \(K_{0}\) dépend de l'origine […]) à \((g \times 1)\Sigma = \Sigma'\) […] [\(H\) doit être indépendant du choix de \(y\)] : \((g \times 1)(g \times g^{-1})\Sigma_{y} = \Sigma_{y}\) [vérification : \(\Sigma_{y'} = (h \times h)\Sigma_{y}\) pour \(h\) tel que \(hy = y'\), donc \((g \times 1)\Sigma_{y'} = (g \times 1)(h \times h)\Sigma_{y} = (1 \times h)(g \times 1)\Sigma_{y} = (1 \times h)\Sigma'_{y} = \Sigma'_{y'}\)], \((g \times 1)(g^{-1} \times g^{-1})\Sigma = \Sigma'\), et comme \(\Sigma = (g^{-1} \times g^{-1})\Sigma\), cela équivaut [à] \((1 \times g)\Sigma = \Sigma\)]. Donc i.e. \((1 \times g^{-1})\Sigma = \Sigma\) […] […] tout ce passage est encadré et barré de six longs traits obliques ; il est très surchargé et n'est rendu qu'en substance

NB Soit \(\mathfrak{A}\) une structure CM sur le couple \(E, K\), et considérons \(E \hookrightarrow E'\), \(K \hookrightarrow K'\) des extensions de corps. Alors l'idéal \(\mathfrak{A}' = \mathfrak{A}(E' \otimes K')\) de \(E' \otimes K'\) est une structure CM de Sh.-Tan. sur \(E', K'\), et réciproquement la théorie de Galois [\(E \otimes K\)] un idéal CM sur \(E, K\) considérons nous dit Soit \(\mathfrak{A}\) structure un « corps de définition » comme idéal dans \(E_{K}\) ; \(\mathfrak{A}\) […] […] invariant par extension \(K_{0} \subset K\). Je dis que celui-ci est invariant par extension \(E \to E'\) (vérification triviale). De ceci

148résulte qu'il y a un plus petit couple \((E_{0}, K_{0})\) (\(E_{0} \subset E\), \(K_{0} \subset K\)) tel que \(\mathfrak{A}\) provienne d'un idéal de \(E_{0} \otimes K_{0}\). On a vu que \(E_{0}, K_{0}\) sont weiliens […]. Si \(E_{0}\) est fini sur \(\mathbb{Q}\), de degré \(2d\), alors \(K_{0}\) est fini sur \(\mathbb{Q}\), de degré \(\leq \binom{2d}{d}\) [car le s-groupe des \(g \in G\) qui invariant une partie à \(d\) éléments dans un ens. à \(2d\) éléments est d'[…] indice \(\leq \binom{2d}{d}\)]. Si \(K\) […] \(K\) Si \(E\) fini sur \(\mathbb{Q}\) de degré \(2d\), alors \(\mathfrak{A}(\Sigma) = (E \otimes K)/\mathfrak{A}\) est fini sur \(K\) de degré \(d\), et réciproquement.

Soient \(E, K\) deux extensions de \(\mathbb{Q}\), \(t\) un bimodule sur \(E, K\), i.e. un module sur \(E \otimes K\). On dit que \(t\) est du type CM si \(t\) est monogène, et son annulateur est un \(\mathfrak{A}\) de type CM. Les bimodules de type CM sur \(E, K\) sont donc (à isom. près) paramétrés par les structures CM \(\Sigma\) sur le couple \(E, K\). (si \(E \otimes K\) fini sur \(\mathbb{Q}\), i.e. \(t\) fini sur \(E\)), \(\Sigma\) en surcharge d'un \(\mathfrak{A}\)

Un tel \(t\) définit [un hom] \[\Psi_{\Sigma} : T_{K} \longrightarrow T_{E}\] dont l'action, sur les pts rationnels sur \(\mathbb{Q}\) (qui […] […] idèles) est donnée par \[\Psi_{\Sigma}(x) = \mathrm{d\acute{e}t}_{t/E}(x_{t}) ,\] […] fonctions caractéristiques.

Ou si on préfère, en termes de la fonction caractéristique […] \(1_{\Sigma}\) de \(\Sigma\) (qui est ouvert et fermé), notée \[\Psi_{\Sigma}(x) = N_{E \otimes K/E}(x^{1_{\Sigma}})\] et […] de \(E\) ; si \(K'\) est une extension finie de \(K\), [donnant lieu] à \(\Sigma'\) dans \(E' \otimes K'\), on trouve commutativité dans

\begin{tikzcd}
T_{K'} \arrow[r, "N_{K'/K}"] \arrow[rrr, bend right=25, "\Psi_{\Sigma'}"'] & T_{K} \arrow[r, "\Psi_{\Sigma}"] & T_{E} \arrow[r, "i_{E'/E}"] & T_{E'}
\end{tikzcd}

149Ceci montre que l'on est réduit : étudier [\(\Psi_{\Sigma}\) dans le] cas où \(K = K_{0}\), \(E = E_{0}\) (donc \(E, K\) weiliens et finis).

Identifiant […] les duaux de \(T_{E}\), \(T_{K}\) à valeurs dans \(\overline{\mathbb{Q}}\) [comp. […] : \(G\))] à \(\mathbb{Z}^{I_{E}}\), \(\mathbb{Z}^{I_{K}}\), on constate que l'hom. […] […] […] de la conjugaison défini par \(T_{\Sigma}\) \[\mathbb{Z}^{I_{E}} \longrightarrow \mathbb{Z}^{I_{K}}\] est donné par la matrice \(1_{\Sigma}\) considérée comme une fonction caractéristique sur \(I_{E} \times I_{K}\)). Donc la connaissance de \(\Sigma\) équivaut à celle de \(\Psi_{\Sigma}\) (cette dernière n'étant d'ailleurs pas quelconque …).

Choisissons une clôture algébrique \(\overline{E}\) de \(E\), […] \(K\) [\(K\) fini (degré \(2d'\))] sur \(\mathbb{Q}\), alors la structure \(\Sigma\) équivaut à la donnée d'un ensemble de \(d'\) hom. \[\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{d'} : K \longrightarrow \overline{E}\] tels que pour tte conj. \(\tau\) de \(G = \mathrm{Gal}(\overline{E} | \mathbb{Q})\), […] les \(\{\tau\sigma_{i}, \sigma_{i}\}\) forment l'ens. de tous les hom \(K \to \overline{E}\).

On aura alors \[\Psi_{\Sigma}(x) = \sigma_{1}(x)\sigma_{2}(x) \cdots \sigma_{d'}(x)\] les \(\sigma_{i} | K_{r}\) forment […] \(x \in K_{r}\) […]. Si \(K\) est weilien, […] [et on a] les hom \(K_{r} \to \overline{E}\), et on […] les hom […] \(\tau\sigma_{i}(x) = \sigma_{i}(x)\), donc […] \(\Psi_{\Sigma}(x) = N_{K}\) \[\Psi_{\Sigma} | T_{K_{r}} = N_{K_{r}/\mathbb{Q}}\] au-dessus, une première formule biffée ; le \(T\) de \(T_{K_{r}}\) est écrit en surcharge Par suite, \(\Psi_{\Sigma}\) s'annule sur \(V_{K_{r}} \subset T_{K_{r}} \subset T_{K}\). De ceci, et de […], on conclut que si \(K\) fini sur \(\mathbb{Q}\), alors \(\Psi_{\Sigma} : T_{K} \to T_{E}\) se factorise par \(S^{\circ}_{K} \to T_{E}\) :

150\[T_{K} \xrightarrow{\;\mathrm{can}\;} S^{\circ}_{K} \xrightarrow{\;\Psi_{\Sigma}\;} T_{E}\] au-dessus de \(\Psi_{\Sigma}\) : « pas changé de notation »

Regardons-nous de l'homomorphisme \[i_{K} : \mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}} \longrightarrow S^{\circ}_{K}\] Je dis qu'on a \[\boxed{\Psi_{\Sigma}\, i_{K} = i_{E/\mathbb{Q}}}\] a) Comme […] \[i_{K}(x)^{d'} = i_{K/\mathbb{Q}}(x) \qquad (x \in \mathbb{Q}^{*})\] un signe biffé entre \(i_{K}\) et \((x)\) la relation est équivalente ([…] […] : […] d'[…]) à \[\Psi_{\Sigma}(x) = x^{d'} \qquad \text{pour } x \in \mathbb{Q}^{*}\] qui est trivialement vérifiée.

[Quelle est l'image de \(\Psi_{\Sigma}\) ? Je […] […] de \(S^{\circ}_{K}\), désignons l'image de \(V'_{K}\), le ss-[…] tore compact maximal de \(S^{\circ}_{K}\), on \[\Psi_{\Sigma}(S^{\circ}_{K}) = \Psi_{\Sigma}(V'_{K}) \cdot i_{E/\mathbb{Q}}(\mathbb{G}_{m})\] On va bien voir […] [brancher] au cas \(E = E_{0}\) ….]

Question Pour \(K\) fixé, [tel que \(S^{\circ}_{K} \to \mathbb{G}_{m}\) […] […] isom.,] les hom \(\Psi_{\Sigma} : S^{\circ}_{K} \to T_{E}\) associés aux diverses structures CM sur \(K\) sont [[…] \(K\) weilien […]] forment-ils une famille fidèle ?

[Soit \(\Sigma = \{\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{d'}\}\) une structure CM sur \((K, \overline{\mathbb{Q}})\). Alors si \(x \in K^{*}\) […] pour tt \(1 \leq i \leq d'\), \(\Sigma_{i}\) la structure CM déduite de \(\Sigma\) en remplaçant \(\sigma_{i}\) par \(\bar{\sigma}_{i} = \tau\sigma_{i}\). Alors, si \(x \in K^{*}\) est tel que \(\Psi_{\Sigma}(x) = 1\) et \(\Psi_{\Sigma_{i}}(x) = 1\), on aura en quotient \(\sigma_{i}(x) = \bar{\sigma}_{i}(x)\), donc on aura \(x \in K_{r}\). De plus, si ceci est vrai pour tt \(x\), on aura \(N_{K_{r}/\mathbb{Q}}(x) = 1\), donc \(x \in V'_{K_{r}}\). Donc \(\Psi_{\Sigma}(x) = 1\) revient donc à : l'image de \(x\) dans \(S^{\circ}_{K}\) est \(1\). Cet argument marche aussi en remplaçant \(\mathbb{Q}\) par une alg. quelconque sur \(\mathbb{Q}\) [car \(\bigcap \mathrm{Ker}(\sigma_{i}, \bar{\sigma}_{i}) = K_{r}\) est stable par] la ligne biffée est reprise en tête du feuillet suivant

151(NB \(K_{r} = \bigcap_{i} \mathrm{Ker}(\sigma_{i}, \bar{\sigma}_{i} : K \rightrightarrows \overline{\mathbb{Q}})\) est stable par tt changement de base \(\mathbb{Q} \to \Lambda\)). Donc \[\mathrm{Ker}\,\Psi_{\Sigma} \cap \bigcap_{1 \leq i \leq d'} \mathrm{Ker}\,\Psi_{\Sigma_{i}} = 1 \qquad \text{dans } S^{\circ}_{K}\] « Ker » de deux flèches désigne ici leur noyau au sens du conoyau-égalisateur : le sous-corps où \(\sigma_{i}\) et \(\bar{\sigma}_{i}\) coïncident

Question Regardons les hom. \(\Psi_{\Sigma} : S^{\circ}_{K} \to T_{E}\), avec \(E\) quadratique. Y en a-t-il assez, du moins en filtrant […] sur \(K\) croissants ? Or un \(E\) a, relativement à une […] extension \(K\) de \(\mathbb{Q}\), […] \(0\) structure CM si \(E\) n'est pas […] [([…] […]) […] […] […]] dans \(K\), et deux exactement […] […] dans \(K\). L'hom \(\Psi_{K}\) correspondant est Tr \(N_{K/E}\).

Donc pour \(K\) fixé, les hom \(\Psi_{\Sigma} : S^{\circ}_{K} \to T_{E}\) correspondant, par paires conjuguées, aux plongements \(E \to K\) ; donc pour voir s'il y a « assez » de […] il faut voir s'il y a assez [(supposé weilien), […]] de sous-corps quadratiques de \(K\). Si \(K\) [[…] […] […]] […] […] sous-corps quadratiques i.e. si […] [\(K\) […]] […] de groupe de Galois \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{N}\), dans le noyau de \[N_{K/L} : S^{\circ}_{K} \longrightarrow S^{\circ}_{L}\] est […] [un] tore de […], qui est dans le noyau de tous les \(\Psi_{K}\) envisagés. les deux tiers inférieurs de la page sont d'une main très rapide ; la phrase finale est peu sûre

153nouveau feuillet, qui ne continue pas le précédent \(K\) corps CM [galoisien] sur \(\mathbb{Q}\), groupe de Galois \(G\), \(\gamma = \{1, \rho\} \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \subset G\), \(\rho\) la conj. complexe.

\(\overline{\mathbb{Q}}\) [une] clôture algébrique de \(\mathbb{Q}\) […] \(K\).

\(I\) ensemble des plongements de \(K\) dans \(\overline{\mathbb{Q}}\), \(G\) y opère par transport de structure \(g.\sigma = \sigma \circ g^{-1}\), de façon simplement transitive.

\(M\) groupe des fonctions […] \(\varphi : G \to \mathbb{Z}\) telles que \[\varphi(\rho\sigma) = -\varphi(\sigma) \qquad \text{pour tt } \sigma \in G\] C'est un \(G\)-module, qui définit [par descente et dualité] un tore \(T\) sur \(\mathbb{Q}\). NB \(M \simeq \check{M}\) comme \(G\)-modules.

(1) On veut calculer le sous-groupe [\(H^{1}(\mathbb{Q}, T)'\)] de \(H^{1}(\mathbb{Q}, T)\) formé des classes qui sont nulles en tout place place finie. On trouve par […] \(P = I/\gamma\), […], une […] [suite exacte] canonique \[0 \longrightarrow H^{1}(\mathbb{Q}, T)' \xrightarrow{\;\alpha\;} \hat{H}_{0}(G, Y_{\infty} \otimes_{\mathbb{Z}} \check{M}) \xrightarrow{\;\beta\;} \hat{H}_{0}(G, \check{M}) \longrightarrow 0\] (où \(Y_{\infty}\) est le gpe libre engendré par les places à l'infini de \(K\), […] […], \(\beta\) est déduit de l'augmentation naturelle \(Y_{\infty} \to \mathbb{Z}\) (somme des valeurs)).

Si on prend \(\overline{\mathbb{Q}}\) la clôture algébrique de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{C}\), […] \(\mathbb{Z}'\) est le \(\gamma\)-module \(\mathbb{Z}\) où \(\rho\) opère par \(-\mathrm{id}_{\mathbb{Z}}\). On a \(M \simeq \mathbb{Z}' \otimes_{\gamma} G\), […] dans \(\mathbb{Z}' \otimes_{\gamma} G\), un premier \(\mathbb{Z}\) est biffé

\begin{tikzcd}[column sep=small]
0 \arrow[r] & H^{1}(\mathbb{Q}, T)' \arrow[r] & \hat{H}_{0}(\gamma, Y'_{\infty}) \arrow[r] \arrow[d, "\simeq"] & \hat{H}_{0}(\gamma, \mathbb{Z}') \arrow[r] \arrow[d, no head] & 0 \\
 & & Y_{\infty} \otimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \arrow[r, two heads] & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} &
\end{tikzcd}

les deux traits verticaux sont, sur la page, un \(\simeq\) couché et un signe d'égalité ; après le dernier \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), un mot biffé

et donc on trouve \[H^{1}(\mathbb{Q}, T)' \simeq \text{gpe des combinaisons linéaires}\] [des] places à l'infini de \(K\), à somme des coefficients nulle. i.e. coeff. dans \(\mathbb{F}_{2}\)

154feuillet isolé, d'un autre sujet (familles épimorphiques dans une catégorie), barré de quatre longs traits obliques au crayon Lorsque cependant dans \(C\) les produits fibrés existent, alors il n'y a pas de différence entre épim. eff. et épim. strict, il n'y a plus que quatre (au lieu de cinq) variantes d'épimorphicité pour des familles, et ces variantes propriétés se reconnaissent déjà sur \(R\) le crible \(R\) (cet […] […] […]).

Prop. 0. Les cinq notions envisagées [« épim. », « épim. stricte » […]] sont la propriété stables par […] [les trois dernières variantes], […] de la famille, […] ne dépendent que des […] quarrables.

Soit \(G\) une partie de \(\mathrm{Ob}\, C\), \(\underline{G}\) la sous-catégorie pleine engendrée. […]

Prop. 1. Conditions équivalentes

a) Pour tout \(X \in \mathrm{Ob}\, C\) la famille des flèches de but \(X\), source \(\in G\), est épimorphique (resp. épimorphique stricte).

b) Pour tout \(X \in \mathrm{Ob}\, C\), considérant \(\underline{G}_{/X} \xrightarrow{\;i\;} C\) et le système inductif évident \[\varinjlim_{T \in \underline{G}/X} T \longrightarrow X ,\] [i.e. un […] en sens inverse des foncteurs covariants [cov.] en \(Y\)], cet système est épimorphique […] (resp. isomorphique) [i.e. l'hom. […] de foncteurs cov. en \(Y\) est un mono, resp. un isom].

Dém. Le cas non respé est une tautologie, regardons le cas respé. La condition a) signifie que, si \(u_{i} : G_{i} \to X\) sont les différents objets de \(\underline{G}/X\), alors \(\forall Y\) (i) \(h_{Y}(X) \to \prod_{i} h_{Y}(G_{i})\) injectif et (ii) Pour des \(\xi_{i} \in h_{Y}(G_{i})\), tels la page s'arrête sur ce mot ; la suite n'est pas dans ce lot (le feuillet 155 est blanc)

Corps de classes commutatif = Motifs à groupe fondamental motivique [connexe] commutatif (= Motifs métabéliens)

mots de sa main, seuls sur une couverture brune (feuillet 156) ; les crochets sont les siens, et « connexe » est une lecture douteuse. Les feuillets 158 et 160, d'une encre noire sur un papier jauni, suivent

158\(K\) corps de nbres.

\(A\) anneau des entiers, […] fini libre sur \(\mathbb{Z}\).

\(\underline{\underline{A}}\) schéma en anneaux sur \(\mathbb{Z}\)

\(\underline{\underline{A}}^{*}\) schéma en groupes.

\(\underline{\underline{A}}^{*}(\mathbb{Z}) = \emph{unités} = E\).

\(E^{\circ} \subset E\) unités positives, d'indice fini de la forme \(2^{\alpha}\) (\(\alpha \leq r_{1}\)) dans \(E\), égal à \(E\) si \(K\) est purement imaginaire.

[…] Le groupe de Galois de \(K\) rendu abélien est [une extension de \(\mathrm{Pic}(A)\) par] alors \[\underline{\underline{A}}^{*}(\hat{\mathbb{Z}})/E^{\circ}\] ou encore par \[\underline{\underline{A}}^{*}(\struck{\ill{}}\, \mathbb{Z} \times \mathbb{R}^{*}) / \struck{\text{composante}}\, \underline{\underline{A}}^{*}(\mathbb{Z})\] divisé par la composante connexe. vérification en […]

Le schéma en groupes [connexe] sur \(\mathbb{Z}\) associé à \(K\) par la classification des motifs abéliens sur \(K\), semble être alors \[G^{\circ} = \underline{\underline{A}}^{*} / \mathfrak{N} ,\] où \(\mathfrak{N}\) est […] le sous-schéma en groupe de \(\underline{\underline{A}}^{*}\) adhérence de […] l'un des […] [sections] \(E^{\circ}\) sur \(\mathbb{Z}\). + […] schéma de Zariski fermé et […] […] de \(E^{\circ}\) dans \(\underline{K}^{*}\). les quatre dernières lignes sont peu sûres ; le soulignement double de \(\underline{K}^{*}\) est le sien

160[…] [Extension canonique de \(\gamma\) par (le tore) \(G^{\circ}\)],

\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & G^{\circ} \arrow[r] & G \arrow[r] & \gamma \arrow[r] \arrow[d, no head] & 0 \\
 & & & \mathrm{Pic}(A)^{\mathrm{abs}} &
\end{tikzcd}

le trait vertical est un signe d'égalité ; l'exposant de \(\mathrm{Pic}(A)\) se lit « abs », lecture douteuse

Ceci posé, à toute place \(\xi\) de \(K\), sont associés des foncteurs

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
M_{\circ} \arrow[r, "\tilde{\xi}"] \arrow[rr, bend right=20, "\text{fibre en } \xi"'] & \text{Vectoriels sur } \mathbb{Q} \text{ avec opération de } G & \text{réseaux de Hodge}
\end{tikzcd}

sous \(M_{\circ}\), un signe d'égalité et « motifs abéliens » ; sous la flèche \(\tilde{\xi}\), un \(\sim\) ; au-dessus du but, « fibre en \(\xi\) » ; « réseaux » est une lecture douteuse. Après « réseaux de Hodge », entre parenthèses : « + structure réelle si la place est réelle »

d'où un foncteur canonique \[\text{Vectoriels sur } \mathbb{Q} \text{ avec opération de } G \xrightarrow{\;\Phi_{\xi}\;} \text{réseaux de Hodge}\] (+ structure réelle si \(\xi\) réelle).

En \(\Phi_{\xi}\) Ainsi, si \(V\) est un […] \(\mathbb{Q}\)-vectoriel sur lequel \(G\) opère, alors pour toute place \(\xi\) de \(K\), on trouve une structure de Hodge sur \(V \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}\). Il suffit d'ailleurs d'avoir les opérations de \(G^{\circ}\) sur \(V\), i.e. de \(\underline{K}^{*}\) sur \(V\) [trivial sur \(E\)], + une place de [structure de] \(\tilde{\xi}\) de \(\widetilde{K}\), pour en conclure la structure de Hodge. \(\widetilde{K}\) : corps de classes absolu