Fonds Grothendieck, cote n° 15, pages 141–160

la phrase interrompue au bas du feuillet 140 (lot 7) ne reprend pas ici mais en tête du feuillet 142 ; ce feuillet-ci, qui explicite la condition (iii) et donne le Corollaire 1, se lit à la suite du feuillet 142

Pour expliciter la condition (iii), il suffit donc : expliciter les tores compacts quotients du T V_{L}, et prouver que ce sont les quotients de V_{L}/V_{L_{0}}. ~~i.e.~~ ~~V_{L_{0}} n'est majoré par des [tores] quotients compacts~~, donc en interligne, au-dessus de la fin de la ligne biffée : « sauf le premier membre » (lecture douteuse)

Le plus grand quotient compact de V_{L} est majoré par V_{L}/V_{L_{0}}. Il reste : prouver que ce dernier est compact. ~~Posons~~ C'est trivial si L = L_{0}. Sinon, (faisant L = K pour simplifier les notations), considérons ~~i.e. que V_{L}/V_{L}~~ i.e. [la première partie] prouver des \struck{L_{\mathbb{R}} \simeq \mathbb{R}^{r}} \qquad L_{0\mathbb{R}} = \ill{} tout ce paragraphe est barré de quatre longs traits obliques et, en partie, encadré ; la formule finale est laissée inachevée

Corollaire 1. Supposons K weilien, soit K_{0} = K \cap \mathbb{R}. Alors V_{K}/V_{K_{0}} est compact, et V_{K_{0}} n'a d'autre [tore] quotient compact que le tore unité. ~~L'image de E_{K} dans~~ [De plus E_{K} \cap V_{K_{0}}(\mathbb{Q}) est d'indice fini dans E_{K}, i.e. (pour la première assertion)] l'image de E_{K} dans V_{K}/V_{K_{0}} est finie. « weilien » : le mot s'écrit w-a-i-l-i-e-n, précédé d'un trait d'attaque ; c'est le mot que le lot 7 (feuillet 140) transcrit « Weilien », pour le plus grand sous-corps L de K tel que L_{0} = L \cap \mathbb{R} soit d'indice 1 ou 2 dans L. Il est transcrit ainsi dans tout le lot

Il suffit de prouver l' analogue puis [dans V_{L_{0}} et ] de la base \mathbb{Q} \to \mathbb{R}. Alors K_{0\mathbb{R}} \simeq \mathbb{R}^{r}, V_{L_{0}} est un [tore] déployé, donc tout quotient est déployé, donc compact seulement s'il est nul. D'autre part V_{K}/V_{K_{0}} est compact : c'est trivial si K = K_{0}, sinon on a K_{\mathbb{R}} \simeq \mathbb{C}^{r}, et V_{K}/V_{K_{0}} \simeq T_{K}/T_{K_{0}} \simeq \Bigl[\Bigl(\prod_{\mathbb{C}/\mathbb{R}} \mathbb{G}_{m}\Bigr) \big/ \mathbb{G}_{m}\Bigr]^{r} \simeq \mathbb{U}^{r} est compact. devant le crochet, un premier signe \prod est biffé

La dernière inclusion signifie que E_{K_{0}} est d'indice fini dans E_{K}. Or les rangs sont respectivement, si [K_{0} : \uncertain{K}] = r, r-1 et r-1, OK. on attendrait [K_{0} : \mathbb{Q}] = r ; la lettre lue est un K

(iv) \Longrightarrow (ii) Résulte immédiatement du fait que N_{L/K} applique E_{1K} dans E_{1L}, et de la dernière assertion du corollaire.

la page reprend la phrase interrompue au bas du feuillet 140 (lot 7), « et E_{1} (donc F) est un » s-groupe discret de rang r_{1} + r_{2} - 1, de sorte que le quotient V(\mathbb{R})/F est compact. Il en est a fortiori de même de V(\mathbb{R})/\overline{F}, donc de V'_{\mathbb{R}} qu'il majore.

(iii) \Longrightarrow (i), car si V'_{\mathbb{R}} est compact i.e. V'(\mathbb{R}) compact, considérant V'(\mathbb{R}) comme quotient de \mathbb{R}^{*+(r_{1}+r_{2}-1)} \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{r_{1}} \times \mathbb{U}^{r_{2}}, on voit que ce sera un quotient de (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{r_{1}} \times \mathbb{U}^{r_{2}}, or l'image de E_{1} dans ce dernier est déjà finie [l'image ] paragraphe encadré, barré de traits obliques et d'un trait horizontal

(iii) \Longrightarrow (iv) Si V'_{K} est un tore compact, les groupes des car. à valeurs dans \overline{\mathbb{Q}} [\subset \mathbb{C}], regardés comme modules sous G = \mathrm{Gal}(\widetilde{K}/K) (\widetilde{K} ~~\subset \mathbb{Q}~~ une ext. de K finie galoisienne sur \mathbb{Q}) et tels que \tau \in G [la conjugaison complexe] y opère par -\mathrm{id}_{M}, , G' [donc est central, donc M est un G' = G/P-module]. Donc si G' = G/H est le quotient de G qui [quotient de Galois de la plus grande ext. weilienne] une extension K' \subset \widetilde{K} R \supset \mathrm{Ker}(N_{K/L} | V_{K}) i.e. que V_{L} est un quotient de V_{K}. Prouvons d'abord que considérons \tau' = \mathrm{Im}(\tau \mapsto G') est dans le centre de G', donc K' est weilien. passage très surchargé, barré de plusieurs traits et en partie encadré ; seul le squelette en est rendu

I_{K} [= G/Q] espace homogène sous G des hom. de K dans \overline{\mathbb{Q}} ; \mathbb{Z}[I_{K}] [groupe libre engendré par I] groupe des caractères de T_{K} à valeurs dans \overline{\mathbb{Q}}, comme G-module. ~~N \subset \mathbb{Z}[I] tel que~~ \mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}[I_{K}] fonctions constantes sur I.

\begin{tikzcd} \mathbb{Z} \arrow[r, hook] & N \arrow[r, hook] & \mathbb{Z}[I_{K}] \\ \mathbb{Z} \arrow[u, "\wr" description, no head] \arrow[rr, hook] & & \mathbb{Z}[I_{L}] \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

N sous G-module, tel que \tau opère sur N/\mathbb{Z} par -\mathrm{id}, donc P y opère trivialement ; donc H opère trivialement sur N, donc N \subset \mathbb{Z}[I_{K}]^{P} = \mathbb{Z}[P \backslash I_{K}]. Or P \backslash I_{K} = I_{L}, donc on trouve N \subset \mathbb{Z}[I_{L}], ce qui signifie que le quotient V' de V_{K} est majoré par V_{L}.

treillis de corps dans la marge gauche :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] K \arrow[r, no head, "Q"] \arrow[d, no head, "H"'] & \widetilde{K} \arrow[d, no head, "P"] \\ L = K \cap K' \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & K' \\ \mathbb{Q} \arrow[ur, no head, "G' = G/P"'] \arrow[uur, no head, bend right=40, "G"'] & \end{tikzcd}

I_{K} = G/Q, I_{L} = G/PQ = P \backslash I_{K} ; \tau \in G d'ordre 2 dans la figure, les deux arcs partent de \mathbb{Q} et aboutissent à K' et à \widetilde{K} ; au-dessus de K, un \widetilde{K} biffé

Corollaire 2. Parmi les V' satisfaisant les conditions de la proposition, il y en a un maximal [V_{K}^{\mathrm{cpt}} ~~V^{\mathrm{cpt}}~~], correspondant à un R minimal. Le R correspondant est connu. Avec les notations de (iv), [N_{L/K} induit un isom. V_{K}^{\mathrm{cpt}} \simeq V_{L}/V_{L_{0}} = V_{L}^{\mathrm{cpt}}, le R correspondant] c'est aussi le produit [\mathrm{Ker}(N_{K/L})] \cdot V_{L_{0}}. ~~et l'hom~~

Seule la dernière assertion demande encore une vérification. Comme N_{K/L}(\lambda) = \lambda^{r} si \lambda \in L, on voit que le R cherché contient V_{L_{0}}, et aussi bien sûr \mathrm{Ker}(N_{K/L}). ~~Ou bien~~ donc R contient le produit R'. ~~Alors~~ Comme bien \lambda \mapsto \lambda^{r} de V_{L_{0}} dans lui-même est un épimorphisme, on trouve que N_{L/K} induit un isom. V_{K} / (\mathrm{Ker}(N_{K/L}) \cdot V_{L_{0}}) \simeq V_{L} / N_{L/K}(V_{L_{0}}) \simeq V_{L}/V_{L_{0}} , ce qui établit le corollaire 2.

On désigne par S^{\circ}_{K} le quotient T_{K}/R, donc on a une suite exacte 1 \longrightarrow V'_{K} \longrightarrow S^{\circ}_{K} \xrightarrow{\;\varepsilon\;} \mathbb{G}_{m} \longrightarrow 1 déduite d'une suite exacte

\begin{tikzcd} 1 \arrow[r] & V_{K} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{can}"] & T_{K} \arrow[r, "N_{K}"] \arrow[d, "\mathrm{can}"] & \mathbb{G}_{m} \arrow[r] \arrow[d, no head] & 1 \\ 1 \arrow[r] & V'_{K} \arrow[r] & S^{\circ}_{K} \arrow[r] & \mathbb{G}_{m} \arrow[r] & 1 \end{tikzcd}

(*) le trait vertical de droite est un double trait d'égalité

Pour K variable, S^{\circ}_{K} est contravariant en K pour N_{K'/K}, ainsi que le diagramme (*) [ la fonction du plus gd quotient cpct est fonctorielle en le tore T sur \mathbb{Q}]. Il est aussi covariant par i_{K,K'} [même raison], mais bien sûr cette injection n'est plus compatible avec \varepsilon, on a de façon précise, pour K \subset K'

\begin{tikzcd} 1 \arrow[r] & V'_{K} \arrow[r] \arrow[d] & S^{\circ}_{K} \arrow[r] \arrow[d, "i_{K/K'}"] & \mathbb{G}_{m} \arrow[r] \arrow[d, "\lambda \mapsto \lambda^{r}"] & 1 \\ 1 \arrow[r] & V'_{K'} \arrow[r] & S^{\circ}_{K'} \arrow[r] & \mathbb{G}_{m} \arrow[r] & 1 \end{tikzcd}

(**) r = [K' : K]

On trouve :

Corollaire 3. Le système projectif des S^{\circ}_{K}, pour K sous-extension finie de \overline{\mathbb{Q}}, est essentiellement ( ), équivalent au syst. projectif des S^{\circ}_{K} pour K \subset \overline{\mathbb{Q}}, K weilien (et galoisien ), on trouve un syst. projectif des ~~T_{K}~~ T_{K}/V_{K_{0}}, où K \subset \overline{\mathbb{Q}} est weilien et K_{0} = K \cap \mathbb{R}.

Corollaire 4. Soit K ext. finie de \mathbb{Q}. Il existe un et un seul hom \mathbb{G}_{m} \xrightarrow{\;i\;} S^{\circ}_{K} tel que \varepsilon i(\lambda) = \lambda^{2}.

Comme \mathrm{Ker}\,\varepsilon est compact, et les hom \mathbb{G}_{m} \to \mathrm{Ker}\,\varepsilon sont nuls, l'unicité est claire. Pour l'existence, on peut donc supposer que K est weilien. Si [i.e. K_{0} = K] K \subset \mathbb{R}, on a S^{\circ}_{K} \xrightarrow[\sim]{\;\varepsilon\;} \mathbb{G}_{m}, et il suffit de prendre i(\lambda) = \lambda^{2}. Si K_{0} \neq K, alors on prend pour i = i_{K_{0},K} : S^{\circ}_{K_{0}} = \mathbb{G}_{m} \to S^{\circ}_{K}, en utilisant la commutativité de (**) (où r = 2).

§ 2

« § 2 », entouré, dans la marge gauche du feuillet 146

\Sigma de E \otimes K Soient E, K deux extensions de \mathbb{Q}, ~~\Sigma~~ \mathfrak{A} un idéal de E \otimes_{\mathbb{Q}} K [= E_{K}], \overline{K} une clôture algébrique de K. On dit que \mathfrak{A} définit une CM-structure sur E, relativement à K, si l'idéal \mathfrak{A}' de E \otimes_{\mathbb{Q}} \overline{K} = E_{K} \otimes_{K} \overline{K} engendré par \mathfrak{A} correspond à un sous-ensemble \Sigma de l'ensemble \mathrm{Spec}\, E_{\overline{K}} \simeq \mathrm{Hom}_{\mathrm{alg}}(E, \overline{K}) qui est tel que pour tout élément \tau de G = \mathrm{Gal}(\overline{K}/K) qui est une conjugaison, on ait \tau(\Sigma) = (\mathrm{Spec}\, E_{\overline{K}}) - \Sigma. Notez que ceci implique que pour g \in G, on a aussi g \tau g^{-1}(\Sigma) = (\mathrm{Spec}\, E_{\overline{K}}) - \Sigma = \tau \Sigma, donc \tau^{-1} g \tau g^{-1}(\Sigma) = \Sigma, donc \Sigma est invariant par le s-groupe fermé invariant H engendré par les \tau^{-1} g \tau g^{-1}. Cela signifie que, si K_{0} \subset K est le corps de définition de l'idéal \mathfrak{A} de E_{K}, le corps K_{0} [= K_{\Sigma}] est weilien ; et il est d'ailleurs weilien non réel, car \tau(\Sigma) \neq \Sigma [puisque sinon on aurait \mathrm{Spec}\, E_{\overline{K}} = \emptyset, ce qui n'est pas]. ~~Alors le groupe de \overline{\mathbb{Q}}.~~

Soit \overline{\mathbb{Q}} une clôture algébrique de \mathbb{Q} ~~Supposons maintenant également K fini sur \mathbb{Q}~~, [de] groupe de Galois G. Alors E, K correspondent à des espaces homogènes compacts sous G, soient I_{E}, I_{K}. La donnée de \mathfrak{A} correspond à celle d'une partie fermée de I_{E} \times I_{K}, invariante par G. Choisissons un plongement K \subset \overline{\mathbb{Q}}, donc I_{K} \simeq G/Q, Q le sous-groupe de G qui laisse fixe les éléments de K. ~~L'hypothèse Remplaçant~~ Prenant K pour \overline{K} [\overline{\mathbb{Q}} =] (pour des \overline{\mathbb{Q}}), et \Sigma I_{K} pour son pt origine y [le plongement y de K dans \overline{\mathbb{Q}}], soit \Sigma' = (I_{E} \times I_{K}) - \Sigma, d'où \Sigma'_{y}. [Écrire] \Sigma_{y} = \Sigma \cap (I_{E} \times y). L'hypothèse est que pour tte conjugaison \tau \in G, ~~(\tau \times 1)(\Sigma \cap (I_{E} \times y)) = (I_{E} - \Sigma)~~ (\tau \times 1)\Sigma_{y} = \Sigma'_{y} ~~(\tau \times 1)\Sigma_{y} = I_{E} - \Sigma_{y}~~ i.e. ~~(\tau \times 1)\Sigma_{y} \subset I_{E} - \Sigma, (\tau \times 1)\Sigma'_{y} \subset I_{E} - \Sigma_{y}~~ ~~pour écrire aussi~~ le bas de la page est une suite d'essais biffés de la même condition

Il est évident que la condition envisagée ne dépend pas du choix de l'immersion K \hookrightarrow \overline{\mathbb{Q}}, i.e. du choix de y, et peut donc s'écrire (\tau \times 1)\Sigma = \Sigma' \qquad \text{pour tte conjugaison } \tau ~~(\ill{})~~ Je dis qu'elle équivaut aussi à (1 \times \tau)\Sigma \uncertain{\subset} \Sigma' \qquad \text{pour tte conjugaison } \tau le signe entre \Sigma et \Sigma' dans la seconde formule ressemble à \subset ; dans la première, un = appuyé recouvre peut-être un autre signe i.e.,

En effet, comme (\tau \times \tau)\Sigma = \Sigma, la relation envisagée équivaut à (\tau \times 1)(\tau \times \tau)\Sigma = \Sigma' \quad \text{i.e.} \quad (1 \times \tau)\Sigma = \Sigma' . Donc la condition envisagée est symétrique en E, K.

Considérons maintenant le sous-corps K_{0} de K, corps des invariants du sous-groupe H \subset G [le corps des invariants ], [formé des g \in G tels que] définition de \Sigma_{y} : c'est (g \times 1)\Sigma_{y} = \Sigma'_{y}, ce qui équivaut (comme K_{0} dépend de l'origine ) à (g \times 1)\Sigma = \Sigma' [H doit être indépendant du choix de y] : (g \times 1)(g \times g^{-1})\Sigma_{y} = \Sigma_{y} [vérification : \Sigma_{y'} = (h \times h)\Sigma_{y} pour h tel que hy = y', donc (g \times 1)\Sigma_{y'} = (g \times 1)(h \times h)\Sigma_{y} = (1 \times h)(g \times 1)\Sigma_{y} = (1 \times h)\Sigma'_{y} = \Sigma'_{y'}], (g \times 1)(g^{-1} \times g^{-1})\Sigma = \Sigma', et comme \Sigma = (g^{-1} \times g^{-1})\Sigma, cela équivaut [à] (1 \times g)\Sigma = \Sigma]. Donc i.e. (1 \times g^{-1})\Sigma = \Sigma tout ce passage est encadré et barré de six longs traits obliques ; il est très surchargé et n'est rendu qu'en substance

NB Soit \mathfrak{A} une structure CM sur le couple E, K, et considérons E \hookrightarrow E', K \hookrightarrow K' des extensions de corps. Alors l'idéal \mathfrak{A}' = \mathfrak{A}(E' \otimes K') de E' \otimes K' est une structure CM de Sh.-Tan. sur E', K', ~~et réciproquement la théorie de Galois~~ [E \otimes K] ~~un idéal CM sur E, K~~ considérons ~~nous dit~~ Soit \mathfrak{A} ~~structure~~ un « corps de définition » comme idéal dans E_{K} ; \mathfrak{A} invariant par extension K_{0} \subset K. Je dis que celui-ci est invariant par extension E \to E' (vérification triviale). De ceci

résulte qu'il y a un plus petit couple (E_{0}, K_{0}) (E_{0} \subset E, K_{0} \subset K) tel que \mathfrak{A} provienne d'un idéal de E_{0} \otimes K_{0}. On a vu que E_{0}, K_{0} sont weiliens . Si E_{0} est fini sur \mathbb{Q}, de degré 2d, alors K_{0} est fini sur \mathbb{Q}, de degré \leq \binom{2d}{d} [car le s-groupe des g \in G qui invariant une partie à d éléments dans un ens. à 2d éléments est d' indice \leq \binom{2d}{d}]. ~~Si K K~~ Si E fini sur \mathbb{Q} de degré 2d, alors \mathfrak{A}(\Sigma) = (E \otimes K)/\mathfrak{A} est fini sur K de degré d, et réciproquement.

Soient E, K deux extensions de \mathbb{Q}, t un bimodule sur E, K, i.e. un module sur E \otimes K. On dit que t est du type CM si t est monogène, et son annulateur est un \mathfrak{A} de type CM. Les bimodules de type CM sur E, K sont donc (à isom. près) paramétrés par les structures CM \Sigma sur le couple E, K. (si E \otimes K fini sur \mathbb{Q}, i.e. t fini sur E), \Sigma en surcharge d'un \mathfrak{A}

Un tel t définit [un hom] \Psi_{\Sigma} : T_{K} \longrightarrow T_{E} dont l'action, sur les pts rationnels sur \mathbb{Q} (qui idèles) est donnée par \Psi_{\Sigma}(x) = \mathrm{d\acute{e}t}_{t/E}(x_{t}) , fonctions caractéristiques.

Ou si on préfère, en termes de la fonction caractéristique 1_{\Sigma} de \Sigma (qui est ouvert et fermé), notée \Psi_{\Sigma}(x) = N_{E \otimes K/E}(x^{1_{\Sigma}}) et de E ; si K' est une extension finie de K, [donnant lieu] à \Sigma' dans E' \otimes K', on trouve commutativité dans

\begin{tikzcd} T_{K'} \arrow[r, "N_{K'/K}"] \arrow[rrr, bend right=25, "\Psi_{\Sigma'}"'] & T_{K} \arrow[r, "\Psi_{\Sigma}"] & T_{E} \arrow[r, "i_{E'/E}"] & T_{E'} \end{tikzcd}

Ceci montre que l'on est réduit : étudier [\Psi_{\Sigma} dans le] cas où K = K_{0}, E = E_{0} (donc E, K weiliens et finis).

Identifiant les duaux de T_{E}, T_{K} à valeurs dans \overline{\mathbb{Q}} [comp. : G)] à \mathbb{Z}^{I_{E}}, \mathbb{Z}^{I_{K}}, on constate que l'hom. de la conjugaison défini par T_{\Sigma} \mathbb{Z}^{I_{E}} \longrightarrow \mathbb{Z}^{I_{K}} est donné par la matrice 1_{\Sigma} considérée comme une fonction ~~caractéristique~~ sur I_{E} \times I_{K}). Donc la connaissance de \Sigma équivaut à celle de \Psi_{\Sigma} (cette dernière n'étant d'ailleurs pas quelconque …).

Choisissons une clôture algébrique \overline{E} de E, K [K fini (degré 2d')] ~~sur \mathbb{Q}~~, alors la structure \Sigma équivaut à la donnée d'un ensemble de d' hom. \sigma_{1}, \ldots, \sigma_{d'} : K \longrightarrow \overline{E} tels que pour tte conj. \tau de G = \mathrm{Gal}(\overline{E} | \mathbb{Q}), les \{\tau\sigma_{i}, \sigma_{i}\} forment l'ens. de tous les hom K \to \overline{E}.

On aura alors \Psi_{\Sigma}(x) = \sigma_{1}(x)\sigma_{2}(x) \cdots \sigma_{d'}(x) ~~les \sigma_{i} | K_{r} forment x \in K_{r}~~ . Si K est weilien, [et on a] les hom K_{r} \to \overline{E}, et on ~~les hom \tau\sigma_{i}(x) = \sigma_{i}(x), donc \Psi_{\Sigma}(x) = N_{K}~~ \Psi_{\Sigma} | T_{K_{r}} = N_{K_{r}/\mathbb{Q}} au-dessus, une première formule biffée ; le T de T_{K_{r}} est écrit en surcharge Par suite, \Psi_{\Sigma} s'annule sur V_{K_{r}} \subset T_{K_{r}} \subset T_{K}. De ceci, et de , on conclut que si K fini sur \mathbb{Q}, alors \Psi_{\Sigma} : T_{K} \to T_{E} se factorise par S^{\circ}_{K} \to T_{E} :

T_{K} \xrightarrow{\;\mathrm{can}\;} S^{\circ}_{K} \xrightarrow{\;\Psi_{\Sigma}\;} T_{E} au-dessus de \Psi_{\Sigma} : « pas changé de notation »

Regardons-nous de l'homomorphisme i_{K} : \mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}} \longrightarrow S^{\circ}_{K} Je dis qu'on a \boxed{\Psi_{\Sigma}\, i_{K} = i_{E/\mathbb{Q}}} a) Comme i_{K}(x)^{d'} = i_{K/\mathbb{Q}}(x) \qquad (x \in \mathbb{Q}^{*}) un signe biffé entre i_{K} et (x) la relation est équivalente ( : d') à \Psi_{\Sigma}(x) = x^{d'} \qquad \text{pour } x \in \mathbb{Q}^{*} qui est trivialement vérifiée.

[Quelle est l'image de \Psi_{\Sigma} ? Je de S^{\circ}_{K}, désignons l'image de V'_{K}, le ss- tore compact maximal de S^{\circ}_{K}, on \Psi_{\Sigma}(S^{\circ}_{K}) = \Psi_{\Sigma}(V'_{K}) \cdot i_{E/\mathbb{Q}}(\mathbb{G}_{m}) On va bien voir [brancher] au cas E = E_{0} ….]

Question Pour K fixé, [tel que S^{\circ}_{K} \to \mathbb{G}_{m} isom.,] les hom \Psi_{\Sigma} : S^{\circ}_{K} \to T_{E} associés aux diverses structures CM sur K ~~sont~~ [ K weilien ] forment-ils une famille fidèle ?

[Soit \Sigma = \{\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{d'}\} une structure CM sur (K, \overline{\mathbb{Q}}). ~~Alors si x \in K^{*} pour tt 1 \leq i \leq d',~~ \Sigma_{i} la structure CM déduite de \Sigma en remplaçant \sigma_{i} par \bar{\sigma}_{i} = \tau\sigma_{i}. Alors, si x \in K^{*} est tel que \Psi_{\Sigma}(x) = 1 et \Psi_{\Sigma_{i}}(x) = 1, on aura en quotient \sigma_{i}(x) = \bar{\sigma}_{i}(x), donc on aura x \in K_{r}. De plus, si ceci est vrai pour tt x, on aura N_{K_{r}/\mathbb{Q}}(x) = 1, donc x \in V'_{K_{r}}. ~~Donc~~ \Psi_{\Sigma}(x) = 1 revient donc à : l'image de x dans S^{\circ}_{K} est 1. Cet argument marche aussi en remplaçant \mathbb{Q} par une alg. quelconque sur \mathbb{Q} ~~[car \bigcap \mathrm{Ker}(\sigma_{i}, \bar{\sigma}_{i}) = K_{r} est stable par]~~ la ligne biffée est reprise en tête du feuillet suivant

(NB K_{r} = \bigcap_{i} \mathrm{Ker}(\sigma_{i}, \bar{\sigma}_{i} : K \rightrightarrows \overline{\mathbb{Q}}) est stable par tt changement de base \mathbb{Q} \to \Lambda). Donc \mathrm{Ker}\,\Psi_{\Sigma} \cap \bigcap_{1 \leq i \leq d'} \mathrm{Ker}\,\Psi_{\Sigma_{i}} = 1 \qquad \text{dans } S^{\circ}_{K} « Ker » de deux flèches désigne ici leur noyau au sens du conoyau-égalisateur : le sous-corps où \sigma_{i} et \bar{\sigma}_{i} coïncident

Question Regardons les hom. \Psi_{\Sigma} : S^{\circ}_{K} \to T_{E}, avec E quadratique. Y en a-t-il assez, du moins en filtrant sur K croissants ? Or un E a, relativement à une extension K de \mathbb{Q}, 0 structure CM si E n'est pas [( ) ] dans K, et deux exactement dans K. L'hom \Psi_{K} correspondant est Tr N_{K/E}.

Donc pour K fixé, les hom \Psi_{\Sigma} : S^{\circ}_{K} \to T_{E} correspondant, par paires conjuguées, aux plongements E \to K ; donc pour voir s'il y a « assez » de il faut voir s'il y a assez [(supposé weilien), ] de sous-corps quadratiques de K. Si K [ ] sous-corps quadratiques i.e. si [K ] de groupe de Galois (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{N}, dans le noyau de N_{K/L} : S^{\circ}_{K} \longrightarrow S^{\circ}_{L} est [un] tore de , qui est dans le noyau de tous les \Psi_{K} envisagés. les deux tiers inférieurs de la page sont d'une main très rapide ; la phrase finale est peu sûre

nouveau feuillet, qui ne continue pas le précédent K corps CM [galoisien] sur \mathbb{Q}, groupe de Galois G, \gamma = \{1, \rho\} \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \subset G, \rho la conj. complexe.

\overline{\mathbb{Q}} [une] clôture algébrique de \mathbb{Q} K.

~~I ensemble des plongements de K dans \overline{\mathbb{Q}}, G y opère par transport de structure g.\sigma = \sigma \circ g^{-1}, de façon simplement transitive.~~

M groupe des fonctions \varphi : G \to \mathbb{Z} telles que \varphi(\rho\sigma) = -\varphi(\sigma) \qquad \text{pour tt } \sigma \in G C'est un G-module, qui définit [par descente et dualité] un tore T sur \mathbb{Q}. NB M \simeq \check{M} comme G-modules.

(1) On veut calculer le sous-groupe [H^{1}(\mathbb{Q}, T)'] de H^{1}(\mathbb{Q}, T) formé des classes qui sont nulles en tout ~~place~~ place finie. On trouve par ~~P = I/\gamma~~, , une [suite exacte] canonique 0 \longrightarrow H^{1}(\mathbb{Q}, T)' \xrightarrow{\;\alpha\;} \hat{H}_{0}(G, Y_{\infty} \otimes_{\mathbb{Z}} \check{M}) \xrightarrow{\;\beta\;} \hat{H}_{0}(G, \check{M}) \longrightarrow 0 (où Y_{\infty} est le gpe libre engendré par les places à l'infini de K, , \beta est déduit de l'augmentation naturelle Y_{\infty} \to \mathbb{Z} (somme des valeurs)).

Si on prend \overline{\mathbb{Q}} la clôture algébrique de \mathbb{Q} dans \mathbb{C}, \mathbb{Z}' est le \gamma-module \mathbb{Z} où \rho opère par -\mathrm{id}_{\mathbb{Z}}. On a M \simeq \mathbb{Z}' \otimes_{\gamma} G, dans \mathbb{Z}' \otimes_{\gamma} G, un premier \mathbb{Z} est biffé

\begin{tikzcd}[column sep=small] 0 \arrow[r] & H^{1}(\mathbb{Q}, T)' \arrow[r] & \hat{H}_{0}(\gamma, Y'_{\infty}) \arrow[r] \arrow[d, "\simeq"] & \hat{H}_{0}(\gamma, \mathbb{Z}') \arrow[r] \arrow[d, no head] & 0 \\ & & Y_{\infty} \otimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \arrow[r, two heads] & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \end{tikzcd}

les deux traits verticaux sont, sur la page, un \simeq couché et un signe d'égalité ; après le dernier \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, un mot biffé

et donc on trouve H^{1}(\mathbb{Q}, T)' \simeq \text{gpe des combinaisons linéaires} [des] places à l'infini de K, à somme des coefficients nulle. i.e. coeff. dans \mathbb{F}_{2}

feuillet isolé, d'un autre sujet (familles épimorphiques dans une catégorie), barré de quatre longs traits obliques au crayon Lorsque cependant dans C les produits fibrés existent, alors il n'y a pas de différence entre épim. eff. et épim. strict, il n'y a plus que quatre (au lieu de cinq) variantes d'épimorphicité pour des familles, et ces ~~variantes~~ propriétés se reconnaissent déjà sur R le crible R (cet ).

Prop. 0. Les ~~cinq~~ notions ~~envisagées~~ [« épim. », « épim. stricte » ] sont ~~la propriété~~ stables par [les trois dernières variantes], de la famille, ne dépendent que des quarrables.

Soit G une partie de \mathrm{Ob}\, C, \underline{G} la sous-catégorie pleine engendrée.

Prop. 1. Conditions équivalentes

a) Pour tout X \in \mathrm{Ob}\, C la famille des flèches de but X, source \in G, est épimorphique (resp. épimorphique stricte).

b) Pour tout X \in \mathrm{Ob}\, C, considérant \underline{G}_{/X} \xrightarrow{\;i\;} C et le système inductif évident \varinjlim_{T \in \underline{G}/X} T \longrightarrow X , [i.e. un en sens inverse des foncteurs covariants [cov.] en Y], cet système est épimorphique (resp. isomorphique) [i.e. l'hom. de foncteurs cov. en Y est un mono, resp. un isom].

Dém. Le cas non respé est une tautologie, regardons le cas respé. La condition a) signifie que, si u_{i} : G_{i} \to X sont les différents objets de \underline{G}/X, alors \forall Y (i) h_{Y}(X) \to \prod_{i} h_{Y}(G_{i}) injectif et (ii) Pour des \xi_{i} \in h_{Y}(G_{i}), tels la page s'arrête sur ce mot ; la suite n'est pas dans ce lot (le feuillet 155 est blanc)

Corps de classes commutatif = Motifs à groupe fondamental motivique [connexe] commutatif (= Motifs métabéliens)

mots de sa main, seuls sur une couverture brune (feuillet 156) ; les crochets sont les siens, et « connexe » est une lecture douteuse. Les feuillets 158 et 160, d'une encre noire sur un papier jauni, suivent

K corps de nbres.

A anneau des entiers, fini libre sur \mathbb{Z}.

\underline{\underline{A}} schéma en anneaux sur \mathbb{Z}

\underline{\underline{A}}^{*} schéma en groupes.

\underline{\underline{A}}^{*}(\mathbb{Z}) = \emph{unités} = E.

E^{\circ} \subset E unités positives, d'indice fini de la forme 2^{\alpha} (\alpha \leq r_{1}) dans E, égal à E si K est purement imaginaire.

Le groupe de Galois de K rendu abélien est [une extension de \mathrm{Pic}(A) par] alors \underline{\underline{A}}^{*}(\hat{\mathbb{Z}})/E^{\circ} ou encore par \underline{\underline{A}}^{*}(\struck{\ill{}}\, \mathbb{Z} \times \mathbb{R}^{*}) / \struck{\text{composante}}\, \underline{\underline{A}}^{*}(\mathbb{Z}) divisé par la composante connexe. vérification en

Le schéma en groupes [connexe] sur \mathbb{Z} associé à K par la classification des motifs abéliens sur K, semble être alors G^{\circ} = \underline{\underline{A}}^{*} / \mathfrak{N} , où \mathfrak{N} est le sous-schéma en groupe de \underline{\underline{A}}^{*} adhérence de l'un des [sections] E^{\circ} sur \mathbb{Z}. + ~~schéma~~ de Zariski fermé et de E^{\circ} dans \underline{K}^{*}. les quatre dernières lignes sont peu sûres ; le soulignement double de \underline{K}^{*} est le sien

[Extension canonique de \gamma par (le tore) G^{\circ}],

\begin{tikzcd} 0 \arrow[r] & G^{\circ} \arrow[r] & G \arrow[r] & \gamma \arrow[r] \arrow[d, no head] & 0 \\ & & & \mathrm{Pic}(A)^{\mathrm{abs}} & \end{tikzcd}

le trait vertical est un signe d'égalité ; l'exposant de \mathrm{Pic}(A) se lit « abs », lecture douteuse

Ceci posé, à toute place \xi de K, sont associés des foncteurs

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] M_{\circ} \arrow[r, "\tilde{\xi}"] \arrow[rr, bend right=20, "\text{fibre en } \xi"'] & \text{Vectoriels sur } \mathbb{Q} \text{ avec opération de } G & \text{réseaux de Hodge} \end{tikzcd}

sous M_{\circ}, un signe d'égalité et « motifs abéliens » ; sous la flèche \tilde{\xi}, un \sim ; au-dessus du but, « fibre en \xi » ; « réseaux » est une lecture douteuse. Après « réseaux de Hodge », entre parenthèses : « + structure réelle si la place est réelle »

d'où un foncteur canonique \text{Vectoriels sur } \mathbb{Q} \text{ avec opération de } G \xrightarrow{\;\Phi_{\xi}\;} \text{réseaux de Hodge} (+ structure réelle si \xi réelle).

~~En \Phi_{\xi}~~ Ainsi, si V est un \mathbb{Q}-vectoriel sur lequel G opère, alors pour toute place \xi de K, on trouve une structure de Hodge sur V \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}. Il suffit d'ailleurs d'avoir les opérations de G^{\circ} sur V, i.e. de \underline{K}^{*} sur V [trivial sur E], + une place de [structure de] \tilde{\xi} de \widetilde{K}, pour en conclure la structure de Hodge. \widetilde{K} : corps de classes absolu