Cote n° 15 · batch 7 · pages 121–140 · Transcription · Théorie arithmétique. Théorie de Galois des motifs (1965) : notes manuscites (s.d.), tapuscrit (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1977]
Édition de démonstration

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122la page s'ouvre au milieu d'une phrase commencée au feuillet 120 (lot 6) de \(i\). Question de structure de positivité et […] analogie […] \(i\) fixé deux lignes biffées, la première d'un trait, la seconde d'un zigzag encadré Donc, grâce : en toutes circonstances spéciales, il y a des […] dans la positivité structure (polarisations positives) du \(G\). Les \(i\) fixés avec \(i\) dans la classe ci-dessous. \[\mathbb{G}_{m,\mathbb{C}} \xrightarrow{\; i \;} G_{\mathbb{C}} , \qquad \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}} \xrightarrow{\; i' \;} G_{\mathbb{C}}\] ces deux flèches sont écrites dans la marge de gauche, en regard des lignes qui les commentent Quid de l'arbitraire ? On constate que l'ens. [des] \(i - i'\) conjugués : […]\((\lambda)\), […]\((\lambda)\) définit un s-groupe d'indice fini de \(\mathrm{Hom}(\mathbb{G}_{m,\mathbb{C}}, G^{0}_{\mathbb{C}})\), mais cela ne donne aucune indication sur l'indice, ou désigner la composante des \(i_{0} - i'_{0}\) […] contenant \(i\) fixé. Question semble sérieuse.

le paragraphe suivant est marqué d'un double trait vertical en marge En tous cas, […] un deux groupe de \(\mathbb{R}\)-formes fibres polarisées, définies au moyen des différents \(i\).

Autre structure spécifique sur le \(G\), pour \(k\) un corps fini : d'après la forme de […], \(G_{\mathbb{C}} = D_{\mathbb{C}}(M)\), \(M \subset L^{*}\), comme \(L\) est […], tel que la conjugaison complexe, qui commute [à] \(\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\), induit sur \(M\) donc [sur] \(G\) une involution canonique, notée \(u \mapsto u'\). Dans […] […] n'est pas spécialisée, d'ailleurs fait sur […] […] l'identité, ce qui suffit pratiquement, la […]. Sur \(\mathrm{Hom}(\mathbb{G}_{m,\mathbb{C}}, G_{\mathbb{C}})\), \(u \mapsto u'\) induit la conjugaison complexe.

124Il ne semble pas que cette involution corresponde à une involution sur le groupe \(\mathcal{G}\) associé : \(M\) (en […] tenant […] de la propriété de connexion […] par […] l'élément fondamental composante des \(H^{2}(\mathbb{Q}, \struck{\ill{}}\,U)\) !, qui peut d'autres […] d'ordre divisé par \(2\) …). l'exposant de \(H\) est mal formé et lu \(2\) sans certitude ; devant \(U\), une lettre noircie. La page s'arrête ici, au premier tiers

127Définition. Soit \(K/\mathbb{Q}\) une extension [algébrique] de degré fini. On dit que \(K\) est tot. réel si pour tout \(\mathbb{Q}\)-homom. \(\sigma : K \to \mathbb{C}\), on a \(\sigma(K) \subset \mathbb{R}\). On dit qu'un élément \(x\) de \(K\) est tot. réel [(resp. tot. \(> 0\), tot. \(\geqslant 0\))] si pour tout \(\sigma\) comme dessus, on a \(\sigma(x) \in \mathbb{R}\) (resp. \(\sigma(x) > 0\), resp. \(\sigma(x) \geqslant 0\)). Tot\(^{t}\) (ou purement) imaginaire : ….

Scholie. Pour que \(x\) soit tot. réel, il faut et il suffit que \(\mathbb{Q}(x) \subset K\) le soit. Pour qu'il soit tot. \(\geqslant 0\), il faut et il suffit qu'il soit nul ou tot \(> 0\). Les éléments tot \(\geqslant 0\) […] [sont] les éléments \(\geqslant 0\) pour une relation d'ordre sur \(K\). [On notera […] \(x\) tot. \(\geqslant y\) ou \(x\) tot. \(\leqslant y\)]. Si \(K\) est [est] engendré par des ss-corps \(K_{\alpha}\), alors \(K\) est tot. réel ssi les \(K_{\alpha}\) le sont. Si \(K\) est engendré par des \(x_{\alpha}\), \(K\) tot. réel ssi […] les \(x_{\alpha}\) le sont.

Il existe, pour \(K\) donné, un plus grand ss-corps totalement réel de \(K\), appelé la clôture tot. réelle de \(\mathbb{Q}\) dans \(K\). Soit \(K\) \(\overline{\mathbb{Q}} \subset \mathbb{C}\), et \(\pi = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\), […] \(\tau \in \pi\) la conjugaison complexe \[\tau\lambda = \overline{\lambda} \qquad \text{pour } \lambda \in \overline{\mathbb{Q}}\] de sorte que \[\tau^{2} = 1 .\] Alors le ss-groupe \(\pi'\) de \(\pi\) qui invariant [correspond] à la clôture tot. réelle \(K\) \(\mathbb{K}\) […] de \(\mathbb{Q}\) dans \(\overline{\mathbb{Q}}\) est le […] ss-groupe invariant fermé engendré par \(\tau\), i.e. le ss-groupe invariant engendré par les \({}^{\sigma}\tau = \sigma\tau\sigma^{-1}\) (\(\sigma \in \pi\)).

dans la marge de gauche, une tour verticale : \(A\), \(L\), \(K\), \(\mathbb{Q}\), reliés par des traits Considérons la plus grande extension abélienne \(A\) de \(\mathbb{K}\), dont le groupe de Galois est donc \(H = \pi'/(\pi', \pi')\). Son Sur la phrase se poursuit au feuillet suivant ; le complément de « Sur » (sans doute \(H\)) n'est pas écrit

128le groupe \(G = \pi/\pi' = \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{Q})\) opère canoniquement, et il est engendré topologiquement par les \({}^{\sigma}\dot{\tau}\), où \(\dot{\tau} \in H\) est l'image de \(\tau\), et \(\sigma \in G\). Donc il est annulé par \(2\).

Soit \(L\) une extension abélienne de \(\mathbb{K}\), correspondant à la […] les conditions [son] groupe de Galois est donc un quotient \(\Gamma\) de \(H\) ; conditions supposons \(L \neq \mathbb{K}\), i.e. \(\Gamma \neq \{e\}\). Conditions équivalentes :

(i) les \(\sigma\tau\sigma^{-1}\) (\(\sigma \in \pi\)) coïncident toutes sur \(L\) (donc y coïncident avec \(\tau : \lambda \mapsto \overline{\lambda}\))

(ii) \(L\) est une extension quadratique de \(\mathbb{K}\) galoisienne sur \(\mathbb{Q}\).

(iii) \(L\) est une extension quadratique purement imaginaire de \(\mathbb{K}\). […] (iii) est écrit en interligne au-dessus d'une ligne raturée en zigzag

De plus, une telle \(L\) existe et est unique, [et d'ailleurs existe : il suffit de prendre une extension quadratique imaginaire \(E\) de \(\mathbb{Q}\) (p. ex. \(\mathbb{Q}(\sqrt{-1})\)), et \(L = \mathbb{Q}(\mathbb{K}, E)\) (p. ex. \(L = \mathbb{K}(\sqrt{-1})\))]. le paragraphe des conditions (i) à (iii) et de l'unicité est encadré à gauche d'un grand crochet

Dém. (i) \(\Rightarrow\) (ii). Comme \(\Gamma\) est engendré par les images […] des \({}^{\sigma}\tau\), […] et que l'hyp. de (i) signifie que ces images sont égales, on voit que ces images, que \(\Gamma\) est engendré par l'élément \(\dot{\tau}\) d'ordre \(\mid 2\), donc est \(\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) (car \(\Gamma \neq (e)\) par hypothèse). D'ailleurs, si un tel \(\Gamma\) existe, […] [il est] nécessairement égal à \(H_{G}\) (car […] […] est un quotient de \(H_{G}\), et l'argument précédent montre que […] \(H_{G}\) est engendré par un élément d'ordre \(\mid 2\). […] il existe tel et Il en résulte aussitôt que \(L\) est galoisien sur \(\mathbb{Q}\), donc (i) \(\Rightarrow\) (ii). D'autre part, (ii) \(\Rightarrow\) (i), car (ii) implique que \(\Gamma \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) [et que \(G\) y opère], et comme \(\Gamma\) est engendré par les images des \(\sigma\tau\sigma^{-1} = {}^{\sigma}\tau\), i.e. par les \({}^{\sigma}\dot{\tau}\), on voit que \(\dot{\tau}\) (donc les \({}^{\sigma}\dot{\tau}\)) sont tous égaux : l'unique élément […] […]. (i), (ii) \(\Longleftrightarrow\) (iii) car on remarque que \(L\) est quadratique sur \(\mathbb{K}\), la condition (i) sur les \(\sigma\tau\sigma^{-1}\) est évidemment équivalente à (iii).

129Corollaire. Soit \(L\) un […] sous-corps de \(\overline{\mathbb{Q}}\). Pour qu'on ait \(L \subset \mathbb{L}\), il faut et il suffit que \(L\) soit tot. réel, ou extension quadratique purement imaginaire d'un corps tot. réel.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\mathbb{K} \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & \mathbb{K}(L) \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & \mathbb{L} \\
K = \mathbb{K} \cap L \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & L & \\
\mathbb{Q} & &
\end{tikzcd}

ce schéma est dans la marge de gauche

Suffisance triviale par (iii). Nécessité : Par théorie de Galois, \(L\) est une extension de degré \(1\) ou \(2\) du corps tot. réel \(K = L \cap \mathbb{K}\), et il reste à prouver que lorsque \(L\) en est une extension quadratique, cette dernière est tot\(^{t}\) imaginaire. […] On a […] on est ramené à prouver : Lemme. Soit \(L\) une extension quadratique d'un corps tot. réel \(K\). Si \(L\) (quitte à remplacer \(L\) par un conjugué, [qui est engendré par \(K\)]) […] \(L\) […] \(\mathbb{K}(L)\) est imaginaire. Or s'il était réel, comme \(\mathbb{K}\) l'est, […] mais, on a \(\mathbb{K}(L) = \mathbb{L}\), absurde.

NB. \(\mathbb{L}\) est la plus grande extension galoisienne de \(\mathbb{Q}\) telle que dans son groupe de Galois \(G'\), l'image de \(\tau\) (conjugaison complexe) soit centrale. Donc \(\mathbb{L}\) contient l'extension abélienne maximale de \(\mathbb{Q}\), i.e. le corps des racines de l'unité.

130Proposition. Soit \(Q \in \mathbb{Q}^{*}\), et soit \(\lambda \in \mathbb{C}\) un nombre algébrique. Conditions équivalentes :

(a) Pour tout conjugué \(\lambda_{\alpha}\) de \(\lambda\), on a \(\lambda_{\alpha}\overline{\lambda}_{\alpha} = Q\) i.e. \(|\lambda_{\alpha}|^{2} = Q\).

(b) […] Il existe un corps [de nbres] totalement réel \(K\), tel que […] \(K(\lambda)\) soit égal à \(K\) ou une extension quadratique purement imaginaire de \(K\), et on a \(\lambda\overline{\lambda} = Q\) i.e. \(|\lambda|^{2} = Q\).

(b\('\)) Comme (b), avec \(K = \mathbb{Q}(a)\) […], où \(a = \lambda + \overline{\lambda} = \lambda + \frac{Q}{\lambda}\).

(b\(''\)) Il existe un nombre algébrique \(a\) tot. réel \(a\), avec […] \(4Q - a^{2}\) nul ou totalement positif, tel que \(\lambda\) satisfasse une équation \[\lambda^{2} - a\lambda + Q = 0 .\]

(c) Soit \(\mathbb{K}\) l'extension alg. tot. réelle maximale de \(\mathbb{Q}\), et \(\mathbb{L}\) l'unique extension quadratique de \(\mathbb{K}\) galoisienne sur \(\mathbb{Q}\). On a \(\lambda \in \mathbb{L}\), et […] \(\lambda\overline{\lambda} = Q\) i.e. \(|\lambda|^{2} = Q\).

Dém. a) \(\Longrightarrow\) b\(''\)) Posons \(a = \lambda + \overline{\lambda} = \lambda + \frac{Q}{\lambda}\). Je dis que \(a\) est tot. réel. En effet, les conjugués de \(a\) sont les […] \(a_{\alpha} = \lambda_{\alpha} + \frac{Q}{\lambda_{\alpha}}\), or par hypothèse \(\lambda_{\alpha}\overline{\lambda}_{\alpha} = Q\) donc \(a_{\alpha} = \lambda_{\alpha} + \overline{\lambda}_{\alpha} \in \mathbb{R}\). D'autre part, \(\lambda\) est solution de l'équation \[(T - \lambda)(T - \overline{\lambda}) = 0 \quad \text{i.e.} \quad T^{2} - aT + Q = 0 ,\] et par suite \(\lambda_{\alpha}\) est solution de l'équation \(T^{2} - a_{\alpha}T + Q = 0\), de plus l'autre solution étant \(\frac{Q}{\lambda_{\alpha}}\) [qui est égale : \(\overline{\lambda}_{\alpha}\)] […] comme […] \(\lambda_{\alpha}\overline{\lambda}_{\alpha} = Q\), les deux solutions sont \(\lambda_{\alpha}\) et \(\overline{\lambda}_{\alpha}\), donc complexes conjuguées. Cela montre que \(a_{\alpha}^{2} - 4Q \leqslant 0\), d'où i.e. \(4Q - a_{\alpha}^{2} \geqslant 0\), donc \(4Q - a^{2}\) est tot. positif]. sur la page, le coefficient constant de la seconde équation porte un indice raturé

b\(''\)) \(\Longrightarrow\) b\('\)) Il est évident que le corps \(\mathbb{Q}(a)\) est tot. réel, et \(\mathbb{Q}(\lambda) \supset \mathbb{Q}(a)\), [\(\lambda\) est de degré au plus deux sur \(\mathbb{Q}(a)\)] [car \(a = \lambda + \frac{Q}{\lambda}\)]. […] De plus […] Comme \(a^{2} - 4Q \leqslant 0\), les solutions de l'équation \(T^{2} - aT + Q = 0\) sont \(\lambda\) et \(\overline{\lambda}\) (cf. comme plus bas), et on a \(\lambda\overline{\lambda} = Q\), \(\lambda + \overline{\lambda} = a\).

131[Évident] « Évident » est écrit au-dessus de « Il faut prouver », qui n'est pas biffé Il faut prouver que si \(\lambda \notin \mathbb{K}\) i.e. \(a^{2} - 4Q \neq 0\) (cf. lemme plus bas), alors \(\lambda\) est purement \(\mathbb{Q}(\lambda)\) est purement imaginaire, i.e. les \(\lambda_{\alpha}\) sont tous non réels. Cela signifie que les Comme \(\lambda_{\alpha}\) est solution de l'équation \(T^{2} - a_{\alpha}T + Q = 0\), cela signifie que \(a_{\alpha}^{2} - 4Q < 0\), ce qui résulte du fait que \(4Q - a^{2}\) est tot \(\geqslant 0\).

b\('\)) \(\Longrightarrow\) b) trivial, […]

b) \(\Longrightarrow\) c) trivial, car \(\mathbb{K}(\lambda)\) est égal à \(\mathbb{K}\) ou une ext. quadratique purement imaginaire de \(\mathbb{K}\).

c) \(\Longrightarrow\) a) car si \(\lambda_{\alpha} = \sigma_{\alpha}(\lambda)\), on aura [\(\lambda_{\alpha} \in \mathbb{L}\), donc] […] \(\overline{\lambda}_{\alpha}\) est l'unique […] conjugué de \(\lambda_{\alpha}\) sur \(\mathbb{K}\), […] donc \[\lambda_{\alpha}\overline{\lambda}_{\alpha} = N_{\mathbb{L}/\mathbb{K}}(\lambda_{\alpha}) = N_{\mathbb{L}/\mathbb{K}}(\lambda) = \lambda\overline{\lambda} = Q .\]

Supposons \(Q \in \mathbb{Q}^{*+}\), \(L\) fini sur \(\mathbb{Q}\), […] réel (i.e. […] tot. réel). Corollaire (Soit \(L \subset \mathbb{L}\). Alors \(L\) est engendré par un \(\lambda\) tel que \(\lambda\overline{\lambda} = Q\). Si \(Q \in \mathbb{Z}\), on peut supposer que \(\lambda\) est entier. passage encadré et biffé de grandes boucles

Remarque. Soit \(K\) une extension finie tot. réelle de \(\mathbb{Q}\), et \(Q \in \mathbb{Q}^{*+}\), \(Q > 1\). Je dis qu'il existe alors une extension quadr. purement imaginaire \(L\) de \(K\), telle que et un entier \(i \geqslant 0\), tels que tels que \(L\) soit engendré [sur \(\mathbb{Q}\)] par un élément \(\lambda\) tel que \(\lambda\overline{\lambda} = Q^{i}\) i.e. \(|\lambda|^{2} = Q^{i}\). Si \(Q \in \mathbb{Z}\), on peut même prendre \(\lambda\) entier algébrique [on peut supposer \(a\) entier].

Dém. Soit \(a \in K\) tel que \(K\) \(K = \mathbb{Q}(a)\). [Soit \(i\) tel que] […] \(4Q^{i} - a^{2}\) soit tot. \(> 0\) (\(i\) assez grand pour que […] ; […] existe, car \(Q \in \mathbb{Q}\), \(Q > 1\)). Soit \(\lambda\) solution de l'équation \(\lambda^{2} - a\lambda + Q^{i} = 0\). Il satisfait à la condition voulue ; si \(Q\) est entier, il est entier, \(a\) l'étant.

132Notons que \(\lambda' = \lambda^{1/i}\) sera aussi dans \(\mathbb{L}\) (car \(\lambda\overline{\lambda} = Q\) […], et de même pour ses conjugués …), donc on voit ainsi qu'il existe un \(\lambda'\) […] \(\in \mathbb{L}\), avec \(\lambda'\overline{\lambda}' = |\lambda'|^{2} = Q\), tel que \(\mathbb{Q}(\lambda')\) soit p (purement) imaginaire et contienne \(K\) ; de plus, si \(Q\) est entier, on peut prendre \(\lambda'\) entier. « dans \(\mathbb{L}\) » : la double barre de la lettre n'est pas nette sur la page ; le sens l'impose. De même, \(\lambda\overline{\lambda} = Q\) est écrit ainsi, pour \(Q^{i}\)

Groupes de Galois motiviques commutatifs

titre de sa main, souligné, en tête du feuillet 134 ; la rédaction se poursuit aux feuillets 136 et 138

134\(k\) corps

\(\mathcal{M}\) catégorie des (iso)motifs (½simples) sur \(k\)

\(G\) lien de \(\mathcal{M}\), supposé commutatif.

\(\mathcal{G}\) gerbe des […] foncteurs fibres de \(\mathcal{M}\)

\(\mathcal{G}\)

\(\mathcal{G}_{0}\) \(\to\) \(\mathcal{M}_{0} \subset \mathcal{M}\), catégorie des Tate [engendrée] par \(\mathbb{Q}(1)\) de Tate

\(\mathcal{G}_{0}\), \(G_{0} = \mathbb{G}_{m}\) gerbe et lien correspondants \[\mathcal{G} \to \mathcal{G}_{0} , \qquad G \xrightarrow{\;\varepsilon\;} \mathbb{G}_{m} \qquad \text{épimorphismes}\] \(\mathcal{G}_{0}\) est neutralisée i.e. munie d'une section, correspondant au foncteur fibre \(\varphi\) \(\mathbb{Q}(1) \to \mathbb{Q}\) choisi sur \(\mathcal{M}_{0}\) [NB Comme \(H^{1}(\mathbb{Q}, \mathbb{G}_{m}) = 0\), deux foncteurs fibres sur \(\mathcal{M}_{0}\) sont [[…]] isomorphes].

Une trivialisation de \(\mathcal{G}_{0}\) permet de restreindre le lien de \(\mathcal{G}\) de \(G\) à : \(\operatorname{Ker}\varepsilon = V\) : on prend les foncteurs fibres munis d'un isom. de leur restriction à \(\mathcal{M}_{0}\) avec le foncteur fibre fixé sur \(\mathcal{M}_{0}\). Leur […] une nouvelle gerbe \(\mathcal{G}_{\varphi}\) de lien \(U\). la lettre après « Ker \(\varepsilon\) = » est un \(V\) écrit en surcharge, d'une encre plus noire, sur un \(U\) ; le \(U\) de la fin de l'alinéa n'est pas corrigé. Au feuillet 138, \(V \to G \xrightarrow{\varepsilon} \mathbb{G}_{m}\) vérif Giraud ?

Soit \(\mathcal{M}'\) la ss-catégorie de \(\mathcal{M}\) formée des objets \(M\) tels que les \(\otimes(M + \check{M})\) soient combinaisons d'un nb fini d'objets simples. [\(\mathcal{G}'\) la gerbe associée, \(G'\) le lien.] ([…] […] […]) \[\begin{array}{l} \mathcal{G} \longrightarrow \mathcal{G}' \longrightarrow 1 \\[2pt] 1 \longrightarrow G^{0} \longrightarrow G \xrightarrow{\ \text{épim.}\ } G' \longrightarrow 1 \end{array}\] Le noyau de \(G \to G'\) est la « composante neutre » \(G^{0}\). D'autre part, l'on sait que \(\mathcal{M}'\) est équivalente à une ss-catégorie [pleine de celle] des \(\mathbb{Q}\)-vectoriels tordus sur \(k\). Le choix d'une clôture algébrique \(\bar{k}\) de \(k\) fournit un

136foncteur fibre [\(\psi = \psi_{\bar{k}}\)] sur \(\mathcal{M}'\), i.e. une section de \(\mathcal{G}'\), d'où une […] restriction gerbe \(\mathcal{G}_{\psi}\) de lien \(G^{0}\), qui […] […] est reliée à la gerbe \(\mathcal{G}\) de lien \(G\) via \(G^{0} \to G\).

NB En général, \(H^{1}(\mathbb{Q}, \Gamma) \neq 1\), donc il y a ici un choix bis, […] de trivialisation de la gerbe \(\mathcal{M}'\).

[…] […] dans \(\mathcal{M}\) note entourée, écrite en biais dans la marge de gauche Considérons enfin la gerbe [ss-catégorie engendrée \(\mathcal{M}^{(0)}\) de \(\mathcal{M}\)] […] [par] \(\mathcal{M}_{0}\) et \(\mathcal{M}'\) : c'est la catégorie formée des sommes directes \[\sum_{i \in \mathbb{Z}} V_{i}(i) , \qquad \text{où les}\] \(V_{i}\) sont \(\in \mathcal{M}'\) et les \(V_{i} \in \mathcal{M}'\) sont tous nuls sauf un nb fini [NB \[\Bigl(\sum V_{i}(i)\Bigr) \otimes \Bigl(\sum W_{j}(j)\Bigr) = \sum_{h} \Bigl(\sum_{i+j=h} V_{i} \otimes W_{j}\Bigr)(h) , \qquad \Bigl(\sum V_{i}(i)\Bigr)^{\vee} = \sum \check{V}_{i}(-i) \,\Bigr]\] On trouve un foncteur fibre \[\sum_{i \in \mathbb{Z}} V_{i}(i) \longmapsto \sum V_{i}(\bar{k}) ,\] d'où \(\mathcal{G}^{(0)}\), \(G^{(0)} \simeq G' \times \mathbb{G}_{m}\) sous \(G^{(0)}\), un mot court, […]. Dans la marge de gauche :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\mathcal{M}_{0} \arrow[r, no head] & \mathcal{M}^{(0)} \\
 & \mathcal{M}' \arrow[u]
\end{tikzcd}

\[\begin{array}{l} \mathcal{G} \longrightarrow \mathcal{G}^{(0)} \\[2pt] 1 \longrightarrow U \longrightarrow G \longrightarrow G^{(0)} = \mathbb{G}_{m} \times G' \longrightarrow 1 \end{array}\] On trouve une neutralisation [gerbe] \(\mathcal{G}_{\chi}\) sous \(U\), reliée à la gerbe \(\mathcal{G}\) sous \(G\) […] et \(U \hookrightarrow G\).

138feuillet déchiré, écrit perpendiculairement à la cote ; on le lit ici tourné d'un quart de tour

\begin{tikzcd}
\mathcal{G}_{\varphi} \arrow[r] & \mathcal{G} \\
\mathcal{G}_{\chi} \arrow[u] \arrow[r] & \mathcal{G}_{\psi} \arrow[u]
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
 & G' & \\
V \arrow[r] & G \arrow[u] \arrow[r, "\varepsilon"] & \mathbb{G}_{m} \\
U \arrow[u] \arrow[r] & G^{0} \arrow[u] &
\end{tikzcd}

Soit \(k'\) une extension algébrique de \(k\), d'où un foncteur \[\begin{array}{l} \mathcal{M} \longrightarrow \mathcal{M}' \quad \text{catégorie des motifs sur } k' \text{ engendrée par les } M \otimes_{k} k',\ M \in \mathcal{M} . \\[2pt] \mathcal{M}^{(0)} \longrightarrow \mathcal{M}'^{(0)} \end{array}\] d'où \[\mathcal{G}' \longrightarrow \mathcal{G}\]

\begin{tikzcd}
G' \arrow[r, hook] \arrow[d] & G \arrow[d] \\
\Gamma' \arrow[r, no head] & \Gamma
\end{tikzcd}

sous \(\Gamma'\) et \(\Gamma\), reliés par un signe d'égalité vertical : \(G'/G'^{0}\) et \(G/G^{0}\). Ici les accents désignent les objets relatifs à \(k'\), non plus ceux de \(\mathcal{M}'\) des feuillets 134-136

L'homom. \(G' \hookrightarrow G\) définit est un monom. […], définit un isom. sur les comp. neutres.

\begin{tikzcd}
\mathcal{G}'_{\varphi'} \arrow[r, no head] & \mathcal{G}' \\
\mathcal{G}'_{\chi'} \arrow[u] \arrow[r] & \mathcal{G}'_{\psi'} \arrow[u]
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
\mathcal{G}_{\varphi} \arrow[r, no head] & \mathcal{G} \\
\mathcal{G}_{\chi} \arrow[u] \arrow[r, no head] & \mathcal{G}_{\psi} \arrow[u]
\end{tikzcd}

sur la page, une grosse flèche horizontale va du premier carré au second

\begin{tikzcd}
V' \arrow[r] & G' \\
U' \arrow[u] \arrow[r] & G'^{0} \arrow[u]
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
V \arrow[r, no head] & G \\
U \arrow[u] \arrow[r, no head] & G^{0} \arrow[u]
\end{tikzcd}

de même, une grosse flèche horizontale va du premier carré au second

En particulier, on trouve \[\mathcal{G}'_{\chi'} \longrightarrow \mathcal{G}_{\chi} , \qquad \mathcal{G}'_{\psi'} \longrightarrow \mathcal{G}_{\psi} ,\] \[U' \xrightarrow{\;\sim\;} U , \qquad G'^{0} \simeq G^{0} .\]

Motifs essentiellement abéliens et théorie du corps de classes

titre de sa main sur une couverture orange (feuillet 139), qui ne porte rien d'autre

140§1 (entouré) \(K\) extension finie de \(\mathbb{Q}\) \[T_{K} = \prod_{K/\mathbb{Q}} \mathbb{G}_{m} , \qquad N_{K/\mathbb{Q}} : T_{K} \to T_{\mathbb{Q}} = \mathbb{G}_{m} , \qquad V_{K} \, (\subset T_{K}) = \operatorname{Ker} N_{K/\mathbb{Q}} ;\] devant \(V_{K}\), un mot noirci \[1 \longrightarrow V_{K} \longrightarrow T_{K} \longrightarrow \mathbb{G}_{m} \longrightarrow 1\] NB Si \(E_{K}\) unités, alors \(E_{K} \cap V_{K}(\mathbb{Q})\) est d'indice \(1\) ou \(2\) dans \(E_{K}\), et contient \(E_{1,K}\) [unités complètes y compris à l'\(\infty\)]

Proposition. Soit \(V'_{K}\) [\(= V_{K}/R\)] un groupe quotient de \(V_{K}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) L'image de \(E_{1}\) dans \(V'_{K}(\mathbb{Q})\) est finie, i.e. \(R \cap E\) est d'indice fini dans \(E\).

(ii) Il existe un « module » \(\mathfrak{m}\) de \(K\) tel que \(T_{K} \to T_{\mathfrak{m}} = T/\overline{E}_{\mathfrak{m}}\) est nul sur \(R\), i.e. \(T' = T/R\) est majoré par le quotient \(T_{\mathfrak{m}}\) de \(T\).

(iii) \((V'_{K})_{\mathbb{R}}\) est un tore compact.

(iv) Si \(L\) […] est le plus grand sous-corps Weilien de \(K\), et \(L_{0} = L \cap \mathbb{R} \subset L\) (d'indice \(1\) ou \(2\) dans \(L\)) le plus grand sous-corps tot. réel de \(K\), Alors l'hom. […] (qui applique \(V_{K}\) dans \(V_{L}\)) \(R\) est dans [contient] le noyau de l'épimorphisme \(T\) \[V_{K} \xrightarrow{\;N_{K/L}\;} V_{L} \xrightarrow{\;\mathrm{can}\;} V_{L}/\operatorname{Im} V_{L_{0}} ,\] où \(V_{L_{0}} \to V_{L}\) est induit par l'inclusion \(T_{L_{0}} \hookrightarrow T_{L}\) ; i.e. \(V'_{K}\) « est » un quotient de \(V_{L}/\operatorname{Im} V_{L_{0}}\).

Dém. (i) signifie qu'il existe \(F \subset E_{1}\) [ss-gpe] d'indice fini dans \(E_{1}\) telle que \(V'\) soit majoré par \(V/\overline{F}\) (\(\overline{F}\), adhérence zariskienne de \(F\)) i.e. \(T'\) majoré par \(V/\overline{F}\) ; comme les \(E_{\mathfrak{m}}\) sont d'indice fini dans \(E_{1}\), on voit que (ii) \(\Rightarrow\) (i), et (i) \(\Rightarrow\) (ii) car tout sous-groupe […] d'indice fini de \(E_{1}\) (ou de \(E\), c'est kif) contient un groupe \(E_{\mathfrak{m}}\) (Chevalley).

(i) \(\Longrightarrow\) (iii) Car soit \(F = R \cap E\), de sorte que \(V'\) est majoré par \(V/\overline{F}\), donc \(V'_{\mathbb{R}}\) majoré par \(V_{\mathbb{R}}/\overline{F}\) [où maintenant \(\overline{F}\) désigne l'adhérence zariskienne dans \(V_{\mathbb{R}}\)), et \(V'(\mathbb{R}) = V(\mathbb{R})/\overline{F}(\mathbb{R})\)]. Or on sait que \[V_{\mathbb{R}} \subset (\mathbb{R}^{*r_{1}} \times \mathbb{C}^{*r_{2}})\] […] [formé des systèmes \((\lambda_{i})(\mu_{j})\) tels que \(\prod \lambda_{i} \prod |\mu_{j}|^{2} = 1\)], et \(E_{1}\) (donc \(F\)) est un en interligne, au-dessus de la parenthèse : \(\simeq \mathbb{R}^{*(r_{1}+r_{2})} \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{r_{1}} \times \mathbb{U}^{r_{2}}\), suivi d'un passage biffé, « i.e. \((\lambda_{i})(\varepsilon_{j}), (u_{j})\) tels que \(\prod \lambda_{i} = 1\) » ; l'exposant de la parenthèse, et un signe après l'astérisque de \(\mathbb{R}^{*}\), sont […]. La phrase se poursuit au-delà du feuillet