Fonds Grothendieck, cote n° 15, pages 121–140

la page s'ouvre au milieu d'une phrase commencée au feuillet 120 (lot 6) de i. ~~Question de structure de positivité et~~ ~~analogie i fixé~~ deux lignes biffées, la première d'un trait, la seconde d'un zigzag encadré Donc, grâce : en toutes circonstances spéciales, il y a des dans la ~~positivité~~ structure (polarisations positives) du G. Les i fixés avec i dans la classe ci-dessous. \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}} \xrightarrow{\; i \;} G_{\mathbb{C}} , \qquad \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}} \xrightarrow{\; i' \;} G_{\mathbb{C}} ces deux flèches sont écrites dans la marge de gauche, en regard des lignes qui les commentent Quid de l'arbitraire ? On constate que l'ens. [des] i - i' ~~conjugués : (\lambda), (\lambda)~~ définit un s-groupe d'indice fini de \mathrm{Hom}(\mathbb{G}_{m,\mathbb{C}}, G^{0}_{\mathbb{C}}), mais cela ne donne aucune indication sur l'indice, ou désigner la composante des i_{0} - i'_{0} contenant i fixé. Question semble sérieuse.

le paragraphe suivant est marqué d'un double trait vertical en marge En tous cas, un ~~deux~~ groupe de \mathbb{R}-formes fibres polarisées, définies au moyen des différents i.

Autre structure spécifique sur le G, pour k un corps fini : d'après la forme de , G_{\mathbb{C}} = D_{\mathbb{C}}(M), M \subset L^{*}, comme L est , tel que la conjugaison complexe, qui commute à \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}), induit sur M donc sur G une involution canonique, notée u \mapsto u'. Dans n'est pas spécialisée, d'ailleurs fait sur l'identité, ce qui suffit pratiquement, la . Sur \mathrm{Hom}(\mathbb{G}_{m,\mathbb{C}}, G_{\mathbb{C}}), u \mapsto u' induit la conjugaison complexe.

Il ne semble pas que cette involution corresponde à une involution sur le ~~groupe~~ \mathcal{G} associé : M (en ~~tenant~~ de la propriété de connexion par l'élément fondamental composante des H^{2}(\mathbb{Q}, \struck{\ill{}}\,U) !, qui peut ~~d'autres~~ d'ordre divisé par 2 …). l'exposant de H est mal formé et lu 2 sans certitude ; devant U, une lettre noircie. La page s'arrête ici, au premier tiers

Définition. Soit K/\mathbb{Q} une extension [algébrique] ~~de degré fini~~. On dit que K est tot. réel si pour tout \mathbb{Q}-homom. \sigma : K \to \mathbb{C}, on a \sigma(K) \subset \mathbb{R}. On dit qu'un élément x de K est tot. réel [(resp. tot. > 0, tot. \geqslant 0)] si pour tout \sigma comme dessus, on a \sigma(x) \in \mathbb{R} (resp. \sigma(x) > 0, resp. \sigma(x) \geqslant 0). Tot^{t} (ou purement) imaginaire : ….

Scholie. Pour que x soit tot. réel, il faut et il suffit que \mathbb{Q}(x) \subset K le soit. Pour qu'il soit tot. \geqslant 0, il faut et il suffit qu'il soit nul ou tot > 0. Les éléments tot \geqslant 0 [sont] les éléments \geqslant 0 pour une relation d'ordre sur K. [On notera x tot. \geqslant y ou x tot. \leqslant y]. Si K ~~est~~ [est] engendré par des ss-corps K_{\alpha}, alors K est tot. réel ssi les K_{\alpha} le sont. Si K est engendré par des x_{\alpha}, K tot. réel ssi les x_{\alpha} le sont.

Il existe, pour K donné, un plus grand ss-corps totalement réel de K, appelé la clôture tot. réelle de \mathbb{Q} dans K. Soit K \overline{\mathbb{Q}} \subset \mathbb{C}, et \pi = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}), \tau \in \pi la conjugaison complexe \tau\lambda = \overline{\lambda} \qquad \text{pour } \lambda \in \overline{\mathbb{Q}} de sorte que \tau^{2} = 1 . Alors le ss-groupe \pi' de \pi qui ~~invariant~~ [correspond] à la clôture tot. réelle K \mathbb{K} de \mathbb{Q} dans \overline{\mathbb{Q}} est le ss-groupe invariant fermé engendré par \tau, i.e. le ss-groupe invariant engendré par les {}^{\sigma}\tau = \sigma\tau\sigma^{-1} (\sigma \in \pi).

dans la marge de gauche, une tour verticale : A, L, K, \mathbb{Q}, reliés par des traits Considérons la plus grande extension abélienne A de \mathbb{K}, dont le groupe de Galois est donc H = \pi'/(\pi', \pi'). ~~Son~~ Sur la phrase se poursuit au feuillet suivant ; le complément de « Sur » (sans doute H) n'est pas écrit

le groupe G = \pi/\pi' = \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{Q}) opère canoniquement, et il est engendré topologiquement par les {}^{\sigma}\dot{\tau}, où \dot{\tau} \in H est l'image de \tau, et \sigma \in G. Donc il est annulé par 2.

Soit L une extension abélienne de \mathbb{K}, ~~correspondant à la~~ ~~les conditions~~ [son] groupe de Galois est donc un quotient \Gamma de H ; ~~conditions~~ supposons L \neq \mathbb{K}, i.e. \Gamma \neq \{e\}. Conditions équivalentes :

(i) les \sigma\tau\sigma^{-1} (\sigma \in \pi) coïncident toutes sur L (donc y coïncident avec \tau : \lambda \mapsto \overline{\lambda})

(ii) L est une extension quadratique de \mathbb{K} galoisienne sur \mathbb{Q}.

(iii) L est une extension quadratique purement imaginaire de \mathbb{K}. (iii) est écrit en interligne au-dessus d'une ligne raturée en zigzag

De plus, une telle L ~~existe et~~ est unique, [et d'ailleurs existe : il suffit de prendre une extension quadratique imaginaire E de \mathbb{Q} (p. ex. \mathbb{Q}(\sqrt{-1})), et L = \mathbb{Q}(\mathbb{K}, E) (p. ex. L = \mathbb{K}(\sqrt{-1}))]. le paragraphe des conditions (i) à (iii) et de l'unicité est encadré à gauche d'un grand crochet

Dém. (i) \Rightarrow (ii). Comme \Gamma est engendré par les images des {}^{\sigma}\tau, et que l'hyp. de (i) signifie que ces images sont égales, on voit que ces images, que \Gamma est engendré par l'élément \dot{\tau} d'ordre \mid 2, donc est \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} (car \Gamma \neq (e) par hypothèse). D'ailleurs, si un tel \Gamma existe, [il est] nécessairement égal à H_{G} (car est un quotient de H_{G}, et l'argument précédent montre que H_{G} est engendré par un élément d'ordre \mid 2. ~~il existe tel et~~ Il en résulte aussitôt que L est galoisien sur \mathbb{Q}, donc (i) \Rightarrow (ii). D'autre part, (ii) \Rightarrow (i), car (ii) implique que \Gamma \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} [et que G y opère], et comme \Gamma est engendré par les images des \sigma\tau\sigma^{-1} = {}^{\sigma}\tau, i.e. par les {}^{\sigma}\dot{\tau}, on voit que \dot{\tau} (donc les {}^{\sigma}\dot{\tau}) sont tous égaux : l'unique élément . (i), (ii) \Longleftrightarrow (iii) car on remarque que L est quadratique sur \mathbb{K}, la condition (i) sur les \sigma\tau\sigma^{-1} est évidemment équivalente à (iii).

Corollaire. Soit L un sous-corps de \overline{\mathbb{Q}}. Pour qu'on ait L \subset \mathbb{L}, il faut et il suffit que L soit tot. réel, ou extension quadratique purement imaginaire d'un corps tot. réel.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \mathbb{K} \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & \mathbb{K}(L) \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & \mathbb{L} \\ K = \mathbb{K} \cap L \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & L & \\ \mathbb{Q} & & \end{tikzcd}

ce schéma est dans la marge de gauche

Suffisance triviale par (iii). Nécessité : Par théorie de Galois, L est une extension de degré 1 ou 2 du corps tot. réel K = L \cap \mathbb{K}, et il reste à prouver que lorsque L en est une extension quadratique, cette dernière est tot^{t} imaginaire. On a on est ramené à prouver : ~~Lemme. Soit L une extension quadratique d'un corps tot. réel K. Si L~~ (quitte à remplacer L par un conjugué, [qui est engendré par K]) L \mathbb{K}(L) est imaginaire. Or s'il était réel, comme \mathbb{K} l'est, mais, on a \mathbb{K}(L) = \mathbb{L}, absurde.

NB. \mathbb{L} est la plus grande extension galoisienne de \mathbb{Q} telle que dans son groupe de Galois G', l'image de \tau (conjugaison complexe) soit centrale. Donc \mathbb{L} contient l'extension abélienne maximale de \mathbb{Q}, i.e. le corps des racines de l'unité.

Proposition. Soit Q \in \mathbb{Q}^{*}, et soit \lambda \in \mathbb{C} un nombre algébrique. Conditions équivalentes :

(a) Pour tout conjugué \lambda_{\alpha} de \lambda, on a \lambda_{\alpha}\overline{\lambda}_{\alpha} = Q i.e. |\lambda_{\alpha}|^{2} = Q.

(b) Il existe un corps [de nbres] totalement réel K, tel que K(\lambda) soit égal à K ou une extension quadratique purement imaginaire de K, et on a \lambda\overline{\lambda} = Q i.e. |\lambda|^{2} = Q.

(b') Comme (b), avec K = \mathbb{Q}(a) , où a = \lambda + \overline{\lambda} = \lambda + \frac{Q}{\lambda}.

(b'') Il existe un nombre algébrique a tot. réel a, avec 4Q - a^{2} nul ou totalement positif, tel que \lambda satisfasse une équation \lambda^{2} - a\lambda + Q = 0 .

(c) Soit \mathbb{K} l'extension alg. tot. réelle maximale de \mathbb{Q}, et \mathbb{L} l'unique extension quadratique de \mathbb{K} galoisienne sur \mathbb{Q}. On a \lambda \in \mathbb{L}, et \lambda\overline{\lambda} = Q i.e. |\lambda|^{2} = Q.

Dém. a) \Longrightarrow b'') Posons a = \lambda + \overline{\lambda} = \lambda + \frac{Q}{\lambda}. Je dis que a est tot. réel. En effet, les conjugués de a sont les a_{\alpha} = \lambda_{\alpha} + \frac{Q}{\lambda_{\alpha}}, or par hypothèse \lambda_{\alpha}\overline{\lambda}_{\alpha} = Q donc a_{\alpha} = \lambda_{\alpha} + \overline{\lambda}_{\alpha} \in \mathbb{R}. D'autre part, \lambda est solution de l'équation (T - \lambda)(T - \overline{\lambda}) = 0 \quad \text{i.e.} \quad T^{2} - aT + Q = 0 , et par suite \lambda_{\alpha} est solution de l'équation T^{2} - a_{\alpha}T + Q = 0, ~~de plus~~ l'autre solution étant \frac{Q}{\lambda_{\alpha}} [qui est égale : \overline{\lambda}_{\alpha}] comme \lambda_{\alpha}\overline{\lambda}_{\alpha} = Q, les deux solutions sont \lambda_{\alpha} et \overline{\lambda}_{\alpha}, donc complexes conjuguées. Cela montre que a_{\alpha}^{2} - 4Q \leqslant 0, ~~d'où~~ i.e. 4Q - a_{\alpha}^{2} \geqslant 0, donc 4Q - a^{2} est tot. positif]. sur la page, le coefficient constant de la seconde équation porte un indice raturé

b'') \Longrightarrow b') Il est évident que le corps \mathbb{Q}(a) est tot. réel, et \mathbb{Q}(\lambda) \supset \mathbb{Q}(a), [\lambda est de degré au plus deux sur \mathbb{Q}(a)] [car a = \lambda + \frac{Q}{\lambda}]. ~~De plus~~ Comme a^{2} - 4Q \leqslant 0, les solutions de l'équation T^{2} - aT + Q = 0 sont \lambda et \overline{\lambda} (cf. comme plus bas), et on a \lambda\overline{\lambda} = Q, \lambda + \overline{\lambda} = a.

[Évident] « Évident » est écrit au-dessus de « Il faut prouver », qui n'est pas biffé Il faut prouver que si \lambda \notin \mathbb{K} i.e. a^{2} - 4Q \neq 0 (cf. lemme plus bas), alors ~~\lambda est purement~~ \mathbb{Q}(\lambda) est purement imaginaire, i.e. les \lambda_{\alpha} sont tous non réels. ~~Cela signifie que les~~ Comme \lambda_{\alpha} est solution de l'équation T^{2} - a_{\alpha}T + Q = 0, cela signifie que a_{\alpha}^{2} - 4Q < 0, ce qui résulte du fait que 4Q - a^{2} est tot \geqslant 0.

b') \Longrightarrow b) trivial,

b) \Longrightarrow c) trivial, car \mathbb{K}(\lambda) est égal à \mathbb{K} ou une ext. quadratique purement imaginaire de \mathbb{K}.

c) \Longrightarrow a) car si \lambda_{\alpha} = \sigma_{\alpha}(\lambda), on aura [\lambda_{\alpha} \in \mathbb{L}, donc] \overline{\lambda}_{\alpha} est l'unique conjugué de \lambda_{\alpha} sur \mathbb{K}, donc \lambda_{\alpha}\overline{\lambda}_{\alpha} = N_{\mathbb{L}/\mathbb{K}}(\lambda_{\alpha}) = N_{\mathbb{L}/\mathbb{K}}(\lambda) = \lambda\overline{\lambda} = Q .

Supposons Q \in \mathbb{Q}^{*+}, L fini sur \mathbb{Q}, réel (i.e. tot. réel). Corollaire (Soit L \subset \mathbb{L}. Alors L est engendré par un \lambda tel que \lambda\overline{\lambda} = Q. Si Q \in \mathbb{Z}, on peut supposer que \lambda est entier. passage encadré et biffé de grandes boucles

Remarque. Soit K une extension finie tot. réelle de \mathbb{Q}, et Q \in \mathbb{Q}^{*+}, Q > 1. Je dis qu'il existe alors une extension quadr. purement imaginaire L de K, ~~telle que~~ et un entier i \geqslant 0, ~~tels que~~ tels que L soit engendré [sur \mathbb{Q}] par un élément \lambda tel que \lambda\overline{\lambda} = Q^{i} i.e. |\lambda|^{2} = Q^{i}. Si Q \in \mathbb{Z}, on peut même prendre \lambda entier algébrique [on peut supposer a entier].

Dém. Soit a \in K tel que K K = \mathbb{Q}(a). [Soit i tel que] 4Q^{i} - a^{2} soit tot. > 0 (i assez grand pour que ; existe, car Q \in \mathbb{Q}, Q > 1). Soit \lambda solution de l'équation \lambda^{2} - a\lambda + Q^{i} = 0. Il satisfait à la condition voulue ; si Q est entier, il est entier, a l'étant.

Notons que \lambda' = \lambda^{1/i} sera aussi dans \mathbb{L} (car \lambda\overline{\lambda} = Q , et de même pour ses conjugués …), donc on voit ainsi qu'il existe un \lambda' \in \mathbb{L}, avec \lambda'\overline{\lambda}' = |\lambda'|^{2} = Q, tel que \mathbb{Q}(\lambda') soit p (purement) imaginaire et contienne K ; de plus, si Q est entier, on peut prendre \lambda' entier. « dans \mathbb{L} » : la double barre de la lettre n'est pas nette sur la page ; le sens l'impose. De même, \lambda\overline{\lambda} = Q est écrit ainsi, pour Q^{i}

Groupes de Galois motiviques commutatifs

titre de sa main, souligné, en tête du feuillet 134 ; la rédaction se poursuit aux feuillets 136 et 138

k corps

\mathcal{M} catégorie des (iso)motifs (½simples) sur k

G lien de \mathcal{M}, ~~supposé commutatif~~.

\mathcal{G} gerbe des foncteurs fibres de \mathcal{M}

~~\mathcal{G}~~

~~\mathcal{G}_{0}~~ \to \mathcal{M}_{0} \subset \mathcal{M}, catégorie ~~des Tate~~ [engendrée] par \mathbb{Q}(1) de Tate

\mathcal{G}_{0}, G_{0} = \mathbb{G}_{m} gerbe et lien correspondants \mathcal{G} \to \mathcal{G}_{0} , \qquad G \xrightarrow{\;\varepsilon\;} \mathbb{G}_{m} \qquad \text{épimorphismes} \mathcal{G}_{0} est neutralisée i.e. munie d'une section, correspondant au foncteur fibre \varphi ~~\mathbb{Q}(1) \to \mathbb{Q}~~ choisi sur \mathcal{M}_{0} [NB Comme H^{1}(\mathbb{Q}, \mathbb{G}_{m}) = 0, deux foncteurs fibres sur \mathcal{M}_{0} sont [] isomorphes].

Une trivialisation de \mathcal{G}_{0} permet de restreindre le lien de \mathcal{G} de G à : \operatorname{Ker}\varepsilon = V : on prend les foncteurs fibres munis d'un isom. de leur restriction à \mathcal{M}_{0} avec le foncteur fibre fixé sur \mathcal{M}_{0}. Leur une nouvelle gerbe \mathcal{G}_{\varphi} de lien U. la lettre après « Ker \varepsilon = » est un V écrit en surcharge, d'une encre plus noire, sur un U ; le U de la fin de l'alinéa n'est pas corrigé. Au feuillet 138, V \to G \xrightarrow{\varepsilon} \mathbb{G}_{m} vérif Giraud ?

Soit \mathcal{M}' la ss-catégorie de \mathcal{M} formée des objets M tels que les \otimes(M + \check{M}) soient combinaisons d'un nb fini d'objets simples. [\mathcal{G}' la gerbe associée, G' le lien.] ( ) \begin{array}{l} \mathcal{G} \longrightarrow \mathcal{G}' \longrightarrow 1 \\[2pt] 1 \longrightarrow G^{0} \longrightarrow G \xrightarrow{\ \text{épim.}\ } G' \longrightarrow 1 \end{array} Le noyau de G \to G' est la « composante neutre » G^{0}. D'autre part, l'on sait que \mathcal{M}' est équivalente à une ss-catégorie [pleine de celle] des \mathbb{Q}-vectoriels tordus sur k. Le choix d'une clôture algébrique \bar{k} de k fournit un

foncteur fibre [\psi = \psi_{\bar{k}}] sur \mathcal{M}', i.e. une section de \mathcal{G}', d'où une ~~restriction~~ gerbe \mathcal{G}_{\psi} de lien G^{0}, qui est reliée à la gerbe \mathcal{G} de lien G via G^{0} \to G.

NB En général, H^{1}(\mathbb{Q}, \Gamma) \neq 1, donc il y a ici un choix bis, de trivialisation de la gerbe \mathcal{M}'.

dans \mathcal{M} note entourée, écrite en biais dans la marge de gauche Considérons enfin la ~~gerbe~~ [ss-catégorie engendrée \mathcal{M}^{(0)} de \mathcal{M}] [par] \mathcal{M}_{0} et \mathcal{M}' : c'est la catégorie formée des sommes directes \sum_{i \in \mathbb{Z}} V_{i}(i) , \qquad \text{où les} V_{i} sont \in \mathcal{M}' et les V_{i} \in \mathcal{M}' sont tous nuls sauf un nb fini [NB \Bigl(\sum V_{i}(i)\Bigr) \otimes \Bigl(\sum W_{j}(j)\Bigr) = \sum_{h} \Bigl(\sum_{i+j=h} V_{i} \otimes W_{j}\Bigr)(h) , \qquad \Bigl(\sum V_{i}(i)\Bigr)^{\vee} = \sum \check{V}_{i}(-i) \,\Bigr] On trouve un foncteur fibre \sum_{i \in \mathbb{Z}} V_{i}(i) \longmapsto \sum V_{i}(\bar{k}) , d'où \mathcal{G}^{(0)}, G^{(0)} \simeq G' \times \mathbb{G}_{m} sous G^{(0)}, un mot court, . Dans la marge de gauche :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \mathcal{M}_{0} \arrow[r, no head] & \mathcal{M}^{(0)} \\ & \mathcal{M}' \arrow[u] \end{tikzcd}

\begin{array}{l} \mathcal{G} \longrightarrow \mathcal{G}^{(0)} \\[2pt] 1 \longrightarrow U \longrightarrow G \longrightarrow G^{(0)} = \mathbb{G}_{m} \times G' \longrightarrow 1 \end{array} On trouve une ~~neutralisation~~ [gerbe] \mathcal{G}_{\chi} sous U, reliée à la gerbe \mathcal{G} sous G et U \hookrightarrow G.

feuillet déchiré, écrit perpendiculairement à la cote ; on le lit ici tourné d'un quart de tour

\begin{tikzcd} \mathcal{G}_{\varphi} \arrow[r] & \mathcal{G} \\ \mathcal{G}_{\chi} \arrow[u] \arrow[r] & \mathcal{G}_{\psi} \arrow[u] \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} & G' & \\ V \arrow[r] & G \arrow[u] \arrow[r, "\varepsilon"] & \mathbb{G}_{m} \\ U \arrow[u] \arrow[r] & G^{0} \arrow[u] & \end{tikzcd}

Soit k' une extension algébrique de k, d'où un foncteur \begin{array}{l} \mathcal{M} \longrightarrow \mathcal{M}' \quad \text{catégorie des motifs sur } k' \text{ engendrée par les } M \otimes_{k} k',\ M \in \mathcal{M} . \\[2pt] \mathcal{M}^{(0)} \longrightarrow \mathcal{M}'^{(0)} \end{array} d'où \mathcal{G}' \longrightarrow \mathcal{G}

\begin{tikzcd} G' \arrow[r, hook] \arrow[d] & G \arrow[d] \\ \Gamma' \arrow[r, no head] & \Gamma \end{tikzcd}

sous \Gamma' et \Gamma, reliés par un signe d'égalité vertical : G'/G'^{0} et G/G^{0}. Ici les accents désignent les objets relatifs à k', non plus ceux de \mathcal{M}' des feuillets 134-136

L'homom. G' \hookrightarrow G ~~définit~~ est un monom. , définit un isom. sur les comp. neutres.

\begin{tikzcd} \mathcal{G}'_{\varphi'} \arrow[r, no head] & \mathcal{G}' \\ \mathcal{G}'_{\chi'} \arrow[u] \arrow[r] & \mathcal{G}'_{\psi'} \arrow[u] \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} \mathcal{G}_{\varphi} \arrow[r, no head] & \mathcal{G} \\ \mathcal{G}_{\chi} \arrow[u] \arrow[r, no head] & \mathcal{G}_{\psi} \arrow[u] \end{tikzcd}

sur la page, une grosse flèche horizontale va du premier carré au second

\begin{tikzcd} V' \arrow[r] & G' \\ U' \arrow[u] \arrow[r] & G'^{0} \arrow[u] \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} V \arrow[r, no head] & G \\ U \arrow[u] \arrow[r, no head] & G^{0} \arrow[u] \end{tikzcd}

de même, une grosse flèche horizontale va du premier carré au second

En particulier, on trouve \mathcal{G}'_{\chi'} \longrightarrow \mathcal{G}_{\chi} , \qquad \mathcal{G}'_{\psi'} \longrightarrow \mathcal{G}_{\psi} , U' \xrightarrow{\;\sim\;} U , \qquad G'^{0} \simeq G^{0} .

Motifs essentiellement abéliens et théorie du corps de classes

titre de sa main sur une couverture orange (feuillet 139), qui ne porte rien d'autre

§1 (entouré) K extension finie de \mathbb{Q} T_{K} = \prod_{K/\mathbb{Q}} \mathbb{G}_{m} , \qquad N_{K/\mathbb{Q}} : T_{K} \to T_{\mathbb{Q}} = \mathbb{G}_{m} , \qquad V_{K} \, (\subset T_{K}) = \operatorname{Ker} N_{K/\mathbb{Q}} ; devant V_{K}, un mot noirci 1 \longrightarrow V_{K} \longrightarrow T_{K} \longrightarrow \mathbb{G}_{m} \longrightarrow 1 NB Si E_{K} unités, alors E_{K} \cap V_{K}(\mathbb{Q}) est d'indice 1 ou 2 dans E_{K}, et contient E_{1,K} [unités complètes y compris à l'\infty]

Proposition. Soit V'_{K} [= V_{K}/R] un groupe quotient de V_{K}. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) L'image de E_{1} dans V'_{K}(\mathbb{Q}) est finie, i.e. R \cap E est d'indice fini dans E.

(ii) Il existe un « module » \mathfrak{m} de K tel que T_{K} \to T_{\mathfrak{m}} = T/\overline{E}_{\mathfrak{m}} est nul sur R, i.e. T' = T/R est majoré par le quotient T_{\mathfrak{m}} de T.

(iii) (V'_{K})_{\mathbb{R}} est un tore compact.

(iv) Si L est le plus grand sous-corps Weilien de K, et L_{0} = L \cap \mathbb{R} \subset L (d'indice 1 ou 2 dans L) ~~le plus grand sous-corps tot. réel de K~~, ~~Alors l'hom. (qui applique V_{K} dans V_{L})~~ R ~~est dans~~ [contient] le noyau de l'~~épi~~morphisme T V_{K} \xrightarrow{\;N_{K/L}\;} V_{L} \xrightarrow{\;\mathrm{can}\;} V_{L}/\operatorname{Im} V_{L_{0}} , où V_{L_{0}} \to V_{L} est induit par l'inclusion T_{L_{0}} \hookrightarrow T_{L} ; i.e. V'_{K} « est » un quotient de V_{L}/\operatorname{Im} V_{L_{0}}.

Dém. (i) signifie qu'il existe F \subset E_{1} [ss-gpe] d'indice fini dans E_{1} telle que V' soit majoré par V/\overline{F} (\overline{F}, adhérence zariskienne de F) i.e. T' majoré par V/\overline{F} ; comme les E_{\mathfrak{m}} sont d'indice fini dans E_{1}, on voit que (ii) \Rightarrow (i), et (i) \Rightarrow (ii) car tout sous-groupe d'indice fini de E_{1} (ou de E, c'est kif) contient un groupe E_{\mathfrak{m}} (Chevalley).

(i) \Longrightarrow (iii) Car soit F = R \cap E, de sorte que V' est majoré par V/\overline{F}, donc V'_{\mathbb{R}} majoré par V_{\mathbb{R}}/\overline{F} [où maintenant \overline{F} désigne l'adhérence zariskienne dans V_{\mathbb{R}}), et V'(\mathbb{R}) = V(\mathbb{R})/\overline{F}(\mathbb{R})]. Or on sait que V_{\mathbb{R}} \subset (\mathbb{R}^{*r_{1}} \times \mathbb{C}^{*r_{2}}) [formé des systèmes (\lambda_{i})(\mu_{j}) tels que \prod \lambda_{i} \prod |\mu_{j}|^{2} = 1], et E_{1} (donc F) est un en interligne, au-dessus de la parenthèse : \simeq \mathbb{R}^{*(r_{1}+r_{2})} \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{r_{1}} \times \mathbb{U}^{r_{2}}, suivi d'un passage biffé, « i.e. (\lambda_{i})(\varepsilon_{j}), (u_{j}) tels que \prod \lambda_{i} = 1 » ; l'exposant de la parenthèse, et un signe après l'astérisque de \mathbb{R}^{*}, sont . La phrase se poursuit au-delà du feuillet