Cote n° 15 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · Théorie arithmétique. Théorie de Galois des motifs (1965) : notes manuscites (s.d.), tapuscrit (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1977]
Édition de démonstration

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101la page s'ouvre au milieu de la phrase « Vérifions que cela donne bien » qui termine le feuillet 99 (lot 5)

le […] correct pour les \(G/G^{\circ}\) : celui-ci en effet, il est dual d'un gpe des racines de l'unité, et ce dernier est bien le dual de \(\hat{\mathbf{Z}}\) !

\[M(q^{m}) \subset M(q) \subset M(p), \qquad q = p^{n},\] \[M(q^{m})^{m} \subset M(q)^{m} \subset M(q^{m}) \subset M(q).\] ces deux lignes de formules sont écrites dans la moitié gauche du feuillet, en regard du texte qui suit ; « \(= p^{n}\) » est noté sous le \(q\) de \(M(q)\)

Soit \(M(q)\) le s-gpe de \(\mathbf{Q}'(i)^{*}\) qui se définit en termes de […] ci-dessus, soit […] \(f_{q} \in G(q)\) son dual, qui est le gpe de Galois motivique de \(\mathbf{F}_{q}\). Considérons l'extension \(\mathbf{F}_{q^{m}}\) de \(\mathbf{F}_{q}\), […]

\(M(q) \simeq \mathbf{Z} \times M^{\circ}(q)\) si \(q = p^{r}\), \(r\) pair ; \(M^{\circ}(q)\) formé des unités \(u \in \mathbf{Q}'(i)^{*}\) exc. \(p\), et […] […] conjugués entre eux) qui satisfont à \(v_{\mathfrak{p}}(u) + v_{\mathfrak{p}'}(u) = 0\) ; le […] \(\mathbf{Z}\) correspond […] de \(q^{1/2}\). Les applications de transition entre les \(M(q)\) respectent la […] facteur \(\mathbf{Z}\), et la multiplication […] \(2\), […] sur \(M^{\circ}\). note marginale écrite en oblique le long du bord gauche, d'une encre plus bleue ; un \(\mathbf{Z}\) y est surchargé, et un premier « \(M^{\circ}(p)\) » corrigé en \(M^{\circ}(q)\)

\(G/\ill{}\) \[G(q) \longleftarrow G(q^{m}), \qquad f_{q^{m}} \longmapsto (f_{q})^{m} ;\] sur la page, la seconde flèche est tracée comme la première, de droite à gauche, \((f_{q})^{m}\) écrit sous \(G(q)\) et \(f_{q^{m}}\) sous \(G(q^{m})\) on voit que l'homom. transposé n'est autre que \[M(q) \xrightarrow{\ \text{élévation à la } m\text{-ième puissance}\ } M(q^{m})\] dont le noyau est […] de (points de torsion) […] fini (dans […] \(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z}\)) et dont l'image est \(M(q)^{m}\) contenu dans \(M(q^{m})\), et contient \(M(q^{m})^{m}\), dont le conoyau est annulé par \(m\). Par suite, le conoyau noyau de […] […] est annulé par \(m\).

Consi Considérons la limite inductive des \(M(q)\) (\(q\) variant multiplicativement) par les homom. précédents : on trouve \(M(q^{\infty})\), un gpe sans torsion, dont le dual doit être le groupe de

103Galois motivique de \(\overline{\mathbf{F}}_{p}\). […] […] \(M^{\circ}(q^{m}) \to M^{\circ}(q)\) induisent un isom. \(M^{\circ}(q') \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}\) \(\to M^{\circ}(q) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}\), on constate que \(M^{\circ}(q^{\infty})\) […] s'identifie à […] \(M^{\circ}(q) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}\), qui est lui-même […] à un quotient \(P/U\), \(U\) étant le gpe des racines de l'\(1\), et \(P\) étant le s-gpe de \(\overline{\mathbf{Q}}^{*}\) formé des \(\lambda\) tels que \(\lambda^{n} \in M^{\circ}(q)\) pour \(n\) assez grand.

On a donc \(M(q^{\infty}) \simeq \mathbf{Z} \times M^{\circ}(q^{\infty})\), \(M^{\circ}(q^{\infty}) = \varinjlim M^{\circ}(q^{m}) \simeq M^{\circ} \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}\) en haut à droite du feuillet

L'homom. \[M^{\circ}(q = p^{n}) \longrightarrow P/U\] s'obtient par \[\lambda \longmapsto \lambda^{1/n} \bmod U\] (à la détermination de \(U\) […] […] près), car bien \((\lambda^{1/n})^{n} = \lambda \in M^{\circ}(p^{n})\) ; […] \(M(p^{n})^{\wedge} \subset M(p)\). Trouve-t-on \(P/U\) tout entier ? \(\hat{M}(p)\) […]

[…] […] \(\lambda \in \overline{\mathbf{Q}}^{*}\) tels que \(\lambda^{n} \in M^{\circ}(p)\), donc […] […] pour […] il […] \(\mu \in M^{\circ}(p^{m})\), i.e. […] \(\lambda^{m} \in M^{\circ}(p^{m})\) pour un ensemble ?? […] la bonne […] […]. On peut […] \(\lambda\) […] […] multiplier par \(n\), et la question devient si pour \(\lambda \in M^{\circ}(p)\), \(n \in \mathbf{N}^{*}\) étant donnés, il existe un \(h \in \mathbf{N}^{*}\) tel que \(\lambda^{h} \in M^{\circ}(p^{hn})\). à partir de « \(M^{\circ}(q = p^{n}) \to P/U\) », tout le reste du feuillet est enfermé dans un cadre (ouvert par « L'homom. » biffé) et barré de deux longs traits obliques

105La forme plus juste, « géométrique » de la conjecture ci-dessus devrait peut-être aussi bien […] ainsi, […] […] […] : \(M^{\circ} \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}\) (ou […] \(\pi\) […] …), la grande « partie compacte » du […] groupe de Galois motivique de \(\overline{\mathbf{F}}_{p}\), qui serait […] […] : \[G \simeq D(M^{\circ} \otimes \mathbf{Q}) \times \mathbf{G}_{m}\] avec l'homom. inj : \(\mathbf{G}_{m} \to G\) s'identifiant à \(j\), et […] \((x, \lambda) \mapsto \lambda^{2}\) s'identifiant à \(\varepsilon\).

En termes de […] […] de Frobenius :

Résulterait […] probablement de la théorie de la multiplication complexe : cf. Taniyama–Shimura

Conjecture affaiblie. Soit \(\lambda \in \overline{\mathbf{Q}}^{*}\), tel que pour tt il existe un entier \(n > 0\) avec \(\lambda^{n}\) satisfaisant aux un entier algébrique, conditions, […] de […] \(p\) tel qu'il existe un entier \(n\) […] entier \(i \geqslant 0\)) […] tel qu'il existe un […] et une unité \(u\) […] pour \(\lambda = p^{i/2} u\), soit […] […] et qu'il existe un entier ([…] exc. \(p\)]) \(n > 0\) tel que \(u^{n} \in \mathbf{Q}'(i)^{*}\), et \(v_{\mathfrak{p}}(u^{n}) + v_{\mathfrak{p}'}(u^{n}) = 0\) pour tt couple d'idéaux premiers de \(\mathbf{Q}'(i)\) au-dessus d'un idéal premier de \(\mathbf{Q}'\). Alors il existe un entier \(m > 0\) tel que \(\lambda^{m} = (p^{m})^{i/2} u^{m}\) soit une valeur propre du frobenius \(f_{p^{m}}\) dans un motif semi-simple de poids \(i\) convenable sur \(\mathbf{F}_{p^{m}}\). les quatre premières lignes de l'énoncé sont en partie biffées d'un long trait chacune, et l'état final se lit mal ; « de poids \(i\) » est ajouté dans l'interligne, au-dessus de « convenable » ; un trait vertical isole l'énoncé à gauche

107\(K\) extension tot. réelle [i.e. si \(K\) défini par \(H \subset \pi_{1}(\mathbf{Q})\), \(H\) contient tous les conjugués de \(\tau\), \(\tau\) la conjugaison ordinaire)

A) \(L\) extension quadratique, \(L = K(x)\), \(x^{2} + ax + b = 0\) (\(a, b \in K\)), \(a = x + \bar{x}\), \(b = x\bar{x}\) ; \(\sigma\) l'élément non trivial de \(\mathrm{Gal}(L|K)\), alors \(\sigma x = \bar{x}\) pour tt \(x\). Conditions équivalentes :

\(L\) tot. imaginaire

\(\Updownarrow\)

Pour tt plongement de \(K\) dans \(\mathbf{R}\), \(\Delta = a^{2} - 4b = (x - \bar{x})^{2}\) est \(< 0\), i.e. \(\Delta\) est tot. positif [str.] négatif

\(\Updownarrow\) \(L\) […] stable par \(x \mapsto \bar{x}\), […] \((x - \bar{x})^{2}\) est tot. positif

Alors \(\sigma\) est la conj. […] la signification de \(a\) et \(b\) (« \(a = x + \bar{x}\), \(b = x\bar{x}\) », de signe écrit tel quel) est ajoutée sous l'équation ; « str. » est écrit au-dessus de « positif » biffé

B) Soit \(x \in \overline{\mathbf{Q}} \subset \mathbf{C}\). Conditions équivalentes :

1. 1)\(x + \bar{x}\) [et \(x\bar{x}\) sont] tot. réels, \((x - \bar{x})^{2}\) est tot. \(\geqslant 0\) positif [str.] \(< 0\) négatif

[conséquence des autres, car \(x\bar{x} = \frac{1}{4}\bigl((x + \bar{x})^{2} - (x - \bar{x})^{2}\bigr)\)] la note marginale est reliée par une flèche à « [et \(x\bar{x}\) sont] »

\(\Updownarrow\)

1. 2)\(x\) est quadr. \(\exists\) un \(K\) tot. réel et une extension \(L\) tot. imaginaire de \(K\), dont \(x\) soit un générateur.

\(\Updownarrow\)

1. 2')\(x \in \mathbf{Q}'(i) - \mathbf{Q}'\), i.e. […]

En effet, 2) \(\Rightarrow\) 1) en vertu de A), et pour 1) \(\Rightarrow\) 2), il suffit de prendre \(K = \mathbf{Q}(a, b)\) où \(a = x + \bar{x}\), \(b = x\bar{x}\), et appliquer encore A). Remarque. Cet argument prouve que les conditions de 1) sont stables par conjugaison, ce qui n'était pas évident autrement.

3) \(x\bar{x}\) est tot. str. positif, et de même pour \(x_{\alpha}\bar{x}_{\alpha}\) pour tt conjugué de \(x\)

C) Soit \(x \in \overline{\mathbf{Q}} \subset \mathbf{C}\). Conditions équivalentes :

1. 1)\(x + \bar{x}\) tot. réel, \((x - \bar{x})^{2}\) tot. négatif
2. 2)\(\exists\) \(K\), \(L\) comme plus haut, \(x \in\) \(K\) \(L\)
3. 3)\(x \in \mathbf{Q}'(i)\).
4. 4)\(x\bar{x}\) tot. positif, et de même ainsi que \(x_{\alpha}\bar{x}_{\alpha}\) pour tt conjugué \(x_{\alpha}\) de \(x\).

des doubles flèches relient 1), 2), 3) ; une ligne partie de 3) va vers 4), marquée d'une flèche « ? \(\Uparrow\) » ; un « égal » est biffé au-dessus de « ainsi que »

109à gauche, en tête, un diagramme d'extensions, redessiné ici : \(\mathbf{Q}'(i)\) — \(L\) en haut, \(\mathbf{Q}'\) — \(K\) au-dessous, \(L\) au-dessus de \(K\) et de \(L_{0}\), \(L_{0}\) au-dessus de \(K_{0}\), \(K\) et \(K_{0}\) au-dessus de \(\mathbf{Q}\) ; une accolade, à droite de \(L\), \(L_{0}\), \(K\), \(K_{0}\), porte « galoisienne »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  \mathbf{Q}'(i) \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & L \arrow[d, no head] \arrow[dr, no head] & \\
  \mathbf{Q}' \arrow[r, no head] & K \arrow[dd, no head] \arrow[dr, no head] & L_{0} \arrow[d, no head] \\
  & & K_{0} \\
  & \mathbf{Q} &
\end{tikzcd}

On veut construire le gpe de type multiplicatif \(G(q)\) associé à l'ens. \(M(q)\) des \(\lambda \in L\) tels que \(\lambda\bar{\lambda} = q^{i}\), et \(\lambda\) entiers exc. \(p\). On a vu que \[M_{0}(q)/\mathrm{Torsion} \simeq (\mathbf{Z}^{\mathcal{P}})' \qquad (*)\] N.B. \(M_{0}(q) = M_{0}(p)\) = ens. des unités \(u \in L\) entières exc. \(p\) et satisfaisant \(u\bar{u} = 1\).

\(\mathcal{P}\) l'ens. des idéaux premiers de \(L\) sur \(p\). On peut supposer que les idéaux pre de \(K\) se décomposent dans \(L\). Choisissons un des […] idéaux […] \(\mathfrak{p}\), on peut définir […] sur \(M\) une forme […] \(\lambda \mapsto v_{\mathfrak{p}}(\lambda)\) […] \(\check{M}\) […] […] \(\mathfrak{G}\) le […] conjugué d'ailleurs […] gpe de Galois \(\Gamma\) de \(L\), d'où \[\mathbf{G}_{m\,L} \xrightarrow{\ v_{\mathfrak{p}}\ } G_{L}.\] Soit \(\Gamma_{\mathfrak{p}}\) le gpe de décomposition pour \(\mathfrak{p}\), quotient \(K_{0}\) le corps \(L_{0}\) le corps aussi des invariants de \(\Gamma_{\mathfrak{p}}\), \(K_{0} = L_{0} \cap K\). Alors \(L_{0}\) est le plus petit corps de rationalité de \(v\), sur lequel dans \[v : \mathbf{G}_{m\,L_{0}} \longrightarrow G_{L_{0}}\] est induit par \(v_{\mathfrak{p}}\) sur \(L_{0}\).

D'autre part, si \(\mathfrak{p}_{0}\) est induit par \(\mathfrak{p}\), l'[…] local complété l'anneau […] […] alors […] […] […] […] […] de \(\mathfrak{p}_{0}\) et […] le corps \((L_{0}, \mathfrak{p}_{0})\) est défini […] \(\mathbf{Z}_{\ell}\). Notons que […] la donnée de la classe à isom. unique près par la donnée de la […] […] de \(L\), et par sa définition […] relatif de \(\mathbf{Z}_{(\mathfrak{p})}\) dans \(L\) …. Notons que \(L_{0}\) est […] imaginaire, grâce à l'hypothèse que \(\tau\mathfrak{p} \neq \mathfrak{p}\).

111\[\struck{\ill{}}\ \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \to \Gamma \to \Gamma' \to 0, \qquad 1 \to \Gamma_{\mathfrak{p}} \subset \Gamma\] en haut à gauche ; \(\Gamma_{\mathfrak{p}}\) est écrit sous \(\Gamma\), avec un signe d'inclusion vertical, et un trait vertical relie \(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) au « 1 »

D'autre part, \((\mathbf{Z}^{\mathcal{P}})'\) correspond à un tore sur \(\mathbf{Q}\), qui peut se décrire ainsi, comme […] […] […] en termes de Galois : l'ext. quadratique \(L_{0}\) de \(K_{0}\) définit un groupe tordu \(U\) de […] (savoir \(\operatorname{Ker}\bigl(\prod_{L_{0}/K_{0}} \mathbf{G}_{m\,L_{0}} \to \mathbf{G}_{m\,K_{0}}\bigr)\)) et on considère […] \[G' = \prod_{K_{0}/\mathbf{Q}} U = \operatorname{Ker}\Bigl(\prod_{L/\mathbf{Q}} \mathbf{G}_{m\,L_{0}} \to \prod_{K_{0}/\mathbf{Q}} \mathbf{G}_{m\,K_{0}}\Bigr)\] (donc \(G'(\mathbf{Q}) = \operatorname{Ker}\bigl(L_{0}^{*} \xrightarrow{N_{L_{0}/K_{0}}} K_{0}^{*}\bigr)\)). […] […] un homom. sous le premier produit du noyau, l'indice est lu « \(L/\mathbf{Q}\) », non « \(L_{0}/\mathbf{Q}\) » \[(**) \qquad \varphi : G' \longrightarrow G\] qui est une isogénie de \(G'\) sur \(G^{\circ}\). D'ailleurs \(v_{\mathfrak{p}} : \mathbf{G}_{m\,L_{0}} \to G_{L_{0}}\) se factorise par \(G'_{L_{0}}\) ; d'où

\begin{tikzcd}
  \mathbf{G}_{m\,L_{0}} \arrow[r, "v'"] \arrow[d, no head, "\Vert" description] & G'_{L_{0}} \arrow[d] \\
  \mathbf{G}_{m\,L_{0}} \arrow[r, "v"] & G_{L_{0}}
\end{tikzcd}

On fera attention que l'élément \(f_{0}\) de \(G^{\circ}(\mathbf{Q})\) \(= f\, j(p^{1/2})\) ne se relève en un élément \(f'\) de \(G'(\mathbf{Q})\) que si […] […] […] i.e. \(M(q)/\mathrm{torsion} \xrightarrow{\ \sim\ } (\mathbf{Z}^{\mathcal{P}})'\). « \(= f\,j(p^{1/2})\) » est écrit au-dessus de \(G^{\circ}(\mathbf{Q})\), dans un contour relié par un trait à \(f_{0}\) ; l'exposant de \(G\) est mal formé, et un astérisque suit la parenthèse

113demander à Serre ? Ce n'est […] […] que […] le cas, […] si \(K_{0} = \mathbf{Q}\) : il s'agit de donner un exemple de \(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) opérant non trivialement sur \(\mathrm{Pic}(A)\), \(A\) étant l'anneau […] des entiers de \(L\). On constate d'ailleurs que \(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) opère sur \(\mathrm{Pic}(A)\) par symétrie ; il s'agit donc de trouver \(\mathrm{Pic}(A)\) non un \(2\)-gpe !

116Soit \(G\) un gpe […] alg. […] sur \(\mathbf{Q}\) provenant d'une situation motivique [\(\mathcal{M}\)], […] soit \(U = \operatorname{Ker}(G^{\circ} \xrightarrow{\ \varepsilon\ } \mathbf{G}_{m})\). On a donc un élément canonique […] \(\mathbf{G}_{m}\). On a \(U = \ill{}\ G\)

N.B. La condition […] […] […] structure […] 1, 2, 3

Proposition 1. Conditions équivalentes :

1. (i)\(U\) est un tore.
2. (ii)\(\varepsilon\) est […] dans l'ens. des caractères \(G \to \mathbf{G}_{m}\) (« normalisés »)
3. (iii)\(\mathcal{M}_{\mathbf{R}}\) admet un foncteur fibre (« normalisé »), i.e. \(\mathcal{G}_{\mathbf{R}} \neq \emptyset\).

C'est toujours vrai si \(\mathcal{M}\) a degrés pairs, i.e. \(j(\mu_{2}) = 0\). les deux « normalisé » sont ajoutés au crayon ; le premier, entre parenthèses, est relié par une accolade au foncteur fibre de (iii)

i.e. correspondant à un […] […] […] […] […] de foncteurs […] […] dont […] […] note marginale au crayon, dans un contour, le long du bord gauche

Proposition 2. Conditions équivalentes :

1. (i)\(U\) est de la forme \(U^{\circ} \times \mu_{2}\), \(U^{\circ}\) un tore [dans \(\mathrm{Hom}(\mathcal{L}; \mathbf{G}_{m})\)]
2. (ii)\(\varepsilon\) n'est […] pas un carré « normalisé »
3. (iii)\(\mathcal{M}_{\mathbf{R}}\) n'admet pas de foncteur fibre, i.e. \(\mathcal{G}_{\mathbf{R}} = \emptyset\).

Le fait que (i) implique […] ; (ii) [dans prop. 1 et prop. 2, résulte trivialement] de l'équivalence de l'existence de \(j\) avec \(\varepsilon j(\lambda) = \lambda^{2}\) ; ainsi que le fait que \((1\,\mathrm{ii}) \Longleftrightarrow (\text{non}\ \struck{\ill{}}\ 2\,(\mathrm{ii}))\).

On a (iii) \(\Rightarrow\) (ii), car plus généralement pour tt […] objet de [degré impair] degré de \(\mathcal{M}_{\mathbf{R}}\), le rang degré doit être pair, comme il résulte de l'existence d'une forme alternée fondamentale. D'autre part (i) \(\Rightarrow\) (iii), car si \(T\) est un tore compact sur \(\mathbf{R}\), […] \(H^{2}(\mathbf{R}, T) = 0\) ! Enfin, si Cor \(\mathcal{M}\) est à degrés pairs i.e. \(j(\mu_{2}) = 0\), alors \(j = 2j'\) et \(\varepsilon j' = \mathrm{id}\), donc on a (ii). l'exposant de \(H^{2}(\mathbf{R}, T)\) est douteux

Cor. Si \(\mathcal{M}\) est quelconque, la sous-catégorie [motivique] \(\mathcal{M}^{\mathrm{pair}}\) […] (qui correspond à \(G/\struck{\ill{}}\,j(\mu_{2})\)) […] admet un \(\mathbf{R}\)-foncteur fibre.

118Cor. Dans le cas de la prop. 2, la catégorie […] \(G^{\circ} \simeq U^{\circ} \times \mathbf{G}_{m}\), \(\varepsilon = \mathrm{pr}_{2}\), \(j(\lambda) = \struck{\ill{}}\) \(j_{1}(\lambda)^{2}\). La structure motivique 1) 2) 3) de catégorie tensorielle de \(\mathcal{M}_{\mathbf{R}}\) est connue tot. […] par la connaissance de \(G\) et l'élément de \(H^{2}(\mathbf{R}, U)\) caractéristique, qui […] […] l'unique élément non nul de \(H^{2}(\mathbf{R}, U)\), correspondant à l'unique élément non nul de \(H^{2}(\mathbf{R}, \mu_{2})\). Il existe un […] objet \(E\) de \(\mathcal{M}_{\mathbf{R}}\) […] de degré \(1\), rang \(2\), […] tel que la sous-catégorie tensorielle […] \(\mathcal{M}'\) qu'il engendre […] […] \(\mathbf{R}\)-tordue, et […] […] tel que \(U^{\circ}\) y opère trivialement.

Dans le cas favorable \(\mathcal{G}_{\mathbf{R}} \neq \emptyset\), i.e. \(U\) un tore […] l'ens. [\(H^{0}(\mathcal{G}_{\mathbf{R}})\) des objets à isom. près de \(\mathcal{G}_{\mathbf{R}}\)] \(\mathrm{Ob}\,\mathcal{G}_{\mathbf{R}}\) est un ens. principal homogène torseur sous le gpe \(H^{1}(\mathbf{R}, U)\), qui lui-même […] […] \({}_{2}U(\mathbf{R}) \simeq (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^{\dim U}\). D'autre part, à chaque élément de \(\mathrm{Ob}\,\mathcal{G}_{\mathbf{R}}\) correspond une structure de […] [structure polarisante] sur \(G^{\circ}\), définie par un homom. \(\mu_{2\,\mathbf{C}} \xrightarrow{\ i_{1}\ } G^{\circ}_{\mathbf{C}}\) tel que \(\varepsilon_{\mathbf{R}} i_{1} = \mathrm{id}\), \(i_{1}\bar{\imath}_{1} = j_{\mathbf{R}}\), et l'ens. de ces structures est […] un torseur sous \({}_{2}U(\mathbf{R})\). L'application \[H^{0}(\mathcal{G}_{\mathbf{R}}) \longrightarrow \mathrm{Pol}(\mathcal{G}_{\mathbf{R}})\] est compatible avec les opérations de \({}_{2}U(\mathbf{R})\), donc bijective. Donc les \(\mathbf{R}\)-foncteurs fibres à isom. près

120et les structures de polarisation sur \(G^{\circ}\) se déterminent mutuellement.

Donc [À voir : le gpe des automorphismes de \((G^{\circ}_{\mathbf{R}}, \varepsilon_{\mathbf{R}}, j_{\mathbf{R}})\) voire \((G^{\circ}, \varepsilon, \mu)\), voire \((G, \varepsilon, \mu)\) opère-t-il transitivement sur \(\mathrm{Pol}(G)\) ? Et de même Par exemple, est-il impossible […] de distinguer […] une […], […] polarisation ou une classe de polarisations préférentielles ?] l'indice de \(G^{\circ}\) dans le deuxième triplet est mal formé

Prenons p. ex. une catégorie de Motifs géométriques sur \(\mathbf{F}_{q}\), \(q = p^{n}\). Alors […] d'ailleurs il y a une classe de conjugaison d'homom. \[i : \mathbf{G}_{m\,\mathbf{C}} \longrightarrow G_{\mathbf{C}}\] distinguée, avec \[\bar{\imath}\, i = j, \qquad \varepsilon i = \mathrm{id}\] définie, […] si \(G\) correspond à \(M \subset L^{*}\) (\(L\) quadratique tot. imag. sur \(K\) tot. réel), par la forme \(\lambda \mapsto \frac{1}{n} v_{\mathfrak{p}}(\lambda)\), où \(\mathfrak{p}\) est un idéal premier de \(L\) sur \(p\). [\(v_{\mathfrak{p}}(\lambda)\) [\(+\)] \(v_{\mathfrak{p}}(\bar{\lambda}) = v_{\mathfrak{p}}(\lambda\bar{\lambda}) = v_{\mathfrak{p}}(q^{j^{*}(\lambda)}) = j^{*}(\lambda)\) ; \(v_{\mathfrak{p}}(q) = 1\)]. En fait, il convient de « normaliser » \(G_{\mathbf{C}}\) [par le] choix (sur \(\mathbf{Q}\) !) d'un tel \(i\), (NB. Un autom. de \(G^{\circ}\) qui induit respecte \(i\) est l'identité !). La structure d'effectivité sur \(\mathcal{M}\) est déterminée grâce à \(i\), elle sur \(\mathcal{M}_{K}\) (\(K\) ext. de \(\mathbf{Q}\)) en particulier de \(\mathcal{M}_{\mathbf{R}}\), \(\mathcal{M}_{\mathbf{C}}\), par la connaissance du système des […] conjugués la phrase se poursuit au feuillet 122 (lot 7), qui s'ouvre sur « de \(i\) ». La forme « \(\frac{1}{n} v_{\mathfrak{p}}\) » porte « \(\frac{1}{n}\) » entouré et relié par un trait à une note marginale cerclée

N.B. \(i\) est […] défini sur \(\mathbf{Q}\), si \([K : \mathbf{Q}] = \ill{}\) (car […] […] \(\mathrm{Hom}(\mathbf{G}_{m\,\mathbf{C}}, G^{\circ}_{\mathbf{C}})\)) cet Calculer cette forme […] […] par degrés : valeurs entières […] […] s-groupe […] […] \(\mathcal{M}\) où \(j = 0\) ; ex : prendre \(q = p \neq 2\), \(L = \mathbf{Q}(\sqrt{-p})\), tel que nb de classes de \(L\) soit \(1\), p. ex. \(p = 3, 7, 11\), … trois notes marginales en oblique le long du bord gauche, les deux dernières dans des contours au crayon ; le « \(\frac{1}{n}\) » cerclé du texte renvoie à la deuxième