Fonds Grothendieck, cote n° 15, pages 101–120

la page s'ouvre au milieu de la phrase « Vérifions que cela donne bien » qui termine le feuillet 99 (lot 5)

le correct pour les G/G^{\circ} : celui-ci en effet, il est dual d'un gpe des racines de l'unité, et ce dernier est bien le dual de \hat{\mathbf{Z}} !

M(q^{m}) \subset M(q) \subset M(p), \qquad q = p^{n}, M(q^{m})^{m} \subset M(q)^{m} \subset M(q^{m}) \subset M(q). ces deux lignes de formules sont écrites dans la moitié gauche du feuillet, en regard du texte qui suit ; « = p^{n} » est noté sous le q de M(q)

Soit M(q) le s-gpe de \mathbf{Q}'(i)^{*} qui se définit en termes de ci-dessus, soit f_{q} \in G(q) son dual, qui est le gpe de Galois motivique de \mathbf{F}_{q}. Considérons l'extension \mathbf{F}_{q^{m}} de \mathbf{F}_{q},

M(q) \simeq \mathbf{Z} \times M^{\circ}(q) si q = p^{r}, r pair ; M^{\circ}(q) formé des unités u \in \mathbf{Q}'(i)^{*} exc. p, et conjugués entre eux) qui satisfont à v_{\mathfrak{p}}(u) + v_{\mathfrak{p}'}(u) = 0 ; le \mathbf{Z} correspond de q^{1/2}. Les applications de transition entre les M(q) respectent la facteur \mathbf{Z}, et la multiplication 2, sur M^{\circ}. note marginale écrite en oblique le long du bord gauche, d'une encre plus bleue ; un \mathbf{Z} y est surchargé, et un premier « M^{\circ}(p) » corrigé en M^{\circ}(q)

~~G/\ill{}~~ G(q) \longleftarrow G(q^{m}), \qquad f_{q^{m}} \longmapsto (f_{q})^{m} ; sur la page, la seconde flèche est tracée comme la première, de droite à gauche, (f_{q})^{m} écrit sous G(q) et f_{q^{m}} sous G(q^{m}) on voit que l'homom. transposé n'est autre que M(q) \xrightarrow{\ \text{élévation à la } m\text{-ième puissance}\ } M(q^{m}) dont le noyau est de (points de torsion) fini (dans \mathbf{Z}/m\mathbf{Z}) et dont l'image est M(q)^{m} contenu dans M(q^{m}), et contient M(q^{m})^{m}, dont le conoyau est annulé par m. Par suite, le ~~conoyau~~ noyau de est annulé par m.

~~Consi~~ Considérons la limite inductive des M(q) (q variant multiplicativement) par les homom. précédents : on trouve M(q^{\infty}), un gpe sans torsion, dont le dual doit être le groupe de

Galois motivique de \overline{\mathbf{F}}_{p}. ~~M^{\circ}(q^{m}) \to M^{\circ}(q)~~ ~~induisent~~ un ~~isom.~~ ~~M^{\circ}(q') \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}~~ ~~\to M^{\circ}(q) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q},~~ on constate que M^{\circ}(q^{\infty}) s'identifie à M^{\circ}(q) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}, qui est lui-même à un quotient P/U, U étant le gpe des racines de l'1, et P étant le s-gpe de \overline{\mathbf{Q}}^{*} formé des \lambda tels que \lambda^{n} \in M^{\circ}(q) pour n assez grand.

On a donc M(q^{\infty}) \simeq \mathbf{Z} \times M^{\circ}(q^{\infty}), M^{\circ}(q^{\infty}) = \varinjlim M^{\circ}(q^{m}) \simeq M^{\circ} \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q} en haut à droite du feuillet

~~L'homom.~~ M^{\circ}(q = p^{n}) \longrightarrow P/U s'obtient par \lambda \longmapsto \lambda^{1/n} \bmod U (à la détermination de U près), car bien (\lambda^{1/n})^{n} = \lambda \in M^{\circ}(p^{n}) ; M(p^{n})^{\wedge} \subset M(p). Trouve-t-on P/U tout entier ? \hat{M}(p)

\lambda \in \overline{\mathbf{Q}}^{*} tels que \lambda^{n} \in M^{\circ}(p), ~~donc~~ pour il \mu \in M^{\circ}(p^{m}), i.e. \lambda^{m} \in M^{\circ}(p^{m}) pour un ensemble ?? la bonne . On peut ~~\lambda~~ multiplier par n, et la question devient si pour \lambda \in M^{\circ}(p), n \in \mathbf{N}^{*} étant donnés, il existe un h \in \mathbf{N}^{*} tel que \lambda^{h} \in M^{\circ}(p^{hn}). à partir de « M^{\circ}(q = p^{n}) \to P/U », tout le reste du feuillet est enfermé dans un cadre (ouvert par « L'homom. » biffé) et barré de deux longs traits obliques

La forme plus juste, « géométrique » de la conjecture ci-dessus devrait peut-être ~~aussi~~ bien ainsi, : M^{\circ} \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q} (ou \pi …), la ~~grande~~ « partie compacte » du groupe de Galois motivique de \overline{\mathbf{F}}_{p}, qui serait : G \simeq D(M^{\circ} \otimes \mathbf{Q}) \times \mathbf{G}_{m} avec l'homom. inj : \mathbf{G}_{m} \to G s'identifiant à j, et (x, \lambda) \mapsto \lambda^{2} s'identifiant à \varepsilon.

En termes de de Frobenius :

Résulterait probablement de la théorie de la multiplication complexe : cf. Taniyama–Shimura

Conjecture affaiblie. Soit \lambda \in \overline{\mathbf{Q}}^{*}, ~~tel que pour tt~~ ~~il existe un entier n > 0 avec \lambda^{n} satisfaisant aux~~ un entier algébrique, ~~conditions, de p~~ ~~tel qu'il existe un entier n~~ entier i \geqslant 0) tel qu'il existe un et une unité u pour \lambda = p^{i/2} u, ~~soit~~ et qu'il existe un entier ( exc. p]) n > 0 tel que u^{n} \in \mathbf{Q}'(i)^{*}, et v_{\mathfrak{p}}(u^{n}) + v_{\mathfrak{p}'}(u^{n}) = 0 pour tt couple d'idéaux premiers de \mathbf{Q}'(i) au-dessus d'un idéal premier de \mathbf{Q}'. Alors il existe un entier m > 0 tel que \lambda^{m} = (p^{m})^{i/2} u^{m} soit ~~une~~ valeur propre du frobenius f_{p^{m}} dans un motif semi-simple de poids i convenable sur \mathbf{F}_{p^{m}}. les quatre premières lignes de l'énoncé sont en partie biffées d'un long trait chacune, et l'état final se lit mal ; « de poids i » est ajouté dans l'interligne, au-dessus de « convenable » ; un trait vertical isole l'énoncé à gauche

K extension tot. réelle [i.e. si K défini par H \subset \pi_{1}(\mathbf{Q}), H contient tous les conjugués de \tau, \tau la conjugaison ordinaire)

A) L extension quadratique, L = K(x), x^{2} + ax + b = 0 (a, b \in K), a = x + \bar{x}, b = x\bar{x} ; \sigma l'élément non trivial de \mathrm{Gal}(L|K), alors \sigma x = \bar{x} pour tt x. Conditions équivalentes :

L tot. imaginaire

\Updownarrow

Pour tt plongement de K dans \mathbf{R}, \Delta = a^{2} - 4b = (x - \bar{x})^{2} est < 0, i.e. \Delta est tot. ~~positif~~ [str.] négatif

\Updownarrow ~~L stable par x \mapsto \bar{x},~~ ~~(x - \bar{x})^{2} est tot. positif~~

~~Alors \sigma est la conj.~~ la signification de a et b (« a = x + \bar{x}, b = x\bar{x} », de signe écrit tel quel) est ajoutée sous l'équation ; « str. » est écrit au-dessus de « positif » biffé

B) Soit x \in \overline{\mathbf{Q}} \subset \mathbf{C}. Conditions équivalentes :

1)x + \bar{x} [et x\bar{x} sont] tot. réels, (x - \bar{x})^{2} est tot. ~~\geqslant 0 positif~~ [str.] < 0 négatif

[conséquence des autres, car x\bar{x} = \frac{1}{4}\bigl((x + \bar{x})^{2} - (x - \bar{x})^{2}\bigr)] la note marginale est reliée par une flèche à « [et x\bar{x} sont] »

\Updownarrow

2)~~x est quadr.~~ \exists un K tot. réel et une extension L tot. imaginaire de K, dont x soit un générateur.

\Updownarrow

2')x \in \mathbf{Q}'(i) - \mathbf{Q}', i.e.

En effet, 2) \Rightarrow 1) en vertu de A), et pour 1) \Rightarrow 2), il suffit de prendre K = \mathbf{Q}(a, b) où a = x + \bar{x}, b = x\bar{x}, et appliquer encore A). Remarque. Cet argument prouve que les conditions de 1) sont stables par conjugaison, ce qui n'était pas évident autrement.

~~3) x\bar{x} est tot. str. positif, et de même pour x_{\alpha}\bar{x}_{\alpha} pour tt conjugué de x~~

C) Soit x \in \overline{\mathbf{Q}} \subset \mathbf{C}. Conditions équivalentes :

1)x + \bar{x} tot. réel, (x - \bar{x})^{2} tot. négatif 2)\exists K, L comme plus haut, x \in K L 3)x \in \mathbf{Q}'(i). 4)x\bar{x} tot. positif, ~~et de même~~ ainsi que x_{\alpha}\bar{x}_{\alpha} pour tt conjugué x_{\alpha} de x.

des doubles flèches relient 1), 2), 3) ; une ligne partie de 3) va vers 4), marquée d'une flèche « ? \Uparrow » ; un « égal » est biffé au-dessus de « ainsi que »

à gauche, en tête, un diagramme d'extensions, redessiné ici : \mathbf{Q}'(i) — L en haut, \mathbf{Q}' — K au-dessous, L au-dessus de K et de L_{0}, L_{0} au-dessus de K_{0}, K et K_{0} au-dessus de \mathbf{Q} ; une accolade, à droite de L, L_{0}, K, K_{0}, porte « galoisienne »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \mathbf{Q}'(i) \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & L \arrow[d, no head] \arrow[dr, no head] & \\ \mathbf{Q}' \arrow[r, no head] & K \arrow[dd, no head] \arrow[dr, no head] & L_{0} \arrow[d, no head] \\ & & K_{0} \\ & \mathbf{Q} & \end{tikzcd}

On veut construire le gpe de type multiplicatif G(q) associé à l'ens. M(q) des \lambda \in L tels que \lambda\bar{\lambda} = q^{i}, et \lambda entiers exc. p. On a vu que M_{0}(q)/\mathrm{Torsion} \simeq (\mathbf{Z}^{\mathcal{P}})' \qquad (*) N.B. M_{0}(q) = M_{0}(p) = ens. des unités u \in L entières exc. p et satisfaisant u\bar{u} = 1.

\mathcal{P} l'ens. des idéaux premiers de L sur p. On peut supposer que les idéaux ~~pre~~ de K se décomposent dans L. Choisissons un des idéaux \mathfrak{p}, on peut définir sur M une forme \lambda \mapsto v_{\mathfrak{p}}(\lambda) \check{M} \mathfrak{G} le conjugué d'ailleurs gpe de Galois \Gamma de L, d'où \mathbf{G}_{m\,L} \xrightarrow{\ v_{\mathfrak{p}}\ } G_{L}. Soit \Gamma_{\mathfrak{p}} le gpe de décomposition pour \mathfrak{p}, quotient ~~K_{0} le corps~~ L_{0} le corps ~~aussi~~ des invariants de \Gamma_{\mathfrak{p}}, K_{0} = L_{0} \cap K. Alors L_{0} est le plus petit corps de rationalité de v, sur lequel ~~dans~~ v : \mathbf{G}_{m\,L_{0}} \longrightarrow G_{L_{0}} est induit par v_{\mathfrak{p}} sur L_{0}.

D'autre part, si \mathfrak{p}_{0} est induit par \mathfrak{p}, l' local complété ~~l'anneau~~ alors de \mathfrak{p}_{0} et le corps (L_{0}, \mathfrak{p}_{0}) est défini \mathbf{Z}_{\ell}. Notons que la donnée de la classe à isom. unique près par la donnée de la de L, et par sa définition relatif de \mathbf{Z}_{(\mathfrak{p})} dans L …. Notons que L_{0} est imaginaire, grâce à l'hypothèse que \tau\mathfrak{p} \neq \mathfrak{p}.

\struck{\ill{}}\ \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \to \Gamma \to \Gamma' \to 0, \qquad 1 \to \Gamma_{\mathfrak{p}} \subset \Gamma en haut à gauche ; \Gamma_{\mathfrak{p}} est écrit sous \Gamma, avec un signe d'inclusion vertical, et un trait vertical relie \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} au « 1 »

D'autre part, (\mathbf{Z}^{\mathcal{P}})' correspond à un tore sur \mathbf{Q}, qui peut se décrire ainsi, comme en termes de Galois : l'ext. quadratique L_{0} de K_{0} définit un groupe tordu U de (savoir \operatorname{Ker}\bigl(\prod_{L_{0}/K_{0}} \mathbf{G}_{m\,L_{0}} \to \mathbf{G}_{m\,K_{0}}\bigr)) et on considère G' = \prod_{K_{0}/\mathbf{Q}} U = \operatorname{Ker}\Bigl(\prod_{L/\mathbf{Q}} \mathbf{G}_{m\,L_{0}} \to \prod_{K_{0}/\mathbf{Q}} \mathbf{G}_{m\,K_{0}}\Bigr) (donc G'(\mathbf{Q}) = \operatorname{Ker}\bigl(L_{0}^{*} \xrightarrow{N_{L_{0}/K_{0}}} K_{0}^{*}\bigr)). un homom. sous le premier produit du noyau, l'indice est lu « L/\mathbf{Q} », non « L_{0}/\mathbf{Q} » (**) \qquad \varphi : G' \longrightarrow G qui est une isogénie de G' sur G^{\circ}. D'ailleurs v_{\mathfrak{p}} : \mathbf{G}_{m\,L_{0}} \to G_{L_{0}} se factorise par G'_{L_{0}} ; d'où

\begin{tikzcd} \mathbf{G}_{m\,L_{0}} \arrow[r, "v'"] \arrow[d, no head, "\Vert" description] & G'_{L_{0}} \arrow[d] \\ \mathbf{G}_{m\,L_{0}} \arrow[r, "v"] & G_{L_{0}} \end{tikzcd}

On fera attention que l'élément f_{0} de G^{\circ}(\mathbf{Q}) = f\, j(p^{1/2}) ne se relève en un élément f' de G'(\mathbf{Q}) que si i.e. M(q)/\mathrm{torsion} \xrightarrow{\ \sim\ } (\mathbf{Z}^{\mathcal{P}})'. « = f\,j(p^{1/2}) » est écrit au-dessus de G^{\circ}(\mathbf{Q}), dans un contour relié par un trait à f_{0} ; l'exposant de G est mal formé, et un astérisque suit la parenthèse

demander à Serre ? Ce n'est que le cas, si K_{0} = \mathbf{Q} : il s'agit de donner un exemple de \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} opérant non trivialement sur \mathrm{Pic}(A), A étant ~~l'anneau~~ des entiers de L. On constate d'ailleurs que \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} opère sur \mathrm{Pic}(A) par symétrie ; il s'agit donc de trouver \mathrm{Pic}(A) non un 2-gpe !

Soit G un gpe alg. sur \mathbf{Q} provenant d'une situation motivique [\mathcal{M}], soit U = \operatorname{Ker}(G^{\circ} \xrightarrow{\ \varepsilon\ } \mathbf{G}_{m}). On a donc un élément canonique \mathbf{G}_{m}. ~~On a U = \ill{}\ G~~

N.B. La condition structure 1, 2, 3

Proposition 1. Conditions équivalentes :

(i)U est un tore. (ii)\varepsilon est dans l'ens. des caractères G \to \mathbf{G}_{m} (« normalisés ») (iii)\mathcal{M}_{\mathbf{R}} admet un foncteur fibre (« normalisé »), i.e. \mathcal{G}_{\mathbf{R}} \neq \emptyset.

C'est toujours vrai si \mathcal{M} a degrés pairs, i.e. j(\mu_{2}) = 0. les deux « normalisé » sont ajoutés au crayon ; le premier, entre parenthèses, est relié par une accolade au foncteur fibre de (iii)

i.e. correspondant à un de foncteurs dont note marginale au crayon, dans un contour, le long du bord gauche

Proposition 2. Conditions équivalentes :

(i)U est de la forme U^{\circ} \times \mu_{2}, U^{\circ} un tore [dans \mathrm{Hom}(\mathcal{L}; \mathbf{G}_{m})] (ii)\varepsilon n'est pas un carré « normalisé » (iii)\mathcal{M}_{\mathbf{R}} n'admet pas de foncteur fibre, i.e. \mathcal{G}_{\mathbf{R}} = \emptyset.

Le fait que (i) implique ; (ii) [dans prop. 1 et prop. 2, résulte trivialement] de ~~l'équivalence de~~ l'existence de j avec \varepsilon j(\lambda) = \lambda^{2} ; ainsi que le fait que (1\,\mathrm{ii}) \Longleftrightarrow (\text{non}\ \struck{\ill{}}\ 2\,(\mathrm{ii})).

On a (iii) \Rightarrow (ii), car plus généralement pour tt objet de [degré impair] ~~degré~~ de \mathcal{M}_{\mathbf{R}}, le rang ~~degré~~ doit être pair, comme il résulte de l'existence d'une forme alternée fondamentale. D'autre part (i) \Rightarrow (iii), car si T est un tore compact sur \mathbf{R}, H^{2}(\mathbf{R}, T) = 0 ! Enfin, si ~~Cor~~ \mathcal{M} est à degrés pairs i.e. j(\mu_{2}) = 0, alors j = 2j' et \varepsilon j' = \mathrm{id}, donc on a (ii). l'exposant de H^{2}(\mathbf{R}, T) est douteux

Cor. Si \mathcal{M} est quelconque, la sous-catégorie [motivique] \mathcal{M}^{\mathrm{pair}} (qui correspond à G/\struck{\ill{}}\,j(\mu_{2})) admet un \mathbf{R}-foncteur fibre.

Cor. Dans le cas de la prop. 2, ~~la catégorie~~ G^{\circ} \simeq U^{\circ} \times \mathbf{G}_{m}, \varepsilon = \mathrm{pr}_{2}, j(\lambda) = \struck{\ill{}} j_{1}(\lambda)^{2}. La structure ~~motivique 1) 2) 3)~~ de catégorie tensorielle de \mathcal{M}_{\mathbf{R}} est connue tot. par la connaissance de G et l'élément de H^{2}(\mathbf{R}, U) caractéristique, qui l'unique élément non nul de H^{2}(\mathbf{R}, U), correspondant à l'unique élément non nul de H^{2}(\mathbf{R}, \mu_{2}). Il existe un objet E de \mathcal{M}_{\mathbf{R}} de degré 1, rang 2, tel que la sous-catégorie tensorielle \mathcal{M}' qu'il engendre \mathbf{R}-tordue, et tel que U^{\circ} y opère trivialement.

Dans le cas favorable \mathcal{G}_{\mathbf{R}} \neq \emptyset, ~~i.e. U un tore~~ l'ens. [H^{0}(\mathcal{G}_{\mathbf{R}}) des objets à isom. près de \mathcal{G}_{\mathbf{R}}] ~~\mathrm{Ob}\,\mathcal{G}_{\mathbf{R}}~~ est un ~~ens. principal homogène~~ torseur sous le gpe H^{1}(\mathbf{R}, U), qui lui-même {}_{2}U(\mathbf{R}) \simeq (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^{\dim U}. D'autre part, à chaque élément de \mathrm{Ob}\,\mathcal{G}_{\mathbf{R}} correspond une ~~structure de~~ [structure polarisante] sur G^{\circ}, définie par un homom. \mu_{2\,\mathbf{C}} \xrightarrow{\ i_{1}\ } G^{\circ}_{\mathbf{C}} tel que \varepsilon_{\mathbf{R}} i_{1} = \mathrm{id}, i_{1}\bar{\imath}_{1} = j_{\mathbf{R}}, et l'ens. de ces structures est un torseur sous {}_{2}U(\mathbf{R}). L'application H^{0}(\mathcal{G}_{\mathbf{R}}) \longrightarrow \mathrm{Pol}(\mathcal{G}_{\mathbf{R}}) est compatible avec les opérations de {}_{2}U(\mathbf{R}), donc bijective. Donc les \mathbf{R}-foncteurs fibres à isom. près

et les structures de polarisation sur G^{\circ} se déterminent mutuellement.

~~Donc~~ [À voir : le gpe des automorphismes de (G^{\circ}_{\mathbf{R}}, \varepsilon_{\mathbf{R}}, j_{\mathbf{R}}) voire (G^{\circ}, \varepsilon, \mu), voire (G, \varepsilon, \mu) opère-t-il transitivement sur \mathrm{Pol}(G) ? ~~Et de même~~ Par exemple, est-il impossible de distinguer une , polarisation ou une classe de polarisations préférentielles ?] l'indice de G^{\circ} dans le deuxième triplet est mal formé

Prenons p. ex. une catégorie de Motifs géométriques sur \mathbf{F}_{q}, q = p^{n}. Alors d'ailleurs il y a une classe de conjugaison d'homom. i : \mathbf{G}_{m\,\mathbf{C}} \longrightarrow G_{\mathbf{C}} distinguée, avec \bar{\imath}\, i = j, \qquad \varepsilon i = \mathrm{id} définie, si G correspond à M \subset L^{*} (L quadratique tot. imag. sur K tot. réel), par la forme \lambda \mapsto \frac{1}{n} v_{\mathfrak{p}}(\lambda), où \mathfrak{p} est un idéal premier de L sur p. [v_{\mathfrak{p}}(\lambda) + v_{\mathfrak{p}}(\bar{\lambda}) = v_{\mathfrak{p}}(\lambda\bar{\lambda}) = v_{\mathfrak{p}}(q^{j^{*}(\lambda)}) = j^{*}(\lambda) ; v_{\mathfrak{p}}(q) = 1]. En fait, il convient de « normaliser » G_{\mathbf{C}} [par le] choix (sur \mathbf{Q} !) d'un tel i, (NB. Un autom. de G^{\circ} qui ~~induit~~ respecte i est l'identité !). La structure d'effectivité sur \mathcal{M} est déterminée grâce à i, ~~elle~~ sur \mathcal{M}_{K} (K ext. de \mathbf{Q}) en particulier de \mathcal{M}_{\mathbf{R}}, \mathcal{M}_{\mathbf{C}}, par la connaissance du système des conjugués la phrase se poursuit au feuillet 122 (lot 7), qui s'ouvre sur « de i ». La forme « \frac{1}{n} v_{\mathfrak{p}} » porte « \frac{1}{n} » entouré et relié par un trait à une note marginale cerclée

N.B. i est défini sur \mathbf{Q}, si [K : \mathbf{Q}] = \ill{} (car \mathrm{Hom}(\mathbf{G}_{m\,\mathbf{C}}, G^{\circ}_{\mathbf{C}})) ~~cet~~ Calculer cette forme par degrés : valeurs entières s-groupe \mathcal{M} où j = 0 ; ex : prendre q = p \neq 2, L = \mathbf{Q}(\sqrt{-p}), tel que nb de classes de L soit 1, p. ex. p = 3, 7, 11, … trois notes marginales en oblique le long du bord gauche, les deux dernières dans des contours au crayon ; le « \frac{1}{n} » cerclé du texte renvoie à la deuxième