Cote n° 15, pages 81–100

Cote n° 15 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Théorie arithmétique. Théorie de Galois des motifs (1965) : notes manuscites (s.d.), tapuscrit (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1977]
Édition de démonstration

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Localisation pour les variétés abéliennes

titre du tapuscrit commencé au feuillet 80 (lot 4), dont le feuillet 81 est la fin ; la première phrase achève l'alinéa b) du feuillet 80 (« le foncteur \(P \mapsto P \otimes_R X\) »). Les corrections sont dactylographiées (mots barrés de x, ajouts tapés dans l'interligne) ; rien n'est de sa main sur ce feuillet

81de la catégorie de ces modules vers \(C\) est pleinement fidèle, et son image essentielle est formée des objets \(X'\) de \(C\) qui sont localement sur \(S\) isomorphes à un objet de la forme \(X^n\). les deux lignes « image essentielle … localement » et « sur S isomorphes … \(X^n\) » sont tapées l'une sur l'autre ; la lecture suivie est celle-ci

NB La conclusion de b) est satisfaite si, au lieu de supposer \(C\) localisable, on la suppose stable par facteurs directs (=karoubienne), et en fait P si on prend des \(P\) projectifs de type fini sur \(R\).

c) Soit toujours \(R\) une \(A\)-algèbre [de type fini], et soit \(\mathrm{Mod}(R,C)\) la catégorie des objets de \(R\)sic : le sens demande « objets de \(C\) » munis d'une opération \(R\)-linéaire. C'est une catégorie \(A\)-linéaire, et la catégorie fibrée des \(\mathrm{Mod}(\underline{C},R)_{A'}\), (pour \(A'\) […] [une \(A\)-algèbre]) affine d'un ouvert affine de \(S = \mathrm{Spec}(A)\) est équivalente à la catégorie fibrée des sections de \(\underline{C}\) munis d'une opération de \(R\). En particulier, sa restriction au site petit site zariskien affine de \(S\) site s'identifie à \(\mathrm{Mod}(\underline{C},R)\) ; c'est donc un champ si \(\underline{C}\) en est un, donc \(\mathrm{Mod}(R,C)\) est localisable [sur \(S\)] si \(C\) l'est. « de type fini », « une A-algèbre » et « sur S » sont tapés dans l'interligne ; l'ordre des arguments, \(\mathrm{Mod}(R,C)\) ou \(\mathrm{Mod}(\underline{C},R)\), varie ainsi dans le tapuscrit

NB Si \(R\) est commutatif, \(\mathrm{Mod}(R,C)\) est même \(R\)-linéaire. Notre raisonnement ne prouve pas que C est \(\mathrm{Mod}(R,C)\) est localisable sur \(R\) i.e. sur \(\mathrm{Spec}(R)\) (ce qui est plus fort que de dire qu'elle est localisable sur \(S = \mathrm{Spec}(A)\)).

d) Deux objets \(X\), \(X'\) de \(C\) sont dits Si \(C\) est localisable sur \(A\), alors pour \(A'\) […] anneau affine d'un ouvert affine [\(U\)] de \(S\), \(C_{A'}\) est localisable sur \(A'\), et le champ associé sur \(U\) s'identifie à la restriction du champ \(\underline{C}\) à \(U\).

e) Deux objets de \(C\) sont dits apparentés (ou \(A\)-apparentés) s'ils sont localement isomorphes sur \(A\). C'est évidemment une relation d'équivalence, et la sous-catégorie pleine de \(C\) formée des objets apparentés à un objet de \(C\) est une catégorie de \(A\)-linéaire localisable sur \(A\), et c'est une catégorie de Deuring, le tapuscrit s'arrête ici, au milieu de la phrase, aux deux tiers du feuillet ; le feuillet 82 est vierge

[Gerbe motivique à lien commutatif ; nombres de Weil]

titre de l'éditeur, entre crochets : la suite manuscrite des feuillets 83 à 99 (les rectos ; les versos pairs sont des tapuscrits étrangers) ne porte ni titre ni pagination de sa main. Elle se lit d'un feuillet au suivant

83c petit « c » dans le coin supérieur gauche, peut-être une marque d'ordre

\(\mathcal{M}\) catégorie motivique [semi-simple], de gerbe \(\mathcal{G}\). Supposons que le lien \(\mathcal{L}\) de \(\mathcal{G}\) soit […] commutatif, donc correspond à un groupe algébrique [commutatif de type multiplicatif] \(G\) sur \(\mathbf{Q}\). Ainsi, \(G^{\circ}\) est un tore. Soit \(E\) un motif « fidèle ». et par \(F\) […] Alors \(G\) opère sur \(E\), considéré comme objet [section] de la catégorie fibrée \(\mathrm{HOM}(\mathcal{G}, \uncertain{\mathrm{Proj}})\), et en particulier \(G(\mathbf{Q})\) opère sur \(E\), donc \[G(\mathbf{Q}) \overset{\varphi}{\hookrightarrow} \mathrm{End}_{\mathcal{M}}(E).\] « semi-simple » est ajouté au-dessus de la ligne, écrit « ½ simple » ; « commutatif de type multiplicatif » est ajouté sous la ligne, avec un trait de renvoi devant « \(G\) ». Le second argument de \(\mathrm{HOM}\) est souligné, comme pour un champ D'ailleurs, les éléments de \(G(\mathbf{Q})\) sur \(U = \mathrm{Ker}(G^{\circ} \to \mathbf{G}_m)\), dans \(U\) opère Choisissons une forme de polarisation sur \(E\), d'où une structure d'algèbre de Riemann sur \(A = \mathrm{End}_{\mathcal{M}}(E)\), et on a […] pour tout \(u \in G(\mathbf{Q})\), \[\varphi(u)\,\varphi(u)' = \varepsilon(u)\,1_{E} .\] [En particulier, si \(u \in U = \mathrm{Ker}\,\varepsilon\), on a \(\varphi(u)\varphi(u)' = \mathrm{id}\)]. Donc l'algèbre engendrée par les \(\varphi(u)\) en \(A\) est auto-adjointe, et \(U(\mathbf{Q})\) s'envoie comme un s-groupe dans le « groupe unitaire » de \(A\), formé des \(u\) tels que \(uu' = 1\). Plus précisément Or ce groupe [formé des […] d'un […] vect\(/\mathbf{Q}\)] est un tore compact. On trouve que \(U^{\circ}\) est un tore compact. l'ajout entre crochets, à droite au-dessus de « groupe », d'une autre encre, est en partie illisible

85Plus précisément, en introduisant l'algèbre engendrée par \(A\) \(G(\mathbf{Q})\) dans \(A\), soit \(B\). On sait que \(B = \prod L_i\), chaque \(L_i\) ext. quadratique d'un corps de nombres \(K_i\) tot. réel (\(K_i\) déterminé uniquement par \(L_i\) […] [par \(L_i\)] comme […] tot. réel de \(L_i\)), l'involution […] induite sur \(L_i\) par la conjugaison par rapport à \(K_i\) (i.e. la conjugaison complexe ordinaire, si \(L_i \subset \mathbf{C}\)), la trace est proportionnelle, sur chaque \(L_i\), à la trace ordinaire.

Ainsi \(B^{*}\) n'est autre que \(H(\mathbf{Q})\), où \[H = \prod_{i} \Bigl( \prod_{L_i/\mathbf{Q}} \mathbf{G}_{m\,L_i} \Bigr)\] et le groupe unitaire \(B^{*u}\) s'obtient comme le groupe des points rationnels de \[H^{u} = \prod_{i} \Bigl( \prod_{K_i/\mathbf{Q}} \Gamma_i \Bigr)\] où \(\Gamma_i\) est la forme tordue de \(\mathbf{G}_m\) sur \(K_i\) définie par l'extension quadratique \(L_i\) de \(K_i\). [Ainsi Cela montre au […] que \(H^{u}\) est un tore « compact », […] (de nature d'ailleurs assez particulière !), et aussi \(U^{\circ}\) comme sous-tore de ce dernier […]. \(\prod_{L_i/\mathbf{Q}}\) et \(\prod_{K_i/\mathbf{Q}}\) sont sa notation pour la restriction des scalaires à la Weil

N.B. Il conviendrait de déterminer \(\varepsilon : G \to \mathbf{G}_m\) en termes des tores normes sur les \(L_i\), et \(j : \mathbf{G}_m \to G\) […] \(=\) […].

87Dans le cas où \(\mathcal{G}\) est quelconque, on […] définir cependant le [lien] \(\mathcal{L}' = \uncertain{\mathrm{coval}}(\mathcal{L})\), qui est commutatif, et il correspond à une gerbe quotient \(\mathcal{G}'\) de lien commutatif \(\mathcal{L}'\). D'ailleurs, \(\mathcal{L}'\) correspond à un groupe algébrique [\(H\)], et ce qui précède prouve que \[\bigl( \mathrm{Ker}(\varepsilon : H \to \mathbf{G}_m) \bigr)^{\circ}\] est un tore compact. le mot devant « \((\mathcal{L})\) » se lit « coval » ; le sens demande le quotient commutatif maximal du lien

un double trait horizontal sépare ce qui suit

Nous envisagerons maintenant une gerbe catégorie de motifs munie d'un […] Frobenius tensoriel dans \(\mathrm{Aut}(\mathrm{id})\) qui soit « générateur ». Ainsi \(\mathcal{L}\) est commutatif et correspond à un groupe [de type] […] multiplicatif \(G\), muni d'un élément \(f\) (« frobenius »), et \(G\) est engendré (au sens de Zariski) par \(f\). Dans le cas qui nous occupe, \(E\) […] Précédent […] soit.

a)motif [groupe de type mult.] \(T\) sur \(\mathbf{Q}\), avec \(f \in T(\mathbf{Q})\) engendrant \(T\) (Zar)

\[\Updownarrow\]

b)Sous-groupe de \(M\) de \(\overline{\mathbf{Q}}^{*}\), stable par \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})\)

\[\Updownarrow\]

c)Sous-catégorie strictement pleine \(\mathcal{M}'\) de la catégorie des vectoriels sur \(\mathbf{Q}\) avec endomorphisme [semi-simple] (i.e. de la catégorie des \(\mathbf{Q}[X]\)-modules [semi-simples] de dim. finie sur \(\mathbf{Q}\)) stable par \(\otimes\), \(\oplus\), sous-objet.

[…] Soit donné un groupe de t.m. \(T\), avec « générateur » \(f \in T(\mathbf{Q})\), et soit donné \(\mathbf{G}_m \xrightarrow{\;j\;} T\) [invariant par \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})\)], qui équivaut à se donner \(j^{*} : M \to \mathbf{Z}\) […] \(j^{*}(f) = q\), et on se donne un homomorphisme \(\varepsilon : T \to \mathbf{G}_m\) (tel que \(\varepsilon j(\lambda) = \lambda^{\alpha}\)) [donnée fonctorielle […]], i.e. \(j^{*}(\varepsilon^{*}) = \alpha\), […] i.e. soit donné un objet \(\Lambda\) de \(\mathcal{M}'\) [de rang \(1\)] […] ; i.e. Pour \(\varepsilon(f) = q\) […] \(|\varepsilon(f)|\). \(q = \varepsilon^{*} = \varepsilon(f) \in M \cap \mathbf{Q}^{*}\) ; i.e. \(\Lambda\) de degré \(\alpha\) toute cette partie est très surchargée : mots biffés, un passage noirci, des ajouts au-dessus et au-dessous de la ligne ; la note marginale est cerclée

a)\(T^{\circ}/\mathrm{Im}\,j\) est compact.

\[\Downarrow\]

b)[\(q > 0\) et] Pour tout \(m \in M\), on a \(|m| =\) […] \(q^{j^{*}(m)/\alpha}\)

\[\Updownarrow\]

c)[\(q > 0\) et] Pour tout \((E, f) \in \mathcal{M}'\), si \(E\) est de degré \(i\), les valeurs propres de \(f\) dans \(E_{\mathbf{C}}\) sont de val. absolue \(q^{i/\alpha}\).

En effet, les valeurs propres des \((E,f) \in \mathcal{M}\) \(f\), pour \((E,f) \in \mathcal{M}'\) […], sont les \(m \in M\) avec \(j^{*}(m) = i\). Donc […] c) et b) sont équivalents.

[Ces impliquent a), car \(T' = T^{\circ}/\mathrm{Im}\,j\) est un tore […] ; […] \(f'\) […] représentation […] \(E\), les valeurs propres […] de val. abs. \(1\) […] \(f'\) opérant sur \(E_{\mathbf{C}}\) […] \(\mathrm{Gal}(E_{\mathbf{C}})\) […] \(T'_{\mathbf{R}}\) est un \(\mathbf{R}\)-groupe […] compact […] \(E_{\mathbf{C}}\) est de val. abs. \(1\) […]] ce crochet, jusqu'au bas du feuillet, est biffé par trois longs traits obliques et plusieurs traits horizontaux ; seuls des fragments se lisent

91Montrons que a) implique c). Soit en effet […] \(E\) un vectoriel sur \(\mathbf{Q}\) [« de degré \(i\) »] avec \(T\) opérant. Alors les opérations de \(T_{\mathbf{R}}\) opérant sur \(E_{\mathbf{R}}\), et comme […] \(U\) le […] groupe Alors \(T_{\mathbf{R}}\) opère sur \(E_{\mathbf{R}}\). Soit \(U\) le plus grand sous-tore compact de \(T_{\mathbf{R}}\). Il résulte aisément de l'hyp. a) que \[T_{\mathbf{R}}^{\circ} = U_{\mathbf{R}} \cdot S_{\mathbf{R}} ,\] où \(S = \mathrm{Im}\,j\), [et \(U \subset \mathrm{Ker}\,\varepsilon\)]. Donc \(f\) est de la forme \(u\,j(x)\), en d'autres termes il existe un entier \(\nu > 0\) tel que \[f^{\nu} = u \cdot j(x) , \qquad u \in U(\mathbf{R}),\ x \in \mathbf{R}^{*} .\] Or \(U\) étant compact, les valeurs propres de \(u \in U(\mathbf{R})\) sont de val. absolue \(1\), donc celles de \(f^{\nu}\) sont de val. absolue égale à celles de \(j(x)\) ; or les val. propres de \(j(x)\) […] \(x^{i}\) ; […] \(\varepsilon(u) = 0\) [d'autre part \(\varepsilon | U = \uncertain{0}\)], donc \[\varepsilon(f)^{\nu} = \varepsilon(u)\,\varepsilon j(x) = \varepsilon j(x) = x^{\alpha} ,\] donc \(x^{i/\nu} = \varepsilon(f)^{i/\alpha} = q^{i/\alpha}\), d'où la conclusion. « \(\varepsilon | U = 0\) » : l'écriture est additive, \(\varepsilon\) étant trivial sur \(U\)

N.B. Évidemment […] b) et c) impliquent […] […] \(\mathbf{Q}^{*}\) […] ? ce N.B. est biffé d'un long zigzag au crayon ; un « ? » et une accolade dans la marge gauche

D'autre part, on voit que a) équivaut au fait que \(M\) est, avec les deux structures supplémentaires provenant de \((j, \varepsilon)\), munissable d'une structure « positive » des alg. motiviques. Ceci, d'autre part, par un argument […], implique que la phrase reste en suspens au bas du feuillet

93\(\mathbf{Q}'\) : clôture tot. réelle de \(\mathbf{Q}\) …. ligne isolée en tête du feuillet

\(\alpha = 2\) La condition a) équivaut à la suivante, si \(q \in \mathbf{Q}^{*}\) […] \(> 0\) :

[Pour tout \(\lambda \in M\), \(\exists\, r > 0\) tel que] Pour tout \(\lambda \in M\) \(\lambda^{r} \in \mathbf{Q}'(i)^{*}\), et pour tout \(\lambda \in M\), il existe un entier \(i\) tel que \(|\lambda| = q^{i/2}\) i.e. \(\lambda\bar{\lambda} = q^{i}\)

N.B. Le \(i\) en question dans […] est déterminé et n'est autre que \(j^{*}(\lambda)\). \[\Updownarrow\]

Pour tout \(\lambda \in M\), il existe on a \(|\lambda| = q^{j^{*}(\lambda)/2}\) i.e. \(\lambda\bar{\lambda} = q^{j^{*}(\lambda)}\)

le « \(\alpha = 2\) » de la marge est cerclé ; les deux conditions sont réunies chacune par une accolade, et la seconde accolade est seulement ébauchée

Cor. Soit \(\lambda \in \overline{\mathbf{Q}}\), tel que il existe \(q \in \mathbf{Q}^{*+}\), avec \(\lambda_{\alpha}\bar{\lambda}_{\alpha} = \lambda\bar{\lambda} \in \mathbf{Q}\) (\(= q\)) pour tout conjugué \(\lambda_{\alpha}\) de \(\lambda\) [i.e. \(|\lambda_{\alpha}|^{2} = |\lambda|^{2}\)]. Alors \(\exists\, r > 0\), tel que \(\lambda^{r} \in \mathbf{Q}'(i)\), [dans la condition, on a plongé […] dans \(\overline{\mathbf{Q}} \subset \mathbf{C}\) […]], et […] plongeant en \(\mathbf{Q}(\lambda)\) [relatif à \(f\)] […] tel que \(\lambda \in M\) (et réciproquement) il existe \(M\), \(\varepsilon\), \(j\) ….

N.B. Ceux des \(\lambda\) qui sont réels (donc tot. réels !) sont ceux où \(\lambda^{2} = q^{i}\) donc \(\lambda = (q^{1/2})^{i}\), les triviaux

NB. Les conditions n'impliquent pas que \(\lambda \in \mathbf{Q}'(i)^{*}\), comme on voit p. ex. en prenant \(\lambda = p^{1/4}\) ; Alors \(\mathbf{Q}(\lambda)\) n'est ni tot. imaginaire ni tot. réel (\(\mathbf{Q}(p^{1/4})\) est réel), […] tot. réel (car il est conjugué à \(\mathbf{Q}(\sqrt{-p^{1/2}})\) […]) […] pas \(\subset \mathbf{Q}'(i)\) les deux N.B. sont dans la marge gauche, en bas du feuillet ; le second est encadré et découpé par des traits verticaux

Proposition. Soit \(\lambda \in \overline{\mathbf{Q}}^{*}\), et \(q \in \mathbf{Q}^{*+}\). Conditions équivalentes :

(i)\(\exists\) entier \(i\) tel que pour [Pour] tout conjugué \(\lambda_{\alpha}\) de \(\lambda\), on ait \(|\lambda_{\alpha}| = q^{i/2}\) [\(\exists\) entier \(i\) tel que], i.e. \(\lambda_{\alpha}\bar{\lambda}_{\alpha} = q^{i}\)
(ii)\(\lambda \in \mathbf{Q}'(i)\), il existe un entier \(i\) tel que \(|\lambda| = q^{i/2}\) i.e. \(\lambda\bar{\lambda} = q^{i}\)
(ii bis)\(\exists\) entier \(n > 0\) tel que \(\lambda^{n} \in \mathbf{Q}'(i)\), et \(\exists\) [entier \(i\) tel que] \(\lambda^{n}\bar{\lambda}^{n} = q^{in}\) ; [\(|\lambda| = q^{i/2}\), i.e. \(\lambda\bar{\lambda} = q^{i}\)]
(iii)\(\exists\) un gp de t.m. \(G\) sur \(\mathbf{Q}\), et un élément \(f\) de \(G(\mathbf{Q})\), \(\mathbf{G}_m \xrightarrow{\;j\;} G \xrightarrow{\;\varepsilon\;} \mathbf{G}_m\), avec \(\varepsilon j(\lambda) = \lambda^{2}\), tels que […] [et \(\mathrm{Ker}\,\varepsilon\) compact], \(\varepsilon(f) = q\), (tels que \(\lambda\) soit une valeur propre de \(f\) [sur \(\overline{\mathbf{Q}}\)] pour un \(G\)-module de dim. finie […], i.e. \(\lambda \in\) […] : l'image de l'homom. \(M = D(G_{\overline{\mathbf{Q}}}) \to \overline{\mathbf{Q}}^{*}\) défini par \(f\).
(iv)Il existe une algèbre de Riemann commutative \(A\) [sur \(\mathbf{Q}\), et \(i \in \mathbf{N}\), et \(f \in A\), tels que \(ff' = q^{i}\)] et un homomorphisme \(A \to \overline{\mathbf{Q}}\), appliquant \(f\) dans \(\lambda\).

la proposition est remaniée dans l'interligne : le « (ii) » primitif est surchargé en « (ii bis) », et la condition sur \(|\lambda|\) est reprise à droite. L'ajout de (iv) entre crochets est écrit dans la marge droite, au-dessus de la ligne, et entouré

95Prop. Soit \(K\) un corps de nbs fini sur \(\mathbf{Q}\), \(L\) une extension quadratique de \(K\), \(\mathfrak{p}\) un idéal premier de \(K\), \(\mathfrak{p}, \mathfrak{p}'\) qui se décompose dans \(L\) dans deux idéaux premiers distincts \(\mathfrak{p}\), \(\mathfrak{p}'\). Alors il existe un \(x \in L^{*}\) dont le diviseur soit tel que dont le diviseur soit \(h(\mathfrak{p} - \mathfrak{p}')\) [où \(h \in \mathbf{N}^{*}\)], et tel que \[x\,\sigma x = 1 ,\] où \(\sigma\) est l'automorphisme non trivial de \(L/K\). Plus précisément, on trouve que les diviseurs des éléments \(x\) de \(L\) tels que \(N_{L/K}\,x = 1\), sont les diviseurs de \(L\) de norme \(1\) ! note marginale écrite en oblique dans la marge gauche

En effet, […] [soit \(h\) l'ordre […] dans le groupe des] classes de div. de \(L\), il existe un \(y\) de diviseur \(h(\mathfrak{p} - \mathfrak{p}')\). Alors \(y\,\sigma y\) est un élément de \(K\) dont le diviseur est évidemment nul, donc c'est une unité \(u\). Posons \(z = y^{2}\), alors \[z\,\bar{z} = (y \cdot \sigma y)^{2} = u^{2} ,\] [\(\mathrm{div}\,x = \mathrm{div}\,z = 2\,\mathrm{div}\,y\)] d'où si \(x = z/u = y^{2}/Ny\), on aura \(\mathrm{div}\,x = 2h(\mathfrak{p} - \mathfrak{p}')\), et \[x\,\sigma x = (z\bar{z})/u^{2} = 1 .\] « \(= 2h(\mathfrak{p} - \mathfrak{p}')\) » est écrit sous « \(x = z/u\) » ; il contredit le « \(h(\mathfrak{p} - \mathfrak{p}')\) » de l'énoncé par un facteur \(2\), ce qu'il laisse tel quel

N.B. Supposons que \(K\) est tot. réel [et \(L\) […] ext. quadratique galoisienne de \(\mathbf{Q}\), (\(K\), \(L\) galoisiens sur \(\mathbf{Q}\))], et \(K\) tot. imaginaire. Soit \(p\) un nb premier, et supposons que […] idéal de \(K\) […] de \(p\), […] premier […] de \(L\) sur \(K\). Soit \(\lambda\) un entier de \(L\) tel que \(\lambda\bar{\lambda} = p^{i}\). Alors \(\lambda^{2}\bar{\lambda}^{2} = p^{2i}\) donc si \(\mu = \lambda^{2}/p^{i} = \lambda^{2}/N_{L/K}\lambda\), on aura \[\mu\bar{\mu} = 1 ,\] […] ce qui implique que \(\mu\) est une unité en \(\mathfrak{p}\), donc (\(K\) étant galoisien) en […] (l'hyp. […] idéal premier […] \(\mathfrak{p}'\)), donc \(\mu\) est une unité (NB. \(\lambda\) […] entier […]), une racine de l'unité. Donc \(\lambda = p^{i/2}u\), \(u\) racine de l'unité ! l'hypothèse sur la décomposition de \(p\) dans \(L\) n'est pas lue ; la conclusion demande que les idéaux premiers de \(K\) au-dessus de \(p\) ne se décomposent pas dans \(L\)

97Soit \(K\) une extension […] tot. réelle finie de \(\mathbf{Q}\), \(L\) ext. quadratique tot. imaginaire de \(K\), \(q = p^{n}\) une puissance d'un nb premier. On cherche les \(\lambda \in K\)sic, pour \(\lambda \in L\) entiers tels que \(\lambda\bar{\lambda} = q^{i}\), i.e. \(|\lambda| = q^{i/2}\), [pour un \(i\) convenable \(\in \mathbf{N}\)] (ce sont des unités exc. \(p\)), et ils engendrent le groupe des un sous-groupe du groupe […] des unités exc. \(p\), […][…] des \(\lambda\) […] formé des \(\lambda\) unités exc. \(p\) tels que \[\lambda\bar{\lambda} = q^{i} \qquad (i \in \mathbf{Z}) .\] Notons que […] […] unités absolues exc. \(p\). Donc […] il […] si \(q\) […] […] \(\lambda\) […] \(q^{i/2}u\), avec […] on peut écrire un \(\lambda\) \(K\) […] comme \[\lambda = q^{i/2}u ,\] où \(u\) est une unité exc. \(p\) telle que \(u\bar{u} = 1\), ce qui implique que \(u\) est une unité absolue exc. \(p\). Ces \(u\) forment un groupe \(U\), et l'homom. \[U \longrightarrow \mathbf{Z}^{P} , \qquad u \mapsto (v_{\mathfrak{p}}(u))_{\mathfrak{p} \in P}\] où \(P\) est l'ensemble des \(\mathfrak{p}\) de \(L\) au-dessus de \(p\) […], a un noyau fini. D'après la prop. plus haut, [son conoyau est d'indice fini] […] dans \((\mathbf{Z}^{(P)})'\), […] image est […] formé des diviseurs de la forme \(\mathfrak{p}' -\) […] […] \(\mathfrak{p}\) […] idéal premier de […]. (rel. à \(K\)) nulle Donc si pour tout \(\mathfrak{p}\) […] de \(K\) sur \(p\) qui splitte en deux dans \(L\), on choisit un […] au-dessus, on trouve un isom. […] groupe fini \[U \simeq \mathbf{Z}^{Q} ,\] \(Q\) étant l'ensemble des […] le feuillet s'arrête sur ces mots ; la suite du raisonnement n'est pas au recto suivant, qui reprend les conditions sur les valeurs propres de Frobenius

99Conditions nécessaires pour qu'un \(\lambda \in \overline{\mathbf{Q}}\) soit valeur propre […] de frobenius, pour une variété projective […] définie sur le corps \(\mathbf{F}_q\) ; \(q = p^{n}\) :

1) \(\lambda \in \mathbf{Q}'(i)\) ; 2) \(\lambda^{2}\) est de la forme \(q^{i}u\), où \(u \in \mathbf{Q}'(i)\) est une unité exc. \(p\) ; 3) \(\mathfrak{p}\), \(\mathfrak{p}'\) sont deux idéaux premiers de […] premier état de la liste, barré

1)\(\lambda\) entier algébrique
2)\(\lambda \in \mathbf{Q}'(\sqrt{-1})\)
3)\(\lambda^{2} = q^{i}u\), [\(i \in \mathbf{Z}\)] avec \(u\) une unité [absolue] exc. \(p\) (cette dernière condition équivalente à [\(\exists\, i\) tel que \(|\lambda_{\alpha}| = q^{i/2}\) pour tt conjugué \(\lambda_{\alpha}\) de \(\lambda\)] […] déterminés […] uniques \(i\) et \(u\))
4)Si \(\mathfrak{p}\), \(\mathfrak{p}'\) sont deux idéaux premiers de \(\mathbf{Q}'(\sqrt{-1})\) […] au-dessus d'un idéal premier de \(\mathbf{Q}'\), on a \(v_{\mathfrak{p}}(u) + v_{\mathfrak{p}'}(u) = 0\) i.e. \(v_{\mathfrak{p}}(\lambda) + v_{\mathfrak{p}'}(\lambda) = \frac{in}{2}\), \(v_{\mathfrak{p}}\) normalisé tel que \(v_{\mathfrak{p}}(p) = 1\).

conséquence de 2 et 3 !!! les conditions 1) et 2) et la forme équivalente de 3) sont encadrées, ainsi que la formule \(v_{\mathfrak{p}}(\lambda) + v_{\mathfrak{p}'}(\lambda) = in/2\) ; la condition 4) est barrée de quatre traits obliques, et une flèche la relie à la mention cerclée « conséquence de 2 et 3 !!! »

N.B. \(q^{1/2} \in \mathbf{Q}'\) ! N.B. Les conditions 2), 3), 4) sont « diophantiennes », la condition 1) seulement […] On désigne par \(M(q^{n})\) le groupe de \(\mathbf{Q}'(i)^{*}\) défini par 3) 3), 4).

L'entier \(i\) qui intervient ici […] appelé le poids de \(\lambda\) (relativement à \(q = p^{n}\)). Le poids […] Si les conditions […] sont satisfaites, […] […] relativement à \(q' = q^{m}\), elles le sont pour \(q\), et le poids \(i\) rel. à \(q\) est égal à \(mi'\), où \(i'\) est le poids par rapport à \(q'\).

Th. d'existence de motifs sur \(\mathbf{F}_q\) Conjecture […] fondamentale : les conditions nécessaires précédentes sont suffisantes. la conjecture est isolée par un trait vertical ; la note marginale est marquée d'un double trait vertical

Cela détermine […] donc explicitement, en termes arithmétiques simples, le groupe de Galois motivique des \(\mathbf{F}_q\). Vérifions que cela donne bien la phrase se poursuit au feuillet 101 (lot 6)