Fonds Grothendieck, cote n° 15, pages 81–100

Localisation pour les variétés abéliennes

titre du tapuscrit commencé au feuillet 80 (lot 4), dont le feuillet 81 est la fin ; la première phrase achève l'alinéa b) du feuillet 80 (« le foncteur P \mapsto P \otimes_R X »). Les corrections sont dactylographiées (mots barrés de x, ajouts tapés dans l'interligne) ; rien n'est de sa main sur ce feuillet

de la catégorie de ces modules vers C est pleinement fidèle, et son image essentielle est formée des objets X' de C qui sont localement sur S isomorphes à un objet de la forme X^n. les deux lignes « image essentielle … localement » et « sur S isomorphes … X^n » sont tapées l'une sur l'autre ; la lecture suivie est celle-ci

NB La conclusion de b) est satisfaite si, au lieu de supposer C localisable, on la suppose stable par facteurs directs (=karoubienne), et ~~en fait P~~ si on prend des P projectifs de type fini sur R.

c) Soit toujours R une A-algèbre [de type fini], et soit \mathrm{Mod}(R,C) la catégorie des objets de Rsic : le sens demande « objets de C » munis d'une opération R-linéaire. C'est une catégorie A-linéaire, et la catégorie fibrée des \mathrm{Mod}(\underline{C},R)_{A'}, (pour A' [une A-algèbre]) ~~affine d'un ouvert affine de S = \mathrm{Spec}(A)~~ est équivalente à la catégorie fibrée des sections de \underline{C} munis d'une opération de R. En particulier, sa restriction au ~~site~~ petit site zariskien affine de S ~~site~~ s'identifie à \mathrm{Mod}(\underline{C},R) ; c'est donc un champ si \underline{C} en est un, donc \mathrm{Mod}(R,C) est localisable [sur S] si C l'est. « de type fini », « une A-algèbre » et « sur S » sont tapés dans l'interligne ; l'ordre des arguments, \mathrm{Mod}(R,C) ou \mathrm{Mod}(\underline{C},R), varie ainsi dans le tapuscrit

NB Si R est commutatif, \mathrm{Mod}(R,C) est même R-linéaire. Notre raisonnement ne prouve pas que ~~C est~~ \mathrm{Mod}(R,C) est localisable sur R i.e. sur \mathrm{Spec}(R) (ce qui est plus fort que de dire qu'elle est localisable sur S = \mathrm{Spec}(A)).

d) ~~Deux objets X, X' de C sont dits~~ Si C est localisable sur A, alors pour A' anneau affine d'un ouvert affine [U] de S, C_{A'} est localisable sur A', et le champ associé sur U s'identifie à la restriction du champ \underline{C} à U.

e) Deux objets de C sont dits apparentés (ou A-apparentés) s'ils sont localement isomorphes sur A. C'est évidemment une relation d'équivalence, et la sous-catégorie pleine de C formée des objets apparentés à un objet de C est une catégorie de A-linéaire localisable sur A, et c'est une catégorie de Deuring, le tapuscrit s'arrête ici, au milieu de la phrase, aux deux tiers du feuillet ; le feuillet 82 est vierge

[Gerbe motivique à lien commutatif ; nombres de Weil]

titre de l'éditeur, entre crochets : la suite manuscrite des feuillets 83 à 99 (les rectos ; les versos pairs sont des tapuscrits étrangers) ne porte ni titre ni pagination de sa main. Elle se lit d'un feuillet au suivant

c petit « c » dans le coin supérieur gauche, peut-être une marque d'ordre

\mathcal{M} catégorie motivique [semi-simple], de gerbe \mathcal{G}. Supposons que le lien \mathcal{L} de \mathcal{G} soit commutatif, donc correspond à un groupe algébrique [commutatif de type multiplicatif] G sur \mathbf{Q}. Ainsi, G^{\circ} est un tore. Soit E un motif « fidèle ». ~~et par F~~ Alors G opère sur E, considéré comme ~~objet~~ [section] de la catégorie fibrée \mathrm{HOM}(\mathcal{G}, \uncertain{\mathrm{Proj}}), et en particulier G(\mathbf{Q}) opère sur E, donc G(\mathbf{Q}) \overset{\varphi}{\hookrightarrow} \mathrm{End}_{\mathcal{M}}(E). « semi-simple » est ajouté au-dessus de la ligne, écrit « ½ simple » ; « commutatif de type multiplicatif » est ajouté sous la ligne, avec un trait de renvoi devant « G ». Le second argument de \mathrm{HOM} est souligné, comme pour un champ D'ailleurs, ~~les éléments de G(\mathbf{Q}) sur U = \mathrm{Ker}(G^{\circ} \to \mathbf{G}_m), dans U opère~~ Choisissons une forme de polarisation sur E, d'où une structure d'algèbre de Riemann sur A = \mathrm{End}_{\mathcal{M}}(E), et on a pour tout u \in G(\mathbf{Q}), \varphi(u)\,\varphi(u)' = \varepsilon(u)\,1_{E} . [En particulier, si u \in U = \mathrm{Ker}\,\varepsilon, on a \varphi(u)\varphi(u)' = \mathrm{id}]. Donc l'algèbre engendrée par les \varphi(u) en A est auto-adjointe, et U(\mathbf{Q}) s'envoie comme un s-groupe dans le « groupe unitaire » de A, formé des u tels que uu' = 1. ~~Plus précisément~~ Or ce groupe [formé des d'un vect/\mathbf{Q}] est un tore compact. On trouve que U^{\circ} est un tore compact. l'ajout entre crochets, à droite au-dessus de « groupe », d'une autre encre, est en partie illisible

Plus précisément, en introduisant l'algèbre engendrée par A G(\mathbf{Q}) dans A, soit B. On sait que B = \prod L_i, chaque L_i ext. quadratique d'un corps de nombres K_i tot. réel (K_i déterminé uniquement ~~par L_i~~ [par L_i] comme tot. réel de L_i), l'involution induite sur L_i par la conjugaison par rapport à K_i (i.e. la conjugaison complexe ordinaire, si L_i \subset \mathbf{C}), la trace est proportionnelle, sur chaque L_i, à la trace ordinaire.

Ainsi B^{*} n'est autre que H(\mathbf{Q}), où H = \prod_{i} \Bigl( \prod_{L_i/\mathbf{Q}} \mathbf{G}_{m\,L_i} \Bigr) et le groupe unitaire B^{*u} s'obtient comme le groupe des points rationnels de H^{u} = \prod_{i} \Bigl( \prod_{K_i/\mathbf{Q}} \Gamma_i \Bigr) où \Gamma_i est la forme tordue de \mathbf{G}_m sur K_i définie par l'extension quadratique L_i de K_i. [~~Ainsi~~ Cela montre au que H^{u} est un tore « compact », (de nature d'ailleurs assez particulière !), et aussi U^{\circ} comme sous-tore de ce dernier . \prod_{L_i/\mathbf{Q}} et \prod_{K_i/\mathbf{Q}} sont sa notation pour la restriction des scalaires à la Weil

N.B. Il conviendrait de déterminer \varepsilon : G \to \mathbf{G}_m en termes des tores normes sur les L_i, et j : \mathbf{G}_m \to G = .

Dans le cas où \mathcal{G} est quelconque, on définir cependant le [lien] \mathcal{L}' = \uncertain{\mathrm{coval}}(\mathcal{L}), qui est commutatif, et il correspond à une gerbe quotient \mathcal{G}' de lien commutatif \mathcal{L}'. D'ailleurs, \mathcal{L}' correspond à un groupe algébrique [H], et ce qui précède prouve que \bigl( \mathrm{Ker}(\varepsilon : H \to \mathbf{G}_m) \bigr)^{\circ} est un tore compact. le mot devant « (\mathcal{L}) » se lit « coval » ; le sens demande le quotient commutatif maximal du lien

un double trait horizontal sépare ce qui suit

Nous ~~envisagerons~~ maintenant une ~~gerbe~~ catégorie de motifs munie d'un Frobenius tensoriel dans \mathrm{Aut}(\mathrm{id}) qui soit « générateur ». Ainsi \mathcal{L} est commutatif et correspond à un groupe [de type] multiplicatif G, muni d'un élément f (« frobenius »), et G est engendré (au sens de Zariski) par f. ~~Dans le cas qui nous occupe, E Précédent~~ ~~soit~~.

a)~~motif~~ [groupe de type mult.] T sur \mathbf{Q}, avec f \in T(\mathbf{Q}) engendrant T (Zar)

\Updownarrow

b)Sous-groupe de M de \overline{\mathbf{Q}}^{*}, stable par \mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})

\Updownarrow

c)Sous-catégorie strictement pleine \mathcal{M}' de la catégorie des vectoriels sur \mathbf{Q} avec endomorphisme [semi-simple] (i.e. de la catégorie des \mathbf{Q}[X]-modules [semi-simples] de dim. finie sur \mathbf{Q}) stable par \otimes, \oplus, sous-objet.

Soit donné un groupe de t.m. T, avec « générateur » f \in T(\mathbf{Q}), et soit donné \mathbf{G}_m \xrightarrow{\;j\;} T [invariant par \mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})], qui équivaut à se donner j^{*} : M \to \mathbf{Z} ~~j^{*}(f) = q~~, et on se donne un homomorphisme \varepsilon : T \to \mathbf{G}_m (~~tel que~~ \varepsilon j(\lambda) = \lambda^{\alpha}) [donnée fonctorielle ], i.e. j^{*}(\varepsilon^{*}) = \alpha, i.e. soit donné un objet \Lambda de \mathcal{M}' [de rang 1] ; i.e. ~~Pour \varepsilon(f) = q |\varepsilon(f)|~~. q = \varepsilon^{*} = \varepsilon(f) \in M \cap \mathbf{Q}^{*} ; i.e. \Lambda de degré \alpha toute cette partie est très surchargée : mots biffés, un passage noirci, des ajouts au-dessus et au-dessous de la ligne ; la note marginale est cerclée

a)T^{\circ}/\mathrm{Im}\,j est compact.

\Downarrow

b)[q > 0 et] Pour tout m \in M, on a |m| = q^{j^{*}(m)/\alpha}

\Updownarrow

c)[q > 0 et] Pour tout (E, f) \in \mathcal{M}', si E est de degré i, les valeurs propres de f dans E_{\mathbf{C}} sont de val. absolue q^{i/\alpha}.

En effet, les valeurs propres des ~~(E,f) \in \mathcal{M}~~ f, pour (E,f) \in \mathcal{M}' , sont les m \in M avec j^{*}(m) = i. Donc c) et b) sont équivalents.

[Ces impliquent a), car T' = T^{\circ}/\mathrm{Im}\,j est un tore ; f' représentation E, les valeurs propres de val. abs. 1 f' opérant sur E_{\mathbf{C}} \mathrm{Gal}(E_{\mathbf{C}}) T'_{\mathbf{R}} est un \mathbf{R}-groupe compact E_{\mathbf{C}} est de val. abs. 1 ] ce crochet, jusqu'au bas du feuillet, est biffé par trois longs traits obliques et plusieurs traits horizontaux ; seuls des fragments se lisent

Montrons que a) implique c). Soit en effet E un vectoriel ~~sur \mathbf{Q}~~ [« de degré i »] avec T opérant. ~~Alors les opérations de T_{\mathbf{R}} opérant sur E_{\mathbf{R}}, et comme U le groupe~~ Alors T_{\mathbf{R}} opère sur E_{\mathbf{R}}. Soit U le plus grand sous-tore compact de T_{\mathbf{R}}. Il résulte aisément de l'hyp. a) que T_{\mathbf{R}}^{\circ} = U_{\mathbf{R}} \cdot S_{\mathbf{R}} , où S = \mathrm{Im}\,j, [et U \subset \mathrm{Ker}\,\varepsilon]. ~~Donc~~ f est de la forme u\,j(x), en d'autres termes il existe un entier \nu > 0 tel que f^{\nu} = u \cdot j(x) , \qquad u \in U(\mathbf{R}),\ x \in \mathbf{R}^{*} . Or U étant compact, les valeurs propres de u \in U(\mathbf{R}) sont de val. absolue 1, donc celles de f^{\nu} sont de val. absolue égale à celles de j(x) ; or les val. propres de j(x) x^{i} ; ~~\varepsilon(u) = 0~~ [d'autre part \varepsilon | U = \uncertain{0}], donc \varepsilon(f)^{\nu} = \varepsilon(u)\,\varepsilon j(x) = \varepsilon j(x) = x^{\alpha} , donc x^{i/\nu} = \varepsilon(f)^{i/\alpha} = q^{i/\alpha}, d'où la conclusion. « \varepsilon | U = 0 » : l'écriture est additive, \varepsilon étant trivial sur U

~~N.B. Évidemment b) et c) impliquent \mathbf{Q}^{*}~~ ? ce N.B. est biffé d'un long zigzag au crayon ; un « ? » et une accolade dans la marge gauche

D'autre part, on voit que a) équivaut au fait que M est, avec les deux structures supplémentaires provenant de (j, \varepsilon), munissable d'une structure « positive » des alg. motiviques. Ceci, d'autre part, par un argument , implique que la phrase reste en suspens au bas du feuillet

\mathbf{Q}' : clôture tot. réelle de \mathbf{Q} …. ligne isolée en tête du feuillet

\alpha = 2 La condition a) équivaut à la suivante, si q \in \mathbf{Q}^{*} > 0 :

[Pour tout \lambda \in M, \exists\, r > 0 tel que] ~~Pour tout \lambda \in M~~ \lambda^{r} \in \mathbf{Q}'(i)^{*}, et pour tout \lambda \in M, il existe un entier i tel que |\lambda| = q^{i/2} i.e. \lambda\bar{\lambda} = q^{i}

N.B. Le i en question dans est déterminé et n'est autre que j^{*}(\lambda). \Updownarrow

Pour tout \lambda \in M, ~~il existe~~ on a |\lambda| = q^{j^{*}(\lambda)/2} i.e. \lambda\bar{\lambda} = q^{j^{*}(\lambda)}

le « \alpha = 2 » de la marge est cerclé ; les deux conditions sont réunies chacune par une accolade, et la seconde accolade est seulement ébauchée

Cor. Soit \lambda \in \overline{\mathbf{Q}}, tel que ~~il existe q \in \mathbf{Q}^{*+}, avec~~ \lambda_{\alpha}\bar{\lambda}_{\alpha} = \lambda\bar{\lambda} \in \mathbf{Q} (= q) pour tout conjugué \lambda_{\alpha} de \lambda [i.e. |\lambda_{\alpha}|^{2} = |\lambda|^{2}]. Alors \exists\, r > 0, tel que \lambda^{r} \in \mathbf{Q}'(i), [dans la condition, on a plongé dans \overline{\mathbf{Q}} \subset \mathbf{C} ], et plongeant en \mathbf{Q}(\lambda) [relatif à f] tel que \lambda \in M (et réciproquement) il existe M, \varepsilon, j ….

N.B. Ceux des \lambda qui sont réels (donc tot. réels !) sont ceux où \lambda^{2} = q^{i} donc \lambda = (q^{1/2})^{i}, les triviaux

NB. Les conditions n'impliquent pas que \lambda \in \mathbf{Q}'(i)^{*}, comme on voit p. ex. en prenant \lambda = p^{1/4} ; Alors \mathbf{Q}(\lambda) n'est ni tot. imaginaire ni tot. réel (\mathbf{Q}(p^{1/4}) est réel), tot. réel (car il est conjugué à \mathbf{Q}(\sqrt{-p^{1/2}}) ) pas \subset \mathbf{Q}'(i) les deux N.B. sont dans la marge gauche, en bas du feuillet ; le second est encadré et découpé par des traits verticaux

Proposition. Soit \lambda \in \overline{\mathbf{Q}}^{*}, et q \in \mathbf{Q}^{*+}. Conditions équivalentes :

(i)~~\exists entier i tel que pour~~ [Pour] tout conjugué \lambda_{\alpha} de \lambda, on ait |\lambda_{\alpha}| = q^{i/2} [\exists entier i tel que], i.e. \lambda_{\alpha}\bar{\lambda}_{\alpha} = q^{i} (ii)\lambda \in \mathbf{Q}'(i), il existe un entier i tel que |\lambda| = q^{i/2} i.e. \lambda\bar{\lambda} = q^{i} (ii bis)\exists entier n > 0 tel que \lambda^{n} \in \mathbf{Q}'(i), et ~~\exists~~ [entier i tel que] \lambda^{n}\bar{\lambda}^{n} = q^{in} ; [|\lambda| = q^{i/2}, i.e. \lambda\bar{\lambda} = q^{i}] (iii)\exists un gp de t.m. G sur \mathbf{Q}, et un élément f de G(\mathbf{Q}), \mathbf{G}_m \xrightarrow{\;j\;} G \xrightarrow{\;\varepsilon\;} \mathbf{G}_m, avec \varepsilon j(\lambda) = \lambda^{2}, ~~tels que~~ [et \mathrm{Ker}\,\varepsilon compact], \varepsilon(f) = q, (tels que \lambda soit une valeur propre de f [sur \overline{\mathbf{Q}}] pour un G-module de dim. finie , i.e. \lambda \in : l'image de l'homom. M = D(G_{\overline{\mathbf{Q}}}) \to \overline{\mathbf{Q}}^{*} défini par f. (iv)Il existe une algèbre de Riemann commutative A [sur \mathbf{Q}, et i \in \mathbf{N}, et f \in A, tels que ff' = q^{i}] et un homomorphisme A \to \overline{\mathbf{Q}}, appliquant f dans \lambda.

la proposition est remaniée dans l'interligne : le « (ii) » primitif est surchargé en « (ii bis) », et la condition sur |\lambda| est reprise à droite. L'ajout de (iv) entre crochets est écrit dans la marge droite, au-dessus de la ligne, et entouré

Prop. Soit K un corps de nbs fini sur \mathbf{Q}, L une extension quadratique de K, \mathfrak{p} un idéal premier de K, ~~\mathfrak{p}, \mathfrak{p}'~~ qui se décompose dans L dans deux idéaux premiers distincts \mathfrak{p}, \mathfrak{p}'. Alors il existe un x \in L^{*} ~~dont le diviseur soit~~ ~~tel que~~ dont le diviseur soit h(\mathfrak{p} - \mathfrak{p}') [où h \in \mathbf{N}^{*}], et tel que x\,\sigma x = 1 , où \sigma est l'automorphisme non trivial de L/K. Plus précisément, on trouve que les diviseurs des éléments x de L tels que N_{L/K}\,x = 1, sont les diviseurs de L de norme 1 ! note marginale écrite en oblique dans la marge gauche

En effet, [soit h l'ordre dans le groupe des] classes de div. de L, il existe un y de diviseur h(\mathfrak{p} - \mathfrak{p}'). Alors y\,\sigma y est un élément de K dont le diviseur est évidemment nul, donc c'est une unité u. Posons z = y^{2}, alors z\,\bar{z} = (y \cdot \sigma y)^{2} = u^{2} , [\mathrm{div}\,x = \mathrm{div}\,z = 2\,\mathrm{div}\,y] d'où si x = z/u = y^{2}/Ny, on aura \mathrm{div}\,x = 2h(\mathfrak{p} - \mathfrak{p}'), et x\,\sigma x = (z\bar{z})/u^{2} = 1 . « = 2h(\mathfrak{p} - \mathfrak{p}') » est écrit sous « x = z/u » ; il contredit le « h(\mathfrak{p} - \mathfrak{p}') » de l'énoncé par un facteur 2, ce qu'il laisse tel quel

N.B. Supposons que K est tot. réel [et L ext. quadratique ~~galoisienne de \mathbf{Q}~~, (K, L galoisiens sur \mathbf{Q})], ~~et K~~ tot. imaginaire. Soit p un nb premier, et supposons que idéal de K de p, premier de L sur K. Soit \lambda un entier de L tel que \lambda\bar{\lambda} = p^{i}. Alors \lambda^{2}\bar{\lambda}^{2} = p^{2i} donc si \mu = \lambda^{2}/p^{i} = \lambda^{2}/N_{L/K}\lambda, on aura \mu\bar{\mu} = 1 , ce qui implique que \mu est une unité en \mathfrak{p}, donc (K étant galoisien) en (l'hyp. idéal premier \mathfrak{p}'), donc \mu est une unité (NB. \lambda entier ), une racine de l'unité. Donc \lambda = p^{i/2}u, u racine de l'unité ! l'hypothèse sur la décomposition de p dans L n'est pas lue ; la conclusion demande que les idéaux premiers de K au-dessus de p ne se décomposent pas dans L

Soit K une extension tot. réelle finie de \mathbf{Q}, L ext. quadratique tot. imaginaire de K, q = p^{n} une puissance d'un nb premier. On cherche les \lambda \in Ksic, pour \lambda \in L entiers tels que \lambda\bar{\lambda} = q^{i}, i.e. |\lambda| = q^{i/2}, [pour un i convenable \in \mathbf{N}] (ce sont des unités exc. p), et ils engendrent ~~le groupe des~~ un sous-groupe du groupe des unités exc. p, ~~des \lambda~~ formé des \lambda unités exc. p tels que \lambda\bar{\lambda} = q^{i} \qquad (i \in \mathbf{Z}) . Notons que ~~unités absolues exc. p. Donc il si q~~ ~~\lambda q^{i/2}u, avec~~ on peut écrire un \lambda K comme \lambda = q^{i/2}u , où u est une unité exc. p telle que u\bar{u} = 1, ce qui implique que u est une unité absolue exc. p. Ces u forment un groupe U, et l'homom. U \longrightarrow \mathbf{Z}^{P} , \qquad u \mapsto (v_{\mathfrak{p}}(u))_{\mathfrak{p} \in P} où P est l'ensemble des \mathfrak{p} de L au-dessus de p , a un noyau fini. D'après la prop. plus haut, [son conoyau est d'indice fini] dans (\mathbf{Z}^{(P)})', image est formé des diviseurs de la forme ~~\mathfrak{p}' -~~ \mathfrak{p} idéal premier de . (rel. à K) nulle Donc si pour tout \mathfrak{p} de K sur p qui splitte en deux dans L, on choisit un au-dessus, on trouve un isom. groupe fini U \simeq \mathbf{Z}^{Q} , Q étant l'ensemble des le feuillet s'arrête sur ces mots ; la suite du raisonnement n'est pas au recto suivant, qui reprend les conditions sur les valeurs propres de Frobenius

Conditions nécessaires pour qu'un \lambda \in \overline{\mathbf{Q}} soit valeur propre de frobenius, pour une variété projective définie sur le corps \mathbf{F}_q ; q = p^{n} :

~~1) \lambda \in \mathbf{Q}'(i) ; 2) \lambda^{2} est de la forme q^{i}u, où u \in \mathbf{Q}'(i) est une unité exc. p ; 3) \mathfrak{p}, \mathfrak{p}' sont deux idéaux premiers de~~ premier état de la liste, barré

1)\lambda entier algébrique 2)\lambda \in \mathbf{Q}'(\sqrt{-1}) 3)\lambda^{2} = q^{i}u, [i \in \mathbf{Z}] avec u une unité [absolue] exc. p (cette dernière condition équivalente à [\exists\, i tel que |\lambda_{\alpha}| = q^{i/2} pour tt conjugué \lambda_{\alpha} de \lambda] déterminés uniques i et u) 4)Si \mathfrak{p}, \mathfrak{p}' sont deux idéaux premiers de \mathbf{Q}'(\sqrt{-1}) au-dessus d'un idéal premier de \mathbf{Q}', on a v_{\mathfrak{p}}(u) + v_{\mathfrak{p}'}(u) = 0 i.e. v_{\mathfrak{p}}(\lambda) + v_{\mathfrak{p}'}(\lambda) = \frac{in}{2}, v_{\mathfrak{p}} normalisé tel que v_{\mathfrak{p}}(p) = 1.

conséquence de 2 et 3 !!! les conditions 1) et 2) et la forme équivalente de 3) sont encadrées, ainsi que la formule v_{\mathfrak{p}}(\lambda) + v_{\mathfrak{p}'}(\lambda) = in/2 ; la condition 4) est barrée de quatre traits obliques, et une flèche la relie à la mention cerclée « conséquence de 2 et 3 !!! »

N.B. q^{1/2} \in \mathbf{Q}' ! N.B. Les conditions 2), 3), 4) sont « diophantiennes », la condition 1) seulement On désigne par M(q^{n}) le groupe de \mathbf{Q}'(i)^{*} défini par 3) 3), 4).

L'entier i qui intervient ici appelé le poids de \lambda (relativement à q = p^{n}). ~~Le poids~~ Si les conditions sont satisfaites, relativement à q' = q^{m}, elles le sont pour q, et le poids i rel. à q est égal à mi', où i' est le poids par rapport à q'.

Th. d'existence de motifs sur \mathbf{F}_q Conjecture fondamentale : les conditions nécessaires précédentes sont suffisantes. la conjecture est isolée par un trait vertical ; la note marginale est marquée d'un double trait vertical

Cela détermine donc explicitement, en termes arithmétiques simples, le groupe de Galois motivique des \mathbf{F}_q. Vérifions que cela donne bien la phrase se poursuit au feuillet 101 (lot 6)