Cote n° 15 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Théorie arithmétique. Théorie de Galois des motifs (1965) : notes manuscites (s.d.), tapuscrit (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1977]
Édition de démonstration

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21le feuillet continue une phrase commencée au feuillet 20 (lot 1)

gerbe est alors une [catégorie] \(A'\)-linéaire, […]. Soit \(X \in\) Nous dirons, Supposons que pour […] Soit \(X \in \operatorname{Ob} C\), et considérons \(\sigma = \operatorname{End}(X)\), et \(N_{\mathrm{red}} : \sigma^{*} \to A^{*}\) les trois lignes biffées sont en outre encadrées d'un trait qui les isole du reste sous certaines conditions, on définira les objets inversibles canoniques, en établissant un système transitif d'isomorphismes entre les \(\det(X_{A'})\) \((X \in \operatorname{Ob} C)\). Pour ceci il suffit de définir un isom. canonique \[\det P \simeq A \qquad (\alpha)\] pour les \(A\)-modules […] à droite \(P\) sous un \(\sigma = \operatorname{End}(X)\) \((X \in \operatorname{Ob} C)\), fonctoriel en \(P\) (ce qui suppose que \(N_{\mathrm{red}} : \sigma^{*} \to A^{*}\) est à valeurs dans \(1\), […] \(\sigma'\) étant le commutant de \(\sigma\) dans \(P\) …) et multiplicatif […] (\(Q\) sous \(\sigma'', \sigma'\), \(P\) sous \(\sigma', \sigma\)) \[N_{\mathrm{red}}(Q \otimes_{\sigma'} P, \sigma) \simeq N_{\mathrm{red}}(Q, \sigma') \otimes N_{\mathrm{red}}(P, \sigma).\] […] doit être compatible avec les isom. […]. Cela marche si on suppose [Prenons \(\Phi = N_{\mathrm{red}}(E^{*}) \subset K^{*}\), où \(\sigma = \operatorname{End}(X)\), \(E = \sigma \otimes_{A} K\)] \[\begin{cases} \operatorname{Pic}(A) = 0 \\ \Phi \cap A^{*} = \{1\}, \quad \Phi \cdot A^{*} = K^{*} \end{cases}\] sur la seconde ligne de l'accolade, une première version biffée : \(N_{\mathrm{red}}(E^{*}) \cap N_{\mathrm{red}}(\sigma)\)

Ces conditions sont vérifiées par ex. si \(A = \mathbb{Z}\), […] si \(A = \mathbb{Z}\), \(E_{K}\) \((= E_{\mathbb{R}})\) […] […] […] […] sur \(\mathbb{R}\). Donc dans ce cas, on a un objet inv. canonique de degré […] de \(\operatorname{Rep}(\mathcal{G}_{A'})\), de […] jusqu'à que le lien structural de la gerbe \(\mathcal{G}_{A'}\)

22se trouve de façon naturelle réduit à \(\mu_{2}\).

On peut maintenant […] \[C = \text{catégorie des courbes elliptiques de}\] […] (Hom […] sur corps alg. clos de car. \(p\)).

D'après Deuring, c'est une catégorie de Deuring [définie sur \(\mathbb{Z}\)], dont correspond à la classe d'isomorphie des algèbres quaternions de degré \(4\) (corps de quaternions) sur \(\mathbb{Q}\) dont déployés en toutes les places sauf \(p\) et \(\infty\) (il est donc d'ordre \(2\) dans \(\operatorname{Br}(\mathbb{Q})\)).

Les torseurs donc, comme […] en termes de […] \(C\) […] [la donnée d'un tel corps sur \(\mathbb{Q}\), une gerbe sur \(\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[\tfrac{1}{p}]\) de groupe lien \(\mu_{2}\) [\(\simeq\) […] \(\times\) \(\widehat{\mathcal{G}}\) de inversibles] + trivialisation de ce déterminant, de rang \(2\)]. « la donnée » est récrit dans l'interligne au-dessus d'une première version biffée ; « inversibles » est ajouté sous la ligne ; la lecture du crochet intérieur est incertaine On trouve de plus, si \[A' = \prod_{\ell \neq p, \infty} \mathbb{Z}_{\ell},\] une banalisation de \(C_{A'}\), i.e. représentation de \(\mathcal{G}_{A'}\) de i.e. une trivialisation de \(\widehat{\mathcal{G}}_{A'}\), soit \(E\), (avec un isom. […] de \(\mathcal{G}_{A'}\) de rang \(2\), degré \(1\)), \(\det E \simeq T\) [i.e. foncteur fibre de \(\operatorname{Rep}(\widehat{\mathcal{G}}_{A'})\) sur \(A'\)], d'où un isom. \[\varphi(T) \simeq A'(1) \Bigl(\overset{\mathrm{df}}{=} \prod_{\ell \neq p, \infty} \mathbb{Z}_{\ell}(1)\Bigr).\] une première version biffée précède la formule : \(\varphi(E)\)

[…] Cela fait donc En d'autres termes, si \(\mathcal{H}_{A'}\) est la gerbe des racines carrées de \(A'(1)\), qui est une gerbe sous \(\mu_{2}\), on a une équivalence canonique de

23\[\mathcal{G}_{A'} \simeq \mathcal{H}_{A'}\] Comme invariant (\(C\) dans \(\mathcal{G}_{A^{*}}\) [de \(\mathcal{G}_{A'}\)] […] ici précisé) on trouve par cette donnée [à isom. près] explicitement un torseur sous \[\mathrm{H}^{1}(A', \mu_{2}) \simeq \prod_{\ell \neq p, \infty} \mathbb{Z}_{\ell}^{*}/\mathbb{Z}_{\ell}^{*2}, \qquad \mathbb{Z}_{\ell}^{*}/\mathbb{Z}_{\ell}^{*2} \simeq \begin{cases} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \text{si } \ell \neq 2 \\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \text{si } \ell = 2 \end{cases}\] avant la formule, une première version biffée : \(\mathrm{H}^{1}(\mathbb{Q}\) […] \(A', \mu_{2}) \simeq\) […]

NB il n'y a absolument pas de façon naturelle de choisir une origine […] « a priori » […] dans […] dans […] dans \(\mu_{\ell}\) mod \((\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^{*2}\) \((\ell \neq 2)\), \(\mu_{8}\) mod \((\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{*2}\) note marginale écrite de biais dans la marge gauche, en partie encadrée ; l'exposant porté sur \(\mu_{\ell}\) n'est pas lu

Si on tient compte du fait que la gerbe \(\mathcal{G}_{A'}\) […] déterminée seulement à équivalence (non unique près), […] la […] d'une classe dans l'isomorphie d'équivalences […], […] donc d'un élément de \[\mathrm{H}^{1}\bigl(\underbrace{\mathbb{Z}[\tfrac{1}{p}]}_{A}, \mu_{2}\bigr) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\] (l'élément \((1,0)\) […] de \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) [resp. \((0,1)\)] correspondant resp. à \(\sqrt{p}\) [resp. \(\sqrt{-1}\)]) on trouve un invariant dans on peut éliminer le gpe \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) grâce à la donnée de la structure s-pl. : a) orientation à l'\(\infty\), b) « orientation » en \(p\) \[\Pi/\rho(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}),\] où \(\Pi\) est le torseur sous \(\mathrm{H}^{1}(A', \mu_{2}) = \prod_{\ell \neq p, \infty} \mathbb{Z}_{\ell}^{*}/\mathbb{Z}_{\ell}^{*2}\) des trivialisations de \(\mathcal{H}_{A'}\), et \[\rho : \mathrm{H}^{1}(\mathbb{Z}[\tfrac{1}{p}], \mu_{2}) \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathrm{H}^{1}(A', \mu_{2})\] l'homom. naturel, défini par la condition [(resp. \(\rho(0,1)_{\ell}\))] \[\rho(1,0)_{\ell} = \begin{cases} 0 & \text{si } p \text{ [resp.\ } -1\text{] est un carré dans } \mathbb{Z}_{\ell}^{*} \\ 1 & \text{sinon} \end{cases}\] (\(\Longleftrightarrow\) \(p\) carré dans \((\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^{*}\) si \(\ell \neq 2\)). le « \(\ell \neq 2\) » est d'abord écrit sous la parenthèse, biffé, puis récrit au-dessus ; le feuillet s'arrête à mi-hauteur

Cat. de Deuring sur A

titre de sa main, souligné, en tête du feuillet 25 ; la suite (feuillets 25 à 39, rectos d'un papier jauni) n'est pas paginée par lui. Le nom, tracé « Deu—ring » avec un long paraphe, est lu Deuring d'après le feuillet 22

25C'est une catégorie prédditive \(A\)-linéaire telles que \[\exists\ A\text{-algèbre } \sigma, \text{ avec } C \approx \mathbb{P}(\sigma/A)\] « \(A\)- » est récrit sur un premier mot biffé devant « algèbre » [\(\mathbb{P}(\sigma/A)\) : modules \(P\) à droite sur \(\sigma\) loc. libres de rang \(1\) sur \(\operatorname{Spec} A\)] [équiv. \(A\)-linéaire] \[\Updownarrow\] \(\exists\, X_{0} \in \operatorname{Ob} C\) t.q. a) pour tt \(P \in \operatorname{Ob} \mathbb{P}(\sigma/A)\), où \(\sigma = \operatorname{End}_{C}(X_{0})\), \(P \otimes_{\sigma} X_{0}\) existe ; b) \(P \mapsto P \otimes_{\sigma} X_{0}\) une équivalence de catégories \[\Updownarrow\] \(\forall\, X_{0} \in \operatorname{Ob} C\), a) b).

NB À équiv. (canon. unique) près, \(C\) est donc défini par une algèbre \(\sigma\). Pour que \(\sigma, \sigma'\) définissent [définissent] des \(C\) équivalentes, il faut et suffit qu'il existe \(P \in \mathbb{P}(\sigma/A)\), avec \(\sigma' \simeq \operatorname{End}(P)\), i.e. que \(\sigma'\) soit obtenu en « tordant par autom. intérieurs par un \(P \in \mathbb{P}(\sigma/A)\) ». Si \(\sigma\) est commutatif ([…] […] […] !) on trouve que \(\sigma \simeq \sigma'\).

[…], Soient \(C, C'\) deux catégories [\(A\)-lin. avec \(A \simeq A'\) donné] de Deuring. Un foncteur \(F : C \to C'\) […] [\(A\)-lin.] est dit admissible [(ou de Deuring)] s'il prolonge commutant à l'opération \(P \otimes_{\sigma} X\) pour \(X \in \operatorname{Ob} C\), \(\sigma \in \operatorname{End}_{C}(X)\), \(P \in \mathbb{P}(\sigma/A)\). Je dis […] l'interligne au-dessus de « deux catégories » porte « \(A\)-lin. avec \(A \to A'\) donné », dont la flèche est écrite comme un \(\simeq\) ; lecture incertaine

27de l'exiger pour un \(X\), et pour \(X\) fixé, la […] de catégorie des foncteurs est équivalente à la catégorie des couples \((X', u)\) où \(X'\) est un objet de \(C'\), \[u : \sigma = \operatorname{End}(X) \longrightarrow \sigma' = \operatorname{End}(X')\] un homom. compatible avec \(A \to A'\), tel que \(\forall\, P \in \operatorname{Ob} \mathbb{P}(\sigma/A)\), \(P \otimes\) posant \(P' = P \otimes_{\sigma} \sigma' \in \mathbb{P}(\sigma'/A')\), le produit tensoriel \(P' \otimes_{\sigma'} X'\) existe.

[NB le « tel que » est superflu si p.ex. \(C'\) est de Deuring.]

Considérons Catégorie \(C_{A'}\) (\(C\) catégorie de Deuring sur \(A\) ; correspondant à solution d'un pb universel) \[\Bigl[\ \operatorname{Hom}_{\mathrm{ad}_{A \to A'}}(C, C') \simeq \operatorname{Hom}_{\mathrm{ad}_{A'}}(C_{A'}, C')\ \Bigr]\]

Si \(C, C'\) sont des catégories de Deuring […] deux, pour que Si \(C_{A'} \to C'\) sont une équivalence, il faut que \(C'\) soit de Deuring aussi, et que \(\sigma \otimes_{A} A' \to \sigma'\) soit un isomorphisme.

La Gr-catégorie des autoéquivalences de \(C\) [\(\approx\)] est la catégorie des bitorseurs \(P\) sous \(\sigma, \sigma\), i.e. loc. sur \(A\) iso. pour les deux structures, avec le produit tensoriel évident. Si \(A = A'\)

29la catégorie des équivalences de \(C\) avec \(C'\) (\(C'\) étant de Deuring) est un Tors-catégorie sous la Gr-catégorie précédente.

Ex 1 Soit \(A\) anneau de Dedekind, [corps des fractions \(K\)], […] \(A\) […] donc l'isomorphie d'algèbres [pures] abs. semi-simples \(E\) sur \(K\), on […] une […] d'équivalences de catégories de Deuring : les catégories [de Deuring de type \(E\)] \[\mathbb{P}(\sigma'/A) \approx \mathbb{P}(\sigma/\text{ordre max.\ de } \sigma)\] définies par les ordres maximaux de \(E\) : […] […] extension de base \(A \to A'\), où \(A'\) un corps ou un anneau de Dedekind, cat. résiduelles triviales […], complété […] ! !). Si \(A\) est local, \(E\) central […] [[…]] de La catégorie des Autoéquivalences d'une telle \(C\) a comme \(\pi_{1}\) le groupe \(Z^{*}\), où \(Z\) est la clôture intégrale de \(A\) dans le cent. de \(E\). (Donc si \(E\) central, \(\pi_{1} = A^{*}\)) […] [\(\mathrm{Gr}\)-] alors la catégorie […] des autoéquivalences d'une \(C\) de Deuring de type \(E\) est un \(\pi_{0} = 1\) (les bimodules sur \(\sigma\) inversibles des deux côtés sont triviaux). […] la catégorie [Mais] il vient \(\pi_{1} = A^{*}\). « Mais » est ajouté au-dessus du passage biffé ; la suite des feuillets 29 à 39 est écrite dans la même encre brune, avec des reprises à l'encre noire

31Ex. 2 Soit \(C\) comme dans Ex. 1 et soit \(D\) une catégorie de Deuring […] sur \(A\). Une norme de \(C\) relative à \(D\) est un couple \((\nu, \alpha)\), où \[\nu : C \longrightarrow D\] un foncteur ([…] […] admissible !), \[\alpha = (\alpha_{X, P}) : \nu(P \otimes_{\sigma} X) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Nr}_{\sigma/A}(P) \otimes_{A} \nu(X)\] un système d'isomorphismes, satisfaisant [non évidentes] à des conditions de transitivité, et fonctorialité en \(P, X\) … . la lettre notée ici \(D\) est d'abord tracée comme un \(\mathcal{P}\) ; la suite (\(\nu : C \to D\)) la fixe

Généralisation au cas où \(D\) n'est plus de Deuring, mais seulement \(A\)-lin. et tq les \(\mathrm{N}_{\sigma/A}(P) \otimes_{A} Y\) \((Y \in \operatorname{Ob} D)\) existent. — Montrer qu'il y a une \(D\) universelle recevant une \((\nu, \alpha)\) universelle, notée \(\nu_{A}(C)\). […] Noter que \(\nu_{A}(C)\) […] aux conditions […] des […] dans le cas […] de Ex. 1 note marginale écrite de biais, à l'encre noire, dans la marge gauche du haut du feuillet ; un trait double la sépare de sa seconde moitié

[…] Pour \(X\) fixé dans \(\operatorname{Ob} C\), la cat. des normes […] est équivalente à celle des objets \(T_{0}\) de \(D\), en définissant \(\nu\) par \[\nu(P \otimes_{\sigma} X) \simeq \mathrm{Nr}_{\sigma/A}(P) \otimes T.\] \((\nu, \alpha)\) Supposons maintenant qu'il existe un isom. fonctoriel en \(P \in \mathbb{P}(\sigma/A)\) \[\mathrm{Nr}_{\sigma/A}(P) \simeq A\] avec conditions de transitivité convenables sous la formule, une ligne biffée : \(A' \to A''\)

Notons que la catégorie \(\nu_{A}(C)\) est munie d'une section canonique \(T\) et \(\nu_{C}\) […] […]

Soit \(A' \longleftarrow A\) un chgt de base comme dans ex. 1, et considérons sur \(A'\) des catégories de Deuring \(C', D'\), et une norme \((\nu, \alpha) : C' \to D'\). Soit \(\varphi : C \to C'\) un foncteur admissible. Alors il y a un objet can. \(T_{\varphi}\) de \(D'\), et un isom. \[\nu(\varphi(X)) \simeq T_{\varphi}.\]

\begin{tikzcd}
C \arrow[r, "\varphi"] & C' \arrow[r, "\nu"] & D' \\
A & A' &
\end{tikzcd}

sous le diagramme, \(A\) et \(A'\) sont écrits sous \(C\) et \(C'\), sans flèche ; l'interligne porte « et […] » au-dessus de \(\varphi\) et « un » au-dessus de \(\nu\)

33Ex. 3 Soit, en plus de la catégorie de Deuring \(C\) sur \(A\) comme dans Ex. 2, un \(C\) élément \(\tau\) de \(\nu_{A}(C)\). Si \(E\) est [central] de rang \(n\), il faut considérer que les \(C\) généralisent les ([…] […] […] finis) gerbes sur \(A\) trivialisées par […], […] dans […], […] […] de […] […] \(E\) […] […] [[…] […]] de \(\operatorname{Br}(K)\), i.e. le classe de \(C\) dans […] […] […] et que les couples \((C, \tau)\) […] la donnée d'une gerbe de groupe \(\mu_{n}\).

gerbe sur \(A\) de lien \(G_{m}\) \(\mapsto\) catégorie \(C\) des représentations de celle-ci […], poids \(1\). \(C \mapsto\) gerbe des foncteurs admissibles de \(C\) dans les modules […] (trivialisations de \(C\)) cat. de Deuring type \(E\) […] \(\xi \in\) \(\operatorname{Im}(\operatorname{Br} A \to \operatorname{Br} K)\) note marginale de biais, dans la marge gauche, reliée par une accolade au passage précédent

Pour ceci, […] notons la catégorie des […] équivalentes que pour une gerbe des liens \(\mu_{n}\) sur \(A\) définit bien une \((C, \tau)\) : \(C =\) les banalisations de représentations de degré \(n\), de rang \(1\) de la gerbe, \(\tau =\) représentation déterminant. Nous allons déterminer d'autre part les autoéquivalences de \((C, \tau)\) ; on se donne […] d'un objet \(X\) de \(C\), [d'où \(\sigma = \operatorname{End}(X)\), i.e. […]] la catégorie des […] bimodules \(P\) sous \(\sigma\), inv. loc. sur \(A\) des deux côtés, munis d'un isom. \(\nu(X) = L \otimes\) \[\mathrm{N}_{\sigma/A}(P_{\sigma}) \simeq A \qquad (\text{i.e.\ } \tau = L \otimes_{A} \nu(X))\] \(\varphi(X) = P \otimes_{\sigma} X\), \(\nu(\varphi(X)) = \mathrm{N}(P) \otimes \nu(X) \simeq \varphi(\nu(X))\)

compatible avec Supposons que tous les \(P\) […] soient isomorphes (\(A\) […] local, sans […]) […] de \(\mathbb{P}(\sigma/A)\) passage encadré et biffé de deux traits obliques ; au-dessus, « de \(\mathbb{P}(\sigma/A)\) » ajouté Alors l'[…] est une Gr-catégorie, i.e. […] [et à une catégorie de Picard strictement commutative], d'objet \(1\) dont les éléments \(\lambda \in A^{*}\) tels que \(\lambda^{n} = 1\) ; […] de Picard commutative […] \(\mathrm{Tors}(S, \mu_{n})\) des

35torseurs […] sur \(S\) de groupe \(\mu_{n}\), et son \(\pi_{0}\) […] s'insère dans \[0 \longrightarrow \mathrm{H}^{1}(S, \mu_{n}) \longrightarrow \pi_{0}\bigl(\mathrm{Brd}(C, \tau)\bigr) \longrightarrow \mathrm{Ram}(C/A) \longrightarrow 0\] le premier terme est surchargé au point d'être illisible ; le dernier, d'abord un mot biffé, est remplacé par « \(\mathrm{Ram}(C/A)\) » dans l'interligne. Le sigle « \(\mathrm{Brd}\) », souligné, est lu ainsi aux feuillets 35 et 37 ; la lecture en est douteuse

(Si \(\operatorname{Pic}(A) = 0\), […] la catégorie où \[\mathrm{Ram}(C/A) \overset{\mathrm{df}}{=} \mathrm{Brd}(C)/\operatorname{Pic}(A) \simeq \sum_{p} \mathbb{Z}/e_{p}(C)\mathbb{Z}.\] \(e_{p}\) : degré de ramification

Mais Soit maintenant \(A'\) une \(A\)-algèbre (commutative), [et \(T' \in \nu_{A'}(C')\)], […] […] […] et \(C'\) une catégorie de Deuring sur \(A'\), supposons \((C_{A'}, T_{A'}) \approx (C', T')\). Alors l'ensemble des la parenthèse porte d'abord « \((C_{A'}, T \approx (C', A')\) », peut-être une faute de plume

Il suffit pour cela que \(C_{A'} \simeq C'\) et \(\operatorname{Pic}(A') = 0\), ([…] p.ex. \(A'\) local) Alors l'[…] des équivalences \[(C_{A'}, T_{A'}) \dashrightarrow (C', T'),\] i.e. des couples \((\varphi, u)\) avec \(\varphi\) équivalence \[C_{A'} \xrightarrow{\ \varphi\ } C' \quad A\text{-lin.\ admis.}\] […] \(\varphi : C_{A'} \xrightarrow{\sim} C'\), et \(\nu(\varphi)(T_{A'}) \xrightarrow{\sim} T'\), est une catégorie torseur sous la [Gr-]catégorie \[\text{Éq}(C_{A'}, T_{A'}) \ (\text{à droite}) \ \approx\quad \text{Éq}(C', T') \ (\text{à gauche}).\] Si p.ex. \(\mathrm{Ram}(C'/A') = 0\) (\(C'\) non ramifié sur \(A'\)) […] […] c'est donc une catégorie-torseur sous \(\mathrm{Tors}(S', \mu_{n})\). En fait, […] [c'est] une équivalence […] canonique \[\text{Éq}(C_{A'}, T_{A'}) \approx \text{Éq}(C', T')\] (comme […] catégories de Picard) et par suite […] une structure de torseur [à] tous catégories près s'identifie […] … À vérifier !! la note marginale est tracée à gauche, entre deux traits verticaux qui encadrent les quatre dernières lignes

37Signalons qu'il y a par ailleurs canoniquement, […] canoniques, […] la catégorie de Deuring-Brauer \(C\) (en termes des équivalences de \(C\)), un objet \(T\) de \(\nu(C)\). Cela signifie en particulier que nous avons relevé le foncteur canonique [de Éq-cat.] \[\text{Éq}(C, T) \longrightarrow \text{Éq}(C)\] par une section \(c\) (flèche courbe de retour, marquée \(c\)). la section est dessinée comme un arc fléché qui revient de \(\text{Éq}(C)\) vers \(\text{Éq}(C, T)\), avec l'étiquette \(c\) […] pour la catégorie \(C'\), équivalente à \(C\), on obtient un objet \(T_{C'}\) canonique dans \(\nu(C')\).

On voit donc que pour \((A', C', T')\) comme plus haut, l'ensemble des tel que \((C', T')\) soit équivalente à \((C, T)_{A'}\), les équivalences [catégorie-torseur sous] \[(C, T)_{A'} \xrightarrow{\ \sim\ } (C', T')\] forment une […] catégorie-torseur sous \[\text{Éq}\bigl((C, T)_{A'}\bigr) \simeq \text{Éq}(C', T')\] […] une catégorie torseur […] \(\text{Éq}(C', T') / \text{Éq}(C)\) par […] [les classes d'isom. d'objets forment] un torseur sous \[\mathrm{Brd}(C', T') / \operatorname{Im} \mathrm{Brd}(C).\] Le torseur ne dépend […] du choix d'un \(C\) dans la classe de catégories […] … . Je […] donc explicite l'application canonique […] : \[\begin{array}{ccccc} \mathrm{Brd}(C) & \xrightarrow{\ c\ } & \mathrm{Brd}(C, T) & \longrightarrow & \mathrm{Brd}(C', T') \\ \rho & \longmapsto & (\rho, u_{\rho}) & \longmapsto & (\rho', u_{\rho'}) \\ \wr\!\wr \\ P_{0} & \longmapsto & \mathrm{N}_{\sigma/A}(P_{0}) \otimes u_{\rho} & \longmapsto & \mathrm{N}_{\sigma'/A'}(P'_{0}) \otimes (u_{\rho})' \end{array}\] le signe entre \(\rho\) et \(P_{0}\) est un \(\simeq\) vertical ; le produit de la dernière ligne est surchargé

39Dans le cas qui nous intéresse (\(\xi \in \operatorname{Br}(\mathbb{Q})\) d'ordre […], ramifié seulement en \(p\) et \(\infty\)) […] […] on trouve que \(\mathrm{Brd}(C)\) est la gpe [catégorie] de Picard \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), le générateur explicité d'invariant […] de \(\pi_{0}\) lequel correspond au l'automorphisme foncteur sur les courbes elliptiques \[E \longmapsto E^{(p)} = E/\operatorname{Ker} F_{E}\] correspond à l'idéal premier \(\mathfrak{m}\) de \(\sigma\) en \(p\), et on a \[\mathrm{N}_{\sigma/\mathbb{Z}}(\mathfrak{m}) \longrightarrow \mathrm{N}_{\sigma/\mathbb{Z}}(\sigma) = \mathbb{Z}, \qquad \mathrm{N}_{\sigma/\mathbb{Z}}(\mathfrak{m}) = p\mathbb{Z},\] on choisit \(\bar{\rho} = p\). le signe lu \(p\) dans la parenthèse initiale ressemble à un « 2 » ; le feuillet 22 place les ramifications en \(p\) et \(\infty\)

Ceci nous dit que si \(p\) est inversible dans \(A'\), dans l'image de \((\rho, \bar{\rho})\) dans \[\mathrm{Brd}(C_{A'}, T_{A'}) \simeq \mathrm{H}^{1}(S', \mu_{2})\] […] est le résidu de \(p\) modulo les carrés.

Par contre, prenons le cas où \(A' = \mathbb{Z}_{p}\), dans […] dans un gpe \[\mathrm{Brd}(C_{p}, T_{p}) \simeq \mathrm{Brd}(C_{A'}, T_{A'})\] est une extension de \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) par \(\mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) [\(= \mathrm{H}^{1}(\mathbb{Z}_{p}, \mu_{2})\)], engendré par \((\mathfrak{m}, p)\), et le […] \(\mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2}\) \((\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) si \(p \neq 2)\), on fait […] \(\mathrm{H}^{1}(\mathbb{Z}_{p}, \mu_{2})\) […]. \(C_{p} = C'\), \(T_{p} = T'\) le terme \(\mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2}\) de l'extension est d'abord écrit sous la forme \(\mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2} (\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) si \(p \neq 2)\), et \(\mathrm{H}^{1}(\mathbb{Z}_{p}, \mu_{2})\) surcharge un premier terme biffé

Ceci donne d'innombrables possibilités de […] [[…]] trivialiser un torseur sous un groupe […] \(\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) (si \(p \neq 2\)).

D'autre part, si \(A' = \mathbb{R}\), on peut considérer les classes d'isomorphie de la gerbe de liens \(\mu_{2}\) sur \(\mathbb{R}\) définie par \(C\) (soit \(\mathcal{G}_{\mathbb{R}}\), où \(\mathcal{G}\) est la gerbe sur \(\mathbb{Z}[\tfrac{1}{p}]\)) et l'ensemble des classes d'équivalence avec la gerbe triviale sur \(\mathbb{R}\) (\(=\) ensemble des polarisations de la gerbe), qui est un torseur sous \[\mathrm{H}^{1}(\mathbb{R}, \mu_{2}) = \mathbb{R}^{*}/\mathbb{R}^{*2}.\] On trouve donc la phrase se poursuit au-delà du feuillet 39, dans le lot suivant