Fonds Grothendieck, cote n° 15, pages 21–40 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-23)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)15
Théorie arithmétique. Théorie de Galois des motifs (1965) : notes manuscites (s.d.), tapuscrit (s.d.).
Pages 21 à 40 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 2 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.1965-[vers 1977]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/15.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
le feuillet continue une phrase commencée au feuillet 20 (lot 1)
gerbe est alors une [catégorie] A'-linéaire, . Soit X \in
Nous dirons,
Supposons que pour Soit X \in \operatorname{Ob} C, et
considérons \sigma = \operatorname{End}(X), etN_{\mathrm{red}} : \sigma^{*} \to A^{*}les trois lignes biffées sont en outre encadrées d'un trait qui les
isole du reste
sous certaines conditions, on définira les objets inversibles
canoniques, en établissant un système transitif d'isomorphismes entre les
\det(X_{A'})(X \in \operatorname{Ob} C). Pour ceci il suffit de définir
un isom. canonique
\det P \simeq A \qquad (\alpha)
pour les A-modules à droite P sous un \sigma =
\operatorname{End}(X)(X \in \operatorname{Ob} C), fonctoriel en P (ce
qui suppose que N_{\mathrm{red}} : \sigma^{*} \to A^{*} est à
valeurs dans 1, \sigma' étant le commutant de \sigma dans P
…) et multiplicatif (Q sous \sigma'', \sigma', P sous \sigma', \sigma)N_{\mathrm{red}}(Q \otimes_{\sigma'} P, \sigma) \simeq
N_{\mathrm{red}}(Q, \sigma') \otimes N_{\mathrm{red}}(P, \sigma). doit être compatible avec les isom. . Cela marche
si on suppose [Prenons \Phi = N_{\mathrm{red}}(E^{*}) \subset K^{*}, où
\sigma = \operatorname{End}(X), E = \sigma \otimes_{A} K]
\begin{cases}
\operatorname{Pic}(A) = 0 \\
\Phi \cap A^{*} = \{1\}, \quad \Phi \cdot A^{*} = K^{*}
\end{cases}sur la seconde ligne de l'accolade, une première version biffée :
N_{\mathrm{red}}(E^{*}) \cap N_{\mathrm{red}}(\sigma)
Ces conditions sont vérifiées par ex. si A = \mathbb{Z},
si A = \mathbb{Z}, E_{K}(= E_{\mathbb{R}}) sur \mathbb{R}. Donc dans ce cas, on a un
objet inv. canonique de degré de \operatorname{Rep}(\mathcal{G}_{A'}),
de jusqu'à que le lien structural de la gerbe
\mathcal{G}_{A'}
se trouve de façon naturelle réduit à \mu_{2}.
On peut maintenant C = \text{catégorie des courbes elliptiques de} (Hom sur corps alg. clos de car. p).
D'après Deuring, c'est une catégorie de Deuring [définie sur \mathbb{Z}],
dont correspond à la classe d'isomorphie des algèbres
quaternions de degré 4 (corps de quaternions) sur \mathbb{Q} dont
déployés en toutes les places sauf p et \infty (il est donc d'ordre 2
dans \operatorname{Br}(\mathbb{Q})).
Les torseurs donc, comme en termes de C
[la donnée d'un tel corps sur \mathbb{Q}, une
gerbe sur \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[\tfrac{1}{p}] de
groupe lien \mu_{2} [\simeq\times\widehat{\mathcal{G}}
de inversibles] + trivialisation de ce déterminant, de rang 2].
« la donnée » est récrit dans l'interligne au-dessus d'une première
version biffée ; « inversibles » est ajouté sous la ligne ; la lecture du
crochet intérieur est incertaine
On trouve de plus, si
A' = \prod_{\ell \neq p, \infty} \mathbb{Z}_{\ell},
une banalisation de C_{A'}, i.e.
représentation de \mathcal{G}_{A'} de
i.e. une trivialisation de \widehat{\mathcal{G}}_{A'},
soit E, (avec un isom. de \mathcal{G}_{A'} de rang 2,
degré 1), \det E \simeq T
[i.e. foncteur fibre de \operatorname{Rep}(\widehat{\mathcal{G}}_{A'}) sur
A'], d'où un isom.
\varphi(T) \simeq A'(1) \Bigl(\overset{\mathrm{df}}{=}
\prod_{\ell \neq p, \infty} \mathbb{Z}_{\ell}(1)\Bigr).une première version biffée précède la formule : \varphi(E)
Cela fait donc En d'autres termes, si
\mathcal{H}_{A'} est la gerbe des racines carrées de A'(1), qui est une
gerbe sous \mu_{2}, on a une équivalence canonique de
\mathcal{G}_{A'} \simeq \mathcal{H}_{A'}
Comme invariant (C dans \mathcal{G}_{A^{*}} [de \mathcal{G}_{A'}]
ici précisé) on trouve par cette donnée [à isom. près]
explicitement un torseur sous
\mathrm{H}^{1}(A', \mu_{2}) \simeq \prod_{\ell \neq p, \infty}
\mathbb{Z}_{\ell}^{*}/\mathbb{Z}_{\ell}^{*2},
\qquad
\mathbb{Z}_{\ell}^{*}/\mathbb{Z}_{\ell}^{*2} \simeq
\begin{cases}
\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \text{si } \ell \neq 2 \\
\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \text{si } \ell = 2
\end{cases}avant la formule, une première version biffée :
\mathrm{H}^{1}(\mathbb{Q}A', \mu_{2}) \simeq
NB il n'y a absolument pas de façon naturelle de choisir une
origine « a priori » dans dans dans \mu_{\ell} mod
(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^{*2}(\ell \neq 2), \mu_{8} mod
(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{*2}note marginale écrite de biais dans la marge gauche, en partie
encadrée ; l'exposant porté sur \mu_{\ell} n'est pas lu
Si on tient compte du fait que la gerbe \mathcal{G}_{A'}
déterminée seulement à équivalence (non unique près), la
d'une classe dans l'isomorphie d'équivalences , donc d'un
élément de
\mathrm{H}^{1}\bigl(\underbrace{\mathbb{Z}[\tfrac{1}{p}]}_{A}, \mu_{2}\bigr)
\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
(l'élément (1,0) de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} [resp.
(0,1)] correspondant resp. à \sqrt{p} [resp. \sqrt{-1}]) on trouve un
invariant danson peut éliminer le gpe \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times
\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} grâce à la donnée de la structure
s-pl. : a) orientation à l'\infty, b) « orientation » en p\Pi/\rho(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}),
où \Pi est le torseur sous
\mathrm{H}^{1}(A', \mu_{2}) = \prod_{\ell \neq p, \infty}
\mathbb{Z}_{\ell}^{*}/\mathbb{Z}_{\ell}^{*2} des trivialisations de
\mathcal{H}_{A'}, et
\rho : \mathrm{H}^{1}(\mathbb{Z}[\tfrac{1}{p}], \mu_{2}) \simeq
(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \hookrightarrow
\mathrm{H}^{1}(A', \mu_{2})
l'homom. naturel, défini par la condition [(resp. \rho(0,1)_{\ell})]
\rho(1,0)_{\ell} =
\begin{cases}
0 & \text{si } p \text{ [resp.\ } -1\text{] est un carré dans }
\mathbb{Z}_{\ell}^{*} \\
1 & \text{sinon}
\end{cases}
(\Longleftrightarrowp carré dans (\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^{*} si
\ell \neq 2).
le « \ell \neq 2 » est d'abord écrit sous la parenthèse, biffé, puis
récrit au-dessus ; le feuillet s'arrête à mi-hauteur
Cat. de Deuring sur A
titre de sa main, souligné, en tête du feuillet 25 ; la suite (feuillets
25 à 39, rectos d'un papier jauni) n'est pas paginée par lui. Le nom, tracé
« Deu—ring » avec un long paraphe, est lu Deuring d'après le feuillet 22
C'est une catégorie prédditive A-linéaire telles que
\exists\ A\text{-algèbre } \sigma, \text{ avec } C \approx
\mathbb{P}(\sigma/A)« A- » est récrit sur un premier mot biffé devant « algèbre »
[\mathbb{P}(\sigma/A) : modules P à droite sur \sigma loc. libres de
rang 1sur\operatorname{Spec} A] [équiv. A-linéaire]
\Updownarrow\exists\, X_{0} \in \operatorname{Ob} C t.q. a) pour tt
P \in \operatorname{Ob} \mathbb{P}(\sigma/A), où \sigma =
\operatorname{End}_{C}(X_{0}), P \otimes_{\sigma} X_{0} existe ;
b) P \mapsto P \otimes_{\sigma} X_{0} une équivalence de catégories
\Updownarrow\forall\, X_{0} \in \operatorname{Ob} C, a) b).
NB À équiv. (canon. unique) près, C est donc défini par une
algèbre \sigma. Pour que \sigma, \sigma'définissent [définissent]
des C équivalentes, il faut et suffit qu'il existe
P \in \mathbb{P}(\sigma/A), avec \sigma' \simeq \operatorname{End}(P),
i.e. que \sigma' soit obtenu en « tordant par autom. intérieurs par un
P \in \mathbb{P}(\sigma/A) ». Si \sigma est commutatif ( !) on trouve que \sigma \simeq \sigma'.
, Soient C, C' deux catégories [A-lin. avec
A \simeq A' donné] de Deuring. Un foncteur
F : C \to C' [A-lin.] est dit admissible
[(ou de Deuring)] s'il prolonge commutant à
l'opération P \otimes_{\sigma} X pour X \in \operatorname{Ob} C,
\sigma \in \operatorname{End}_{C}(X), P \in \mathbb{P}(\sigma/A). Je
disl'interligne au-dessus de « deux catégories » porte « A-lin. avec
A \to A' donné », dont la flèche est écrite comme un \simeq ; lecture
incertaine
de l'exiger pour un X, et pour X fixé, la de
catégorie des foncteurs est équivalente à la catégorie des couples
(X', u) où X' est un objet de C',
u : \sigma = \operatorname{End}(X) \longrightarrow \sigma' =
\operatorname{End}(X')
un homom. compatible avec A \to A', tel que
\forall\, P \in \operatorname{Ob} \mathbb{P}(\sigma/A),
P \otimes posant P' = P \otimes_{\sigma} \sigma' \in
\mathbb{P}(\sigma'/A'), le produit tensoriel P' \otimes_{\sigma'} X'
existe.
[NB le « tel que » est superflu si p.ex. C' est de Deuring.]
Considérons
Catégorie C_{A'} (C catégorie de Deuring sur A ; correspondant à
solution d'un pb universel)
\Bigl[\ \operatorname{Hom}_{\mathrm{ad}_{A \to A'}}(C, C') \simeq
\operatorname{Hom}_{\mathrm{ad}_{A'}}(C_{A'}, C')\ \Bigr]
Si C, C' sont des catégories de Deuring deux, pour que
Si C_{A'} \to C' sont une équivalence, il faut que C' soit de Deuring
aussi, et que \sigma \otimes_{A} A' \to \sigma' soit un isomorphisme.
La Gr-catégorie des autoéquivalences de C [\approx] est la catégorie
des bitorseurs P sous \sigma, \sigma, i.e. loc. sur A
iso. pour les deux structures, avec le produit tensoriel évident.
SiA = A'
la catégorie des équivalences de C avec C' (C' étant de Deuring) est
un Tors-catégorie sous la Gr-catégorie précédente.
Ex 1 Soit A anneau de Dedekind, [corps des fractions K],
A donc l'isomorphie d'algèbres
[pures] abs. semi-simples E sur K, on une
d'équivalences de catégories de Deuring : les catégories
[de Deuring de type E]
\mathbb{P}(\sigma'/A) \approx \mathbb{P}(\sigma/\text{ordre max.\ de }
\sigma)
définies par les ordres maximaux de E : extension de base A \to A', où A' un corps ou un anneau de
Dedekind, cat. résiduelles triviales , complété ! !). Si
A est local, Ecentral [] de
La catégorie des Autoéquivalences d'une telle C a comme
\pi_{1} le groupe Z^{*}, où Z est la clôture intégrale de A dans le
cent. de E. (Donc si E central, \pi_{1} = A^{*}) [\mathrm{Gr}-] alors la catégorie des
autoéquivalences d'une C de Deuring de type E est un \pi_{0} = 1
(les bimodules sur \sigma inversibles des deux côtés sont triviaux).
la catégorie [Mais] il vient \pi_{1} = A^{*}.
« Mais » est ajouté au-dessus du passage biffé ; la suite des
feuillets 29 à 39 est écrite dans la même encre brune, avec des reprises à
l'encre noire
Ex. 2 Soit C comme dans Ex. 1 et soit D une catégorie de
Deuring sur A. Une norme de C relative à D est un couple
(\nu, \alpha), où
\nu : C \longrightarrow D
un foncteur ( admissible !),
\alpha = (\alpha_{X, P}) : \nu(P \otimes_{\sigma} X)
\xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Nr}_{\sigma/A}(P) \otimes_{A} \nu(X)
un système d'isomorphismes, satisfaisant [non évidentes] à des conditions de
transitivité, et fonctorialité en P, X … .
la lettre notée ici D est d'abord tracée comme un \mathcal{P} ;
la suite (\nu : C \to D) la fixe
Généralisation au cas où D n'est plus de Deuring, mais seulement
A-lin. et tq les \mathrm{N}_{\sigma/A}(P) \otimes_{A} Y(Y \in \operatorname{Ob} D) existent. — Montrer qu'il y a une D
universelle recevant une (\nu, \alpha) universelle, notée \nu_{A}(C).
Noter que \nu_{A}(C) aux conditions des
dans le cas de Ex. 1note marginale écrite de biais, à l'encre noire, dans la marge gauche
du haut du feuillet ; un trait double la sépare de sa seconde moitié
Pour X fixé dans \operatorname{Ob} C, la cat. des
normes est équivalente à celle des objets T_{0} de D,
en définissant \nu par
\nu(P \otimes_{\sigma} X) \simeq \mathrm{Nr}_{\sigma/A}(P) \otimes T.(\nu, \alpha) Supposons maintenant qu'il existe un isom.
fonctoriel en P \in \mathbb{P}(\sigma/A)\mathrm{Nr}_{\sigma/A}(P) \simeq Aavec conditions de transitivité convenablessous la formule, une ligne biffée : A' \to A''
Notons que la catégorie \nu_{A}(C) est munie d'une section
canonique T et \nu_{C}
Soit A' \longleftarrow A un chgt de base comme dans ex. 1, et considérons
sur A' des catégories de Deuring C', D', et une norme
(\nu, \alpha) : C' \to D'. Soit \varphi : C \to C' un foncteur
admissible. Alors il y a un objet can. T_{\varphi} de D', et un isom.
\nu(\varphi(X)) \simeq T_{\varphi}.
\begin{tikzcd}
C \arrow[r, "\varphi"] & C' \arrow[r, "\nu"] & D' \\
A & A' &
\end{tikzcd}
sous le diagramme, A et A' sont écrits sous C et C', sans
flèche ; l'interligne porte « et » au-dessus de \varphi et « un »
au-dessus de \nu
Ex. 3 Soit, en plus de la catégorie de Deuring C sur A comme
dans Ex. 2, un C élément \tau de \nu_{A}(C). Si E est
[central] de rang n, il faut considérer que les C
généralisent les ( finis) gerbes sur A
trivialisées par , dans , de
E [] de \operatorname{Br}(K),
i.e. le classe de C dans et que les couples
(C, \tau) la donnée d'une gerbe de groupe \mu_{n}.
gerbe sur A de lien G_{m}\mapsto catégorie C des
représentations de celle-ci , poids 1. C \mapsto gerbe des
foncteurs admissibles de C dans les modules (trivialisations de
C) cat. de Deuring type E\xi \in\operatorname{Im}(\operatorname{Br} A \to \operatorname{Br} K)note marginale de biais, dans la marge gauche, reliée par une
accolade au passage précédent
Pour ceci, notons la catégorie des
équivalentes que pour une gerbe des liens \mu_{n} sur
A définit bien une (C, \tau) :
C = les banalisations de représentations de degré n, de rang
1 de la gerbe, \tau =représentation déterminant.
Nous allons déterminer d'autre part les autoéquivalences de (C, \tau) ; on
se donne d'un objet X de C, [d'où \sigma =
\operatorname{End}(X), i.e. ] la catégorie des
bimodules P sous \sigma, inv. loc. sur A des deux côtés,
munis d'un isom.
\nu(X) = L \otimes\mathrm{N}_{\sigma/A}(P_{\sigma}) \simeq A
\qquad (\text{i.e.\ } \tau = L \otimes_{A} \nu(X))\varphi(X) = P \otimes_{\sigma} X,
\nu(\varphi(X)) = \mathrm{N}(P) \otimes \nu(X) \simeq \varphi(\nu(X))
compatible avecSupposons que tous les P soient isomorphes (A
local, sans ) de \mathbb{P}(\sigma/A)passage encadré et biffé de deux traits obliques ; au-dessus, « de
\mathbb{P}(\sigma/A) » ajouté
Alors l' est une Gr-catégorie, i.e.
[et à une catégorie de Picard strictement commutative],
d'objet 1 dont les éléments \lambda \in A^{*} tels que
\lambda^{n} = 1 ; de Picard commutative \mathrm{Tors}(S, \mu_{n}) des
torseurs sur S de groupe \mu_{n}, et son
\pi_{0} s'insère dans
0 \longrightarrow \mathrm{H}^{1}(S, \mu_{n}) \longrightarrow
\pi_{0}\bigl(\mathrm{Brd}(C, \tau)\bigr) \longrightarrow
\mathrm{Ram}(C/A) \longrightarrow 0le premier terme est surchargé au point d'être illisible ; le dernier,
d'abord un mot biffé, est remplacé par « \mathrm{Ram}(C/A) » dans
l'interligne. Le sigle « \mathrm{Brd} », souligné, est lu ainsi aux
feuillets 35 et 37 ; la lecture en est douteuse
(Si \operatorname{Pic}(A) = 0, la catégorie
où
\mathrm{Ram}(C/A) \overset{\mathrm{df}}{=}
\mathrm{Brd}(C)/\operatorname{Pic}(A) \simeq \sum_{p}
\mathbb{Z}/e_{p}(C)\mathbb{Z}.e_{p} : degré de ramification
Mais Soit maintenant A' une A-algèbre (commutative), [et
T' \in \nu_{A'}(C')],
et C' une catégorie de Deuring sur A', supposons
(C_{A'}, T_{A'}) \approx (C', T').
Alors l'ensemble desla parenthèse porte d'abord « (C_{A'}, T \approx (C', A') », peut-être
une faute de plume
Il suffit pour cela que C_{A'} \simeq C' et
\operatorname{Pic}(A') = 0, ( p.ex. A' local) Alors l' des
équivalences
(C_{A'}, T_{A'}) \dashrightarrow (C', T'),
i.e. des couples (\varphi, u) avec \varphiéquivalenceC_{A'} \xrightarrow{\ \varphi\ } C' \quad A\text{-lin.\ admis.}\varphi : C_{A'} \xrightarrow{\sim} C', et
\nu(\varphi)(T_{A'}) \xrightarrow{\sim} T', est une catégorie
torseur sous la [Gr-]catégorie
\text{Éq}(C_{A'}, T_{A'}) \ (\text{à droite}) \ \approx\quad
\text{Éq}(C', T') \ (\text{à gauche}).
Si p.ex. \mathrm{Ram}(C'/A') = 0 (C' non ramifié sur A')
c'est donc une catégorie-torseur sous
\mathrm{Tors}(S', \mu_{n}). En fait, [c'est]
une équivalence canonique
\text{Éq}(C_{A'}, T_{A'}) \approx
\text{Éq}(C', T')
(comme catégories de Picard) et par suite
une structure de torseur [à] tous catégories
près s'identifie …
À vérifier !!la note marginale est tracée à gauche, entre deux traits verticaux
qui encadrent les quatre dernières lignes
Signalons qu'il y a par ailleurs canoniquement, canoniques,
la catégorie de Deuring-Brauer C (en termes des équivalences de
C), un objet T de \nu(C). Cela signifie en particulier que nous avons
relevé le foncteur canonique [de Éq-cat.]
\text{Éq}(C, T) \longrightarrow
\text{Éq}(C)
par une section c (flèche courbe de retour, marquée c).
la section est dessinée comme un arc fléché qui revient de
\text{Éq}(C) vers \text{Éq}(C, T),
avec l'étiquette c pour la catégorie C', équivalente à C, on obtient un objet
T_{C'} canonique dans \nu(C').
On voit donc que pour (A', C', T') comme plus haut,
l'ensemble des tel que (C', T') soit équivalente à
(C, T)_{A'}, les équivalences [catégorie-torseur sous]
(C, T)_{A'} \xrightarrow{\ \sim\ } (C', T')
forment une catégorie-torseur sous
\text{Éq}\bigl((C, T)_{A'}\bigr) \simeq
\text{Éq}(C', T') une catégorie torseur \text{Éq}(C', T') / \text{Éq}(C)par
[les classes d'isom. d'objets forment] un torseur sous
\mathrm{Brd}(C', T') / \operatorname{Im} \mathrm{Brd}(C).
Le torseur ne dépend du choix d'un C dans la classe de catégories
… . Je donc explicite l'application canonique :
\begin{array}{ccccc}
\mathrm{Brd}(C) & \xrightarrow{\ c\ } & \mathrm{Brd}(C, T) &
\longrightarrow & \mathrm{Brd}(C', T') \\
\rho & \longmapsto & (\rho, u_{\rho}) & \longmapsto &
(\rho', u_{\rho'}) \\
\wr\!\wr \\
P_{0} & \longmapsto & \mathrm{N}_{\sigma/A}(P_{0}) \otimes u_{\rho} &
\longmapsto & \mathrm{N}_{\sigma'/A'}(P'_{0}) \otimes (u_{\rho})'
\end{array}le signe entre \rho et P_{0} est un \simeq vertical ; le produit
de la dernière ligne est surchargé
Dans le cas qui nous intéresse (\xi \in \operatorname{Br}(\mathbb{Q})
d'ordre, ramifié seulement en p et \infty)
on trouve que \mathrm{Brd}(C) est la
gpe [catégorie] de Picard \mathbb{Z}/2\mathbb{Z},
\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, le générateur explicité
d'invariant de \pi_{0}lequel correspond au
l'automorphisme foncteur sur les courbes elliptiques
E \longmapsto E^{(p)} = E/\operatorname{Ker} F_{E}
correspond à l'idéal premier\mathfrak{m} de \sigma en p,
et on a
\mathrm{N}_{\sigma/\mathbb{Z}}(\mathfrak{m}) \longrightarrow
\mathrm{N}_{\sigma/\mathbb{Z}}(\sigma) = \mathbb{Z}, \qquad
\mathrm{N}_{\sigma/\mathbb{Z}}(\mathfrak{m}) = p\mathbb{Z},
on choisit \bar{\rho} = p.
le signe lu p dans la parenthèse initiale ressemble à un « 2 » ; le
feuillet 22 place les ramifications en p et \infty
Ceci nous dit que si p est inversible dans A', dans l'image de
(\rho, \bar{\rho}) dans
\mathrm{Brd}(C_{A'}, T_{A'}) \simeq \mathrm{H}^{1}(S', \mu_{2}) est le résidu de p modulo les carrés.
Par contre, prenons le cas où A' = \mathbb{Z}_{p}, dans
dans un gpe\mathrm{Brd}(C_{p}, T_{p}) \simeq \mathrm{Brd}(C_{A'}, T_{A'})
est une extension de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} par
\mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
[= \mathrm{H}^{1}(\mathbb{Z}_{p}, \mu_{2})], engendré par (\mathfrak{m}, p),
et le \mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2}(\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
si p \neq 2), on fait\mathrm{H}^{1}(\mathbb{Z}_{p}, \mu_{2}).
C_{p} = C', T_{p} = T'le terme \mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2} de l'extension est
d'abord écrit sous la forme \mathbb{Z}_{p}^{*}/\mathbb{Z}_{p}^{*2}
(\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} si p \neq 2), et
\mathrm{H}^{1}(\mathbb{Z}_{p}, \mu_{2}) surcharge un premier terme biffé
Ceci donne d'innombrables possibilités de
[] trivialiser un torseur sous un
groupe \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times
\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} (si p \neq 2).
D'autre part, si A' = \mathbb{R}, on peut considérer les classes
d'isomorphie de la gerbe de liens \mu_{2} sur \mathbb{R} définie par C
(soit \mathcal{G}_{\mathbb{R}}, où \mathcal{G} est la gerbe sur
\mathbb{Z}[\tfrac{1}{p}]) et l'ensemble des classes d'équivalence avec la
gerbe triviale sur \mathbb{R} (= ensemble des polarisations
de la gerbe), qui est un torseur sous
\mathrm{H}^{1}(\mathbb{R}, \mu_{2}) = \mathbb{R}^{*}/\mathbb{R}^{*2}.
On trouve donc
la phrase se poursuit au-delà du feuillet 39, dans le lot suivant