Cote n° 149 · batch 7 · pages 121–135 · Transcription · [Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois, pages 1 à 67] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois » (141 à 149) est daté [à partir de 1978]-1983
Édition de démonstration

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121la page commence au milieu d'une phrase : la définition de l'espace \(\mathfrak{X}\) des points (« modèle » de \(L/K\)) et des anneaux locaux \(\underline{O}_{\mathfrak{X},x}\) est dans le lot précédent.

correspondant exactement (via \(x \mapsto \underline{O}_{\mathfrak{X},x}\)) aux jauges dans \(L\) qui sont ent. de type fini sur \(K\), de corps des fractions \(L\) — i.e. aux \(V\) précédents.

Sauf erreur, ces deux types de p[oin]ts de \(\mathfrak{X}\) (qui épuisent tout si \(n = 1\), qui est le seul cas, avec \(n = 0\), où \(\mathfrak{X}\) soit un schéma !) sont les seuls pour lesquels \(\underline{O}_{\mathfrak{X},x}\) soit noethérien. Cependant, on a

On pourrait […] relation […] et alors […] relat. […] \(\mathfrak{X}\) […] dessus… note marginale oblique, à gauche de la proposition, reliée au texte par une accolade ; presque illisible.

Proposition. Pour tout \(x \in \mathfrak{X}\), \(\underline{O}_{\mathfrak{X},x}\) est un anneau de valuation dans \(L\), de corps des fractions \(L\), et contenant \(K\). L'application \(x \mapsto \underline{O}_{\mathfrak{X},x}\) est une bijection de \(\mathfrak{X}\) sur l'ens. des anneaux […] anneaux dans \(L\).

Dém. a) Soit \(f \in L \setminus \underline{O}_{\mathfrak{X},x}\), il faut prouver \(1/f \in \underline{O}_{\mathfrak{X},x}\). Or \(f = g/h\), \(g, h \in \underline{O}_{X,a}\), où \(X\) modèle ⌜régulier⌝ (projectif), \(a\) un p[oin]t, \(f\), \(g\) premiers entre eux […] — utilisant la résolution, OPS \(\exists\) syst. […] […] […], […] \(f\), \(g\) des […] de paramètres, […]

122p. 61 de l'auteur.

un sys. de paramètres, et on se ramène au cas où \(f\), \(g\) premiers entre eux, — on peut — faisant encore éclater — supposer que les diviseurs de \(f\), \(g\) […] se séparent…

b) Un anneau de val. \(V\) qui pour l'extension \(L/K\) domine un p[oin]t bien déterminé ⌜\(x\)⌝ de chaque \(X\), d'où un \(x \in \mathfrak{X} = \varprojlim X\), et \(V\) domine \(\underline{O}_{\mathfrak{X},x}\), donc lui est égal puisque […] dominant […] est un […] de valuation.

NB Tout ⌜modèle \(U\) de \(L/K\) définit un⌝ ouvert[s] de \(\mathfrak{X}\) correspondant ([…] plonge dans un modèle propre \(X\), c'est clair) et et les modèles conven- […] à certains ouverts de \(\mathfrak{X}\) (pas stable par réunion finie).

Pour tt anneau local ⌜normal⌝ \(\underline{O} \subset L\) de corps des fractions \(L\), on peut regarder \(\operatorname{Spec} \underline{O} = S\), son p[oin]t fermé \(s\), le normalisé-

123\(\underline{O}'\) de \(\underline{O}\) dans \(\overline{L}\) i.e. \(S'\) de \(S\) dans \(\overline{L}\), et pour \(x'\) au-dessus de \(x\), un groupe de décomposition \(N_{x'}\), d'inertie \(I_{x'}\), mais les interprétations […] qu'on a signalé plus haut dans le cas particulier d'un \(\underline{O}\) qui est un anneau jauge. L'idée, c'est que pour prenant \(\underline{O}\) de valuation (par ex. un jauge-\(\underline{O}\)) \(\supset K\), on trouvera des groupes d'inertie à structure simple — des \(T_{\infty}^{\alpha}\) essentiellement, où \(\alpha\) est la « codim » du \(x \in \mathfrak{X}\) correspondant —

\(T_{\infty} = T_{\infty}(\overline{L})\)

et si \(x\) est de dim \(0\), on a \(\mathcal{E}_{k(x)}^{\overline{k(x)}}\) — […] une extension de \(\mathcal{E}_{k(x)}\) — sous-groupe ouvert de \(\mathcal{E}_K\), puisque \(k(x)\) est ⌜fini⌝ alg. sur \(K\) — par \(T^{\alpha}\), qui […] avec un choix de paramètres scindées sous l'effet du modèle. Ceci donne-

on a […] \(W\) nécessaires […] ici

124p. 62 de l'auteur.

-rait un principe général pour la construction des germes de sections de \(\mathcal{E}_L\) sur \(\mathcal{E}_K\) — à l'aide des p[oin]ts de dim \(0\) de la « variété de Riemann » \(\mathfrak{X}\) de \(L\) sur \(K\).

Comparant, pour une sous-extension \(L_1\) de \(K\) de degré de tr. \(1\), avec l'hom. \(\mathcal{E}_L \to \mathcal{E}_{L_1}\), on a donc aussi un moyen de construction des ⌜germes de⌝ sections de \(\mathcal{E}_{L_1}\) sur \(\mathcal{E}_K\), et le test intéressant serait de voir si on ⌜en⌝ trouve pas plus que les sections déjà envisagées, associées aux « places » de \(L_1\) sur \(K\).

on pourrait ici \(K = \mathbb{Q}\), au cas fini typique !

Mais il en est bien ainsi, comme on voit en considérant \(V_1 = V \cap L_1\), qui est un anneau de valuation de \(L_1\),

125dont le corps résiduel (contenu dans celui de \(V\)) sera alg fini sur \(K\) si celui de \(V\) l'est (et \(V_1 \neq L_1\)) — donc \(V_1\) ⌜correspond à une⌝ « place » du corps de fonctions d'une variété \(L_1\) sur \(K\). Or, par des fonctorialités essentiellement évidentes, on voit que l'hom \(\mathcal{E}_L^{\overline{L}} \to \mathcal{E}_{L_1}^{\overline{L}_1}\) envoie \(N_V\) dans \(N_{V_1}\), \(I_V\) dans \(I_{V_1}\) — donc l'image de \(N_V\) ⌜germe de⌝ normalise \(I_{V_1}\), donc (si \(\ldots\) une section de \(N_V\) sur \(\mathcal{E}_K\)) le germe de section obtenu de \(\mathcal{E}_{L_1}\) sur \(\mathcal{E}_K\) normalise \(I_{V_1}\) — et sa restriction à \(\mathcal{E}_K^{\circ}\) centralise \(I_{V_1}\) —

[…] fait voir que le corps résid. de \(V_1\) […] extension \(L_1\) […] dim […] fait […]… note marginale oblique en haut à gauche, presque illisible.

Conjecture. Soient \(K\), \(L\) des ext. de type fini de \(\mathbb{Q}\), \(K \subset L\). Alors

a) Toute section de \(\mathcal{E}_L\) sur \(\mathcal{E}_K\) (ou germe de tel, sa variante \(\ldots = \ldots\)) normalise un \(I_V\) associé à un anneau de valuation \(V\) de \(L\) contenant \(K\), à corps résiduel algébrique ⌜sur \(K\)⌝, et \(V\) est uniquement

126p. 63 de l'auteur.

par cette condition — en fait la section provient d'une section du groupe de décomposition \(N_V\) au-dessus de \(\mathcal{E}_K\).

b) Soit \(U\) un modèle « élémentaire » de \(L\) sur \(K\), arbitraire. Alors toute section de \(\mathcal{E}_K^{\overline{L}}\) sur \(\mathcal{E}_K^{\overline{K}}\) se relève en une section de \(\mathcal{E}_L^{\overline{L}}\) sur \(\mathcal{E}_K^{\overline{K}}\).

nouveaux pour la question \(N_V = \operatorname{Norm}(\overline{I}_V)\) on voudrait que \(\mathcal{E}_{K_1}^{\overline{K}}\) […] germe de sections de \(\mathcal{E}_L^{\overline{L}}\) associés aux […] dans \(\overline{L}\) […] de \(\mathfrak{X}_{L/K}\) formant un […] de […] \(I_V\) la […] sections […] \(H^1(\mathcal{E}_K, \ldots)\) […] associée […] \(\mathcal{E}_K\) […] longue note marginale oblique, en deux blocs, le long du bord gauche de la page ; seuls des fragments se lisent. Le second bloc semble porter sur \(N_V\), \(I_V\), la « formule » […] et \((\mathcal{E}_L^{\overline{L}})^{\Gamma^{\circ}}\).

Elle peut se décrire en termes d'un anneau de valuation \(V\) de \(L/K\), et par \(V\) un centre sur \(U\), tel que se concentre pour le cas d'un p[oin]t \(x \in U\) rationnel sur \(K\), et de la section définie par \(x\). Dans ce cas (posant \(\Gamma = \mathcal{E}_K^{\overline{K}}\)) on conjecture encore, bien sûr \[(32) \qquad (\mathcal{E}_L^{\overline{L}})^{\Gamma^{\circ}} = (1)\] (et on peut y remplacer \(\Gamma^{\circ}\) par \(\Gamma^{\circ}_{\ill{}}\) — mais en fait ceci (on voit ou \(\operatorname{Centr}_{\Gamma}(\Gamma^{\circ}) = (1)\)) équivaut à la relation analogue \(\pi_{L/K}^{\overline{L}}\) \[(33) \qquad (\pi_{L/K}^{\overline{L}})^{\Gamma^{\circ}} = (1)\] qui se déduit d'ailleurs, par dévissage,

127de la conjecture analogue déjà faite pour la dim relative \(1\).

Pour mieux appréhender cette dernière ⌜b)⌝, partie de la conjecture, il faudrait examiner de plus près ce que deviennent, par composition avec \(\mathcal{E}_L^{\overline{L}} \to \mathcal{E}_U^{\overline{L}}\), les sections de \(\mathcal{E}_L^{\overline{L}}\) sur \(\mathcal{E}_K\) associées à un \(V\), et pour commencer, étudier le ⌜\(\Delta_V\),⌝ sous-groupe de \(\pi_{U/K}^{\overline{L}}\) image de \(\overline{I}_V\) — qui, en le devine, donne une réalisation algébrique de […] à un groupe-lacet. Dans quelle mesure des \(V\) distincts définissent-elles des \(\Delta_V\) distinctes ?

Pour étudier cette question, introduisons un modèle \(X\) de \(L/K\) contenant \(U\), \(X\) propre, les comp. irréd. ⌜\(D_i\) (\(i \in I\))⌝ de ⌜\(D =\)⌝ \(X \setminus U\) des diviseurs réguliers, et \(X \setminus U\) à croisements normaux. Pour \(x \in \operatorname{Supp} D\), considérons le hensélisé ⌜(ou strict)⌝ \(\widetilde{\underline{O}}_x\) de \(\underline{O}_{X,x}\), et l'image inverse \(\widetilde{U}_x\) de \(U\) dessus. On a

128p. 64 de l'auteur.

\(\overline{L}\) au-dessus de \(\widetilde{U}_x\), bien sûr, et \[(34) \qquad 1 \to T^{I(x)} \to \mathcal{E}_{\widetilde{U}_x}^{\overline{L}} \longrightarrow \mathcal{E}_{k(x)}^{\overline{k(x)}} \to 1\] où \(I(x)\) \[I(x) = \{\, i \in I \mid x \in D_i \,\}, \qquad T = T_{\infty}(\overline{L}^{*}),\] \(\overline{k(x)}\) étant la clôture alg. de \(k(x)\) induite par un plongement choisi de \(\widetilde{K}_x\) (corps des fractions de \(\widetilde{\underline{O}}_x\)) dans \(\overline{L}\), qui fait donc fonction de clôture sép. de \(\widetilde{K}_x\).

Ceci dit, pour \(V\) anneau de valuation de \(L/K\), si son centre \(x\) ⌜sur \(X\)⌝ est \(\in \operatorname{Supp} D\), on a, ⌜(hensélisé)⌝ posant \(S = \operatorname{Spec} V\), d'où \(\widetilde{S}\) (de p[oin]t générique \(\widetilde{\eta}\)), une factorisation de \(\widetilde{\eta} \to U\) (compatible \(\widetilde{\eta} \to \eta \in \operatorname{Spec}(L)\) \(\to U\)) en \(\widetilde{\eta} \to \widetilde{U}_x\), car \(\widetilde{\eta} \to U\) est induit par \(\widetilde{S} \to X\) qui se factorise en \(\widetilde{S} \to \widetilde{T} \to X\) (\(\widetilde{T} = \operatorname{Spec} \widetilde{\underline{O}}_x\)). Donc l'image \(N_V\) de ⌜l'hom. induit⌝ \(\mathcal{E}_{\widetilde{\eta}}^{\overline{L}} \to \mathcal{E}_U^{\overline{L}}\) est contenue dans celle de ⌜un composé⌝ \[(35) \qquad \underset{\substack{\parallel \\ N_V}}{\mathcal{E}_{\widetilde{\eta}}^{\overline{L}}} \longrightarrow \underset{\substack{\parallel\ \text{dfn} \\ N_x}}{\mathcal{E}_{\widetilde{U}_x}^{\overline{L}}} \longrightarrow \mathcal{E}_U^{\overline{L}}\] (l'image de \(\mathcal{E}_{\widetilde{U}_x}^{\overline{L}} \to \mathcal{E}_U^{\overline{L}}\) n'étant d'ailleurs autre que le groupe de décomposition de \(x\) dans \(\mathcal{E}_U^{\overline{L}}\) relatif à \(\overline{L}\)…). L'étude de l'hom composé sous le second terme de (35), un symbole biffé, illisible, avant « \(N_x\) ».

129se ramène à celle des hom composants. À ce sujet, sous réserve de vérifications, je présume

1°) que l'hom \(\mathcal{E}_{\widetilde{U}_x}^{\overline{L}} \to \mathcal{E}_U^{\overline{L}}\) est injectif — ou ce qui revient au même, que son partie géométrique \[\underset{\substack{\parallel \\ I_x \simeq T^{(I(x))}}}{\mathcal{E}_{\widetilde{U}_x/K}^{\overline{L}}} \longrightarrow \pi_{U/K}^{\overline{L}}\] est injective.

les deux lettres \(I\) ne sont pas les mêmes C'est sûrement « en général » faux ⌜pour \(\operatorname{card} I(x) \neq 1\)⌝ comme on voit en remplaçant \(X\) par un autre \(X'\) dominant \(X\), en éclatant des […] faisant un p[oin]t de \(D\)… Mais est-il vrai qu'on […] \(X \supset U\) tel que […] localement injectif… note marginale oblique dans la marge droite, d'une encre plus foncée, vraisemblablement ajoutée après coup ; elle porte sur l'énoncé 1°).

2°) que l'hom lorsque le corps résiduel […] \(V\) est alg\(/K\) (i.e. \(V\) correspond à un point de \(\mathfrak{X}_{L/K}\) de dim zéro), alors l'hom \[\mathcal{E}_{\widetilde{\eta}}^{\overline{L}} = N_V \to \mathcal{E}_{\widetilde{U}_x}^{\overline{L}}\] est égal ⌜a une image⌝ surjectif ⌜ouverte⌝ — ce qui revient à dire (puisque \(k(V)\) alg ⌜fini⌝ sur \(k(x)\) donc \(\mathcal{E}_{k(V)} = N_V / I_V \hookrightarrow \mathcal{E}_{k(x)}\) ⌜(sous-groupe ouv.)⌝ \(\simeq N_x / I_x\)), que la partie géométrique \[I_V \longrightarrow I_x = T^{I(x)}\] soit à image […] ouverte — ou plus […] — ⌜soit⌝ surjective. […] sous-groupe ouvert. la fin de 2°) a été biffée et récrite plusieurs fois ; seul « surjective » est sûr.

À noter que la question 2° est purement

130p. 65 de l'auteur.

locale autour de \(x\) — elle doit être essentiellement « triviale », que ma présomption s'avère vraie ou fausse — par contre 1°) est une question de nature globale sur \(U\), et sans doute d'autre aucunement façon triviale.

Avant de l'oser La validité de ces énoncés signifierait ⌜impliquerait⌝ donc, pour les sections de \(\mathcal{E}_U^{\overline{L}}\) sur \(\mathcal{E}_K^{\overline{L}}\) associées à un […] ⌜anneau⌝ de valuation de \(L/K\), ⌜de corps résiduel \(K\)⌝ que l'image de \(\mathcal{E}_K^{\overline{L}}\) doit normaliser un \(I_x\) sous-groupe \[\Delta_x \simeq T^{I(x)} \text{ de } \pi_{L/K}^{\overline{L}},\] qui est non trivial si la valuation n'a pas de centre sur \(U\), i.e. si la section n'est pas associée à un p[oin]t \(K\)-rationnel de \(U\), ce qui est justement dans le sens des conjectures (qui pouvaient d'abord sembler hérétiques !) du § 2. le § 2 auquel renvoie le texte est antérieur à ce lot.

Avant de me tourner vers l'étude des questions 1°) et 2°) (et ⌜aussi⌝ des questions de normalisation et de centralisation soulevées

131précédemment à propos de \(N_V\), \(I_V\) …), je vais regarder d'un peu plus près l'allure des sous-groupes \(I_x \subset \pi_{L/K}^{\overline{L}}\), associés ou plutôt, des classes de ⌜\(\pi\)-⌝conjugaison de tels sous-groupes) associés aux \(x \in X \setminus U\), ⌜pour \(x\) variable,⌝ (et une connaissance de caractère intrinsèque de ces groupes, indépendamment du choix du modèle \(X\) (mais ceci est évident, si on admet ce qui vient d'être présumé — que ce sont justement, à conjugaison — et à sous-groupes ouverts près tout au plus, les images des \(I_V\), pour \(V \in \mathfrak{X}_{L/K}\) […] n'ayant pas de centre dans \(X \setminus U\) \(U\) …)

Considérons d'abord les

Soit \(J\) une partie de l'l'ens. fini \(I\), et soit \[D_J^{*} = \{\, x \in X \mid I(x) = J \,\} = \overbrace{\bigcap_{j \in J} D_j}^{D_J} - \bigcup_{i \in I \setminus J} D_J \cap D_i ,\] \[D_{\{i\}} = D_i \setminus \bigcup_{j \neq i} (D_i \cap D_j).\] Si \(\alpha = \operatorname{card} J\), on sait que \(D_J \subset X\) est ⌜régulier,⌝ de codim \(\alpha\) en chacun de ses points (mais bien sûr, il peut être \(\emptyset\)). Si on appelle « simplexe » une partie \(J \subset I\)

il vient un nouveau décrire \(D_J\) comme l'ensemble \(\bigcap_{i \in J} D_i\) (36) et décrire comme \(\{x \in X \mid I(x) \supset J\}\) note marginale oblique, en bas à gauche ; lecture très incertaine. Dans la seconde formule, \(D_{\{i\}}\) est écrit sans astérisque ; il s'agit vraisemblablement de \(D^{*}_{\{i\}}\).

132p. 66 de l'auteur.

telle que \(D_J \neq \emptyset\) ⌜(i.e. \(D_J = \bigcap_{j \in J} D_j\) soit \(\neq \emptyset\))⌝, on trouve, sur \(I\) une structure de schéma ⌜ensemble⌝ simplicial — quelle est sa signification topologique ? Les composantes connexes correspondent [aux] comp. connexes de \(D = X \setminus U\) — on connaît : celles du bout de \(\widehat{X} \setminus D\), où \(\widehat{X}\) est le ⌜formel⌝ complété de \(X\) le long de \(D\) — et \(\widehat{X} \setminus D\) […] une notion invariante p.r. à la « complétification » choisie \(X\) de \(U\). S'il était vrai que les \(D_J\) ⌜non vides⌝ sont \(\infty\)-connexes (ce qui bien sûr n'est pas le cas, si \(J\) pour \(D_J\) réduit à un point !) on pourrait penser que l'schéma ⌜ensemble⌝ simplicial exprime la topologie du type d'homotopie de \(U_{\infty}\).

Considérons maintenant le « localisé » […] (en un sens à préciser convenable) de \(X\) le long de \(D_J\), soit \(X\) \(X_J\), et soit \(U_J\) ⌜\(= X_J \setminus D_J\)⌝ la trace de \(U\) sur \(X_J\). Considérons \(\mathcal{E}_{U_J}\) (de façon précise, \(\mathcal{E}_U^{\overline{L}}\), si on localise par p.v. algébrique), on trouve une suite exacte \[(37) \qquad T^{J} \to \mathcal{E}_{U_J}^{\overline{L}} \to \mathcal{E}_{D_J} \to 1\] — de façon plus précise, choisissons un rev. universel \(\widetilde{D}_J\) de \(D_J\), on trouve un rev. universel (par image inverse ⌜d'ailleurs⌝) \(\widetilde{X}_J\) de \(X_J\), d'où aussi \(\widetilde{U}_J\) et \(\widetilde{U}_J \to U\) ; et une on désigne \(\widetilde{L}_J\) le corps des fonctions ⌜algébr.⌝ de \(\widetilde{X}_J - \widetilde{U}_J\), c'est une ext. ⌜de \(L\)⌝, et

il est plus convenable de prendre les « tubulaires » […] ou « formels »… […] dessus \(\widetilde{D}_J\) […] \(U_J\) […] revêtement universel […] \(D_J\) […] deux notes marginales obliques à gauche, la seconde très serrée en bas de page ; seuls des fragments se lisent. Au-dessus de \(\mathcal{E}_{D_J}\) dans (37), un exposant biffé (\(\widetilde{D}_J\) ?).

133et on choisit un ⌜\(L\)-⌝plongement de \(\widetilde{L}_J\) dans \(\overline{L}\). C'est par cela que (37) est définie — c'est la ⌜début de la suite d'homotopie du⌝ fibré, morale, d'un produit de disques […] sur \(D_J\) (savoir \(U_J\) homotope \(=\) ) — j'ai eu un peu peur d'y mettre les zéro à gauche, à cause du […] \[\pi_2(\overline{D}_J) \to \pi_1(\text{fibre}) \qquad (?)\,!\] sous « \(\pi_1(\text{fibre})\) » est écrit « \(= T^J\) ».

Mais considérons l'hom \[\mathcal{E}_{U_J}^{\widetilde{U}_J} \longrightarrow \mathcal{E}_U^{\overline{L}}\] induit par « l'injection » \(U_J \to U\), elle heuristiquement on devrait avoir ⌜devrait⌝ un diagramme induit par commutatif

\begin{tikzcd}
U_J \arrow[r] \arrow[d, "i"'] & U \arrow[d] \\
X_J \arrow[r] & \operatorname{Spec} K = \xi \\
D_J \arrow[u, "\text{équiv.\ d'homotopie}"']
\end{tikzcd}

d'où un hom. de suites exactes d'homotopie — ⌜de cette relation⌝ relative à la première ligne ⌜cohomologique⌝, dans cette relation : \(T^J\) scindée…

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \pi_2(D_J) & T^{J} & \mathcal{E}_{U_J} & \mathcal{E}_{D_J} & \\
\cdots \arrow[r] & \pi_2(X_J) \arrow[u, no head, "\parallel"'] \arrow[r] \arrow[d] & \pi_1(\overline{\mathbb{G}}_m^{\,J}) \arrow[u, no head, "\wr"'] \arrow[r] \arrow[d] & \pi_1(U_J) \arrow[u, no head, "\wr"'] \arrow[r] \arrow[d] & \pi_1(X_J) \arrow[u, no head, "\wr"'] \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\
\cdots \arrow[r] & \pi_2(\xi) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel"'] & \pi_1(U_{\overline{\xi}}) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"'] & \pi_1(U) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"'] & \pi_1(\xi) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"'] & 1 \\
 & 0 & \pi_{U/K} & \mathcal{E}_U & \mathcal{E}_K &
\end{tikzcd}

qui montre que ⌜le composé⌝ \(\pi_2(D_J) \to T^J \to \pi_{U/K}\) est nul — donc si on admet que \(T^J \to \pi_{U/K}\) est injectif, on conclura que \(\pi_2(D_J) \to T^J\) est nul !

134p. 67 de l'auteur.

On va donc admettre que (37) a, définit bien une structure d'extensions, et on a aussi un hom de suites exactes

à gauche du diagramme, deux numéros : un « (38') » biffé ou surchargé sur la première ligne, et « (38) » sur la seconde.

\begin{tikzcd}[column sep=small]
1 \arrow[r] & T^{J} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{E}_{U_{J,\alpha}}^{\overline{L}} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{E}_{D_{J,\alpha}}^{\widetilde{D}_{J,\alpha}} \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\
1 \arrow[r] & \pi_{U/K}^{\overline{L}} \arrow[r] & \mathcal{E}_U^{\overline{L}} \arrow[r] & \mathcal{E}_K^{\overline{K}} \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

— où, pour simplifier la diction, on fait abstraction du fait que (37) […] de sens telle quelle que si ⌜i.e. \(X_J\) connexe⌝ \(D_J\) est connexe, que sinon il faut regarder les composantes connexes \(X_{J,\alpha}\) de \(X_J\), induisant les composantes conn. \(D_{J,\alpha}\) de \(D_J\), et \(U_{J,\alpha}\) de \(U_J\), et écrire la suite exacte pour chaque composante. Bien sûr, il y a des choses plus intrinsèques : ici avec les types et les groupoïdes ⌜multiplicatifs⌝, fondamentaux… et leurs groupoïdes classes de \(\mathcal{E}_U^{\overline{L}}\)-conjugaison

On voit ainsi que les hom \[(39) \qquad T^{J} \longrightarrow \pi_{U/K}^{\overline{L}}\] induits par les différents \(x \in D_J\) — chacun n'étant en fait, quand on reprend la définition précise, que défini modulo opération d'automorphismes intérieurs de \(\mathcal{E}_U^{\overline{L}}\), induits par

135[…] éléments dont l'image dans \(\mathcal{E}_K^{\overline{K}}\) est dans l'image de \(\mathcal{E}_{k(x)}^{\overline{k(x)}} \to \mathcal{E}_K^{\overline{K}}\) — ont que pour \(x\) variable dans une composante connexe \(D_{J,\alpha}\) de \(D_J\), sont tous conjugués entre eux dans […] \(\mathcal{E}_{U/K}\) — et on peut faire les choix relatifs aux différents \(x\) d'une façon cohérente, qui mainten[ant] l'incertitude extérieure de celle, qui exprime l'indétermination dans \(\pi_{U/K}^{\overline{L}}\) ici seulement aux produits des éléments de l'image de \[(39) \qquad \mathcal{E}_{D_{J,\alpha}}^{\widetilde{D}_{J,\alpha}} \longrightarrow \mathcal{E}_K^{\overline{K}} .\] \(J = \{i\}\) est particulier, lorsque ⌜dans⌝ ce cas d'ailleurs \(D_J = D_i\) composante, ⌜et⌝ connexe, et on trouve des hom \[(40) \qquad T \xrightarrow{\ \kappa_i\ } \pi_{U/K}^{\overline{L}} ,\] déterminés a priori mod. automorphismes intérieurs […] — dans un fait \(\kappa_i\) est un hom extérieur bien déterminé, qui est […] compatible avec les opérations […] par opération ext. de \(\mathcal{E}_K^{\overline{K}}\) sur \(T\), et sur \(\pi_{U/K}^{\overline{L}}\).

Si \(J' \supset J\) (i.e. \(D_{J'} \subset D_J\)), choisissons une composante conn. \(D_{J',\alpha'}\) […] de \(D_{J'}\), elle est contenue dans une seule comp. conn. ce dernier paragraphe (avec une variante biffée « (i.e. \(D_{J'} \neq \emptyset\)) ») est barré de grandes croix ; la page — et le lot — s'arrêtent là, la suite est dans le lot suivant. Le numéro (39) est porté ici une seconde fois, déjà employé p. 134.

de façon plus précise, le choix d'un revêtement universel en impliqu[ant] \(\widetilde{U}_x\) […] dans […] \(\overline{K}\) […] définition […] ainsi \(\widetilde{U}_x\) […] universel […] faites, \(\mathcal{E}_K^{\overline{K}}\) […] \(\pi_{U/K}^{\overline{L}}\) […] connexes […] longue note marginale oblique à gauche, sur toute la hauteur de la page, d'une écriture très serrée ; seuls quelques mots se lisent. Elle paraît préciser les choix de revêtements universels qui rendent les \(\kappa_i\) bien définis.