Fonds Grothendieck, cote n° 149, pages 121–135

la page commence au milieu d'une phrase : la définition de l'espace \mathfrak{X} des points (« modèle » de L/K) et des anneaux locaux \underline{O}_{\mathfrak{X},x} est dans le lot précédent.

correspondant exactement (via x \mapsto \underline{O}_{\mathfrak{X},x}) aux jauges dans L qui sont ent. de type fini sur K, de corps des fractions L — i.e. aux V précédents.

Sauf erreur, ces deux types de points de \mathfrak{X} (qui épuisent ~~tout~~ si n = 1, qui est le seul cas, avec n = 0, où \mathfrak{X} soit un schéma !) sont les seuls pour lesquels \underline{O}_{\mathfrak{X},x} soit noethérien. Cependant, on a

On pourrait relation et alors relat. \mathfrak{X} dessus… note marginale oblique, à gauche de la proposition, reliée au texte par une accolade ; presque illisible.

Proposition. Pour tout x \in \mathfrak{X}, \underline{O}_{\mathfrak{X},x} est un anneau de valuation dans L, de corps des fractions L, et contenant K. L'application x \mapsto \underline{O}_{\mathfrak{X},x} est une bijection de \mathfrak{X} sur l'ens. des anneaux anneaux dans L.

Dém. a) Soit f \in L \setminus \underline{O}_{\mathfrak{X},x}, il faut prouver 1/f \in \underline{O}_{\mathfrak{X},x}. Or f = g/h, g, h \in \underline{O}_{X,a}, où X modèle régulier (projectif), a un point, f, g ~~premiers entre eux~~ — utilisant la résolution, OPS \exists syst. , f, g des de paramètres,

p. 61 de l'auteur.

un sys. de paramètres, et on se ramène au cas où f, g premiers entre eux, — on peut — faisant encore éclater — supposer que les diviseurs de f, g se séparent…

b) Un anneau de val. V ~~qui~~ pour l'extension L/K domine un point bien déterminé x de chaque X, d'où un x \in \mathfrak{X} = \varprojlim X, et V domine \underline{O}_{\mathfrak{X},x}, donc lui est égal puisque dominant est un de valuation.

NB Tout modèle U de L/K définit un ouverts de \mathfrak{X} ~~correspondant~~ ( plonge dans un modèle propre X, c'est clair) et et les modèles conven- à certains ouverts de \mathfrak{X} (pas stable par réunion finie).

Pour tt anneau local normal \underline{O} \subset L de corps des fractions L, on peut regarder \operatorname{Spec} \underline{O} = S, son point fermé s, le normalisé-

\underline{O}' de \underline{O} dans \overline{L} i.e. S' de S dans \overline{L}, et pour x' au-dessus de x, un groupe de décomposition N_{x'}, d'inertie I_{x'}, mais les interprétations qu'on a signalé plus haut dans le cas particulier d'un \underline{O} qui est un anneau jauge. L'idée, c'est que pour prenant \underline{O} de valuation (par ex. un jauge-\underline{O}) \supset K, on trouvera des groupes d'inertie à structure simple — des T_{\infty}^{\alpha} essentiellement, où \alpha est la « codim » du x \in \mathfrak{X} correspondant —

T_{\infty} = T_{\infty}(\overline{L})

et si x est de dim 0, on a \mathcal{E}_{k(x)}^{\overline{k(x)}} — une extension de \mathcal{E}_{k(x)} — sous-groupe ouvert de \mathcal{E}_K, puisque k(x) est fini alg. sur K — par T^{\alpha}, qui avec un choix de paramètres scindées sous l'effet du modèle. Ceci donne-

on a W nécessaires ici

p. 62 de l'auteur.

-rait un principe général pour la construction des germes de sections de \mathcal{E}_L sur \mathcal{E}_K — à l'aide des points de dim 0 de la « variété de Riemann » \mathfrak{X} de L sur K.

Comparant, pour une sous-extension L_1 de K de degré de tr. 1, avec l'hom. \mathcal{E}_L \to \mathcal{E}_{L_1}, on a donc aussi un moyen de construction des germes de sections de \mathcal{E}_{L_1} sur \mathcal{E}_K, et le test intéressant serait de voir si on en trouve pas plus que les sections déjà envisagées, associées aux « places » de L_1 sur K.

on pourrait ici K = \mathbb{Q}, au cas fini typique !

Mais il en est bien ainsi, comme on voit en considérant V_1 = V \cap L_1, qui est un anneau de valuation de L_1,

dont le corps résiduel (contenu dans celui de V) sera ~~alg~~ fini sur K si celui de V l'est (et V_1 \neq L_1) — donc V_1 correspond à une « place » du corps de fonctions d'une variété L_1 sur K. Or, par des fonctorialités essentiellement évidentes, on voit que l'hom \mathcal{E}_L^{\overline{L}} \to \mathcal{E}_{L_1}^{\overline{L}_1} envoie N_V dans N_{V_1}, I_V dans I_{V_1} — donc l'image de N_V germe de normalise I_{V_1}, donc (si \ldots une section de N_V sur \mathcal{E}_K) le germe de section obtenu de \mathcal{E}_{L_1} sur \mathcal{E}_K normalise I_{V_1} — et sa restriction à \mathcal{E}_K^{\circ} centralise I_{V_1} —

fait voir que le corps résid. de V_1 extension L_1 dim fait … note marginale oblique en haut à gauche, presque illisible.

Conjecture. Soient K, L des ext. de type fini de \mathbb{Q}, K \subset L. Alors

a) Toute section de \mathcal{E}_L sur \mathcal{E}_K (ou germe de tel, sa variante \ldots = \ldots) normalise un I_V associé à un anneau de valuation V de L contenant K, à corps résiduel algébrique sur K, et V est uniquement

p. 63 de l'auteur.

par cette condition — en fait la section provient d'une section du groupe de décomposition N_V au-dessus de \mathcal{E}_K.

b) Soit U un modèle « élémentaire » de L sur K, arbitraire. Alors toute section de \mathcal{E}_K^{\overline{L}} sur \mathcal{E}_K^{\overline{K}} se relève en une section de \mathcal{E}_L^{\overline{L}} sur \mathcal{E}_K^{\overline{K}}.

nouveaux pour la question N_V = \operatorname{Norm}(\overline{I}_V) on voudrait que \mathcal{E}_{K_1}^{\overline{K}} germe de sections de \mathcal{E}_L^{\overline{L}} associés aux dans \overline{L} de \mathfrak{X}_{L/K} formant un de I_V la sections H^1(\mathcal{E}_K, \ldots) associée \mathcal{E}_K longue note marginale oblique, en deux blocs, le long du bord gauche de la page ; seuls des fragments se lisent. Le second bloc semble porter sur N_V, I_V, la « formule » et (\mathcal{E}_L^{\overline{L}})^{\Gamma^{\circ}}.

Elle peut se décrire en termes d'un anneau de valuation V de L/K, et par V un centre sur U, tel que se concentre pour le cas d'un point x \in U rationnel sur K, et de la section définie par x. Dans ce cas (posant \Gamma = \mathcal{E}_K^{\overline{K}}) on conjecture encore, bien sûr (32) \qquad (\mathcal{E}_L^{\overline{L}})^{\Gamma^{\circ}} = (1) (et on peut y remplacer \Gamma^{\circ} par \Gamma^{\circ}_{\ill{}} — mais en fait ceci (on voit ou \operatorname{Centr}_{\Gamma}(\Gamma^{\circ}) = (1)) équivaut à la relation analogue ~~\pi_{L/K}^{\overline{L}}~~ (33) \qquad (\pi_{L/K}^{\overline{L}})^{\Gamma^{\circ}} = (1) qui se déduit d'ailleurs, par dévissage,

de la conjecture analogue déjà faite pour la dim relative 1.

Pour mieux appréhender cette dernière b), partie de la conjecture, il faudrait examiner de plus près ce que deviennent, par composition avec \mathcal{E}_L^{\overline{L}} \to \mathcal{E}_U^{\overline{L}}, les sections de \mathcal{E}_L^{\overline{L}} sur \mathcal{E}_K associées à un V, et pour commencer, étudier le \Delta_V, sous-groupe de \pi_{U/K}^{\overline{L}} image de \overline{I}_V — qui, en le devine, donne une réalisation algébrique de à un groupe-lacet. Dans quelle mesure des V distincts définissent-elles des \Delta_V distinctes ?

Pour étudier cette question, introduisons un modèle X de L/K contenant U, X propre, les comp. irréd. D_i (i \in I) de D = X \setminus U des diviseurs réguliers, et X \setminus U à croisements normaux. Pour x \in \operatorname{Supp} D, considérons le hensélisé (ou strict) \widetilde{\underline{O}}_x de \underline{O}_{X,x}, et l'image inverse \widetilde{U}_x de U dessus. On a

p. 64 de l'auteur.

\overline{L} au-dessus de \widetilde{U}_x, bien sûr, et (34) \qquad 1 \to T^{I(x)} \to \mathcal{E}_{\widetilde{U}_x}^{\overline{L}} \longrightarrow \mathcal{E}_{k(x)}^{\overline{k(x)}} \to 1 où ~~I(x)~~ I(x) = \{\, i \in I \mid x \in D_i \,\}, \qquad T = T_{\infty}(\overline{L}^{*}), \overline{k(x)} étant la clôture alg. de k(x) induite par un plongement choisi de \widetilde{K}_x (corps des fractions de \widetilde{\underline{O}}_x) dans \overline{L}, qui fait donc fonction de clôture sép. de \widetilde{K}_x.

Ceci dit, pour V anneau de valuation de L/K, si son centre x sur X est \in \operatorname{Supp} D, on a, (hensélisé) posant S = \operatorname{Spec} V, d'où \widetilde{S} (de point générique \widetilde{\eta}), une factorisation de \widetilde{\eta} \to U (compatible \widetilde{\eta} \to \eta \in \operatorname{Spec}(L) \to U) en \widetilde{\eta} \to \widetilde{U}_x, car \widetilde{\eta} \to U est induit par \widetilde{S} \to X qui se factorise en \widetilde{S} \to \widetilde{T} \to X (\widetilde{T} = \operatorname{Spec} \widetilde{\underline{O}}_x). Donc ~~l'image N_V de~~ l'hom. induit \mathcal{E}_{\widetilde{\eta}}^{\overline{L}} \to \mathcal{E}_U^{\overline{L}} est ~~contenue dans celle de~~ un composé (35) \qquad \underset{\substack{\parallel \\ N_V}}{\mathcal{E}_{\widetilde{\eta}}^{\overline{L}}} \longrightarrow \underset{\substack{\parallel\ \text{dfn} \\ N_x}}{\mathcal{E}_{\widetilde{U}_x}^{\overline{L}}} \longrightarrow \mathcal{E}_U^{\overline{L}} (l'image de \mathcal{E}_{\widetilde{U}_x}^{\overline{L}} \to \mathcal{E}_U^{\overline{L}} n'étant d'ailleurs autre que le groupe de décomposition de x dans \mathcal{E}_U^{\overline{L}} relatif à \overline{L}…). L'étude de l'hom composé sous le second terme de (35), un symbole biffé, illisible, avant « N_x ».

se ramène à celle des hom composants. À ce sujet, sous réserve de vérifications, je présume

1°) que l'hom \mathcal{E}_{\widetilde{U}_x}^{\overline{L}} \to \mathcal{E}_U^{\overline{L}} est injectif — ou ce qui revient au même, que son partie géométrique \underset{\substack{\parallel \\ I_x \simeq T^{(I(x))}}}{\mathcal{E}_{\widetilde{U}_x/K}^{\overline{L}}} \longrightarrow \pi_{U/K}^{\overline{L}} est injective.

les deux lettres I ne sont pas les mêmes C'est sûrement « en général » faux pour \operatorname{card} I(x) \neq 1 comme on voit en remplaçant X par un autre X' dominant X, en éclatant des faisant un point de D… Mais est-il vrai qu'on X \supset U tel que localement injectif… note marginale oblique dans la marge droite, d'une encre plus foncée, vraisemblablement ajoutée après coup ; elle porte sur l'énoncé 1°).

2°) que ~~l'hom~~ lorsque le corps résiduel V est alg/K (i.e. V correspond à un point de \mathfrak{X}_{L/K} de dim zéro), alors l'hom \mathcal{E}_{\widetilde{\eta}}^{\overline{L}} = N_V \to \mathcal{E}_{\widetilde{U}_x}^{\overline{L}} ~~est égal~~ a une image ~~surjectif~~ ouverte — ce qui revient à dire (puisque k(V) ~~alg~~ fini sur k(x) donc \mathcal{E}_{k(V)} = N_V / I_V \hookrightarrow \mathcal{E}_{k(x)} (sous-groupe ouv.) \simeq N_x / I_x), que la partie géométrique I_V \longrightarrow I_x = T^{I(x)} ~~soit à image ouverte~~ — ~~ou plus~~ — soit surjective. ~~sous-groupe ouvert.~~ la fin de 2°) a été biffée et récrite plusieurs fois ; seul « surjective » est sûr.

À noter que la question 2° est purement

p. 65 de l'auteur.

locale autour de x — elle doit être essentiellement « triviale », que ma présomption s'avère vraie ou fausse — par contre 1°) est une question de nature globale sur U, et sans doute ~~d'autre~~ aucunement façon triviale.

~~Avant de l'oser~~ La validité de ces énoncés ~~signifierait~~ impliquerait donc, pour les sections de \mathcal{E}_U^{\overline{L}} sur \mathcal{E}_K^{\overline{L}} associées à un anneau de valuation de L/K, de corps résiduel K que l'image de \mathcal{E}_K^{\overline{L}} doit normaliser un ~~I_x~~ sous-groupe \Delta_x \simeq T^{I(x)} \text{ de } \pi_{L/K}^{\overline{L}}, qui est non trivial si la valuation n'a pas de centre sur U, i.e. si la section n'est pas associée à un point K-rationnel de U, ce qui est justement dans le sens des conjectures (qui pouvaient d'abord sembler hérétiques !) du § 2. le § 2 auquel renvoie le texte est antérieur à ce lot.

Avant de me tourner vers l'étude des questions 1°) et 2°) (et aussi des questions de normalisation et de centralisation soulevées

précédemment à propos de N_V, I_V …), je vais regarder d'un peu plus près l'allure des sous-groupes I_x \subset \pi_{L/K}^{\overline{L}}, ~~associés~~ ou plutôt, des classes de \pi-conjugaison de tels sous-groupes) associés aux x \in X \setminus U, pour x variable, (et une connaissance de caractère intrinsèque de ces groupes, indépendamment du choix du modèle X (mais ceci est évident, si on admet ce qui vient d'être présumé — que ce sont justement, à conjugaison — et à sous-groupes ouverts près tout au plus, les images des I_V, pour V \in \mathfrak{X}_{L/K} n'ayant pas de centre dans ~~X \setminus U~~ U …)

~~Considérons d'abord les~~

Soit J une partie de l'l'ens. fini I, et soit D_J^{*} = \{\, x \in X \mid I(x) = J \,\} = \overbrace{\bigcap_{j \in J} D_j}^{D_J} - \bigcup_{i \in I \setminus J} D_J \cap D_i , D_{\{i\}} = D_i \setminus \bigcup_{j \neq i} (D_i \cap D_j). Si \alpha = \operatorname{card} J, on sait que D_J \subset X est régulier, de codim \alpha en chacun de ses points (mais bien sûr, il peut être \emptyset). Si on appelle « simplexe » une partie J \subset I

il vient un nouveau décrire D_J comme l'ensemble \bigcap_{i \in J} D_i (36) et décrire comme \{x \in X \mid I(x) \supset J\} note marginale oblique, en bas à gauche ; lecture très incertaine. Dans la seconde formule, D_{\{i\}} est écrit sans astérisque ; il s'agit vraisemblablement de D^{*}_{\{i\}}.

p. 66 de l'auteur.

telle que D_J \neq \emptyset (i.e. D_J = \bigcap_{j \in J} D_j soit \neq \emptyset), on trouve, sur I une structure de ~~schéma~~ ensemble simplicial — quelle est sa signification topologique ? Les composantes connexes correspondent aux comp. connexes de D = X \setminus U — on connaît : celles du bout de \widehat{X} \setminus D, où \widehat{X} est le formel complété de X le long de D — et \widehat{X} \setminus D une notion invariante p.r. à la « complétification » choisie X de U. S'il était vrai que les D_J non vides sont \infty-connexes (ce qui bien sûr n'est pas le cas, si J pour D_J réduit à un point !) on pourrait penser que l'~~schéma~~ ensemble simplicial exprime la topologie du type d'homotopie de U_{\infty}.

Considérons maintenant le « localisé » (en un sens à préciser convenable) de X le long de D_J, soit X X_J, et soit U_J = X_J \setminus D_J la trace de U sur X_J. Considérons \mathcal{E}_{U_J} (de façon précise, \mathcal{E}_U^{\overline{L}}, si on localise par p.v. algébrique), on trouve une suite exacte (37) \qquad T^{J} \to \mathcal{E}_{U_J}^{\overline{L}} \to \mathcal{E}_{D_J} \to 1 — de façon plus précise, choisissons un rev. universel \widetilde{D}_J de D_J, on trouve un rev. universel (par image inverse d'ailleurs) \widetilde{X}_J de X_J, d'où aussi \widetilde{U}_J et \widetilde{U}_J \to U ; ~~et une~~ on désigne \widetilde{L}_J le corps des fonctions algébr. de \widetilde{X}_J - \widetilde{U}_J, c'est une ext. de L, et

il est plus convenable de prendre les « tubulaires » ou « formels »… dessus \widetilde{D}_J U_J revêtement universel D_J deux notes marginales obliques à gauche, la seconde très serrée en bas de page ; seuls des fragments se lisent. Au-dessus de \mathcal{E}_{D_J} dans (37), un exposant biffé (\widetilde{D}_J ?).

et on choisit un L-plongement de \widetilde{L}_J dans \overline{L}. C'est par cela que (37) est définie — c'est la début de la suite d'homotopie du fibré, morale, d'un produit de disques sur D_J (savoir U_J homotope = ) — j'ai eu un peu peur d'y mettre ~~les~~ zéro à gauche, à cause du \pi_2(\overline{D}_J) \to \pi_1(\text{fibre}) \qquad (?)\,! sous « \pi_1(\text{fibre}) » est écrit « = T^J ».

Mais considérons l'hom \mathcal{E}_{U_J}^{\widetilde{U}_J} \longrightarrow \mathcal{E}_U^{\overline{L}} induit par « l'injection » U_J \to U, ~~elle~~ heuristiquement on ~~devrait avoir~~ devrait un diagramme ~~induit par~~ commutatif

\begin{tikzcd} U_J \arrow[r] \arrow[d, "i"'] & U \arrow[d] \\ X_J \arrow[r] & \operatorname{Spec} K = \xi \\ D_J \arrow[u, "\text{équiv.\ d'homotopie}"'] \end{tikzcd}

d'où un hom. de suites exactes d'homotopie — de cette relation ~~relative~~ à la première ~~ligne~~ cohomologique, dans cette relation : T^J scindée…

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & \pi_2(D_J) & T^{J} & \mathcal{E}_{U_J} & \mathcal{E}_{D_J} & \\ \cdots \arrow[r] & \pi_2(X_J) \arrow[u, no head, "\parallel"'] \arrow[r] \arrow[d] & \pi_1(\overline{\mathbb{G}}_m^{\,J}) \arrow[u, no head, "\wr"'] \arrow[r] \arrow[d] & \pi_1(U_J) \arrow[u, no head, "\wr"'] \arrow[r] \arrow[d] & \pi_1(X_J) \arrow[u, no head, "\wr"'] \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\ \cdots \arrow[r] & \pi_2(\xi) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel"'] & \pi_1(U_{\overline{\xi}}) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"'] & \pi_1(U) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"'] & \pi_1(\xi) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"'] & 1 \\ & 0 & \pi_{U/K} & \mathcal{E}_U & \mathcal{E}_K & \end{tikzcd}

qui montre que le composé \pi_2(D_J) \to T^J \to \pi_{U/K} est nul — donc si on admet que T^J \to \pi_{U/K} est injectif, on conclura que \pi_2(D_J) \to T^J est nul !

p. 67 de l'auteur.

On va donc admettre que (37) a, définit bien une structure d'extensions, et on a aussi un hom de suites exactes

à gauche du diagramme, deux numéros : un « (38') » biffé ou surchargé sur la première ligne, et « (38) » sur la seconde.

\begin{tikzcd}[column sep=small] 1 \arrow[r] & T^{J} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{E}_{U_{J,\alpha}}^{\overline{L}} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{E}_{D_{J,\alpha}}^{\widetilde{D}_{J,\alpha}} \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\ 1 \arrow[r] & \pi_{U/K}^{\overline{L}} \arrow[r] & \mathcal{E}_U^{\overline{L}} \arrow[r] & \mathcal{E}_K^{\overline{K}} \arrow[r] & 1 \end{tikzcd}

— où, pour simplifier la diction, on fait abstraction du fait que (37) de sens telle quelle que si i.e. X_J connexe D_J est connexe, que sinon il faut regarder les composantes connexes X_{J,\alpha} de X_J, induisant les composantes conn. D_{J,\alpha} de D_J, et U_{J,\alpha} de U_J, et écrire la suite exacte pour chaque composante. Bien sûr, il y a des choses plus intrinsèques : ici avec les types ~~et les groupoïdes~~ multiplicatifs, fondamentaux… et leurs groupoïdes ~~classes de \mathcal{E}_U^{\overline{L}}-conjugaison~~

On voit ainsi que les hom (39) \qquad T^{J} \longrightarrow \pi_{U/K}^{\overline{L}} induits par les différents x \in D_J — chacun n'étant en fait, quand on reprend la définition précise, que défini modulo opération d'automorphismes intérieurs de \mathcal{E}_U^{\overline{L}}, induits par

éléments dont l'image dans \mathcal{E}_K^{\overline{K}} est dans l'image de \mathcal{E}_{k(x)}^{\overline{k(x)}} \to \mathcal{E}_K^{\overline{K}} — ont que pour x variable dans une composante connexe D_{J,\alpha} de D_J, sont tous conjugués entre eux dans \mathcal{E}_{U/K} — et on peut faire les choix relatifs aux différents x d'une façon cohérente, qui maintenant l'incertitude extérieure de celle, qui exprime l'indétermination dans \pi_{U/K}^{\overline{L}} ici seulement aux produits des éléments de l'image de (39) \qquad \mathcal{E}_{D_{J,\alpha}}^{\widetilde{D}_{J,\alpha}} \longrightarrow \mathcal{E}_K^{\overline{K}} . J = \{i\} est particulier, ~~lorsque~~ dans ce cas d'ailleurs D_J = D_i ~~composante~~, et connexe, et on trouve des hom (40) \qquad T \xrightarrow{\ \kappa_i\ } \pi_{U/K}^{\overline{L}} , déterminés a priori mod. automorphismes intérieurs — dans un fait \kappa_i est un hom extérieur bien déterminé, qui est compatible avec les opérations ~~par opération~~ ext. de \mathcal{E}_K^{\overline{K}} sur T, et sur \pi_{U/K}^{\overline{L}}.

~~Si J' \supset J (i.e. D_{J'} \subset D_J), choisissons une composante conn. D_{J',\alpha'} de D_{J'}, elle est contenue dans une seule comp. conn.~~ ce dernier paragraphe (avec une variante biffée « (i.e. D_{J'} \neq \emptyset) ») est barré de grandes croix ; la page — et le lot — s'arrêtent là, la suite est dans le lot suivant. Le numéro (39) est porté ici une seconde fois, déjà employé p. 134.

de façon plus précise, le choix d'un revêtement universel en impliquant \widetilde{U}_x dans \overline{K} définition ainsi \widetilde{U}_x universel faites, \mathcal{E}_K^{\overline{K}} \pi_{U/K}^{\overline{L}} connexes longue note marginale oblique à gauche, sur toute la hauteur de la page, d'une écriture très serrée ; seuls quelques mots se lisent. Elle paraît préciser les choix de revêtements universels qui rendent les \kappa_i bien définis.