Cote n° 149 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · [Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois, pages 1 à 67] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois » (141 à 149) est daté [à partir de 1978]-1983
Édition de démonstration

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21le théorème s'appuie sur des notations (\(\Pi_K\), \(\Pi_{\mathbb{Q}}\), \(\mathcal{E}_{\overline{K}/K}\)) introduites avant ce lot ; la page précédant la page 11 de l'auteur n'y porte pas de numéro visible.

Théorème 2. Le foncteur \(K \mapsto \Pi_K/\Pi_{\mathbb{Q}}\) des catégories des t.f. de \(\mathbb{Q}\) vers les groupoïdes profinis sur \(\Pi_{\mathbb{Q}}\) est fidèle.

En fait, ce théorème n'est pas spécial à \(\mathbb{Q}\) : il s'énoncerait sur un corps de base quelconque \(k\), et […] fait la diff. […] bien que l'énoncé […] fait sur […] l'énoncé est […] arith. […] géométrique […] (bien que […]) […] mais […]. note marginale écrite en oblique dans la marge gauche, en partie à une autre encre ; seul le début se lit sûrement.

I.e. si deux hom. \(K \overset{f,g}{\rightrightarrows} K'\) définissent des hom. de groupoïdes ⌜sur \(\Pi_{\mathbb{Q}}\)⌝ isomorphes (i.e. \(\exists\) isomorphisme de foncteurs \(\alpha : f^{*} \simeq g^{*}\), tel que \(\forall\, \overline{\eta}' \in \operatorname{Ob} \Pi_{K'}\), le […] ⌜carré⌝ correspondant

\begin{tikzcd}
p f^{*}(\overline{\eta}') \arrow[r, "p(\alpha)", "\sim"'] \arrow[d, "\wr"'] & p g^{*}(\overline{\eta}') \arrow[d, "\wr"] \\
p'(\overline{\eta}') \arrow[r, "\sim"'] & p'(\overline{\eta}')
\end{tikzcd}

est commutatif) alors \(f = g\).

\begin{tikzcd}
\Pi_{K'} \arrow[dr, "p'"'] & \overset{f^{*}}{\underset{g^{*}}{\rightrightarrows}} & \Pi_{K} \arrow[dl, "p"] \\
& \Pi_{\mathbb{Q}} &
\end{tikzcd}

L'hypothèse sur \(f, g\) signifie aussi, en termes d'une clôture alg. choisie \(\overline{K'}\) de \(K'\) qui ne peut ⌜donnant via \(f, g\) deux clôtures alg. de \(K\), \(\overline{K}\) et \(\widetilde{K}\)⌝, que les deux hom. d'exten[…] que l'on peut trouver un isomorphisme entre celles-ci (permettant d'identifier \(\mathcal{E}_{\overline{K}/K}\) et \(\mathcal{E}_{\widetilde{K}/K}\)), i.e. induisant « l'identité » sur les clôtures alg. \(\overline{K}\) et \(\widetilde{K}\) de […], identifiées à celles dans \(\overline{K'}\) […] de telle [sorte] que les deux hom. \[f^{*}, g^{*} : \mathcal{E}_{\overline{K'}/K'} \rightrightarrows \mathcal{E}_{\overline{K}/K}\] soient égaux, Il s'agit donc des […] Ceci s'exprime ⌜plus⌝ […] en termes d'une clôture alg. \(\overline{\mathbb{Q}}\) fixée de \(\mathbb{Q}\), en disant que les deux hom. \(f^{*}, g^{*} : \pi_{K'} \rightrightarrows \pi_{K}\) de groupes profinis extérieurs (avec opérateurs \(\Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\)) sont égaux.

On se ramène au cas \(K = K'\) — c'est immédiat en faisant le changement de base […] catégories finies sur \(\overline{\mathbb{Q}}\) […] de \(\mathbb{Q}\). note marginale oblique en bas de la marge gauche ; en partie biffée.

22pagination de l'auteur : 11.

Écrivons comme d'habitude \(K = \varinjlim A_i\), donc \(K\otimes\) \(\eta = \operatorname{Spec}(K) = \varprojlim U_i\), on a (en termes d'un pt géom. quelconque \(\overline{\eta}\) de \(\operatorname{Spec} K\) i.e. en termes d'un \(\overline{K}\)) \[\pi_K = \varprojlim_i \pi_1(\overline{U}_i, \overline{\eta}), \qquad \text{où } \overline{U}_i = U_i \otimes_{k} \overline{\mathbb{Q}}\] l'indice du produit tensoriel est un \(K\) ou un \(k\) ; on lit \(k\), le corps de base, ici \(\mathbb{Q}\). et il suffit de voir que \(\forall i\), \(\underbrace{f \mid A_i}_{f_i} = \underbrace{g \mid A_i}_{g_i}\), moyennant le fait que \[\pi_1(f_i^{*}) = \pi_1(g_i^{*}) : \pi_{K'} \longrightarrow \pi_1(\overline{U}_i)\] (comme hom. de groupes extérieurs). Or pour \(i\) fixé, on a \(K' = \varinjlim A'_j\), où les \(A'_j\) contiennent \(f_i(A_i)\) et \(g_i(A_i)\), donc \[\pi_{K'} = \varprojlim_j \pi_1(\overline{V}_j, \overline{\eta}'), \qquad \text{avec } \overline{V}_j = \operatorname{Spec}(A_j) \otimes_{k} \overline{\mathbb{Q}} .\] Notons (prenant les \(V_j\) normaux ⌜réguliers⌝) que les hom. de transition dans le syst. projectif des \(\pi_1(\overline{V}_j, \overline{\eta}')\) sont surjectifs, donc \(\pi_{K'} \to \pi_1(\overline{V}_j, \overline{\eta}')\) est surjectif, ce qui implique que l'égalité de \(f^{*}\) et \(g^{*} : \pi_{K'} \rightrightarrows \pi_1(\overline{U}_i)\) (comme hom. extérieurs) implique celle de \(\pi_1(\overline{V}_j) \to \pi_1(\overline{U}_i)\). Donc l'égalité \(f_i = g_i\) (d'où \(f = g\)) sera conséquence du résultat plus général,

23la page précédente s'achève sur « sera conséquence du résultat plus général, » ; ce résultat n'est pas énoncé en tête de cette page-ci, qui s'ouvre sur un corollaire.

Corollaire « purement géométrique » :

Corollaire 1. Soient \(X, Y\) des schémas ⌜de t.f. réduits […]⌝ (sur un corps alg. clos \(k\)), et \(f, g : X \to Y\) deux morphismes, on suppose que \(\pi_1(f), \pi_1(g) : \pi_1(X) \rightrightarrows \pi_1(Y)\) sont égaux (en tant qu'hom. extérieurs). Alors

a) Si \(Y\) est une extension d'une ⌜se plonge dans un \(i : Y \to G\) (un groupe algébrique commutatif \(G\))⌝ […] extension d'une extension d'une VA par un tore, il existe un \(a \in Y\) (unique) tel que \(g(x) = f(x) + a\) \(\forall x \in X(k)\), i.e. \((i \circ g) = \tau_a \circ (i \circ f)\) (\(\tau_a\) la translation par \(a\)).

En fait, dans a) il suffit de supposer que \(H_1(f, \mathbb{Z}_\ell) = H_1(g, \mathbb{Z}_\ell)\) pour un \(\ell\) premier à la car.

b) Si \(Y\) est une variété élémentaire d'Artin […] […] fibrations successives des courbes anabéliennes, ⌜(et \(X\) normal ⌜réduit⌝) et si \(f\) ou \(g\) est dominant)⌝ alors \(f = g\).

Un cas où […] premier […] structure des \(\pi_1\) […] l'unicité […] irréductibilité […] note marginale oblique dans la marge gauche, en grande partie illisible, rattachée par un trait à l'énoncé b).

Démonstration. a) L'unicité de \(a\) […] est claire — et ⌜l'existence⌝ est revient, (en choisissant ⌜remplaçant \(Y\) par \(G\) et,⌝ une « origine » \(a \in X(k)\), et en se ramenant au cas \(f(a) = g(a) = 0\), à prouver qu'alors \(f = g\). D'ailleurs l'hyp. \(\pi_1(f) = \pi_1(g)\) peut être affaiblie en l'hyp. que \(f_1\) […] ⌜\(\ell\) premier à la car.⌝ \(H_1(f, \mathbb{Z}_\ell) = H_1(g, \mathbb{Z}_\ell)\), — i.e. il suffit

24pagination de l'auteur : 12.

d'examiner les actions de \(\pi_1(f), \pi_1(g)\) sur les groupes abélianisés des \(\pi_1\), et même sur leurs composantes \(\ell\)-adiques. Prenant alors la jacobienne généralisée du type « ext. d'une V.A. par un tore » de de \(X\), on sait que

1°) les morphismes \(f : X \to G\) tels que \(f(a) = 0\) se factorisent de façon unique par \[X \xrightarrow{\ \mathrm{can}\ } J \xrightarrow{\ \varphi\ } G,\] avec \(\varphi\) un hom. de groupes algébriques

2°) \(\varphi\) est Un tel homomorphisme est connu quand on connaît son action sur les \(H_1(\ , \mathbb{Z}_\ell)\) (ce qui revient à le connaître sur les points d'ordre \(\ell^\nu\), quel que soit \(\nu\) — or ceux-ci sont denses …)

3°) \(H_1(X, \mathbb{Z}_\ell) \simeq H_1(J, \mathbb{Z}_\ell)\)

De ceci, […] on conclut (par 3°), que \(H_1(f) = H_1(g)\) implique (vu \(f = \varphi \circ \mathrm{can}\), \(g = \psi \circ \mathrm{can}\)) \(H_1(\varphi) = H_1(\psi)\), donc par 2°) que \(\varphi = \psi\), donc \(f = g\), cqfd.

b) Notons que l'on ne peut conclure de l'hyp. ⌜dans a)⌝ que \(f = g\), puisque pour \(X = Y = G\), les translations \(\tau_a\) induisent l'identité sur \(\pi_1(G)\) (du moins […] en car. \(0\) ou si \(G\) est une VA), sans être l'identité.

b) On va pourtant prouver l'égalité,

25sous l'hypothèse anabélienne faite, et celle de dominance. (Cette dernière n'est pas superflue, comme on voit en prenant \(Y = G \times Z\), où \(G\) […] \(Y\) un groupe elliptique et \(Z\) un sous-groupe fini \(\neq 1\), et pour \(f, g\) ⌜deux applications constantes de \(X\) dans \(Y\) !⌝)

Tout d'abord, on vérifie qu'une variété élémentaire d'Artin se plonge ⌜par un \(i : Y \to G\)⌝ ⌜bien sûr⌝ dans une ext. d'une V.A. par un tore — donc on aura \((i \circ g) = \tau_u (i \circ f)\). Donc ⌜D'autre part⌝, Quitte à remplacer \(f, g\) étant dominants, il existe une partie ouverte ⌜non vide⌝ \(V \subset Y\) contenue dans \(\operatorname{Im} f\), et […] \(V + u \subset Y\). Soit \(U \subset X\) un ouvert ⌜dense⌝ tel que \(f(U) \subset V\) \(g(U) \subset V\), donc […] quitte à remplacer \(X\) par \(U\), on […] se ramène au cas où \(f\) et \(g\) envoie \(X\) dans un ouvert \(V\) de \(Y\) tel que \(V + u \subset Y\), où \(g \circ i = \tau_u (i \circ f)\). On […] ⌜voit⌝ que \(\pi_1(f)\) est un composé (où \(f' : X \to U\) est induit par \(f\) et \(j : U \to Y\) est l'inclusion) \[\pi_1(X) \xrightarrow{\ \pi_1(f')\ } \pi_1(U) \xrightarrow{\ \pi_1(j)\ } \pi_1(Y)\] tandis que \(\pi_1(g)\) est le composé \[\pi_1(X) \xrightarrow{\ \pi_1(f')\ } \pi_1(U) \xrightarrow{\ \pi_1(j')\ } \pi_1(Y)\] où \(j' : U \to Y\) est induit par \(\tau_u\). dans ces dernières lignes l'ouvert de \(Y\), d'abord noté \(V\), est noté \(U\) comme l'ouvert de \(X\) ; on transcrit tel quel.

26pagination de l'auteur : 13.

L'hyp. que \(\pi_1(f)\) et \(= \pi_1(g)\) signifie donc qu'il existe \(\alpha \in \pi_1(Y)\), tel que \[\pi_1(j')(\gamma) = \operatorname{int}(\alpha)\, \pi_1(j)(\gamma)\] pour tt \(\gamma \in \operatorname{Im}\bigl(\pi_1(X) \xrightarrow{\pi_1(f)} \pi_1(U)\bigr)\). Or cette image est un sous-groupe ouvert de \(\pi_1(U)\) (fait vrai pour un morphisme dominant !). D'ailleurs Donc on est ramené à ceci : Soit \(U\) ouvert ⌜\(\neq \emptyset\)⌝ de \(Y\), \(u \in G\), tels que \(\tau_u U \subset Y\) [et tels que (désignant par \(j, j'\) les applications ⌜morphismes⌝ \(y \mapsto y\) et \(y \mapsto y + u\) de \(U\) dans \(Y\)) \(\pi_1(j)\) et \(\pi_1(j')\) coïncident extérieurement sur un sous-groupe ouvert de \(\pi_1(U)\)] — alors \(j = j'\) i.e. \(u = 0\).

NB ceci n'est pas plus fort que le corollaire, comme on voit en prenant pour \(X\) le rev. ét. fini de \(U\) correspondant à un sous-groupe ouvert donné de \(\pi_1(U)\) […]

Finalement, je n'arrive pas à le prouver par voie géométrique — pour ceci je me rabats sur une méthode arithmétique, ce qui fournit d'ailleurs affaibli généralisé le th. géométrique ; on notera que […] remplacer \(X\) par […] ouvert non vide convenable […] […] par les […] […] […] que \(X\) est une variété Si : cf. plus bas ! le passage biffé (cadre et traits obliques) se poursuit en tête de la page suivante ; la note marginale « Si : cf. plus bas ! » est écrite contre lui.

27élémentaire d'Artin ⌜anabélienne⌝ — donc sans \(\pi_1\) […] — à centre trivial. Ceci posé fin du passage biffé commencé à la page précédente.

Corollaire 2. La conclusion ⌜\(f = g\)⌝ du corollaire précédent b), est reste valable si au lieu de supposer \(f\) ou \(g\) dominant on suppose ⌜que \(k\) est de car. \(0\),⌝ \(X\) normal, et satisfaite dans l'une des hyp. suivantes :

c) l'image de \(\pi_1(f)\) est un sous-groupe ouvert de \(\pi_1(Y)\), \(Y\) est une variété élémentaire d'Artin anabélienne

d) l'image ⌜de \(\pi_1(X)\)⌝ par \(\pi_1(f)\) de tout sous-groupe ouvert de \(\pi_1(X)\) a un centralisateur dans \(\pi_1(Y)\) réduit à \((1)\), et \(X\) ⌜et \(Y\)⌝ se plonge dans un groupe alg. extension d'une VA par un tore.

e) Le centre de \(\pi_1(X)\), et les centralisateurs de l'image dans \(\pi_1(Y)\), sont réduits à \(1\). […] l'alinéa e) est annulé par une série de boucles ; une note marginale encadrée, biffée, s'y rattache.

Comme les centralisateurs d'un sous-groupe ouvert de \(\pi_1(Y)\) (\(\pi_1(Y)\) étant ext. successive de groupes profinis libres anabéliens) est réduit à \((1)\), comme on a vu\({}^{*}\) plus haut, le cas c) est un cas particulier de d), des variétés \(X\) […] D'autre part, — mais d) se ramène à e), en remplaçant \(X\) par un ouvert d'Artin (dans le cas d), quitte à remplacer \(X\) par un ouvert d'Artin (la normalité assurant que \(\pi_1(U) \to \pi_1(X)\) surj.))

\({}^{*}\) il faut quand même traiter à part le cas des \(\pi_1\) d'une courbe complète de genre \(g \geq 2\), et vérifier que son \(\pi_1\) est à centre trivial. […] d'Artin […] de borner […] dans le cas des fibrations successives […]

28OPS de plus que \(\pi_1(X)\) a un centre trivial. En car. \(p > 0\), il suffira de travailler avec les groupes fondamentaux premiers à \(p\) — […] sur les localisés en \(\ell \neq p\) des groupes fondamentaux. ces lignes, en tête de page, sont biffées par des traits obliques et un trait horizontal ; la pagination de l'auteur, 14, est écrite au-dessous d'elles.

La situation \(X, Y, f, g\) provient, par extension du corps de base, d'une situation analogue sur un corps \(K\) ⌜extension⌝ (de type fini de de \(\mathbb{Q}\)). Choisissons une ⌜Soit \(\overline{K}\) la⌝ clôture algébrique \(\overline{\mathbb{Q}}\) de \(K\) dans \(k\), […] et \(\overline{X}, \overline{Y}, \overline{f}, \overline{g}\) sur déduits de ⌜\(X, Y,\)⌝ \(f, g\) par extension du corps de base de \(K\) à \(\overline{K}\). On a donc \(\pi_1(\overline{f}), \pi_1(\overline{g})\) satisfaisant la condition d) et de plus \(\pi_1(\overline{X})\) a centre trivial.

Mais nos hypothèses impliquent que les extensions \(\mathcal{E}_{X/K}\) ⌜\(= \pi_1(X)\)⌝, \(\mathcal{E}_{Y/K}\) ⌜\(= \pi_1(Y)\)⌝ ⌜de⌝ \(\mathcal{E}_{\overline{K}/K}\) par \(\pi_1(\overline{X})\), resp. \(\pi_1(\overline{Y})\), ainsi que les hom. \(\pi_1(f), \pi_1(g)\) induits, sont reconstruits à partir ⌜de \(\pi_1(\overline{X}), \pi_1(\overline{Y})\), de⌝ \(\pi_1(\overline{f}), \pi_1(\overline{g})\) et de l'action extérieure de \(\mathcal{E}_{\overline{K}/K}\) sur ces groupes. On va montrer maintenant le

29Corollaire 3. Soient \(f, g\) \(X, Y\) deux schémas de type fini sur un corps \(K\) ext. de type fini de \(\mathbb{Q}\), ⌜on suppose⌝ tels que \(Y\) se plonge dans un VA extension d'une V.A. par un tore, \(X\) réduit, ⌜\(X, Y\) géom. connexes.⌝ d'où Soit \(\overline{K}\) une clôture algébrique de \(K\), d'où des extensions « extérieures » \(\mathcal{E}_{X/K}\), \(\mathcal{E}_{Y/K}\) ⌜de \(\mathcal{E}_{\overline{K}/K}\)⌝ \(= \operatorname{Gal}(\overline{K}/K)\) par \(\pi_1(\overline{X}), \pi_1(\overline{Y})\), et pour tt morphisme \(f : X \to Y\), un morphisme \(\pi_1(f)\) de \(\mathcal{E}_{X/K}\) dans dans \(\mathcal{E}_{Y/K}\). Soient \(f, g : X \rightrightarrows Y\) tels que \(\pi_1(f) = \pi_1(g)\) — i.e. \(\pi_1(f)\) et \(\pi_1(g)\) soient extérieurement conjugués, par un élément de \(\pi_1(Y)\) — alors \(f = g\).

En fait, il suffit […] que les hom. ⌜donc d'extensions tout court !)⌝ d'extérieures (extérieures, par \(\pi_1(\overline{X})_{\mathrm{ab}}\) et par \(\pi_1(\overline{Y})_{\mathrm{ab}}\) soient égaux, pour pouvoir conclure \(f = g\). (C'est à dire, une fois que, par des hypothèses ⌜géométriques⌝ anabéliennes, des hypothèses purement géométriques sur les actions de \(\pi_1(\overline{f}), \pi_1(\overline{g})\) sont par de i.e. […] \(H_1(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell)\) […] \(H_1(f, \mathbb{Z}_\ell)\)

30pagination de l'auteur : 15.

ramenées à des hypothèses diverses ⌜de nature⌝ arithmético-géométrique, on peut laisser tomber les aspects anabéliens, pour jouer à fond sur les aspects abéliens — mais dans un contexte arithmétique. Au lieu d'avoir ⌜et d'utiliser⌝ […], comme dans le cor. 1, a), l'hypothèse que \(H_1(\overline{f}) = H_1(\overline{g}) ; H_1(\overline{X}) \to H_1(\overline{Y})\), on a une hypothèse plus fine, sur l'égalité de deux homomorphismes d'extensions de \(\mathcal{E}_{\overline{K}/K}\) par \(H_1(\overline{X}, \widehat{\mathbb{Z}}_\ell)\) resp. \(H_1(\overline{Y}, \widehat{\mathbb{Z}}_\ell)\) \(\forall \ell \in \mathbb{P}\).) les coefficients sont écrits \(\mathbb{Z}\) coiffé d'un chapeau, avec un indice qui paraît être \(\ell\).

Démonstration du corollaire 3.

Il suffit de voir que \(f(x) = g(x)\) pour tt \(x \in X(K)\) (car, quitte à faire une extension finie […] du corps de base, cela reste vrai pour \(x \in X(\overline{K})\)). puis […] extension des corps

Or un point définit une classe de d'autre part ⌜conjugaison de⌝ scindages de \(\mathcal{E}_{X/K}\) sur \(\mathcal{E}_{\overline{K}/K}\), et a fortiori de l'extension « abélianisée » associée — l'hypothèse implique que \(f(x)\) et \(g(x)\) définissent la même classe de

31conjugaison de scindages. Donc il suffit maintenant de prouver le

Théorème 3. Soit \(X\) un schéma de type fini sur un corps \(K\), extension de type fini de \(\mathbb{Q}\), on suppose que \(X\) est connexe lisse ⌜géom. connexe, et⌝ se plonge dans une extension d'une VA par un tore (p. ex. \(X\) est une variété élémentaire d'Artin, à fibres types ⌜génériques⌝ distinctes de la droite projective et de la droite affine). Considérons ⌜une⌝ l'application clôture alg. \(\overline{K}/K\), et l'extension extérieure ⌜correspondante⌝ \(\mathcal{E}_{X/K}\) ⌜de⌝ \(\mathcal{E}_{\overline{K}/K} = \operatorname{Gal}(\overline{K}/K)\) par \(\pi_1(\overline{X})\) (\(\overline{X} = X \otimes_K \overline{K}\)), et l'extension \(\widetilde{\mathcal{E}}_{X/K}\) de \(\mathcal{E}_{\overline{K}/K}\) par \(\pi_1(\overline{X})_{\mathrm{ab}}\) déduite. Considérons les applications canoniques

(*) \(X(K) \longrightarrow\) classes de ⌜\(\pi(\overline{X})\)-⌝conjugaison de scindages de \(\mathcal{E}_{X/K}\) sur \(\mathcal{E}_{\overline{K}/K}\)

(**) \(X(K) \longrightarrow\) classes de conjugaison de scindages de l'ext. \(\widetilde{\mathcal{E}}_{X/K}\) de \(\mathcal{E}_{\overline{K}/K}\) par \(H_1(\overline{X})\).

entre les deux lignes, une flèche pointillée verticale descend de la première vers la seconde.

il suffirait \(K\) de type fini sur son corps premier, pas néc. de car. \(0\) — mais sous cette forme est pas très utilisable en car. \(p > 0\), cf. […]

32pagination de l'auteur : 16.

Ces applications sont injectives.

Démonstration. Il suffit de le prouver pour la seconde application, et on est ramené au cas où \(X\) est ⌜lui-même⌝ un groupe alg. ⌜\(G\)⌝, ext. d'une VA par un tore. Alors l'application est un hom. de groupes \[(16) \qquad \underset{H^0(K, G)}{G(K)} \longrightarrow H^1(K, H_1(\overline{G}))\] obtenu ainsi. On considère pour tt entier \(n\) la suite exacte kummérienne \[0 \to {}_nG \to G \xrightarrow{\ n\,\mathrm{id}_G\ } G \to 1\] d'où suite exacte de cohomologie, qui donne \[0 \to H^0(K, G)_n \to H^1(K, {}_nG) \to {}_nH^1(K, G) \to 0\] et passant à la limite, on trouve \[0 \to \varprojlim_n H^0(K, G)_n \to \varprojlim_n H^1(K, {}_nG) \to \varprojlim_n {}_nH^1(K, G)\] Le composé de (16) avec l'hom. canonique \[H^1(K, H_1(\overline{G})) \to \varprojlim_n H^1(K, {}_nG)\] compte tenu de \[H_1(\overline{G}) = \varprojlim_n {}_nG\] montre que l'homomorphisme induit par \[H^0(K) \longrightarrow \varprojlim H^0(K, G)_n \hookrightarrow \varprojlim H^1(K, {}_nG)\]

33dont le noyau ⌜est \(\bigcap_n nH^0(K, G)\), donc⌝ est formé des éléments de \(G(K)\) infiniment divisibles dans \(G\). Or ici \(K\) étant un groupe corps ⌜absolument⌝ de type fini, le th. de Mordell-Weil nous assure que \(G(K)\) est un groupe ⌜\(\mathbb{Z}\)-module de⌝ type fini — donc \(G(K) \to \varprojlim G(K)_n\) est injectif. Donc \(G(K) \to \varprojlim H^1(K, {}_nG)\) est injectif, et a fortiori l'hom (16), cqfd.

Remarque. Il ne suffisait pas dans cet argument de prendre, pour un \(\ell\), l'extension de \(\mathcal{E}_{\overline{K}/K}\) par \(H_1(X, \mathbb{Z}_\ell)\) — il faut utiliser tous les \(\ell\) — sinon, […] \(p\), alors la translation par un point d'ordre \(p\) donne un contre-exemple. […] Le résultat revient à ceci : Pour tt \(x \in G(K)\), on regarde le torseur sur \(T_\infty(G) = \varprojlim {}_nG\), image sur \(K\), de groupe

34pagination de l'auteur : 17.

inverse de \(x\) dans le « rev. universel abélien » \(\widetilde{G}\) de \(G\), construit comme \(\varprojlim\) des revêtements \(G(n) \simeq G\) de \(G\), donnés par \(n\,\mathrm{id}\). L'énoncé dit que si ce torseur est trivial — i.e. si \(\forall n\), \(x\) se remonte — alors \(x = 0\). C'est vrai en car. \(p > 0\) également — mais dans ce cas les \({}_nG\) ne sont pas étales. Si on suppose […] qu'on remplace les \({}_pG\) par leurs quotients […] pour leurs parties radicielles — on travaille dans la cat. des « quasi-variétés » où on ⌜inverse⌝ les […] ⌜morphismes⌝ finis radiciels surjectifs, identifie […] il […] avec la partie première […] \(H_1(\overline{G})\), qui dit l'existence ⌜des relèvements⌝ […] radiciels \(/K\) implique déjà \(x = 0\). ([…] ⌜Bien sûr \(x\) est de \(p\)-torsion,⌝ […] \(px = 0\) ….) Mais ramené au cas d'une VA, […] la validité sous cette forme du th. 3 en car. \(p > 0\) me fait une belle jambe — en car. \(p > 0\) […], pour être à l'aise, il faudrait pouvoir le prouver pour les contextes des groupes fondamentaux « premiers à \(p\) ». Or déjà dans le cas d'une courbe elliptique \(Y\) ⌜« contextes »⌝ […] (en se bornant aux […] des pts) […] l'injectivité de \((**)\) est fausse. Il

O.K. […] remplaçant […] \(K\) […] radiciels […] deux notes marginales obliques, l'une biffée en tête de la marge gauche, l'autre commençant par « O.K. » vers le bas, sont pour l'essentiel illisibles.

35est cependant possible que l'injectivité de \((*)\) reste valable sans hyp. de caractéristique — à examiner de plus près…

Revenant aux conditions du cor. 1, b), en car. \(p > 0\), et travaillant avec les groupes fondamentaux premiers à \(p\), on trouve que le \(u\) dans 1°) est un point ⌜de \(G(K)\)⌝ d'ordre une puissance de \(p\). Si \(G\) est un tore […] pour celui que les « fibres » dans la variété élémentaire \(Y\) soient de genre \(0\)) on en conclut encore que \(u = 0\), i.e. \(f = g\). Dans le cas général, la démonstration arithmétique prouve ⌜(au moins)⌝ ceci : si \(x \in X\), ⌜d'où⌝ \(f(x) = P\), \(g(x) = Q\), on voit que \(Q - P\) est un élément de \(p\)-torsion de la jacobienne génér. \(G_Y\) de \(Y\), ⌜de degré premier à \(p\),⌝ […] pour tt rev. ⌜étale⌝ galoisien fini \(Y'\) de \(X\), et il existe pour un \(P'\) au-dessus de \(P\), il existe \(Q'\) au-dessus de \(Q\) tel que \(Q' - P'\) soit un élément de \(p\)-torsion de \(G_{Y'}\), […] ⌜[…] divisible par les⌝ comme […] relèvements les isogénies \(n_G\) (\(n\) premier à \(G\)), il existe un \(Q_n \in G\) tel que \(n \cdot Q_n = Q\), et que \(Q_n\) Il se pourrait qu'on puisse en déduire \(P = Q\).

Certainement le th. 2 reste vrai sur un corps de base de car. \(p > 0\), en travaillant avec les groupes fondamentaux premiers à \(p\) — car dans la réduction à un énoncé géométrique […] la suite génér. […] peut supposer que \(Y\) est un produit de courbes de genre zéro. Dans ce cas d'ailleurs, on est ramené au cas où \(Y\) est une telle courbe ….

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Complément. Retour sur une démonstration géométrique du th. 2, cor. 1 b). OPS que \(G\) est la jacobienne généralisée de \(Y\), et il suffit de montrer le

Lemme. Soit \(Y\) une variété élémentaire d'Artin anabélienne (sur \(k\) alg. clos), \(Y \hookrightarrow J^1_Y\) son plongement dans sa jacobienne généralisée, \(u \in J^0_Y(k)\) et \(U\) un ouvert non vide de \(Y\), tels que \(U + u \subset Y\). Alors \(u = 1\), ⌜en d'autres termes : l'application \(x \mapsto x + u\) de \(U\) dans \(Y\) est l'identité.⌝ l'énoncé du lemme est marqué d'un double trait dans la marge.

Par dévissage, on est ramené au cas où \(Y\) est une courbe. Supposons-la d'abord complète, de sorte que \(U + u \subset Y\) implique \(Y + u \subset Y\) — alors le résultat est bien connu : c'est […] p. ex. de la formule des pts fixes, qui implique que ⌜si […] n'est l'identité,⌝ \(\tau_u \mid Y\), a \(2 - 2g\) pts fixes, ce qui (comme \(g \geq 2\) en vertu de l'hypothèse anabélienne) est absurde ⌜au moins si \(g \neq 1\),⌝.

Si \(g \geq 2\), parfait : remplaçant \(Y\) par \(\hat{Y}\). OPS \(Y\) complète. Si \(g = 1\) ou \(0\), cf. arguments cohomologiques plus bas

Cela signifie ⌜implique⌝ donc, dans le cas général, que l'image de \(u\) dans la partie abélienne de \(J^0_Y(k)\) est nulle. [[Or d'après la structure connue de \(J^0_Y\) comme extension de \(J^0_{\hat{Y}}\) par un tore \(\mathbb{G}_m^I/\mathbb{G}_m\) (où \(I = \hat{Y} \setminus Y\)), \(u\) s'identifie à un élément de \((\mathbb{G}_m^I/\mathbb{G}_m)(k)\), donc est défini par \((\lambda_i)_{i \in I}\), les \(\lambda_i \in k^{*}\), qui servent à construire un fibré inversible on peut voir ici : le passage ouvert par « [[ » est barré d'un trait oblique ; le biffage se poursuit page suivante.

37sur la courbe « pincée » \(Y' = \hat{Y}/I\) (déduite de \(\hat{Y}\) en contractant \(I\) en un pt) en identifiant les fibres ⌜réduites en les \(y_i \in I\)⌝ du faisceau trivial sur \(\hat{Y}\), […] à \(k\) par les \(\lambda_i\) — entre elles. Alors \(u + x\) (pour \(x \in Y\)) est représenté par le faisceau \(\mathcal{O}_{\hat{Y}}[x]\) (associé au diviseur \(x\)), ⌜de \(J^1_{\hat{Y}}\)⌝ muni de ces mêmes identifications.] fin du passage biffé (trait oblique) ouvert page précédente ; il est encadré d'un trait vertical et fermé par « ] ».

Pour que \(x + u\) […] soit de la forme \(y\) (\(y \in Y\)) il faut donc que \(u + x\) et \(y\) aient même image dans \(J^1_{\hat{Y}}\) ⌜et comme l'image de \(u\) dans \(J^0_{\hat{Y}}\) est nulle⌝, ce que (pour un genre \(g \geq 1\)) (pour un \(g \geq 1\)) implique déjà \(x = y\), donc \(u = 0\). Si \(g = 0\), ⌜[…]⌝ donc \(\nu = \operatorname{card} I \geq 3\) en vertu de l'hyp. anabélienne, on remplace prend une partie \(J\) de \(I\) à deux éléments, et on remplace \(\hat{Y}\) par \(\hat{Y}_J\)] pour conclure encore à \(x = y\) donc \(u = 0\).

Conclusion : on saurait […] que l'image de \(u\) dans \(J^0_{\hat{Y}}\) est nulle !

[En fait, on a prouvé que si \(u \in \operatorname{Ker}(J^0_Y \to J^0_{\hat{Y}})\), alors \((Y + u) \cap Y = \emptyset\) — et par ailleurs, s'il existe un ouvert non vide \(U\) de \(Y\) tel que \(U + u \subset Y\), alors \(u\) est dans le Ker précédent […] \(\neq 1\)). Mais ces arguments ne marchent que pour \(g \neq 1\).] Il vaut mieux, dans le cas général, présenter les choses sous forme cohomologique.

\(g \geq 2\) ?

Considérons les deux applications ⌜morphismes⌝ \(U \rightrightarrows Y\), inclusion

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et \(j : U \to Y\) induit par \(\tau_u\), je dis que \(H_1(i) = H_1(j)\), ou ce qui revient au même, puisque \(Y \xrightarrow{\alpha} J^1_Y\) induit un iso. \(H_1(\alpha) : H_1(Y) \to H_1(J^1_Y)\), que \(H_1(\alpha) H_1(i) = H_1(\alpha) H_1(j)\), ou encore \(H_1(\alpha i) = H_1(\alpha j)\). Or on a \(\alpha j = \tau_u (\alpha i)\) donc il suffit de \[H_1(\alpha j) = H_1(\tau_u)\, H_1(\alpha i)\] et on sait que \(H_1(\tau_u) = \mathrm{id}\), OK. Cela étant, soit \(I = \hat{Y} \setminus Y\), \(J = \hat{Y} \setminus U\), de telle façon que \(J \supset I\), et soit \(f : \hat{Y} \simeq \hat{Y}\) déduit de \(j : U \hookrightarrow Y\) en passant aux complétés, donc on a \(f(U) = \hat{Y} - f(J) \subset Y = \hat{Y} - I\), implique que \(f(J) \supset I\) i.e. \(J \supset f^{-1}(I)\). On voit que le noyau de \(H_1(U) \to H_1(Y)\), […] […] en \(J \setminus I\), […] ⌜[…]⌝ \(L_j\) avec \(j \in J \setminus I\), et pour le noyau analogue de \(H_1(U) \to H_1(Y)\) induit par \(j\) est le […] des \(L_j\) avec \(j \in J \setminus f(I)\), d'ailleurs les \(L_j\) (\(j \in J\)) dans \(H_1(U)\) sont \(\simeq \widehat{\mathbb{Z}}\) (resp. \(\widehat{\mathbb{Z}}'\) en car. \(p > 0\) …) et le sous-\(\widehat{\mathbb{Z}}\)-module engendré est \[\widehat{\mathbb{Z}}^J / \widehat{\mathbb{Z}} \ (\text{diagonale})\] , donc si \(\operatorname{card} J \geq 3\), les sous-modules engendrés par deux parties ⌜\(I, I'\)⌝ de \(J\) distinctes de \(J\), ne peuvent être égaux que si \(I = I'\), ou \(I\) et \(I'\) de cardinal \(\mu - 1\) (où \(\mu = \operatorname{card} J\)). Mais ici, quitte à rapetisser \(U\), on peut supposer

39que \(\operatorname{card} I < \operatorname{card} J - 1\) i.e. \(\operatorname{card}(J \setminus I) = \operatorname{card}(Y \setminus U) > 1\). On est donc dans l'un des cas suivants

a) \(f^{-1}(I) = I\) i.e. \(I\) stable par \(f\).

b) Donc on voit que l'on doit avoir \(f^{-1}(I) = I\) i.e. \(I\) stable par \(f\), ce qui montre que \(\tau_u\) induit en fait un automorphisme de \(Y\). ⌜Remplaçant⌝ […]

\(Y\) est une courbe elliptique dans ces arguments \(Y = \hat{Y} \setminus I\) par \(Y' = Y \cup i = \hat{Y} \setminus I'\) (\(I' = I - \{i\}\)), on voit de même que \(f\) induit un automorphisme de \(Y'\) (cet argument ⌜montre⌝ que \(Y'\) s'envoie dans sa jacobienne généralisée ce qui […] anabélienne sur \(Y\)) […] le cas où \(Y\) est de type \((0, \nu)\) ⌜exclu par l'hyp. anabélienne⌝ […] donc \(f\) induit l'identité sur \(I\). Si le genre est \(0\), on en conclut (puisque \(\nu \geq 3\)) que \(f\) est l'identité ; Reste le Dans le cas du genre \(1\), on en conclut maintenant que l'image de \(u\) dans \(J^0_{\hat{Y}}\) est égale à \(1\), et on termine comme précédemment.

Ouf !

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2. La question de pleine fidélité.

Soient \(K, K'\) deux extensions de type fini de \(\mathbb{Q}\) — est-il vrai que tout \(\Pi_{\mathbb{Q}}\)-homomorphisme \(\Pi_{K'} \to \Pi_{K}\) provient d'un homomorphisme de corps \(K' \to K\) ? les indices de \(\Pi_{K'} \to \Pi_K\) se lisent mal ; plus bas la question porte sur les hom. de \(\pi_{K'}\) dans \(\pi_K\) induits par un hom. \(K \hookrightarrow K'\). On est ramené aussitôt au cas où — une clôture algébrique \(\overline{\mathbb{Q}}\) de \(\mathbb{Q}\) étant choisie, d'où un \(\Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\) — \(K\) et \(K'\) ont des sous-corps \(k, k'\) (clôture alg. de \(\mathbb{Q}\) dans \(K\) resp. \(K'\)) isomorphes, avec des iso ⌜plongements⌝ \(k, k' \to \overline{\mathbb{Q}}\) de même image, donc de sorte que \(\mathcal{E}_K\) et \(\mathcal{E}_{K'}\) peuvent être considérées comme des extensions d'un même groupe \(\Gamma = \Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/k}\) par \(\pi_K\) resp. \(\pi_{K'}\). La question est alors si tout hom. de \(\pi_{K'}\) dans \(\pi_K\), qui commute à l'action de \(\Gamma\), est induit par un hom. \(K \hookrightarrow K'\). Pour construire un tel hom., il faudrait donc avoir une idée comment reconstruire \(K, K'\) à partir des extensions \(\mathcal{E}_K, \mathcal{E}_{K'}\), — ou encore à partir la phrase se poursuit au-delà de ce lot.