Fonds Grothendieck, cote n° 149, pages 21–40

le théorème s'appuie sur des notations (\Pi_K, \Pi_{\mathbb{Q}}, \mathcal{E}_{\overline{K}/K}) introduites avant ce lot ; la page précédant la page 11 de l'auteur n'y porte pas de numéro visible.

Théorème 2. Le foncteur K \mapsto \Pi_K/\Pi_{\mathbb{Q}} des catégories des t.f. de \mathbb{Q} vers les groupoïdes profinis sur \Pi_{\mathbb{Q}} est fidèle.

En fait, ce théorème n'est pas spécial à \mathbb{Q} : il s'énoncerait sur un corps de base quelconque k, et fait la diff. bien que l'énoncé fait sur l'énoncé est arith. géométrique (bien que ) mais . note marginale écrite en oblique dans la marge gauche, en partie à une autre encre ; seul le début se lit sûrement.

I.e. si deux hom. K \overset{f,g}{\rightrightarrows} K' définissent des hom. de groupoïdes sur \Pi_{\mathbb{Q}} isomorphes (i.e. \exists isomorphisme de foncteurs \alpha : f^{*} \simeq g^{*}, tel que \forall\, \overline{\eta}' \in \operatorname{Ob} \Pi_{K'}, le carré ~~correspondant~~

\begin{tikzcd} p f^{*}(\overline{\eta}') \arrow[r, "p(\alpha)", "\sim"'] \arrow[d, "\wr"'] & p g^{*}(\overline{\eta}') \arrow[d, "\wr"] \\ p'(\overline{\eta}') \arrow[r, "\sim"'] & p'(\overline{\eta}') \end{tikzcd}

est commutatif) alors f = g.

\begin{tikzcd} \Pi_{K'} \arrow[dr, "p'"'] & \overset{f^{*}}{\underset{g^{*}}{\rightrightarrows}} & \Pi_{K} \arrow[dl, "p"] \\ & \Pi_{\mathbb{Q}} & \end{tikzcd}

L'hypothèse sur f, g signifie aussi, en termes d'une clôture alg. choisie \overline{K'} de K' ~~qui ne peut~~ donnant via f, g deux clôtures alg. de K, \overline{K} et \widetilde{K}, ~~que les deux hom. d'exten~~ que l'on peut trouver un isomorphisme entre celles-ci (permettant d'identifier \mathcal{E}_{\overline{K}/K} et \mathcal{E}_{\widetilde{K}/K}), i.e. induisant « l'identité » sur les clôtures alg. \overline{K} et \widetilde{K} de , identifiées à celles dans \overline{K'} de telle sorte que les deux hom. f^{*}, g^{*} : \mathcal{E}_{\overline{K'}/K'} \rightrightarrows \mathcal{E}_{\overline{K}/K} soient égaux, ~~Il s'agit donc des~~ Ceci s'exprime plus en termes d'une clôture alg. \overline{\mathbb{Q}} fixée de \mathbb{Q}, en disant que les deux hom. f^{*}, g^{*} : \pi_{K'} \rightrightarrows \pi_{K} de groupes profinis extérieurs (avec opérateurs \Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}) sont égaux.

On se ramène au cas K = K' — c'est immédiat en ~~faisant le changement de base~~ catégories finies sur \overline{\mathbb{Q}} de \mathbb{Q}. note marginale oblique en bas de la marge gauche ; en partie biffée.

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Écrivons comme d'habitude K = \varinjlim A_i, donc ~~K\otimes~~ \eta = \operatorname{Spec}(K) = \varprojlim U_i, on a (en termes d'un pt géom. quelconque \overline{\eta} de \operatorname{Spec} K i.e. en termes d'un \overline{K}) \pi_K = \varprojlim_i \pi_1(\overline{U}_i, \overline{\eta}), \qquad \text{où } \overline{U}_i = U_i \otimes_{k} \overline{\mathbb{Q}} l'indice du produit tensoriel est un K ou un k ; on lit k, le corps de base, ici \mathbb{Q}. et il suffit de voir que \forall i, \underbrace{f \mid A_i}_{f_i} = \underbrace{g \mid A_i}_{g_i}, moyennant le fait que \pi_1(f_i^{*}) = \pi_1(g_i^{*}) : \pi_{K'} \longrightarrow \pi_1(\overline{U}_i) (comme hom. de groupes extérieurs). Or pour i fixé, on a K' = \varinjlim A'_j, où les A'_j contiennent f_i(A_i) et g_i(A_i), donc \pi_{K'} = \varprojlim_j \pi_1(\overline{V}_j, \overline{\eta}'), \qquad \text{avec } \overline{V}_j = \operatorname{Spec}(A_j) \otimes_{k} \overline{\mathbb{Q}} . Notons (prenant les V_j ~~normaux~~ réguliers) que les hom. de transition dans le syst. projectif des \pi_1(\overline{V}_j, \overline{\eta}') sont surjectifs, donc \pi_{K'} \to \pi_1(\overline{V}_j, \overline{\eta}') est surjectif, ce qui implique que l'égalité de f^{*} et g^{*} : \pi_{K'} \rightrightarrows \pi_1(\overline{U}_i) (comme hom. extérieurs) implique celle de \pi_1(\overline{V}_j) \to \pi_1(\overline{U}_i). Donc l'égalité f_i = g_i (d'où f = g) sera conséquence du résultat plus général,

la page précédente s'achève sur « sera conséquence du résultat plus général, » ; ce résultat n'est pas énoncé en tête de cette page-ci, qui s'ouvre sur un corollaire.

~~Corollaire~~ « purement géométrique » :

Corollaire 1. Soient X, Y des schémas de t.f. réduits (sur un corps alg. clos k), et f, g : X \to Y deux morphismes, on suppose que \pi_1(f), \pi_1(g) : \pi_1(X) \rightrightarrows \pi_1(Y) sont égaux (en tant qu'hom. extérieurs). Alors

a) Si Y ~~est une extension d'une~~ se plonge dans un i : Y \to G (un groupe algébrique commutatif G) ~~extension d'une~~ extension d'une VA par un tore, il existe un a \in Y (unique) tel que g(x) = f(x) + a \forall x \in X(k), i.e. (i \circ g) = \tau_a \circ (i \circ f) (\tau_a la translation par a).

En fait, dans a) il suffit de supposer que H_1(f, \mathbb{Z}_\ell) = H_1(g, \mathbb{Z}_\ell) pour un \ell premier à la car.

b) Si Y est une variété élémentaire d'Artin fibrations successives des courbes anabéliennes, (et X ~~normal~~ réduit) et si f ou g est dominant) alors f = g.

Un cas où premier structure des \pi_1 l'unicité irréductibilité note marginale oblique dans la marge gauche, en grande partie illisible, rattachée par un trait à l'énoncé b).

Démonstration. a) L'unicité de a est claire — et l'existence ~~est~~ revient, (en choisissant remplaçant Y par G et, une « origine » a \in X(k), et en se ramenant au cas f(a) = g(a) = 0, à prouver qu'alors f = g. D'ailleurs l'hyp. \pi_1(f) = \pi_1(g) peut être affaiblie en l'hyp. que ~~f_1~~ \ell premier à la car. H_1(f, \mathbb{Z}_\ell) = H_1(g, \mathbb{Z}_\ell), — i.e. il suffit

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d'examiner les actions de \pi_1(f), \pi_1(g) sur les groupes abélianisés des \pi_1, et même sur leurs composantes \ell-adiques. Prenant alors la jacobienne généralisée du type « ext. d'une V.A. par un tore » de de X, on sait que

1°) les ~~morphismes~~ f : X \to G tels que f(a) = 0 se factorisent de façon unique par X \xrightarrow{\ \mathrm{can}\ } J \xrightarrow{\ \varphi\ } G, avec \varphi un hom. de groupes algébriques

2°) ~~\varphi est~~ Un tel homomorphisme est connu quand on connaît son action sur les H_1(\ , \mathbb{Z}_\ell) (ce qui revient à le connaître sur les points d'ordre \ell^\nu, quel que soit \nu — or ceux-ci sont denses …)

3°) H_1(X, \mathbb{Z}_\ell) \simeq H_1(J, \mathbb{Z}_\ell)

De ceci, on conclut (par 3°), que H_1(f) = H_1(g) implique (vu f = \varphi \circ \mathrm{can}, g = \psi \circ \mathrm{can}) H_1(\varphi) = H_1(\psi), donc par 2°) que \varphi = \psi, donc f = g, cqfd.

b) Notons que l'on ne peut conclure de l'hyp. dans a) que f = g, puisque pour X = Y = G, les translations \tau_a induisent l'identité sur \pi_1(G) (du moins en car. 0 ou si G est une VA), sans être l'identité.

b) On va pourtant prouver l'égalité,

sous l'hypothèse anabélienne faite, et celle de dominance. (Cette dernière n'est pas superflue, comme on voit en prenant ~~Y = G \times Z, où G Y un groupe elliptique et Z un sous-groupe fini \neq 1, et pour f, g~~ deux applications constantes de X dans Y !)

Tout d'abord, on vérifie qu'une variété élémentaire d'Artin se plonge par un i : Y \to G bien sûr dans une ext. d'une V.A. par un tore — donc on aura (i \circ g) = \tau_u (i \circ f). ~~Donc~~ D'autre part, ~~Quitte à remplacer~~ f, g étant dominants, il existe une partie ouverte non vide V \subset Y contenue dans \operatorname{Im} f, et V + u \subset Y. Soit U \subset X un ouvert dense tel que f(U) \subset V ~~g(U) \subset V~~, ~~donc~~ quitte à remplacer X par U, on se ramène au cas où f ~~et g~~ envoie X dans un ouvert V de Y tel que V + u \subset Y, où g \circ i = \tau_u (i \circ f). On voit que \pi_1(f) est un composé (où f' : X \to U est induit par f et j : U \to Y est l'inclusion) \pi_1(X) \xrightarrow{\ \pi_1(f')\ } \pi_1(U) \xrightarrow{\ \pi_1(j)\ } \pi_1(Y) tandis que \pi_1(g) est le composé \pi_1(X) \xrightarrow{\ \pi_1(f')\ } \pi_1(U) \xrightarrow{\ \pi_1(j')\ } \pi_1(Y) où j' : U \to Y est induit par \tau_u. dans ces dernières lignes l'ouvert de Y, d'abord noté V, est noté U comme l'ouvert de X ; on transcrit tel quel.

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L'hyp. que \pi_1(f) et = \pi_1(g) signifie donc qu'il existe \alpha \in \pi_1(Y), tel que \pi_1(j')(\gamma) = \operatorname{int}(\alpha)\, \pi_1(j)(\gamma) pour tt \gamma \in \operatorname{Im}\bigl(\pi_1(X) \xrightarrow{\pi_1(f)} \pi_1(U)\bigr). Or cette image est un sous-groupe ouvert de \pi_1(U) (fait vrai pour un morphisme dominant !). ~~D'ailleurs~~ Donc on est ramené à ceci : Soit U ouvert \neq \emptyset de Y, u \in G, tels que \tau_u U \subset Y [et tels que (désignant par j, j' les ~~applications~~ morphismes y \mapsto y et y \mapsto y + u de U dans Y) \pi_1(j) et \pi_1(j') coïncident extérieurement sur un sous-groupe ouvert de \pi_1(U)] — alors j = j' i.e. u = 0.

NB ceci n'est pas plus fort que le corollaire, comme on voit en prenant pour X le rev. ét. fini de U correspondant à un sous-groupe ouvert donné de \pi_1(U)

Finalement, je n'arrive pas à le prouver par voie géométrique — pour ceci je me rabats sur une méthode arithmétique, ~~ce qui fournit d'ailleurs ~~affaibli~~ généralisé le th. géométrique ; on notera que remplacer X par ouvert non vide convenable par les que X est une variété~~ Si : cf. plus bas ! le passage biffé (cadre et traits obliques) se poursuit en tête de la page suivante ; la note marginale « Si : cf. plus bas ! » est écrite contre lui.

~~élémentaire d'Artin anabélienne — donc sans \pi_1 — à centre trivial. Ceci posé~~ fin du passage biffé commencé à la page précédente.

Corollaire 2. La conclusion f = g du corollaire précédent b), ~~est~~ reste valable si ~~au lieu de supposer f ou g dominant~~ on suppose que k est de car. 0, X normal, et ~~satisfaite~~ dans l'une des hyp. suivantes :

c) l'image de \pi_1(f) est un sous-groupe ouvert de \pi_1(Y), Y est une variété élémentaire d'Artin anabélienne

d) l'image de \pi_1(X) par \pi_1(f) ~~de tout sous-groupe ouvert de \pi_1(X)~~ a un centralisateur dans \pi_1(Y) réduit à (1), ~~et X~~ et Y se plonge dans un groupe alg. extension d'une VA par un tore.

~~e) Le centre de \pi_1(X), et les centralisateurs de l'image dans \pi_1(Y), sont réduits à 1.~~ l'alinéa e) est annulé par une série de boucles ; une note marginale encadrée, biffée, s'y rattache.

Comme les centralisateurs d'un sous-groupe ouvert de \pi_1(Y) (\pi_1(Y) étant ext. successive de groupes profinis libres anabéliens) est réduit à (1), comme on a vu{}^{*} plus haut, le cas c) est un cas particulier de d), ~~des variétés X~~ ~~D'autre part~~, ~~— mais d) se ramène à e), en remplaçant X par un ouvert d'Artin~~ (dans le cas d), quitte à remplacer X par un ouvert d'Artin (la normalité assurant que \pi_1(U) \to \pi_1(X) surj.))

{}^{*} il faut quand même traiter à part le cas des \pi_1 d'une courbe complète de genre g \geq 2, et vérifier que son \pi_1 est à centre trivial. d'Artin de borner dans le cas des fibrations successives

~~OPS de plus que \pi_1(X) a un centre trivial. En car. p > 0, il suffira de travailler avec les groupes fondamentaux premiers à p — sur les localisés en \ell \neq p des groupes fondamentaux.~~ ces lignes, en tête de page, sont biffées par des traits obliques et un trait horizontal ; la pagination de l'auteur, 14, est écrite au-dessous d'elles.

La situation X, Y, f, g provient, par extension du corps de base, d'une situation analogue sur un corps K extension (de type fini de de \mathbb{Q}). ~~Choisissons une~~ Soit \overline{K} la clôture algébrique ~~\overline{\mathbb{Q}}~~ de K dans k, et \overline{X}, \overline{Y}, \overline{f}, \overline{g} ~~sur~~ déduits de X, Y, f, g par extension du corps de base de K à \overline{K}. On a donc \pi_1(\overline{f}), \pi_1(\overline{g}) satisfaisant la condition d) et de plus \pi_1(\overline{X}) a centre trivial.

Mais nos hypothèses impliquent que les extensions \mathcal{E}_{X/K} = \pi_1(X), \mathcal{E}_{Y/K} = \pi_1(Y) de \mathcal{E}_{\overline{K}/K} par \pi_1(\overline{X}), resp. \pi_1(\overline{Y}), ainsi que les hom. \pi_1(f), \pi_1(g) induits, sont reconstruits à partir de \pi_1(\overline{X}), \pi_1(\overline{Y}), de \pi_1(\overline{f}), \pi_1(\overline{g}) et de l'action extérieure de \mathcal{E}_{\overline{K}/K} sur ces groupes. On va montrer maintenant le

Corollaire 3. Soient ~~f, g~~ X, Y deux schémas de type fini sur un corps K ext. de type fini de \mathbb{Q}, on suppose ~~tels~~ que Y se plonge dans un VA extension d'une V.A. par un tore, X réduit, X, Y géom. connexes. ~~d'où~~ Soit \overline{K} une clôture algébrique de K, d'où des extensions « extérieures » \mathcal{E}_{X/K}, \mathcal{E}_{Y/K} de \mathcal{E}_{\overline{K}/K} = \operatorname{Gal}(\overline{K}/K) par \pi_1(\overline{X}), \pi_1(\overline{Y}), et pour tt morphisme f : X \to Y, un morphisme \pi_1(f) de \mathcal{E}_{X/K} ~~dans~~ dans \mathcal{E}_{Y/K}. Soient f, g : X \rightrightarrows Y tels que \pi_1(f) = \pi_1(g) — i.e. \pi_1(f) et \pi_1(g) soient extérieurement conjugués, par un élément de \pi_1(Y) — alors f = g.

En fait, il suffit que les hom. donc d'extensions tout court !) d'extérieures (extérieures, par \pi_1(\overline{X})_{\mathrm{ab}} et par \pi_1(\overline{Y})_{\mathrm{ab}} soient égaux, pour pouvoir conclure f = g. (C'est à dire, une fois que, par des hypothèses géométriques anabéliennes, des hypothèses purement géométriques sur les actions de \pi_1(\overline{f}), \pi_1(\overline{g}) sont par de i.e. H_1(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell) H_1(f, \mathbb{Z}_\ell)

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ramenées à des hypothèses diverses de nature arithmético-géométrique, on peut laisser tomber les aspects anabéliens, pour jouer à fond sur les aspects abéliens — mais dans un contexte arithmétique. Au lieu d'avoir et d'utiliser , comme dans le cor. 1, a), l'hypothèse que H_1(\overline{f}) = H_1(\overline{g}) ; H_1(\overline{X}) \to H_1(\overline{Y}), on a une hypothèse plus fine, sur l'égalité de deux homomorphismes d'extensions de \mathcal{E}_{\overline{K}/K} par H_1(\overline{X}, \widehat{\mathbb{Z}}_\ell) resp. H_1(\overline{Y}, \widehat{\mathbb{Z}}_\ell) \forall \ell \in \mathbb{P}.) les coefficients sont écrits \mathbb{Z} coiffé d'un chapeau, avec un indice qui paraît être \ell.

Démonstration du corollaire 3.

Il suffit de voir que f(x) = g(x) pour tt x \in X(K) (car, quitte à faire une extension finie du corps de base, cela ~~reste~~ vrai pour x \in X(\overline{K})). ~~puis extension des corps~~

Or un point définit une classe de ~~d'autre part~~ conjugaison de scindages de \mathcal{E}_{X/K} sur \mathcal{E}_{\overline{K}/K}, et a fortiori de l'extension « abélianisée » associée — l'hypothèse implique que f(x) et g(x) définissent la même classe de

conjugaison de scindages. Donc il suffit maintenant de prouver le

Théorème 3. Soit X un schéma de type fini sur un corps K, extension de type fini de \mathbb{Q}, on suppose que X est ~~connexe lisse~~ géom. connexe, et se plonge dans une extension d'une VA par un tore (p. ex. X est une variété élémentaire d'Artin, à fibres types génériques distinctes de la droite projective et de la droite affine). Considérons une ~~l'application~~ clôture alg. \overline{K}/K, et l'extension extérieure correspondante \mathcal{E}_{X/K} de \mathcal{E}_{\overline{K}/K} = \operatorname{Gal}(\overline{K}/K) par \pi_1(\overline{X}) (\overline{X} = X \otimes_K \overline{K}), et l'extension \widetilde{\mathcal{E}}_{X/K} de \mathcal{E}_{\overline{K}/K} par \pi_1(\overline{X})_{\mathrm{ab}} déduite. Considérons les applications canoniques

(*) X(K) \longrightarrow classes de \pi(\overline{X})-conjugaison de scindages de \mathcal{E}_{X/K} sur \mathcal{E}_{\overline{K}/K}

(**) X(K) \longrightarrow classes de conjugaison de scindages de l'ext. \widetilde{\mathcal{E}}_{X/K} de \mathcal{E}_{\overline{K}/K} par H_1(\overline{X}).

entre les deux lignes, une flèche pointillée verticale descend de la première vers la seconde.

il suffirait K de type fini sur son corps premier, pas néc. de car. 0 — mais sous cette forme est pas très utilisable en car. p > 0, cf.

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Ces applications sont injectives.

Démonstration. Il suffit de le prouver pour la seconde application, et on est ramené au cas où X est lui-même un groupe alg. G, ext. d'une VA par un tore. Alors l'application est un hom. de groupes (16) \qquad \underset{H^0(K, G)}{G(K)} \longrightarrow H^1(K, H_1(\overline{G})) obtenu ainsi. On considère pour tt entier n la suite exacte kummérienne 0 \to {}_nG \to G \xrightarrow{\ n\,\mathrm{id}_G\ } G \to 1 d'où suite exacte de cohomologie, qui donne 0 \to H^0(K, G)_n \to H^1(K, {}_nG) \to {}_nH^1(K, G) \to 0 et passant à la limite, on trouve 0 \to \varprojlim_n H^0(K, G)_n \to \varprojlim_n H^1(K, {}_nG) \to \varprojlim_n {}_nH^1(K, G) Le composé de (16) avec l'hom. ~~canonique~~ H^1(K, H_1(\overline{G})) \to \varprojlim_n H^1(K, {}_nG) compte tenu de H_1(\overline{G}) = \varprojlim_n {}_nG montre que l'homomorphisme induit par H^0(K) \longrightarrow \varprojlim H^0(K, G)_n \hookrightarrow \varprojlim H^1(K, {}_nG)

dont le noyau est \bigcap_n nH^0(K, G), donc est formé des éléments de G(K) infiniment divisibles dans G. Or ici K étant un ~~groupe~~ corps absolument de type fini, le th. de Mordell-Weil nous assure que G(K) est un ~~groupe~~ \mathbb{Z}-module de type fini — donc G(K) \to \varprojlim G(K)_n est injectif. Donc G(K) \to \varprojlim H^1(K, {}_nG) est injectif, et a fortiori l'hom (16), cqfd.

Remarque. Il ne suffisait pas dans cet argument de prendre, pour un \ell, l'extension de \mathcal{E}_{\overline{K}/K} par H_1(X, \mathbb{Z}_\ell) — il faut utiliser tous les \ell — sinon, p, alors la translation par un point d'ordre p donne un contre-exemple. Le résultat revient à ceci : Pour tt x \in G(K), on regarde le torseur sur T_\infty(G) = \varprojlim {}_nG, image sur K, de groupe

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inverse de x dans le « rev. universel abélien » \widetilde{G} de G, construit comme \varprojlim des revêtements G(n) \simeq G de G, donnés par n\,\mathrm{id}. L'énoncé dit que si ce torseur est trivial — i.e. si \forall n, x se remonte — alors x = 0. C'est vrai en car. p > 0 également — mais dans ce cas les {}_nG ne sont pas étales. Si on suppose qu'on remplace les {}_pG par leurs quotients pour leurs parties radicielles — on travaille dans la cat. des « quasi-variétés » où on inverse les morphismes finis radiciels surjectifs, ~~identifie~~ il avec la partie première H_1(\overline{G}), qui dit l'existence des relèvements radiciels /K implique déjà x = 0. ( Bien sûr x est de p-torsion, px = 0 ….) Mais ramené au cas d'une VA, la validité sous cette forme du th. 3 en car. p > 0 me fait une belle jambe — en car. p > 0 , pour être à l'aise, il faudrait pouvoir le prouver pour les contextes des groupes fondamentaux « premiers à p ». Or déjà dans le cas d'une courbe elliptique Y « contextes » (en se bornant aux des pts) l'injectivité de (**) est fausse. Il

O.K. remplaçant K radiciels deux notes marginales obliques, l'une biffée en tête de la marge gauche, l'autre commençant par « O.K. » vers le bas, sont pour l'essentiel illisibles.

est cependant possible que l'injectivité de (*) reste valable sans hyp. de caractéristique — à examiner de plus près…

Revenant aux conditions du cor. 1, b), en car. p > 0, et travaillant avec les groupes fondamentaux premiers à p, on trouve que le u dans 1°) est un point de G(K) d'ordre une puissance de p. Si G est un tore pour celui que les « fibres » dans la variété élémentaire Y soient de genre 0) on en conclut encore que u = 0, i.e. f = g. Dans le cas général, la démonstration arithmétique prouve (au moins) ceci : si x \in X, d'où f(x) = P, g(x) = Q, on voit que Q - P est un élément de p-torsion de la jacobienne génér. G_Y de Y, de degré premier à p, pour tt rev. étale galoisien fini Y' de X, et il existe pour un P' au-dessus de P, il existe Q' au-dessus de Q tel que Q' - P' soit un élément de p-torsion de G_{Y'}, divisible par les ~~comme relèvements les isogénies n_G (n premier à G), il existe un Q_n \in G tel que n \cdot Q_n = Q, et que Q_n~~ Il se pourrait qu'on puisse en déduire P = Q.

Certainement le th. 2 reste vrai sur un corps de base de car. p > 0, en travaillant avec les groupes fondamentaux premiers à p — car dans la réduction à un énoncé géométrique la suite génér. peut supposer que Y est un produit de courbes de genre zéro. Dans ce cas d'ailleurs, on est ramené au cas où Y est une telle courbe ….

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Complément. Retour sur une démonstration géométrique du th. 2, cor. 1 b). OPS que G est la jacobienne généralisée de Y, et il suffit de montrer le

Lemme. Soit Y une variété élémentaire d'Artin anabélienne (sur k alg. clos), Y \hookrightarrow J^1_Y son plongement dans sa jacobienne généralisée, u \in J^0_Y(k) et U un ouvert non vide de Y, tels que U + u \subset Y. Alors u = 1, en d'autres termes : l'application x \mapsto x + u de U dans Y est l'identité. l'énoncé du lemme est marqué d'un double trait dans la marge.

Par dévissage, on est ramené au cas où Y est une courbe. Supposons-la d'abord complète, de sorte que U + u \subset Y implique Y + u \subset Y — alors le résultat est bien connu : c'est p. ex. de la formule des pts fixes, qui implique que si n'est l'identité, \tau_u \mid Y, a 2 - 2g pts fixes, ce qui (comme g \geq 2 en vertu de l'hypothèse anabélienne) est absurde au moins si g \neq 1,.

Si g \geq 2, parfait : remplaçant Y par \hat{Y}. OPS Y complète. Si g = 1 ou 0, cf. arguments cohomologiques plus bas

Cela ~~signifie~~ implique donc, dans le cas général, que l'image de u dans la partie abélienne de J^0_Y(k) est nulle. [[Or d'après la structure connue de J^0_Y comme extension de J^0_{\hat{Y}} par un tore \mathbb{G}_m^I/\mathbb{G}_m (où I = \hat{Y} \setminus Y), u s'identifie à un élément de (\mathbb{G}_m^I/\mathbb{G}_m)(k), donc est défini par (\lambda_i)_{i \in I}, les \lambda_i \in k^{*}, qui servent à construire un fibré inversible on peut voir ici : le passage ouvert par « [[ » est barré d'un trait oblique ; le biffage se poursuit page suivante.

sur la courbe « pincée » Y' = \hat{Y}/I (déduite de \hat{Y} en contractant I en un pt) en identifiant les fibres réduites en les y_i \in I du faisceau trivial sur \hat{Y}, à k par les \lambda_i — entre elles. Alors u + x (pour x \in Y) est représenté par le faisceau \mathcal{O}_{\hat{Y}}[x] (associé au diviseur x), de J^1_{\hat{Y}} muni de ces mêmes identifications.] fin du passage biffé (trait oblique) ouvert page précédente ; il est encadré d'un trait vertical et fermé par « ] ».

Pour que x + u soit de la forme y (y \in Y) il faut donc que u + x et y aient même image dans J^1_{\hat{Y}} et comme l'image de u dans J^0_{\hat{Y}} est nulle, ce que ~~(pour un genre g \geq 1)~~ (pour un g \geq 1) implique déjà x = y, donc u = 0. Si g = 0, donc \nu = \operatorname{card} I \geq 3 en vertu de l'hyp. anabélienne, on ~~remplace~~ prend une partie J de I à deux éléments, et on remplace \hat{Y} par \hat{Y}_J] pour conclure encore à x = y donc u = 0.

Conclusion : on saurait que l'image de u dans J^0_{\hat{Y}} est nulle !

[En fait, on a prouvé que si u \in \operatorname{Ker}(J^0_Y \to J^0_{\hat{Y}}), alors (Y + u) \cap Y = \emptyset — et par ailleurs, s'il existe un ouvert non vide U de Y tel que U + u \subset Y, alors u est dans le Ker précédent \neq 1). Mais ces arguments ne marchent que pour g \neq 1.] Il vaut mieux, dans le cas général, présenter les choses sous forme cohomologique.

g \geq 2 ?

Considérons les deux ~~applications~~ morphismes U \rightrightarrows Y, inclusion

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et j : U \to Y induit par \tau_u, je dis que H_1(i) = H_1(j), ou ce qui revient au même, puisque Y \xrightarrow{\alpha} J^1_Y induit un iso. H_1(\alpha) : H_1(Y) \to H_1(J^1_Y), que H_1(\alpha) H_1(i) = H_1(\alpha) H_1(j), ou encore H_1(\alpha i) = H_1(\alpha j). Or on a \alpha j = \tau_u (\alpha i) donc ~~il suffit de~~ H_1(\alpha j) = H_1(\tau_u)\, H_1(\alpha i) et on sait que H_1(\tau_u) = \mathrm{id}, OK. Cela étant, soit I = \hat{Y} \setminus Y, J = \hat{Y} \setminus U, de telle façon que J \supset I, et soit f : \hat{Y} \simeq \hat{Y} déduit de j : U \hookrightarrow Y en passant aux complétés, donc ~~on a~~ f(U) = \hat{Y} - f(J) \subset Y = \hat{Y} - I, implique que f(J) \supset I i.e. J \supset f^{-1}(I). On voit que le noyau de H_1(U) \to H_1(Y), en J \setminus I, L_j avec j \in J \setminus I, et pour le noyau analogue de H_1(U) \to H_1(Y) induit par j est le des L_j avec j \in J \setminus f(I), d'ailleurs les L_j (j \in J) dans H_1(U) sont \simeq \widehat{\mathbb{Z}} (resp. \widehat{\mathbb{Z}}' en car. p > 0 …) et le sous-\widehat{\mathbb{Z}}-module engendré est \widehat{\mathbb{Z}}^J / \widehat{\mathbb{Z}} \ (\text{diagonale}) , donc ~~si \operatorname{card} J \geq 3,~~ les sous-modules engendrés par deux parties I, I' de J distinctes de J, ne peuvent être égaux que si I = I', ou I et I' de cardinal \mu - 1 (où \mu = \operatorname{card} J). Mais ici, quitte à rapetisser U, on peut supposer

que \operatorname{card} I < \operatorname{card} J - 1 i.e. \operatorname{card}(J \setminus I) = \operatorname{card}(Y \setminus U) > 1. ~~On est donc dans l'un des cas suivants~~

~~a) f^{-1}(I) = I i.e. I stable par f.~~

b) Donc on voit que l'on doit avoir f^{-1}(I) = I i.e. I stable par f, ce qui montre que \tau_u induit en fait un automorphisme de Y. Remplaçant

~~Y est une courbe elliptique~~ dans ces arguments Y = \hat{Y} \setminus I par Y' = Y \cup i = \hat{Y} \setminus I' (I' = I - \{i\}), on voit de même que f induit un automorphisme de Y' (cet argument montre que Y' s'envoie dans sa jacobienne généralisée ce qui anabélienne sur Y) ~~le cas où Y est de type (0, \nu)~~ exclu par l'hyp. anabélienne donc f induit l'identité sur I. Si le genre est 0, on en conclut (puisque \nu \geq 3) que f est l'identité ; ~~Reste le~~ Dans le cas du genre 1, on en conclut maintenant que l'image de u dans J^0_{\hat{Y}} est égale à 1, et on termine comme précédemment.

Ouf !

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2. La question de pleine fidélité.

Soient K, K' deux extensions de type fini de \mathbb{Q} — est-il vrai que tout \Pi_{\mathbb{Q}}-homomorphisme \Pi_{K'} \to \Pi_{K} provient d'un homomorphisme de corps K' \to K ? les indices de \Pi_{K'} \to \Pi_K se lisent mal ; plus bas la question porte sur les hom. de \pi_{K'} dans \pi_K induits par un hom. K \hookrightarrow K'. On est ramené aussitôt au cas où — une clôture algébrique \overline{\mathbb{Q}} de \mathbb{Q} étant choisie, d'où un \Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} — K et K' ont des sous-corps k, k' (clôture alg. de \mathbb{Q} dans K resp. K') isomorphes, avec des ~~iso~~ plongements k, k' \to \overline{\mathbb{Q}} de même image, ~~donc~~ de sorte que \mathcal{E}_K et \mathcal{E}_{K'} peuvent être considérées comme des extensions d'un même groupe \Gamma = \Gamma_{\overline{\mathbb{Q}}/k} par \pi_K resp. \pi_{K'}. La question est alors si tout hom. de \pi_{K'} dans \pi_K, qui commute à l'action de \Gamma, est induit par un hom. K \hookrightarrow K'. Pour construire un tel hom., il faudrait donc avoir une idée comment reconstruire K, K' à partir des extensions \mathcal{E}_K, \mathcal{E}_{K'}, — ou encore à partir la phrase se poursuit au-delà de ce lot.