Cote n° 148 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Teichmüller (1983) : notes manuscrites (1983)
Datation de l’inventaire : 1983
Édition de démonstration

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Cartes, courbes exceptionnelles et pièces

22dos d'un listing de gestion, à l'encre ; la page continue les croquis de la section précédente (pages 16–20). Aucun numéro de sa main

en haut à gauche, un tétraèdre dont un sommet est marqué, une flèche de rotation autour de lui, de petites flèches sur les arêtes ; à sa droite : 4 hexagones, 4 sommetsle premier chiffre, 4, surcharge un 6 \(\longrightarrow\) 8 triangles (4 sommets d'ordre 6, 12 arêtes)

\(G_4\)lettre isolée à gauche ; l'indice surcharge un autre chiffre

\[\ill{}\ :\qquad \mu_6 \times (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^{2} , \qquad \mu_4 \times (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^{2}\] devant les deux-points, un symbole surchargé, illisible ; les deux groupes sont écrits l'un sous l'autre. À droite, un grand réseau triangulaire (triangles équilatéraux), un parallélogramme fondamental repassé en gras et deux flèches de translation

Hexagone orienté

Carré orientésous ces mots, un croquis d'un prisme ou d'une pyramide carrée, au crayon et à l'encre ; puis un petit parallélogramme dont un sommet est marqué, et, à côté : trois arêtes, trois sommets

en bas à gauche, un parallélogramme à un sommet marqué, avec une flèche de rotation ; à côté : 4 carrés, 8 arêtes, 4 sommets« 4 » surcharge un 2

en bas à droite, un quadrillage carré avec ses diagonales, un point central marqué ; puis, dans un cadre :

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\begin{tikzcd}
E_{\varepsilon,+} \arrow[r, leftrightarrow] \arrow[d, leftrightarrow] & E_{\varepsilon,-} \arrow[d, leftrightarrow] \\
E_{Q} \arrow[r] & E_{H}
\end{tikzcd}

en haut, deux flèches courbes de sens opposés entre \(E_{\varepsilon,+}\) et \(E_{\varepsilon,-}\) ; les deux flèches verticales, à deux pointes, occupent les bords du cadre

23même papier, à l'encre et au crayon ; une grande planche de croquis de sphères à trous (« pantalons »), de tétraèdres et de cartes sur la sphère, reliées par des flèches et partagées par deux longs traits au crayon. On ne transcrit que les mots et formules

\(a\ b\ c\ d\)écrit verticalement, à gauche ; au-dessous, une sphère dont des points sont numérotés, un segment de \(0\) à \(1\)

en haut à droite, écrit en travers de la page : \[\mathrm{diag}_{Q} \simeq \omega_{Q} \qquad \mathrm{diag}_{Q} \wedge \omega_{Q} \simeq \mathrm{codiag}_{Q}\] la première formule est à côté d'un losange dont les quatre sommets sont marqués, entre deux arcs

[…] […] […] à trois éléments, on fait \(3\times 2 = 6\) cartes […] de type (1,1)petit bloc au milieu à droite, en partie recouvert par une tache et traversé par un trait au crayon ; le \(1\) de « (1,1) » surcharge un autre chiffre

avec un ens. \(I\) de card 4, on peut trouver [de type (0,4)]en interligne \(14\) cartes canoniques (\(14 = 3\times 4 + 2\)) « 14 » surcharge « 17 » ; dans la parenthèse, le dernier terme surcharge un 3 dont deux tétraédrales, […] [trois] carrés, deux \(2\times 3 = 6\) « assemblages de “\(J\)” droits », \(6 = 2\times 3\) « assemblages de \(J\) gauches ».le premier \(J\) surcharge un \(I\) ; la ponctuation et les guillemets sont incertains

24demi-feuille de papier kraft, déchirée en bas ; à l'encre. Un tableau de sa main

\[\begin{array}{llll} A & \text{triangle} & \Sigma_{A} & (0,3) \\ \vec{T} & \text{tétraèdre orienté} & \Sigma_{T} & (0,4) \\ \vec{Q} & \text{carré} & \Sigma_{Q} & \\ \vec{\mathbb{Q}} & \text{carré orienté} & E_{\vec{Q}} & (1,1) \\ \vec{H} & \text{hexagone orienté} & E_{\vec{H}} & \\ & & & (0,5) \\ & & & (1,2) \end{array}\] à droite, une accolade groupe \((0,3)\) sous « \(d=0\) », \((0,4)\) et \((1,1)\) sous « \(d=1\) », \((0,5)\) et \((1,2)\) sous « \(d=2\) ». Une flèche double relie \(\Sigma_T\) et \(\Sigma_Q\) ; l'accolade \((1,1)\) couvre \(\Sigma_Q\), \(E_{\vec{Q}}\), \(E_{\vec{H}}\). La quatrième lettre de la première colonne, un \(Q\) barré d'une flèche, surcharge une autre lettre ; nous la transcrivons \(\vec{\mathbb{Q}}\) faute de mieux. Dans la deuxième colonne, « orienté » est biffé après « carré » (troisième ligne), et « hexagone » est biffé devant « carré orienté » (quatrième ligne). Au-dessous, deux traits horizontaux, puis un graphe : un quadrilatère à quatre sommets marqués, d'où partent quatre arêtes libres

25même papier kraft, déchiré ; à l'encre

Carte cellulaire (pas orientée) connexe dont tous les sommets sont d'ordre 3 [ou 1]en interligne \(\longleftrightarrow\) cartes cellulaires [orient.] / triangulées« orient. » est écrit en tête de ligne, séparé de « triangulées » par une barre oblique \(\simeq\) \(\mathbf{Z}/n\) revêtements de \(\mathbf{P}^{1}\) ramifiés seulement en \(0,1,\infty\),le mot « revêtements » est surchargé ou barré, lecture incertaine

\[\sigma_0^{2} = \sigma_1^{2} = \sigma_2^{2} = (\sigma_0\sigma_2)^{2} = (\sigma_0\sigma_1)^{3} = \underline{1}\] au-dessus de cette ligne, \(\sigma_0\,\sigma_1\,\sigma_2\), les deux derniers soulignés par une accolade

variétés algébriques d \(\mathbf{R}\)-courbes algébriques

\(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2\) sans pts fixesà côté d'un ovale portant trois points

la page est couverte de croquis : à gauche, un pantalon dont les trois bords sont notés \(A, B, C\) et les points des bords \(a_B, a_C, b_C, b_A, c_B, c_A\), avec une flèche d'orientation ; au centre, un graphe trivalent (hexagone et arêtes pendantes) avec son « épaississement » en bandes, un segment \(0\)—\(1\) ; ailleurs, un tétraèdre, des boucles, une sphère à trois points, une chaîne de cercles, un tore

26feuille blanche, à l'encre ; croquis : deux paires de sphères accolées portant des trous, une sphère à quatre trous, un anneau épaissi

\[\begin{array}{l} 4 \text{ hexagones} \\ 16 \text{ arêtes} \\ 10 \text{ sommets} \\ \text{(dont 4 ramifiés d'ordre \ldots)} \end{array} \Longrightarrow \begin{array}{l} 8 \text{ hexagones} \\ 32 \text{ arêtes} \\ 16 \text{ sommets} \end{array}\] « d'ordre » est écrit sous la parenthèse, sans chiffre

\[\begin{array}{l} 2 \text{ hexag.} \\ 9 \text{ arêtes} \\ 6 \text{ sommets} \end{array}\] le 2 surcharge un autre chiffre

\[\begin{array}{l} 6 \text{ sommets (dont 4 ramifiés)} \\ 8 \text{ arêtes} \\ 4\ \text{carrés} \end{array} \Longrightarrow \begin{array}{l} 8 \text{ sommets d'ordre 4} \\ 16 \text{ arêtes} \\ 8\ \text{carrés} \end{array}\] dans les deux colonnes, « carrés » est écrit au-dessus de « triangles » biffé ; au bas de la seconde, une ligne biffée : « dont 4 d'ordre 4 »

27même feuille blanche, à l'encre : une planche de croquis. Un pentagone découpé en triangles, orienté ; des tores et anses à trous avec des chemins marqués ; une sphère dont les sommets sont numérotés \(1\) à \(6\) et \(1'\) à \(6'\) ; un triangle sphérique de sommet \(a\), côtés marqués \(b_a\), \(c_a\), \(c_b\), \(a'\). Au milieu, trois lignes :

4 sommets, 6 arêtes, 2 hexagones

\(M_{0,5}\)

titre de sa main, seul en haut à droite de la page 28, un feuillet de listing par ailleurs vierge (la page 28 ne reçoit pas de marqueur). Les pages 29 à 38 sont sur le même papier

30grand feuillet de listing, au crayon et aux encres brune et rouge : une planche des neuf types de structures « spéciales » sur un ensemble \(K\) de cinq points d'une sphère, chacune dessinée comme sphère à cinq points, avec leurs groupes d'automorphismes et les flèches de degré entre elles. Nous la transcrivons par blocs, de haut en bas et de gauche à droite. À gauche, en marge, trois petits graphes (un sommet à cinq arêtes ; deux sommets ; trois sommets), en face des trois niveaux

\(\mathrm{I}_{10}\) (pentagonale). 12 structures pentagonales sur \(K\), \(\lbrace \sigma, \sigma^{-1} \rbrace \in{}\) […] \((\mathrm{Circ}(K))\) ; \[G \simeq \mathbb{D}_5 , \qquad \widetilde{G} \simeq \mathbb{D}_5 \times \lbrace 1, \sigma \rbrace .\]

\(\mathrm{I}_{6}\) (bitétraédrale). 20 structures \(K = J \amalg \omega\) avec \(\omega \xrightarrow{\sim} \underline{\omega}(J)\) ; \[G \simeq G_J \simeq \mathfrak{S}_3 , \qquad \widetilde{G} \simeq \mathfrak{S}_3 \times \lbrace 1, \sigma \rbrace .\]

\(\mathrm{I}_{4}\) (pyramidale). 30 structures carrées orientées \(K \simeq \lbrace P \rbrace \amalg I\), \(I\) structure carrée orientée \((Q, \omega) = \vec{Q}\) ; \[I = \coprod_{\alpha \in \delta} \alpha \quad (\delta = \text{ens.\ des diagonales } \alpha), \qquad \omega \in J \wedge \bigwedge_{\alpha \in \delta} \alpha , \qquad G = \widetilde{G} \simeq \mathbf{Z}/4\mathbf{Z} .\]

\(\mathrm{II}_{2}\) (carré-triangle droit). 60 structures « pentagone avec sommet » sur \(K\), i.e. \(K \simeq B \amalg \omega\), avec \(\omega \hookrightarrow J\), i.e. \(P \in J\) et \(\omega \simeq \omega' = B \setminus \lbrace P \rbrace\) ; \[G \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} , \qquad \widetilde{G} \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \lbrace 1, \sigma \rbrace .\] sur la sphère, les points \(\alpha, \alpha', P, \beta, \beta'\)

\(\mathrm{II}'_{2} = \mathrm{Tw}_{1/4}\,\mathrm{II}_{2}\) (carré-triangle gauche), 4 sommets […] ; même paramétrage que \(\mathrm{II}_2\), \[G \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} , \qquad \widetilde{G} \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \lbrace 1, \sigma \rbrace .\] deux sphères ; la première est hachurée (annulée ?), la seconde porte \(\alpha, \beta, \beta', \alpha_1, P\)

\(\mathrm{II}_{1}\) (tétraèdre-triangle), 6 sommets-repères ; 120 structures anticanoniques épinglées, \[G = \lbrace 1 \rbrace , \qquad \widetilde{G} = \lbrace 1, \sigma \rbrace\] le \(\lbrace 1 \rbrace\) de \(G\) suit un mot noirci ; sur la sphère, les points \(1, \infty, 0, P\) et \(u_0, \ldots, u_5\) \(\bigl[K = J \amalg E\), \(\mathrm{card}\, J = 3\), \(\mathrm{card}\, E = 2\), \(\omega \in \underline{\omega}(J)\), \(r \in J \times E\) ; \[\tau^{0}_{r} : \mathrm{II}_1(J, E) \longrightarrow \mathrm{II}_1(u_{\omega}(r)) \quad \text{où } u_{\omega} = \omega \times (1) \text{ sur } J \times E \bigr]\] à droite, une boucle fléchée : \(\tau^{0}_{r} = \mathrm{tw}_{1/6}\), et \(\gamma^{2\,\prime}_{r}\)

\(\mathrm{III}_{2}\) (triple triangle droit), \(2+2\) sommets-repère ; 60 structures « pentagone avec sommet » sur \(K\), \[G = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} , \qquad \widetilde{G} = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \lbrace 1, \sigma \rbrace .\]

\(\mathrm{III}'_{1}\) (triple triangle semi-gauche), \(2+4\) sommets-repère ; 120 structures épinglées, \[G = 1 , \qquad \widetilde{G} = \lbrace 1, \sigma \rbrace .\] deux sphères égalées, portant \(P, \bar{P}, 0, 1, \infty\)

\(\mathrm{III}'_{2}\) (triple triangle gauche), \(4+4\) sommets-repère ; 60 structures de carré orienté à codiagonale, \(K = \lbrace P \rbrace \amalg I\), \(I\) muni d'une [str.] carrée à codiagonale \(\delta = \lbrace \lbrace \alpha, \beta \rbrace, \lbrace \alpha', \beta' \rbrace \rbrace\), i.e. d'un repère de \(\mathbb{J}(I)\)) ; \[G = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} , \qquad \widetilde{G} \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \lbrace 1, \sigma \rbrace .\] le « 60 » surcharge un autre nombre ; l'indice de \(\mathrm{III}'_2\) surcharge un 1

Les flèches. Entre ces sommets, des flèches marquées de leurs degrés :

la liste est la nôtre : sur la page les flèches sont tracées entre les dessins, au crayon, et leurs sources et buts sont lus sur le tracé, parfois sans certitude

\[\begin{array}{llll} \text{niveau 2} & \mathrm{I}_{10}, \mathrm{I}_{6}, \mathrm{I}_{4} & 12+20+30 = 62 \\ \text{niveau 1} & \mathrm{II}_{2}, \mathrm{II}'_{2}, \mathrm{II}_{1} & 60+60+120 = 240 \\ \text{niveau 0} & \mathrm{III}_{2}, \mathrm{III}'_{1}, \mathrm{III}'_{2} & 60+120+60 = 240 \\ & & \text{total } \overline{542} \end{array}\] le « 62 » se lit presque « 52 » ; le « 2 » de « niveau 2 » surcharge un autre chiffre

(l'« indice » indique l'ordre de \(G = \mathrm{Aut}^{+}\), donc le nb de structures est \(120/i\))

NB Sauf \(\mathrm{I}_4\), toutes ces structures sont « réelles ».

\(\pi \in \mathrm{Pand}(K)\), \(s \in K\), \(\rho \in \mathrm{Rep}(\pi)\) ; \(B \in \mathrm{Bitét}(K)\), \(\vec{Q} \in \overrightarrow{\mathrm{Carr}}(K)\), \(r \in \mathrm{Rep}(K)\) (NB \(\lbrace (\pi, \rho) \rbrace \simeq \mathrm{Rep}(K)\))le signe \(\simeq\) surcharge un signe biffé

31dos d'un listing ; au crayon, sans texte : une sphère à équateur portant trois points, un polyèdre (bipyramide) dont les sommets sont marqués, des ovales à peine visibles

32même papier de listing, à l'encre ; à droite, des croquis au crayon et à l'encre verte : pantalons, sphères à quatre et cinq trous découpées par des cercles en pointillé, deux sphères à cinq trous, et, séparé par un trait, un grand bord de surface marqué de points

\[\begin{array}{rll} 180 & \left\lbrace \begin{array}{l} 60 = 3\times 20 = 2\times 30 \\ 120 = 4\times 30 = 2\times 60 \end{array}\right. & \begin{array}{l} f_{B,s} \\ f_{\vec{Q},\alpha} \end{array} \\[1ex] 420 & \left\lbrace \begin{array}{l} 60 = 1\times 60 = 1\times 60 \\ 120 = 1\times 120 = 1\times 120 \\ 60 = 1\times 60 = 5\times 12 \\ 60 = 1\times 60 = 3\times 20 \\ 120 = 1\times 120 = 6\times 20 \end{array}\right. & \begin{array}{l} \tau_{\pi,s} \\ \tau^{0}_{r} \\ \gamma_{\pi,s} \\ \gamma'_{\pi,s} \\ \gamma^{0}_{r} \end{array} \\[1ex] 1020 & \left\lbrace \begin{array}{l} 120 = 2\times 60 = 1\times 120 \\ 120 = 2\times 60 = 2\times 60 \\ 120 = 1\times 120 = 2\times 60 \\ 120 = 1\times 120 = 2\times 60 \\ 3\times 120 = 3\times 40 = 3\times 40 \\ 120 = 2\times 60 = 2\times 60 \\ 60 = 1\times 60 = 2\times 30 \end{array}\right. & \begin{array}{l} \tau_{\pi,\rho} \\ \gamma_{\pi,\rho} \\ \tau'_{r} \\ \gamma^{1}_{r} \\ \gamma^{1\,\prime}_{r} \\ \gamma^{2}_{r} \\ \gamma^{2\,\prime}_{r} \end{array} \end{array}\] \[\overline{\overline{1620}} = 5\times 60 + 11\times 120\] colonne de décomptes des flèches, par types. Plusieurs chiffres sont surchargés : le « 3 » de \(3\times 20\) ; « 420 » (sur un autre nombre) ; « 1020 » (sur un nombre biffé) ; la ligne de \(\gamma^{1\,\prime}_r\), où « \(3\times 40 = 3\times 40\) » est écrit au-dessus d'une égalité noircie ; « 1620 », écrit sous « 1580 » biffé ; « 11 » sur « 12 ». La ligne de \(\tau^{0}_{r}\), \(120 = 1\times 120 = 1\times 120\), est ajoutée en petit entre deux lignes et reliée à \(\tau^{0}_{r}\) encerclé ; au bout de la première ligne du deuxième groupe, le dernier produit est lu sans certitude. La troisième flèche du dernier groupe, \(\tau'_r\), surcharge un autre symbole

\(\tau =\) « twist »

\(\gamma =\) « gommage »

Programme de travail :

  1. 1)

    déterminer les rel. fondamentales de relations entre les \(1620\) flèches du diagramme, en partageant entre 14 orbites sous \(\mathfrak{S}_K\) (avec 542 sommets, en partageant entre 9 orbites)« 1620 » repassé ; après la parenthèse, un début biffé « 2) […] »

    en particulier, écrire toutes les flèches comme composées de flèches « provenant de la dimension modulaire \(\leqslant 1\) »dans un cadre, à droite de 1) et 2)

  2. 2)Reprendre la question, en éliminant les sommets de niveau 0 (sauf peut-être ceux de type \(\mathrm{I}_{10}\) ?), et \(\mathrm{II}_1\) ([…] de type \(\mathrm{II}_1\) (qui reviennent à ceux de type \(\mathrm{III}_1\)) — mais attention au twist relationnel : \(\mathrm{II}_1\) (qui donne […] […] de […] type))passage encadré et biffé ; « tw\({}_{1/6}\) » en interligne au-dessus de « twist »
  3. 3)Éliminer de plus les pièces […] « tétraédrales » \(\mathrm{II}_1\) — et toutes les pièces qui ne semblent pas simplifier la présentation des relations.

Systèmes spéciaux de cinq points sur une sphère complexe

33p. 1 de l'auteur : ici commence une suite qu'il numérote 1, 2, 3 en haut au centre (pages 33, 34, 35), sur papier listing. Le titre de section est le début de sa première phrase

Systèmes spéciaux de cinq points sur une sphère complexe (plus génér[alemen]t sur une courbe droite projective sur un corps alg. clos \(k\) de car. \(0\)) Ce sont les systèmes \((\Sigma, K)\) avec \(K \subset \Sigma\), \(\mathrm{card}\, K = 5\), et tels qu'il existe un automorph. non trivial de \((\Sigma, K)\) — i.e. le groupe \(G\)[ des]« \(G\) » et « des » en interligne automorphismes de \((\Sigma, K)\) n'est pas réduit à 1. On fait la classification suivant la structure de ce groupe.

Soit \(g \in G\) d'ordre maximal. On peut identifier \(g\) à une permutation de \(I\)sic ; ailleurs l'ensemble est \(K\), et la discussion se fait suivant la structure de celle-ci. Notons que l'ordre de \(g \neq 1\) est \(\nu\) d'ordre 5 tout automorphisme d'ordre fini de \(\Sigma\) a exactement deux pts fixes, et qu'il […] [l'opère] [comme]mots en interligne, lecture incertaine \(\mathbf{Z}/\nu\mathbf{Z}\) opère librement sur \(\Sigma \setminus \Sigma^{g}\). Cela montre que \[K = K^{g} \amalg \text{orbites d'ordre } \nu, \quad \text{donc}\quad 2 \leqslant \nu \leqslant 5 .\] […] l'opération […] de \(\sqrt[\nu]{G_m}\) (l’indice \(\nu\) incertain) […]marge gauche, en oblique, en face de ces lignes ; très incertain

(1) \(\nu = 5\), alors \(K\) est une orbite — OPS que c'est l'orbite \(\mu_5 \cdot 1\) ch. de \(\mu_5\) opérant sur \(\mathbf{P}^{1}_{k}\). Le groupe total des automorph. est \(\mathbb{D}_5\)les numéros (1), (2), (3) et « \(\mathbb{D}_5\) » sont encerclés (à isom. près, il y a un seul tel cas.) structure « pentagonale » […]marge gauche, en oblique ; à droite, une sphère dont l'équateur porte cinq points

(2) \(\nu = 4\), alors \(K =\) \(\mathrm{card}\, I^{g} = 1\)en interligne, « \(K^{g} = \lbrace P \rbrace\) », et \(I \setminus \lbrace P \rbrace\) est une orbite. OPS que c'est \(\mu_4\), sur laquelle \(\mu_4\) opère, et \(P\) est un pôle, \(\infty\). Le groupe total des automorph. est \(\mathbf{Z}/4\mathbf{Z} \simeq \mu_4\) ([…]). La catégorie de ces configurations est équivalente à celle des carrés orientés. « pyramidale » carréemarge gauche, en oblique ; à droite, une sphère à un pôle et quatre points sur l'équateur

(3) \(\nu = 3\), alors \(\Sigma\) \(\mathrm{card}\, K^{g} = 2\) ([donc \(K^{g} = \Sigma^{g}\),] et \(K \setminus K^{g} = J\) est une orbite), Le groupe total est qu'on peut prendre \(\mu_3\). La catégorie de ces configurations est équivalente : celle des triangles combinatoires i.e. celle \(\mathrm{Ens}(3)\) des ens. \(J\) de card 3. A \(J\) on associe \(\Sigma_J\) […] avec \(J \cup P_J\) (\(P_J \subset \Sigma_J^{g}\) […] un des deux pôles de \(\Sigma_J\) pour une corr. 1–1 avec l'ens. \(\underline{\omega}(J)\) des or. de \(J\), si \(k = \mathbf{C}\)). Groupe des automorph. est \(\mathbb{D}_3\). « tétraèdres […] \(\ell\) et 3 […] un […] de symétries » ; « bitétraèdre »marge gauche, en oblique, deux notes très incertaines ; à droite, une sphère à deux pôles et trois points

34p. 2 de l'auteur

(4) \(\nu = 2\). Il y a deux […] [Dans ce cas]en interligne \(K^{g} = \lbrace P \rbrace\), et \(K \setminus K^{g}\) [\(= I\)] est réunion de deux orbites. Ainsi, \(g\) est un automorph. […] « universel » de \(\Sigma \setminus I\) (\(g \in V(\mathbb{D}_I)\)) et \(P\) est [un]en interligne […] pt fixe. […] Cette fois, la situation a des « modules », p. ex. en choisissant une des deux orbites, \(\lbrace P \rbrace\) […] […] l'opération de \(g\) sur […] […] […] la ligne suivante, avec la fin de celle-ci, est biffée ; en interligne, deux fois « \(= \lbrace \pm 1 \rbrace\) » \(\mu_2\) sur \(\mu_2\), et \(P = 0\), l'autre orbite

[…] […] […] une \(\lbrace t, -t \rbrace\), avec \(\lambda = t^{2} \neq 1\), \(\lambda \in k^{*}\) — donc \(\lambda =\) \(J = (0, \pm 1, \pm\sqrt{\lambda})\) […], avec \(\lambda \in \Sigma(k) \setminus \lbrace 0, 1, \infty \rbrace\), défini au changement […] près […] le choix de l'orbite, on trouve \((0, \pm 1, \pm\sqrt{1/\lambda})\). Prenons le paramètre \(\rho = \lambda + \frac{1}{\lambda}\) [\(\neq 2\)], donc \(\lambda^{2} - \rho\lambda + 1 = 0\), \(\lambda = \frac{1}{2}(\rho \pm \sqrt{\rho^{2} - 4})\) on trouve \((0, \pm 1, \pm\sqrt{\tfrac{1}{2}(\rho \pm \sqrt{\rho^{2} - 4})})\). Comme \(0, \infty\), et […] […] […] \(\lambda\), […] […] […] […] \(1/\lambda\), […] […] \({}^{g}(0,\lambda) = \frac{\lambda}{z}\), pts fixestout ce passage, entouré d'un cadre, est annulé par de grandes barres obliques et des traits ; la lecture est incertaine d'un bout à l'autre

Cas moins intéressant que les précédents, du notre point de vue, car il y a des modules. Quand la structure \((\Sigma, I)\) est une structure carrée, on retrouve soit le cas 2° (si \(g\) laisse stables les deux diagonales), soit le cas d'un […] [des sommets]en interligne d'un carré sphérique équilatéral et des milieux de deux des arêtes. [Est-ce le cas 10 ?]en interligne, avec une accolade Quand c'est une structure tétraédrale, \(P\) est un des [6] sommets de l'octaèdre associé.à gauche, deux sphères : l'une à cinq points dont \(P\) sur l'équateur, l'autre avec un tétraèdre inscrit et \(P\)

Cas des antiautomorphismes \(\sigma\) de \(\Sigma\) laissant stable \(K\). (Cas \(k = \mathbf{C}\))en interligne Comme \(\sigma\) est d'ordre pair, on voit qu'il […] a un pt fixe au moins dans \(K\), donc dans \(\Sigma\), et étant d'ordre fini, on voit qu'il est d'ordre 2, il correspond à une structure réelle sur \(\Sigma\) […]. On distingue suivant le cardinal de \(K^{\sigma}\), qui est 1, 3, ou 5.

35p. 3 de l'auteur

a) \(K^{\sigma} = K\) — on trouve essent. les points réels de \(M^{!}_{0,5} \simeq \mathrm{Sym}^{*}_{2}(M_{0,3})\)le second membre est lu sans certitude. Le cas de dimension réelle 2 : contient le cas 1° (pentagonal)

b) \(\mathrm{card}\, K^{\sigma} = 3\). […] En prenant […] repère \(0, 1, \infty\) dans \(K^{\sigma}\), on trouve \[K = \lbrace 0, 1, \infty, \lambda, \bar{\lambda} \rbrace , \quad \lambda \in \text{demi-plan de Poincaré},\] dimension réelle 2. Contient le cas 3° (bitétraédral) \(\sigma z = \bar{z}\), […] \(\sigma z = \bar{z}\)marge gauche, en oblique

c) \(\mathrm{card}\, K^{\sigma} = 1\), i.e. \(K^{\sigma} = \lbrace P \rbrace\), […] \(K \setminus K^{\sigma} = I\), […] […] […] […] […] […] et on choisit un pt \(0\) tel que \(0 = \infty\). OPdeux lignes biffées ; « \(K \setminus K^{\sigma} = I\) » en interligne \((\Sigma, I)\) est un syst. de 4 pts dans une sphère complexe, […] donc antiautomorphismes […] […] (« conjugaisons »), ils sont bien connus et de dimension modulaire réelle 1, de plus le choix d'un pt réel supplémentaire \(P\) fait une dimension de plus, soit dimension réelle totale 2 encore. (Contient le cas pyramidal carré, 2°)à gauche, une sphère avec son équateur, un point marqué

\[\text{dimension modulaire} \qquad 2 \qquad 1 \qquad 0\] sous ces trois nombres, trois graphes : un sommet à cinq arêtes libres ; deux sommets reliés, portant trois et deux arêtes libres ; trois sommets en chaîne, dont l'arête centrale est barrée d'un petit trait. Au-dessous, les nombres qui suivent, sous chaque colonne ; des flèches courbes relient les colonnes 1 et 0

\[\begin{array}{llll} \text{nb comp.} & 1 & 10 & 15 \\ \text{nb réalisations spéciales} & 12 & 10\times 3\times 2 = 60 & 15\times 2\times 2 = 60 \\ & & + 10\times 2\times 6 = 120 & \\ \end{array}\] sous « \(+10\times 2\times 6 = 120\) », une parenthèse biffée « (tétraédrales […]) » remplacée par « (pentagonales […]) » ; le dernier mot de « réalisations […] » est biffé et récrit ; à gauche, sous les deux lignes, un mot biffé

NB […] […] de structures pyramidales : \(5\times 3\times 2 = 30\) ; bitétraédrales : \(10\times 2 = 20\). « 2 » dans \(5\times 3\times 2\) surcharge un autre chiffre. Au bas de la page, un petit croquis : un triangle dans un cercle, un chiffre au centre

36feuillet de listing, à l'encre, sans numéro de sa main. Par le contenu, cette page fait suite à la page 37 (qui introduit \(e = \xi \wedge \eta\), \(T_2\) et le paramètre \(\xi + \eta\)) et la page 38 lui fait suite ; nous gardons l'ordre des archivistes

le […] est \[\lambda = \frac{(\xi + \eta)^{2}}{\xi \wedge \eta} = \frac{\xi}{\eta} + \frac{\eta}{\xi} + 2\] au numérateur et au second membre, des lettres surchargées et dont la connaissance nous permet de retrouver la situation de départ : i.e. aux isomorphismes près. La condition imposée sur \(\lambda\) est que \(\lambda - 4 \neq 0\) i.e. \[\lambda' = \lambda - 2 = \frac{\xi}{\eta} + \frac{\eta}{\xi} \neq 2\] au premier membre, « \(\lambda'\) » surcharge d'autres signes

En prenant d'une base […] \(e_1\) de \(L_1\), satisfaisant \(e_1^{\otimes 4} = e = \xi \wedge \eta\), donc aussi une base \(e_1^{2}\) de \(L_2\), la situation est déterminée [par] le [couple d'éléments distincts]en interligne, avec une accolade \(\xi_0, \eta_0 \in \mathbf{C}\) (\(\xi = \xi_0 e_1^{2}\), \(\eta = \eta_0 e_1^{2}\)), satisfaisant \(\xi_0 \eta_0 = 1\), i.e. aussi par \(\mu = \xi_0 + \eta_0 \in \mathbf{C}\), satisfaisant \(\mu^{2} - 4 \neq 0\), \(\xi_0\) et \(\eta_0\) se récupérant comme solutions de l'équation \[z^{2} - \mu z + 1 = 0 ,\] l'équation \(\mu^{2} - 4 \neq 0\) i.e. \(\mu \neq \pm 2\) signifiant que les [2] solutions sont distinctes (vu que leur produit est 1). Les On récupère \(I\) comme [l'ens. des]en interligne solutions de \[z^{4} - \mu z^{2} + 1 = 0\] \[I = \Bigl\lbrace \pm\sqrt{\tfrac{1}{2}\bigl(\mu \pm \sqrt{\mu^{2} - 4}\bigr)} \Bigr\rbrace = \Bigl\lbrace \pm\sqrt{\mu' \pm \sqrt{\mu'^{2} - 1}} \Bigr\rbrace\] où \(\mu' = \frac{1}{2}\mu\) i.e.en bas à gauche, dans une accolade

37feuillet de listing, à l'encre, sans numéro de sa main

Autom d'ordre deux d'une sphère holomorphe : [\(\Sigma\) avec \(K\) […]]en interligne, au-dessus de la fin du titre, avec une flèche

pts marqués : Un pt fixe exactement dans \(K\), soit \(K = \lbrace P \rbrace \amalg I\), et \(\Sigma\) est munie de \(I\) et d'un automor. d'ordre 2, stabilisant \(I\), \(I\) ne contenant pas de pt fixe de \(u\). Donner cela revient à la donnée

a) D'une sphère hol. \(\Sigma\), avec automorph. [\(u\)] d'ordre 2 et un pt fixe marqué — appelons-le \(\infty\), et l'autre pt fixe \(0\) ; cela revient à la donnée d'un torseur \(T_1\) (\(= \Sigma \setminus \lbrace 0, \infty \rbrace\)) sous \(\mathbf{C}^{*}\), i.e. d'une droite vectorielle complexe \(L_1\) (\(T_1 = L_1^{*}\))« complexe » en interligne ; sous la ligne, « (dimension 1) »

b) D'une paire d'orbites de \(\lbrace \pm 1 \rbrace \subset \mathbf{C}^{*}\) opérant sur \(T_1 = L_1^{*}\). Introduisant \(T_2 = T^{\wedge 2} \simeq L_2^{*}\), où \(L_2 = L_1^{\otimes 2}\), cela revient à la donnée d'une paire de pts \(\lbrace \xi, \eta \rbrace\) (distincts) de \(T_2\). Considérons alors le pt \[e = \xi \wedge \eta = \eta \wedge \xi \in T_4 = T^{\wedge 4} \simeq L_4^{*} \quad (\text{où } L_4 = L_1^{\otimes 4})\] on a donc un isom \(T^{\wedge 4} \simeq \mathbf{1}_{\mathbf{C}^{*}}\), d'où une réduction du groupe structural [de \(T\)] de \(\mathbf{C}^{*}\) à \(\mu_4(\mathbf{C}^{*}) \simeq \mathbf{Z}/4\mathbf{Z}\). On peut dire que la donnée de \(\lbrace \xi, \eta \rbrace\) revient à celle de \(e = \xi \wedge \eta\) [\(\in T_4\)] et de \(\xi + \eta \in T_2\), soumis à la condition que \((\xi + \eta)^{2} - 4\xi\eta \neq 0\). […] Notons \((\xi + \eta)^{2} - 2\xi\eta \neq\) que \(T_2\) admet une réduction du groupe structural \(\mathbf{C}^{*}\) à \(\lbrace \pm 1 \rbrace\), par le biais de \(\pm\sqrt{e}\), donc \(\xi + \eta\) définit un élément de \(\mathbf{C}\) aux signes près, donc \((\xi + \eta)^{2}\)la page s'arrête ici ; la suite est à la page 36

38feuillet de listing, à l'encre, sans numéro de sa main ; fait suite à la page 36

Changer la base \(e_1\) en \(\zeta e_1\) (où \(\zeta^{4} = 1\)) revient à changer […] change \(\lbrace \xi, \eta \rbrace\) en \(\lbrace \zeta^{2}\xi, \zeta^{2}\eta \rbrace\), donc \(\mu\) en \(\zeta^{2}\mu\), qui est donc égal à \(\mu\) si \(\zeta \in \lbrace \pm 1 \rbrace\), égal à \(-\mu\) si \(\zeta \in \lbrace \pm i \rbrace\).

La multiplicité modulaire pour les structures envisagées, rigidifiées par la donnée de \(e_1\), est donc \(\mathbf{P}^{1} \setminus \lbrace 0, \pm 2, \infty \rbrace\). Elle s'envoie dans la multiplicité \(M_{0,5}\) — il y a lieu de regarder l'effet sur les groupoïdes fondamentaux.

Catalogue des opérations élémentaires dans \(R\mathcal{T}D_{\mathrm{top}}\)

titre de sa main, seul en haut à droite de la page 39, un feuillet de listing par ailleurs vierge (la page 39 ne reçoit pas de marqueur). La première lettre, « \(R\) », est lue sans certitude ; c'est la même abréviation que la page 42 (troisième lot) écrit « RTD... »

40Oct. 1983date de sa main, encadrée, en haut de la page, sur l'en-tête imprimé du listing. Ni numéro de sa main ni autre date

à gauche, un diagramme :

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
R = RR/\sigma_1 \arrow[d] & RR \arrow[l] \arrow[d, "\mathrm{supp}"] & \\
A = \vec{A}/\sigma & \vec{A} \arrow[l] \arrow[r, leftrightarrow] & \vec{A}_0 \arrow[d, "\sigma"] \\
 & & S \arrow[r, "g"] & N
\end{tikzcd}

au-dessus de \(RR\), « \(\sigma_0, \sigma_1\) » ; sous \(\vec{A}\), un \(\sigma\). La double flèche entre \(\vec{A}\) et \(\vec{A}_0\) a une pointe à chaque bout ; \(N\) est lu sans certitude. Le texte écrit \(RR\) (deux \(R\)) pour l'ensemble des repères

\[3g_s - 3 + \nu_s \geqslant 0 \qquad 2g_s - 2 + \nu_s \geqslant 1 \qquad 2g_s + \nu_s \geqslant 3\] les trois inégalités sont écrites l'une sous l'autre, en haut à droite

4) et 5) sont groupés par une accolade, de même 2) et 3) ; le 2) surcharge un autre chiffre, le 5) aussi ; un double trait sépare 3) de 6) et souligne 7). À droite, une note verticale : inverses l'une de l'autre (à modifications près […] données […] des cercles marqués)

\[\begin{array}{l|l} \text{cercles de découpage} & \text{graphe pondéré} \\ \text{cercles de raccord} & \text{graphe bipondéré} \\ & \text{graphe pondéré marqué} \end{array}\] « marqué » est biffé après « graphe bipondéré » ; « cercles de découpage », « cercles de raccord », « graphe pondéré » sont soulignés sommets de marquage (périphériques / intérieurs), [ou de rigidification]en interligne

cercles marqués (non marqués)

type combinatoire d'un objet de […] \(SD\mathcal{T}_{\mathrm{top}}\)

Catégorie des types combinatoires

à droite, une série de symboles : \(\mathcal{T}S\), \(\mathcal{T}D\), \(\mathcal{T}SD\) et \(\mathcal{T}^{*}(\Gamma)\), biffés par de longs traits obliques ; à côté, en colonne, \(\mathcal{T}\) (sous « avec \(\omega^{L}\) \(\pm\) »), puis deux colonnes séparées d'un trait : \(S\mathcal{T}\), \(SD\mathcal{T}\), \(D\mathcal{T}\) | \(ST\), \(SDT\), \(DT\). Au bas, deux losanges :

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \mathcal{T} \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\
S\mathcal{T} \arrow[dr, no head] & & D\mathcal{T} \arrow[dl, no head] \\
 & SD\mathcal{T} &
\end{tikzcd}

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \mathbb{L} \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\
S\mathbb{L} \arrow[dr, no head] & & d\mathbb{L} \arrow[dl, no head] \\
 & Sd\mathbb{L} &
\end{tikzcd}

dans le premier losange, les sommets sont annotés : \(\mathcal{T}\), « graphes pond. discrets » ; \(S\mathcal{T}\), « graphes b » ; \(D\mathcal{T}\), « graphes pondérés » ; \(SD\mathcal{T}\), « graphes ». Dans le second, la lettre, lue \(\mathbb{L}\) comme à la page 41 (troisième lot), est incertaine ; ses sommets sont écrits en minuscules cursives \(st\), \(dt\), \(sdt\)

en bas à gauche : Le point twist [relatif] \(\tau_{\rho}\) (\(\rho \in Q\)) : un cercle de découpage marqué, est défini au moyen de 4)5), avec \(\tau_{\rho} = \mathrm{id}\) si \(\rho \in \mathbf{Z}\) \[\boxed{S_{*}\mathcal{T}^{\pm 1}_{g,\nu} \longrightarrow \mathcal{T}^{\pm 1}_{g,\nu} \longrightarrow \mathrm{Ens}(\nu) \times [\pm 1]}\] \(\mathcal{T}_{g,\ill{}}\) […] \((T S R)_{g,\nu}\) : \(\mathcal{T}_{g,\nu} S_{\alpha}\)le premier \(S_{*}\), l'étoile sous le \(S\), et les indices sont lus sans certitude

Mais l'isom de twist […] relatif : un cercle (de découpage ou non), marqué ou non, [ou de] relatif ; \(\tau_r\) (pour un cercle de découpage) est composé des nouvelles structures équivalentesfin de page, en oblique et en partie biffée ; lecture très incertaine