dos d'un listing de gestion, à l'encre ; la page continue les croquis de la section précédente (pages 16–20). Aucun numéro de sa main

en haut à gauche, un tétraèdre dont un sommet est marqué, une flèche de rotation autour de lui, de petites flèches sur les arêtes ; à sa droite : 4 hexagones, 4 sommetsle premier chiffre, 4, surcharge un 6 \longrightarrow 8 triangles (4 sommets d'ordre 6, 12 arêtes)

G_4lettre isolée à gauche ; l'indice surcharge un autre chiffre

\ill{}\ :\qquad \mu_6 \times (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^{2} , \qquad \mu_4 \times (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^{2} devant les deux-points, un symbole surchargé, illisible ; les deux groupes sont écrits l'un sous l'autre. À droite, un grand réseau triangulaire (triangles équilatéraux), un parallélogramme fondamental repassé en gras et deux flèches de translation

Hexagone orienté

Carré orientésous ces mots, un croquis d'un prisme ou d'une pyramide carrée, au crayon et à l'encre ; puis un petit parallélogramme dont un sommet est marqué, et, à côté : trois arêtes, trois sommets

en bas à gauche, un parallélogramme à un sommet marqué, avec une flèche de rotation ; à côté : 4 carrés, 8 arêtes, 4 sommets« 4 » surcharge un 2

en bas à droite, un quadrillage carré avec ses diagonales, un point central marqué ; puis, dans un cadre :

en haut, deux flèches courbes de sens opposés entre E_{\varepsilon,+} et E_{\varepsilon,-} ; les deux flèches verticales, à deux pointes, occupent les bords du cadre

grand feuillet de listing, au crayon et aux encres brune et rouge : une planche des neuf types de structures « spéciales » sur un ensemble K de cinq points d'une sphère, chacune dessinée comme sphère à cinq points, avec leurs groupes d'automorphismes et les flèches de degré entre elles. Nous la transcrivons par blocs, de haut en bas et de gauche à droite. À gauche, en marge, trois petits graphes (un sommet à cinq arêtes ; deux sommets ; trois sommets), en face des trois niveaux

\mathrm{I}_{10} (pentagonale). 12 structures pentagonales sur K, \lbrace \sigma, \sigma^{-1} \rbrace \in{} (\mathrm{Circ}(K)) ; G \simeq \mathbb{D}_5 , \qquad \widetilde{G} \simeq \mathbb{D}_5 \times \lbrace 1, \sigma \rbrace .

\mathrm{I}_{6} (bitétraédrale). 20 structures K = J \amalg \omega avec \omega \xrightarrow{\sim} \underline{\omega}(J) ; G \simeq G_J \simeq \mathfrak{S}_3 , \qquad \widetilde{G} \simeq \mathfrak{S}_3 \times \lbrace 1, \sigma \rbrace .

\mathrm{I}_{4} (pyramidale). 30 structures carrées orientées K \simeq \lbrace P \rbrace \amalg I, I structure carrée orientée (Q, \omega) = \vec{Q} ; I = \coprod_{\alpha \in \delta} \alpha \quad (\delta = \text{ens.\ des diagonales } \alpha), \qquad \omega \in J \wedge \bigwedge_{\alpha \in \delta} \alpha , \qquad G = \widetilde{G} \simeq \mathbf{Z}/4\mathbf{Z} .

\mathrm{II}_{2} (carré-triangle droit). 60 structures « pentagone avec sommet » sur K, i.e. K \simeq B \amalg \omega, avec \omega \hookrightarrow J, i.e. P \in J et \omega \simeq \omega' = B \setminus \lbrace P \rbrace ; G \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} , \qquad \widetilde{G} \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \lbrace 1, \sigma \rbrace . sur la sphère, les points \alpha, \alpha', P, \beta, \beta'

\mathrm{II}'_{2} = \mathrm{Tw}_{1/4}\,\mathrm{II}_{2} (carré-triangle gauche), 4 sommets ; même paramétrage que \mathrm{II}_2, G \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} , \qquad \widetilde{G} \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \lbrace 1, \sigma \rbrace . deux sphères ; la première est hachurée (annulée ?), la seconde porte \alpha, \beta, \beta', \alpha_1, P

\mathrm{II}_{1} (tétraèdre-triangle), 6 sommets-repères ; 120 structures anticanoniques épinglées, G = \lbrace 1 \rbrace , \qquad \widetilde{G} = \lbrace 1, \sigma \rbrace le \lbrace 1 \rbrace de G suit un mot noirci ; sur la sphère, les points 1, \infty, 0, P et u_0, \ldots, u_5 \bigl[K = J \amalg E, \mathrm{card}\, J = 3, \mathrm{card}\, E = 2, \omega \in \underline{\omega}(J), r \in J \times E ; \tau^{0}_{r} : \mathrm{II}_1(J, E) \longrightarrow \mathrm{II}_1(u_{\omega}(r)) \quad \text{où } u_{\omega} = \omega \times (1) \text{ sur } J \times E \bigr] à droite, une boucle fléchée : \tau^{0}_{r} = \mathrm{tw}_{1/6}, et \gamma^{2\,\prime}_{r}

\mathrm{III}_{2} (triple triangle droit), 2+2 sommets-repère ; 60 structures « pentagone avec sommet » sur K, G = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} , \qquad \widetilde{G} = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \lbrace 1, \sigma \rbrace .

\mathrm{III}'_{1} (triple triangle semi-gauche), 2+4 sommets-repère ; 120 structures épinglées, G = 1 , \qquad \widetilde{G} = \lbrace 1, \sigma \rbrace . deux sphères égalées, portant P, \bar{P}, 0, 1, \infty

\mathrm{III}'_{2} (triple triangle gauche), 4+4 sommets-repère ; 60 structures de carré orienté à codiagonale, K = \lbrace P \rbrace \amalg I, I muni d'une str. carrée à codiagonale \delta = \lbrace \lbrace \alpha, \beta \rbrace, \lbrace \alpha', \beta' \rbrace \rbrace, i.e. d'un repère de \mathbb{J}(I)) ; G = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} , \qquad \widetilde{G} \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \lbrace 1, \sigma \rbrace . le « 60 » surcharge un autre nombre ; l'indice de \mathrm{III}'_2 surcharge un 1

Les flèches. Entre ces sommets, des flèches marquées de leurs degrés :

la liste est la nôtre : sur la page les flèches sont tracées entre les dessins, au crayon, et leurs sources et buts sont lus sur le tracé, parfois sans certitude

\begin{array}{llll} \text{niveau 2} & \mathrm{I}_{10}, \mathrm{I}_{6}, \mathrm{I}_{4} & 12+20+30 = 62 \\ \text{niveau 1} & \mathrm{II}_{2}, \mathrm{II}'_{2}, \mathrm{II}_{1} & 60+60+120 = 240 \\ \text{niveau 0} & \mathrm{III}_{2}, \mathrm{III}'_{1}, \mathrm{III}'_{2} & 60+120+60 = 240 \\ & & \text{total } \overline{542} \end{array} le « 62 » se lit presque « 52 » ; le « 2 » de « niveau 2 » surcharge un autre chiffre

(l'« indice » indique l'ordre de G = \mathrm{Aut}^{+}, donc le nb de structures est 120/i)

NB Sauf \mathrm{I}_4, toutes ces structures sont « réelles ».

\pi \in \mathrm{Pand}(K), s \in K, \rho \in \mathrm{Rep}(\pi) ; B \in \mathrm{Bitét}(K), \vec{Q} \in \overrightarrow{\mathrm{Carr}}(K), r \in \mathrm{Rep}(K) (NB \lbrace (\pi, \rho) \rbrace \simeq \mathrm{Rep}(K))le signe \simeq surcharge un signe biffé

p. 1 de l'auteur : ici commence une suite qu'il numérote 1, 2, 3 en haut au centre (pages 33, 34, 35), sur papier listing. Le titre de section est le début de sa première phrase

Systèmes spéciaux de cinq points sur une sphère complexe (plus généralement sur une courbe droite projective sur un corps alg. clos k de car. 0) Ce sont les systèmes (\Sigma, K) avec K \subset \Sigma, \mathrm{card}\, K = 5, et tels qu'il existe un automorph. non trivial de (\Sigma, K) — i.e. le groupe G des« G » et « des » en interligne automorphismes de (\Sigma, K) n'est pas réduit à 1. On fait la classification suivant la structure de ce groupe.

Soit g \in G d'ordre maximal. On peut identifier g à une permutation de Isic ; ailleurs l'ensemble est K, et la discussion se fait suivant la structure de celle-ci. Notons que l'ordre de g \neq 1 est \nu d'ordre 5 tout automorphisme d'ordre fini de \Sigma a exactement deux pts fixes, et qu'il l'opère commemots en interligne, lecture incertaine \mathbf{Z}/\nu\mathbf{Z} opère librement sur \Sigma \setminus \Sigma^{g}. Cela montre que K = K^{g} \amalg \text{orbites d'ordre } \nu, \quad \text{donc}\quad 2 \leqslant \nu \leqslant 5 . l'opération de \sqrt[\nu]{G_m} (l’indice \nu incertain) marge gauche, en oblique, en face de ces lignes ; très incertain

(1) \nu = 5, alors K est une orbite — OPS que c'est l'orbite \mu_5 \cdot 1 ch. de \mu_5 opérant sur \mathbf{P}^{1}_{k}. Le groupe total des automorph. est \mathbb{D}_5les numéros (1), (2), (3) et « \mathbb{D}_5 » sont encerclés (à isom. près, il y a un seul tel cas.) structure « pentagonale » marge gauche, en oblique ; à droite, une sphère dont l'équateur porte cinq points

(2) \nu = 4, alors K = \mathrm{card}\, I^{g} = 1en interligne, « K^{g} = \lbrace P \rbrace », et I \setminus \lbrace P \rbrace est une orbite. OPS que c'est \mu_4, sur laquelle \mu_4 opère, et P est un pôle, \infty. Le groupe total des automorph. est \mathbf{Z}/4\mathbf{Z} \simeq \mu_4 (). La catégorie de ces configurations est équivalente à celle des carrés orientés. « pyramidale » carréemarge gauche, en oblique ; à droite, une sphère à un pôle et quatre points sur l'équateur

(3) \nu = 3, alors \Sigma \mathrm{card}\, K^{g} = 2 (donc K^{g} = \Sigma^{g}, et K \setminus K^{g} = J est une orbite), Le groupe total est qu'on peut prendre \mu_3. La catégorie de ces configurations est équivalente : celle des triangles combinatoires i.e. celle \mathrm{Ens}(3) des ens. J de card 3. A J on associe \Sigma_J avec J \cup P_J (P_J \subset \Sigma_J^{g} un des deux pôles de \Sigma_J pour une corr. 1–1 avec l'ens. \underline{\omega}(J) des or. de J, si k = \mathbf{C}). Groupe des automorph. est \mathbb{D}_3. « tétraèdres \ell et 3 un de symétries » ; « bitétraèdre »marge gauche, en oblique, deux notes très incertaines ; à droite, une sphère à deux pôles et trois points

Oct. 1983date de sa main, encadrée, en haut de la page, sur l'en-tête imprimé du listing. Ni numéro de sa main ni autre date

à gauche, un diagramme :

au-dessus de RR, « \sigma_0, \sigma_1 » ; sous \vec{A}, un \sigma. La double flèche entre \vec{A} et \vec{A}_0 a une pointe à chaque bout ; N est lu sans certitude. Le texte écrit RR (deux R) pour l'ensemble des repères

3g_s - 3 + \nu_s \geqslant 0 \qquad 2g_s - 2 + \nu_s \geqslant 1 \qquad 2g_s + \nu_s \geqslant 3 les trois inégalités sont écrites l'une sous l'autre, en haut à droite

4) et 5) sont groupés par une accolade, de même 2) et 3) ; le 2) surcharge un autre chiffre, le 5) aussi ; un double trait sépare 3) de 6) et souligne 7). À droite, une note verticale : inverses l'une de l'autre (à modifications près données des cercles marqués)

\begin{array}{l|l} \text{cercles de découpage} & \text{graphe pondéré} \\ \text{cercles de raccord} & \text{graphe bipondéré} \\ & \text{graphe pondéré marqué} \end{array} « marqué » est biffé après « graphe bipondéré » ; « cercles de découpage », « cercles de raccord », « graphe pondéré » sont soulignés sommets de marquage (périphériques / intérieurs), ou de rigidificationen interligne

cercles marqués (non marqués)

type combinatoire d'un objet de SD\mathcal{T}_{\mathrm{top}}

Catégorie des types combinatoires

à droite, une série de symboles : \mathcal{T}S, \mathcal{T}D, \mathcal{T}SD et \mathcal{T}^{*}(\Gamma), biffés par de longs traits obliques ; à côté, en colonne, \mathcal{T} (sous « avec \omega^{L} \pm »), puis deux colonnes séparées d'un trait : S\mathcal{T}, SD\mathcal{T}, D\mathcal{T} | ST, SDT, DT. Au bas, deux losanges :

dans le premier losange, les sommets sont annotés : \mathcal{T}, « graphes pond. discrets » ; S\mathcal{T}, « graphes b » ; D\mathcal{T}, « graphes pondérés » ; SD\mathcal{T}, « graphes ». Dans le second, la lettre, lue \mathbb{L} comme à la page 41 (troisième lot), est incertaine ; ses sommets sont écrits en minuscules cursives st, dt, sdt

en bas à gauche : Le point twist relatif \tau_{\rho} (\rho \in Q) : un cercle de découpage marqué, est défini au moyen de 4)5), avec \tau_{\rho} = \mathrm{id} si \rho \in \mathbf{Z} \boxed{S_{*}\mathcal{T}^{\pm 1}_{g,\nu} \longrightarrow \mathcal{T}^{\pm 1}_{g,\nu} \longrightarrow \mathrm{Ens}(\nu) \times [\pm 1]} \mathcal{T}_{g,\ill{}} (T S R)_{g,\nu} : \mathcal{T}_{g,\nu} S_{\alpha}le premier S_{*}, l'étoile sous le S, et les indices sont lus sans certitude

Mais l'isom de twist relatif : un cercle (de découpage ou non), marqué ou non, ou de relatif ; \tau_r (pour un cercle de découpage) est composé des nouvelles structures équivalentesfin de page, en oblique et en partie biffée ; lecture très incertaine