Cote n° 147 · batch 10 · pages 181–189 · Transcription · Structure à l'infini des Mg,ν [pages 1 à 90, dont table des matières] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois » (141 à 149) est daté [à partir de 1978]-1983
Édition de démonstration

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181La page s'ouvre au milieu d'une phrase commencée avant ce lot (p. 86 de l'auteur) : il y est question de la structure locale d'une stratification au voisinage d'un point de la strate \(X_i\).

NB les \(Z_j\) loc. connexes

isomorphe à une structure produit, \(X_i \times Z\) (avec les \(X_j\) correspondant à des \(Z_j \subset Z\), \(\overline{X_j}\) à \(\overline{Z_j}\), \(X_i\) à un \(z_0 \in Z\) contenu dans les \(\overline{Z_j}\)), et les \(\pi_0(Z_j\,;\overline{Z_j},z_0)\) sont des ⌜[…]⌝ cardinal \(1\), i.e. il existe un syst. fond. de voisinages de \(z_0\) dans \(Z\) dont l'intersection avec les \(Z_j\) est connexe)

Remarques : Si \(U\) est un ouvert de \(X\), alors l'ens. des composantes connexes des \(U \cap X_i\) forme ⌜[…]⌝ une stratification ⌜globale⌝ de \(U\). Donc l'ens. l'app ⌜à un⌝ ouvert \(U\) variable de \(X\), \[U \longmapsto \mathrm{Strglob}(U)\] forme un préfaisceau sur \(X\). Les exemples des d) montrent que ce préfaisceau n'est pas […] ⌜un faisceau⌝ (autre exemple encore plus simple : les feuilletages !)

j'ai l'impression cependant qu'[…] stratification globale est connue quand on connaît localement

Les sections du faisceau associé s'appellent les ⌜structures de⌝ stratifications locales sur \(X\). Comparer avec l'exercice de SGA (théorie des Topos) sur les relations d'équivalence locales — les stratifications en sont des exemples très

182p. 87 de l'auteur.

particulières.

Si j'avais

On suppose donnée sur \(X\) une structure de stratification locale. Si j'en avais, on pourrait comme dans le cas des feuilletages, plus gén. des toutes les relations d'équivalence locales) définir l'espace ⌜déployé⌝ des feuilles, que je vais une partition de \(X\) en des feuilles ⌜strates⌝, disons que feuilles ⌜Str. \(E\)⌝ étant munie d'une topologie (qui n'est pas en général la topologie induite) telle que l'application \[E \longrightarrow X \tag{296}\] soit une immersion locale. Je vais désigner par \(D^{*}_{\Delta_0}\) la […] ⌜l'espace⌝ […] des feuilles, donc \[D^{*}_{\Delta_0} \longrightarrow X , \tag{297}\] […] est bijective, et une imm. locale.

Dans (296) le \(E\) est écrit à double trait, sur un \(D\) biffé ; dans (297) le \(D\) est à double trait, sur un \(E\) biffé. Plus loin il écrit \(D\) tantôt simple, tantôt à double trait, sans différence apparente : on transcrit partout \(D\). L'astérisque en exposant est souvent tracé comme un \(\alpha\) (pp. 183, 185) ; le contexte impose \(D^{*}\).

183Remarques 1) Si \(X\) est compact, on voit qu'il n'y a qu'un nb fini de feuilles ⌜strates⌝ (qui sont loc. compactes) — on s'intéresse surtout aux feuill[etages] ⌜stratifications⌝ avec un nb fini de strates — mais bien sûr cette hyp. n'est pas stable par passage à un ouvert de \(X\).

b) La formation de \(D^{*}_{\Delta_0}\) commute à la restriction à un ouvert de \(X\).

c) Si la […] ⌜structure⌝ de strat. est définie par un diviseur à croisements normaux dans un espace analytique, alors on a un homéomorphisme \[D^{*}_{\Delta_0} \simeq \coprod_{d \in \mathbb{N}} D^{*}_{d} \tag{298}\] donc la notation \(D^{*}_{\Delta_0}\) introduite ici coïncide avec celle des […] deux sections précédentes.

184p. 88 de l'auteur ; en tête, à côté du numéro, un mot biffé illisible.

On appelle drapeau de longueur \(r \in \mathbb{N}\) d'une stratification globale tout système \[\Sigma_* = \{\overline{X_{i_0}} \subset \overline{X_{i_1}} \subset \dots \subset \overline{X_{i_r}}\} \tag{299}\] de strates — le drapeau est non dégénéré si les inclusions sont strictes. Un drapeau local ⌜strict⌝ de longueur \(r\) est un système couple formé d'un tel drapeau, et d'une « origine » \(x \in X_{i_0}\) NB. \[x \in X_{i_0} \tag{300}\] NB on exige \(x \in X_{i_0}\) et non seulement \(x \in \overline{X_{i_0}}\).

On met une topologie sur l'ens. des drapeaux du type donné, en […] les drapeaux passage encadré et barré en croix.

On met une topologie sur l'ens. des drapeaux ⌜locaux stricts⌝ (de type), de longueur \(r\), en prenant comme ⌜base d'ouverts les⌝ voisinages des \((x,\Sigma_*)\) ensembles qu'on obtient en prenant \(\Sigma_*\) fixe, et \(x\) variable dans un ouvert de \(\Sigma_*\). On trouve un espace topologique \(D^{*}_{\Delta_r}\), qui s'envoie dans \(X\) par

185les images des composantes connexes des \(D^{*}_{\Delta_r}\) sont des strates

\((x,\Sigma_*) \longmapsto x\), d'où \[D^{*}_{\Delta_r} \longrightarrow X \tag{301}\] qui est une immersion locale. En fait, cet espace sur \(X\) ne dépend que de la ⌜structure de⌝ stratification locale sur \(X\) définie par la stratification globale — on pourrait la définir directement en termes de la structure locale à l'aide de la notion des « drapeaux en germes de strates ». Une autre façon de procéder serait de On aura ⌜Dans⌝ le cas d'une stratification associée à un diviseur à cr. norm. sur un esp. analytique, on retrouve les notations déjà utilisées \[D^{*}_{\Delta_r} = \coprod_{d_r \in \mathcal{P}_{r+1}(\mathbb{N})} D^{*}_{d_r}\] des \(D_{\Delta_r}\) des deux sections précédentes. Mais il faudrait pouvoir définir l'analogue des morphismes ½simpliciaux

Le \(\Delta_r\) de gauche est écrit sur un symbole biffé ; sous le \(\coprod\), un indice biffé.

186p. 89 de l'auteur. \[D^{*}_{\Delta_r} \longrightarrow D_{\Delta_{r'}} \quad \text{pour } \Delta_{r'} \to \Delta_r\] et pour ceci, on doit ⌜pourrait⌝ définir quelque chose qui tienne lieu de \(D_{\Delta_{r'}}\) —

On va définir les drapeaux ⌜(pas stricts)⌝ généraux comme étant les systèmes \((x,\Sigma_*)\), mais cette fois-ci ⌜seulement⌝ \[x \in \overline{X_{i_0}} .\] On définit la topologie comme précédemment, on trouve un \(D_{\Delta_r}\) et \[D_{\Delta_r} \longrightarrow X , \tag{302}\] qui est encore une immersion locale, et \(D^{*}_{\Delta_r}\) est un ouvert canonique de \(D_{\Delta_r}\).

Cette fois-ci on a fait ce qu'il fallait pour que les \(D_{\Delta_r}\) forment un système ½simplicial d'espaces — les morphismes de dégénérescence fournissant des […].

Cet espace ½simplicial est-il

187une catégorie dans \((\mathrm{Top})\) ? Oui, en d'autres termes, l'application canonique \[D_{\Delta_2} \xrightarrow{\ \sim\ } D_{\Delta_1} \times_{D_{\Delta_0}} D_{\Delta_1} \tag{303}\] est iso — cela exprime simplement que la donnée d'un drapeau ⌜local⌝ de longueur \(2\) \[\Sigma_* = \{x \in \overline{X_{i_0}} \subset \overline{X_{i_1}} \subset \overline{X_{i_2}}\}\] revient à la donnée de \(\{x \in \overline{X_{i_0}} \subset \overline{X_{i_1}}\}\) et \(\{x \in \overline{X'_{j_0}} \subset \overline{X'_{j_1}}\}\) telles que \(\overline{X_{i_1}} = \overline{X'_{j_0}}\) (il s'agit de germes autour de \(x\)…)

Donc une stratification locale définit une « catégorie topologique » \[\left\{ \begin{aligned} &\text{espace des objets} = D_{\Delta_0} \\ &\qquad = \text{espace des strates locales pas strictes} \\ &\text{espace des flèches} = D_{\Delta_1} \\ &\qquad = \text{espace des drapeaux } x \in \overline{X_{i_0}} \subset \overline{X_{i_1}} \end{aligned} \right. \tag{303}\] morphismes « source », « but », « composition » définis de façon évidente.

Le numéro (303) est porté deux fois sur cette page, par l'auteur. Devant « pas strictes », un mot biffé illisible.

188p. 90 de l'auteur.

On a ceci : \[D_{\Delta_r} \xrightarrow{\ \sigma\ } D_{\Delta_0} \tag{304}\] application simpliciale correspondant au « premier sommet » d'un simplexe ordonné ; ou à la « source » d'une suite de flèches \(\bullet \to \bullet \to \bullet \cdots \to \bullet\).

NB \(D^{*}_{\Delta_r}\) est l'image inverse de \(D^{*}_{\Delta_0}\)

est une application finie étale au dessus de \(D^{*}_{\Delta_0}\) (NB Dans le cas « […] […] », c'est […] vrai […] cette fois sur \(D_{\Delta_0}\) tout entier — mais c'est là un fait très spécial, dû au fait que les […] strates sont des variétés topologiques — ce qui implique les […] pour […] […] des \(D_{\Delta_\bullet}\)…)

Également le fait que […] la structure ⌜locale⌝ ordinaire ⌜de l'une⌝ des \(D^{*}_{\Delta_r}\) sur \(D^{*}_{\Delta_0}\) (flèches structures ⌜des⌝ strates locales contenues dans une strate locale donnée) soit […] ⌜[…]⌝ structure de simplexe

189à l'une des parties d'un ens. fini, est spécial aux croisements normaux et n'est déjà plus le cas pour un point d'où partent trois arcs (un « tripode ») où le nb des strates contenant \(\bullet\) […] […] \(=\) […] \(7\), qui n'est pas une puissance de deux…

NB Pour l'instant, on n'a pas ⌜du tout⌝ fait usage de l'hypothèse ⌜de local trivialité⌝ de p. 86 e). Elle servira plus loin, pour expliciter en termes de fibrations loc. triviales certains voisinages tubulaires, […] ⌜fournissant […]⌝ des « types élémentaires » de la section précédente.

Fin du dossier : la p. 90 de l'auteur est la dernière ; l'argument reste ouvert.