La page s'ouvre au milieu d'une phrase commencée avant ce lot (p. 86 de l'auteur) : il y est question de la structure locale d'une stratification au voisinage d'un point de la strate X_i.
NB les Z_j loc. connexes
isomorphe à une structure produit, X_i \times Z (avec les X_j correspondant à des Z_j \subset Z, \overline{X_j} à \overline{Z_j}, X_i à un z_0 \in Z contenu dans les \overline{Z_j}), et les \pi_0(Z_j\,;\overline{Z_j},z_0) sont des cardinal 1, i.e. il existe un syst. fond. de voisinages de z_0 dans Z dont l'intersection avec les Z_j est connexe)
Remarques : Si U est un ouvert de X, alors l'ens. des composantes connexes des U \cap X_i forme une stratification globale de U. Donc l'ens. l'app à un ouvert U variable de X,
U \longmapsto \mathrm{Strglob}(U)
forme un préfaisceau sur X. Les exemples des d) montrent que ce préfaisceau n'est pas
j'ai l'impression cependant qu' stratification globale est connue quand on connaît localement
Les sections du faisceau associé s'appellent les structures de stratifications locales sur X. Comparer avec l'exercice de SGA (théorie des Topos) sur les relations d'équivalence locales — les stratifications en sont des exemples très
p. 87 de l'auteur.
particulières.
Si j'avais
On suppose donnée sur X une structure de stratification locale. Si j'en avais, on pourrait comme dans le cas des feuilletages, plus gén. des toutes les relations d'équivalence locales) définir l'espace déployé des feuilles, que je vais une partition de X en des feuilles strates, disons que feuilles Str. E étant munie d'une topologie (qui n'est pas en général la topologie induite) telle que l'application
E \longrightarrow X \tag{296}
soit une immersion locale. Je vais désigner par D^{*}_{\Delta_0} la l'espace des feuilles, donc
D^{*}_{\Delta_0} \longrightarrow X , \tag{297}
Dans (296) le E est écrit à double trait, sur un D biffé ; dans (297) le D est à double trait, sur un E biffé. Plus loin il écrit D tantôt simple, tantôt à double trait, sans différence apparente : on transcrit partout D. L'astérisque en exposant est souvent tracé comme un \alpha (pp. 183, 185) ; le contexte impose D^{*}.
Remarques 1) Si X est compact, on voit qu'il n'y a qu'un nb fini de feuilles strates (qui sont loc. compactes) — on s'intéresse surtout aux feuilletages stratifications avec un nb fini de strates — mais bien sûr cette hyp. n'est pas stable par passage à un ouvert de X.
b) La formation de D^{*}_{\Delta_0} commute à la restriction à un ouvert de X.
c) Si la
p. 88 de l'auteur ; en tête, à côté du numéro, un mot biffé illisible.
On appelle drapeau de longueur r \in \mathbb{N} d'une stratification globale tout système
\Sigma_* = \{\overline{X_{i_0}} \subset \overline{X_{i_1}} \subset \dots \subset \overline{X_{i_r}}\} \tag{299}
de strates — le drapeau est non dégénéré si les inclusions sont strictes. Un drapeau local strict de longueur r est un système couple formé d'un tel drapeau, et d'une « origine » x \in X_{i_0} NB.
x \in X_{i_0} \tag{300}
NB on exige x \in X_{i_0} et non seulement x \in \overline{X_{i_0}}.
On met une topologie sur l'ens. des drapeaux du type donné, en les drapeaux passage encadré et barré en croix.
On met une topologie sur l'ens. des drapeaux locaux stricts (de type), de longueur r, en prenant comme base d'ouverts les voisinages des (x,\Sigma_*) ensembles qu'on obtient en prenant \Sigma_* fixe, et x variable dans un ouvert de \Sigma_*. On trouve un espace topologique D^{*}_{\Delta_r}, qui s'envoie dans X par
les images des composantes connexes des D^{*}_{\Delta_r} sont des strates
(x,\Sigma_*) \longmapsto x, d'où
D^{*}_{\Delta_r} \longrightarrow X \tag{301}
qui est une immersion locale. En fait, cet espace sur X ne dépend que de la structure de stratification locale sur X définie par la stratification globale — on pourrait la définir directement en termes de la structure locale à l'aide de la notion des « drapeaux en germes de strates ». Une autre façon de procéder serait de On aura Dans le cas d'une stratification associée à un diviseur à cr. norm. sur un esp. analytique, on retrouve les notations déjà utilisées
D^{*}_{\Delta_r} = \coprod_{d_r \in \mathcal{P}_{r+1}(\mathbb{N})} D^{*}_{d_r}
des D_{\Delta_r} des deux sections précédentes. Mais il faudrait pouvoir définir l'analogue des morphismes ½simpliciaux
Le \Delta_r de gauche est écrit sur un symbole biffé ; sous le \coprod, un indice biffé.
p. 89 de l'auteur.
D^{*}_{\Delta_r} \longrightarrow D_{\Delta_{r'}} \quad \text{pour } \Delta_{r'} \to \Delta_r
et pour ceci, on doit pourrait définir quelque chose qui tienne lieu de D_{\Delta_{r'}} —
On va définir les drapeaux (pas stricts) généraux comme étant les systèmes (x,\Sigma_*), mais cette fois-ci seulement
x \in \overline{X_{i_0}} .
On définit la topologie comme précédemment, on trouve un D_{\Delta_r} et
D_{\Delta_r} \longrightarrow X , \tag{302}
qui est encore une immersion locale, et D^{*}_{\Delta_r} est un ouvert canonique de D_{\Delta_r}.
Cette fois-ci on a fait ce qu'il fallait pour que les D_{\Delta_r} forment un système ½simplicial d'espaces — les morphismes de dégénérescence fournissant des .
Cet espace ½simplicial est-il
une catégorie dans (\mathrm{Top}) ? Oui, en d'autres termes, l'application canonique
D_{\Delta_2} \xrightarrow{\ \sim\ } D_{\Delta_1} \times_{D_{\Delta_0}} D_{\Delta_1} \tag{303}
est iso — cela exprime simplement que la donnée d'un drapeau local de longueur 2
\Sigma_* = \{x \in \overline{X_{i_0}} \subset \overline{X_{i_1}} \subset \overline{X_{i_2}}\}
revient à la donnée de \{x \in \overline{X_{i_0}} \subset \overline{X_{i_1}}\} et \{x \in \overline{X'_{j_0}} \subset \overline{X'_{j_1}}\} telles que \overline{X_{i_1}} = \overline{X'_{j_0}} (il s'agit de germes autour de x…)
Donc une stratification locale définit une « catégorie topologique »
\left\{
\begin{aligned}
&\text{espace des objets} = D_{\Delta_0} \\
&\qquad = \text{espace des strates locales pas strictes} \\
&\text{espace des flèches} = D_{\Delta_1} \\
&\qquad = \text{espace des drapeaux } x \in \overline{X_{i_0}} \subset \overline{X_{i_1}}
\end{aligned}
\right. \tag{303}
morphismes « source », « but », « composition » définis de façon évidente.
Le numéro (303) est porté deux fois sur cette page, par l'auteur. Devant « pas strictes », un mot biffé illisible.
p. 90 de l'auteur.
On a ceci :
D_{\Delta_r} \xrightarrow{\ \sigma\ } D_{\Delta_0} \tag{304}
application simpliciale correspondant au « premier sommet » d'un simplexe ordonné ; ou à la « source » d'une suite de flèches \bullet \to \bullet \to \bullet \cdots \to \bullet.
NB D^{*}_{\Delta_r} est l'image inverse de D^{*}_{\Delta_0}
est une application finie étale au dessus de D^{*}_{\Delta_0} (NB Dans le cas « », c'est vrai cette fois sur D_{\Delta_0} tout entier — mais c'est là un fait très spécial, dû au fait que les
Également le fait que (flèches structures des strates locales contenues dans une strate locale donnée) soit structure de simplexe
à l'une des parties d'un ens. fini, est spécial aux croisements normaux et n'est déjà plus le cas pour
un point d'où partent trois arcs (un « tripode »)
où le nb des strates contenant \bullet =
NB Pour l'instant, on n'a pas du tout fait usage de l'hypothèse de local trivialité de p. 86 e). Elle servira plus loin, pour expliciter en termes de fibrations loc. triviales certains voisinages tubulaires,
Fin du dossier : la p. 90 de l'auteur est la dernière ; l'argument reste ouvert.