Cote n° 147, pages 161–180

Cote n° 147 · batch 9 · pages 161–180 · Transcription · Structure à l'infini des Mg,ν [pages 1 à 90, dont table des matières] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois » (141 à 149) est daté [à partir de 1978]-1983
Édition de démonstration

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161p. 77 de l'auteur (le chiffre est surchargé). La phrase qui ouvre la page continue un argument commencé avant ce lot. Dans un tel cas, les topos envisagés comme « pièces de construction » sont les $\mathcal{V}_{d_*,d'_*}$ et $\mathcal{V}^*_{d_*,d'_*}$. Du p[oin]t de vue notation, j'ai omis d'éliminer des redondances, telles que $D_{d_0,d_0}\simeq D_{d_0}$ et $D_{d_0,d_1,d_1}\simeq D_{d_0,d_1}$ (les op[érations] ⌜simpl.⌝ de dégénérescence sont des iso !) en exigeant $d_0>\dots>d_r$ dans la notation $D_{d_*}=D_{d_0,\dots,d_r}$ (ce qui indique qu'il […] […] : des op. simpliciales qui correspondent à des inclusions de simplexes types — donc : des composés d'op. face), donc et les redondances du type $D_{d,0}\simeq D_d$, plus gén. $D_{d_0,\dots,d_r,0}\simeq D_{d_0,\dots,d_r}$ (si $d_r>0$) en exigeant que si $r\geqslant 1$, alors $d_r>0$. […] Avec cette notation, le seul $D_{d_*}$ où figure l'indice $0$ est $D_0$. Il faudrait donc compléter implicitement les op. simpliciales entre les $D_{d_*}$ en y ajoutant les projections \[D_{d_*}\longrightarrow D_0=X\] p. ex. en regardant les $D_{d_*}$ comme étant des espaces analytiques au-dessus de $X$ (les op. simpliciales respectant cette structure). Ces morphismes correspondraient formellement à l'inclusion du système vide $\emptyset\subset\{d_0>\dots>d_r\}$.

162p. 78 de l'auteur. Dans tous les cas, les topos composants […] envisagés sont des cas particuliers des $\mathcal{V}_{d_*,d'_*}$ et $\mathcal{V}^*_{d_*,d'_*}$ (260). Je vais faire la liste complète des ⌜typiques⌝ […], en topos, dans le cas le plus élémentaire de tous : \[(261)\qquad X=\mathbb{E}^{1\,\mathrm{an}},\qquad \Theta=\{0\}\] on aura donc (en n'incluant que les $D_{d_*}$ étant non vides) les « drapeaux » $\{0\}$, $\{1\}$, $\{1,0\}$ et les inclusions de drapeaux non triviales $\{0\}\to\{0,1\}$, $\{1\}\to\{0,1\}$.

On aura $D_0=\mathcal{V}_0=\mathbb{C}$, $D_0^*=\mathbb{C}^*$ ($\mathcal{V}_0^*$), $D_1=D_1^*\simeq D_{1,0}=D_{1,0}^*=$ origine de $\mathbb{C}$, $\mathcal{V}_1=\mathcal{V}_{0,\mathbb{C}}$bloc biffé de traits obliques, en partie raturé au point d'être illisible ; la lecture ne vaut que pour ce qui reste visible. \[(262)\quad \left\{\begin{array}{l} D_0=\mathbb{C},\qquad \boxed{D_0^*=\mathbb{C}^*}\\[2pt] D_{1,0}\xrightarrow{\ \sim\ } D_1=\{\mathbb{P}\},\qquad D_{1,0}^*=D_{1,0}\\ \quad\big\downarrow\ \text{inclusion de $\{0\}$ dans $\mathbb{C}$}\\ D_0=\mathbb{C} \end{array}\right. \qquad D_1=\boxed{D_1^*=\{\mathbb{P}\}}\] à droite de $D_1^*=\{\mathbb{P}\}$, biffé : « orig[…] », « (origine de $\mathbb{C}$) ». Le numéro (262) est supposé : seul (263) se lit, dans la marge. \[(263)\quad \left\{\begin{array}{ll} \boxed{\mathcal{V}_0^*\simeq\mathcal{V}_0\xrightarrow{\ \simeq\ } D_0^*=\mathbb{C}^*} & \text{fibré trivial sur $\mathbb{C}^*$ (fibre ponctuelle)}\\ \boxed{\mathcal{V}_1=\mathbb{D}} & \text{(germe de disques ouverts centrés en 0)}\\ \boxed{\mathcal{V}_1^*=\mathbb{D}^*} & \text{(germe de disques ouverts épointés en leur}\\ & \text{\quad centre 0)} \end{array}\right.\] la première ligne encadrée est prise entre deux traits ondulés, au-dessus et au-dessous ; devant « germe », le mot « disque » est biffé. \[\mathcal{V}_{1,0}\simeq\mathcal{V}_1,\qquad \mathcal{V}_{1,0}^*\simeq\mathcal{V}_1^*\] D[…] […] notation […] $D_{d,0}\xrightarrow{\sim}D_d$, […] […] que pour $d_*=(d_0,\dots,d_r)$, $d_r=0$, […] […] […] […] […] $D_{d'_*}$

En définitive, il y a « quatre » pièces de

163construction » qui apparaissent \[(264)\quad \left\{\begin{array}{ll} \mathbb{C}^* & \text{(espaces analytiques « globaux »)}\\ \mathbb{P}\ \text{point} & \text{(\quad id\quad)}\\ \mathbb{D} & \text{germe de disques}\\ \mathbb{D}^* & \text{germe de disques épointés} \end{array}\right.\] une flèche courbe, à gauche de l'accolade, relie $\mathbb{P}$ à $\mathbb{C}^*$. dont deux « globaux », et deux « locaux », qui s'assemblent suivant le diagramme d'inclusions

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\begin{tikzcd}
 & \mathbb{P} \arrow[d, hook] \\
\mathbb{D}^* \arrow[r, hook] \arrow[d, hook] & \mathbb{D} \arrow[d, dashed] \\
\mathbb{C}^* \arrow[r, dashed] & \mathbb{C}
\end{tikzcd}

diagramme (265). Les deux flèches pointillées vers $\mathbb{C}$ et le sommet $\mathbb{C}$ sont entre crochets sur la page : le carré qu'elles ferment est celui que la phrase suivante décrit comme somme amalgamée.

La variété analytique globale $\mathbb{C}$, avec son diviseur $\Theta$ localisé en $\mathbb{P}=\{0\}$, se reconstitue à partir de ce diagramme comme une somme amalgamée \[(266)\qquad \mathbb{C}\simeq\mathbb{C}^*\amalg_{\mathbb{D}^*}\mathbb{D}\,.\]

Si on veut comprendre la situation « de codimension $n$ » dans les les espaces typiques les plus élémentaires, on prendra

164p. 79 de l'auteur. \[(267)\qquad X=\mathbb{C}^I,\qquad \Theta=\operatorname{div}\Big(\prod_{i\in I}z_i\Big)\] après la formule, un mot bref biffé, illisible. où $I$ est un ens. fini de cardinal $n$, et où $(z_i)_{i\in I}$ sont les fonctions coordonnées. On s'attend à ce que les « topos élémentaires » qui correspondent à cette situation soient les produits (indexés par $I$) de topos de l'un quelc. des quatre types envisagés dans (264) — et que les morphismes canoniques entre ces topos doivent correspondre ⌜se déduire⌝ des morphismes inclus dans le diagramme (265). Cela nous […] conduit : considérons les partitions possibles de $I$ en quatre parties, correspondant aux quatre types en question. On écrira « partitions » au sens généralisé : il peut y avoir des « classes » vides. \[(268)\quad \left\{\begin{array}{l} I=\underbrace{I'}_{\substack{\text{correspond aux facteurs}\\ \text{du type « global »}}}\amalg\underbrace{I''}_{\substack{\text{correspond aux facteurs}\\ \text{du type local}}}\\[18pt] I'=\underbrace{I'_0}_{\substack{\text{correspond aux facteurs } \mathbb{P}\\ \text{(de dim 0)}}}\amalg\underbrace{I'_1}_{\substack{\text{correspond aux facteurs } \mathbb{C}^*\\ \text{(de dim 1)}}}\\[18pt] I''=\underbrace{I''_0}_{\text{facteurs } \mathbb{D}}\amalg\underbrace{I''^*}_{\text{facteurs } \mathbb{D}^* \text{ (épointés)}} \end{array}\right.\] sous $I'_1$, le symbole lu $\mathbb{C}^*$ est surchargé et ressemble aussi à $\mathbb{D}^*$ ; le sens (facteurs « globaux » de dimension 1) appelle $\mathbb{C}^*$.

165Si \[d'_0=\operatorname{card} I'_0,\] $d$ est la codimension (rel. à $X$ ⌜$D_0$⌝ $=\mathbb{C}^I$) du topos élémentaire envisagé, qui ici dont donc que \[d_1=\operatorname{card} I'_1\] le symbole à gauche du signe égal est surchargé ; on lit un $d$ d'indice 1, sans certitude. est la dimension de l'« âme » du topos, qui est par définition \[\text{\struck{$D^*_{I'_1}$}}=\underbrace{\prod_{i\in I'_1}\mathbb{C}^*}_{\mathbb{C}^{*I'_1}}\times\underbrace{\prod_{i\in I\setminus I'_1}\mathbb{P}}_{\mathbb{P}^{I'_0}}\] $\prod$ […] […] envisagé […] $I$ On regarde $D_{I'_1}$ comme plongé dans

On a, pour une partie $J$ de $I$, $D_J=\mathbb{C}^{*J}\times\mathbb{P}^{I\setminus J}\subset X=\mathbb{C}^J$, $D^*_J=\mathbb{C}^{*J}\times\mathbb{P}^{I\setminus J}$passage barré de quatre traits obliques.

Pour une partie $J$ de $I$, on pose \[(269)\qquad \begin{array}{l} D_J=\mathbb{P}^J\times\mathbb{C}^{I\setminus J}\subset\mathbb{C}^I=X\\ \quad\cup\\ D^*_J=\mathbb{P}^J\times\mathbb{C}^{*\,I\setminus J} \end{array}\] sous-espace typique défini par l'annulation des coordonnées $z_j$, où $j\in J$, de codimension $d=\operatorname{card}J$. on aura donc \[(270)\qquad \left\{\begin{array}{l} D_d=\coprod_{J\subset\mathcal{P}(I),\ \operatorname{card}J=d} D_J\\ D^*_d=\coprod D^*_J \end{array}\right.\]

166p. 80 de l'auteur. Avec cette notation, l'âme du topos ⌜élémentaire⌝ envisagé est $D^*_{I\setminus I'_1}$, qu'on va considérer comme plongé dans $D^*_{I'_0}$ : \[(271)\qquad \underset{(\text{« âme »})}{A}=D^*_{\underbrace{\scriptstyle I\setminus I'_1}_{I'_0\amalg I''}}\ \underset{\substack{\text{immersion}\\ \text{de codim. } I''}}{\hookrightarrow}\ D^*_{I'_0}=\underset{(\text{« réceptacle »})}{R}\] Le premier cas où on aurait $I''=I''_0$ correspond à celui d'un voisinage tubulaire de $D^*_A$ dans $D_{I'_0}$ $A$ dans $R$, soit $\mathcal{V}_{A,R}$), celui où $I''=I''^*$ correspond au cas de $\mathcal{V}^*_{A,R}$ (le $*$ bien sûr relatif ici à la situation induite sur $R$, où on y prend, sur $D_{I'_0}\supset R$, avec le diviseur induit par $\Theta_{d_0}$ …). Le cas « général », correspond bien entendu à la donnée d'une strate intermédiaire entre $A$ et $R$ \[(272)\qquad \begin{array}{ccccc} A & \hookrightarrow & B & \hookrightarrow & R\\ \| & & \| & & \|\\ D^*_{I'_0\amalg I''} & \big| & D^*_{I'_0\amalg I''^*} & \big| & D^*_{I'_0}\\ & \scriptstyle\text{codim. card } I''_0=d''_0 & & \scriptstyle\text{codim.}=\operatorname{card}I''^*=d''^* & \end{array}\]

167Je vais désigner par $\mathcal{V}^{B(*)}_{A,R}$ le topos correspondant, qui peut se décrire comme un produit fibré \[(273)\qquad \begin{array}{ccc} \mathcal{V}_{A,R} & \overset{\text{can}}{\hookrightarrow} & \mathcal{V}_{B,R}\\ \big\uparrow & & \big\uparrow\\ \mathcal{V}^{B(*)}_{A,R} & \hookrightarrow & \mathcal{V}^*_{B,R} \end{array}\] Ce topos, dans la situation générale tout précédente, dans les notations des précédenteslecture d'ensemble de ces deux lignes incertaine ; un mot biffé avant « notations ». correspondant : données \[(274)\qquad \begin{array}{ccccc} d''_* & \subset & d'_* & \subset & d_*\\ \| & & \| & & \|\\ \{d''_0>\dots>d''_{r''}\} & & \{d'_0>\dots>d'_{r'}\} & & \{d_0>\dots>d_r\} \end{array}\] d'où \[(275)\qquad D_{d_*}\longrightarrow D_{d'_*}\longrightarrow D_{d''_*}\] dans on prendra le produit fibré $\mathcal{V}_{D_{d_*},D^{\ill{}}_{d''_*}}^{(*)}$ (qu'on notera par définition $\mathcal{V}^{d'_*}_{d_*,d''_*}$) : On va donc noter $\mathcal{V}^{d'_0}_{d_*,d''_0}$ ces topos. la ligne inférieure du diagramme et la flèche verticale de droite sont celles de la page ; les indices de la colonne de droite (prime ou non, $d$ ou $d_*$) sont lus avec peine.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathcal{V}^*_{D_{d_*},D'_{d''_*}} \arrow[r, hook] & \mathcal{V}_{D'_{d_*},D_{d''_*}} \\
\mathcal{V}^{d'_*}_{d_*,d''_*} \arrow[u] \arrow[r] & \mathcal{V}^*_{D'_d,D''_d} \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

diagramme (276) d'après le numéro de la marge (on lit « 270 », surchargé) ; la flèche de droite monte vers $\mathcal{V}_{D'_{d_*},D_{d''_*}}$, et une seconde flèche courbe part de ce sommet vers une remarque en haut à droite : « ici les $d_*$ car […] ». [attention aux $*$ — on ne s'en occupe pas ici : on veut pas en plus sur $D_{d_*}$ l'action $*$ — l'âme doit être $D^*_{d_*}$ !]

NB ce topos ne dépend en fait que des $d_*$, $d'_0$, $d''_0$, où $d_0\geqslant d'_0\geqslant d''_0\geqslant 0$ ?

168p. 81 de l'auteur. Il me semble devenu plausible que ces topos, avec les morphismes canoniques entre eux qu'il faudrait expliciter, épuisent : expriment tous les topos ⌜canoniques⌝ de stratification, envisagés jusqu'à présent. Prenons Prenons un cas-type, ⌜non⌝ élémentaire, i.e. $\mathbb{C}^2$, […] il y a donc $4\times 4=16$ […] topos (qui s'ajoutent à un antérieur ?)la parenthèse et le mot « antérieur » sont lus avec peine ; un trait relie « élémentaires » à « qui ». de la forme : \[(277)\quad \left\{\begin{array}{ll} D_0^*=\mathbb{C}^*\times\mathbb{C}^* & (D_0=X=\mathbb{C}\times\mathbb{C})\\[2pt] \left.\begin{array}{l}\Delta_1^*=\mathbb{C}^*\times\mathbb{P}\\ \Delta_2^*=\mathbb{P}\times\mathbb{C}^*\end{array}\right\} & D_1^*=\Delta_1^*\amalg\Delta_2^*\quad (D_1=\Delta_1\amalg\Delta_2)\\ & \quad\text{où } \Delta_1=\mathbb{C}\times\mathbb{P},\ \Delta_2=\mathbb{P}\times\mathbb{C}\\[2pt] \mathbb{P}=\mathbb{P}\times\mathbb{P} & D_2^*=D_2=\mathbb{P}\\[6pt] \mathcal{V}_{\Delta_1^*,X}=\mathbb{C}^*\times\mathbb{D} & \mathcal{V}^*_{\Delta_1^*,X}=\mathbb{C}^*\times\mathbb{D}^*\\ \mathcal{V}_{\Delta_2^*,X}=\mathbb{D}\times\mathbb{C}^* & \mathcal{V}^*_{\Delta_2^*,X}=\mathbb{D}^*\times\mathbb{C}^*\\[2pt] \mathcal{V}_{\mathbb{P},\Delta_1}=\mathbb{D}\times\mathbb{P} & \mathcal{V}^*_{\mathbb{P},\Delta_1}=\mathbb{D}^*\times\mathbb{P}\\ \mathcal{V}_{\mathbb{P},\Delta_2}=\mathbb{P}\times\mathbb{D} & \mathcal{V}^*_{\mathbb{P},\Delta_2}=\mathbb{P}\times\mathbb{D}^*\\[6pt] \mathcal{V}_{\mathbb{P},X}=\mathbb{D}\times\mathbb{D}, & \\ \mathcal{V}^{\Delta_1}_{\mathbb{P},X}=\mathbb{D}\times\mathbb{D}^*, & \mathcal{V}^{\Delta_2}_{\mathbb{P},X}=\mathbb{D}^*\times\mathbb{D}\\ \mathcal{V}^*_{\mathbb{P},X}=\mathbb{D}^*\times\mathbb{D}^* & \end{array}\right.\] sur la page, une grande accolade marquée (277) embrasse le tout, et des accolades secondaires regroupent les lignes par types ; un astérisque en marge marque le groupe des $D^*$. Les égalités $\mathcal{V}^*_{\Delta_2^*,X}$ et $\mathcal{V}^*_{\mathbb{P},\Delta_1}$ portent un astérisque surchargé. Ces […] écrites […] […] bien entendu […] […] […] et symétriques sous les rangées […] — il faudrait […] […] écrire […] !

169Comment reconstituer p. ex. les ouverts « globaux » partir topos canoniques (cf. p. 74' […]p. 74' de l'auteur, hors de ce lot ; le signe qui suit est illisible.) qui sont des ouverts globaux de $X=\mathbb{C}^2$, savoir $\mathbb{C}^2\setminus\Delta_1$, […] \[(278)\qquad X=\mathbb{C}^2,\quad \underbrace{\mathbb{C}^2\setminus\Delta_1}_{U_1},\quad \underbrace{\mathbb{C}^2\setminus\Delta_2}_{U_2},\quad U=U_1\cup U_2=\mathbb{C}^2-\{\mathbb{P}\},\quad U_1\cap U_2=\mathbb{C}^*\times\mathbb{C}^*\] Pour ces derniers, seuls le dernier est déjà « élémentaire » — c'est $D_0^*$. On aura \[\left.\begin{array}{l} U_1=\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*\\ U_2=\mathbb{C}^*\times\mathbb{C}\end{array}\right\}\quad \mathbb{C}=\mathbb{C}^*\amalg_{\mathbb{D}^*}\mathbb{D}\] \[U=U_1\amalg_{U_1\cap U_2}U_2\qquad\text{où}\quad U_1\cap U_2=D_0^*\] \[X=\mathbb{C}\times\mathbb{C}\] d'où il suffit d'exprimer $U_1$, $U_2$ seront donnés par les sommes amalgamées« seront donnés » lu avec peine.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \mathbb{D}^*\times\mathbb{C}^* \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
\mathbb{C}^*\times\mathbb{C}^* \arrow[dr, dashed] & \text{loc.} & \mathbb{D}\times\mathbb{C}^* \arrow[dl, dashed] \\
 & U_1 & \\
 & \mathbb{C}^*\times\mathbb{D}^* \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
\mathbb{C}^*\times\mathbb{C}^* \arrow[dr, dashed] & \text{loc.} & \mathbb{C}^*\times\mathbb{D} \arrow[dl, dashed] \\
 & U_2 &
\end{tikzcd}

diagrammes (279), sous une accolade commune. Les flèches vers $U_1$ et $U_2$ sont tracées en pointillé sur la page, et chaque $U_i$ est entre parenthèses ; la flèche $\mathbb{C}^*\times\mathbb{D}^*\to\mathbb{C}^*\times\mathbb{C}^*$ n'a pas de pointe nette.

170la page porte à nouveau le numéro 81 de l'auteur, comme la p. 168 du fonds. $U$ comme somme amalgamée

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \mathbb{C}^*\times\mathbb{D}^* \arrow[dl] \arrow[dr] & & \mathbb{D}^*\times\mathbb{C}^* \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
\mathbb{C}^*\times\mathbb{D} \arrow[drr, dashed] & & \mathbb{C}^*\times\mathbb{C}^* & & \mathbb{D}\times\mathbb{C}^* \arrow[dll, dashed] \\
 & & U=\mathbb{C}^2\setminus\{\mathbb{P}\} & &
\end{tikzcd}

diagramme (280) ; les deux flèches vers $U$ sont en pointillé et $U$ est entre parenthèses, comme en (279).

$\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ comme somme amalgamée du diagramme suivant (de type produit de $\longleftarrow\!\cdot\!\longrightarrow$ par lui-même) $\mathbb{C}^*\times\mathbb{D}^*\leftarrow\mathbb{D}^*\times\mathbb{D}^*\to\mathbb{D}^*\times\mathbb{D}^*$, $\mathbb{D}^*\times\mathbb{D}^*$première ébauche du diagramme, raturée de traits en zigzag ; la lecture des sommets est incertaine.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathbb{C}^*\times\mathbb{C}^* & \mathbb{D}^*\times\mathbb{C}^* \arrow[l] \arrow[r] & \mathbb{D}\times\mathbb{C}^* \\
\mathbb{C}^*\times\mathbb{D}^* \arrow[u, no head] \arrow[d] & \mathbb{D}^*\times\mathbb{D}^* \arrow[l] \arrow[r] \arrow[u] \arrow[d] & \mathbb{D}\times\mathbb{D}^* \arrow[u] \arrow[d, no head] \\
\mathbb{C}^*\times\mathbb{D} & \mathbb{D}^*\times\mathbb{D} \arrow[l] \arrow[r] & \mathbb{D}\times\mathbb{D}
\end{tikzcd}

diagramme (281). Sur la page, $\mathbb{D}\times\mathbb{D}^*=\mathcal{V}^{\Delta_2}_{\mathbb{P},X}$ et, sous $\mathbb{D}^*\times\mathbb{D}$, $\|\ \mathcal{V}^{\Delta_1}_{\mathbb{P},X}$. Deux traits verticaux (colonne de gauche vers le haut, colonne de droite vers le bas) n'ont pas de pointe visible. Somme amalgamée $=\mathbb{C}^2$

171C'est dans ces deux diagrammes qu'interviennent les « non-locaux » topos élémentaires qui n'interviennent dans « l'introduction », savoir le fameux $\mathcal{V}^{\Delta_1}_{\mathbb{P},X}$ et $\mathcal{V}^{\Delta_2}_{\mathbb{P},X}$.la lecture « qui n'interviennent dans » est douteuse ; la phrase n'a peut-être pas de négation complète.

Je voudrais maintenant expliciter le voisinage des topos $\mathcal{V}^{d'_0}_{d_*,d''_0}$ pour $d'_0,d''_0\in d_*$, $d'_0\geqslant d''_0$ […] ($d''_*\subset d'_*\subset d_*$) variable, et celle des $\pi_1$ associés, et expliciter comment, à l'aide de ces topos sur groupoïdes, on peut reconstituer tous les « topos canoniques » associés : la stratification envisagée — ou leurs groupoïdes fondamentaux.

Avant de […] d'examiner ⌜spécialement⌝ le voisinage des $\mathcal{V}^{d'_0}_{d_*,d''_0}$, je voudrais […] regarder un peu la structure des « espaces » homotopiques précédents, le fibré normal du $D_{d_*}$ dans $D_{d''_0}$, […] $\check{N}_{d_*,d'_*}$ $(282)$ $\check{N}_{d_*,d''_0}\overset{\text{déf}}{=}\check{N}_{D_{d_*},D_{d''_0}}$ fibré normalles deux dernières lignes, avec le numéro (282), sont barrées d'un trait horizontal et d'un trait oblique ; « déf » est écrit au-dessus du signe égal.

172p. 82 de l'auteur. La page commence par la fin de la phrase ouverte au bas de la p. 171. pour l'immersion locale \[D_{d_*}\longrightarrow D_0\] soit $\check{N}_{d_*}$, il y a dans $\check{N}_{d_*}$ une filtration canonique \[(282)\qquad \begin{array}{ccccccccccc} \check{N}_{d_*} & \overset{\text{déf}}{=} & \check{N}_{d_*,d_0} & \supset & \check{N}_{d_*,d_1} & \supset & \check{N}_{d_*,d_2} & \supset\cdots\supset & \check{N}_{d_*,d_r} & \supset & \check{N}_{d_*,0}\\ & & \|\,{\scriptstyle\text{déf}} & & & & & & & & \|\\ & & \check{N}_{D_{d_*},D_{d_0}} & & & & & & & & \{0\}_{D_{d_*}}\\ & & \text{rg } d_0 & & \text{rg } d_1 & & \text{rg } d_2 & & \text{rg } d_r & & \end{array}\] NB $d_*=\{d_0>d_1>\dots>d_r>0\}$ où $\check{N}_{d_*,d_i}$ est défini comme le fibré conormal […] […] la suite exacte de fibrés conormaux associés à la suite d'immersions $D_{d_*}\to D_{\{d_i\}}\to D_0$trois lignes barrées d'un trait ondulé et de traits horizontaux ; la lecture des mots biffés est incertaine. \[(283)\qquad \check{N}_{d_*,d_i}=\check{N}_{D_{d_*},D_{d_i}},\] $(\check{N}_{d_i\to D_0}|D_{d_*})\to\check{N}$ dans la suite exacte $\|$ déf canonique […] associée à l'immersion locale $D_{d_*}\to D_{d_i}$ : \[(284)\qquad 0\longrightarrow\check{N}_{d_*,d_i}\longrightarrow\check{N}_{d_*}\longrightarrow(\check{N}_{d_i}\,|\,D_{d_*})\longrightarrow 0\,;\] plus gén., si $d'_*\subset d_*$ et qu'on prenne $d_i=d'_0$, on déduit de (284) la forme \[(285)\qquad 0\longrightarrow\underset{\substack{\wr\\ \check{N}_{d_*,d'_0}}}{\check{N}_{D_{d_*},D_{d'_*}}}\longrightarrow\underset{\substack{\|\,\text{déf}\\ \check{N}_{d_*}}}{\check{N}_{D_{d_*},D_0}}\longrightarrow(\check{N}_{D_{d'_*}}\,|\,D_{d_*})\longrightarrow 0\] la page qualifie ces fibrés de « conormaux » dans les lignes biffées, mais le texte non biffé de la p. 171 parle de « fibré normal » ; la notation $\check{N}$ est la sienne. Dans (282), $\check{N}_{d_*,0}$ est surchargé (on lit peut-être « $\check{N}_{d_*,0}$ » sur un autre indice).

173Le quotient canonique le plus général associé à la filtration (282) est le fibré vectoriel \[(286)\qquad \check{N}_{d_*;(d'_0,d''_0)}\overset{\text{déf}}{=}\check{N}_{d_*,d''_0}\big/\check{N}_{d_*,d'_0}\] où on suppose \[d'_0,\ d''_0\in d_*,\qquad d''_0\leqslant d'_0\ (\leqslant d_0),\] on a donc une suite exacte canonique \[(287)\qquad 0\longrightarrow\check{N}_{d_*,d'_0}\longrightarrow\check{N}_{d_*,d''_0}\longrightarrow\check{N}_{d_*;(d'_0,d''_0)}\longrightarrow 0\,.\] l'inégalité $d''_0\leqslant d'_0$ s'accorde mal avec l'inclusion $\check{N}_{d_*,d'_0}\subset\check{N}_{d_*,d''_0}$ que demande (287) au vu de la filtration décroissante (282) ; la page porte bien ce qui est transcrit, sous réserve du sens des primes, surchargés par endroits. Cette suite exacte peut s'interpréter ainsi : on a \[\begin{array}{ccccc} d''_* & \subset & d'_* & \subset & d_*\\ \| & & \| & & \\ \{d''_0>\dots>d''_{r''}\} & & \{d'_0>\dots>d'_{r'}\} & & \end{array}\] donc la suite exacte \[(288)\qquad \begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & \check{N}_{D_{d_*},D_{d'_*}} & \to & \check{N}_{D_{d_*},D_{d''_*}} & \to & (\check{N}_{D_{d'_*},D_{d''_*}}\,|\,D_{d_*}) & \to & 0\\ & & \wr & & \wr & & \wr & & \\ & & \check{N}_{d_*,d'_0} & & \check{N}_{d_*,d''_0} & & \check{N}_{d_*;(d'_0,d''_0)} & & \end{array}\] Donc, dans ce cas, un fibré vectoriel $\check{N}/$ (celui-là le plus général […]) est dans $\check{N}_{d_*;(d'_0,d''_0)}$fin de page incertaine ; un trait oblique et une parenthèse en marge droite semblent renvoyer à la suite, hors de ce lot ou à la page suivante.

174p. 83 de l'auteur. […] on a loc. une décomposition en produits de fibrés en droites, d'où (en prenant les fibrés principaux associés) un ouvert \[(289)\qquad N^*\subset N,\qquad\text{en particulier}\quad \left\{\begin{array}{l} N^*_{d_*}\subset N_{d_*}\\ N^*_{d_*,d_i}\subset N_{d_*,d_i}\\ N^*_{d_*;(d'_0,d''_0)}\subset N_{d_*;(d'_0,d''_0)} \end{array}\right.\] qui est d'ailleurs un fibré torseur sous tores convenables, que je me dispense d'expliciter. ici et dans la suite de la page, le chevron sur $N$ est tantôt présent, tantôt absent ; la transcription suit la page.

Considérons alors \[(290)\qquad \check{N}^{d'_0}_{d_*,d''_0}=\text{image inverse de }\check{N}^*_{d_*;(d'_0,d''_0)}\text{ dans }\check{N}_{d_*,d''_0},\] par l'homomorphisme \[\check{N}_{d_*,d''_0}\longrightarrow\check{N}_{d_*;(d'_0,d''_0)}\quad\text{de (287)}.\] On a dans ce cas général : \[(291)\qquad \check{N}^{d'_0}_{d_*,d''_0}\ \text{est fibré sur}\ \check{N}^*=\check{N}^*_{d_*;(d'_0,d''_0)},\] et est un torseur sous le fibré vectoriel sur $\check{N}^*$, image inverse de $\check{N}_{d_*,d_0}$ par $\check{N}^*\to D_{d_*}$.l'indice de $\check{N}_{d_*,d_0}$ est peut-être $d'_0$ ; celui de $D_{d_*}$ porte un signe surchargé.

175Je dis qu'on a alors une équivalence « homéomorphisme » (heuristique !) \[(292)\qquad \check{N}^{d'_0}_{d_*,d''_0}\,|\,D^*_{d_*}\ \simeq\ \mathcal{V}^{d'_0}_{d_*,d''_0}\] qui induit, grâce à l'homomorphisme \[(293)\qquad \check{N}^{d'_0}_{d_*,d''_0}\,|\,D^*_{d_*}\longrightarrow\check{N}^*_{d_*;(d'_0,d''_0)}\,|\,D^*_{d_*}\] qui est une équivalence d'homotopie, une équivalence d'homotopie \[(294)\qquad \boxed{\ \mathcal{V}^{d'_0}_{d_*,d''_0}\ \simeq\ \check{N}^*_{d_*;d'_0,d''_0}\,|\,D^*_{d_*}\quad\text{équivalence d'homotopie}\ }\] qui a le sens d'un « voisinage » de lisse« voisinage de lisse » lu avec peine. par correspondance à une fléchée des lacets canoniques dans une seule où les lacets […], […] (par la […]) d'avoir une relation précise homotopique. Retenons cependant la la phrase s'interrompt au bas de la page ; la lecture des quatre dernières lignes est très incertaine.

176p. 84 de l'auteur. Scholie important. Les « pièces de construction » dans la dissection d'un espace analytique [lisse], muni d'un diviseur à croisements normaux, sont, à homotopie près, les espaces obtenus ainsi, fibrés sur les $D^*_{d_*}=D^*_{(d_0,d_1,\dots,d_r)}$ (qui sont analytiques lisses, […] complémentaires de partie finie finie […] de $\mathcal{N}$)la parenthèse est lue avec peine ; « $\mathcal{N}$ » est peut-être un $\Theta$ ou un autre symbole. ainsi : on regarde […] $\check{N}_{d_*}|D^*_{d_*}$ sur $D^*_{d_*}$ rel. […], ([…] $D_{d_*}\to D_{d_0}$) en fibré ⌜vectoriel⌝ […] muni d'une filtration du type $d_*$, on prend un quotient général $\check{N}=\check{N}_{d_*;(d'_0,d''_0)}$ de cette filtration, […] (contractile : $D^*_{d_*}$), et l'ouvert $\check{N}^*$ — qui est donc un fibré loc. trivial sur $D^*_{d_*}$, à fibres $\mathbb{C}^{*\,d'_0-d''_0}$ — c'est bien ! En fatigant un peu, on doit […] compris le cas […] […] […] associés […] […] […] sur $D^*_0$ […] […] fibré […] le fibré […] $D_0$ […] […] trivial […] […] […] […] l'[…] […] […] […] $D_0$ […] $\Theta$ […] la note marginale est écrite en diagonale dans l'angle gauche de la page, en lignes serrées ; on n'en reconnaît que quelques mots.

177écrire en tous cas : définir une équivalence canonique sur les groupoïdes fondamentaux des $\check{N}^*_{d_*,(d'_0,d''_0)}|D^*_{d_*}$ d'une part, les $\mathcal{V}^{d'_0}_{d_*,d''_0}$ d'autre part \[(295)\qquad \boxed{\ \Pi_1\big(\underbrace{\check{N}^*_{d_*;(d'_0,d''_0)}\,|\,D^*_{d_*}}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \check{N}^{**}_{d_*;(d'_0,d''_0)}}\big)\xrightarrow{\ \approx\ }\Pi_1\mathcal{V}^{d'_0}_{d_*,d''_0}\ }\] Accessoirementmot biffé, lecture incertaine. Actuellement on prend la connaissance du $\Pi_1\mathcal{V}^{d'_0}_{d_*,d''_0}$ (modulo équivalence) revient donc à celle des $\Pi_1$ extensions de $\check{N}^{**}$ fibré au-dessus des affines« affines » lu avec peine. composantes connexes de $D^*_{d_*}$ — et on sait, par la suite exacte d'homotopie, des extensions des $\Pi_1$ des comp. conn. de $D^*_{d_*}$, par des quotients en $\mathbb{Z}^r$ (par l'image du $\Pi_2$ desdites comp. connexes …)

178p. 85 de l'auteur. Remarque. Lorsque les $D^*_{d_*}$ sont tous des $K(\pi,1)$ (ce qui est le cas dans la situation de Teichmüller !) alors la connaissance des systèmes des $\Pi_1\mathcal{V}^{d'_0}_{d_*,d''_0}$ précédents (avec les morphismes canoniques entre ces groupoïdes) doit permettre de reconstituer entièrement le type d'homotopie ⌜groupoïde⌝ de $X$ et des topos ⌜divers⌝ topos canoniques associés à $X$, mais aussi le topos quasi-galoisien formé par les faisceaux sur les topos qui sont des quotients de topos « élémentaires » constitutifs, i.e. loc. constants — et par le biais le type d'homotopie des topos envisagés — y compris $X$ … (par définition, […] […] […] […] […] […] $K(\pi,1)$, faisceaux […] […] […] …) la note marginale, écrite en diagonale dans la marge gauche et reliée par une flèche au mot « constitutifs », n'est lisible que par fragments.

Remarque. Ce n'est pas la compréhension du topos élémentaire, pas un revendufin de page ; la phrase continue hors de la page, la lecture de la dernière ligne est très incertaine.

179compte — le cas le plus simple de $X\simeq\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\approx S^2$, avec un diviseur lisse réduit à un point, donc $X^*\simeq\mathbb{C}$ (qui est bien un $K(\pi,1)$ avec $\pi=\{1\}$ !), est le contre-exemple type, […] car on ne reconstitue pas le type d'homotopie de $X=S^2$ à partir ⌜décrit⌝ via les systèmes « inductifs » des topos galoisiens associé[s] : « décrit » est écrit au-dessus d'un mot biffé, peut-être « exhibé » ; un autre mot biffé, au-dessus de la ligne, se lit « homotopie » sans certitude.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \mathbb{D}^*_\infty \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
\mathbb{D}_\infty & & {\mathbb{C}=\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\setminus\{\infty\}=X^*}
\end{tikzcd}

sous $\mathbb{C}$, le sommet de droite porte une rature épaisse ; on lit $\mathbb{C}$ au-dessous, avant l'égalité. i.e. au diagr. de groupes […]

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \mathbb{Z} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
\{1\} & & \{1\}
\end{tikzcd}

qui se réalise […] le topos global « galoisien » associé (faisceaux sur $S^2$ qui sont loc. constants, donc constants sur $S^2\setminus\{\infty\}=\mathbb{C}$) s'identifie à $\hat{C}$, où $C$ est la catégorie $\to\cdot$ qui a un seul point, donc la cohomologie de $\hat{C}$ est nulle en dim $>0$, alors que celle de $S^2$ ne l'est pas. Ceci souligne la question générale de comprendre le type d'homotopie d'un topos obtenu par « recollement » d'un ouvert à son fermé complémentaire … « recollement d'un ouvert à son fermé complémentaire » est lu avec peine ; la flèche $\to\cdot$ désigne vraisemblablement la catégorie à deux objets et une flèche, mais la page ne précise pas.

180p. 86 de l'auteur. Nouveau paragraphe, numéroté 13 par l'auteur ; il se poursuit au-delà de ce lot.

13. Digressions sur stratifications, locales et globales

Une stratification globale d'un espace topologique $X$ (pour fixer les idées !) est une partition de $X$ en « strates » $(X_i)_{i\in I}$« strates » est écrit au-dessus d'un mot biffé, peut-être « cellules ». ayant les propriétés :

a) les $X_i$ sont loc. fermés — la famille est loc. finie« $X_i$ » et « est loc. finie » sont ajoutés sous la ligne ; la construction exacte reste douteuse.

b) $\forall i\in I$, $X_i$ est une réunion de […] ⌜strates⌝ loc. connexes et connexes« loc. connexes et » est ajouté au-dessous, « connexes » encadré d'un trait ; au-dessus, « elles mêmes connexes » lu avec peine. (si tel, on suppose …)

c) Les strates sont des façons plus fortes que b), que […] ⌜les⌝ composantes connexes d'une $X_{i,\alpha}$ d'un $X_i$, et $\forall X_j$, $\overline{X_{i,\alpha}}\cap X_j$ est une réunion de comp. connexes de $X_j$ ; donc on remplaçant la partition par les $X_i$ par celle par les $X_{i,\alpha}$, on satisfait : a) b) c) …)

d) Les strates $\forall X_i$, et tout $x\in\overline{X_i}$, le germe d'adhérence des $X_i$ en un voisinage de $x$ est connexe (ceci exclut la stratification associée à la courbe à croisement normaux une boucle : une courbe qui se recoupe en un point double. ou celle-ci : un disque hachuré, deux points marqués sur son bord. (une strate de dim. $0$, une de dim. $1$, […] une de dim. $2$)parenthèse écrite en petits caractères sous le dessin ; un mot biffé avant « une de dim. 2 ».). Plus précisément, on veut ceci :

e) $\forall X_i$ la structure locale autour de $X_i$ ⌜de l'adh.⌝ des $\overline{X_j}$ tels que $\overline{X_j}\supset X_i$ est loc. la page s'arrête au milieu de la condition e) ; la suite est hors de ce lot.