Fonds Grothendieck, cote n° 147, pages 161–180

p. 77 de l'auteur (le chiffre est surchargé). La phrase qui ouvre la page continue un argument commencé avant ce lot. Dans un tel cas, les topos envisagés comme « pièces de construction » sont les \mathcal{V}_{d_*,d'_*} et \mathcal{V}^*_{d_*,d'_*}. Du point de vue notation, j'ai omis d'éliminer des redondances, telles que D_{d_0,d_0}\simeq D_{d_0} et D_{d_0,d_1,d_1}\simeq D_{d_0,d_1} (les opérations simpl. de dégénérescence sont des iso !) en exigeant d_0>\dots>d_r dans la notation D_{d_*}=D_{d_0,\dots,d_r} (ce qui indique qu'il : des op. simpliciales qui correspondent à des inclusions de simplexes types — donc : des composés d'op. face), ~~donc~~ et les redondances du type D_{d,0}\simeq D_d, plus gén. D_{d_0,\dots,d_r,0}\simeq D_{d_0,\dots,d_r} (si d_r>0) en exigeant que si r\geqslant 1, alors d_r>0. Avec cette notation, le seul D_{d_*} où figure l'indice 0 est D_0. Il faudrait donc compléter implicitement les op. simpliciales entre les D_{d_*} en y ajoutant les projections D_{d_*}\longrightarrow D_0=X p. ex. en regardant les D_{d_*} comme étant des espaces analytiques au-dessus de X (les op. simpliciales respectant cette structure). Ces morphismes correspondraient formellement à l'inclusion du système vide \emptyset\subset\{d_0>\dots>d_r\}.

p. 78 de l'auteur. Dans tous les cas, les topos composants envisagés sont des cas particuliers des \mathcal{V}_{d_*,d'_*} et \mathcal{V}^*_{d_*,d'_*} (260). Je vais faire la liste complète des typiques , en topos, dans le cas le plus élémentaire de tous : (261)\qquad X=\mathbb{E}^{1\,\mathrm{an}},\qquad \Theta=\{0\} on aura donc (en n'incluant que les D_{d_*} étant non vides) les « drapeaux » \{0\}, \{1\}, \{1,0\} et les inclusions de drapeaux non triviales \{0\}\to\{0,1\}, \{1\}\to\{0,1\}.

On aura ~~D_0=\mathcal{V}_0=\mathbb{C}, D_0^*=\mathbb{C}^* (\mathcal{V}_0^*), D_1=D_1^*\simeq D_{1,0}=D_{1,0}^*= origine de \mathbb{C}, \mathcal{V}_1=\mathcal{V}_{0,\mathbb{C}}~~bloc biffé de traits obliques, en partie raturé au point d'être illisible ; la lecture ne vaut que pour ce qui reste visible. (262)\quad \left\{\begin{array}{l} D_0=\mathbb{C},\qquad \boxed{D_0^*=\mathbb{C}^*}\\[2pt] D_{1,0}\xrightarrow{\ \sim\ } D_1=\{\mathbb{P}\},\qquad D_{1,0}^*=D_{1,0}\\ \quad\big\downarrow\ \text{inclusion de $\{0\}$ dans $\mathbb{C}$}\\ D_0=\mathbb{C} \end{array}\right. \qquad D_1=\boxed{D_1^*=\{\mathbb{P}\}} à droite de D_1^*=\{\mathbb{P}\}, biffé : « orig », « (origine de \mathbb{C}) ». Le numéro (262) est supposé : seul (263) se lit, dans la marge. (263)\quad \left\{\begin{array}{ll} \boxed{\mathcal{V}_0^*\simeq\mathcal{V}_0\xrightarrow{\ \simeq\ } D_0^*=\mathbb{C}^*} & \text{fibré trivial sur $\mathbb{C}^*$ (fibre ponctuelle)}\\ \boxed{\mathcal{V}_1=\mathbb{D}} & \text{(germe de disques ouverts centrés en 0)}\\ \boxed{\mathcal{V}_1^*=\mathbb{D}^*} & \text{(germe de disques ouverts épointés en leur}\\ & \text{\quad centre 0)} \end{array}\right. la première ligne encadrée est prise entre deux traits ondulés, au-dessus et au-dessous ; devant « germe », le mot « disque » est biffé. \mathcal{V}_{1,0}\simeq\mathcal{V}_1,\qquad \mathcal{V}_{1,0}^*\simeq\mathcal{V}_1^* D notation D_{d,0}\xrightarrow{\sim}D_d, que pour d_*=(d_0,\dots,d_r), d_r=0, D_{d'_*}

En définitive, il y a « quatre » pièces de

construction » qui apparaissent (264)\quad \left\{\begin{array}{ll} \mathbb{C}^* & \text{(espaces analytiques « globaux »)}\\ \mathbb{P}\ \text{point} & \text{(\quad id\quad)}\\ \mathbb{D} & \text{germe de disques}\\ \mathbb{D}^* & \text{germe de disques épointés} \end{array}\right. une flèche courbe, à gauche de l'accolade, relie \mathbb{P} à \mathbb{C}^*. dont deux « globaux », et deux « locaux », qui s'assemblent suivant le diagramme d'inclusions

\begin{tikzcd} & \mathbb{P} \arrow[d, hook] \\ \mathbb{D}^* \arrow[r, hook] \arrow[d, hook] & \mathbb{D} \arrow[d, dashed] \\ \mathbb{C}^* \arrow[r, dashed] & \mathbb{C} \end{tikzcd}

diagramme (265). Les deux flèches pointillées vers \mathbb{C} et le sommet \mathbb{C} sont entre crochets sur la page : le carré qu'elles ferment est celui que la phrase suivante décrit comme somme amalgamée.

La variété analytique globale \mathbb{C}, avec son diviseur \Theta localisé en \mathbb{P}=\{0\}, se reconstitue à partir de ce diagramme comme une somme amalgamée (266)\qquad \mathbb{C}\simeq\mathbb{C}^*\amalg_{\mathbb{D}^*}\mathbb{D}\,.

Si on veut comprendre la situation « de codimension n » dans ~~les~~ les espaces typiques les plus élémentaires, on prendra

p. 79 de l'auteur. (267)\qquad X=\mathbb{C}^I,\qquad \Theta=\operatorname{div}\Big(\prod_{i\in I}z_i\Big) après la formule, un mot bref biffé, illisible. où I est un ens. fini de cardinal n, et où (z_i)_{i\in I} sont les fonctions coordonnées. On s'attend à ce que les « topos élémentaires » qui correspondent à cette situation soient les produits (indexés par I) de topos de l'un quelc. des quatre types envisagés dans (264) — et que les morphismes canoniques entre ces topos doivent ~~correspondre~~ se déduire des morphismes inclus dans le diagramme (265). Cela nous conduit : considérons les partitions possibles de I en quatre parties, correspondant aux quatre types en question. On écrira « partitions » au sens généralisé : il peut y avoir des « classes » vides. (268)\quad \left\{\begin{array}{l} I=\underbrace{I'}_{\substack{\text{correspond aux facteurs}\\ \text{du type « global »}}}\amalg\underbrace{I''}_{\substack{\text{correspond aux facteurs}\\ \text{du type local}}}\\[18pt] I'=\underbrace{I'_0}_{\substack{\text{correspond aux facteurs } \mathbb{P}\\ \text{(de dim 0)}}}\amalg\underbrace{I'_1}_{\substack{\text{correspond aux facteurs } \mathbb{C}^*\\ \text{(de dim 1)}}}\\[18pt] I''=\underbrace{I''_0}_{\text{facteurs } \mathbb{D}}\amalg\underbrace{I''^*}_{\text{facteurs } \mathbb{D}^* \text{ (épointés)}} \end{array}\right. sous I'_1, le symbole lu \mathbb{C}^* est surchargé et ressemble aussi à \mathbb{D}^* ; le sens (facteurs « globaux » de dimension 1) appelle \mathbb{C}^*.

Si d'_0=\operatorname{card} I'_0, d est la codimension (rel. à X D_0 =\mathbb{C}^I) du topos élémentaire envisagé, ~~qui~~ ~~ici dont~~ donc que d_1=\operatorname{card} I'_1 le symbole à gauche du signe égal est surchargé ; on lit un d d'indice 1, sans certitude. est la dimension de l'« âme » du topos, qui est par définition \text{\struck{$D^*_{I'_1}$}}=\underbrace{\prod_{i\in I'_1}\mathbb{C}^*}_{\mathbb{C}^{*I'_1}}\times\underbrace{\prod_{i\in I\setminus I'_1}\mathbb{P}}_{\mathbb{P}^{I'_0}} ~~\prod envisagé I~~ ~~On regarde D_{I'_1} comme plongé dans~~

~~On a, pour une partie J de I,~~ ~~D_J=\mathbb{C}^{*J}\times\mathbb{P}^{I\setminus J}\subset X=\mathbb{C}^J,~~ ~~D^*_J=\mathbb{C}^{*J}\times\mathbb{P}^{I\setminus J}~~passage barré de quatre traits obliques.

Pour une partie J de I, on pose (269)\qquad \begin{array}{l} D_J=\mathbb{P}^J\times\mathbb{C}^{I\setminus J}\subset\mathbb{C}^I=X\\ \quad\cup\\ D^*_J=\mathbb{P}^J\times\mathbb{C}^{*\,I\setminus J} \end{array} sous-espace typique défini par l'annulation des coordonnées z_j, où j\in J, de codimension d=\operatorname{card}J. on aura donc (270)\qquad \left\{\begin{array}{l} D_d=\coprod_{J\subset\mathcal{P}(I),\ \operatorname{card}J=d} D_J\\ D^*_d=\coprod D^*_J \end{array}\right.

p. 80 de l'auteur. Avec cette notation, l'âme du topos élémentaire envisagé est D^*_{I\setminus I'_1}, qu'on va considérer comme plongé dans D^*_{I'_0} : (271)\qquad \underset{(\text{« âme »})}{A}=D^*_{\underbrace{\scriptstyle I\setminus I'_1}_{I'_0\amalg I''}}\ \underset{\substack{\text{immersion}\\ \text{de codim. } I''}}{\hookrightarrow}\ D^*_{I'_0}=\underset{(\text{« réceptacle »})}{R} Le ~~premier~~ cas où on aurait I''=I''_0 correspond à celui d'un voisinage tubulaire de ~~D^*_A dans D_{I'_0}~~ A dans R, soit \mathcal{V}_{A,R}), celui où I''=I''^* correspond au cas de \mathcal{V}^*_{A,R} (le * bien sûr relatif ici à la situation induite sur R, où on y prend, sur D_{I'_0}\supset R, avec le diviseur induit par \Theta_{d_0} …). Le cas « général », correspond bien entendu à la donnée d'une strate intermédiaire entre A et R (272)\qquad \begin{array}{ccccc} A & \hookrightarrow & B & \hookrightarrow & R\\ \| & & \| & & \|\\ D^*_{I'_0\amalg I''} & \big| & D^*_{I'_0\amalg I''^*} & \big| & D^*_{I'_0}\\ & \scriptstyle\text{codim. card } I''_0=d''_0 & & \scriptstyle\text{codim.}=\operatorname{card}I''^*=d''^* & \end{array}

Je vais désigner par \mathcal{V}^{B(*)}_{A,R} le topos correspondant, qui peut se décrire comme un produit fibré (273)\qquad \begin{array}{ccc} \mathcal{V}_{A,R} & \overset{\text{can}}{\hookrightarrow} & \mathcal{V}_{B,R}\\ \big\uparrow & & \big\uparrow\\ \mathcal{V}^{B(*)}_{A,R} & \hookrightarrow & \mathcal{V}^*_{B,R} \end{array} Ce topos, dans la situation générale ~~tout~~ précédente, dans les notations ~~des~~ précédenteslecture d'ensemble de ces deux lignes incertaine ; un mot biffé avant « notations ». correspondant : données (274)\qquad \begin{array}{ccccc} d''_* & \subset & d'_* & \subset & d_*\\ \| & & \| & & \|\\ \{d''_0>\dots>d''_{r''}\} & & \{d'_0>\dots>d'_{r'}\} & & \{d_0>\dots>d_r\} \end{array} d'où (275)\qquad D_{d_*}\longrightarrow D_{d'_*}\longrightarrow D_{d''_*} ~~dans~~ on prendra le produit fibré ~~\mathcal{V}_{D_{d_*},D^{\ill{}}_{d''_*}}^{(*)}~~ (qu'on notera par définition \mathcal{V}^{d'_*}_{d_*,d''_*}) : On va donc noter \mathcal{V}^{d'_0}_{d_*,d''_0} ces topos. la ligne inférieure du diagramme et la flèche verticale de droite sont celles de la page ; les indices de la colonne de droite (prime ou non, d ou d_*) sont lus avec peine.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \mathcal{V}^*_{D_{d_*},D'_{d''_*}} \arrow[r, hook] & \mathcal{V}_{D'_{d_*},D_{d''_*}} \\ \mathcal{V}^{d'_*}_{d_*,d''_*} \arrow[u] \arrow[r] & \mathcal{V}^*_{D'_d,D''_d} \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

diagramme (276) d'après le numéro de la marge (on lit « 270 », surchargé) ; la flèche de droite monte vers \mathcal{V}_{D'_{d_*},D_{d''_*}}, et une seconde flèche courbe part de ce sommet vers une remarque en haut à droite : « ici les d_* car ». [attention aux * — on ne s'en occupe pas ici : on veut pas en plus sur D_{d_*} l'action * — l'âme doit être D^*_{d_*} !]

NB ce topos ne dépend en fait que des d_*, d'_0, d''_0, où d_0\geqslant d'_0\geqslant d''_0\geqslant 0 ?

p. 81 de l'auteur. Il me semble devenu plausible que ces topos, avec les morphismes canoniques entre eux qu'il faudrait expliciter, épuisent : expriment tous les topos canoniques de stratification, envisagés jusqu'à présent. ~~Prenons~~ Prenons un cas-type, non élémentaire, i.e. \mathbb{C}^2, il y a donc 4\times 4=16 topos (qui s'ajoutent à un antérieur ?)la parenthèse et le mot « antérieur » sont lus avec peine ; un trait relie « élémentaires » à « qui ». de la forme : (277)\quad \left\{\begin{array}{ll} D_0^*=\mathbb{C}^*\times\mathbb{C}^* & (D_0=X=\mathbb{C}\times\mathbb{C})\\[2pt] \left.\begin{array}{l}\Delta_1^*=\mathbb{C}^*\times\mathbb{P}\\ \Delta_2^*=\mathbb{P}\times\mathbb{C}^*\end{array}\right\} & D_1^*=\Delta_1^*\amalg\Delta_2^*\quad (D_1=\Delta_1\amalg\Delta_2)\\ & \quad\text{où } \Delta_1=\mathbb{C}\times\mathbb{P},\ \Delta_2=\mathbb{P}\times\mathbb{C}\\[2pt] \mathbb{P}=\mathbb{P}\times\mathbb{P} & D_2^*=D_2=\mathbb{P}\\[6pt] \mathcal{V}_{\Delta_1^*,X}=\mathbb{C}^*\times\mathbb{D} & \mathcal{V}^*_{\Delta_1^*,X}=\mathbb{C}^*\times\mathbb{D}^*\\ \mathcal{V}_{\Delta_2^*,X}=\mathbb{D}\times\mathbb{C}^* & \mathcal{V}^*_{\Delta_2^*,X}=\mathbb{D}^*\times\mathbb{C}^*\\[2pt] \mathcal{V}_{\mathbb{P},\Delta_1}=\mathbb{D}\times\mathbb{P} & \mathcal{V}^*_{\mathbb{P},\Delta_1}=\mathbb{D}^*\times\mathbb{P}\\ \mathcal{V}_{\mathbb{P},\Delta_2}=\mathbb{P}\times\mathbb{D} & \mathcal{V}^*_{\mathbb{P},\Delta_2}=\mathbb{P}\times\mathbb{D}^*\\[6pt] \mathcal{V}_{\mathbb{P},X}=\mathbb{D}\times\mathbb{D}, & \\ \mathcal{V}^{\Delta_1}_{\mathbb{P},X}=\mathbb{D}\times\mathbb{D}^*, & \mathcal{V}^{\Delta_2}_{\mathbb{P},X}=\mathbb{D}^*\times\mathbb{D}\\ \mathcal{V}^*_{\mathbb{P},X}=\mathbb{D}^*\times\mathbb{D}^* & \end{array}\right. sur la page, une grande accolade marquée (277) embrasse le tout, et des accolades secondaires regroupent les lignes par types ; un astérisque en marge marque le groupe des D^*. Les égalités \mathcal{V}^*_{\Delta_2^*,X} et \mathcal{V}^*_{\mathbb{P},\Delta_1} portent un astérisque surchargé. Ces écrites bien entendu et symétriques sous les rangées — il faudrait écrire !

Comment reconstituer p. ex. les ~~ouverts~~ « globaux » ~~partir~~ topos canoniques (cf. p. 74' p. 74' de l'auteur, hors de ce lot ; le signe qui suit est illisible.) qui sont des ouverts globaux de X=\mathbb{C}^2, savoir ~~\mathbb{C}^2\setminus\Delta_1,~~ (278)\qquad X=\mathbb{C}^2,\quad \underbrace{\mathbb{C}^2\setminus\Delta_1}_{U_1},\quad \underbrace{\mathbb{C}^2\setminus\Delta_2}_{U_2},\quad U=U_1\cup U_2=\mathbb{C}^2-\{\mathbb{P}\},\quad U_1\cap U_2=\mathbb{C}^*\times\mathbb{C}^* Pour ces derniers, ~~seuls~~ le dernier est déjà « élémentaire » — c'est D_0^*. On aura \left.\begin{array}{l} U_1=\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*\\ U_2=\mathbb{C}^*\times\mathbb{C}\end{array}\right\}\quad \mathbb{C}=\mathbb{C}^*\amalg_{\mathbb{D}^*}\mathbb{D} U=U_1\amalg_{U_1\cap U_2}U_2\qquad\text{où}\quad U_1\cap U_2=D_0^* X=\mathbb{C}\times\mathbb{C} ~~d'où il suffit d'exprimer~~ U_1, U_2 seront donnés par les sommes amalgamées« seront donnés » lu avec peine.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & \mathbb{D}^*\times\mathbb{C}^* \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ \mathbb{C}^*\times\mathbb{C}^* \arrow[dr, dashed] & \text{loc.} & \mathbb{D}\times\mathbb{C}^* \arrow[dl, dashed] \\ & U_1 & \\ & \mathbb{C}^*\times\mathbb{D}^* \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ \mathbb{C}^*\times\mathbb{C}^* \arrow[dr, dashed] & \text{loc.} & \mathbb{C}^*\times\mathbb{D} \arrow[dl, dashed] \\ & U_2 & \end{tikzcd}

diagrammes (279), sous une accolade commune. Les flèches vers U_1 et U_2 sont tracées en pointillé sur la page, et chaque U_i est entre parenthèses ; la flèche \mathbb{C}^*\times\mathbb{D}^*\to\mathbb{C}^*\times\mathbb{C}^* n'a pas de pointe nette.

la page porte à nouveau le numéro 81 de l'auteur, comme la p. 168 du fonds. U comme somme amalgamée

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & \mathbb{C}^*\times\mathbb{D}^* \arrow[dl] \arrow[dr] & & \mathbb{D}^*\times\mathbb{C}^* \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ \mathbb{C}^*\times\mathbb{D} \arrow[drr, dashed] & & \mathbb{C}^*\times\mathbb{C}^* & & \mathbb{D}\times\mathbb{C}^* \arrow[dll, dashed] \\ & & U=\mathbb{C}^2\setminus\{\mathbb{P}\} & & \end{tikzcd}

diagramme (280) ; les deux flèches vers U sont en pointillé et U est entre parenthèses, comme en (279).

\mathbb{C}\times\mathbb{C} comme somme amalgamée du diagramme suivant (de type produit de \longleftarrow\!\cdot\!\longrightarrow par lui-même) \mathbb{C}^*\times\mathbb{D}^*\leftarrow\mathbb{D}^*\times\mathbb{D}^*\to\mathbb{D}^*\times\mathbb{D}^*, \mathbb{D}^*\times\mathbb{D}^*première ébauche du diagramme, raturée de traits en zigzag ; la lecture des sommets est incertaine.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \mathbb{C}^*\times\mathbb{C}^* & \mathbb{D}^*\times\mathbb{C}^* \arrow[l] \arrow[r] & \mathbb{D}\times\mathbb{C}^* \\ \mathbb{C}^*\times\mathbb{D}^* \arrow[u, no head] \arrow[d] & \mathbb{D}^*\times\mathbb{D}^* \arrow[l] \arrow[r] \arrow[u] \arrow[d] & \mathbb{D}\times\mathbb{D}^* \arrow[u] \arrow[d, no head] \\ \mathbb{C}^*\times\mathbb{D} & \mathbb{D}^*\times\mathbb{D} \arrow[l] \arrow[r] & \mathbb{D}\times\mathbb{D} \end{tikzcd}

diagramme (281). Sur la page, \mathbb{D}\times\mathbb{D}^*=\mathcal{V}^{\Delta_2}_{\mathbb{P},X} et, sous \mathbb{D}^*\times\mathbb{D}, \|\ \mathcal{V}^{\Delta_1}_{\mathbb{P},X}. Deux traits verticaux (colonne de gauche vers le haut, colonne de droite vers le bas) n'ont pas de pointe visible. Somme amalgamée =\mathbb{C}^2

C'est dans ces deux diagrammes qu'interviennent les « non-locaux » topos élémentaires qui n'interviennent dans « l'introduction », savoir le fameux \mathcal{V}^{\Delta_1}_{\mathbb{P},X} et \mathcal{V}^{\Delta_2}_{\mathbb{P},X}.la lecture « qui n'interviennent dans » est douteuse ; la phrase n'a peut-être pas de négation complète.

Je voudrais maintenant expliciter le voisinage des topos \mathcal{V}^{d'_0}_{d_*,d''_0} pour d'_0,d''_0\in d_*, d'_0\geqslant d''_0 ~~(d''_*\subset d'_*\subset d_*)~~ variable, et celle des \pi_1 associés, et expliciter comment, à l'aide de ces topos sur groupoïdes, on peut reconstituer tous les « topos canoniques » associés : la stratification envisagée — ou leurs groupoïdes fondamentaux.

Avant de d'examiner spécialement le voisinage des \mathcal{V}^{d'_0}_{d_*,d''_0}, je voudrais regarder un peu la structure des « espaces » homotopiques précédents, le fibré normal du D_{d_*} ~~dans D_{d''_0}, \check{N}_{d_*,d'_*}~~ ~~(282) \check{N}_{d_*,d''_0}\overset{\text{déf}}{=}\check{N}_{D_{d_*},D_{d''_0}} fibré normal~~les deux dernières lignes, avec le numéro (282), sont barrées d'un trait horizontal et d'un trait oblique ; « déf » est écrit au-dessus du signe égal.

p. 82 de l'auteur. La page commence par la fin de la phrase ouverte au bas de la p. 171. pour l'immersion locale D_{d_*}\longrightarrow D_0 soit \check{N}_{d_*}, il y a dans \check{N}_{d_*} une filtration canonique (282)\qquad \begin{array}{ccccccccccc} \check{N}_{d_*} & \overset{\text{déf}}{=} & \check{N}_{d_*,d_0} & \supset & \check{N}_{d_*,d_1} & \supset & \check{N}_{d_*,d_2} & \supset\cdots\supset & \check{N}_{d_*,d_r} & \supset & \check{N}_{d_*,0}\\ & & \|\,{\scriptstyle\text{déf}} & & & & & & & & \|\\ & & \check{N}_{D_{d_*},D_{d_0}} & & & & & & & & \{0\}_{D_{d_*}}\\ & & \text{rg } d_0 & & \text{rg } d_1 & & \text{rg } d_2 & & \text{rg } d_r & & \end{array} NB d_*=\{d_0>d_1>\dots>d_r>0\} où \check{N}_{d_*,d_i} est défini comme le ~~fibré conormal~~ ~~la suite exacte de fibrés~~ ~~conormaux associés à la suite d'immersions~~ ~~D_{d_*}\to D_{\{d_i\}}\to D_0~~trois lignes barrées d'un trait ondulé et de traits horizontaux ; la lecture des mots biffés est incertaine. (283)\qquad \check{N}_{d_*,d_i}=\check{N}_{D_{d_*},D_{d_i}}, ~~(\check{N}_{d_i\to D_0}|D_{d_*})\to\check{N}~~ dans la suite exacte ~~\| déf~~ canonique associée à l'immersion locale D_{d_*}\to D_{d_i} : (284)\qquad 0\longrightarrow\check{N}_{d_*,d_i}\longrightarrow\check{N}_{d_*}\longrightarrow(\check{N}_{d_i}\,|\,D_{d_*})\longrightarrow 0\,; plus gén., si d'_*\subset d_* et qu'on prenne d_i=d'_0, on déduit de (284) la forme (285)\qquad 0\longrightarrow\underset{\substack{\wr\\ \check{N}_{d_*,d'_0}}}{\check{N}_{D_{d_*},D_{d'_*}}}\longrightarrow\underset{\substack{\|\,\text{déf}\\ \check{N}_{d_*}}}{\check{N}_{D_{d_*},D_0}}\longrightarrow(\check{N}_{D_{d'_*}}\,|\,D_{d_*})\longrightarrow 0 la page qualifie ces fibrés de « conormaux » dans les lignes biffées, mais le texte non biffé de la p. 171 parle de « fibré normal » ; la notation \check{N} est la sienne. Dans (282), \check{N}_{d_*,0} est surchargé (on lit peut-être « \check{N}_{d_*,0} » sur un autre indice).

Le quotient canonique le plus général associé à la filtration (282) est le fibré vectoriel (286)\qquad \check{N}_{d_*;(d'_0,d''_0)}\overset{\text{déf}}{=}\check{N}_{d_*,d''_0}\big/\check{N}_{d_*,d'_0} où on suppose d'_0,\ d''_0\in d_*,\qquad d''_0\leqslant d'_0\ (\leqslant d_0), on a donc une suite exacte canonique (287)\qquad 0\longrightarrow\check{N}_{d_*,d'_0}\longrightarrow\check{N}_{d_*,d''_0}\longrightarrow\check{N}_{d_*;(d'_0,d''_0)}\longrightarrow 0\,. l'inégalité d''_0\leqslant d'_0 s'accorde mal avec l'inclusion \check{N}_{d_*,d'_0}\subset\check{N}_{d_*,d''_0} que demande (287) au vu de la filtration décroissante (282) ; la page porte bien ce qui est transcrit, sous réserve du sens des primes, surchargés par endroits. Cette suite exacte peut s'interpréter ainsi : on a \begin{array}{ccccc} d''_* & \subset & d'_* & \subset & d_*\\ \| & & \| & & \\ \{d''_0>\dots>d''_{r''}\} & & \{d'_0>\dots>d'_{r'}\} & & \end{array} donc la suite exacte (288)\qquad \begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & \check{N}_{D_{d_*},D_{d'_*}} & \to & \check{N}_{D_{d_*},D_{d''_*}} & \to & (\check{N}_{D_{d'_*},D_{d''_*}}\,|\,D_{d_*}) & \to & 0\\ & & \wr & & \wr & & \wr & & \\ & & \check{N}_{d_*,d'_0} & & \check{N}_{d_*,d''_0} & & \check{N}_{d_*;(d'_0,d''_0)} & & \end{array} Donc, dans ce cas, un fibré vectoriel \check{N}/ (celui-là le plus général ) est dans \check{N}_{d_*;(d'_0,d''_0)}fin de page incertaine ; un trait oblique et une parenthèse en marge droite semblent renvoyer à la suite, hors de ce lot ou à la page suivante.

p. 83 de l'auteur. on a loc. une décomposition en produits de fibrés en droites, d'où (en prenant les fibrés principaux associés) un ouvert (289)\qquad N^*\subset N,\qquad\text{en particulier}\quad \left\{\begin{array}{l} N^*_{d_*}\subset N_{d_*}\\ N^*_{d_*,d_i}\subset N_{d_*,d_i}\\ N^*_{d_*;(d'_0,d''_0)}\subset N_{d_*;(d'_0,d''_0)} \end{array}\right. qui est d'ailleurs un fibré torseur sous tores convenables, que je me dispense d'expliciter. ici et dans la suite de la page, le chevron sur N est tantôt présent, tantôt absent ; la transcription suit la page.

Considérons alors (290)\qquad \check{N}^{d'_0}_{d_*,d''_0}=\text{image inverse de }\check{N}^*_{d_*;(d'_0,d''_0)}\text{ dans }\check{N}_{d_*,d''_0}, par l'homomorphisme \check{N}_{d_*,d''_0}\longrightarrow\check{N}_{d_*;(d'_0,d''_0)}\quad\text{de (287)}. On a dans ce cas général : (291)\qquad \check{N}^{d'_0}_{d_*,d''_0}\ \text{est fibré sur}\ \check{N}^*=\check{N}^*_{d_*;(d'_0,d''_0)}, et est un torseur sous le fibré vectoriel sur \check{N}^*, image inverse de \check{N}_{d_*,d_0} par \check{N}^*\to D_{d_*}.l'indice de \check{N}_{d_*,d_0} est peut-être d'_0 ; celui de D_{d_*} porte un signe surchargé.

Je dis qu'on a alors une ~~équivalence~~ « homéomorphisme » (heuristique !) (292)\qquad \check{N}^{d'_0}_{d_*,d''_0}\,|\,D^*_{d_*}\ \simeq\ \mathcal{V}^{d'_0}_{d_*,d''_0} qui induit, grâce à l'homomorphisme (293)\qquad \check{N}^{d'_0}_{d_*,d''_0}\,|\,D^*_{d_*}\longrightarrow\check{N}^*_{d_*;(d'_0,d''_0)}\,|\,D^*_{d_*} qui est une équivalence d'homotopie, une équivalence d'homotopie (294)\qquad \boxed{\ \mathcal{V}^{d'_0}_{d_*,d''_0}\ \simeq\ \check{N}^*_{d_*;d'_0,d''_0}\,|\,D^*_{d_*}\quad\text{équivalence d'homotopie}\ } qui a le sens d'un « voisinage » de lisse« voisinage de lisse » lu avec peine. par correspondance à une fléchée des lacets canoniques dans une seule où les lacets , (par la ) d'avoir une relation précise homotopique. Retenons cependant la la phrase s'interrompt au bas de la page ; la lecture des quatre dernières lignes est très incertaine.

p. 84 de l'auteur. Scholie important. Les « pièces de construction » dans la dissection d'un espace analytique [lisse], muni d'un diviseur à croisements normaux, sont, à homotopie près, les espaces obtenus ainsi, fibrés sur les D^*_{d_*}=D^*_{(d_0,d_1,\dots,d_r)} (qui sont analytiques lisses, complémentaires de partie finie finie de \mathcal{N})la parenthèse est lue avec peine ; « \mathcal{N} » est peut-être un \Theta ou un autre symbole. ainsi : on regarde \check{N}_{d_*}|D^*_{d_*} sur D^*_{d_*} rel. , ( D_{d_*}\to D_{d_0}) en fibré vectoriel muni d'une filtration du type d_*, on prend un quotient général \check{N}=\check{N}_{d_*;(d'_0,d''_0)} de cette filtration, (contractile : D^*_{d_*}), et l'ouvert \check{N}^* — qui est donc un fibré loc. trivial sur D^*_{d_*}, à fibres \mathbb{C}^{*\,d'_0-d''_0} — c'est bien ! En fatigant un peu, on doit compris le cas associés sur D^*_0 fibré le fibré D_0 trivial l' D_0 \Theta la note marginale est écrite en diagonale dans l'angle gauche de la page, en lignes serrées ; on n'en reconnaît que quelques mots.

écrire en tous cas : définir une équivalence canonique sur les groupoïdes fondamentaux des \check{N}^*_{d_*,(d'_0,d''_0)}|D^*_{d_*} d'une part, les \mathcal{V}^{d'_0}_{d_*,d''_0} d'autre part (295)\qquad \boxed{\ \Pi_1\big(\underbrace{\check{N}^*_{d_*;(d'_0,d''_0)}\,|\,D^*_{d_*}}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \check{N}^{**}_{d_*;(d'_0,d''_0)}}\big)\xrightarrow{\ \approx\ }\Pi_1\mathcal{V}^{d'_0}_{d_*,d''_0}\ } ~~Accessoirement~~mot biffé, lecture incertaine. Actuellement on prend la connaissance du \Pi_1\mathcal{V}^{d'_0}_{d_*,d''_0} (modulo équivalence) revient donc à celle des \Pi_1 extensions de \check{N}^{**} fibré au-dessus des affines« affines » lu avec peine. composantes connexes de D^*_{d_*} — et on sait, par la suite exacte d'homotopie, des extensions des \Pi_1 des comp. conn. de D^*_{d_*}, par des quotients en \mathbb{Z}^r (par l'image du \Pi_2 desdites comp. connexes …)

p. 85 de l'auteur. Remarque. Lorsque les D^*_{d_*} sont tous des K(\pi,1) (ce qui est le cas dans la situation de Teichmüller !) alors la connaissance des systèmes des \Pi_1\mathcal{V}^{d'_0}_{d_*,d''_0} précédents (avec les morphismes canoniques entre ces groupoïdes) doit permettre de reconstituer entièrement le ~~type d'homotopie~~ groupoïde de X et des ~~topos~~ divers topos canoniques associés à X, mais aussi le topos quasi-galoisien formé par les faisceaux sur les topos qui sont des quotients de topos « élémentaires » constitutifs, i.e. loc. constants — et par le biais le type d'homotopie des topos envisagés — y compris X … (par définition, K(\pi,1), faisceaux …) la note marginale, écrite en diagonale dans la marge gauche et reliée par une flèche au mot « constitutifs », n'est lisible que par fragments.

Remarque. Ce n'est pas la compréhension du topos élémentaire, pas un revendufin de page ; la phrase continue hors de la page, la lecture de la dernière ligne est très incertaine.

compte — le cas le plus simple de X\simeq\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\approx S^2, avec un diviseur lisse réduit à un point, donc X^*\simeq\mathbb{C} (qui est bien un K(\pi,1) avec \pi=\{1\} !), est le contre-exemple type, ~~car~~ on ne reconstitue pas le type d'homotopie de X=S^2 ~~à partir~~ décrit via les systèmes « inductifs » des topos galoisiens associés : « décrit » est écrit au-dessus d'un mot biffé, peut-être « exhibé » ; un autre mot biffé, au-dessus de la ligne, se lit « homotopie » sans certitude.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \mathbb{D}^*_\infty \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ \mathbb{D}_\infty & & {\mathbb{C}=\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\setminus\{\infty\}=X^*} \end{tikzcd}

sous \mathbb{C}, le sommet de droite porte une rature épaisse ; on lit \mathbb{C} au-dessous, avant l'égalité. i.e. au diagr. de groupes

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \mathbb{Z} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ \{1\} & & \{1\} \end{tikzcd}

~~qui se réalise~~ le topos global « galoisien » associé (faisceaux sur S^2 qui sont loc. constants, donc constants sur S^2\setminus\{\infty\}=\mathbb{C}) s'identifie à \hat{C}, où C est la catégorie \to\cdot qui a un seul point, donc la cohomologie de \hat{C} est nulle en dim >0, alors que celle de S^2 ne l'est pas. Ceci souligne la question générale de comprendre le type d'homotopie d'un topos obtenu par « recollement » d'un ouvert à son fermé complémentaire … « recollement d'un ouvert à son fermé complémentaire » est lu avec peine ; la flèche \to\cdot désigne vraisemblablement la catégorie à deux objets et une flèche, mais la page ne précise pas.

p. 86 de l'auteur. Nouveau paragraphe, numéroté 13 par l'auteur ; il se poursuit au-delà de ce lot.

13. Digressions sur stratifications, locales et globales

Une stratification globale d'un espace topologique X (pour fixer les idées !) est une partition de X en « strates » (X_i)_{i\in I}« strates » est écrit au-dessus d'un mot biffé, peut-être « cellules ». ayant les propriétés :

a) les X_i sont loc. fermés — la famille est loc. finie« X_i » et « est loc. finie » sont ajoutés sous la ligne ; la construction exacte reste douteuse.

b) \forall i\in I, X_i est une réunion de strates loc. connexes et connexes« loc. connexes et » est ajouté au-dessous, « connexes » encadré d'un trait ; au-dessus, « elles mêmes connexes » lu avec peine. (si tel, on suppose …)

c) Les strates sont des façons plus fortes que b), que les composantes connexes ~~d'une~~ X_{i,\alpha} d'un X_i, et \forall X_j, \overline{X_{i,\alpha}}\cap X_j est une réunion de comp. connexes de X_j ; donc on remplaçant la partition par les X_i par celle par les X_{i,\alpha}, on satisfait : a) b) c) …)

d) Les strates \forall X_i, et tout x\in\overline{X_i}, le germe d'adhérence des X_i en un voisinage de x est connexe (ceci exclut la stratification associée à la courbe à croisement normaux une boucle : une courbe qui se recoupe en un point double. ou celle-ci : un disque hachuré, deux points marqués sur son bord. (une strate de dim. 0, une de dim. 1, une de dim. 2)parenthèse écrite en petits caractères sous le dessin ; un mot biffé avant « une de dim. 2 ».). Plus précisément, on veut ceci :

e) \forall X_i la structure locale autour de X_i de l'adh. des \overline{X_j} tels que \overline{X_j}\supset X_i est loc. la page s'arrête au milieu de la condition e) ; la suite est hors de ce lot.