Cote n° 147, pages 61–80

Cote n° 147 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · [Structure à l'infini des Mg,ν, pages 1 à 90, dont table des matières] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois » (141 à 149) est daté [à partir de 1978]-1983
Édition de démonstration

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61p. 30 de l'auteur. La phrase commence au feuillet précédent, hors de ce lot. la courbe modulaire $\widehat{\mathfrak{X}}^{!}_{0,4}$ sur $\widehat{M}^{!}_{0,4}$, munie de ses quatre sections $s_0, s_1, s_\infty, s_\lambda$ (ou $t_1, t_2, t_3, t_4$), et […] l'opération de $\mathfrak{S}_4$ dessus sur $\widehat{\mathfrak{X}}^{!}_{0,4} \to \widehat{M}^{!}_{0,4}$, échangeant ces quatre sections entre elles. Je vais pas le faire ici – cela donnerait des compl. les schémas ⌜multiplicités⌝ modulaires $\widehat{M}_{0,4}$ et $\widehat{\mathfrak{X}}_{0,4}$. Pour $\widehat{M}_{0,4}$, il y a lieu de remplacer le diagramme (76) par un diagramme purement numérique \[(78)\qquad \begin{array}{c|c} \text{codim } 0 & \text{codim } 1 \\ \hline \overset{4}{\bullet} \;\xrightarrow{\;1\;} & \overset{2}{\bullet}\!\text{---}\!\overset{2}{\bullet} \end{array}\] il n'y a plus qu'un seul pt à l'infini, correspondant aux deux pts à l'infini de $\widehat{M}^{!}_{0,4}$, permutés transitivement par $\mathfrak{S}_4$.

Caractéristiques d'EP fractionnaires. On trouve \[\begin{align*} \chi_!(M^{!\,\mathrm{an}}_{0,4}) &= \chi_!(U^{\mathrm{an}}_{0,3}) = 2 - 2\underset{0}{g} - \underset{3}{\nu} = -1 \\ \chi_!(\widehat{M}^{!\,\mathrm{an}}_{0,4}) &= \chi_!(\mathbb{P}^{1\,\mathrm{an}}) = 2 \\ \chi_!(M^{\mathrm{an}}_{0,4}) &= \chi_!(\mathbb{B}^{\mathrm{an}}_{0,3}, \mathfrak{S}_4) = \chi_!\bigl(U_{0,3} \setminus \{-j, -\bar{j}\} \setminus \{\tfrac12, 2, -1\}, \mathfrak{S}_4\bigr) \\ &\qquad + \chi_!(\{-j, -\bar{j}\}, \mathfrak{S}_4) + \chi_!(\{\tfrac12, 2, -1\}, \mathfrak{S}_4) \\ &= -1 + \tfrac13 + \tfrac12 = -\tfrac{1}{24} \end{align*}\] dans la troisième ligne, un accent (chapeau) biffé sur le $M$ du membre de gauche ; à la dernière ligne, le dénominateur du résultat est surchargé, lu $24$ ; tel qu'écrit, $-1 + \frac13 + \frac12$ ne fait pas $-\frac1{24}$ : les termes sont sans doute à diviser par l'ordre de $\mathfrak{S}_4$, ce que la page ne dit pas NB On peut écrire directement $\chi_!(U^{\mathrm{an}}_{0,3}) : [\mathfrak{S}_4] = -\frac{1}{24}$

62\[\chi_!(\widehat{M}^{\mathrm{an}}_{0,4}) = \underbrace{\chi_!(U^{\mathrm{an}}_{0,3}, \mathfrak{S}_4)}_{-1/24} + \underbrace{\chi_!(\{0, 1, \infty\}, \mathfrak{S}_4)}_{1/8} = \frac{1}{12} .\] De façon plus fine, dans un « groupe de Grothendieck » convenable, on aura \[\begin{align*} [M^{!}_{0,4}] &= [U_{0,3}] = \underbrace{T(1)}_{\text{Tate} \simeq [\mathbb{E}^1]} - 2 \\ [M_{0,4}] &= \tfrac14\bigl(T(1) - 2\bigr) + \tfrac{1}{12} + \tfrac18 = \tfrac14\bigl(T(1) - 1\bigr) - \tfrac{1}{24} \\ [\widehat{M}_{0,4}] &= [M_{0,4}] + \tfrac18 = \tfrac14\bigl(T(1) - 1\bigr) + \tfrac{1}{12} \end{align*}\] sous « Tate » : « (d'augmentation 1) » ; dans les deuxième et troisième lignes, un premier essai de calcul est raturé avant le résultat, illisible ; dans la deuxième, le facteur $\frac14$ est écrit en surcharge valable au-dessus de $\mathbb{Z}[\frac16]$ 79 – […] […] faire le calcul […] au-dessus de $\mathbb{Z}$… On trouve […] ces trois quantités à des dénominateurs près : $-1, -\frac{1}{24}, \frac{1}{12}$.

2°) Cas des $\widehat{M}_{1,1}$. \[(77)\qquad \begin{array}{c|c} \text{codim } 0 & \text{codim } 1 \\ \hline \underset{1}{\overset{1}{\bullet}} \;\xrightarrow{\;1\;} & \text{(boucle)}\overset{1}{\bullet} \end{array}\] en codimension 1, une boucle fermée sur un sommet marqué 1 Il y a exactement un point à l'infini.

On a un morphisme (au-dessus de $\mathbb{Z}[\frac12]$) \[(78)\qquad \widehat{M}_{1,1} \longrightarrow \widehat{M}'_{1,4} \overset{\mathrm{def}}{=} (\widehat{M}^{!}_{1,4}, \mathfrak{S}_3)\] les indices se lisent « $1,4$ » ; la suite ($[U_{0,3}, \mathfrak{S}_3]$, $M_{0,4}$) suggère $0,4$. Le numéro (78) est déjà employé p. 61 qui fait de $\widehat{M}_{1,1}$ une gerbe (de groupe $\{\pm 1\}$) au-dessus de $\widehat{M}'_{1,4}$ (en car. $\neq 2$), d'où \[[M_{1,1}] = \tfrac12 [U_{0,3}, \mathfrak{S}_3] = \tfrac12 [M_{0,4}] \text{\struck{$\ldots$}}\] la fin de la ligne, où l'on devine $[\mathbb{E}^1]$ et $T(1)$, est raturée

63p. 31 de l'auteur d'où, au-dessus de $\mathbb{Z}[\frac12]$ \[(79)\quad \begin{cases} [M_{1,1}] = \tfrac12\bigl(T(1) - 1\bigr) - \tfrac{1}{12} \\ [\widehat{M}_{1,1}] = [M_{1,1}] + \underset{1/2}{[\widehat{M}^{\infty}_{1,1}]} = \tfrac12\bigl(T(1) - 1\bigr) + \tfrac{5}{12} \end{cases}\] dans les deux lignes, un premier essai raturé précède le résultat ; dans la seconde on y devine $T(1)$ et $\frac13$

Voici un autre calcul de $[M_{1,1}]$. On considère le morphisme modulaire \[M_{1,1} \longrightarrow \mathbb{E}^1\] et on découpe $\mathbb{E}^1$ suivant les deux sections $S_0$ (correspondant à la courbe elliptique harmonique, de groupe d'automorphismes $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$) et $S_1$ […] (courbe elliptique équianharmonique, […] groupe d'automorphismes $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$), qui ne se coupent qu'en les pts $2$ et $3$, qui correspondent ([…]) à des groupes d'automorphismes d'ordre $24$, et $12$. On a donc une partition \[\mathbb{E}^1 = U \amalg S'_0 \amalg S'_1 \cup a_2 \cup a_3\] un premier symbole raturé après le signe $=$ où \[\begin{cases} U = \mathbb{E}^1 \setminus (S_0 \cup S_1) \\ \{a_2, a_3\} = S_0 \cap S_1 \quad (a_2 \text{ en car. } 2,\ a_3 \text{ en car. } 3) \\ S'_0 = S_0 \setminus \{a_2, a_3\},\quad S'_1 = S_1 \setminus \{a_2, a_3\} \end{cases}\] On trouve donc

64\[[M_{1,1}] = \tfrac12 [U] + \tfrac14 [S'_0] + \tfrac16 [S'_1] + \tfrac{1}{24} [a_2] + \tfrac{1}{12} [a_3]\] et on a \[\begin{align*} [U] &= [\mathbb{E}^1] - [S_0] - [S_1] + [a_2] + [a_3] \\ &= T(1) - 2 + \zeta_2 + \zeta_3 \end{align*}\] où on a posé en général, pour $p$ premier, \[\zeta_p = [\operatorname{Spec} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}] = i_{p!}(1)\] où $i_{p!} : K_!(\mathbb{Z}_p) \longrightarrow K_!(\mathbb{Z})$.

De même \[\begin{align*} [S'_0] &= [S_0] - [a_2] - [a_3] = 1 - \zeta_2 - \zeta_3 \\ [S'_1] &= [S_1] - [a_2] - [a_3] = 1 - \zeta_2 - \zeta_3 \end{align*}\] d'où \[\begin{align*} [M_{1,1}] &= \tfrac12\bigl(T(1) - 2 + \zeta_2 + \zeta_3\bigr) + \underbrace{\bigl(\tfrac14 + \tfrac16\bigr)}_{5/12}\bigl(1 - \zeta_2 - \zeta_3\bigr) \\ &\qquad + \tfrac{1}{24}\zeta_2 + \tfrac{1}{12}\zeta_3 \\ &= \tfrac12 T(1) - \tfrac{7}{12} + \tfrac18 \zeta_2 + \tfrac16 \zeta_3 \\ &= \tfrac12\bigl(T(1) - 1\bigr) - \tfrac{1}{12} + \tfrac18 \zeta_2 + \tfrac16 \zeta_3 , \end{align*}\] dans la parenthèse $(\frac14 + \frac16)$ et dans la deuxième ligne, des chiffres surchargés ($\frac18$ récrit) donc \[(80)\quad \begin{cases} [M_{1,1}] = \tfrac12\bigl(T(1) - 1\bigr) - \tfrac{1}{12} + \tfrac18 \zeta_2 + \tfrac16 \zeta_3 \\ [\widehat{M}_{1,1}] = [M_{1,1}] + \tfrac12 = \tfrac12 T(1) - \tfrac{1}{12} + \tfrac18 \zeta_2 + \tfrac16 \zeta_3 \end{cases}\]

65p. 32 de l'auteur 3°) Cas des $\widehat{M}^{!}_{0,5}$, ou $\widehat{M}_{0,I}$. \[(81)\qquad \begin{array}{c|c|c} \text{codim } 0 & \text{codim } 1 & \text{codim } 2 \\ \hline \overset{I(5)}{\bullet} \;\xrightarrow{\;(10)\;} & \overset{I'(2)}{\bullet}\!\text{---}\!\overset{I''(3)}{\bullet} \;\xrightarrow{\;(3)\;} & \overset{I'(2)}{\bullet}\!\text{---}\!\overset{I'''(1)}{\bullet}\!\text{---}\!\overset{I''(2)}{\bullet} \end{array}\] les accents des deux derniers indices de la codimension 2 sont surchargés Dans $\widehat{M}^{!}_{0,5}$ il y a dix « diviseurs » à l'infini ($\simeq (\{0,1,\infty\}, I'')$), dont chacun est un $\widehat{M}^{!}_{0,4}$ […], plus précisément, un $\widehat{M}_{0, I''(3) \amalg (*)} \simeq (\mathbb{P}^1_{I''})_{\mathbb{Z}}$ $\widehat{M}_{0,3}$, […] ([…] […] et ayant) trois points à l'infini – les […] sont en tout $\frac{30}{2} = 15$, correspondant aux partitions de $I(5)$ de type $(2,2,1)$, alors que les diviseurs […] correspondent aux parties $I'$ de $I$ de cardinal $2$. Deux tels diviseurs (correspondant à des parties $I', I'' \in \mathfrak{P}_2(I)$) se rencontrent elles ssi $I' \cap I'' = \emptyset$, i.e. ssi $I'$, $I''$ et $I \setminus (I' \cup I'')$ forment forment une partition de $I$ de type $(2,2,1)$. $\mathbb{P}^1_{I''} \overset{\mathrm{def}}{=} \mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}} \wedge \mathfrak{S}_3$ […]

D'après l'étude combinatoire de l'icosaèdre, choisissant une orientation de $I$ – ce qui détermine un icosaèdre orienté, […] un icos. grand) les ⌜10⌝ diviseurs à l'infini de $\widehat{M}_{0,I}$, i.e. les éléments de $\mathfrak{P}_2(I)$, ⌜ou (les⌝ sommets

66pris grand complémentaire) aux dix « triangles » de $I$, correspondant aux dix faces de l'icosaèdre grand (${\simeq}$ paires de faces opposées de l'icos. ordinaire), tandis que les 15 partitions de type $(2,2,1)$ de $I$, qui […] intersections […] les structures cycliques sur quatre parmi les 5 pts de $I$ un quadrilatère dont les quatre sommets sont marqués d'un gros point, deux côtés opposés portant chacun un petit point en leur milieu (associées : une telle couvrant les deux paires de sommets diagonaux opposés) correspondent aux 15 arêtes dudit icosaèdre grand. Leurs ⌜a⌝ extrémités contenues ⌜(incidentes)⌝ dans à une face/des […] l'icosaèdre, ses « triangles » $\subset I$ correspondent : […] commune intersection […] la corde […], deux est ⌜l'un des⌝ sommets, i.e. ssi le complémentaire des triangles On voit donc ⌜des deux paires différentes à la corde⌝. Correspondant ⌜opposés⌝ […] ⌜qui en […]⌝ D'où la relation d'incidence des ⌜diviseurs⌝ de la structure $\widehat{M}_{0,I}$ : correspond : celle des faces et arêtes de l'icosaèdre grand, ou par dualité, à celle des arêtes ⌜sommets⌝ et des faces ⌜arêtes⌝ du dodécaèdre.

On a donc trouvé : NB on associe à l'icosaèdre […] coloration des faces […] 4 couleurs, […] faces […] grand […] en marge, un losange partagé par sa diagonale verticale, la moitié gauche marquée « fa » page très raturée ; la prose entre les énoncés n'est lue qu'en partie, et l'ordre des ajouts interlinéaires reste incertain

67p. 33 de l'auteur Proposition. Le diviseur à l'infini (⌜$M^{\infty}_{0,I}$⌝) de $\widehat{M}_{0,I}$ est une courbe ⌜déployée⌝ stable sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$, dont le graphe est isomorphe au celui du 1-squelette du dodécaèdre grand défini par $I$ (muni d'une orientation convenable).

Bien entendu, les groupes ⌜des […] liés aux arêtes⌝ libres aux arêtes. Il n'y a pas ⌜(dans « pts marqués »)⌝ les ⌜10⌝ composantes […] de $M_{0,5}$ $M^{\infty}_{0,5}$, qui soit […] ⌜[…]⌝ courbe de toutes façons une MD- […] MD-graphe maximal, tels toutes les 2-sommets […] (dans les gerbes […] d'ordre 3, par des pointes marquées).

L'isom. de la prop. précédente n'est […] compatible qu'avec $\mathfrak{S}^{+}_{I}$ ${\simeq}$ Aut du dodécaèdre grand, (sur $M^{\infty}_{0,I}$), mais $\mathfrak{S}_I$ tout entier – des opérations de […] par celles de […] – il faudrait le comprendre du pt de vue de la géométrie de l'icosaèdre (⌜grand⌝) ou […] dodécaèdre (⌜grand⌝) ou … – ça doit être lié bien sûr au bi-icosaèdre grand (combinatoire).

Quand on passe à la multiplicité modulaire NB $\widehat{M}_{0,I}$ est un vrai schéma, projectif et lisse sur $\mathbb{Z}$, […] […] Deligne […] […] $\widehat{M}_{0,I} \simeq \widehat{M}_{0,5}$ […] $V \times \mathbb{N}$…

68\[(82)\qquad \widehat{M}_{0,5} = (\widehat{M}^{!}_{0,5}, \mathfrak{S}_5) = (\widehat{M}_{0,I}, \mathfrak{S}_I)\] il n'y a plus, par « passage au quotient » par $\mathfrak{S}_5$, qu'un seul diviseur à l'infini, et un seul pt ⌜critique⌝ à l'infini (les 10 diviseurs à l'infini, ainsi que les 15 pts critiques à l'infini, de $\widehat{M}_{0,I}$ sont permutés transitivement entre eux par $\mathfrak{S}_I$).

69p. 34 de l'auteur 4°) Cas de $\widehat{M}^{!}_{1,2} \simeq \widehat{M}^{\xi}_{1,I}$ (card $I = 2$, $I = \{a, b\}$) l'exposant de $\widehat{M}_{1,I}$ est surchargé, lu $\xi$ sans certitude ; dans « card $I = 2$ » un chiffre est raturé \[(83)\qquad \begin{array}{c|c|c} \text{codim } 0 & \text{codim } 1 & \text{codim } 2 \\ \hline \underset{1}{\overset{I(2)}{\bullet}} & \begin{array}{l} G_0 = \text{(boucle sur un sommet } I(2)\text{)} \\ G_1 = \overset{1}{\bullet}\!\text{---}\!\overset{I(2)}{\bullet} \end{array} & \begin{array}{l} \overset{\{a\}}{\bullet}\!=\!\overset{\{b\}}{\bullet} = P_0 \\ \text{(boucle)}\!\bullet\!\text{---}\!\overset{I(2)}{\bullet} = P_1 \end{array} \end{array}\] tableau à trois colonnes. Codimension 1 : $G_0$ est une boucle fermée sur un sommet épais marqué $I(2)$ ; $G_1$ un segment joignant un sommet marqué 1 à un sommet marqué $I(2)$. Codimension 2 : $P_0$, deux sommets marqués $\{a\}$ et $\{b\}$ joints par deux arêtes ; $P_1$, une boucle portée par un sommet relié par une arête à un sommet marqué $I(2)$. Des flèches vont de $G_0$ vers $P_0$ (marquée 2) et vers $P_1$ (marquée 1), et de $G_1$ vers $P_1$ (marquée 1) « $D_{\circ}$ boucle » ; « $D_{-}$ segment » Il y a deux diviseurs à l'infini, $D_{\circ}$ et $D_{-}$, ⌜cf. $P_0$⌝, et deux points ⌜critiques⌝ à l'infini, […] $P_0$ et $P_1$, ⌜dont l'un $P_0$⌝ contenu dans $D_{\circ}$ et dans $D_{-}$, et l'autre contenu ⌜bien⌝ que dans $D_{-}$. la phrase est surchargée d'ajouts ; telle qu'écrite elle place l'un des points dans les deux diviseurs et l'autre dans un seul, sans qu'on puisse dire sûrement lequel

Essayons de déterminer la structure de la multiplicité à l'infini $\widehat{M}^{\infty}_{1,I} \simeq \widehat{M}^{!\,\infty}_{1,2}$, ⌜donc⌝ celle des deux multiplicités […], […] $D_{\circ}$ et $D_{-}$.

$D_{\circ}$ est isomorphe ⌜MD-⌝ à $(\widehat{M}_{G_0}, \Gamma^{!}_0)$, où $G_0$ est le graphe $\bigcirc\!\bullet^{I(2)}$, $\Gamma_0$ le groupe d'automorphismes, et $\Gamma^{!}_0 = \operatorname{Ker}(\Gamma_0 \to \mathfrak{S}_{I(2)}) \simeq \mathbb{Z}/2$. D'ailleurs $\widehat{M}_{G_0} \simeq \widehat{M}^{!}_{0,4} \simeq \mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}$, sur lequel dès lors $\Gamma^{!}_0 \simeq \mathbb{Z}/2$ opère en fixant un des pts à l'infini ⌜soit $1$⌝ de $U_{0,3}\mathbb{Z}$ ⌜soit $\{0, \infty\}$⌝, et en […] les deux autres, (ceux correspondant plus […]) à $D_{-}$ […] sur […] choix d'un élément de $I$ comme $1$, et les deux éléments de $\widetilde{A}(G_0)$ comme $0$ et $\infty$), donc on trouve en « quotient » par $z \mapsto z^{-1}$. Désignons la fin de la page est très surchargée ; la ligne biffée commence par $D_{-}$

70plus intrinsèque, le graphe $G_0$ déployé revient à un $I \amalg \widetilde{A}^{!}_0$ de cardinal $4$, muni d'une partition de type $(2,2)$ (et $=$ d'une partie $I$ de card $2$), l'une des ⌜$J$⌝ partitions du type $(1,3)$ a dans un pt marqué $\varepsilon_1$, les deux autres pts correspondant aux éléments de l'ensemble $J' = I \wedge_{\mathbb{Z}/2} \widetilde{A}^{!}_0$ : \[(84)\qquad J = \{\varepsilon_1\} \amalg J' \qquad J' = I \wedge_{\mathbb{Z}/2} \widetilde{A}^{!}_0 .\] Ceci posé, $\mathbb{P}^1_J = \mathbb{P}^1_{\{\varepsilon_1\} \amalg J'}$ […] peut être considéré comme le compactifié de $\mathfrak{S}^{1}_{\mathbb{Z}} \wedge_{\mathbb{Z}/2} J'$ (?), et $\mathfrak{S}_{J'} \simeq \mathbb{Z}/2$ y opère par transport de structure. D'où $\varepsilon_1$ correspondant au point $1$ \[(85)\qquad \begin{aligned} \widehat{M}_{G_0} &\simeq \bigl(\mathbb{P}^1_{\{\varepsilon_1\} \amalg J'}\text{\struck{$, \mathfrak{S}_{J'}$}}\bigr) \\ \underbrace{(\widehat{M}_{G_0}, \Gamma^{!}_0)}_{\widehat{M}_{D_{\circ}}} &\simeq \bigl(\mathbb{P}^1_{(\varepsilon_1 \amalg J')}, \mathfrak{S}_{J'}\bigr) \end{aligned}\] le symbole $\mathfrak{S}^{1}_{\mathbb{Z}}$ est une lecture douteuse sur lesquels $\mathfrak{S}_I$ opère via $\mathfrak{S}_{J'}$, donc $\mathfrak{S}_I$ opère trivialement sur $\widehat{M}_{D_{\circ}}$. Les deux pts à l'infini de $\widehat{M}_{D_{\circ}}$ correspondent : la conjugaison $J'$ d'une paire (pt. $P_0$) : la conjugaison $\varepsilon_1$ d'autre part (point $P_1$). On a \[(86)\qquad M_{D_{\circ}} \simeq \mathbb{E}^1_{\mathbb{Z}} \setminus \{\text{section } 2\} = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[T]_{(T-2)}\] \[\text{via}\quad \begin{cases} M_{G_0} \longrightarrow M_{D_{\circ}} \\ T \longmapsto T + \frac{1}{T} \end{cases}\] \[(87)\qquad \widehat{M}_{D_{\circ}} \simeq (\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}, \text{avec singularité } 2 \text{ le long de la section } T = 2)\] la formule (87) se poursuit à la page suivante

71p. 35 de l'auteur dans ce dernier iso, $P_0$ correspond à la section à l'infini, et $P_1$ à la section $2$ de $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}$.

D'autre part, \[(88)\qquad \widehat{M}_{D_1} \simeq \widehat{M}_{G_1} \simeq \widehat{M}_{1,1} \simeq (\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}, \ldots)\] dans (88), après la virgule, un passage biffé : « avec singularités $4$ et $6$ le long des sections $0$ et $J_1 = 2^{\alpha}3^{\beta}$ (correspond. à la courbe elliptique d'automorphisme $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$) » ; la fin de (88) est barrée de grands traits obliques, ainsi qu'une suite raturée (« … des sections $\infty$, … $\widehat{M}_{D_1}$ … »), illisible ; le $D_1$ de cette page est sans doute le diviseur noté $D_{-}$ p. 69

J'y renonce, compte tenu qu'il me faudrait d'abord comprendre la structure de $M_{1,1}$ (⌜c'est⌝ $=$ de $M_{1,1}$), ce que je ne connais dans la catégorie transcendante (analytique complexe, avec éventuellement la structure réelle explicitée – i.e. considération de la conjugaison complexe…). J'y reviendrai plus loin.

Notons déjà

Proposition. Si $\dim M_G \geq 2$, alors $M^{\infty}_{G}$ est connexe ⌜(fibre par fibre)⌝ ⌜géom.⌝.

Dém. Écrivons \[(89)\qquad \begin{cases} \widehat{M}_G \simeq \prod\limits_{\alpha \in S} \widehat{M}^{!}_{g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha} \\ M_G \simeq \prod\limits_{\alpha \in S} M^{!}_{g_\alpha, \nu_\alpha} \end{cases}\] sous le second produit, un indice raturé

72et utilisons le fait que les $\widehat{M}^{!}_{g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha}$ sont connexes, ainsi que $\widetilde{M}^{\infty}_{G} = \widehat{M}_G \setminus M_G$ est connexe dès que deux parmi les $\widehat{M}^{!}_{g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha}$, il y en a au moins deux qui sont de dim $\geq 1$ (on utilise le fait que pour un tel $\alpha$, […] $M^{\infty}_{g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha} \neq \emptyset$). Dans le cas contraire, on a \[\widehat{M}_G \simeq \widehat{M}^{!}_{g,\nu} \quad (\simeq M_{g,I} \ldots)\] $(\dim M_{g,\nu} = N = 3(g-1) + \nu \geq 2.)$ le cas où $3(g-1) + \nu = 2$ est déjà vu, […] dans DPS $N \geq 3$. Dans ce cas, il suffit de voir que deux diviseurs à l'infini peuvent être joints par une chaîne de tels div. dont deux consécutifs ont une intersection non vide, compte tenu que ces diviseurs sont eux-mêmes connexes. Or les diviseurs à l'infini correspondent aux 1-types ⌜MD-⌝graphes suivants \[(90)\quad \begin{cases} \text{a)}\ \ \text{une boucle sur un sommet } \overset{I}{\underset{g-1}{\bullet}} \quad (\text{si } g \geq 1) \\ \text{b)}\ \ \overset{I'}{\underset{g'}{\bullet}}\!\text{---}\!\overset{I''}{\underset{g''}{\bullet}} \quad \begin{cases} I = I' \amalg I'' \\ g' + g'' = 0 \\ \text{si } g' \text{ (ou } g'') = 0, \text{ alors} \\ \quad \text{\struck{$2g' + \operatorname{card} I' \geq 2$}} \\ \quad \text{\struck{$2g'' + \operatorname{card} I'' \geq 2$}} \\ \quad \operatorname{card} I' \geq 2 \ (\text{ou } \operatorname{card} I'' \geq 2) \end{cases} \end{cases}\] dans b), un premier dessin raturé à gauche du segment ; « $g' + g'' = 0$ » se lit sur la page, sans doute pour $g$

73p. 36 de l'auteur On a comme spécialisation des cas a) \[(91)\quad \text{a}')\quad \text{une boucle sur } \overset{I_1}{\underset{g_1}{\bullet}}\!\text{---}\!\overset{I_2}{\underset{g_2}{\bullet}} \qquad \begin{cases} I_1 \amalg I_2 = I \\ g_1 + g_2 = g - 1 \\ \text{si } g_2 = 0 \text{ \struck{\ill{}}}\ \text{\add{on a card } } I_2 \geq 2 \\ \quad \text{\struck{($I_1 \neq \emptyset$ et card $I_2 \neq \emptyset$)}} \end{cases}\] au-dessus de l'arête du dessin, un trait ondulé raturé […] DPS $g_2 = 1$, $g_1 = g - 2$, $(I_1, I_2)$ partition quelc. de $I$ (pourvu que $g \geq 2$). On a comme autres spécialisation des cas b), si […] […] $g'$ \[(92)\quad \text{b}')\quad \text{une boucle sur } \overset{I'}{\underset{g'-1}{\bullet}}\!\text{---}\!\overset{I''}{\underset{g''}{\bullet}}\] Donc si $g \geq 1$ (donc dès que le cas a) existe), dans presque tous les cas b) $g' \neq$ les conditions […] de $g', g''$ ne sont que $g' \neq 0$ i.e. $g' \geq 1$ (quitte à éch. $g'$, $g''$), on voit que l'on a ⌜$b') = a')$⌝ une spécialisation commune aux cas a) et b). Cela démontre notre assertion lorsque $g \neq 0$. Si $g$ Dans le cas $g = 0$, ⌜donc card $I \geq 6$⌝, de DPS on a cas les cas b), a il y a ⌜dès qu'il y a⌝ que card $I' \geq$ card $I''$ dans card $I' \geq 3$, une spécialisation de la forme \[\text{b}'')\qquad \text{\struck{(b'') : \ill{}}}\quad \overset{\mathfrak{f}}{\bullet}\!\text{---}\!\bullet\] schéma raturé : un graphe à deux sommets marqués $I' \setminus \{a'\}$ et $I''$, entouré d'un contour en forme de cloche ; en dessous, un segment dont l'extrémité gauche porte un symbole surchargé \[(93)\quad \text{b}'')\quad \underbrace{\overset{2}{\underset{(a_0)}{\bullet}}\!-\!\overset{1}{\underset{(a_1)}{\bullet}}\!-\!\overset{1}{\bullet}\cdots\overset{1}{\underset{(a_{k-1})}{\bullet}}\!-\!\overset{1}{\underset{a_k}{\bullet}}}_{\substack{k \text{ segments},\ k+1 \text{ sommets} \\ \text{ayant un poids marqué total} \\ 2 + k = \operatorname{card} I'}} \!-\! \underbrace{\overset{1}{\underset{(b_l)}{\bullet}}\!-\!\overset{1}{\underset{(b_{l-1})}{\bullet}}\cdots\overset{1}{\underset{(b_2)}{\bullet}}\!-\!\overset{1}{\underset{(b_1)}{\bullet}}\!-\!\overset{2}{\underset{(b_0)}{\bullet}}}_{\substack{l \text{ segments},\ l+1 \text{ sommets} \\ \text{poids marqué total} \\ 2 + l = \operatorname{card} I''}}\] sous le second groupe on lit « $2 + l = \operatorname{card} I''$ », le premier chiffre surchargé ; les poids au-dessus des sommets sont les nombres de points marqués

74diagrammes qui ont ceci de commun, à savoir qu'ils sont donnés par un ordre total sur $I$, (défini à transposition […] près des deux premiers et des deux derniers). Pour montrer que deux ordres totaux sur $I$ définissent […] des pts de $M^{\infty}_{0,\nu}$ qui appartiennent à une même composante connexe, il suffit de montrer que cela est vrai pour deux ordres totaux déduits l'un de l'autre par transposition des deux éléments $c_i, c_{i+1}$ consécutifs dans les deux $=$ composante connexe. Or les deux sont toujours la spécialisation de \[\overset{(c_1, c_2)}{\underset{c}{\bullet}}\!-\!\overset{c_3}{\bullet}\!-\!\cdots\!-\!\overset{c_{i-1}}{\bullet}\!-\!\overset{(c_i, c_{i+1})}{\bullet}\!-\!\overset{c_{i+2}}{\bullet}\!-\!\cdots\!-\!\overset{c_\nu}{\bullet}\] devant cette chaîne, un mot raturé ; on lit « dans » provenant de \[\cdots\!-\!\overset{c_{i-1}}{\bullet}\!-\!\overset{c_i}{\bullet}\!-\!\overset{c_{i+1}}{\bullet}\!-\!\overset{c_{i+2}}{\bullet}\!-\!\cdots\] et de \[\cdots\!-\!\overset{c_{i-1}}{\bullet}\!-\!\overset{c_{i+1}}{\bullet}\!-\!\overset{c_i}{\bullet}\!-\!\overset{c_{i+2}}{\bullet}\!-\!\cdots\] en contractant la […] ⌜arête⌝ qui joint $c_i$ et $c_{i+1}$, OK.

75p. 37 de l'auteur 9) La structure groupoïdale des Teichmüller modulaires (⌜groupes modulaires des⌝) (la MDT-structure) : cas transcendant l'insertion au-dessus du titre est soulignée et en partie illisible (morphismes de généralisation.)

Nous travaillons maintenant avec les $M^{\mathrm{an}}_{g,\nu}$, $\widehat{M}^{\mathrm{an}}_{g,\nu}$ etc. – et pour ne pas traîner les exposants « an » (pour « analytique »), nous les laisserons tomber.

Considérons pour tout MD-graphe $\underline{G}$, la multiplicité modulaire (analytique) $M_{\underline{G}}$, et son groupoïde fondamental, que je note $\Pi M_{\underline{G}}$. C'est une « ⌜grosse⌝ » catégorie, par le fait même qu'elle est connexe gouverne le remplacer par un catégorie ⌜groupoïde⌝ dont l'ensemble des objets soit fini. Dans nos constructions, il est en fait licite de remplacer $\Pi M_{\underline{G}}$ par un groupoïde tel que l'équivalence ⌜des échantillons⌝ groupoïde équivalent, pourvu que […] l'équivalence commute à l'action du groupe \[(94)\qquad \Gamma_{\underline{G}} = \operatorname{Aut} \underline{G}\] devant (94), une ligne « le groupe » rayée

Notons déjà que $\Pi M_{\underline{G}}$ est un groupoïde la phrase se poursuit à la page suivante

76connexe, dont le $\pi_1$ est isomorphe au groupe (cartésien) : \[(95)\qquad \pi_1(\Pi M_{\underline{G}}) = \pi_1(M_{\underline{G}}) \simeq \prod_{\alpha \in S(\underline{G})} \pi_1(M_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha}) \simeq \prod_\alpha \Gamma^{+}_{g_\alpha, I_\alpha} \simeq \prod_\alpha \mathcal{T}^{!+}_{g_\alpha, \nu_\alpha}\] les $\mathcal{T}^{!+}_{g,\nu}$ sont dits des groupes de Teichmüller le dernier isomorphisme est écrit sous le précédent, relié par un signe $\simeq$ vertical ; l'indice $\hat{I}_\alpha$ est surchargé L'opération de $\Gamma^{\natural}_{\underline{G}}$ sur $\Pi M_{\underline{G}}$ définit un groupoïde muni $(\Pi M_{\underline{G}}, \Gamma_{\underline{G}})$, dont le groupe fondamental (cartésien) […] ⌜dans une⌝ structure d'extension \[(96)\qquad 1 \to \pi_1(\Pi M_{\underline{G}}, \Gamma_{\underline{G}}) \to \pi_1(\Pi M_{\underline{G}}, \Gamma_{\underline{G}}) \longrightarrow \Gamma_{\underline{G}} \to 1\] tel qu'écrit, le premier terme non trivial est le même que le second ; on attend $\pi_1(\Pi M_{\underline{G}})$

Nous allons définir une ⌜sorte de⌝ variation des $\Pi M_{\underline{G}}$ relativement aux « morphismes » pour les MD-graphes $\underline{G}$. Il s'agit d'abord d'une « variation de généralisation » qui est comprise de la variation pour morphismes des MD-graphes (que j'admets comme « triviale », et qu'il est inutile de préciser) et une « variation de […] généralisation de MD-graphes ». la fin de la page est d'une lecture très incertaine : le texte distingue une variation par les morphismes de MD-graphes et une variation de généralisation

77p. 38 de l'auteur Soit donc $\underline{G}'$ un MD-graphe quotient de $\underline{G}$ – par un ens. $C$ d'arêtes du graphe $G$ sous-jacent à $\underline{G}$, \[(96)\qquad \underline{G}' = \underline{G} / C .\] le numéro se lit (96), déjà employé p. 76 On a alors un ⌜diagramme de⌝ morphismes canoniques

LaTeX source

\begin{tikzcd}
M_{\underline{G}} \arrow[d, hook] \\
\widehat{M}_{\underline{G}} \arrow[r] & \widehat{M}_{\underline{G}'}
\end{tikzcd}

(97) : à droite de $M_{\underline{G}}$, une flèche vers $M_{\underline{G}'}$ et une flèche verticale de $M_{\underline{G}'}$ vers $\widehat{M}_{\underline{G}'}$ sont biffées de grands traits diptyque et gît en $\Gamma^{!}_{\underline{G},\underline{G}'}$ […] Si l'on désigne par $\Gamma^{!}_{\underline{G},C} = \Gamma^{!}_{\underline{G},\underline{G}'}$ le sous-groupe de $\Gamma_{\underline{G}}$ qui est formé des automorphismes qui induisent l'identité sur $\underline{G}'$, alors le morphisme […] ⌜horizontal⌝ de (97) se factorise en une immersion de multiplicités \[(98)\qquad (\widehat{M}_{\underline{G}}, \Gamma^{!}_{\underline{G},\underline{G}'}) \hookrightarrow \widehat{M}_{\underline{G}'}\] que ce ne sont peut-être que des immersions locales, il paraît […]… Je désigne par $\widehat{M}_{\underline{G},\underline{G}'}$ le germe de multiplicité défini par l'inclusion (98), et par $M_{\underline{G},\underline{G}'}$ le germe défini par l'inclusion \[(99)\qquad (M_{\underline{G}}, \Gamma^{!}_{\underline{G},\underline{G}'}) \hookrightarrow \widehat{M}_{\underline{G}'}\] Il vaut mieux considérer le germe de multiplicité, à définir par $M_{\underline{G}} \to M_{\underline{G}'}$ dessus $\Gamma^{!}_{\underline{G},\underline{G}'}$ […] deux notes marginales obliques, à gauche, sont d'une lecture très incertaine

78Je désigne par $\widehat{M}^{*}_{\underline{G},\underline{G}'}$, $\widehat{M}^{*}_{\underline{G},\underline{G}'}$ les germes de multiplicités obtenus en prenant les traces des $\widehat{M}_{\underline{G}'}$ […] ⌜enlevant les traces des diviseurs à l'infini de $\widehat{M}_{\underline{G}'}$⌝ « l'infini » […] les traces, […] […] de $M_{\underline{G}}$ […] […] filtrées d'éléments de la multiplicité $M_{\underline{G}'}$, et les groupoïdes fondamentaux* […] le second symbole porte un accent surchargé, peut-être un double chapeau ; tout le haut de la page est couvert de ratures et d'ajouts entrecroisés, dont l'ordre reste douteux qui sont […] dans le cas présent les $M^{*}_{\underline{G},\underline{G}'}$ $M_{\underline{G}'}$ dans […] $\widehat{M}_{\underline{G},\underline{G}'}$ \[(100)\qquad \Pi M^{*}_{\underline{G},\underline{G}'}, \quad \Pi M^{*}_{\underline{G},\underline{G}'}\] les deux termes de (100) se lisent identiques ; sans doute l'un porte-t-il un chapeau sont définis par une des catégories $\varinjlim$ des catégories de revêtements universels, ou des catégories des revêtements connexes desdits germes de multiplicités (comparer [53], n° 5, p. 768').

On a alors des diagrammes de germes de multiplicités analytiques \[(101)\qquad \begin{array}{ccc} M^{*}_{\underline{G},\underline{G}'} & \longrightarrow & M_{\underline{G}'} \\ \big\downarrow & & \\ (M_{\underline{G}}) \overset{\text{\struck{\ill{}}}}{\longrightarrow} M_{\underline{G},\underline{G}'} & & \end{array}\] sous la flèche horizontale du bas : « (équivalence d'homotopie !) » ; un indice est raturé après $M_{\underline{G}'}$ donnant lieu : des morphismes de groupoïdes la phrase se poursuit à la page suivante

79p. 39 de l'auteur \[(102)\qquad \begin{array}{ccc} \Pi M^{*}_{\underline{G},\underline{G}'} & \longrightarrow & \Pi M_{\underline{G}'} \\ \big\downarrow & & \\ \Pi(M_{\underline{G}}) \overset{\approx}{\longrightarrow} \Pi M_{\underline{G},\underline{G}'} & & \end{array}\] sous la flèche du bas, une note de sa main : « ceci est une équivalence de groupoïdes » ; dans le terme de gauche, un symbole est raturé qui se réduisent à un morphisme de groupoïdes \[(103)\qquad \begin{array}{ccc} \Pi M^{*}_{\underline{G},\underline{G}'} & \xrightarrow{\ \varphi_{\underline{G},\underline{G}'}\ } & \Pi M_{\underline{G}'} \\ \big\downarrow{\scriptstyle \varphi_{\underline{G},\underline{G}'}} & & \\ \Pi(M_{\underline{G}}, \ldots) & & \end{array}\] l'étiquette de la flèche horizontale est surchargée ; à droite du terme du bas, un long passage est biffé de grands traits obliques, où l'on devine « sera […] … $\Pi M_{\underline{G},\underline{G}'}$ … $\Pi(M_{\underline{G}}, \Gamma^{!}_{\underline{G},\underline{G}'})$ » « diagramme de généralisation » pour les groupoïdes fondamentaux par la généralisation de $\underline{G}$ à $\underline{G}'$ L'homomorphisme de groupoïdes $\varphi_{\underline{G},\underline{G}'}$ […] a comme propriétés de l'homomorphisme sur les $\pi_1$ des bouts de $\Pi(M_{\underline{G}},$ …$)$ […] une fibration de fibre un produit de disques épointés (un par arête de $C$, ou plutôt) – on peut […] $\Pi M^{*}_{\underline{G},\underline{G}'}$ comme une « extension » canonique du groupoïde […] $\Pi(M_{\underline{G}}, \ldots)$ par $\mathbb{Z}^{C}$, où $C$, rappelons-le, est l'ens. des flèches ⌜arêtes⌝ de $\underline{G}$ NB $(M_{\underline{G}}, \ldots)$ est un $K(\pi, 1)$, et $\pi_1$ des fibres […] extension […] […] de […] vers l'une… Notation : il vaut mieux noter $(M_{\underline{G}}, \Gamma^{!}_{\underline{G},\underline{G}'})$ pour $\Gamma^{!}_{\underline{G},\underline{G}'}$ […] $\mathbb{Z}^{C}$ […] les deux notes marginales, écrites de biais et en partie biffées, sont reliées au texte par une longue flèche courbe ; leur lecture est très incertaine

80qui a été introduite pour traiter la généralisation $\underline{G}'$. Plus (On revient sur la structure de cette extension, comme un produit fibré d'extensions, un peu plus loin…) L'homomorphisme $\varphi_{\underline{G},\underline{G}'}$ s'appelle l'homomorphisme de généralisation pour les groupoïdes fondamentaux, associé à l'homomorphisme de généralisation $\underline{G} \to \underline{G}'$.

On va dégager une propriété de transitivité pour un homomorphisme de généralisation, ou plutôt pour un composé d'homomorphismes de généralisation \[(104)\qquad \underline{G} \longrightarrow \underline{G}' \longrightarrow \underline{G}''\] qui donne […] l'association : un diagramme de groupoïdes \[\text{\struck{$\Pi M^{*}_{\underline{G},\underline{G}'} \longrightarrow \ldots$ \quad $\big\downarrow$ \quad $\Pi M_{\underline{G}}$}}\] le début de diagramme est biffé de traits obliques ; la page s'arrête là, et l'argument se poursuit au-delà de ce lot