Fonds Grothendieck, cote n° 147, pages 61–80 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-10-09)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-10-10
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)147
[Structure à l'infini des Mg,ν, pages 1 à 90, dont table des matières] : notes manuscrites (s.d.).
Pages 61 à 80 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 4 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.s.d. — le groupe « Autour de La "Longue Marche" à travers la théorie de Galois » (141 à 149) est daté [à partir de 1978]-1983Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/147.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \supplied devient
supplied (restitué par le transcripteur) ;
\add devient add
(ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ;
\struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \drawing devient
note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le
transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils
ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le
fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète
est une restitution (supplied), un ajout
isolé est de l'auteur (add). Certains
add sont donc encore des restitutions du
transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurExport TEI depuis la source LaTeX.Première passe de transcription.
p. 30 de l'auteur. La phrase commence au feuillet précédent, hors de ce lot.
la courbe modulaire \widehat{\mathfrak{X}}^{!}_{0,4} sur \widehat{M}^{!}_{0,4}, munie de ses quatre sections s_0, s_1, s_\infty, s_\lambda (ou t_1, t_2, t_3, t_4), et l'opération de \mathfrak{S}_4dessus sur \widehat{\mathfrak{X}}^{!}_{0,4} \to \widehat{M}^{!}_{0,4}, échangeant ces quatre sections entre elles. Je vais pas le faire ici – cela donnerait des compl. les schémasmultiplicités modulaires \widehat{M}_{0,4} et \widehat{\mathfrak{X}}_{0,4}. Pour \widehat{M}_{0,4}, il y a lieu de remplacer le diagramme (76) par un diagramme purement numérique
(78)\qquad
\begin{array}{c|c}
\text{codim } 0 & \text{codim } 1 \\ \hline
\overset{4}{\bullet} \;\xrightarrow{\;1\;} & \overset{2}{\bullet}\!\text{---}\!\overset{2}{\bullet}
\end{array}
il n'y a plus qu'un seul pt à l'infini, correspondant aux deux pts à l'infini de \widehat{M}^{!}_{0,4}, permutés transitivement par \mathfrak{S}_4.
Caractéristiques d'EP fractionnaires. On trouve
\begin{align*}
\chi_!(M^{!\,\mathrm{an}}_{0,4}) &= \chi_!(U^{\mathrm{an}}_{0,3}) = 2 - 2\underset{0}{g} - \underset{3}{\nu} = -1 \\
\chi_!(\widehat{M}^{!\,\mathrm{an}}_{0,4}) &= \chi_!(\mathbb{P}^{1\,\mathrm{an}}) = 2 \\
\chi_!(M^{\mathrm{an}}_{0,4}) &= \chi_!(\mathbb{B}^{\mathrm{an}}_{0,3}, \mathfrak{S}_4)
= \chi_!\bigl(U_{0,3} \setminus \{-j, -\bar{j}\} \setminus \{\tfrac12, 2, -1\}, \mathfrak{S}_4\bigr) \\
&\qquad + \chi_!(\{-j, -\bar{j}\}, \mathfrak{S}_4) + \chi_!(\{\tfrac12, 2, -1\}, \mathfrak{S}_4) \\
&= -1 + \tfrac13 + \tfrac12 = -\tfrac{1}{24}
\end{align*}dans la troisième ligne, un accent (chapeau) biffé sur le M du membre de gauche ; à la dernière ligne, le dénominateur du résultat est surchargé, lu 24 ; tel qu'écrit, -1 + \frac13 + \frac12 ne fait pas -\frac1{24} : les termes sont sans doute à diviser par l'ordre de \mathfrak{S}_4, ce que la page ne dit pasNB On peut écrire directement \chi_!(U^{\mathrm{an}}_{0,3}) : [\mathfrak{S}_4] = -\frac{1}{24}
\chi_!(\widehat{M}^{\mathrm{an}}_{0,4}) = \underbrace{\chi_!(U^{\mathrm{an}}_{0,3}, \mathfrak{S}_4)}_{-1/24} + \underbrace{\chi_!(\{0, 1, \infty\}, \mathfrak{S}_4)}_{1/8} = \frac{1}{12} .
De façon plus fine, dans un « groupe de Grothendieck » convenable, on aura
\begin{align*}
[M^{!}_{0,4}] &= [U_{0,3}] = \underbrace{T(1)}_{\text{Tate} \simeq [\mathbb{E}^1]} - 2 \\
[M_{0,4}] &= \tfrac14\bigl(T(1) - 2\bigr) + \tfrac{1}{12} + \tfrac18 = \tfrac14\bigl(T(1) - 1\bigr) - \tfrac{1}{24} \\
[\widehat{M}_{0,4}] &= [M_{0,4}] + \tfrac18 = \tfrac14\bigl(T(1) - 1\bigr) + \tfrac{1}{12}
\end{align*}sous « Tate » : « (d'augmentation 1) » ; dans les deuxième et troisième lignes, un premier essai de calcul est raturé avant le résultat, illisible ; dans la deuxième, le facteur \frac14 est écrit en surchargevalable au-dessus de \mathbb{Z}[\frac16]79 – faire le calcul au-dessus de \mathbb{Z}…
On trouve ces trois quantités à des dénominateurs près : -1, -\frac{1}{24}, \frac{1}{12}.
2°) Cas des\widehat{M}_{1,1}.(77)\qquad
\begin{array}{c|c}
\text{codim } 0 & \text{codim } 1 \\ \hline
\underset{1}{\overset{1}{\bullet}} \;\xrightarrow{\;1\;} & \text{(boucle)}\overset{1}{\bullet}
\end{array}en codimension 1, une boucle fermée sur un sommet marqué 1
Il y a exactement un point à l'infini.
On a un morphisme (au-dessus de\mathbb{Z}[\frac12])
(78)\qquad \widehat{M}_{1,1} \longrightarrow \widehat{M}'_{1,4} \overset{\mathrm{def}}{=} (\widehat{M}^{!}_{1,4}, \mathfrak{S}_3)les indices se lisent « 1,4 » ; la suite ([U_{0,3}, \mathfrak{S}_3], M_{0,4}) suggère 0,4. Le numéro (78) est déjà employé p. 61
qui fait de \widehat{M}_{1,1} une gerbe (de groupe \{\pm 1\}) au-dessus de \widehat{M}'_{1,4} (en car.\neq 2), d'où
[M_{1,1}] = \tfrac12 [U_{0,3}, \mathfrak{S}_3] = \tfrac12 [M_{0,4}] \text{\struck{$\ldots$}}la fin de la ligne, où l'on devine [\mathbb{E}^1] et T(1), est raturée
p. 31 de l'auteur
d'où, au-dessus de \mathbb{Z}[\frac12](79)\quad
\begin{cases}
[M_{1,1}] = \tfrac12\bigl(T(1) - 1\bigr) - \tfrac{1}{12} \\
[\widehat{M}_{1,1}] = [M_{1,1}] + \underset{1/2}{[\widehat{M}^{\infty}_{1,1}]} = \tfrac12\bigl(T(1) - 1\bigr) + \tfrac{5}{12}
\end{cases}dans les deux lignes, un premier essai raturé précède le résultat ; dans la seconde on y devine T(1) et \frac13
Voici un autre calcul de [M_{1,1}]. On considère le morphisme modulaire
M_{1,1} \longrightarrow \mathbb{E}^1et on découpe \mathbb{E}^1 suivant les deux sections S_0 (correspondant à la courbe elliptique harmonique, de groupe d'automorphismes \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) et S_1 (courbe elliptique équianharmonique, groupe d'automorphismes \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}), qui ne se coupent qu'en les pts 2 et 3, qui correspondent () à des groupes d'automorphismes d'ordre 24, et 12. On a donc une partition
\mathbb{E}^1 = U \amalg S'_0 \amalg S'_1 \cup a_2 \cup a_3un premier symbole raturé après le signe =
où
\begin{cases}
U = \mathbb{E}^1 \setminus (S_0 \cup S_1) \\
\{a_2, a_3\} = S_0 \cap S_1 \quad (a_2 \text{ en car. } 2,\ a_3 \text{ en car. } 3) \\
S'_0 = S_0 \setminus \{a_2, a_3\},\quad S'_1 = S_1 \setminus \{a_2, a_3\}
\end{cases}
On trouve donc
[M_{1,1}] = \tfrac12 [U] + \tfrac14 [S'_0] + \tfrac16 [S'_1] + \tfrac{1}{24} [a_2] + \tfrac{1}{12} [a_3]
et on a
\begin{align*}
[U] &= [\mathbb{E}^1] - [S_0] - [S_1] + [a_2] + [a_3] \\
&= T(1) - 2 + \zeta_2 + \zeta_3
\end{align*}
où on a posé en général, pour p premier,
\zeta_p = [\operatorname{Spec} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}] = i_{p!}(1)
où i_{p!} : K_!(\mathbb{Z}_p) \longrightarrow K_!(\mathbb{Z}).
p. 32 de l'auteur3°) Cas des\widehat{M}^{!}_{0,5}, ou \widehat{M}_{0,I}.(81)\qquad
\begin{array}{c|c|c}
\text{codim } 0 & \text{codim } 1 & \text{codim } 2 \\ \hline
\overset{I(5)}{\bullet} \;\xrightarrow{\;(10)\;} &
\overset{I'(2)}{\bullet}\!\text{---}\!\overset{I''(3)}{\bullet} \;\xrightarrow{\;(3)\;} &
\overset{I'(2)}{\bullet}\!\text{---}\!\overset{I'''(1)}{\bullet}\!\text{---}\!\overset{I''(2)}{\bullet}
\end{array}les accents des deux derniers indices de la codimension 2 sont surchargésDans\widehat{M}^{!}_{0,5} il y a dix « diviseurs » à l'infini (\simeq (\{0,1,\infty\}, I'')), dont chacun est un \widehat{M}^{!}_{0,4}, plus précisément, un \widehat{M}_{0, I''(3) \amalg (*)} \simeq (\mathbb{P}^1_{I''})_{\mathbb{Z}}\widehat{M}_{0,3}, ( et ayant) trois points à l'infini – les sont en tout \frac{30}{2} = 15, correspondant aux partitions de I(5) de type (2,2,1), alors que les diviseurs correspondent aux parties I' de I de cardinal 2. Deux tels diviseurs (correspondant à des parties I', I'' \in \mathfrak{P}_2(I)) se rencontrent elles ssi I' \cap I'' = \emptyset, i.e. ssi I', I'' et I \setminus (I' \cup I'')forment forment une partition de I de type (2,2,1).
\mathbb{P}^1_{I''} \overset{\mathrm{def}}{=} \mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}} \wedge \mathfrak{S}_3
D'après l'étude combinatoire de l'icosaèdre, choisissant une orientation de I – ce qui détermine un icosaèdre orienté, un icos. grand) les 10 diviseurs à l'infini de \widehat{M}_{0,I}, i.e. les éléments de \mathfrak{P}_2(I), ou (lessommets
pris grand complémentaire) aux dix « triangles » de I, correspondant aux dix faces de l'icosaèdre grand ({\simeq} paires de faces opposées de l'icos. ordinaire), tandis que les 15 partitions de type (2,2,1) de I, qui intersections les structures cycliques sur quatre parmi les 5 pts de Iun quadrilatère dont les quatre sommets sont marqués d'un gros point, deux côtés opposés portant chacun un petit point en leur milieu
(associées : une tellecouvrant les deux paires de sommets diagonaux opposés) correspondent aux 15 arêtes dudit icosaèdre grand. Leursaextrémitéscontenues(incidentes)dans à une face/des l'icosaèdre, ses « triangles » \subset I correspondent : communeintersection la corde, deux estl'un dessommets, i.e. ssi le complémentaire des triangles On voit doncdes deux paires différentes à la corde. Correspondantopposésqui enD'oùla relation d'incidencedesdiviseurs de la structure \widehat{M}_{0,I} : correspond : celle des faces et arêtes de l'icosaèdre grand, ou par dualité, à celle des arêtessommets et des facesarêtes du dodécaèdre.
On a donc trouvé :
NB on associe à l'icosaèdrecoloration des faces 4 couleurs, facesgranden marge, un losange partagé par sa diagonale verticale, la moitié gauche marquée « fa »page très raturée ; la prose entre les énoncés n'est lue qu'en partie, et l'ordre des ajouts interlinéaires reste incertain
p. 33 de l'auteurProposition. Le diviseur à l'infini (M^{\infty}_{0,I}) de \widehat{M}_{0,I} est une courbe déployéestable sur \operatorname{Spec}\mathbb{Z}, dont le graphe est isomorphe au celui du1-squelette du dodécaèdre grand défini par I (muni d'une orientation convenable).
Bien entendu, les groupesdes liés auxarêteslibresauxarêtes. Il n'y a pas (dans « pts marqués »)les10composantesdeM_{0,5}M^{\infty}_{0,5}, qui soitcourbede toutes façons une MD- MD-graphemaximal, telstoutes les 2-sommets (dans les gerbes d'ordre 3, pardespointesmarquées).
L'isom. de la prop. précédenten'estcompatiblequ'avec\mathfrak{S}^{+}_{I}{\simeq}Aut du dodécaèdre grand, (sur M^{\infty}_{0,I}), mais \mathfrak{S}_Itoutentier – desopérations de par celles de – il faudrait le comprendre du pt de vue de la géométrie de l'icosaèdre (grand) ou dodécaèdre (grand) ou … – ça doit être lié bien sûr au bi-icosaèdre grand (combinatoire).
Quand on passe à la multiplicité modulaire
NB\widehat{M}_{0,I}est un vrai schéma, projectif et lissesur\mathbb{Z}, Deligne\widehat{M}_{0,I} \simeq \widehat{M}_{0,5}V \times \mathbb{N}…
(82)\qquad \widehat{M}_{0,5} = (\widehat{M}^{!}_{0,5}, \mathfrak{S}_5) = (\widehat{M}_{0,I}, \mathfrak{S}_I)
il n'y a plus, par « passage au quotient » par \mathfrak{S}_5, qu'un seul diviseur à l'infini, et un seul pt critique à l'infini (les 10 diviseurs à l'infini, ainsi que les 15 pts critiques à l'infini, de \widehat{M}_{0,I} sont permutés transitivement entre eux par \mathfrak{S}_I).
p. 34 de l'auteur4°) Cas de\widehat{M}^{!}_{1,2} \simeq \widehat{M}^{\xi}_{1,I} (card I = 2, I = \{a, b\})
l'exposant de \widehat{M}_{1,I} est surchargé, lu \xi sans certitude ; dans « card I = 2 » un chiffre est raturé(83)\qquad
\begin{array}{c|c|c}
\text{codim } 0 & \text{codim } 1 & \text{codim } 2 \\ \hline
\underset{1}{\overset{I(2)}{\bullet}} &
\begin{array}{l} G_0 = \text{(boucle sur un sommet } I(2)\text{)} \\ G_1 = \overset{1}{\bullet}\!\text{---}\!\overset{I(2)}{\bullet} \end{array} &
\begin{array}{l} \overset{\{a\}}{\bullet}\!=\!\overset{\{b\}}{\bullet} = P_0 \\ \text{(boucle)}\!\bullet\!\text{---}\!\overset{I(2)}{\bullet} = P_1 \end{array}
\end{array}tableau à trois colonnes. Codimension 1 : G_0 est une boucle fermée sur un sommet épais marqué I(2) ; G_1 un segment joignant un sommet marqué 1 à un sommet marqué I(2). Codimension 2 : P_0, deux sommets marqués \{a\} et \{b\} joints par deux arêtes ; P_1, une boucle portée par un sommet relié par une arête à un sommet marqué I(2). Des flèches vont de G_0 vers P_0 (marquée 2) et vers P_1 (marquée 1), et de G_1 vers P_1 (marquée 1)« D_{\circ} boucle » ; « D_{-} segment »
Il y a deux diviseurs à l'infini, D_{\circ} et D_{-}, cf.P_0, et deux points critiques à l'infini, P_0 et P_1, dont l'un P_0 contenu dans D_{\circ} et dans D_{-}, et l'autre contenu bien que dans D_{-}.
la phrase est surchargée d'ajouts ; telle qu'écrite elle place l'un des points dans les deux diviseurs et l'autre dans un seul, sans qu'on puisse dire sûrement lequel
Essayons de déterminer la structure de la multiplicité à l'infini\widehat{M}^{\infty}_{1,I} \simeq \widehat{M}^{!\,\infty}_{1,2}, donccelle des deux multiplicités , D_{\circ} et D_{-}.
D_{\circ} est isomorphe MD-à(\widehat{M}_{G_0}, \Gamma^{!}_0), où G_0 est le graphe \bigcirc\!\bullet^{I(2)}, \Gamma_0le groupe d'automorphismes, et\Gamma^{!}_0 = \operatorname{Ker}(\Gamma_0 \to \mathfrak{S}_{I(2)}) \simeq \mathbb{Z}/2. D'ailleurs \widehat{M}_{G_0} \simeq \widehat{M}^{!}_{0,4} \simeq \mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}, sur lequel dès lors\Gamma^{!}_0 \simeq \mathbb{Z}/2 opère en fixant un des pts à l'infini soit 1 de U_{0,3}\mathbb{Z}soit\{0, \infty\}, et enles deux autres, (ceux correspondant plus )à D_{-}surchoix d'un élément de Icomme1, et les deux éléments de \widetilde{A}(G_0)comme0 et \infty), donc on trouve en « quotient » par z \mapsto z^{-1}. Désignonsla fin de la page est très surchargée ; la ligne biffée commence par D_{-}
plus intrinsèque, le graphe G_0déployé revient à un I \amalg \widetilde{A}^{!}_0 de cardinal 4, muni d'une partition de type (2,2) (et =d'une partie I de card 2), l'une des J partitions du type (1,3) a dans un pt marqué \varepsilon_1, les deux autres pts correspondant aux éléments de l'ensembleJ' = I \wedge_{\mathbb{Z}/2} \widetilde{A}^{!}_0 :
(84)\qquad J = \{\varepsilon_1\} \amalg J' \qquad J' = I \wedge_{\mathbb{Z}/2} \widetilde{A}^{!}_0 .
Ceci posé, \mathbb{P}^1_J = \mathbb{P}^1_{\{\varepsilon_1\} \amalg J'} peut être considéré comme le compactifié de \mathfrak{S}^{1}_{\mathbb{Z}} \wedge_{\mathbb{Z}/2} J'(?), et \mathfrak{S}_{J'} \simeq \mathbb{Z}/2 y opère par transport de structure. D'où
\varepsilon_1 correspondant au point 1(85)\qquad
\begin{aligned}
\widehat{M}_{G_0} &\simeq \bigl(\mathbb{P}^1_{\{\varepsilon_1\} \amalg J'}\text{\struck{$, \mathfrak{S}_{J'}$}}\bigr) \\
\underbrace{(\widehat{M}_{G_0}, \Gamma^{!}_0)}_{\widehat{M}_{D_{\circ}}} &\simeq \bigl(\mathbb{P}^1_{(\varepsilon_1 \amalg J')}, \mathfrak{S}_{J'}\bigr)
\end{aligned}le symbole \mathfrak{S}^{1}_{\mathbb{Z}} est une lecture douteuse
sur lesquels \mathfrak{S}_I opère via \mathfrak{S}_{J'}, donc \mathfrak{S}_I opère trivialement sur\widehat{M}_{D_{\circ}}. Les deux pts à l'infini de \widehat{M}_{D_{\circ}} correspondent : la conjugaisonJ' d'une paire (pt. P_0) : la conjugaison\varepsilon_1 d'autre part (point P_1). On a
(86)\qquad M_{D_{\circ}} \simeq \mathbb{E}^1_{\mathbb{Z}} \setminus \{\text{section } 2\} = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[T]_{(T-2)}\text{via}\quad
\begin{cases}
M_{G_0} \longrightarrow M_{D_{\circ}} \\
T \longmapsto T + \frac{1}{T}
\end{cases}(87)\qquad \widehat{M}_{D_{\circ}} \simeq (\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}, \text{avec singularité } 2 \text{ le long de la section } T = 2)la formule (87) se poursuit à la page suivante
p. 35 de l'auteur
dans ce dernier iso, P_0 correspond à la section à l'infini, et P_1 à la section 2 de \mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}.
D'autre part,
(88)\qquad \widehat{M}_{D_1} \simeq \widehat{M}_{G_1} \simeq \widehat{M}_{1,1} \simeq (\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}, \ldots)dans (88), après la virgule, un passage biffé : « avec singularités 4 et 6 le long des sections 0 et J_1 = 2^{\alpha}3^{\beta} (correspond. à la courbe elliptique d'automorphisme \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) » ; la fin de (88) est barrée de grands traits obliques, ainsi qu'une suite raturée (« … des sections \infty, … \widehat{M}_{D_1} … »), illisible ; le D_1 de cette page est sans doute le diviseur noté D_{-} p. 69
J'y renonce, compte tenu qu'il me faudrait d'abord comprendre la structure de M_{1,1} (c'est= de M_{1,1}), ce que je ne connais dans la catégorie transcendante (analytique complexe, avecéventuellement la structure réelle explicitée – i.e. considération de la conjugaison complexe…). J'y reviendrai plus loin.
Notons déjà
Proposition. Si \dim M_G \geq 2, alors M^{\infty}_{G} est connexe (fibre par fibre)géom..
Dém. Écrivons
(89)\qquad
\begin{cases}
\widehat{M}_G \simeq \prod\limits_{\alpha \in S} \widehat{M}^{!}_{g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha} \\
M_G \simeq \prod\limits_{\alpha \in S} M^{!}_{g_\alpha, \nu_\alpha}
\end{cases}sous le second produit, un indice raturé
et utilisons le fait que les \widehat{M}^{!}_{g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha} sont connexes, ainsi que \widetilde{M}^{\infty}_{G} = \widehat{M}_G \setminus M_G est connexe dès que deux parmi les \widehat{M}^{!}_{g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha}, il y en a au moins deux qui sont de dim \geq 1 (on utilise le fait que pour un tel \alpha, M^{\infty}_{g_\alpha, \hat{\nu}_\alpha} \neq \emptyset). Dans le cas contraire, on a
\widehat{M}_G \simeq \widehat{M}^{!}_{g,\nu} \quad (\simeq M_{g,I} \ldots)(\dim M_{g,\nu} = N = 3(g-1) + \nu \geq 2.)
le cas où 3(g-1) + \nu = 2 est déjà vu, dans DPS N \geq 3. Dans ce cas, il suffit de voir que deux diviseurs à l'infini peuvent être joints par une chaîne de tels div. dont deux consécutifs ont une intersection non vide, compte tenu que ces diviseurs sont eux-mêmes connexes. Or les diviseurs à l'infini correspondent aux 1-typesMD-graphes suivants
(90)\quad
\begin{cases}
\text{a)}\ \ \text{une boucle sur un sommet } \overset{I}{\underset{g-1}{\bullet}} \quad (\text{si } g \geq 1) \\
\text{b)}\ \ \overset{I'}{\underset{g'}{\bullet}}\!\text{---}\!\overset{I''}{\underset{g''}{\bullet}} \quad
\begin{cases}
I = I' \amalg I'' \\
g' + g'' = 0 \\
\text{si } g' \text{ (ou } g'') = 0, \text{ alors} \\
\quad \text{\struck{$2g' + \operatorname{card} I' \geq 2$}} \\
\quad \text{\struck{$2g'' + \operatorname{card} I'' \geq 2$}} \\
\quad \operatorname{card} I' \geq 2 \ (\text{ou } \operatorname{card} I'' \geq 2)
\end{cases}
\end{cases}dans b), un premier dessin raturé à gauche du segment ; « g' + g'' = 0 » se lit sur la page, sans doute pour g
p. 36 de l'auteur
On a comme spécialisation des cas a)
(91)\quad \text{a}')\quad
\text{une boucle sur } \overset{I_1}{\underset{g_1}{\bullet}}\!\text{---}\!\overset{I_2}{\underset{g_2}{\bullet}}
\qquad
\begin{cases}
I_1 \amalg I_2 = I \\
g_1 + g_2 = g - 1 \\
\text{si } g_2 = 0 \text{ \struck{\ill{}}}\ \text{\add{on a card } } I_2 \geq 2 \\
\quad \text{\struck{($I_1 \neq \emptyset$ et card $I_2 \neq \emptyset$)}}
\end{cases}au-dessus de l'arête du dessin, un trait ondulé raturé DPS g_2 = 1, g_1 = g - 2, (I_1, I_2) partition quelc. de I (pourvu que g \geq 2).
On a comme autres spécialisation des cas b), si g'(92)\quad \text{b}')\quad
\text{une boucle sur } \overset{I'}{\underset{g'-1}{\bullet}}\!\text{---}\!\overset{I''}{\underset{g''}{\bullet}}
Donc si g \geq 1 (doncdès que le cas a) existe), dans presque tous les cas b) g' \neq les conditionsdeg', g'' ne sont que g' \neq 0 i.e. g' \geq 1 (quitte à éch. g', g''), on voit que l'on a b') = a') une spécialisation commune aux cas a) et b). Cela démontre notre assertion lorsque g \neq 0. Si g Dans le cas g = 0, donc card I \geq 6, de DPS on a cas les cas b), a il y adès qu'il y aque card I' \geq card I''dans card I' \geq 3, une spécialisation de la forme
\text{b}'')\qquad
\text{\struck{(b'') : \ill{}}}\quad
\overset{\mathfrak{f}}{\bullet}\!\text{---}\!\bulletschéma raturé : un graphe à deux sommets marqués I' \setminus \{a'\} et I'', entouré d'un contour en forme de cloche ; en dessous, un segment dont l'extrémité gauche porte un symbole surchargé(93)\quad \text{b}'')\quad
\underbrace{\overset{2}{\underset{(a_0)}{\bullet}}\!-\!\overset{1}{\underset{(a_1)}{\bullet}}\!-\!\overset{1}{\bullet}\cdots\overset{1}{\underset{(a_{k-1})}{\bullet}}\!-\!\overset{1}{\underset{a_k}{\bullet}}}_{\substack{k \text{ segments},\ k+1 \text{ sommets} \\ \text{ayant un poids marqué total} \\ 2 + k = \operatorname{card} I'}}
\!-\!
\underbrace{\overset{1}{\underset{(b_l)}{\bullet}}\!-\!\overset{1}{\underset{(b_{l-1})}{\bullet}}\cdots\overset{1}{\underset{(b_2)}{\bullet}}\!-\!\overset{1}{\underset{(b_1)}{\bullet}}\!-\!\overset{2}{\underset{(b_0)}{\bullet}}}_{\substack{l \text{ segments},\ l+1 \text{ sommets} \\ \text{poids marqué total} \\ 2 + l = \operatorname{card} I''}}sous le second groupe on lit « 2 + l = \operatorname{card} I'' », le premier chiffre surchargé ; les poids au-dessus des sommets sont les nombres de points marqués
diagrammes qui ont ceci de commun, à savoir qu'ils sontdonnés par un ordre total sur I, (définiàtranspositionprès des deux premiers et des deux derniers). Pour montrer que deux ordres totaux sur I définissent des pts de M^{\infty}_{0,\nu} qui appartiennent à une même composante connexe, il suffit de montrer que celaest vrai pour deux ordres totaux déduits l'un de l'autre partransposition des deux éléments c_i, c_{i+1} consécutifs danslesdeux=composante connexe. Or les deuxsonttoujourslaspécialisation de
\overset{(c_1, c_2)}{\underset{c}{\bullet}}\!-\!\overset{c_3}{\bullet}\!-\!\cdots\!-\!\overset{c_{i-1}}{\bullet}\!-\!\overset{(c_i, c_{i+1})}{\bullet}\!-\!\overset{c_{i+2}}{\bullet}\!-\!\cdots\!-\!\overset{c_\nu}{\bullet}devant cette chaîne, un mot raturé ; on lit « dans »
provenant de
\cdots\!-\!\overset{c_{i-1}}{\bullet}\!-\!\overset{c_i}{\bullet}\!-\!\overset{c_{i+1}}{\bullet}\!-\!\overset{c_{i+2}}{\bullet}\!-\!\cdots
et de
\cdots\!-\!\overset{c_{i-1}}{\bullet}\!-\!\overset{c_{i+1}}{\bullet}\!-\!\overset{c_i}{\bullet}\!-\!\overset{c_{i+2}}{\bullet}\!-\!\cdots
en contractant la arête qui joint c_i et c_{i+1}, OK.
p. 37 de l'auteur9) La structure groupoïdale des Teichmüller modulaires (groupesmodulairesdes) (la MDT-structure) : cas transcendantl'insertion au-dessus du titre est soulignée et en partie illisible
(morphismes de généralisation.)
Nous travaillons maintenant avec les M^{\mathrm{an}}_{g,\nu}, \widehat{M}^{\mathrm{an}}_{g,\nu} etc. – et pour ne pas traîner les exposants « an » (pour « analytique »), nous les laisserons tomber.
Considérons pour tout MD-graphe \underline{G}, la multiplicité modulaire (analytique) M_{\underline{G}}, et son groupoïde fondamental, que je note \Pi M_{\underline{G}}. C'est une « grosse » catégorie, par le fait même qu'elle est connexegouverne le remplacer par un catégoriegroupoïdedont l'ensemble des objets soit fini. Dans nos constructions, il est en fait licite de remplacer \Pi M_{\underline{G}} par un groupoïde tel que l'équivalencedes échantillons groupoïde équivalent, pourvu que l'équivalence commute à l'action du groupe(94)\qquad \Gamma_{\underline{G}} = \operatorname{Aut} \underline{G}devant (94), une ligne « le groupe » rayée
Notons déjà que \Pi M_{\underline{G}} est un groupoïde
la phrase se poursuit à la page suivante
connexe, dont le \pi_1 est isomorphe au groupe (cartésien) :
(95)\qquad \pi_1(\Pi M_{\underline{G}}) = \pi_1(M_{\underline{G}}) \simeq \prod_{\alpha \in S(\underline{G})} \pi_1(M_{g_\alpha, \hat{I}_\alpha}) \simeq \prod_\alpha \Gamma^{+}_{g_\alpha, I_\alpha} \simeq \prod_\alpha \mathcal{T}^{!+}_{g_\alpha, \nu_\alpha}les \mathcal{T}^{!+}_{g,\nu} sont ditsdesgroupes de Teichmüllerle dernier isomorphisme est écrit sous le précédent, relié par un signe \simeq vertical ; l'indice \hat{I}_\alpha est surchargéL'opération de \Gamma^{\natural}_{\underline{G}} sur \Pi M_{\underline{G}} définit un groupoïde muni(\Pi M_{\underline{G}}, \Gamma_{\underline{G}}), dont le groupe fondamental (cartésien) dansune structure d'extension
(96)\qquad 1 \to \pi_1(\Pi M_{\underline{G}}, \Gamma_{\underline{G}}) \to \pi_1(\Pi M_{\underline{G}}, \Gamma_{\underline{G}}) \longrightarrow \Gamma_{\underline{G}} \to 1tel qu'écrit, le premier terme non trivial est le même que le second ; on attend \pi_1(\Pi M_{\underline{G}})
Nous allons définir une sorte devariation des \Pi M_{\underline{G}} relativement aux « morphismes » pour les MD-graphes \underline{G}. Il s'agit d'abord d'une « variation de généralisation » qui est comprise de la variation pour morphismes des MD-graphes (que j'admets comme « triviale », et qu'il est inutile de préciser) et une « variation de généralisation de MD-graphes ».
la fin de la page est d'une lecture très incertaine : le texte distingue une variation par les morphismes de MD-graphes et une variation de généralisation
p. 38 de l'auteur
Soit donc \underline{G}' un MD-graphe quotient de \underline{G} – par un ens. C d'arêtes du graphe G sous-jacent à \underline{G},
(96)\qquad \underline{G}' = \underline{G} / C .le numéro se lit (96), déjà employé p. 76
On a alors un diagramme de morphismes canoniques
(97) : à droite de M_{\underline{G}}, une flèche vers M_{\underline{G}'} et une flèche verticale de M_{\underline{G}'} vers \widehat{M}_{\underline{G}'} sont biffées de grands traitsdiptyque et gît en \Gamma^{!}_{\underline{G},\underline{G}'}Si l'on désigne par \Gamma^{!}_{\underline{G},C} = \Gamma^{!}_{\underline{G},\underline{G}'} le sous-groupe de \Gamma_{\underline{G}} qui est formé des automorphismesquiinduisent l'identité sur \underline{G}', alors le morphismehorizontal de (97) se factorise enuneimmersion de multiplicités
(98)\qquad (\widehat{M}_{\underline{G}}, \Gamma^{!}_{\underline{G},\underline{G}'}) \hookrightarrow \widehat{M}_{\underline{G}'}que cenesontpeut-êtrequedesimmersionslocales, il paraît…
Je désigne par \widehat{M}_{\underline{G},\underline{G}'} le germe de multiplicité défini par l'inclusion (98), et par M_{\underline{G},\underline{G}'} le germe défini par l'inclusion
(99)\qquad (M_{\underline{G}}, \Gamma^{!}_{\underline{G},\underline{G}'}) \hookrightarrow \widehat{M}_{\underline{G}'}Il vaut mieux considérer le germe de multiplicité, àdéfinirparM_{\underline{G}} \to M_{\underline{G}'}dessus\Gamma^{!}_{\underline{G},\underline{G}'}deux notes marginales obliques, à gauche, sont d'une lecture très incertaine
Je désigne par \widehat{M}^{*}_{\underline{G},\underline{G}'}, \widehat{M}^{*}_{\underline{G},\underline{G}'} les germes de multiplicités obtenus en prenant les traces des \widehat{M}_{\underline{G}'}enlevant les traces des diviseurs à l'infini de \widehat{M}_{\underline{G}'}« l'infini » les traces, de M_{\underline{G}}filtréesd'éléments de la multiplicité M_{\underline{G}'}, et les groupoïdes fondamentaux* le second symbole porte un accent surchargé, peut-être un double chapeau ; tout le haut de la page est couvert de ratures et d'ajouts entrecroisés, dont l'ordre reste douteuxquisontdans le casprésent les M^{*}_{\underline{G},\underline{G}'}M_{\underline{G}'}dans\widehat{M}_{\underline{G},\underline{G}'}(100)\qquad \Pi M^{*}_{\underline{G},\underline{G}'}, \quad \Pi M^{*}_{\underline{G},\underline{G}'}les deux termes de (100) se lisent identiques ; sans doute l'un porte-t-il un chapeau
sont définis par unedes catégories \varinjlim des catégories de revêtements universels, ou des catégories des revêtementsconnexes desdits germes de multiplicités (comparer [53], n° 5, p. 768').
On a alors des diagrammes de germes de multiplicités analytiques(101)\qquad
\begin{array}{ccc}
M^{*}_{\underline{G},\underline{G}'} & \longrightarrow & M_{\underline{G}'} \\
\big\downarrow & & \\
(M_{\underline{G}}) \overset{\text{\struck{\ill{}}}}{\longrightarrow} M_{\underline{G},\underline{G}'} & &
\end{array}sous la flèche horizontale du bas : « (équivalence d'homotopie !) » ; un indice est raturé après M_{\underline{G}'}
donnant lieu : des morphismes de groupoïdes
la phrase se poursuit à la page suivante
p. 39 de l'auteur(102)\qquad
\begin{array}{ccc}
\Pi M^{*}_{\underline{G},\underline{G}'} & \longrightarrow & \Pi M_{\underline{G}'} \\
\big\downarrow & & \\
\Pi(M_{\underline{G}}) \overset{\approx}{\longrightarrow} \Pi M_{\underline{G},\underline{G}'} & &
\end{array}sous la flèche du bas, une note de sa main : « ceci est une équivalence de groupoïdes » ; dans le terme de gauche, un symbole est raturé
qui se réduisent à un morphismedegroupoïdes(103)\qquad
\begin{array}{ccc}
\Pi M^{*}_{\underline{G},\underline{G}'} & \xrightarrow{\ \varphi_{\underline{G},\underline{G}'}\ } & \Pi M_{\underline{G}'} \\
\big\downarrow{\scriptstyle \varphi_{\underline{G},\underline{G}'}} & & \\
\Pi(M_{\underline{G}}, \ldots) & &
\end{array}l'étiquette de la flèche horizontale est surchargée ; à droite du terme du bas, un long passage est biffé de grands traits obliques, où l'on devine « sera … \Pi M_{\underline{G},\underline{G}'} … \Pi(M_{\underline{G}}, \Gamma^{!}_{\underline{G},\underline{G}'}) »« diagramme de généralisation » pour les groupoïdes fondamentaux par lagénéralisation de \underline{G}à\underline{G}'
L'homomorphisme de groupoïdes \varphi_{\underline{G},\underline{G}'}acommepropriétésde l'homomorphisme sur les \pi_1 des boutsde\Pi(M_{\underline{G}},…)une fibration de fibre un produit de disques épointés (unpararêtedeC, ouplutôt) – on peut \Pi M^{*}_{\underline{G},\underline{G}'} comme une « extension » canonique du groupoïde \Pi(M_{\underline{G}}, \ldots) par \mathbb{Z}^{C}, où C, rappelons-le, est l'ens. des flèchesarêtes de \underline{G}NB(M_{\underline{G}}, \ldots)est un K(\pi, 1), et \pi_1desfibresextension de versl'une…Notation : ilvautmieuxnoter(M_{\underline{G}}, \Gamma^{!}_{\underline{G},\underline{G}'})pour\Gamma^{!}_{\underline{G},\underline{G}'}\mathbb{Z}^{C}les deux notes marginales, écrites de biais et en partie biffées, sont reliées au texte par une longue flèche courbe ; leur lecture est très incertaine
qui a étéintroduite pour traiter la généralisation \underline{G}'. Plus (On revient sur la structure de cette extension, comme un produit fibré d'extensions, un peu plus loin…) L'homomorphisme \varphi_{\underline{G},\underline{G}'} s'appelle l'homomorphisme de généralisation pour les groupoïdes fondamentaux, associé à l'homomorphisme de généralisation \underline{G} \to \underline{G}'.
On va dégager une propriété de transitivité pour un homomorphisme de généralisation, ou plutôt pour un composé d'homomorphismes de généralisation
(104)\qquad \underline{G} \longrightarrow \underline{G}' \longrightarrow \underline{G}''
qui donne l'association : un diagramme de groupoïdes
\text{\struck{$\Pi M^{*}_{\underline{G},\underline{G}'} \longrightarrow \ldots$ \quad $\big\downarrow$ \quad $\Pi M_{\underline{G}}$}}le début de diagramme est biffé de traits obliques ; la page s'arrête là, et l'argument se poursuit au-delà de ce lot