Cote n° 146, pages 101–120

Cote n° 146 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · Groupoïdes de Teichmüller et les S0 Tg,!ν, S0 TG : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978]
Édition de démonstration

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102la page s'ouvre au milieu d'un argument commencé avant ce lot : $SP_G$, $P_{G,C}$, $\widehat{M}_G$ et $S\mathfrak{T}_G$ y sont supposés connus.

Le fibré $SP_G$, et tous les quotients $P_{G,C}$, […] sont des fibrés sur $\widehat{M}_G$. Ils Ils sont déduisibles d'un fibré encore plus fin, $SP_{G^{\flat}}$, de groupe $\mathbb{G}_m^{\vec{A}}$, par l'hom. canonique $\mathbb{G}_m^{\vec{A}} \to \mathbb{G}_m^{A}$ (lié sur $\widehat{M}_G$ ; où $SP^{\wedge}_{G^{\flat}}$). Donc $S\mathfrak{T}_G$ déduisible de $S\mathfrak{T}_{G^{\flat}}$, de groupe $\mathbb{Z}^{\vec{A}}$, par $\mathbb{Z}^{\vec{A}} \to \mathbb{Z}^{A}$.

NB $\mathfrak{T}_G$ est une « cat. » de groupoïdes $R\mathfrak{T}_G$ par $\mathbb{Z}^{A}$ — elle est connue quand on connaît les ext. correspondantes $\mathfrak{T}_{G,a}$ de $R\mathfrak{T}_G$ ⌜$= R\mathfrak{T}_{G^{\flat}}$⌝ par $\mathbb{Z}$ — et il suffit de connaître les ext. ⌜$R\mathfrak{T}_{G,\vec{a}} = \mathfrak{T}_{G^{\flat},\vec{a}}$⌝ […] de $R\mathfrak{T}_G$ par $\mathbb{Z}$ pour $\vec{a} \in \vec{A}$. le mot entre guillemets, souligné, se lit « cat. » ; « ext. » irait mieux avec la suite.

NB […] — une formule tracée en oblique dans la marge, où se lisent un $\mathfrak{T}$ et un produit $\prod$, reliée par une flèche à l'alinéa suivant.

En définitive, on est réduit à construire les $S\mathfrak{T}_{g,I}$ ($\simeq \mathfrak{T}^{!}_{g,\nu}$) ⌜ext. de $\mathfrak{T}_{g,I}$ par $\mathbb{Z}^{I}$⌝ (ou encore les $S(\mathfrak{T}_{g,I})_i$ ($i \in I$) extension de $\mathfrak{T}_{g,I}$ par $\mathbb{Z}$). De même, la construction des hom. de généralisation $S\mathfrak{T}_G \to S\mathfrak{T}_{G'}$ se réduit au cas où $G' = G^{\natural}$ […] ($G'$ […] en cas où […]).

103en tête de page, un premier état du diagramme ci-dessous, barré de grands traits en zigzag ; il porte les mêmes sommets, avec $P_G (\simeq M_{G,G^{\natural}})$, $P_{G,C} (\simeq M_{G,G'})$, $RP_{G'} (= M_{G'})$, $RP_G (= M_G)$, un « $M_G \simeq$ » biffé devant ce dernier, et les mêmes mentions « cart ».

NB les flèches horizontales

$G \to G' \simeq G/C$ hom. de généralisation de graphes MD.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
SP_G \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{G}_m^{I}"'] & SP_{G'} \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{G}_m^{I}"'] & SP_{G^{\natural}} \arrow[d, "\mathbb{G}_m^{I}"'] \\
P_G \, (\simeq M_{G,G^{\natural}}) \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{G}_m^{A'}"'] & P_{G'} \simeq M_{G',G^{\natural}} \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{G}_m^{A'}"'] & P_{G^{\natural}} = RP_{G^{\natural}} = M_{G^{\natural}} \\
P_{G,C} \simeq M_{G,G'} \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{G}_m^{C}"'] & RP_{G'} = M_{G'} & \\
RP_G = M_G & &
\end{tikzcd}

les carrés sont marqués « cart » (cartésiens) sur la page.

Les flèches horiz. ne sont définies que dans la catégorie homotopique. Elles commutent aux opérations des groupes d'opérateurs $\mathbb{G}_m^{I}$ resp. $\mathbb{G}_m^{A'}$ resp. $\mathbb{G}_m^{\hat{A}'} = \mathbb{G}_m^{I} \times \mathbb{G}_m^{A'}$.

Par passage aux groupoïdes fondamentaux, on trouve :

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
S\mathfrak{T}_G \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{Z}^{I}"'] & S\mathfrak{T}_{G'} \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{Z}^{I}"'] & S\mathfrak{T}_{G^{\natural}} \arrow[d, "\mathbb{Z}^{I}"'] \\
\mathfrak{T}_G \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{Z}^{A'}"'] & \mathfrak{T}_{G'} \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{Z}^{A'}"'] & \mathfrak{T}_{G^{\natural}} \\
\mathfrak{T}_{G,C} \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{Z}^{C}"'] & R\mathfrak{T}_{G'} & \\
R\mathfrak{T}_G & &
\end{tikzcd}

carrés marqués « cart » ; un signe biffé précède le $\mathfrak{T}_G$ de la deuxième ligne.

Les flèches horizontales commutent aux op. de $\mathbb{Z}^{I}$ resp. $\mathbb{Z}^{A'}$ resp. $\mathbb{Z}^{\hat{A}'} \simeq \mathbb{Z}^{I} \times \mathbb{Z}^{A'}$.

sous un trait oblique qui sépare le bas de la page :

\[P_{G,C} = \prod_{a \in C \,/ M_G} P_{G,a}, \qquad \mathfrak{T}_{G,C} = \Pi_1 P_{G,\ldots}\] la seconde formule est coupée au bord de la feuille. \[SP_G = P_{G,\hat{A}}, \quad RP_G = P_{G,\emptyset}, \quad SRP_G = P_{G,I}, \quad P_G \simeq P_{G,A}.\] le dernier indice de $SRP_G = P_{G,I}$ est à demi coupé au bord ; la lecture $I$ suit le carré ci-dessous.

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\begin{tikzcd}
SRP_G \arrow[d, "\mathbb{G}_m^{I}"'] & SP_G \arrow[l, "\mathbb{G}_m^{A}"'] \arrow[d, "\mathbb{G}_m^{I}"] \\
RP_G & P_G \arrow[l, "\mathbb{G}_m^{A}"]
\end{tikzcd}

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\begin{tikzcd}
SR\mathfrak{T}_G \arrow[d, "\mathbb{Z}^{I}"'] & S\mathfrak{T}_G \arrow[l, "\mathbb{Z}^{A}"'] \arrow[d, "\mathbb{Z}^{I}"] \\
R\mathfrak{T}_G & \mathfrak{T}_G \arrow[l, "\mathbb{Z}^{A}"]
\end{tikzcd}

chacun des deux carrés est marqué « cart. ».

105Soient $G \to G' \simeq G/C$ un hom. de généralisation de graphes MD, où $C \subset A(G)$ (ens. des arêtes liées de $G$). Soit $X$ une courbe algébrique sur $\mathbb{C}$, de type $G$. Je vais décrire une méthode pour construire des courbes ⌜$X'$⌝ de type $G'$. On a \[C \subset A = \mathrm{Sing}(X), \qquad \text{soit } B = A \setminus C .\] Soit $\mathcal{C}$ $\widetilde{X}$ ⌜de $\widetilde{B}$⌝ le normalisé de $X$ relativement à $C$, $\widetilde{C}$ (les images inverses ⌜de $B$⌝ de $C$ dans $\widetilde{X}$). Choisissons pour tout $x \in \widetilde{C}$ un disque fermé $D_x \subset \widetilde{X} \setminus \widetilde{B}$, contenant $x$ dans son intérieur, à bord tel que les une courbe analytique réelle (peut être choisi — C$^1$ […] suffit), de façon que les $D_x$ soient mutuellement disjoints. Il doit être vrai que l'ensemble des choix possibles est tous un espace contractile — i.e. que le choix est « canonique » : la projection de la multiplicité ⌜top.⌝ formée des $X$ de type $G$, munis d'une famille $D_x$ (ou […] des $X$ décomposés) vers celle des $X$ de type $G$ sans plus, doit être une équivalence d'homotopie. Soit \[X_1 = \widetilde{X} - \bigcup_{x \in \widetilde{C}} D_x^{\circ}\] qui est, en dehors de $X_1 \cap \mathrm{Sing}(\widetilde{X})$, une surface à bord holomorphe, avec \[\partial X_1 = \coprod_{x \in \widetilde{C}} \partial D_x .\] En tant que bord du disque holomorphe $D_x$, de centre $x$, $\partial D_x$ hérite une structure de $\mathbb{U}$-torseur

106où on pose \[\mathbb{U} = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \}\] (identifié au cercle de $\mathbb{U}$) — l'orientation de ce $\mathbb{U}$-torseur ⌜est opposée⌝ de celle induite par $X_1$. […] La surface holomorphe $X$ […] ⌜avec la […] qui⌝ se récupère à partir de $X_1$, surface holomorphe à bord $X_1$, et de la structure précédente ⌜$T_{\tilde{x}} = \partial_{\tilde{x}} X$⌝ de $\mathbb{U}$-torseur sur chacune des comp. connexes du bord $\partial X_1$, en notant que le cône sur $\partial_{\tilde{x}} X$ ⌜à bord⌝ devient, grâce à cette structure, un disque holomorphe, et par chirurgie holomorphe on peut le recoller à $X_1$, pour obtenir $X$, […] les centres des disques rapportés.

Considérons, pour $x \in C$, les ⌜deux⌝ ensembles ⌜pts⌝ $x'$ et $x''$ de $\widetilde{C}$ au-dessus de $x$, et l'espace l'espace \[\mathrm{Isom}^{-}_{\mathbb{U}}(T_{x'}, T_{x''}) \simeq \mathrm{Isom}_{\mathbb{U}}(T_{x'}^{-1}, T_{x''})\] des antiisomorphismes de $T_{x'}$ avec $T_{x''}$ (i.e. hom. de torseurs compatibles avec l'isomorphisme ⌜antiautomorphisme⌝ $z \mapsto z^{-1} : \mathbb{U} \xrightarrow{\sim} \mathbb{U}$), qui s'identifie, […], par symétrie, au torseur $T_{x'} \wedge T_{x''}$, ou encore au $\mathbb{U}$-torseur \[T_x = \bigwedge_{\tilde{x} \in C_x} T_{\tilde{x}} .\]

NB $T_{\tilde{x}}$ s'identifie aussi […] à $\widetilde{X}$ en $\tilde{x}$, i.e. à $T^{*}_{\widetilde{X},\tilde{x}} / \mathbb{R}^{*+}$ (ce qui est indép. du choix des $D_{\tilde{x}}$).

Considérons enfin le produit \[P_C = P_{C,X} = \prod_{x \in C} T_x\] qui est un torseur sous $\mathbb{U}^{C}$. On Pour $\mathcal{X} = (X, (D_{\tilde{x}}))$

107variable dans une multiplicité topologique convenable $M^C_G$, les $P_{\mathcal{X}}$ forment un $\mathbb{U}^{C}_{M^C_G}$-torseur sur $M^C_G$, dit $\widetilde{M}^C_G$, et on définit un application morphisme de topos \[\widetilde{M}^C_G \longrightarrow M_{G'} .\] sous $\widetilde{M}^C_G$, un « $M_{G'}$ » biffé.

c'est l'espace d'un torseur évident […] $P_{G,C}$ ou $P_C$ sur […]

Revenons : $\mathcal{X} = (X, (D_{\tilde{x}}))$, on va définir, pour tout $t = (t_x)_{x \in C} \in T_C$, une […] $X'$ de type $G'$, notée $X'_t$. On l'obtient par chirurgie holomorphe : partir de $X_1$, en recollant ⌜$\forall x \in C$⌝ les deux composantes $T_{x'}, T_{x''}$ du bord de $X_1$ correspondant à $x$, suivant l'antiisomorphisme $t_x$. Pour $\mathcal{X}, t$ variable, cela donne le morphisme de topos ci-dessus.

Soit $M_G$ […] la multiplicité holomorphe des courbes $X$ de type $G$, on a \[M^C_G \longrightarrow M_G \quad \text{équiv. d'homotopie}\] donc

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
1 \arrow[r] & \pi_1(\mathbb{U}^{C}) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"'] & \pi_1(\widetilde{M}^C_G) \arrow[r] \arrow[dd] & \pi_1(M_G) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"] & 1 \\
 & \mathbb{Z}^{C} & & \pi_1(M^C_G) & \\
 & & \pi_1(M_{G'}) & &
\end{tikzcd}

Pour avoir $S\mathfrak{T}_G \to S\mathfrak{T}_{G'}$, on considère le fibré $SP_{G'}$ sur $M_{G'}$, principal de groupe $\mathbb{U}^{\hat{A}'}$

108(où $\hat{A}'$ est l'ens. des arêtes de $G'$) correspondant au produit des, pour une courbe $X'$ de type $G'$, à […] ⌜(contenant des […] […] des $\hat{A}'$)⌝ \[T_{X'} = \prod_{x \in \hat{A}'} T_{X',x}\] défini comme ci-dessus $T_{X,C}$, à la seule différence que pour les points $x \in I'$, on prend $T_{X',x}$ = torseur tangent unitaire de $X'$ en $x$ $= T^{*}_{X',x} / \mathbb{R}^{*+}$. On a donc \[S\mathfrak{T}_{G'} = \pi_1(SP_{G'}) .\] D'autre part, soit […] le fibré […] ⌜$P_B$ le fibré⌝ ⌜principal⌝ canonique sur $M_G$, de groupe structural $\mathbb{U}^{B}$, de sorte que l'on a \[SP_G = P_C \times_{M_G} P_B \qquad \text{(isom. de $\mathbb{U}^{\hat{A}}$-torseurs sur $M_G$)}\] et considérons le diagramme ci-contre, cartésien : formé […] déduit de la face de base (associée à la formule précédente) par le changement de base $M^C_G \to M_G$, qui est une équivalence d'homotopie, donc toutes les flèches verticales sont des équivalences d'homotopie. On a donc

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\widetilde{M}^C_G \arrow[rr] \arrow[dd] & & M^C_G \arrow[dd] & \\
 & \widetilde{P}^B_G \arrow[ul] \arrow[rr, dashed] \arrow[dd, dashed] & & P^B_G \arrow[ul, dashed] \arrow[dd, dashed] \\
P_C \arrow[rr] & & M_G & \\
 & SP_G \arrow[ul] \arrow[rr] & & P_B \arrow[ul]
\end{tikzcd}

le sommet en haut à droite porte, au-dessus du $C$, une marque double qui pourrait être un second tilde ; la lecture $M^C_G$ suit la flèche verticale vers $M_G$.

109\[S\mathfrak{T}_G \overset{\text{déf}}{=} \pi_1(SP_G) \xleftarrow{\ \sim\ } \pi_1(\widetilde{P}^B_G) .\] D'autre part, on a un diagramme cartésien évident

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\begin{tikzcd}
\widetilde{P}^B_G \arrow[r] \arrow[d, "\text{$\mathbb{U}^B$-tors. sur $\widetilde{M}^C_G$}"'] & SP_{G'} \arrow[d] \\
\widetilde{M}^C_G \arrow[r] & M_{G'}
\end{tikzcd}

qui exprime simplement que pour $X'$ construit à l'aide de $(X, (D_{\tilde{x}}))$, le le $\mathbb{U}^{B}$-torseur $P_{B,X}$ […] est can. isom. au $\mathbb{U}^{B}$-torseur $P$ (on dirait même, égal ?) […]. On trouve ainsi un morphisme

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\begin{tikzcd}
\pi_1(\widetilde{P}^B_G) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"'] & \pi_1(SP_{G'}) \arrow[d, no head, "\wr"] \\
S\mathfrak{T}_G & S\mathfrak{T}_{G'}
\end{tikzcd}

Considérons le monoïde topologique multiplicatif $]0,1]$ (avec élément unité $1$) et sa puissance $\vec{C}$-ième \[\mu_{\vec{C}} = \, ]0,1]^{\vec{C}}\] ⌜il vaut mieux prendre $]0,1]^{C}$, sinon il y a des […]⌝ on prend $\rho_{\tilde{x}'} = \rho_{\tilde{x}''}$ pour $\tilde{x}', \tilde{x}''$ sur $x \in C$ alors $\mu_{\vec{C}}$ opère sur la $M_G$-fibre $\widetilde{M}^C_G$ de façons évidentes (homothéties sur les disques $D_{\tilde{x}}$),

110donc aussi sur $\widetilde{P}^B_G$, ⌜$\mathbb{U}^{B}$-tors.⌝ image réciproque de $P_B$ sur $M$[$_G$]. On a donc un hom. morphisme de topos

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
\mu_{\vec{C}} \times \widetilde{M}^C_G \arrow[rr] \arrow[dr, dashed] & & M_{G'} \\
 & \widetilde{M}^C_G \arrow[ur, dashed, no head] &
\end{tikzcd}

s'insérant dans le diagramme cartésien

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\begin{tikzcd}
\mu_{\vec{C}} \times P^B_G \arrow[r] \arrow[d, "\sim"'] & SP_{G'} \arrow[d] \\
\mu_{\vec{C}} \times M^C_G \arrow[r] & M_{G'}
\end{tikzcd}

L'hom. morphisme $\mu_{\vec{C}} \times \widetilde{M}^C_G \to M_{G'}$ joue le rôle de l'inclusion de $\mathcal{V}^{*}_{G,G'}$ dans (l'ouvert sur $M_{G'}$ du voisinage tubulaire de $M_G$ dans $\widehat{M}_{G'}$) dans $M_{G'}$.

Les choses deviennent plus claires peut-être (mais moins intrinsèques) si on dispose d'une section de $M^C_G$ sur $M_G$ (y en a-t-il toujours ??) — auquel cas on trouve un diagramme cartésien je pense que oui…

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\begin{tikzcd}
SP_G \times \mu_C \arrow[r] \arrow[d] & SP_{G'} \arrow[d] \\
P_C \times \mu_C \arrow[r] & M_{G'}
\end{tikzcd}

111et ici, dans un sens très fort (qu'il vaudrait la peine peut-être d'expliciter) $P_C \times \mu_C$ s'identifie à une forme de voisinage tubulaire. et $P_C$ serait le bord

Les cas les plus intéressants sont ceux où $G' = G^{\natural}$ (généralisation maximale de $G$), ainsi que ceux où $G$ est de dim. modulaire $0$ ou $1$, […] et où $G'$ est de dim. modulaire $\leq 2$ — notamment les généralisations immédiates (correspondant au cas où $C$ est réduit à un élément).

Cas où la dim. modulaire $d(G)$ de $G$ est nulle. i.e. les sommets de $G$ sont de genre $0$, d'ordre $3$. Alors $X$ est défini à isom. unique près par la donnée de $G$, grâce au fait qu'une droite projective munie d'un […] $I$-marquage, où $\mathrm{card}\, I = 3$, est définie à isom. unique près. Donc la multiplicité $M_G$ est la multiplicité ponctuelle. Considérons la droite projective $\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$ avec le groupe avec les

112trois pts marqués $0, 1, \infty$, avec le groupe d'automorphismes holomorphes $\mathfrak{S}_3$, il y a une métrique positive ⌜[…]⌝ invariante unique invariante par $\mathfrak{S}_3$. On va prendre des systèmes de disques $D_i$ ($i \in \{0,1,\infty\}$) stables par $\mathfrak{S}_3$, et fermés limités par des cercles de centre $i$ (pour […] de la structure riemannienne) — il revient au même de se donner un des $i$, disons $i = \infty$, un cercle ⌜de centre $i$⌝ qui soit invariant* par la transposition qui échange les deux autres, et de plus petit pour que ses ⌜trois⌝ transformés par $\mathfrak{S}_3$ soient mutuellement disjoints. * c'est automatique

[…] de stabilité, […] définissons les disques mutuellement disjoints. On prendra comme ⌜modèle⌝ riemannien une sphère ⌜orientée⌝ $\Sigma$ […] de rayon $1$, $\Sigma = \Sigma_I$, un grand cercle fixé ⌜$\Sigma_{\mathbb{R}}$⌝, et […] la droite […] des cercles disjoints partie $I$ dessus formant un triangle équilatéral inscrit — le choix du cercle dépend d'un paramètre $0 < \rho \leq 1$ (son rayon rectiligne). Pour tout $i \in I$, le cercle $\Gamma_{i\rho}$ admet deux pts marqués sur l'équateur, […] ⌜une⌝

dans la marge gauche, une sphère avec son équateur et un triangle inscrit en pointillé ; au-dessous, un cercle portant les points $\infty$ (en haut), $0$ et $1$, un petit cercle autour de $0$ et des segments en pointillé.

113bijection canonique \[\Gamma_{i\rho} \cap \Sigma_{\mathbb{R}} \simeq I \setminus \{i\}\] en associant à tout $x \in \Gamma_{i\rho} \cap \Sigma_0$ l'élément de $I \setminus \{i\}$ le plus proche. Ces deux pts sont diamétralement opposés sur $\Gamma_{i\rho}$, donc on trouve un isomorphisme canonique \[\Gamma_{i\rho} \simeq \text{\struck{$\Sigma$}}\, \mathbb{U} \wedge_{\{\pm 1\}} (I \setminus \{i\})\] i.e. $\Gamma_{i\rho}$ est déduit du $\{\pm 1\}$-torseur $I - \{i\}$ par l'inclusion $(\Sigma \times \{\pm 1\})$ $\{\pm 1\} \hookrightarrow \mathbb{U}$. $\Sigma_{\mathbb{R}}$ et $\Sigma_0$ désignent ici, semble-t-il, le même grand cercle.

La donnée d' La courbe $X_G$ de type $G$ s'obtient en prenant la normalisée \[\widetilde{X}_G = \coprod_{s \in G} \Sigma_{\hat{\vec{A}}_s}\] par recollement à partir de l'involution $\sigma$ sur $\hat{\vec{A}} = \coprod_{s \in S} \hat{\vec{A}}_s$. On a pour tout $x \in \hat{A}$, au-dessus de $s \in S$, \[T_x \simeq \mathbb{U} \wedge_{\{\pm 1\}} \{ \hat{\vec{A}}_s \setminus x \} \quad \text{si } x \in I \simeq \hat{\vec{A}}^{\sigma}\] (en identifiant les éléments de $I$ à leurs images dans $\hat{A}$), \[T_x \simeq \mathbb{U} \wedge_{\{\pm 1\}} \bigwedge_{\tilde{x} \in \hat{\vec{A}}_x} \bigl( \hat{\vec{A}}_{\sigma(\tilde{x})} \setminus \{\tilde{x}\} \bigr) \quad \text{si } x \in A .\] NB si $x$ est une boucle, on trouve $T_x \simeq \mathbb{U}$ iso. can.

dans la marge gauche, un graphe : un sommet portant une boucle, un carré, des demi-arêtes terminées par des flèches, un triangle à gauche.

114On a donc \[P_G = \prod_{x \in \hat{A}} T_x = \mathbb{U}^{\hat{A}} \wedge_{\{\pm 1\}^{\hat{A}}} \overbrace{\prod_{a \in \hat{A}} \varepsilon_a}^{S\varepsilon_G}\] où pour $a \in \hat{A}$, $\varepsilon_a$ est l'ens. à deux éléments défini par \[\begin{cases} \varepsilon_a = \hat{\vec{A}}_s - \{a\} & \text{si } a \in I \\ \varepsilon_a = \bigwedge_{\tilde{a} \text{ sur } a} \bigl( \hat{\vec{A}}_{\sigma(\tilde{a})} \setminus \tilde{a} \bigr) & \text{si } a \in A = \hat{A} \setminus I \end{cases}\] et on trouve une […] ⌜morphisme⌝ canonique \[\mu^{\circ}_{\vec{A}} \times SP_G \longrightarrow SPM_{G^{\natural}} \qquad \text{où } \mu^{\circ}_{\vec{A}} = (]0,1[)^{\vec{A}}\] définissant \[\pi_1(SP_G) = S\mathfrak{T}_G = \mathbb{Z}^{\hat{A}} \longrightarrow \pi_1(SPM_{G^{\natural}}) = S\mathfrak{T}_{G^{\natural}}\] « $SPM_{G^{\natural}}$ » est lu tel quel ; le $P$ et le $M$ sont serrés l'un contre l'autre. et, mieux, un hom. de groupoïdes fondamentaux. Mais $\prod \varepsilon_a = \ldots \prod \varepsilon_G$ l'ensemble $\varepsilon_G$ (de cardinal $2^{\mathrm{card}\, A}$) est contenu dans $SP_G$ \[S\varepsilon_G \subset SP_G\] d'où \[\mu^{\circ}_{\vec{A}} \times S\varepsilon_G \longrightarrow PM_{G^{\natural}}\] et comme $\mu^{\circ}_{\vec{A}}$ est simplement connexe, on en conclut \[S\varepsilon_G \longrightarrow (S\mathfrak{T}_{G^{\natural}})\] (où $S\mathfrak{T}$ désigne le groupoïde fondamental de $SP_{G^{\natural}}$.) un signe biffé précède la parenthèse de $(S\mathfrak{T}_{G^{\natural}})$.

Désignons par […] Désignons par $S_0\mathfrak{T}_G$ le ⌜s/⌝groupoïde de $S\mathfrak{T}_G = \Pi_1(\ldots)$ induit sur $S\varepsilon_G$, on a donc \[S_0\mathfrak{T}_G \longrightarrow S\mathfrak{T}_{G^{\natural}} .\]

115Le groupoïde $S_0\mathfrak{T}_G$ est engendré par les objets de $S\varepsilon_G = \prod_{a \in \hat{A}} \varepsilon_a$, et des […] morphismes […] des signes ⌜$\varepsilon$⌝ \[\alpha = (\alpha_a) \in \{\pm 1\}^{\hat{A}}\] et donc \[\xi \in \varepsilon_G\] une morphisme \[u_{\alpha,\xi} : \xi \longrightarrow \alpha.\xi = \xi'\] ⌜défini par le chemin $u_{\alpha,\xi} : [0,1] \to P_G$⌝ […] $u_{\alpha,\xi}(t)_a =$ défini par \[u_{\alpha,\xi}(t)_a = \begin{cases} \xi_a = \xi'_a & \text{si } \alpha_a = +1 \\ (\exp(\pi i t))\, \xi_a & \text{si } \alpha_a = -1 \end{cases}\] avec les relations

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\begin{tikzcd}
\xi \arrow[r, "u_{\alpha,\xi}"] \arrow[rr, bend right=30, "u_{\alpha\beta,\xi}\, n{(\alpha,\beta)}"'] & \alpha.\xi = \xi' \arrow[r, "u_{\beta,\xi'}"] & \beta\xi' = \beta\alpha\xi = \xi''
\end{tikzcd}

où \[n(\alpha,\beta) \in \mathbb{Z}^{\hat{A}}\] défini par $n(\alpha,\beta)_a = 0$ si […] \[n(\alpha,\beta)_a = \begin{cases} 0 & \text{si } \alpha_a = 1 \text{ ou } \beta_a = 1 \\ 1 & \text{sinon (i.e. } \alpha_a = \beta_a = -1) \end{cases}\] On peut a tenu compte, pour écrire ces relations, des de la $\mathbb{Z}^{\hat{A}}$-structure du groupoïde $S_0\mathfrak{T}_G$. Mais indépendamment, pour ne pas l'utiliser, on introduit, pour $a \in \hat{A}$, $\xi \in \varepsilon_G$ \[u_{a,\xi} : \xi \longrightarrow \sigma_a \xi\] NB $\sigma_a$ désigne l'involution de $S\varepsilon_G$ associée à $a \in \hat{A}$ et les relations suivantes

(1)

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\begin{tikzcd}
\xi \arrow[r, "u_{a,\xi}"] \arrow[d, "u_{b,\xi}"'] & \sigma_a \xi \arrow[d, "u_{b,\sigma_a\xi}"] \\
\sigma_b \xi \arrow[r, "u_{a,\sigma_b\xi}"'] & \sigma_{ab}
\end{tikzcd}

commutatif ($\forall (\xi, a, b) \in S\varepsilon_G \times \hat{A} \times \hat{A}$ ; il suffit de le prendre pour $a \neq b$)

116(2) Les […] $u_a$ soit $v^a_\xi$ ⌜le composé⌝

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\begin{tikzcd}
\xi \arrow[r, "u_{a,\xi}"] & a\xi \arrow[r, "u_{a,a\xi}"] & a^2 \xi = \xi
\end{tikzcd}

tous les $v^a_\xi$ commutent ($\xi$ fixé, $a \in \hat{A}$ variable).

NB Le groupoïde libre sur ⌜$\varepsilon_G$⌝ les objets de comme ens. d'objets, et avec les générateurs $u_{a,\xi}$ et les relations (1), (2), et s'identifie bien à $S_0\mathfrak{T}_G$ (à isom. can. près).

Prenant $\mathfrak{T}_G$ au lieu lieu de $S_0\mathfrak{T}_G$, on trouve une construction […] ⌜analogue⌝ en termes de $\varepsilon_{G,A}$ […] de $\varepsilon$ \[\varepsilon_G = \prod_{a \in A} \varepsilon_a \subset P_G = \prod_{a \in A} T_a\] qui est l'ens. des objets d'un groupoïde ⌜[…]⌝ ${}_0\mathfrak{T}_G$, […] du groupoïde fondamental […] $\mathbb{Z}^{A}$, […] comme $S_0\mathfrak{T}_G$ à partir de $S\varepsilon_G$. On en déduit

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\begin{tikzcd}
S_0\mathfrak{T}_G \arrow[r] \arrow[d] & S\mathfrak{T}_{G^{\natural}} \arrow[d] \\
{}_0\mathfrak{T}_G \arrow[r] & \mathfrak{T}_{G^{\natural}}
\end{tikzcd}

les phrases autour de ${}_0\mathfrak{T}_G$ (« … du groupoïde fondamental $\mathfrak{T}_G$ … $\mathbb{Z}^{A}$ … ») sont en partie biffées et rapides ; seuls les termes mathématiques sont sûrs.

117Dimension modulaire 1. Tous les sommets de $G$, sauf un seul $s_0$, sont de genre $0$ et d'ordre $3$, tandis que $s_0$ est soit de genre $0$, ordre $4$, soit de genre $1$, ordre $1$.

deux esquisses du sommet $s_0$ : à gauche, quatre arêtes issues de $s_0$ ; à droite, une seule arête aboutissant à $s_0$, marquée $1$.

Traitons d'abord le premier cas. Soit $J = \hat{\vec{A}}_{s_0}$, ens. de cardinal $4$. On a un iso canonique \[M_G \simeq M_{0,J} \qquad \bigl( \simeq \mathbb{U}_{0,3} \simeq \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \setminus \{0,1,\infty\} \bigr),\] […] isomorphisme qui dépend d'une numérotation […]. l'ensemble $\hat{\vec{A}}_{s_0}$ est noté d'une majuscule cursive, entre $I$ et $J$ ; on l'écrit $J$ comme à la p. 118.

$SP_G \simeq$

La donnée d'une courbe $X$ de type $G$ équivaut à celle d'une sphère droite projective $Y$ ⌜$/J$-marquée⌝.

On a \[M_{0,J} = \text{\struck{$M_{0,4}$}}\; \mathrm{Rep}(J) \wedge_{\mathfrak{S}_4} M^{!}_{0,4} = \mathrm{Rep}(J) \wedge_{\mathfrak{S}_4} \mathbb{U}_{0,3}\] NB $\mathrm{Rep}(J) = \mathrm{Bij}(I_4, J)$, où $I_4 = \mathbb{N} \cap [1,4]$ où $\mathfrak{S}_4$ opère sur $\mathbb{U}_{0,3}$ par l'intermédiaire de l'homomorphisme \[\mathfrak{S}_4 \longrightarrow \mathfrak{S}_3\] et de l'action du groupe $\mathfrak{S}_3$ — ici $\mathfrak{S}_3$ est identifié au ⌜groupe⌝ […] des permutations de l'ens. des partitions de type $2,2$ de l'ens. à $4$ éléments $[1,4] \cap \mathbb{N} = I_4$, ces partitions étant numérotées de $1$ à $3$, la partition $P_i$ ($1 \leq i \leq 3$) […] étant ⌜formée⌝ de $\{i,4\}$ et de son complémentaire […] $I_3 \setminus \{i\}$ dans $I_4$. On aura, si $T_i$ ($i \in J$) sont les fibrés tangents unitaires de $Y$ aux pts de $J \simeq \hat{\vec{A}}_{s_0}$, pour $T$ $a \in A$ :

118\[T_a = \mathbb{U} \wedge_{\{\pm 1\}} \varepsilon_a \quad \text{pour} \quad \varepsilon_a = \begin{cases} \hat{\vec{A}}_{\sigma(x)} \setminus x & \text{si } x \in I_s \\ \bigwedge_{\tilde{x} \in \hat{\vec{A}}_x} \bigl( \hat{\vec{A}}_{\sigma(\tilde{x})} \setminus \{\tilde{x}\} \bigr) & \text{si } x \in A \end{cases}\] si $s_0$ n'est pas un sommet de $a$

Si $s_0$ Si $s_0$ est un sommet de $a$, on est dans l'un des ⌜trois⌝ cas ci-dessous, suivant que $a$ est une arête […] ⌜[…]⌝ ; est une boucle. […] Mais dans tous les cas on a

trois esquisses numérotées : (I) une arête $a$ terminée par une flèche, issue d'un sommet portant d'autres arêtes ; (III) une arête $a$ joignant un sommet $s$ à $s_0$, avec la mention « $s \neq s_0$ » ; (II) une boucle $a$ en $s_0$.

\[T_a = \bigwedge_{\tilde{a} \in A} T_{\tilde{a}}\] avec

$T_i$ dans le cas (I), où $i \in J = \hat{\vec{A}}_{s_0}$ est l'élément qui correspond à l'unique $\vec{a}$ sur $a$ ;
$\bigwedge_{i \in J \text{ au-dessus de } a} T_i$ dans le cas (II) ;
$T_i \wedge_{\{\pm 1\}} \bigl( \hat{\vec{A}}_s - \{\vec{a}\} \bigr)$ dans le cas (III), où $\vec{a}$ désigne l'arc d'origine $s \neq s_0$ porté par $a$.

On trouve donc \[SP_X = \prod_{a \in \hat{A}} T_a\] et avec l'explicitation des $T_a$ par les formules précédentes, on voit que chaque $T_i$ ($i \in J$) intervient dans le produit une fois et une seule, mais sous forme tordue si $i \in J = \hat{\vec{A}}_{s_0}$ correspond à une […] qui est lié et pas une boucle.

Soit donc $\hat{A}_1 \subset \hat{A}$ l'ens. des arêtes de $G$ qui ne sont pas directes incidentes à $s_0$ comme extrémité, […] qui sont liées et pas des boucles […] qui dans le cas contraire sont […]

119Posons, pour $a \in A_1$, $\varepsilon_a =$ ce qui est défini page précédente, si $s_0$ pas […] de $a$

et $J_1$ l'ens. des éléments de $J = \hat{\vec{A}}_{s_0}$ qui sont […] des arcs liés pas boucles, $J_2 = J \setminus J_1$. On aura alors, posant \[\varepsilon_{\hat{A}_1} = \prod_{a \in \hat{A}_1} \varepsilon_a ,\] \[SP_X = \underbrace{\bigl( \mathbb{U}^{A_1} \wedge_{\{\pm 1\}^{A_1}} \varepsilon_{A_1} \bigr)}_{T_{A_1}} \times T^{Y}_{J} ,\] où \[T^{Y}_{J} = \prod_{a \in \hat{A} \setminus \hat{A}_1} T_a\] (produit d'au moins deux facteurs, au plus quatre facteurs) $A \setminus A_1$ = ens. des arêtes incidentes à $s_0$ où $T^{Y}_{J}$ est défini directement ⌜[…]⌝ en termes de $Y$ et des ens. $\hat{\vec{A}}_s \setminus \{\vec{a}\}$ relatifs aux sommets ⌜arcs $a \in \hat{\vec{A}}_{s_0} = J$⌝ qui sont liés et pas des boucles, $s$ désignant l'extrémité distincte de $s_0$ et adjacente à $s_0$ […] — ⌜plus précisément⌝ en termes de la façon […] comme le groupage déduit des $J$ en ⌜paires⌝ (disparaissant dans le cas de deux paires)), quand il y a — une ou deux — boucles en $G$ en $s_0$. De façon précise, par la structure de $G$ dans $J$ provient, on a \[J = J_{\mathrm{I}} \amalg J_{\mathrm{II}} \amalg J_{\mathrm{III}}\] où $J_{\mathrm{II}}$ est muni d'une involution sans pts fixes ⌜$\sigma$⌝ et où $J_{\mathrm{III}}$ est muni d'un revêtement de degré $2$ $\tilde{J}_{\mathrm{III}} \to J_{\mathrm{III}}$ ⌜cette structure de $J$⌝. On a alors, […], \[T^{Y}_{J} = T^{Y}_{J_{\mathrm{I}}} \times T^{Y}_{J_{\mathrm{II}}} \times T^{Y}_{J_{\mathrm{III}}}\]

120avec \[T^{Y}_{J_{\mathrm{I}}} = \prod_{i \in J_{\mathrm{I}}} T_i\] \[T^{Y}_{J_{\mathrm{II}}} = \underbrace{\prod_{\alpha \in J_{\mathrm{II}}/\sigma}}_{0,\,1 \text{ ou } 2 \text{ facteurs}} \; \underbrace{\bigwedge_{\substack{i \in J_{\mathrm{II}} \\ \text{sur } \alpha}} T_i}_{2 \text{ facteurs}}\] \[T^{Y}_{J_{\mathrm{III}}} = \prod_{i \in J_{\mathrm{III}}} T_i \wedge_{\{\pm 1\}} \tilde{J}_{\mathrm{III},i}\] Il est clair que pour $Y$ variable, les $T^{Y}_{J_{\mathrm{I}}}$, $T^{Y}_{J_{\mathrm{II}}}$, $T^{Y}_{J_{\mathrm{III}}}$ forment des ⌜$\mathbb{U}$-torseurs⌝ fibrés sur $M_{0,J}$, notés $T_{\mathrm{I}}, T_{\mathrm{II}}, T_{\mathrm{III}}$, dont le produit fibré sera noté $T_{A_2}$, où \[A_2 = A \setminus A_1 \simeq J_{\mathrm{I}} \amalg (J_{\mathrm{II}}/\sigma) \amalg J_{\mathrm{III}} .\] On aura donc \[SP_G \simeq \underbrace{T_{\hat{A}_1}}_{\text{$\mathbb{U}^{\hat{A}_1}$-torseur}} \times \underbrace{T_{\hat{A}_2}}_{\text{$\mathbb{U}^{A_2}$-torseur sur $M_{0,J}$}}\]

Nous allons maintenant décrire un […] du groupoïde fondamental de $SP_G$, i.e. de $S\mathfrak{T}_G$, par le choix de « pts bases » bien choisis. On va s'intéresser aux $5$ pts de ceux $Y$ qui correspondent aux pts de $M_{0,J}$ qui sont des pts de ramification pour l'action du groupe produit $\mathfrak{S}_J$, de $\mathfrak{S}_{J'}$ où $J' \in \ldots$ ($3$ élts) est l'ens. des trois partitions de la phrase se poursuit au-delà de ce lot.