Fonds Grothendieck, cote n° 146, pages 101–120

la page s'ouvre au milieu d'un argument commencé avant ce lot : SP_G, P_{G,C}, \widehat{M}_G et S\mathfrak{T}_G y sont supposés connus.

Le fibré SP_G, et tous les quotients P_{G,C}, sont des fibrés sur \widehat{M}_G. ~~Ils~~ Ils sont déduisibles d'un fibré encore plus fin, SP_{G^{\flat}}, de groupe \mathbb{G}_m^{\vec{A}}, par l'hom. canonique \mathbb{G}_m^{\vec{A}} \to \mathbb{G}_m^{A} (lié sur \widehat{M}_G ; où SP^{\wedge}_{G^{\flat}}). Donc S\mathfrak{T}_G déduisible de S\mathfrak{T}_{G^{\flat}}, de groupe \mathbb{Z}^{\vec{A}}, par \mathbb{Z}^{\vec{A}} \to \mathbb{Z}^{A}.

NB \mathfrak{T}_G est une « cat. » de groupoïdes R\mathfrak{T}_G par \mathbb{Z}^{A} — elle est connue quand on connaît les ext. correspondantes \mathfrak{T}_{G,a} de R\mathfrak{T}_G = R\mathfrak{T}_{G^{\flat}} ~~par~~ \mathbb{Z} — et il suffit de connaître les ext. R\mathfrak{T}_{G,\vec{a}} = \mathfrak{T}_{G^{\flat},\vec{a}} de R\mathfrak{T}_G par \mathbb{Z} pour \vec{a} \in \vec{A}. le mot entre guillemets, souligné, se lit « cat. » ; « ext. » irait mieux avec la suite.

NB — une formule tracée en oblique dans la marge, où se lisent un \mathfrak{T} et un produit \prod, reliée par une flèche à l'alinéa suivant.

En définitive, on est réduit à construire les S\mathfrak{T}_{g,I} (\simeq \mathfrak{T}^{!}_{g,\nu}) ext. de \mathfrak{T}_{g,I} par \mathbb{Z}^{I} (ou encore les S(\mathfrak{T}_{g,I})_i (i \in I) extension de \mathfrak{T}_{g,I} par \mathbb{Z}). De même, la construction des hom. de généralisation S\mathfrak{T}_G \to S\mathfrak{T}_{G'} se réduit au cas où G' = G^{\natural} (G' en cas où ).

en tête de page, un premier état du diagramme ci-dessous, barré de grands traits en zigzag ; il porte les mêmes sommets, avec P_G (\simeq M_{G,G^{\natural}}), P_{G,C} (\simeq M_{G,G'}), RP_{G'} (= M_{G'}), RP_G (= M_G), un « M_G \simeq » biffé devant ce dernier, et les mêmes mentions « cart ».

~~NB les flèches horizontales~~

G \to G' \simeq G/C hom. de généralisation de graphes MD.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] SP_G \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{G}_m^{I}"'] & SP_{G'} \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{G}_m^{I}"'] & SP_{G^{\natural}} \arrow[d, "\mathbb{G}_m^{I}"'] \\ P_G \, (\simeq M_{G,G^{\natural}}) \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{G}_m^{A'}"'] & P_{G'} \simeq M_{G',G^{\natural}} \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{G}_m^{A'}"'] & P_{G^{\natural}} = RP_{G^{\natural}} = M_{G^{\natural}} \\ P_{G,C} \simeq M_{G,G'} \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{G}_m^{C}"'] & RP_{G'} = M_{G'} & \\ RP_G = M_G & & \end{tikzcd}

les carrés sont marqués « cart » (cartésiens) sur la page.

Les flèches horiz. ne sont définies que dans la catégorie homotopique. Elles commutent aux opérations des groupes d'opérateurs \mathbb{G}_m^{I} resp. \mathbb{G}_m^{A'} resp. \mathbb{G}_m^{\hat{A}'} = \mathbb{G}_m^{I} \times \mathbb{G}_m^{A'}.

Par passage aux groupoïdes fondamentaux, on trouve :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] S\mathfrak{T}_G \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{Z}^{I}"'] & S\mathfrak{T}_{G'} \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{Z}^{I}"'] & S\mathfrak{T}_{G^{\natural}} \arrow[d, "\mathbb{Z}^{I}"'] \\ \mathfrak{T}_G \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{Z}^{A'}"'] & \mathfrak{T}_{G'} \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{Z}^{A'}"'] & \mathfrak{T}_{G^{\natural}} \\ \mathfrak{T}_{G,C} \arrow[r] \arrow[d, "\mathbb{Z}^{C}"'] & R\mathfrak{T}_{G'} & \\ R\mathfrak{T}_G & & \end{tikzcd}

carrés marqués « cart » ; un signe biffé précède le \mathfrak{T}_G de la deuxième ligne.

Les flèches horizontales commutent aux op. de \mathbb{Z}^{I} resp. \mathbb{Z}^{A'} resp. \mathbb{Z}^{\hat{A}'} \simeq \mathbb{Z}^{I} \times \mathbb{Z}^{A'}.

sous un trait oblique qui sépare le bas de la page :

P_{G,C} = \prod_{a \in C \,/ M_G} P_{G,a}, \qquad \mathfrak{T}_{G,C} = \Pi_1 P_{G,\ldots} la seconde formule est coupée au bord de la feuille. SP_G = P_{G,\hat{A}}, \quad RP_G = P_{G,\emptyset}, \quad SRP_G = P_{G,I}, \quad P_G \simeq P_{G,A}. le dernier indice de SRP_G = P_{G,I} est à demi coupé au bord ; la lecture I suit le carré ci-dessous.

\begin{tikzcd} SRP_G \arrow[d, "\mathbb{G}_m^{I}"'] & SP_G \arrow[l, "\mathbb{G}_m^{A}"'] \arrow[d, "\mathbb{G}_m^{I}"] \\ RP_G & P_G \arrow[l, "\mathbb{G}_m^{A}"] \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} SR\mathfrak{T}_G \arrow[d, "\mathbb{Z}^{I}"'] & S\mathfrak{T}_G \arrow[l, "\mathbb{Z}^{A}"'] \arrow[d, "\mathbb{Z}^{I}"] \\ R\mathfrak{T}_G & \mathfrak{T}_G \arrow[l, "\mathbb{Z}^{A}"] \end{tikzcd}

chacun des deux carrés est marqué « cart. ».

Soient G \to G' \simeq G/C un hom. de généralisation de graphes MD, où C \subset A(G) (ens. des arêtes liées de G). Soit X une courbe algébrique sur \mathbb{C}, de type G. Je vais décrire une méthode pour construire des courbes X' de type G'. On a C \subset A = \mathrm{Sing}(X), \qquad \text{soit } B = A \setminus C . Soit ~~\mathcal{C}~~ \widetilde{X} de \widetilde{B} le normalisé de X relativement à C, \widetilde{C} (les images inverses de B de C dans \widetilde{X}). Choisissons pour tout x \in \widetilde{C} un disque fermé D_x \subset \widetilde{X} \setminus \widetilde{B}, contenant x dans son intérieur, à bord ~~tel que les~~ une courbe analytique réelle (peut être choisi — C^1 suffit), de façon que les D_x soient mutuellement disjoints. Il doit être vrai que l'ensemble des choix possibles est ~~tous~~ un espace contractile — i.e. que le choix est « canonique » : la projection de la multiplicité top. formée des X de type G, munis d'une famille D_x (ou des X décomposés) vers celle des X de type G sans plus, doit être une équivalence d'homotopie. Soit X_1 = \widetilde{X} - \bigcup_{x \in \widetilde{C}} D_x^{\circ} qui est, ~~en dehors de X_1 \cap \mathrm{Sing}(\widetilde{X}),~~ une surface à bord holomorphe, avec \partial X_1 = \coprod_{x \in \widetilde{C}} \partial D_x . En tant que bord du disque holomorphe ~~D_x~~, de centre x, \partial D_x hérite une structure de \mathbb{U}-torseur

où on pose \mathbb{U} = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} (identifié au cercle de \mathbb{U}) — l'orientation de ce \mathbb{U}-torseur est opposée de celle induite par X_1. La surface holomorphe X avec la qui se récupère à partir de X_1, surface holomorphe à bord X_1, et de la structure précédente T_{\tilde{x}} = \partial_{\tilde{x}} X de \mathbb{U}-torseur sur chacune des comp. connexes du bord \partial X_1, en notant que le cône sur \partial_{\tilde{x}} X à bord devient, grâce à cette structure, un disque holomorphe, et par chirurgie holomorphe on peut le recoller à X_1, pour obtenir X, les centres des disques rapportés.

Considérons, pour x \in C, les deux ~~ensembles~~ pts x' et x'' de \widetilde{C} au-dessus de x, et ~~l'espace~~ l'espace \mathrm{Isom}^{-}_{\mathbb{U}}(T_{x'}, T_{x''}) \simeq \mathrm{Isom}_{\mathbb{U}}(T_{x'}^{-1}, T_{x''}) des antiisomorphismes de T_{x'} avec T_{x''} (i.e. hom. de torseurs compatibles avec l'~~isomorphisme~~ antiautomorphisme z \mapsto z^{-1} : \mathbb{U} \xrightarrow{\sim} \mathbb{U}), qui s'identifie, , par symétrie, au torseur T_{x'} \wedge T_{x''}, ou encore au \mathbb{U}-torseur T_x = \bigwedge_{\tilde{x} \in C_x} T_{\tilde{x}} .

NB T_{\tilde{x}} s'identifie aussi à \widetilde{X} en \tilde{x}, i.e. à T^{*}_{\widetilde{X},\tilde{x}} / \mathbb{R}^{*+} (ce qui est indép. du choix des D_{\tilde{x}}).

Considérons enfin le produit P_C = P_{C,X} = \prod_{x \in C} T_x qui est un torseur sous \mathbb{U}^{C}. On Pour \mathcal{X} = (X, (D_{\tilde{x}}))

variable dans une multiplicité topologique convenable M^C_G, les P_{\mathcal{X}} forment un \mathbb{U}^{C}_{M^C_G}-torseur sur M^C_G, dit \widetilde{M}^C_G, et on définit un ~~application~~ morphisme de topos \widetilde{M}^C_G \longrightarrow M_{G'} . sous \widetilde{M}^C_G, un « M_{G'} » biffé.

c'est l'espace d'un torseur évident P_{G,C} ou P_C sur

Revenons : \mathcal{X} = (X, (D_{\tilde{x}})), on va définir, pour tout t = (t_x)_{x \in C} \in T_C, une X' de type G', notée X'_t. On l'obtient par chirurgie holomorphe : partir de X_1, en recollant \forall x \in C les deux composantes T_{x'}, T_{x''} du bord de X_1 correspondant à x, suivant l'antiisomorphisme t_x. Pour \mathcal{X}, t variable, cela donne le morphisme de topos ci-dessus.

Soit M_G la multiplicité holomorphe des courbes X de type G, on a M^C_G \longrightarrow M_G \quad \text{équiv. d'homotopie} donc

\begin{tikzcd}[column sep=small] 1 \arrow[r] & \pi_1(\mathbb{U}^{C}) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"'] & \pi_1(\widetilde{M}^C_G) \arrow[r] \arrow[dd] & \pi_1(M_G) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"] & 1 \\ & \mathbb{Z}^{C} & & \pi_1(M^C_G) & \\ & & \pi_1(M_{G'}) & & \end{tikzcd}

Pour avoir S\mathfrak{T}_G \to S\mathfrak{T}_{G'}, on considère le fibré SP_{G'} sur M_{G'}, principal de groupe \mathbb{U}^{\hat{A}'}

(où \hat{A}' est l'ens. des arêtes de G') correspondant ~~au produit des~~, pour une courbe X' de type G', à (contenant des des \hat{A}') T_{X'} = \prod_{x \in \hat{A}'} T_{X',x} défini comme ci-dessus T_{X,C}, à la seule différence que pour les points x \in I', on prend T_{X',x} = torseur tangent unitaire de X' en x = T^{*}_{X',x} / \mathbb{R}^{*+}. On a donc S\mathfrak{T}_{G'} = \pi_1(SP_{G'}) . D'autre part, soit ~~le fibré~~ P_B le fibré principal canonique sur M_G, de groupe structural \mathbb{U}^{B}, de sorte que l'on a SP_G = P_C \times_{M_G} P_B \qquad \text{(isom. de $\mathbb{U}^{\hat{A}}$-torseurs sur $M_G$)} et considérons le diagramme ci-contre, cartésien : formé déduit de la face de base (associée à la formule précédente) par le changement de base M^C_G \to M_G, qui est une équivalence d'homotopie, donc ~~toutes~~ les flèches verticales sont des équivalences d'homotopie. On a donc

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \widetilde{M}^C_G \arrow[rr] \arrow[dd] & & M^C_G \arrow[dd] & \\ & \widetilde{P}^B_G \arrow[ul] \arrow[rr, dashed] \arrow[dd, dashed] & & P^B_G \arrow[ul, dashed] \arrow[dd, dashed] \\ P_C \arrow[rr] & & M_G & \\ & SP_G \arrow[ul] \arrow[rr] & & P_B \arrow[ul] \end{tikzcd}

le sommet en haut à droite porte, au-dessus du C, une marque double qui pourrait être un second tilde ; la lecture M^C_G suit la flèche verticale vers M_G.

S\mathfrak{T}_G \overset{\text{déf}}{=} \pi_1(SP_G) \xleftarrow{\ \sim\ } \pi_1(\widetilde{P}^B_G) . D'autre part, on a un diagramme cartésien évident

\begin{tikzcd} \widetilde{P}^B_G \arrow[r] \arrow[d, "\text{$\mathbb{U}^B$-tors. sur $\widetilde{M}^C_G$}"'] & SP_{G'} \arrow[d] \\ \widetilde{M}^C_G \arrow[r] & M_{G'} \end{tikzcd}

qui exprime simplement que pour X' construit à l'aide de (X, (D_{\tilde{x}})), le le \mathbb{U}^{B}-torseur P_{B,X} est can. isom. au \mathbb{U}^{B}-torseur P (on dirait même, égal ?) . On trouve ainsi un morphisme

\begin{tikzcd} \pi_1(\widetilde{P}^B_G) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"'] & \pi_1(SP_{G'}) \arrow[d, no head, "\wr"] \\ S\mathfrak{T}_G & S\mathfrak{T}_{G'} \end{tikzcd}

Considérons le monoïde topologique multiplicatif ]0,1] (avec élément unité 1) et sa puissance \vec{C}-ième \mu_{\vec{C}} = \, ]0,1]^{\vec{C}} il vaut mieux prendre ]0,1]^{C}, sinon il y a des on prend \rho_{\tilde{x}'} = \rho_{\tilde{x}''} pour \tilde{x}', \tilde{x}'' sur x \in C alors \mu_{\vec{C}} opère sur la M_G-fibre \widetilde{M}^C_G de façons évidentes (homothéties sur les disques D_{\tilde{x}}),

donc aussi sur \widetilde{P}^B_G, \mathbb{U}^{B}-tors. image réciproque de P_B sur M_G. On a donc un ~~hom.~~ morphisme de topos

\begin{tikzcd}[column sep=small] \mu_{\vec{C}} \times \widetilde{M}^C_G \arrow[rr] \arrow[dr, dashed] & & M_{G'} \\ & \widetilde{M}^C_G \arrow[ur, dashed, no head] & \end{tikzcd}

s'insérant dans le diagramme cartésien

\begin{tikzcd} \mu_{\vec{C}} \times P^B_G \arrow[r] \arrow[d, "\sim"'] & SP_{G'} \arrow[d] \\ \mu_{\vec{C}} \times M^C_G \arrow[r] & M_{G'} \end{tikzcd}

L'~~hom.~~ morphisme \mu_{\vec{C}} \times \widetilde{M}^C_G \to M_{G'} joue le rôle de l'~~inclusion~~ de \mathcal{V}^{*}_{G,G'} ~~dans~~ (l'ouvert sur M_{G'} du voisinage tubulaire de M_G dans \widehat{M}_{G'}) dans M_{G'}.

Les choses deviennent plus claires ~~peut-être~~ (mais moins intrinsèques) si on dispose d'une section de M^C_G sur M_G (y en a-t-il toujours ??) — auquel cas on trouve un diagramme cartésien je pense que oui…

\begin{tikzcd} SP_G \times \mu_C \arrow[r] \arrow[d] & SP_{G'} \arrow[d] \\ P_C \times \mu_C \arrow[r] & M_{G'} \end{tikzcd}

et ici, dans un sens très fort (qu'il vaudrait la peine peut-être d'expliciter) P_C \times \mu_C s'identifie à une forme de voisinage tubulaire. ~~et P_C serait le bord~~

Les cas les plus intéressants sont ceux où G' = G^{\natural} (généralisation maximale de G), ainsi que ceux où G est de dim. modulaire 0 ou 1, et où G' est de dim. modulaire \leq 2 — notamment les généralisations immédiates (correspondant au cas où C est réduit à un élément).

Cas où la dim. modulaire d(G) de G est nulle. i.e. les sommets de G sont de genre 0, d'ordre 3. Alors X est défini à isom. unique près par la donnée de G, grâce au fait qu'une droite projective munie d'un I-marquage, où \mathrm{card}\, I = 3, est définie à isom. unique près. Donc la multiplicité M_G est la multiplicité ponctuelle. Considérons la droite projective \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} ~~avec le groupe~~ avec les

trois pts marqués 0, 1, \infty, avec le groupe d'automorphismes holomorphes \mathfrak{S}_3, il y a une métrique positive ~~invariante~~ unique invariante par \mathfrak{S}_3. On va prendre des systèmes de disques D_i (i \in \{0,1,\infty\}) stables par \mathfrak{S}_3, et ~~fermés~~ limités par des cercles de centre i (pour de la structure riemannienne) — il revient au même de se donner un des i, disons i = \infty, un cercle de centre i qui soit invariant* par la transposition qui échange les deux autres, et de plus petit pour que ses trois transformés par \mathfrak{S}_3 soient mutuellement disjoints. * c'est automatique

de stabilité, définissons les disques mutuellement disjoints. On prendra comme modèle riemannien une sphère orientée ~~\Sigma~~ de rayon 1, \Sigma = \Sigma_I, un grand cercle fixé \Sigma_{\mathbb{R}}, et ~~la droite~~ ~~des cercles disjoints~~ partie I dessus formant un triangle équilatéral inscrit — le choix du cercle dépend d'un paramètre 0 < \rho \leq 1 (son rayon rectiligne). Pour tout i \in I, le cercle \Gamma_{i\rho} admet deux pts marqués sur l'équateur, une

dans la marge gauche, une sphère avec son équateur et un triangle inscrit en pointillé ; au-dessous, un cercle portant les points \infty (en haut), 0 et 1, un petit cercle autour de 0 et des segments en pointillé.

bijection canonique \Gamma_{i\rho} \cap \Sigma_{\mathbb{R}} \simeq I \setminus \{i\} en associant à tout x \in \Gamma_{i\rho} \cap \Sigma_0 l'élément de I \setminus \{i\} le plus proche. Ces deux pts sont diamétralement opposés sur \Gamma_{i\rho}, donc on trouve un isomorphisme canonique \Gamma_{i\rho} \simeq \text{\struck{$\Sigma$}}\, \mathbb{U} \wedge_{\{\pm 1\}} (I \setminus \{i\}) i.e. \Gamma_{i\rho} est déduit du \{\pm 1\}-torseur I - \{i\} par l'inclusion ~~(\Sigma \times \{\pm 1\})~~ \{\pm 1\} \hookrightarrow \mathbb{U}. \Sigma_{\mathbb{R}} et \Sigma_0 désignent ici, semble-t-il, le même grand cercle.

~~La donnée d'~~ La courbe X_G de type G s'obtient en prenant la normalisée \widetilde{X}_G = \coprod_{s \in G} \Sigma_{\hat{\vec{A}}_s} par recollement à partir de l'involution \sigma sur \hat{\vec{A}} = \coprod_{s \in S} \hat{\vec{A}}_s. On a pour tout x \in \hat{A}, au-dessus de s \in S, T_x \simeq \mathbb{U} \wedge_{\{\pm 1\}} \{ \hat{\vec{A}}_s \setminus x \} \quad \text{si } x \in I \simeq \hat{\vec{A}}^{\sigma} (en identifiant les éléments de I à leurs images dans \hat{A}), T_x \simeq \mathbb{U} \wedge_{\{\pm 1\}} \bigwedge_{\tilde{x} \in \hat{\vec{A}}_x} \bigl( \hat{\vec{A}}_{\sigma(\tilde{x})} \setminus \{\tilde{x}\} \bigr) \quad \text{si } x \in A . NB si x est une boucle, on trouve T_x \simeq \mathbb{U} iso. can.

dans la marge gauche, un graphe : un sommet portant une boucle, un carré, des demi-arêtes terminées par des flèches, un triangle à gauche.

On a donc P_G = \prod_{x \in \hat{A}} T_x = \mathbb{U}^{\hat{A}} \wedge_{\{\pm 1\}^{\hat{A}}} \overbrace{\prod_{a \in \hat{A}} \varepsilon_a}^{S\varepsilon_G} où pour a \in \hat{A}, \varepsilon_a est l'ens. à deux éléments défini par \begin{cases} \varepsilon_a = \hat{\vec{A}}_s - \{a\} & \text{si } a \in I \\ \varepsilon_a = \bigwedge_{\tilde{a} \text{ sur } a} \bigl( \hat{\vec{A}}_{\sigma(\tilde{a})} \setminus \tilde{a} \bigr) & \text{si } a \in A = \hat{A} \setminus I \end{cases} et on trouve une morphisme canonique \mu^{\circ}_{\vec{A}} \times SP_G \longrightarrow SPM_{G^{\natural}} \qquad \text{où } \mu^{\circ}_{\vec{A}} = (]0,1[)^{\vec{A}} définissant \pi_1(SP_G) = S\mathfrak{T}_G = \mathbb{Z}^{\hat{A}} \longrightarrow \pi_1(SPM_{G^{\natural}}) = S\mathfrak{T}_{G^{\natural}} « SPM_{G^{\natural}} » est lu tel quel ; le P et le M sont serrés l'un contre l'autre. et, mieux, un hom. de groupoïdes fondamentaux. Mais ~~\prod \varepsilon_a = \ldots \prod \varepsilon_G~~ l'ensemble \varepsilon_G (de cardinal 2^{\mathrm{card}\, A}) est contenu dans SP_G S\varepsilon_G \subset SP_G d'où \mu^{\circ}_{\vec{A}} \times S\varepsilon_G \longrightarrow PM_{G^{\natural}} et comme \mu^{\circ}_{\vec{A}} est simplement connexe, on en conclut S\varepsilon_G \longrightarrow (S\mathfrak{T}_{G^{\natural}}) (où S\mathfrak{T} désigne le groupoïde fondamental de SP_{G^{\natural}}.) un signe biffé précède la parenthèse de (S\mathfrak{T}_{G^{\natural}}).

~~Désignons par~~ Désignons par S_0\mathfrak{T}_G le s/groupoïde de S\mathfrak{T}_G = \Pi_1(\ldots) induit sur S\varepsilon_G, on a donc S_0\mathfrak{T}_G \longrightarrow S\mathfrak{T}_{G^{\natural}} .

Le groupoïde S_0\mathfrak{T}_G est engendré par les objets de S\varepsilon_G = \prod_{a \in \hat{A}} \varepsilon_a, et ~~des morphismes~~ des signes \varepsilon \alpha = (\alpha_a) \in \{\pm 1\}^{\hat{A}} et donc \xi \in \varepsilon_G une morphisme u_{\alpha,\xi} : \xi \longrightarrow \alpha.\xi = \xi' défini par le chemin u_{\alpha,\xi} : [0,1] \to P_G ~~u_{\alpha,\xi}(t)_a =~~ défini par u_{\alpha,\xi}(t)_a = \begin{cases} \xi_a = \xi'_a & \text{si } \alpha_a = +1 \\ (\exp(\pi i t))\, \xi_a & \text{si } \alpha_a = -1 \end{cases} avec les relations

\begin{tikzcd} \xi \arrow[r, "u_{\alpha,\xi}"] \arrow[rr, bend right=30, "u_{\alpha\beta,\xi}\, n{(\alpha,\beta)}"'] & \alpha.\xi = \xi' \arrow[r, "u_{\beta,\xi'}"] & \beta\xi' = \beta\alpha\xi = \xi'' \end{tikzcd}

où n(\alpha,\beta) \in \mathbb{Z}^{\hat{A}} défini par ~~n(\alpha,\beta)_a = 0 si~~ n(\alpha,\beta)_a = \begin{cases} 0 & \text{si } \alpha_a = 1 \text{ ou } \beta_a = 1 \\ 1 & \text{sinon (i.e. } \alpha_a = \beta_a = -1) \end{cases} On ~~peut~~ a tenu compte, pour écrire ces relations, ~~des~~ de la \mathbb{Z}^{\hat{A}}-structure du groupoïde S_0\mathfrak{T}_G. Mais indépendamment, pour ne pas l'utiliser, on introduit, pour a \in \hat{A}, \xi \in \varepsilon_G u_{a,\xi} : \xi \longrightarrow \sigma_a \xi NB \sigma_a désigne l'involution de S\varepsilon_G associée à a \in \hat{A} et les relations suivantes

(1)

\begin{tikzcd} \xi \arrow[r, "u_{a,\xi}"] \arrow[d, "u_{b,\xi}"'] & \sigma_a \xi \arrow[d, "u_{b,\sigma_a\xi}"] \\ \sigma_b \xi \arrow[r, "u_{a,\sigma_b\xi}"'] & \sigma_{ab} \end{tikzcd}

commutatif (\forall (\xi, a, b) \in S\varepsilon_G \times \hat{A} \times \hat{A} ; il suffit de le prendre pour a \neq b)

(2) ~~Les u_a~~ soit v^a_\xi le composé

\begin{tikzcd} \xi \arrow[r, "u_{a,\xi}"] & a\xi \arrow[r, "u_{a,a\xi}"] & a^2 \xi = \xi \end{tikzcd}

tous les v^a_\xi commutent (\xi fixé, a \in \hat{A} variable).

NB Le groupoïde libre sur \varepsilon_G ~~les objets de~~ comme ens. d'objets, et avec les générateurs u_{a,\xi} et les relations (1), (2), et s'identifie bien à S_0\mathfrak{T}_G (à isom. can. près).

Prenant \mathfrak{T}_G au ~~lieu~~ lieu de S_0\mathfrak{T}_G, on trouve une construction analogue en termes de ~~\varepsilon_{G,A} de \varepsilon~~ \varepsilon_G = \prod_{a \in A} \varepsilon_a \subset P_G = \prod_{a \in A} T_a qui est l'ens. des objets d'un groupoïde {}_0\mathfrak{T}_G, du groupoïde fondamental \mathbb{Z}^{A}, comme S_0\mathfrak{T}_G à partir de S\varepsilon_G. On en déduit

\begin{tikzcd} S_0\mathfrak{T}_G \arrow[r] \arrow[d] & S\mathfrak{T}_{G^{\natural}} \arrow[d] \\ {}_0\mathfrak{T}_G \arrow[r] & \mathfrak{T}_{G^{\natural}} \end{tikzcd}

les phrases autour de {}_0\mathfrak{T}_G (« … du groupoïde fondamental \mathfrak{T}_G … \mathbb{Z}^{A} … ») sont en partie biffées et rapides ; seuls les termes mathématiques sont sûrs.

Dimension modulaire 1. Tous les sommets de G, sauf un seul s_0, sont de genre 0 et d'ordre 3, tandis que s_0 est soit de genre 0, ordre 4, soit de genre 1, ordre 1.

deux esquisses du sommet s_0 : à gauche, quatre arêtes issues de s_0 ; à droite, une seule arête aboutissant à s_0, marquée 1.

Traitons d'abord le premier cas. Soit J = \hat{\vec{A}}_{s_0}, ens. de cardinal 4. On a un iso canonique M_G \simeq M_{0,J} \qquad \bigl( \simeq \mathbb{U}_{0,3} \simeq \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \setminus \{0,1,\infty\} \bigr), isomorphisme qui dépend d'une numérotation . l'ensemble \hat{\vec{A}}_{s_0} est noté d'une majuscule cursive, entre I et J ; on l'écrit J comme à la p. 118.

~~SP_G \simeq~~

La donnée d'une courbe X de type G équivaut à celle d'une ~~sphère~~ droite projective Y /J-marquée.

On a M_{0,J} = \text{\struck{$M_{0,4}$}}\; \mathrm{Rep}(J) \wedge_{\mathfrak{S}_4} M^{!}_{0,4} = \mathrm{Rep}(J) \wedge_{\mathfrak{S}_4} \mathbb{U}_{0,3} NB \mathrm{Rep}(J) = \mathrm{Bij}(I_4, J), où I_4 = \mathbb{N} \cap [1,4] où \mathfrak{S}_4 opère sur \mathbb{U}_{0,3} par l'intermédiaire de l'homomorphisme \mathfrak{S}_4 \longrightarrow \mathfrak{S}_3 et de l'action du groupe \mathfrak{S}_3 — ici \mathfrak{S}_3 est identifié au groupe des permutations de l'ens. des partitions de type 2,2 de l'ens. à 4 éléments [1,4] \cap \mathbb{N} = I_4, ces partitions étant numérotées de 1 à 3, la partition P_i (1 \leq i \leq 3) étant formée de \{i,4\} et de son complémentaire I_3 \setminus \{i\} dans I_4. On aura, si T_i (i \in J) sont les fibrés tangents unitaires de Y aux pts de J \simeq \hat{\vec{A}}_{s_0}, pour T a \in A :

T_a = \mathbb{U} \wedge_{\{\pm 1\}} \varepsilon_a \quad \text{pour} \quad \varepsilon_a = \begin{cases} \hat{\vec{A}}_{\sigma(x)} \setminus x & \text{si } x \in I_s \\ \bigwedge_{\tilde{x} \in \hat{\vec{A}}_x} \bigl( \hat{\vec{A}}_{\sigma(\tilde{x})} \setminus \{\tilde{x}\} \bigr) & \text{si } x \in A \end{cases} si s_0 n'est pas un sommet de a

~~Si s_0~~ Si s_0 est un sommet de a, on est dans l'un des trois cas ci-dessous, suivant que a ~~est une arête~~ ; est une boucle. Mais dans tous les cas on a

trois esquisses numérotées : (I) une arête a terminée par une flèche, issue d'un sommet portant d'autres arêtes ; (III) une arête a joignant un sommet s à s_0, avec la mention « s \neq s_0 » ; (II) une boucle a en s_0.

T_a = \bigwedge_{\tilde{a} \in A} T_{\tilde{a}} avec

T_i dans le cas (I), où i \in J = \hat{\vec{A}}_{s_0} est l'élément qui correspond à l'unique \vec{a} sur a ; \bigwedge_{i \in J \text{ au-dessus de } a} T_i dans le cas (II) ; T_i \wedge_{\{\pm 1\}} \bigl( \hat{\vec{A}}_s - \{\vec{a}\} \bigr) dans le cas (III), où \vec{a} désigne l'arc d'origine s \neq s_0 porté par a.

On trouve donc SP_X = \prod_{a \in \hat{A}} T_a et avec l'explicitation des T_a par les formules précédentes, on voit que chaque T_i (i \in J) intervient dans le produit une fois et une seule, mais sous forme tordue si i \in J = \hat{\vec{A}}_{s_0} correspond à une qui est lié et pas une boucle.

Soit donc \hat{A}_1 \subset \hat{A} l'ens. des arêtes de G qui ne sont pas ~~directes~~ incidentes à s_0 comme extrémité, ~~qui sont liées et pas des boucles~~ ~~qui dans le cas contraire sont~~

~~Posons, pour a \in A_1, \varepsilon_a = ce qui est défini page précédente, si s_0 pas de a~~

et J_1 l'ens. des éléments de J = \hat{\vec{A}}_{s_0} qui sont des arcs liés pas boucles, J_2 = J \setminus J_1. On aura alors, posant \varepsilon_{\hat{A}_1} = \prod_{a \in \hat{A}_1} \varepsilon_a , SP_X = \underbrace{\bigl( \mathbb{U}^{A_1} \wedge_{\{\pm 1\}^{A_1}} \varepsilon_{A_1} \bigr)}_{T_{A_1}} \times T^{Y}_{J} , où T^{Y}_{J} = \prod_{a \in \hat{A} \setminus \hat{A}_1} T_a (produit d'au moins deux facteurs, au plus quatre facteurs) A \setminus A_1 = ens. des arêtes incidentes à s_0 où T^{Y}_{J} est défini directement en termes de Y et des ens. \hat{\vec{A}}_s \setminus \{\vec{a}\} relatifs aux ~~sommets~~ arcs a \in \hat{\vec{A}}_{s_0} = J qui sont liés et pas des boucles, s désignant l'extrémité ~~distincte de s_0 et adjacente à s_0~~ — plus précisément en termes de la façon comme le groupage déduit des J en paires (disparaissant dans le cas de deux paires)), quand il y a — une ou deux — boucles en G en s_0. De façon précise, par la structure de G dans J provient, on a J = J_{\mathrm{I}} \amalg J_{\mathrm{II}} \amalg J_{\mathrm{III}} où J_{\mathrm{II}} est muni d'une involution sans pts fixes \sigma et où J_{\mathrm{III}} est muni d'un revêtement de degré 2 \tilde{J}_{\mathrm{III}} \to J_{\mathrm{III}} cette structure de J. On a alors, , T^{Y}_{J} = T^{Y}_{J_{\mathrm{I}}} \times T^{Y}_{J_{\mathrm{II}}} \times T^{Y}_{J_{\mathrm{III}}}

avec T^{Y}_{J_{\mathrm{I}}} = \prod_{i \in J_{\mathrm{I}}} T_i T^{Y}_{J_{\mathrm{II}}} = \underbrace{\prod_{\alpha \in J_{\mathrm{II}}/\sigma}}_{0,\,1 \text{ ou } 2 \text{ facteurs}} \; \underbrace{\bigwedge_{\substack{i \in J_{\mathrm{II}} \\ \text{sur } \alpha}} T_i}_{2 \text{ facteurs}} T^{Y}_{J_{\mathrm{III}}} = \prod_{i \in J_{\mathrm{III}}} T_i \wedge_{\{\pm 1\}} \tilde{J}_{\mathrm{III},i} Il est clair que pour Y variable, les T^{Y}_{J_{\mathrm{I}}}, T^{Y}_{J_{\mathrm{II}}}, T^{Y}_{J_{\mathrm{III}}} forment des \mathbb{U}-torseurs ~~fibrés~~ sur M_{0,J}, notés T_{\mathrm{I}}, T_{\mathrm{II}}, T_{\mathrm{III}}, dont le produit fibré sera noté T_{A_2}, où A_2 = A \setminus A_1 \simeq J_{\mathrm{I}} \amalg (J_{\mathrm{II}}/\sigma) \amalg J_{\mathrm{III}} . On aura donc SP_G \simeq \underbrace{T_{\hat{A}_1}}_{\text{$\mathbb{U}^{\hat{A}_1}$-torseur}} \times \underbrace{T_{\hat{A}_2}}_{\text{$\mathbb{U}^{A_2}$-torseur sur $M_{0,J}$}}

Nous allons maintenant décrire un du groupoïde fondamental de SP_G, i.e. de S\mathfrak{T}_G, par le choix de « pts bases » bien choisis. On va s'intéresser aux 5 pts de ceux Y qui correspondent aux pts de M_{0,J} qui sont des pts de ramification pour l'action du groupe produit \mathfrak{S}_J, de \mathfrak{S}_{J'} où J' \in \ldots (3 élts) est l'ens. des trois partitions de la phrase se poursuit au-delà de ce lot.