Cote n° 146, pages 81–100

Cote n° 146 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Groupoïdes de Teichmüller et les S0 Tg,!ν, S0 TG : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978]
Édition de démonstration

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Présentations de groupoïdes

Titre de l'éditeur. La page 81 ouvre le lot au milieu des notes ; rien n'y renvoie à une page antérieure, mais l'objet (relations définissantes d'un groupoïde) peut prolonger le lot précédent.

81La page est barrée d'un long trait diagonal ; elle se lit néanmoins, et la page 82 reprend le même départ.

Cas d'un groupoïde […] ⌜homomorphisme de⌝ groupoïdes \[\widetilde{\mathcal{T}} \xrightarrow{\;p\;} \mathcal{T}\] qui est surjectif sur les $\pi_0$. On se donne une famille $(\tilde{u}_i)_{i \in I}$ de flèches de $\widetilde{\mathcal{T}}$, entre des objets de projections $u_i$ dans $\mathcal{T}$, et des relations encadré, avec un renvoi vers $\mathcal{T}$ : $(i_0'^{(\alpha)}, \ldots, i_{n_\alpha}'^{(\alpha)}) \in \bar{I}'^{\,n_\alpha}$ $(\alpha \in A)$ \[(4) \qquad u'_{i'^{(\alpha)}_{n_\alpha}} \cdots u'_{i'^{(\alpha)}_{0}} = 1 \quad \text{dans } \mathcal{T}\] [pour le rôle des relations $R_\alpha$] (flèches composables dans $\mathcal{T}$, avec $\operatorname{or}(u'_{i'_0}) = \operatorname{ext}(u'_{i'_n})$). De plus, on se donne des relations ⌜flèches⌝ $(a_j)_{j \in J}$ de $\widetilde{\mathcal{T}}$ qui sont des « flèches fibres » (leurs projections dans $\mathcal{T}$ des identités), et des relations d'où des $a'_{j'} = a_j^{\pm 1}$ $(j' \in J \times \{\pm 1\})$, et des relations \[(5) \qquad a'_{j'^{(\beta)}_{n_\beta}}\, a'_{j'^{(\beta)}_{n_\beta - 1}} \cdots a'_{j'^{(\beta)}_0} = 1\] où $j'^{(\beta)} = (j_0'^{(\beta)}, \ldots, j_{n_\beta}'^{(\beta)}) \in J'^{\,n_\beta}$, $\beta \in B$ [pour le rôle des rel. $S_\beta$].

On suppose

1°) Les relations (4) sont une famille de relations définissant $\mathcal{T}$, en générateurs ⌜flèches génératrices⌝ $u_i$ $(i \in I)$ et $\operatorname{Ob}\mathcal{T}$ (ce qui implique que tous les sommets ⌜et extr.⌝ des flèches de $\mathcal{T}$ sont parmi les origines des […] des (4) (à fortiori $\widetilde{\mathcal{T}} \to \mathcal{T}$ est surjectif sur les objets). et […]

d'où une famille de flèches $\tilde{u}'_{i'} = \tilde{u}_i^{\pm 1}$ paramétrée par les $i' \in \bar{I}' = I \times \{\pm 1\}$, en posant $\tilde{u}'_{(i,\varepsilon)} = \tilde{u}_i^{\varepsilon}$ — item pour […] NB […] d'indices […] $\coprod_{n \in \mathbf{N}^*}$ […] $B$ […] $J'^{\,n}$ […]

82Soit […] \[(1) \qquad \widetilde{\mathcal{T}} \longrightarrow \mathcal{T}\] un morphisme de groupoïdes, et \[(2) \qquad (\tilde{u}_i)_{i \in I}\] une famille de flèches de $\widetilde{\mathcal{T}}$, \[(3) \qquad (u_i)_{i \in I}\] la famille correspondante dans $\mathcal{T}$. On suppose que celle-ci est génératrice (donc $\operatorname{Ob}\mathcal{T}$ est formé des origines et ext. des flèches $u_i$) et on se donne une famille de de relations définissantes de $\mathcal{T}$, en les flèches génératrices $u_i$. Cela se fait, techniquement, en introduisant l'ens. d'indices \[(4) \qquad I' = I \times \{\pm 1\}\] et en définissant, pour $i' = (i, \varepsilon) \in I'$ \[(5) \qquad u'_{i'} = u_i^{\varepsilon}\] et en se donnant une famille $\mathcal{R}_\alpha$, de relations, paramétrée par un ens. d'indices $A$, d'éléments de l'ensemble somme \[(6) \qquad \hat{I}' = \coprod_{n \in \mathbf{N}^*} I'^{\,n} .\] Donc pour tt $\alpha \in A$, on a un $n_\alpha \in \mathbf{N}^*$,

83et un \[(7) \qquad i'^{(\alpha)} \in I'^{\,n_\alpha}, \qquad i'^{(\alpha)} = (i'_{\alpha,1}, i'_{\alpha,2}, \ldots, i'_{\alpha,n_\alpha})\] d'où une suite d'éléments \[u'_{i'_{\alpha,1}}, u'_{i'_{\alpha,2}}, \ldots, u'_{i'_{\alpha,n_\alpha}} \in \operatorname{Fl}\mathcal{T}\] qu'on suppose composables, […] et formant un lacet, […] et on considère les relations \[(8) \qquad \underbrace{u'_{i'_{\alpha,1}}\, u'_{i'_{\alpha,2}} \cdots u'_{i'_{\alpha,n_\alpha}}}_{M_\alpha((u_i)_{i \in I})} = 1 .\] (ceci posé) pour une telle relation, considérons les $\tilde{u}'_{i'}$ que j'écris pour simplifier \[u'_{i'_1}\, u'_{i'_2} \cdots u'_{i'_n} = 1\] considérons les flèches de $\widetilde{\mathcal{T}}$, dans les $\tilde{u}'_{i'_1}, \ldots, \tilde{u}'_{i'_n}$ de $\widetilde{\mathcal{T}}$, qui ne sont pas nécessairement composables \[(9) \qquad \tilde{s}_{i'_n} \to \tilde{t}_{i'_n} \quad \tilde{s}_{i'_{n-1}} \to \tilde{t}_{i'_{n-1}} \quad \cdots \quad \tilde{s}_{i'_2} \to \tilde{t}_{i'_2} \quad \tilde{s}_{i'_1} \to \tilde{t}_{i'_1}\] choisissons, pour tout Supposons qu'on ait une famille de « flèches »-fibres $(a_j)$ $a_j$ \[(10) \qquad (a_j)_{j \in J}, \qquad a_j \in \operatorname{Fl}(\widetilde{\mathcal{T}})\] dans $\widetilde{\mathcal{T}}$, telles que pour tt $s \in \operatorname{Ob}\mathcal{T}$,

84les $a_j$ qui sont dans $\widetilde{\mathcal{T}}_s$ forment une famille génératrice de flèches de $\widetilde{\mathcal{T}}_s$ — ce qui implique que tous les sommets de $\widetilde{\mathcal{T}}$ sont parmi les […] origines et extrémités des $a_j$. De l'hypothèse […] Supposons que $\forall\, \alpha$, les […] des flèches $\tilde{u}'_{i'_{\alpha,\nu}}$ $(p \leq \nu \leq n_\alpha)$ de $\widetilde{\mathcal{T}}$, $\{\tilde{t}_{i'_n}, \tilde{s}_{i'_{n-1}}\}$, …, $\{\tilde{t}_{i'_2}, \tilde{s}_{i'_1}\}$ dans (9), qui sont qui (par ⌜suppl. de⌝ composabilité de la suite ⌜des⌝ $u'_{i'}$), sont contenues chacune figurant dans (9), sont contenus chacun dans un même groupoïde fibre de $\widetilde{\mathcal{T}}$ sur $\mathcal{T}$, soient contenus dans une même composante connexe de la catégorie fibre correspondante. L'hyp. sur (10) implique donc qu'il existe dans $\widetilde{\mathcal{T}}$ un mot […] composable en les $\tilde{a}_j$, qui joigne $\tilde{t}_{i'_n}$ à $\tilde{s}_{i'_{n-1}}$, etc. :

Diagramme (11), sur deux lignes ; les flèches étiquetées $M_{\alpha,\ldots}((a_j))$ sont ondulées sur la page.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\tilde{s}_{i'_n} \arrow[r, "u'_{i'_n}"] & \tilde{t}_{i'_n} \arrow[r, "M_{\alpha,i_n}((a_j))"] & \tilde{s}_{i'_{n-1}} \arrow[r, "u'_{i'_{n-1}}"] & \tilde{t}_{i'_{n-1}} \arrow[r, "M_{\alpha,i_{n-1}}((a_j))"] & \cdots
\end{tikzcd}

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\cdots & \tilde{s}_{i'_2} \arrow[r] & \tilde{t}_{i'_2} \arrow[r, "M_{\alpha,2}((a_j))"] & \tilde{s}_{i'_1} \arrow[r, "u'_{i'_1}"] & \tilde{t}_{i'_1}
\end{tikzcd}

85La flèche composée de (11) est alors une flèche $\tilde{s}_{i'_n} \to \tilde{t}_{i'_1}$ qui se trouve dans […] une catégorie fibre, ⌜la flèche apparaissant […]⌝ […] trouvons un mot ⌜$M_{\alpha,i_1}$⌝ en les $a_j$ tels que $M$ \[M_{\alpha,1}((a_j)) : \tilde{t}_{i'_1} \rightsquigarrow \tilde{s}_{i'_n}\] et que le composé de la flèche celle-ci avec la précédente soit l'identité : \[(12) \qquad \boxed{\begin{gathered} M_{\alpha,1}((a_j))\, u'_{i'_{\alpha,1}}\, M_{\alpha,2}((a_j))\, u'_{i'_{\alpha,2}} \cdots \\ \cdots M_{\alpha,i'_{\alpha,n_\alpha}}((a_j))\, u'_{i'_{\alpha,n_\alpha}} = 1 \end{gathered}}\] relation (8) « remontée »

Supposons donné de plus une […] ⌜famille⌝ de relations sur les flèches-fibres $a_j$ \[(13) \qquad \boxed{N'_\beta((a_j)) = 1}\] telles que celles de ces relations qui sont relations dans une catégorie-fibre fixée $\widetilde{\mathcal{T}}_s$, soient définissantes pour celle-ci famille génératrice (compte tenu […] de flèches […] $(a_j)$). Supposons Supposons enfin que pour tt $\tilde{s} \in \widetilde{S}$, les flèches flèches $a_j$ qui sont des lacets en $\tilde{s}$ forment une

86syst. de générateurs du ⌜groupe $\operatorname{Aut}_{\widetilde{\mathcal{T}}_s}(\tilde{s})$, où $\widetilde{\mathcal{T}}_s$ est⌝ la catégorie fibre, et donnons-nous de plus, pour tt $a_{j_0}$ qui est un lacet, et tout $u_i$ qui a même origine $\tilde{s}$ que $a_{j_0}$, une relation \[(14) \qquad \boxed{\underbrace{\tilde{u}_i(a_{j_0})}_{\substack{\text{flèche de la}\\ \text{catégorie fibre}\\ \text{contenant ext.}(\tilde{u}_i)}} = M''_{i,j}((a_j))} .\] Cela […] posé, je dis que (12) (13) (14) est un syst. de relations définissant pour $\mathcal{T}$. On attendrait $\widetilde{\mathcal{T}}$ ; la page porte le $\mathcal{T}$ sans tilde. Le reste de la page est blanc, et l'argument s'arrête là : la page 87 est blanche, et la page 88 ouvre un autre développement.

Généralités sur les groupoïdes

Titre de sa main, souligné, en tête de la page 88.

88Soient […] ⌜$C, C'$⌝ des groupoïdes, et \[(1) \qquad f : C' \longrightarrow C\] un morphisme, enfin $\pi$ un groupe abélien ⌜(non nécessairement abélien)⌝. On dit que $f$ est une ⌜cofibr. surjective⌝ $\pi$-fibration ⌜(si⌝ ⌜bijective)⌝

a) $f$ est ⌜ent⌝ surjection ⌜sur les objets, et (sur les flèches)⌝ ⌜bijective […]⌝ […]

b) Les fibres de $f$ (qui sont des groupoïdes connexes) sont munies d'une structure de $\pi$-groupoïdes connexes […], i.e. le groupe fondamental est commutatif, et on donne un isomorphisme entre celui-ci et $\pi$.

Donc on a un homomorphisme de groupes \[(2) \qquad \pi \longrightarrow \operatorname{End}(\mathrm{id}_{C'})\] i.e. $\pi$ opère fonctoriellement sur tt objet de $C'$, et on a une suite exacte \[1 \longrightarrow \pi \longrightarrow \operatorname{Aut}_{C'}(x) \longrightarrow \operatorname{Aut}_{C'}(f(x)) \longrightarrow 1 .\] Le dernier groupe est écrit $\operatorname{Aut}_{C'}$ sur la page ; on attendrait $\operatorname{Aut}_C$.

(3) Les données (1), (2), satisfaisant : la surjectivité de $f$ sur les objets […] bijectivité de $\pi_0(f)$ […] $\pi_0$ […], […] plus la bijectivité de $\pi_0(f)$ […] — […] strictes si de plus $f$ est surjective sur les objets. \[\pi_0(f) : \pi_0(C) \xrightarrow{\;\sim\;} \pi_0(C') .\]

(4) Ex Soient $U$ un groupe top. […] connexe et loc. 1-connexe, $P$ un $U_T$-torseur sur un espace $T$,

qui fait de $C'$ une extension de $C$ par $\pi$ l'extension est ici néc. centrale ; si on veut des cat. (3) plus générales, non nécessairement centrales, il faut remplacer le groupe constant $\pi$ par un syst. local de gr. sur $C$ […] on peut […]

89alors pour les comp. connexes $T_i$ de $T$, \[\text{\struck{$\pi_1(P_i, x_i) \to$}}\] \[\text{\struck{\ill{}}}\quad \pi \longrightarrow \pi_1(P_i, x_i) \longrightarrow \pi_1(T_i, t_i) \longrightarrow 1\] où $\pi = \pi_1(U, 1)$, supposons que les homomorphismes $\pi \to \pi_1(P_i, x_i)$ soient injectifs, alors \[\Pi_1(p) : \Pi_1(P) \longrightarrow \Pi_1(T)\] est muni d'une $\pi$-structure. (Si $\pi \to \pi_1(P_i, x_i)$ était n'est pas supposé injectif, ⌜et⌝ que son noyau $N_i$ est indép. de $i$, $\Pi_1(p)$ est […] une $\pi'$-fibration, $\pi' = \pi / N_i$.)

Soit, dans l'exemple précédent, $E$ un ensemble commutatif sur qui opère un groupe […] $\mu$, \[(6) \qquad \mu \xrightarrow{\;i_\mu\;} U\] un hom. de groupes, et \[(7) \qquad E \xrightarrow{\;i_E\;} P\] une application, compatible avec les opérations de $\mu$. Si on regarde le groupoïde groupoïde $C'$ sur $E$ comme ens. d'objets, induit par $\Pi_1(P)$ et (7),

$x_i \in P_i = P | T_i$, $t_i$ image dans $T_i$ (5) $p : P \to T$ surjectif […] à fibres connexes […] NB Si on suppose $U$ connexe […] $\pi_1(U, 1)$ […] $\pi_1(U_T)$ […] localement constant […] $\pi_1(P)$ […] $\pi_0$-structure […] L'ensemble $E$ est tracé d'une lettre appuyée, distincte du $\mathcal{E}$ cursif qu'il emploie à partir de la page 91 pour l'extension (13) ; la transcription garde la distinction. NB comme $\mu$ opère librement sur $P$, il faut que $i_\mu$ soit injectif, et que $\mu$ opère librement sur $S$. Les notes de la marge gauche sont écrites en biais et en partie recouvertes ; seuls les fragments lisibles sont donnés.

90\[(8) \qquad \operatorname{Hom}_{C'}(x, y) = \operatorname{Hom}_{\Pi_1(P)}(i_E(x), i_E(y)) \qquad x, y \in E\] On voit par transport de structure que $\mu$ opère sur $C'$, de façon que \[C' \longrightarrow \Pi_1(P)\] soit compatible avec les op. de $\mu$.

Considérons l'application \[(9) \qquad E_0 = E/\mu \xrightarrow{\;i_{E_0}\;} T = P/U\] induite par passage aux quotients, et soit […] $C$ le groupoïde sur $E_0$ comme ens. d'objets induit par $i_{E_0}$ : \[(10) \qquad \operatorname{Hom}_C(x_0, y_0) = \operatorname{Hom}_{\Pi_1(T)}(i_{E_0}(x_0), i_{E_0}(y_0)) .\] On trouve alors un diagramme commutatif d'hom. de groupoïdes Diagramme (11). Sur la flèche horizontale du haut et à côté de $f$ figurent deux mentions biffées, illisibles.

LaTeX source

\begin{tikzcd}
C' \arrow[r] \arrow[d, "f"'] & \Pi_1(P) \arrow[d] \\
C \arrow[r] & \Pi_1(T)
\end{tikzcd}

compatible avec les op. de $\mu$, en faisant

les flèches horiz. sont des équivalences, si $E \to \pi_0(T)$ surjectif …

91opérer $\mu$ trivialement sur $C$ et sur $\Pi_1(T)$.

On en déduit les op. de $\mu$ sur $\Pi_1(P)$ resp. sur $C'$ avec la $\pi$-structure sur $\Pi_1(p)$, celle de $f$ qui s'en déduit par transport de structure. Considérons pour ceci la suite exacte \[(12) \qquad 0 \longrightarrow \pi \longrightarrow \widetilde{U} \longrightarrow U \longrightarrow 0\] et son image inverse par (6), d'où \[(13) \qquad 0 \longrightarrow \pi \longrightarrow \mathcal{E} \longrightarrow \mu \longrightarrow 0 \qquad \text{ext.\ \uncertain{commutative}}\] On suppose Supposons que $\mu$ Soient $x, y$ deux points de $E$ […] qui ⌜i.e. dans⌝ ⌜une même fibre $C'_\xi$ de $C'$⌝ […] soient congrus mod $\mu$, (donc on suppose que […] $\mu$ opère librement sur $E$ (cela équivaut à $i_E$ injectif). Je dis qu'on a alors un isom. canonique de $\pi$-torseurs \[(14) \qquad \operatorname{Isom}_{C'_\xi}(x, y) \simeq \mathcal{E}_{y - x}\] où $y - x$ est l'unique $z \in \mu$ tel que $y = z \cdot x$, et où $\mathcal{E}_z$ désigne la fibre de l'ext. $\mathcal{E}$ (13) sur l'élément $z \in \mu$. Cet isom. (14) est compatible avec la composition dans $C'_\xi$, qui correspond à l'addition dans $\mathcal{E}$.

92En d'autres termes, on trouve un isom. ⌜de $\pi$-groupoïdes⌝ \[(15) \qquad C'_\xi \simeq \mathcal{E}(E_\xi)\] avec les notations introduites plus haut, où $E_\xi$ est le $\mu$-torseur image inverse de $\xi \in E_0 = \operatorname{Ob} C$ par $E \to E_0 = E/\mu$.

De façon générale, étant donné une extension ⌜centrale⌝ de groupes commutatif $\mathcal{E}$ (13), une […] $(\pi, \mu)$-fibration ⌜(stricte)⌝ de groupoïdes subordonnée : l'extension (13), consiste en un hom. de groupoïdes \[(16) \qquad f : C' \longrightarrow C\] muni

2°) D'une op. ⌜(externe)⌝ de $\mu$ sur $C'$, de façon ⌜compatible avec les $\pi$-opérations internes⌝

1°) D'une op. (internes) de $\pi$ sur $C'$, i.e. d'un hom \[\pi \longrightarrow \text{\struck{$\operatorname{Aut}$}}\,(\mathrm{id}_{C'})\] satisfaisant les conditions suivantes Une accolade réunit 2°) et 1°) et les renvoie par une flèche à « satisfaisant les conditions suivantes ».

a) La structure 1°) fait de $f$ une ⌜$\pi$-⌝fibration stricte, en particulier […] contenue […] (13), et bijectivité de $\pi_0(f)$ [$+$ surjectivité de $f$ sur les objets, qu'il faut préciser]

93b) […] $f$ est compatible avec opérations de $\mu$, quand on fait opérer $\mu$ trivialement sur $C$ […].

c) $\mu$ opère librement sur $\operatorname{Ob} C'$, et $\operatorname{Ob} C'/\mu \to \operatorname{Ob} C$ est bijectif ($\Rightarrow f$ surjectif sur les objets)

d) Exactement Condition à examiner, sur la structure des catégories fibres $C'_\xi$ $(\xi \in \operatorname{Ob} C)$, en tant que $\pi$-⌜connexes⌝ groupoïdes […], avec groupe d'opérateurs $\mu$.

Soit $\Phi$ est un $\pi$-groupoïde ⌜0-connexe⌝, avec op. de $\mu$ sur $C'$ (compatible avec $\pi$ structure), tel que $\operatorname{Ob}\Phi$ soit un torseur sous $\mu$, soit $E$. Soient $x, y \in E$, et considérons $\operatorname{Hom}_\Phi(x, y)$, c'est un $\pi$-torseur, soit $H_{x,y}$, et on a, via l'op. de $\mu$ \[H_{x,y} \xrightarrow[\;\sim\;]{\;\alpha_*\;} H_{\alpha x, \alpha y} \qquad \alpha \in \mu\] On trouve un système transitif d'isom. entre les $H_{x,y}$ pour lesquels $y^{-1} x = u \in \mu$ est fixé ; donc par là identifiés entre eux à un $H_u$. […] La composition des homomorphismes s'exprime par des isom. canoniques \[H_u \wedge H_v \xrightarrow{\;\sim\;} H_{uv}\] satisfaisant la condition d'associativité ⌜d'unité⌝, qu'il

94faut pour définir une extension \[1 \longrightarrow \pi \longrightarrow \underbrace{\mathcal{E}_\Phi}_{\substack{\Phi \text{ avec sa}\\ (\pi,\mu)\text{ structure}}} \longrightarrow \mu \longrightarrow 1\] CQFD (on n'a pas utilisé la commutativité de $\mu$ encore) — et ⌜inversement,⌝ une telle ⌜une⌝ extension (pas nécessairement commutative) \[1 \longrightarrow \pi \longrightarrow \mathcal{E} \longrightarrow \mu \longrightarrow 1\] plus la donnée d'un torseur $E$ sous $\mu$, permet de construire canoniquement un $\pi$-groupoïde $\Phi = \mathcal{E}(E)$, plus (par transport de structure) une opération de $\mu$ sur $\Phi = \mathcal{E}(E)$. En résumé, on a une une équivalence de catégories \[(17) \qquad \left[\begin{array}{l} \pi\text{-groupoïdes conn.\ } \Phi\text{, avec}\\ \text{op.\ du groupe } \mu \text{ sur}\\ (\Phi, \pi)\text{, tel que } \operatorname{Ob}\Phi\\ \text{soit un } \mu\text{-torseur} \end{array}\right] \xrightarrow{\;\approx\;} \left[\begin{array}{l} \text{extensions de}\\ \mu \text{ par } \pi \end{array}\right]\] « conn. $\Phi$ » est ajouté par lui au-dessus de la ligne. Les crochets sont de l'éditeur ; sur la page les deux catégories sont écrites en colonnes de part et d'autre de la flèche.

Ceci dit, l'extension (13) étant donnée une fois pour toutes, on dit qu'on a une $\mathcal{E}(\pi, \mu)$ structure sur $C'$ au-dessus de $C$, si […] ⌜en⌝ plus des conditions a) b) c)) pour tout $\xi \in \operatorname{Ob} C$ on se donne un iso. entre

Pour les hyp. faites, cette extension est centrale, mais […] pour opérer $\mu$ non trivialement sur $\pi$ … la commutativité de $\pi$ […] torseurs […] simplifie […]

95l'extension $\mathcal{E}_{C'_\xi}$ de $\mu$ ⌜$\mu$⌝ par $\pi$, et l'extension $\mathcal{E}$, avec une condition de passage d'un […] $\xi$ à un autre, je présume, pour $\xi_1, \xi_2 \in \operatorname{Ob} C$ dans une même composante connexe de $C$.

Pour préciser ce point, je vais m'inspirer de l'exemple précédent avec $C'$, $C$ décrits en termes de $P/T$ et des […]homomorphismes \[E \longrightarrow P, \qquad \mu \longrightarrow U,\] en notant que l'on a alors un diagramme commutatif

LaTeX source

\begin{tikzcd}
E \arrow[r] \arrow[d] & P \arrow[d, "q"] \\
E/\mu = E_0 \arrow[r] & P_0 = P/\mu
\end{tikzcd}

Après $P_0 = P/\mu$, une mention biffée, illisible. Notons que pour $P_0$ est un $U_0$-torseur sur $T$, avec \[(19) \qquad U_0 = U/\mu\] et par suite on a $\widetilde{U}_0 = \widetilde{U}$ et un iso can. \[(20) \qquad \mathcal{E} \simeq \pi_1(U_0, 1_{U_0}) .\] Le $\mathcal{E}$ est écrit au-dessus d'un $\Pi$ biffé. Par suite, […] $\Pi_1(P_0)$ est muni d'une

On suppose $\mu \hookrightarrow U$ (18), et $\mu$ distingué dans $U$ NB On a donc $C$ : […] quotient […] $C \simeq C'/\mathcal{E}(\pi, \mu)$ […]

96$\mathcal{E}$-structure \[(21) \qquad \mathcal{E} \longrightarrow \operatorname{Aut} \mathrm{id}_{\Pi_1(P_0)}\] d'où si $x_0, y_0 \in P_0$, $\mathcal{E}$ opère librement sur $\operatorname{Hom}_{\Pi_1(P_0)}(x_0, y_0)$ à droite (via son op. sur $x$) et à gauche (via son opération sur $y$), les deux structures étant se correspondant entre elles via la […] formule ($\ell \in \operatorname{Hom}(x_0, y_0)$, $\gamma \in \pi$) \[\ell \cdot \gamma_{x_0} = {}^{\ell}\gamma_{y_0} \cdot \ell \qquad \text{où } {}^{\ell}\gamma_{y_0} = \ell \cdot \gamma \cdot \ell^{-1}\] Dans le premier membre, un symbole biffé précède le ${}^{\ell}\gamma_{y_0}$.

—-

Si $x, y \in P$, alors L'image inverse du groupoïde $\Pi_1(P_0)$ […] par l'application ⌜$P \to P_0$⌝ […] sur l'ens. des objets est $\Pi_1(P) \wedge_\pi \mathcal{E}$. Donc il est clair que l'image inverse de $\Pi_1(P_0)$ par la composée \[E \longrightarrow P \xrightarrow{\;q\;} P_0\] structure s'identifie au $\mathcal{E}$-groupoïde […] $C' \wedge_\pi \mathcal{E}$, et alors le ⌜que […], s'obtient […]⌝ […] ⌜dérivant⌝ : partir du groupoïde $C_0$ image inverse de $\Pi_1(P_0)$ par l'application $E_0 \to P_0$. J'ai dit que celle-ci peut se construire de façon purement algébrique en termes de $C'$ muni des structures de $\pi$-groupoïde et de ⌜groupe d'opérateurs⌝ $\mu$, et de la structure d'ext. (13) ⌜en effet⌝ comme Un double trait vertical, dans la marge gauche, borde les cinq dernières lignes.

97$\mu$ opère sur $\mathcal{E}$ de façon compatible avec son opération (triviale ici) sur $\pi$, il opère sur $C' \wedge_\pi \mathcal{E}$ par transport de structure, en opérant librement sur \[\operatorname{Ob}(C' \wedge_\pi \mathcal{E}) = \operatorname{Ob} C' \overset{\mathrm{def}}{=} E' ,\] donc on voit que sur le ⌜bien⌝ quotient $\varepsilon = \varepsilon'/\mu$, il y a une structure de $\pi$⌜$\mathcal{E}$⌝-groupoïde — plus de doute, c'est $C_0$ ! Le premier membre de la formule centrée est écrit sur un mot biffé ; après « def » un premier $E'$ est biffé. Dans « $\varepsilon = \varepsilon'/\mu$ » la lettre est petite, sans qu'on puisse dire si c'est le $E$ des objets ou un $\varepsilon$.

Inversement, partons d'un ⌜$\mathcal{E}$-⌝groupoïde \[C_0 \quad \text{\struck{$\longrightarrow$}}\] La page s'arrête là ; le reste est blanc.

cf. démonstration plus haut

98Page de notes disposées en deux colonnes : à gauche des schémas, à droite un texte numéroté ; en bas un nouveau départ, au-dessus d'une base $T$. L'ordre suivi ici est : colonne de gauche, colonne de droite, bas de page.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & P \arrow[d, no head] & U \arrow[d] \\
E_0 \arrow[r] & P/\mu = P_0 \arrow[d] & U_0 = U/\mu \\
 & T &
\end{tikzcd}

À côté de $P_0$ un mot biffé ; sous la flèche verticale de gauche, le $T$ est écrit sur une lettre biffée. \[1 \longrightarrow \mathcal{E} \longrightarrow G_0 \longrightarrow G \longrightarrow 1, \qquad G_0 = \pi_1(P_0), \quad G = \pi_1(T)\] avec $\mathcal{E} \to \mu$ et $\varphi : G_0 \to \mu$ dans le schéma, une flèche verticale descend de $\mathcal{E}$ à $\mu$ et une flèche oblique $\varphi$ va de $G_0$ à $\mu$ ; « $G_0 = \pi_1(P_0)$ » et « $G = \pi_1(T)$ » sont écrits sous $G_0$ et $G$ avec des guillemets d'égalité. \[\text{i.e.\ on a} \quad \pi_{1,\mathrm{ab}}(C_0) \longrightarrow \mu\] \[\text{\struck{$\operatorname{Ker}\varphi$}} \qquad 1 \longrightarrow \pi \longrightarrow \operatorname{Ker}\varphi \xrightarrow{\;\mathrm{surj}\;} G \longrightarrow 1\]

1°) Une structure de $\mathcal{E}$-groupoïde (central) ⌜$C_0$⌝ sur $E_0$ comme ens. d'objets

2°) $C$ fournit un prolongement de $P_{q_0} \to T$ comme $U_0$-torseur, et $E_0 \to P_0$ par morphismes des pts par groupoïde fondamental

2°) Un fibré $\mu$-rev. principal $P$ $E$ de $E_0$, défini par un système local sur $C_0$ sur $P_0$, avec op. de translation de $\mu$ dessus (de façon que $C_0 \simeq C/\mu$), l'homomorphisme \[\pi_1(C_0, x_0) \longrightarrow \mu \simeq \operatorname{Aut}(E_{x_0})\] prolongeant ⌜$\uparrow \mathcal{E}$⌝ l'homomorphisme de passage au quotient $\mathcal{E} \to \mu$

\[P \xrightarrow{\;f\;} T\] $P$ […] torseur sous le faisceau en groupes top. localement […] $U_T$ (syst. local des $\pi_1(U_t)$) est $\Pi_T$ \[f^*(\Pi_T) \text{ \struck{\ill{}} opère sur } \Pi_1 P, \qquad f^*(\Pi_T) \longrightarrow \operatorname{Int} \Pi_1 P, \qquad \Pi_1 P \longrightarrow \Pi_1 T\] $\gamma_T$ un sous-faisceau en groupes inv. de $U_T$ (central commutatif) \[U_{0T} = U_T / \gamma_T \qquad \text{syst.\ local des } \pi_1 \text{ est } \mathcal{E}_T\] \[0 \longrightarrow \Pi_T \longrightarrow \mathcal{E}_T \longrightarrow \gamma_T \longrightarrow 1\]

99Nouveau départ, sans lien visible avec les pages 88 à 98 ; la lettre $\mathcal{T}$ est ici tracée avec un trait doublé, celle des groupoïdes de Teichmüller du titre du dossier.

$G$ graphe MD dont tous les sommets sont de genre 0 et d'ordre $\leq 4$ (donc 3 ou 4) \[S_0\mathcal{T}_G = \Bigl(\prod_{s \in S} \underbrace{S_0\mathcal{T}_{0,\hat{A}_s}}_{\substack{(\mathbf{Z}^{\hat{A}_s},\, \mu_2^{\hat{A}_s})\\ \text{-groupoïde}}} \Bigr) \wedge^{(\mathbf{Z}^{\hat{A}_s},\, \mu_2^{\hat{A}})} (\mathbf{Z}^{\hat{A}}, \mu_2^{\hat{A}})\] un $(\mathbf{Z}^{\hat{A}}, \mu_2^{\hat{A}})$-groupoïde libre, dont le quotient par $(\mathbf{Z}^I, \mu_2^I)$ est […] $S_0\mathcal{T}_G$, et dont le quotient par $(\mathbf{Z}^{\hat{A}}, \mu_2^{\hat{A}})$ est \[R_0\mathcal{T}_G = \prod_{s \in S} \underbrace{R_0\mathcal{T}_{G_s^b}}_{S_0\mathcal{T}_{G_s^b}} = \prod_{s \in S} \mathcal{T}_{0,\hat{A}_s}\] (où dans le produit, on peut se borner aux $s \in S$ d'ordre 4) Le premier membre de la formule ci-dessus est écrit sur un symbole biffé ; dans le premier $S_0\mathcal{T}_G$ de la page, l'exposant du produit $\wedge$ porte des signes partiellement biffés.

De façon générale, $S_0\mathcal{T}_G$ ($G$ graphe MD quelconque) est un $(\mathbf{Z}^{\hat{A}}, \mu_2^{\hat{A}})$-groupoïde ⌜$\mu_2^{\hat{A}}$-libre⌝ […] est un comme $\varinjlim$ ⌜(filtrante)⌝ de $(\mathbf{Z}^{\hat{A}}, \mu_2^{\hat{A}})$-groupoïdes ⌜$\mu_2^{\hat{A}}$-⌝libres, si $G$ de genre virtuel nul sur ses comp. connexes, si […] ⌜« rigide »⌝ la catégorie d'indices pour le $\varinjlim$ est […] — on peut sans artificialité prendre un ens. ordonné (celle des arbres ⌜finis⌝ réduits — i.e. sans sommets d'ordre 2 — qui sont du type $G^b$ i.e. … dont l'ens. des bouts sur les $\pi_0(-)$ …)

100Feuillet par ailleurs blanc ; deux lignes en haut à droite, d'une encre plus noire. Le dernier indice porte, après le $G$, un signe que nous ne savons pas identifier (dièse ou bécarre).

Hom de généralisation \[SP_G \longrightarrow SP_{G^{\natural}}\] L'argument de la page 99 s'arrête en bas de page, sur « … », et peut continuer au-delà du lot ; la page 100 n'en est pas la suite visible.