Fonds Grothendieck, cote n° 146, pages 81–100

Présentations de groupoïdes

Titre de l'éditeur. La page 81 ouvre le lot au milieu des notes ; rien n'y renvoie à une page antérieure, mais l'objet (relations définissantes d'un groupoïde) peut prolonger le lot précédent.

La page est barrée d'un long trait diagonal ; elle se lit néanmoins, et la page 82 reprend le même départ.

Cas d'un ~~groupoïde~~ homomorphisme de groupoïdes \widetilde{\mathcal{T}} \xrightarrow{\;p\;} \mathcal{T} qui est surjectif sur les \pi_0. On se donne une famille (\tilde{u}_i)_{i \in I} de flèches de \widetilde{\mathcal{T}}, ~~entre des objets~~ de projections u_i dans \mathcal{T}, et des relations encadré, avec un renvoi vers \mathcal{T} : (i_0'^{(\alpha)}, \ldots, i_{n_\alpha}'^{(\alpha)}) \in \bar{I}'^{\,n_\alpha} (\alpha \in A) (4) \qquad u'_{i'^{(\alpha)}_{n_\alpha}} \cdots u'_{i'^{(\alpha)}_{0}} = 1 \quad \text{dans } \mathcal{T} [pour le rôle des relations R_\alpha] (flèches composables dans \mathcal{T}, avec \operatorname{or}(u'_{i'_0}) = \operatorname{ext}(u'_{i'_n})). De plus, on se donne des ~~relations~~ flèches (a_j)_{j \in J} de \widetilde{\mathcal{T}} qui sont des « flèches fibres » (leurs projections dans \mathcal{T} des identités), ~~et des relations~~ d'où des a'_{j'} = a_j^{\pm 1} (j' \in J \times \{\pm 1\}), et des relations (5) \qquad a'_{j'^{(\beta)}_{n_\beta}}\, a'_{j'^{(\beta)}_{n_\beta - 1}} \cdots a'_{j'^{(\beta)}_0} = 1 où j'^{(\beta)} = (j_0'^{(\beta)}, \ldots, j_{n_\beta}'^{(\beta)}) \in J'^{\,n_\beta}, \beta \in B [pour le rôle des rel. S_\beta].

On suppose

1°) Les relations (4) sont une famille de relations définissant \mathcal{T}, ~~en générateurs~~ flèches génératrices u_i (i \in I) et \operatorname{Ob}\mathcal{T} (ce qui implique que tous les sommets et extr. des flèches de \mathcal{T} sont parmi les origines ~~des des (4)~~ (à fortiori \widetilde{\mathcal{T}} \to \mathcal{T} est surjectif sur les objets). et

d'où une famille de flèches \tilde{u}'_{i'} = \tilde{u}_i^{\pm 1} paramétrée par les i' \in \bar{I}' = I \times \{\pm 1\}, en posant \tilde{u}'_{(i,\varepsilon)} = \tilde{u}_i^{\varepsilon} — item pour NB d'indices \coprod_{n \in \mathbf{N}^*} B J'^{\,n}

Soit (1) \qquad \widetilde{\mathcal{T}} \longrightarrow \mathcal{T} un morphisme de groupoïdes, et (2) \qquad (\tilde{u}_i)_{i \in I} une famille de flèches de \widetilde{\mathcal{T}}, (3) \qquad (u_i)_{i \in I} la famille correspondante dans \mathcal{T}. On suppose que celle-ci est génératrice (donc \operatorname{Ob}\mathcal{T} est formé des origines et ext. des flèches u_i) et on se donne une famille de de relations définissantes de \mathcal{T}, en les flèches génératrices u_i. Cela se fait, techniquement, en introduisant l'ens. d'indices (4) \qquad I' = I \times \{\pm 1\} et en définissant, pour i' = (i, \varepsilon) \in I' (5) \qquad u'_{i'} = u_i^{\varepsilon} et en se donnant une famille \mathcal{R}_\alpha, de relations, paramétrée par un ens. d'indices A, d'éléments de l'ensemble somme (6) \qquad \hat{I}' = \coprod_{n \in \mathbf{N}^*} I'^{\,n} . Donc pour tt \alpha \in A, on a un n_\alpha \in \mathbf{N}^*,

et un (7) \qquad i'^{(\alpha)} \in I'^{\,n_\alpha}, \qquad i'^{(\alpha)} = (i'_{\alpha,1}, i'_{\alpha,2}, \ldots, i'_{\alpha,n_\alpha}) d'où une suite d'éléments u'_{i'_{\alpha,1}}, u'_{i'_{\alpha,2}}, \ldots, u'_{i'_{\alpha,n_\alpha}} \in \operatorname{Fl}\mathcal{T} qu'on suppose composables, et formant un lacet, et on considère les relations (8) \qquad \underbrace{u'_{i'_{\alpha,1}}\, u'_{i'_{\alpha,2}} \cdots u'_{i'_{\alpha,n_\alpha}}}_{M_\alpha((u_i)_{i \in I})} = 1 . (ceci posé) pour une telle relation, ~~considérons les \tilde{u}'_{i'}~~ que j'écris pour simplifier u'_{i'_1}\, u'_{i'_2} \cdots u'_{i'_n} = 1 considérons les flèches ~~de \widetilde{\mathcal{T}}, dans les~~ \tilde{u}'_{i'_1}, \ldots, \tilde{u}'_{i'_n} de \widetilde{\mathcal{T}}, qui ne sont pas nécessairement composables (9) \qquad \tilde{s}_{i'_n} \to \tilde{t}_{i'_n} \quad \tilde{s}_{i'_{n-1}} \to \tilde{t}_{i'_{n-1}} \quad \cdots \quad \tilde{s}_{i'_2} \to \tilde{t}_{i'_2} \quad \tilde{s}_{i'_1} \to \tilde{t}_{i'_1} ~~choisissons, pour tout~~ Supposons qu'on ait une famille de « flèches »-fibres ~~(a_j)~~ ~~a_j~~ (10) \qquad (a_j)_{j \in J}, \qquad a_j \in \operatorname{Fl}(\widetilde{\mathcal{T}}) dans \widetilde{\mathcal{T}}, telles que pour tt s \in \operatorname{Ob}\mathcal{T},

les a_j qui sont dans \widetilde{\mathcal{T}}_s forment une famille génératrice de flèches de \widetilde{\mathcal{T}}_s — ce qui implique que tous les sommets de \widetilde{\mathcal{T}} sont parmi les origines et extrémités des a_j. ~~De l'hypothèse~~ Supposons que \forall\, \alpha, ~~les des~~ ~~flèches \tilde{u}'_{i'_{\alpha,\nu}} (p \leq \nu \leq n_\alpha) de \widetilde{\mathcal{T}},~~ \{\tilde{t}_{i'_n}, \tilde{s}_{i'_{n-1}}\}, …, \{\tilde{t}_{i'_2}, \tilde{s}_{i'_1}\} dans (9), ~~qui sont~~ qui (par suppl. de composabilité de la suite des u'_{i'}), sont contenues chacune figurant dans (9), sont contenus chacun dans un même groupoïde fibre de \widetilde{\mathcal{T}} sur \mathcal{T}, soient contenus dans une même composante connexe de la catégorie fibre correspondante. L'hyp. sur (10) implique donc qu'il existe dans \widetilde{\mathcal{T}} un mot composable en les \tilde{a}_j, qui joigne \tilde{t}_{i'_n} à \tilde{s}_{i'_{n-1}}, etc. :

Diagramme (11), sur deux lignes ; les flèches étiquetées M_{\alpha,\ldots}((a_j)) sont ondulées sur la page.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \tilde{s}_{i'_n} \arrow[r, "u'_{i'_n}"] & \tilde{t}_{i'_n} \arrow[r, "M_{\alpha,i_n}((a_j))"] & \tilde{s}_{i'_{n-1}} \arrow[r, "u'_{i'_{n-1}}"] & \tilde{t}_{i'_{n-1}} \arrow[r, "M_{\alpha,i_{n-1}}((a_j))"] & \cdots \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \cdots & \tilde{s}_{i'_2} \arrow[r] & \tilde{t}_{i'_2} \arrow[r, "M_{\alpha,2}((a_j))"] & \tilde{s}_{i'_1} \arrow[r, "u'_{i'_1}"] & \tilde{t}_{i'_1} \end{tikzcd}

La flèche composée de (11) est alors une flèche \tilde{s}_{i'_n} \to \tilde{t}_{i'_1} qui se trouve dans une catégorie fibre, la flèche apparaissant trouvons un mot M_{\alpha,i_1} en les a_j tels que M M_{\alpha,1}((a_j)) : \tilde{t}_{i'_1} \rightsquigarrow \tilde{s}_{i'_n} et que le composé de ~~la flèche~~ celle-ci avec la précédente soit l'identité : (12) \qquad \boxed{\begin{gathered} M_{\alpha,1}((a_j))\, u'_{i'_{\alpha,1}}\, M_{\alpha,2}((a_j))\, u'_{i'_{\alpha,2}} \cdots \\ \cdots M_{\alpha,i'_{\alpha,n_\alpha}}((a_j))\, u'_{i'_{\alpha,n_\alpha}} = 1 \end{gathered}} relation (8) « remontée »

Supposons donné de plus une famille de relations sur les flèches-fibres a_j (13) \qquad \boxed{N'_\beta((a_j)) = 1} telles que celles de ces relations qui sont relations dans une catégorie-fibre fixée \widetilde{\mathcal{T}}_s, soient définissantes pour celle-ci ~~famille génératrice~~ (compte tenu de flèches (a_j)). ~~Supposons~~ Supposons enfin que pour tt \tilde{s} \in \widetilde{S}, les ~~flèches~~ flèches a_j qui sont des lacets en \tilde{s} forment une

syst. de générateurs du groupe \operatorname{Aut}_{\widetilde{\mathcal{T}}_s}(\tilde{s}), où \widetilde{\mathcal{T}}_s est la catégorie fibre, et donnons-nous de plus, pour tt a_{j_0} qui est un lacet, et tout u_i qui a même origine \tilde{s} que a_{j_0}, une relation (14) \qquad \boxed{\underbrace{\tilde{u}_i(a_{j_0})}_{\substack{\text{flèche de la}\\ \text{catégorie fibre}\\ \text{contenant ext.}(\tilde{u}_i)}} = M''_{i,j}((a_j))} . Cela posé, je dis que (12) (13) (14) est un syst. de relations définissant pour \mathcal{T}. On attendrait \widetilde{\mathcal{T}} ; la page porte le \mathcal{T} sans tilde. Le reste de la page est blanc, et l'argument s'arrête là : la page 87 est blanche, et la page 88 ouvre un autre développement.

Généralités sur les groupoïdes

Titre de sa main, souligné, en tête de la page 88.

Soient C, C' des groupoïdes, et (1) \qquad f : C' \longrightarrow C un morphisme, enfin \pi un groupe ~~abélien~~ (non nécessairement abélien). On dit que f est une cofibr. surjective \pi-fibration (si bijective)

a) f est ent surjection sur les objets, et (sur les flèches) bijective

b) Les fibres de f (qui sont des groupoïdes connexes) sont munies d'une structure de \pi-groupoïdes connexes , i.e. le groupe fondamental est commutatif, et on donne un isomorphisme entre celui-ci et \pi.

Donc on a un homomorphisme de groupes (2) \qquad \pi \longrightarrow \operatorname{End}(\mathrm{id}_{C'}) i.e. \pi opère fonctoriellement sur tt objet de C', et on a une suite exacte 1 \longrightarrow \pi \longrightarrow \operatorname{Aut}_{C'}(x) \longrightarrow \operatorname{Aut}_{C'}(f(x)) \longrightarrow 1 . Le dernier groupe est écrit \operatorname{Aut}_{C'} sur la page ; on attendrait \operatorname{Aut}_C.

(3) Les données (1), (2), satisfaisant : la ~~surjectivité de f sur les objets~~ ~~bijectivité de \pi_0(f) \pi_0~~ , plus la bijectivité de \pi_0(f) — strictes si de plus f est surjective sur les objets. \pi_0(f) : \pi_0(C) \xrightarrow{\;\sim\;} \pi_0(C') .

(4) Ex Soient U un groupe top. connexe et loc. 1-connexe, P un U_T-torseur sur un espace T,

qui fait de C' une extension de C par \pi l'extension est ici néc. centrale ; si on veut des cat. (3) plus générales, non nécessairement centrales, il faut remplacer le groupe constant \pi par un syst. local de gr. sur C on peut

alors pour les comp. connexes T_i de T, \text{\struck{$\pi_1(P_i, x_i) \to$}} \text{\struck{\ill{}}}\quad \pi \longrightarrow \pi_1(P_i, x_i) \longrightarrow \pi_1(T_i, t_i) \longrightarrow 1 où \pi = \pi_1(U, 1), supposons que les homomorphismes \pi \to \pi_1(P_i, x_i) soient injectifs, alors \Pi_1(p) : \Pi_1(P) \longrightarrow \Pi_1(T) est muni d'une \pi-structure. (Si \pi \to \pi_1(P_i, x_i) ~~était~~ n'est pas supposé injectif, et que son noyau N_i est indép. de i, \Pi_1(p) est une \pi'-fibration, \pi' = \pi / N_i.)

Soit, dans l'exemple précédent, E un ensemble ~~commutatif~~ sur qui opère un groupe \mu, (6) \qquad \mu \xrightarrow{\;i_\mu\;} U un hom. de groupes, et (7) \qquad E \xrightarrow{\;i_E\;} P une application, compatible avec les opérations de \mu. Si on regarde le ~~groupoïde~~ groupoïde C' sur E comme ens. d'objets, induit par \Pi_1(P) et (7),

x_i \in P_i = P | T_i, t_i image dans T_i (5) p : P \to T surjectif à fibres connexes NB Si on suppose U connexe \pi_1(U, 1) \pi_1(U_T) localement constant \pi_1(P) \pi_0-structure L'ensemble E est tracé d'une lettre appuyée, distincte du \mathcal{E} cursif qu'il emploie à partir de la page 91 pour l'extension (13) ; la transcription garde la distinction. NB comme \mu opère librement sur P, il faut que i_\mu soit injectif, et que \mu opère librement sur S. Les notes de la marge gauche sont écrites en biais et en partie recouvertes ; seuls les fragments lisibles sont donnés.

(8) \qquad \operatorname{Hom}_{C'}(x, y) = \operatorname{Hom}_{\Pi_1(P)}(i_E(x), i_E(y)) \qquad x, y \in E On voit par transport de structure que \mu opère sur C', de façon que C' \longrightarrow \Pi_1(P) soit compatible avec les op. de \mu.

Considérons l'application (9) \qquad E_0 = E/\mu \xrightarrow{\;i_{E_0}\;} T = P/U induite par passage aux quotients, et soit C le groupoïde sur E_0 comme ens. d'objets induit par i_{E_0} : (10) \qquad \operatorname{Hom}_C(x_0, y_0) = \operatorname{Hom}_{\Pi_1(T)}(i_{E_0}(x_0), i_{E_0}(y_0)) . On trouve alors un diagramme commutatif d'hom. de groupoïdes Diagramme (11). Sur la flèche horizontale du haut et à côté de f figurent deux mentions biffées, illisibles.

\begin{tikzcd} C' \arrow[r] \arrow[d, "f"'] & \Pi_1(P) \arrow[d] \\ C \arrow[r] & \Pi_1(T) \end{tikzcd}

compatible avec les op. de \mu, en faisant

les flèches horiz. sont des équivalences, si E \to \pi_0(T) surjectif …

opérer \mu trivialement sur C et sur \Pi_1(T).

On en déduit les op. de \mu sur \Pi_1(P) resp. sur C' avec la \pi-structure sur \Pi_1(p), celle de f qui s'en déduit par transport de structure. Considérons pour ceci la suite exacte (12) \qquad 0 \longrightarrow \pi \longrightarrow \widetilde{U} \longrightarrow U \longrightarrow 0 et son image inverse par (6), d'où (13) \qquad 0 \longrightarrow \pi \longrightarrow \mathcal{E} \longrightarrow \mu \longrightarrow 0 \qquad \text{ext.\ \uncertain{commutative}} ~~On suppose~~ ~~Supposons que \mu~~ Soient x, y deux points de E qui i.e. dans une même fibre C'_\xi de C' soient congrus mod \mu, (~~donc~~ on suppose que \mu opère librement sur E (cela équivaut à i_E injectif). Je dis qu'on a alors un isom. canonique de \pi-torseurs (14) \qquad \operatorname{Isom}_{C'_\xi}(x, y) \simeq \mathcal{E}_{y - x} où y - x est l'unique z \in \mu tel que y = z \cdot x, et où \mathcal{E}_z désigne la fibre de l'ext. \mathcal{E} (13) sur l'élément z \in \mu. Cet isom. (14) est compatible avec la composition dans C'_\xi, qui correspond à l'addition dans \mathcal{E}.

En d'autres termes, on trouve un isom. de \pi-groupoïdes (15) \qquad C'_\xi \simeq \mathcal{E}(E_\xi) avec les notations introduites plus haut, où E_\xi est le \mu-torseur image inverse de \xi \in E_0 = \operatorname{Ob} C par E \to E_0 = E/\mu.

De façon générale, étant donné une extension centrale de groupes ~~commutatif~~ \mathcal{E} (13), une (\pi, \mu)-fibration (stricte) de groupoïdes subordonnée : l'extension (13), consiste en un hom. de groupoïdes (16) \qquad f : C' \longrightarrow C ~~muni~~

2°) D'une op. (externe) de \mu sur C', ~~de façon~~ compatible avec les \pi-opérations internes

1°) D'une op. (internes) de \pi sur C', i.e. d'un hom \pi \longrightarrow \text{\struck{$\operatorname{Aut}$}}\,(\mathrm{id}_{C'}) satisfaisant les conditions suivantes Une accolade réunit 2°) et 1°) et les renvoie par une flèche à « satisfaisant les conditions suivantes ».

a) La structure 1°) fait de f une \pi-fibration stricte, en particulier contenue (13), et bijectivité de \pi_0(f) [+ surjectivité de f sur les objets, qu'il faut préciser]

b) f est compatible avec opérations de \mu, quand on fait opérer \mu trivialement sur C .

c) \mu opère librement sur \operatorname{Ob} C', et \operatorname{Ob} C'/\mu \to \operatorname{Ob} C est bijectif (\Rightarrow f surjectif sur les objets)

d) ~~Exactement~~ Condition à examiner, sur la structure des catégories fibres C'_\xi (\xi \in \operatorname{Ob} C), en tant que \pi-connexes groupoïdes , avec groupe d'opérateurs \mu.

Soit \Phi ~~est~~ un \pi-groupoïde 0-connexe, avec op. de \mu sur C' (compatible avec \pi structure), tel que \operatorname{Ob}\Phi soit un torseur sous \mu, soit E. Soient x, y \in E, et considérons \operatorname{Hom}_\Phi(x, y), c'est un \pi-torseur, soit H_{x,y}, et on a, via l'op. de \mu H_{x,y} \xrightarrow[\;\sim\;]{\;\alpha_*\;} H_{\alpha x, \alpha y} \qquad \alpha \in \mu On trouve un système transitif d'isom. entre les H_{x,y} pour lesquels y^{-1} x = u \in \mu est fixé ; donc par là identifiés entre eux à un H_u. La composition des homomorphismes s'exprime par des isom. canoniques H_u \wedge H_v \xrightarrow{\;\sim\;} H_{uv} satisfaisant la condition d'associativité d'unité, qu'il

faut pour définir une extension 1 \longrightarrow \pi \longrightarrow \underbrace{\mathcal{E}_\Phi}_{\substack{\Phi \text{ avec sa}\\ (\pi,\mu)\text{ structure}}} \longrightarrow \mu \longrightarrow 1 CQFD (on n'a pas utilisé la commutativité de \mu encore) — et inversement, ~~une telle~~ une extension (pas nécessairement commutative) 1 \longrightarrow \pi \longrightarrow \mathcal{E} \longrightarrow \mu \longrightarrow 1 plus la donnée d'un torseur E sous \mu, permet de construire canoniquement un \pi-groupoïde \Phi = \mathcal{E}(E), plus (par transport de structure) une opération de \mu sur \Phi = \mathcal{E}(E). En résumé, on a ~~une~~ une équivalence de catégories (17) \qquad \left[\begin{array}{l} \pi\text{-groupoïdes conn.\ } \Phi\text{, avec}\\ \text{op.\ du groupe } \mu \text{ sur}\\ (\Phi, \pi)\text{, tel que } \operatorname{Ob}\Phi\\ \text{soit un } \mu\text{-torseur} \end{array}\right] \xrightarrow{\;\approx\;} \left[\begin{array}{l} \text{extensions de}\\ \mu \text{ par } \pi \end{array}\right] « conn. \Phi » est ajouté par lui au-dessus de la ligne. Les crochets sont de l'éditeur ; sur la page les deux catégories sont écrites en colonnes de part et d'autre de la flèche.

Ceci dit, l'extension (13) étant donnée une fois pour toutes, on dit qu'on a une \mathcal{E}(\pi, \mu) structure sur C' au-dessus de C, si en plus des conditions a) b) c)) pour tout \xi \in \operatorname{Ob} C on se donne un iso. entre

Pour les hyp. faites, cette extension est centrale, mais pour opérer \mu non trivialement sur \pi … la commutativité de \pi torseurs simplifie

l'extension \mathcal{E}_{C'_\xi} de ~~\mu~~ \mu par \pi, et l'extension \mathcal{E}, avec une condition de passage d'un \xi à un autre, je présume, pour \xi_1, \xi_2 \in \operatorname{Ob} C dans une même composante connexe de C.

Pour préciser ce point, je vais m'inspirer de l'exemple précédent avec C', C décrits en termes de P/T et des homomorphismes E \longrightarrow P, \qquad \mu \longrightarrow U, en notant que l'on a alors un diagramme commutatif

\begin{tikzcd} E \arrow[r] \arrow[d] & P \arrow[d, "q"] \\ E/\mu = E_0 \arrow[r] & P_0 = P/\mu \end{tikzcd}

Après P_0 = P/\mu, une mention biffée, illisible. Notons que ~~pour~~ P_0 est un U_0-torseur sur T, avec (19) \qquad U_0 = U/\mu et par suite on a \widetilde{U}_0 = \widetilde{U} et un iso can. (20) \qquad \mathcal{E} \simeq \pi_1(U_0, 1_{U_0}) . Le \mathcal{E} est écrit au-dessus d'un \Pi biffé. Par suite, \Pi_1(P_0) est muni d'une

On suppose \mu \hookrightarrow U (18), et \mu distingué dans U NB On a donc C : quotient C \simeq C'/\mathcal{E}(\pi, \mu)

\mathcal{E}-structure (21) \qquad \mathcal{E} \longrightarrow \operatorname{Aut} \mathrm{id}_{\Pi_1(P_0)} d'où si x_0, y_0 \in P_0, \mathcal{E} opère librement sur \operatorname{Hom}_{\Pi_1(P_0)}(x_0, y_0) à droite (via son op. sur x) et à gauche (via son opération sur y), les deux structures ~~étant~~ se correspondant entre elles via la formule (\ell \in \operatorname{Hom}(x_0, y_0), \gamma \in \pi) \ell \cdot \gamma_{x_0} = {}^{\ell}\gamma_{y_0} \cdot \ell \qquad \text{où } {}^{\ell}\gamma_{y_0} = \ell \cdot \gamma \cdot \ell^{-1} Dans le premier membre, un symbole biffé précède le {}^{\ell}\gamma_{y_0}.

—-

~~Si x, y \in P, alors~~ L'image inverse du groupoïde \Pi_1(P_0) par l'application P \to P_0 sur l'ens. des objets est \Pi_1(P) \wedge_\pi \mathcal{E}. Donc il est clair que l'image inverse de \Pi_1(P_0) par la composée E \longrightarrow P \xrightarrow{\;q\;} P_0 ~~structure~~ s'identifie au ~~\mathcal{E}-groupoïde~~ C' \wedge_\pi \mathcal{E}, ~~et alors le~~ que , s'obtient dérivant : partir du groupoïde C_0 image inverse de \Pi_1(P_0) par l'application E_0 \to P_0. J'ai dit que celle-ci peut se construire de façon purement algébrique en termes de C' muni des structures de \pi-groupoïde et de groupe d'opérateurs \mu, ~~et de la structure d'ext. (13)~~ en effet comme Un double trait vertical, dans la marge gauche, borde les cinq dernières lignes.

\mu opère sur \mathcal{E} de façon compatible avec son opération (triviale ici) sur \pi, il opère sur C' \wedge_\pi \mathcal{E} par transport de structure, en opérant librement sur \operatorname{Ob}(C' \wedge_\pi \mathcal{E}) = \operatorname{Ob} C' \overset{\mathrm{def}}{=} E' , donc on voit que sur le bien quotient \varepsilon = \varepsilon'/\mu, il y a une structure de ~~\pi~~\mathcal{E}-groupoïde — plus de doute, c'est C_0 ! Le premier membre de la formule centrée est écrit sur un mot biffé ; après « def » un premier E' est biffé. Dans « \varepsilon = \varepsilon'/\mu » la lettre est petite, sans qu'on puisse dire si c'est le E des objets ou un \varepsilon.

Inversement, partons d'un \mathcal{E}-groupoïde C_0 \quad \text{\struck{$\longrightarrow$}} La page s'arrête là ; le reste est blanc.

cf. démonstration plus haut

Page de notes disposées en deux colonnes : à gauche des schémas, à droite un texte numéroté ; en bas un nouveau départ, au-dessus d'une base T. L'ordre suivi ici est : colonne de gauche, colonne de droite, bas de page.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & P \arrow[d, no head] & U \arrow[d] \\ E_0 \arrow[r] & P/\mu = P_0 \arrow[d] & U_0 = U/\mu \\ & T & \end{tikzcd}

À côté de P_0 un mot biffé ; sous la flèche verticale de gauche, le T est écrit sur une lettre biffée. 1 \longrightarrow \mathcal{E} \longrightarrow G_0 \longrightarrow G \longrightarrow 1, \qquad G_0 = \pi_1(P_0), \quad G = \pi_1(T) avec \mathcal{E} \to \mu et \varphi : G_0 \to \mu dans le schéma, une flèche verticale descend de \mathcal{E} à \mu et une flèche oblique \varphi va de G_0 à \mu ; « G_0 = \pi_1(P_0) » et « G = \pi_1(T) » sont écrits sous G_0 et G avec des guillemets d'égalité. \text{i.e.\ on a} \quad \pi_{1,\mathrm{ab}}(C_0) \longrightarrow \mu \text{\struck{$\operatorname{Ker}\varphi$}} \qquad 1 \longrightarrow \pi \longrightarrow \operatorname{Ker}\varphi \xrightarrow{\;\mathrm{surj}\;} G \longrightarrow 1

1°) Une structure de \mathcal{E}-groupoïde (central) C_0 sur E_0 comme ens. d'objets

~~2°)~~ C fournit un prolongement de P_{q_0} \to T comme U_0-torseur, et E_0 \to P_0 par morphismes des pts par groupoïde fondamental

2°) Un ~~fibré~~ \mu-rev. principal P E de E_0, défini par un système local sur C_0 sur P_0, avec op. de translation de \mu dessus (de façon que C_0 \simeq C/\mu), l'homomorphisme \pi_1(C_0, x_0) \longrightarrow \mu \simeq \operatorname{Aut}(E_{x_0}) prolongeant \uparrow \mathcal{E} l'homomorphisme de passage au quotient \mathcal{E} \to \mu

P \xrightarrow{\;f\;} T P torseur sous le faisceau en groupes top. localement U_T (syst. local des \pi_1(U_t)) est \Pi_T f^*(\Pi_T) \text{ \struck{\ill{}} opère sur } \Pi_1 P, \qquad f^*(\Pi_T) \longrightarrow \operatorname{Int} \Pi_1 P, \qquad \Pi_1 P \longrightarrow \Pi_1 T \gamma_T un sous-faisceau en groupes inv. de U_T (central commutatif) U_{0T} = U_T / \gamma_T \qquad \text{syst.\ local des } \pi_1 \text{ est } \mathcal{E}_T 0 \longrightarrow \Pi_T \longrightarrow \mathcal{E}_T \longrightarrow \gamma_T \longrightarrow 1

Nouveau départ, sans lien visible avec les pages 88 à 98 ; la lettre \mathcal{T} est ici tracée avec un trait doublé, celle des groupoïdes de Teichmüller du titre du dossier.

G graphe MD dont tous les sommets sont de genre 0 et d'ordre \leq 4 (donc 3 ou 4) S_0\mathcal{T}_G = \Bigl(\prod_{s \in S} \underbrace{S_0\mathcal{T}_{0,\hat{A}_s}}_{\substack{(\mathbf{Z}^{\hat{A}_s},\, \mu_2^{\hat{A}_s})\\ \text{-groupoïde}}} \Bigr) \wedge^{(\mathbf{Z}^{\hat{A}_s},\, \mu_2^{\hat{A}})} (\mathbf{Z}^{\hat{A}}, \mu_2^{\hat{A}}) un (\mathbf{Z}^{\hat{A}}, \mu_2^{\hat{A}})-groupoïde libre, dont le quotient par (\mathbf{Z}^I, \mu_2^I) est S_0\mathcal{T}_G, et dont le quotient par (\mathbf{Z}^{\hat{A}}, \mu_2^{\hat{A}}) est R_0\mathcal{T}_G = \prod_{s \in S} \underbrace{R_0\mathcal{T}_{G_s^b}}_{S_0\mathcal{T}_{G_s^b}} = \prod_{s \in S} \mathcal{T}_{0,\hat{A}_s} (où dans le produit, on peut se borner aux s \in S d'ordre 4) Le premier membre de la formule ci-dessus est écrit sur un symbole biffé ; dans le premier S_0\mathcal{T}_G de la page, l'exposant du produit \wedge porte des signes partiellement biffés.

De façon générale, S_0\mathcal{T}_G (G graphe MD quelconque) est un (\mathbf{Z}^{\hat{A}}, \mu_2^{\hat{A}})-groupoïde \mu_2^{\hat{A}}-libre ~~est un~~ comme \varinjlim (filtrante) de (\mathbf{Z}^{\hat{A}}, \mu_2^{\hat{A}})-groupoïdes \mu_2^{\hat{A}}-libres, si G de genre virtuel nul sur ses comp. connexes, si « rigide » la catégorie d'indices pour le \varinjlim est — on peut sans artificialité prendre un ens. ordonné (celle des arbres finis ~~réduits~~ — i.e. sans sommets d'ordre 2 — qui sont du type G^b i.e. … dont l'ens. des bouts sur les \pi_0(-) …)

Feuillet par ailleurs blanc ; deux lignes en haut à droite, d'une encre plus noire. Le dernier indice porte, après le G, un signe que nous ne savons pas identifier (dièse ou bécarre).

Hom de généralisation SP_G \longrightarrow SP_{G^{\natural}} L'argument de la page 99 s'arrête en bas de page, sur « … », et peut continuer au-delà du lot ; la page 100 n'en est pas la suite visible.