Cote n° 146 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Groupoïdes de Teichmüller et les S0 Tg,!ν, S0 TG : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978]
Édition de démonstration

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61En tête de page, plusieurs croquis : un octaèdre (ou double pyramide) aux faces hachurées ; un triangle avec un petit triangle intérieur ; deux triangles réunis par un sommet (« nœud papillon ») ; un triangle marqué \(+\), avec au-dessous un segment et un triangle aux sommets \(0\), \(1\), \(\infty\).

Dans la colonne de gauche, trois sphères : la première porte un cercle équatorial avec cinq points marqués ; la deuxième un sommet au pôle relié par des arcs à quatre points de l'équateur ; la troisième des cercles méridiens et un axe pointillé, avec des points marqués aux pôles et sur l'équateur.

En regard des sphères : \[\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \;\to\; \mathbb{D}_5\] (\(\mathbb{D}_5 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) dans le groupe non orienté) ; \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) (\(\mathbb{D}_2\) dans le groupe non orienté) ; \[\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \;\to\; \mathfrak{S}_3\] (\(\mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) dans le groupe non orienté).

12 possibilités […] (triangul. pentag. sur \(K\)) CAD […] 12 sommets de l'icos. le stabilisateur de chacun est \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) (⌜dans le groupe non orienté⌝ diédral \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}_5\)) Implique orientation de \(K\)

\(30 = 15\times 2\) possibilités (arêtes orientées ⌜[…]⌝ des \(K\)) CAD 30 arêtes de l'icosaèdre, le stabilisateur d'une arête est \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) (et \(\mathbb{D}_2 = \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2\) dans non orienté) n'implique pas orientation de \(K\)

\(20 = 10\times 2\) possibilités (triangles de \(K\) […] ⌜orientés⌝ de \(K\)) (NB 20 faces de l'icosaèdre, stabilisateur de chacune est \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) ; groupe \(\mathfrak{S}_3\) dans non orienté)

62Avant de me lancer vers une exploitation des principes dégagés, il me faut encore développer la formulation des « points base à l'infini ». […] (NB Le point de départ est le suivant. […] Le point de départ est la dimension 1, bien ⌜mais⌝ pour une bonne partie il sera nécessaire de revenir par la suite sur les phénomènes analogues en dimension quelconque, relatifs à la donnée d'un diviseur à croisements normaux…) Soit \(X\) un schéma local régulier de dim. 1 (i.e. le spectre d'un anneau de valuation discrète hensélien), \(x\) son point fermé, \(k = k(x)\), \[\mathcal{U} = X \setminus \{x\} = \{\eta\} \tag{53}\] \(\mathcal{U}\) = son point générique, et l'espace vectoriel \[T_x = \mathbb{V}(\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2) = \check{\mathbb{V}}\bigl((\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)\bigr) \tag{54}\] le \(k\)-schéma « espace tangent en \(x\) », \(T_x^* = T_x \setminus \{0\}\), qui est épointé. On a alors un morphisme canonique \[\hat{\Pi}_1(T_x^*) \longrightarrow \hat{\Pi}_1(\mathcal{U}) \tag{55}\] (où les \(\hat{\Pi}_1\) ici sont les \(\Pi_1\) schématiques ⌜[…]⌝). On sait […] […] (puisque \(\hat{\mathcal{U}} \to \mathcal{U}\) donne un iso \(\hat{\Pi}_1(\hat{\mathcal{U}}) \to \hat{\Pi}_1(\mathcal{U})\)) […] sait alors complété […]. Alors on sait qu'on a

La page s'arrête sur « Alors on sait qu'on a » ; la suite ne se trouve pas dans ce lot. Les numéros (53)–(55) prolongent une numérotation commencée avant le lot.

63Page presque entièrement faite de figures ; seuls les quelques mots et symboles qui les accompagnent sont transcrits.

En haut à gauche, un polyèdre en perspective formé de deux faces pentagonales (arêtes pleines et pointillées), les arêtes marquées \(a, b, c, d, e\) et \(a', b', c', d', e'\) ; une flèche courbe près de \(b'\).

pentagone orienté \(b'c'd'e'\)Lecture douteuse : on pourrait lire aussi « \(b'e'd'e'\) ».

Une série de sphères portant des points cerclés sur l'équateur et aux pôles, reliés par des arcs méridiens, étiquetées : \(D_{01}\) ; \(D_{12}\) (deux sphères) ; \(D_0\) (cinq points sur un cercle équatorial, une flèche, signe \(+\)) ; \(D_1\) (un pôle relié à quatre points de l'équateur, avec la mention « \((+\circlearrowleft)\) ») ; \(D_2\) \(D_2\) (sphère marquée \(+\) et \(-\)).

Dans la moitié inférieure : un petit triangle hachuré ; un icosaèdre en perspective dont les arêtes portent les lettres \(a, b, c, d, e\) ; un grand patron déplié de faces (pentagones et quadrilatères) aux arêtes marquées \(a, \ldots, e\), avec des flèches courbes indiquant des recollements ; à droite, trois sphères au crayon portant des points cerclés et des méridiens.

64[…] les étaient \(0, \infty\) au lieu de \(0, 1\), et la position (lieu […] de \(0, \infty\) sur \(\mathbb{X}_1\)) était \(1\) au lieu de \(\infty\), i.e. […] […] — \(\mathbb{X}_1\) […] […] but et […] \(\mathbb{X}_0\), l'application dont il serait donné par (25), ⌜ou dans la composition avec une transformation homographique⌝ \(z \mapsto z^2\), […] […] […] composée avec l'isomorphisme \[g_1(z) = \psi\bigl(\varphi(z)^2\bigr),\] (application homographique […] […] qui réalise où \(\psi\) est l'application homographique qui réalise \[0 \;\; 1 \;\; \infty \longrightarrow 0 \;\; \infty \;\; 1 ,\] i.e. \(\psi(z) = \sigma_0(z) = \frac{z}{z-1}\), et où \(\varphi\) est l'application homographique qui réalise donc on trouve \[1 \mapsto 0, \quad -1 \mapsto \infty, \quad 0 \ (\text{ou } \infty) \mapsto 1 ,\] \(\mathbb{X}_1 \to \mathbb{X}_0\), \(z \mapsto \frac{z^2}{z^2-1}\) \(\varphi(z) = \dfrac{z-1}{z+1}\), donc \[\psi(z) = \sigma_0(z) = \frac{z}{z-1},\] et en composant l'application […] : \[\left\{ \begin{aligned} & g_1 : \mathbb{X}_1 \longrightarrow \mathbb{X}_0 : \\ & g_1(z) = -\frac{1}{4}\,\frac{(z-1)^2}{z} \end{aligned} \right. \tag{26}\] Une première écriture, lue avec doute \(z \mapsto z^4/(z^4-1)\), est biffée à droite de « \(g_1 : \mathbb{X}_1 \to \mathbb{X}_0\) ». équation du monogone, […] !

d'où comme équation pour le bigône \[\left\{ \begin{aligned} & g_2 : \mathbb{X}_2 \longrightarrow \mathbb{X}_0 : \\ & g_2(z) = g_1(z^2) = -\frac{1}{4}\,\frac{(z^2-1)^2}{z^2} = -\frac{1}{4}\Bigl(z - \frac{1}{z}\Bigr)^2 \end{aligned} \right. \tag{27}\] (équation du bigône, de merveille !)

Le début de la page (« […] les étaient \(0, \infty\) au lieu de \(0, 1\) ») et le renvoi à (25) supposent un argument commencé avant ce lot.

65Les notes manuscrites occupent le haut d'une feuille dont l'imprimé, tête-bêche, est daté de Montpellier, 31 mai 1979 : c'est un terme a quo pour cette page. Seules les notes de Grothendieck sont transcrites.

Un tableau, colonnes séparées par des traits ; en tête des deux dernières paires de colonnes : « NB des cas » et « Nb de feuillets ». \[\begin{array}{cc|c|c||cc|cc} \mathbb{D}_5 & \mathbb{D}_5 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} & \mathbb{D}_5 & 12 & 12 & 12 & 6 \\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \mathbb{D}_2 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & 30 & 15 & 30 & 15 \\ \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} & \mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} & \mathfrak{S}_3 & 20 & 10 & 20 & 10 \end{array}\] Dans la première ligne, un nombre biffé et noirci précède le second « 12 ». Dans la première colonne, l'entrée de la troisième ligne est surchargée et entourée ; le « \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) » de la deuxième ligne pourrait se lire « \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) ».

Sous le tableau : un hexagone (deux triangles accolés et leurs diagonales) dont les côtés et les segments intérieurs portent les lettres \(a, b, c\) et \(a', b', c'\), avec une flèche de rotation ; un carré ; un pentagone, accompagné de la mention « cas d'incidence » ; une ellipse, accompagnée de la mention « pentagone orienté ».

66Page de calculs et de figures écrite dans les deux sens : la moitié supérieure à l'endroit, la moitié inférieure tête-bêche. On transcrit d'abord la première, puis la seconde, qui porte dans son coin le nombre « 99 », peut-être une pagination de l'auteur.

\(-1 \mapsto (-1)\) / \(0\) / \(1 \mapsto 0\)

\begin{tikzcd}[column sep=large]
X_2 \arrow[r, "z \mapsto z^2"] & X_1 \arrow[r] & X_0
\end{tikzcd}

\[\begin{array}{ccc} X_2 & X_1 & X_0 \\ 0 & 0 \,|\, \infty & \infty \\ -1 & 1 & 0 \\ \infty & \text{\struck{$-1$}}\ \ast & 1 \end{array}\] Le signe \(\ast\) marque un symbole noirci illisible, écrit sur le \(-1\) biffé. À gauche de la colonne de \(X_2\), un « 1 » isolé en face de \(-1\).

\[\frac{(1+z)^2 - (1-z)^2}{(1-z)^2} \Big/ \frac{(1+z)^2}{(1-z)^2} = \frac{1 - \left(\frac{1+z}{1-z}\right)^2}{\left(\frac{1+z}{1-z}\right)^2}, \qquad = \frac{-4z}{(1-z)^2}\] Calcul griffonné ; la disposition des exposants et des fractions est reconstituée avec doute.

\[-\frac{1}{4i}\,(i-1)^2 = \frac{1}{2}, \qquad (i-1)^2 = -1+1-2i .\]

Une ellipse dont un arc épais va d'un point marqué à \(1\), avec \(\infty\) en bas ; une sphère dont l'équateur porte un segment épais entre deux points marqués \(0\), avec \(1\) au milieu et \(\infty\) en avant.

Moitié tête-bêche.

Un quadrilatère de sommets \(0, 1, \infty\) (et un quatrième), coupé par une diagonale, deux régions hachurées ; une ellipse traversée par le segment \(1 \;\text{---}\; 0 \;\text{---}\; \infty\), l'arc supérieur marqué \(r\), avec l'inscription \(\sigma_0 r = \sigma_1 r\).

Cartes \(\mathcal{C}_2\)-ens

Cartes orientées \(\mathcal{C}_2^0\)-ens

\[\sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \sigma_\infty^2 = (\sigma_0\sigma_\infty)^2 = 1\] \[(\rho_0, \rho_1, \rho_\infty \,;\ \rho_\infty \rho_1 \rho_0 = \rho_1^2 = 1)\]

\[\begin{array}{lcl} 0 \mapsto 1, & & 1 \mapsto 1, \\ 1 \mapsto 1, & -1 \mapsto 0, & 0 \mapsto \infty, \\ i, -i \longmapsto \tfrac{1}{2} & & \end{array} \qquad \varphi(z) = \frac{z-1}{z+1}, \quad \Bigl(\frac{z-1}{z+1}\Bigr)^2 .\] Deux symboles biffés (\(\sigma\) ? ou un éclair) accompagnent ces correspondances ; \((0, \infty)\) et \(1\) sont écrits au-dessous de \(z\) dans la même colonne.

\begin{tikzcd}
X_1 \arrow[r, Rightarrow] & \mathbb{X}_1 \arrow[r, "z \mapsto z^2"] & \mathbb{X}_0 \arrow[r, "\psi"] & \mathbb{X}_0
\end{tikzcd}

\[(0, 1, \infty) \longrightarrow (0, 1, \infty) \longmapsto 0 \;\; \infty \;\; 1 \qquad\qquad 1 \;\; {-1} \;\; 0 .\]

Une sphère dont l'équateur porte un segment épais de \(0\) à \(0\), \(1\) au milieu, \(\infty\) au fond ; une sphère vide avec un arc pointillé vers \(0\) ; une grande ellipse avec \(\infty\) ; un segment épais de \(0\) à \(1\).

\[\frac{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^2}{\ \cdots\ } = \frac{(z-1)^2}{(z-1)^2 - (z+1)^2}\] La dernière ligne est coupée par le bord du feuillet ; le dénominateur de gauche, rendu « \(\cdots\) », n'est pas lisible : […].

67

\begin{tikzcd}[column sep=small]
M_{0,5} \arrow[rr, hook] \arrow[dr, hook] & & \hat{M}_{0,5} \\
& \hat{M}'_{0,5} \arrow[ur, hook] &
\end{tikzcd}

\(\hat{M}'_{0,5}\) — correspond aux courbes MD de type \((0,5)\) qui restent stables en […] […] l'un des […] de leurs 5 ; \[\hat{M}'_{0,5} \simeq \hat{\mathcal{X}}^*_{0,4} .\] Sous \(\hat{\mathcal{X}}^*_{0,4}\), un symbole vertical noirci (une égalité ou un isomorphisme biffé).

\[\hat{\mathcal{X}}_{0,4} \longrightarrow \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1\] éclatement des trois points de la diagonale \(\Delta\), correspondant aux pts \(0, 1, \infty\) ; \[\hat{\mathcal{X}}^*_{0,4} \simeq \hat{\mathcal{X}}_{0,4} - \text{les quatre sections } \tilde{\Delta}_0, \tilde{\Delta}_1, \tilde{\Delta}_\infty, \tilde{\Delta} .\] Devant le second \(\hat{\mathcal{X}}_{0,4}\), un mot biffé : […]. Les indices des trois premières sections sont lus avec doute (\(\tilde{\Delta}_1\) pourrait être \(\tilde{\Delta}_2\)).

[…] \(\hat{M}_{0,5}\) via \(\hat{\mathcal{X}}^*_{0,4}\) ?

Que manque-t-il : courbes ⌜MD⌝ du type \((0,5)\) qui ne sont plus stables en enlevant un des pts : […] […] […] un seul […] singularité.

Plusieurs configurations de courbes stables : une droite portant deux grappes de composantes, marquée \(5\) ; deux droites sécantes dont l'une porte trois points et un point marqué \(5^*\), \(i\), avec la légende \(1 \leqslant i \leqslant 4\) ; une droite portant trois composantes verticales ; trois droites dont l'une porte un point, marquée \(\mathbb{P}\).

\begin{tikzcd}
\hat{\mathcal{X}}_{0,4} \arrow[d] & \hat{\mathcal{X}}_{0,4} \times \hat{\mathcal{X}}_{0,4} \arrow[l] \arrow[d] \\
\hat{M}_{0,4} \arrow[r, no head, "\supset" description] & \hat{\mathcal{X}}_{0,4} \arrow[u, bend right=40, "{\sigma_i \; (i \leqslant 4), \; \delta}"']
\end{tikzcd}

Devant la colonne de gauche un symbole biffé ; \(\hat{M}_{0,4}\) est écrit sur un mot biffé. La section notée « \(\sigma_i\ (i \leqslant 4)\), \(\delta\) » est une flèche courbe remontant de \(\hat{\mathcal{X}}_{0,4}\) vers le produit.

\(\hat{M}_{0,3}\) : pts isolés — en nombre […] \[\hat{M}_{0,3} \;\text{---}\; \hat{\mathcal{X}}_{0,3}\]

70\[\bigotimes_{i \in K} L_i = L_K\] \[L_i \simeq L_K \otimes p^*_{K \setminus \{i\}, K}\, L_{K \setminus \{i\}}\] \(L_K\) est entouré et souligné dans la seconde formule ; dessous, un mot en pointillé, […]. Au-dessous encore, une ligne biffée : « \(12\) […] \(6\) ».

\[\begin{array}{l|c|c|c} n & 4 & 5 & 6 \\ \hline (n-1)(n-2) & 6 & 12 & 20 \\ \hline \text{meilleur exposant pour trivialiser } L & 3 & 12\,? & 20\,? \\ \hline \text{meilleur exposant pour trivialiser } L_i & 6 & 12\,? & 60\,? \\ \hline \text{exposant pour trivialiser } \text{\struck{$H^1(M_{0,I}, \mathfrak{S}_I;\, \mathbb{G}_m)$}} & & & \\ \hline \text{dividende (?)} \ H^1(M_{0,I}, \mathfrak{S}_{I \setminus \{i\}};\, \mathbb{G}_m) & & & \end{array}\] « dividende » est une lecture douteuse. Les intitulés des lignes sont écrits obliquement dans la marge gauche du tableau ; les deux dernières lignes sont restées vides. Dans la première colonne, « \((n-1)(n-2)\) » est écrit sur un premier essai noirci.

\(L_K\) quand \(n = 5\) : \[\cdots\ \prod_{A \in \mathbb{P}_3}{}' p_A^*(L_A) = \prod_{\substack{(i \in A) \\ i \in A \in \mathbb{P}_3(K)}} L_i = \Bigl(\prod_{i \in K} L_i\Bigr)^{\otimes 4} = L^{4}\] Le premier membre, rendu « \(\cdots\) », est illisible : […]. Sous \(L_A\), un mot en pointillé et « p. 3 », illisibles. L'exposant final de \(L\) est surchargé. \[(L^4)^3 \simeq \text{\struck{$\mathcal{O}$ \ldots}}\]

72Les notes sont écrites sous un sujet d'examen dactylographié (Université des Sciences et Techniques du Languedoc, session de juin 1978) qui demande de décrire les classes de conjugaison de sous-groupes et d'éléments du groupe alterné \(\mathfrak{A}_5\) en termes de l'icosaèdre ; seules les notes manuscrites sont transcrites. La date de l'imprimé est un terme a quo pour cette page.

Trois points alignés ; au-dessous, trois points sur un segment.

\[\xi_A \in \Gamma(M_{0,I}, L_A^*) , \qquad \prod_A \xi_A \in \Gamma\Bigl(M_{0,I}, \bigotimes_A L_A\Bigr)\] \[\xi, \quad A \in \mathbb{P}_3(I), \qquad M_{0,I} \xrightarrow{\ \ast\ } M_{0,A}\] \[\xi = \prod \xi_A \in L^{\otimes \nu}, \qquad \tfrac{(n-1)(n-2)}{2} = \nu\] L'étiquette \(\ast\) de la flèche \(M_{0,I} \to M_{0,A}\) est un symbole surchargé illisible. Devant « \(\frac{(n-1)(n-2)}{2}\) » un symbole biffé ; le dénominateur est surchargé, et l'exposant de \(L\) (\(\otimes\nu\)) est noirci.

\[L_i \xrightarrow{\ \varphi_{i,A,\omega}\ } \mathcal{O}, \qquad i \in A \in \mathbb{P}_3(I), \qquad L = \bigotimes_{i \in I} L_i , \qquad \nu = \frac{(n-1)(n-2)}{2}\] \[L_i^2 \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \psi_{i,A}\ } \mathcal{O} \qquad \text{\struck{$L_i \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{O}$}} \qquad \xi \in L_i \ \text{---}\ \xi\] \[\xi^*_{i,A} \in \Gamma L_i^2 \qquad \xi \in L_A^2 \simeq\]

Dans « \(L = \bigotimes L_i\) », un symbole biffé précède le produit ; un autre est biffé entre \(\xi^*_{i,A}\) et \(\xi \in L_A^2\).

• Ex \(n = 4\), \(\nu = 3\) : on trouve \(L^{\otimes 6} \simeq 1\) ;
• Ex \(n = 5\), \(\nu = 6\), on trouve \(L^{\otimes 6} \simeq 1\).

\[L_i \simeq L \otimes L^{-1}_{I \setminus \{i\}} \simeq L \otimes p_i^*\bigl(\mathcal{O}(\ast)\bigr), \qquad p_i : M_{0,I} \longrightarrow M_{0, I \setminus \{i\}} \simeq \Sigma\] Dans le dernier exposant, l'argument de \(\mathcal{O}\) est surchargé (rendu \(\ast\) ; peut-être \(4\) ou \(1\)).

73[…] \(\mathcal{T}_{0,I}\) \(\mathcal{T}_{0,I}\) \(i_0 \in I\), \(i_1 \neq i_0\), \(i_0 \in I \setminus \{i_1\} = i_0 \sqcup (I \setminus \{i_0, i_1\})\)

\begin{tikzcd}
\mathcal{T}_{0,I} \arrow[d, "p_1"] & M_{0,K} \arrow[d] \\
\mathcal{T}_{0, I \setminus \{i_1\}} & M_{0,I}
\end{tikzcd}

Devant le premier \(\mathcal{T}_{0,I}\) de la colonne, un symbole biffé.

\(\mathcal{T}\) \(\times\) \(1\ 2\ 3\ 4\) \(5\) \[\mathcal{O}(4)^{\ast}\ \cdots \simeq \mathcal{O}(-2) \simeq \Omega^1\] \[H \qquad \mathcal{O}( \qquad \prod_{i \in I} L_i\] \[M_{0,I} \hookrightarrow \prod_{i \in K} \Sigma_{J(i)}, \qquad J(i) = I \setminus \{i\}\] L'exposant \(\ast\) de \(\mathcal{O}(4)\) est un petit signe illisible, suivi d'un mot souligné, rendu « \(\cdots\) », lui aussi illisible : […]. Dans \(\prod L_i\), un symbole est biffé devant \(L_i\). Sous \(\Sigma_{J(i)}\), souligné, est écrit « \(I \setminus \{i\}\) », que l'on rend par l'égalité ; l'indice du produit, \(K\), est écrit sur un \(I\).

\[H^1(\mathfrak{S}_5, M^!_{0,5};\, \mathbb{G}_m), \qquad H^1(M_{0,5};\, \mathbb{G}_m) \simeq 0, \qquad H^0(M^!_{0,5}, \mathbb{G}_m),\] \[H^2(\mathcal{T}^+_{0,5}, \mathbb{Z}) = \qquad H^1(M^!_{0,5}\] Ces lignes sont laissées inachevées ; un trait les sépare de la colonne de droite.

\(M_{0,5}\) à corps d'éclatement […] : partir de \(\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_1\).

\begin{tikzcd}
M^!_{0,5} \arrow[d] & \mathcal{U}_{3} \times \mathcal{U}_{0,3} \arrow[d] \\
M^!_{0,4} \simeq \mathcal{U}_{0,3} & \mathcal{U}_{0,3}
\end{tikzcd}

\[H^0(M_{0,3}, \mathbb{G}_m) \simeq \text{\struck{$\ast$}}\] Le second membre biffé, rendu \(\ast\), est illisible.

Deux petites configurations de courbes stables, la première biffée.

\[0 \longrightarrow \mathbb{G}_m \longrightarrow H^0(M_{0,K}, \mathbb{G}_m) \longrightarrow \bigl(\mathbb{Z}^{\mathbb{P}_3(K)}\bigr)' \longrightarrow 0\] \[0 \longrightarrow \underbrace{H^1(\mathfrak{S}_K, \mathbb{G}_m)}_{\pm 1} \longrightarrow \underbrace{H^1\bigl(\mathfrak{S}_K, H^0(M_{0,K}, \mathbb{G}_m)\bigr)}_{H^1(M_{0,K}, \mathfrak{S}_K;\, \mathbb{G}_m)} \longrightarrow H^1\bigl(\mathfrak{S}_5, (\mathbb{Z}^{\mathbb{P}_3(K)})'\bigr)\] \[H^1\bigl(\mathfrak{S}_5, (\mathbb{Z}^{\mathbb{P}_3(K)})'\bigr) \longrightarrow H^2(\mathfrak{S}_K, \mathbb{G}_m)\] Dans la première suite, le \(K\) de \(M_{0,K}\) et de \(\mathbb{P}_3(K)\) est écrit sur un autre indice ; au-dessus de \(M_{0,K}\) un petit symbole […]. La dernière flèche est verticale sur la page, de \(H^1(\mathfrak{S}_5, \ldots)\) vers \(H^2(\mathfrak{S}_K, \mathbb{G}_m)\).

74La page commence au milieu d'un énoncé (« dont la deuxième… ») dont le début ne se trouve pas dans ce lot.

dont la deuxième est donnée par \[\boxed{\rho_1 \longleftrightarrow \sigma_\infty, \quad \rho_\infty \longmapsto \rho^{-1}} \qquad \rho_0 = (\rho_\infty \rho_1)^{-1} \longrightarrow \sigma_\infty \rho^{\ast} = \varepsilon_0 \tag{41}\] et la première par \[\boxed{\tau_0 \longmapsto \tau_\infty}, \quad \underset{\displaystyle \rho_0}{\tau_0 \,\shortparallel} \longmapsto \quad , \quad \boxed{\tau_\infty \longmapsto \tau_\infty} , \tag{42}\] L'exposant \(\ast\) de \(\rho\) dans (41) est illisible. Dans (42), sous le second \(\tau_0\), un signe d'égalité vertical renvoie à \(\rho_0\) ; l'image de \(\tau_0\) est laissée en blanc. Le \((41)\) est écrit sur un autre numéro. Les indices \(0\) de \(\tau\) sont noircis et lus avec doute.

Un triangle sphérique de sommets \(0\), \(1\), \(\infty\), avec un signe \(\xi\) (ou \(\zeta\)) à gauche et un \(i\) au-dessous ; à droite, une figure mêlant un triangle (sommets marqués, dont l'un \(\infty\) biffé et l'autre \(1\)) et un pentagone, une région hachurée en zigzag.

\[\pi_{\mathbb{D}_n}, \quad \pi_{\mathfrak{S}_4^+}, \quad \pi_{\mathfrak{S}_4}, \quad \pi_{\mathfrak{S}_5^+}\]

\(\pi_X\) \(\pi_X \hookrightarrow X\) une carte : on enlève les sommets

\(\pi_{P}\)[…] \(\pi_{\mathrm{icos}}\), \(\pi_{\mathrm{dodéc}}\), \(\pi_{\mathrm{tétr.}}\), \(\pi_{\mathrm{cube}}\), \(\pi_{\mathrm{oct.}}\), \(\pi\)[…]

\(\pi\)[…], \(\pi_{\mathbf{P}} \longrightarrow\) polygone combinatoire fini…

76Feuillet en largeur, presque entièrement de figures : trois sphères à gauche, dont l'équateur porte des points cerclés étiquetés \(a, b, c, d, e\) et \(s, t, u, v, w\), avec un pôle \(a\) relié par des méridiens, un secteur hachuré et des flèches de rotation ; au centre, un grand patron (un pentagone en perspective, sommets \(s\), \(t\), et des faces hachurées) dont les arêtes portent \((a), (b), (c), (d), (e)\) ; au-dessous, une sphère et deux cercles équatoriaux portant les mêmes lettres ; en haut à droite, un fuseau de sommets \(s\) et \(t\), arêtes \(b, c, d, e\), une région hachurée et un point \(\alpha\).

\begin{tikzcd}[row sep=small, column sep=large]
& \mathfrak{F} \\
\mathcal{R} \arrow[ur] \arrow[r] \arrow[dr] & \mathcal{A} \\
& \mathcal{S}
\end{tikzcd}

• \(\mathcal{R}\) : repères des bidodécagones (120) grands ;
• \(\mathfrak{F}\) : faces des bidodécagones (12) ;
• \(\mathcal{A}\) : arêtes des […] des dodécagones (30) ;
• \(\mathcal{S}\) : sommets des bidodécagones (20).

Le nombre des faces est surchargé : « 12 » est lu avec doute. Le \(\mathfrak{F}\) est écrit sur une autre lettre.

\[2 \times (6 + 15 + 10) = 62\]

77Croquis sans texte de sa main, dessinés sur une circulaire datée du 12 février 1982 (terme a quo pour cette page). Ils prolongent les figures de cartes et de recollements des pages précédentes.

Un ruban hexagonal hachuré, replié sur lui-même ; plusieurs graphes trivalents en forme de « nœud papillon » ou de deux triangles joints par une arête, certains avec des sommets cerclés ou hachurés ; une grande ellipse au crayon traversée par un segment ; un réseau en zigzag de quadrilatères et de triangles ; un segment portant trois points ; une boucle à deux points cerclés ; un triangle dont un sommet est cerclé, prolongé par une queue.

78Feuillet de chemise, vide à part un titre de sa main en haut à droite (et, au crayon, l'indication « (19 p) », peut-être des archivistes). Il marque le début d'une nouvelle liasse, qui commence à la page 80.

Groupoïdes

80Lemme 1. Soit \[1 \to L \longrightarrow \tilde{\pi} \longrightarrow \pi \longrightarrow 1\] une suite exacte de groupes, soit \((x_i)_{i \in I}\) un syst. de générateurs de \(\pi\), \((a_j)_{j \in J}\) un syst. de générateurs de \(L\), \[R_\alpha\bigl((x_i)\bigr) = 1 \quad (\alpha \in A)\] un syst. de relations définissantes de \(\pi\), \[S_\beta\bigl((a_j)\bigr) = 1 \quad (\beta \in B)\] un syst. de relations définissantes de \(L\). Relevons les \(x_i\) en des \(\tilde{x}_i \in \tilde{\pi}\), et choisissons des mots \(M_\alpha\) et \(M_{ij}\) (\(\alpha \in A\), […] \((i,j) \in I \times J\)) en des lettres \(a_j\), de telle façon qu'on ait \[\left\{ \begin{aligned} & R_\alpha\bigl((\tilde{x}_i)\bigr) = M_\alpha\bigl((a_j)\bigr) && \forall \alpha \in A \qquad (1) \\ & \tilde{x}_{i_0}\, a_{j_0}\, \tilde{x}_{i_0}^{-1} = M_{i_0 j_0}\bigl((a_j)\bigr) && \forall (i_0, j_0) \in I \times J \qquad (2) \end{aligned} \right.\] Alors les relations (1), (2), jointes à \[S_\beta\bigl((a_j)\bigr) = 1 \quad (\beta \in B) \qquad (3)\] sont un syst. de relations définissantes (pour \(\tilde{\pi}\)) par rapport aux générateurs \((\tilde{x}_i)\), \((a_j)\).

(1) : relations « relèvements » des \(R_\alpha\) ; (2) : relations d'action […] ; (3) : « relations de \(S_\beta\) » dans \(L\). Les trois annotations marginales sont écrites en oblique dans la marge gauche, face aux formules (1)–(3) ; leur lecture est très incertaine, en particulier celle qui concerne (2).

NB Si \(L\) est central dans \(\tilde{\pi}\), les relations ⌜(relations triviales)⌝, on peut prendre les \(M_{i_0 j_0}\) les mots vides, donc (2) devient \[\tilde{x}_i\, a_j\, \tilde{x}_i^{-1} = a_j, \quad \text{i.e.}\ [\tilde{x}_i, a_j] = 1 \qquad (2')\] pour tout \((i,j) \in I \times J\).

La page s'arrête ici ; la suite du lemme et sa démonstration, s'il y en a une, sont hors de ce lot.