Fonds Grothendieck, cote n° 146, pages 61–80

En tête de page, plusieurs croquis : un octaèdre (ou double pyramide) aux faces hachurées ; un triangle avec un petit triangle intérieur ; deux triangles réunis par un sommet (« nœud papillon ») ; un triangle marqué +, avec au-dessous un segment et un triangle aux sommets 0, 1, \infty.

Dans la colonne de gauche, trois sphères : la première porte un cercle équatorial avec cinq points marqués ; la deuxième un sommet au pôle relié par des arcs à quatre points de l'équateur ; la troisième des cercles méridiens et un axe pointillé, avec des points marqués aux pôles et sur l'équateur.

En regard des sphères : \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \;\to\; \mathbb{D}_5 (\mathbb{D}_5 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} dans le groupe non orienté) ; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} (\mathbb{D}_2 dans le groupe non orienté) ; \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \;\to\; \mathfrak{S}_3 (\mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} dans le groupe non orienté).

12 possibilités (triangul. pentag. sur K) CAD 12 sommets de l'icos. le stabilisateur de chacun est \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} (dans le groupe non orienté ~~diédral \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}~~, \mathbb{D}_5) Implique orientation de K

30 = 15\times 2 possibilités (arêtes orientées des K) CAD 30 arêtes de l'icosaèdre, le stabilisateur d'une arête est \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} (et \mathbb{D}_2 = \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2 dans non orienté) n'implique pas orientation de K

20 = 10\times 2 possibilités (triangles de K orientés de K) (NB 20 faces de l'icosaèdre, stabilisateur de chacune est \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} ; groupe \mathfrak{S}_3 dans non orienté)

Avant de me lancer vers une exploitation des principes dégagés, il me faut encore développer la formulation des « points base à l'infini ». (NB Le point de départ est le suivant. Le point de départ est la dimension 1, ~~bien~~ mais pour une bonne partie il sera nécessaire de revenir par la suite sur les phénomènes analogues en dimension quelconque, relatifs à la donnée d'un diviseur à croisements normaux…) Soit X un schéma local régulier de dim. 1 (i.e. le spectre d'un anneau de valuation discrète hensélien), x son point fermé, k = k(x), \mathcal{U} = X \setminus \{x\} = \{\eta\} \tag{53} ~~\mathcal{U} =~~ son point générique, et l'espace vectoriel T_x = \mathbb{V}(\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2) = \check{\mathbb{V}}\bigl((\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)\bigr) \tag{54} le k-schéma « espace tangent en x », T_x^* = T_x \setminus \{0\}, qui est épointé. On a alors un morphisme canonique \hat{\Pi}_1(T_x^*) \longrightarrow \hat{\Pi}_1(\mathcal{U}) \tag{55} (où les \hat{\Pi}_1 ici sont les \Pi_1 schématiques ). ~~On sait~~ (puisque \hat{\mathcal{U}} \to \mathcal{U} donne un iso \hat{\Pi}_1(\hat{\mathcal{U}}) \to \hat{\Pi}_1(\mathcal{U})) ~~sait alors~~ complété . Alors on sait qu'on a

La page s'arrête sur « Alors on sait qu'on a » ; la suite ne se trouve pas dans ce lot. Les numéros (53)–(55) prolongent une numérotation commencée avant le lot.

Page presque entièrement faite de figures ; seuls les quelques mots et symboles qui les accompagnent sont transcrits.

En haut à gauche, un polyèdre en perspective formé de deux faces pentagonales (arêtes pleines et pointillées), les arêtes marquées a, b, c, d, e et a', b', c', d', e' ; une flèche courbe près de b'.

pentagone orienté b'c'd'e'Lecture douteuse : on pourrait lire aussi « b'e'd'e' ».

Une série de sphères portant des points cerclés sur l'équateur et aux pôles, reliés par des arcs méridiens, étiquetées : D_{01} ; D_{12} (deux sphères) ; D_0 (cinq points sur un cercle équatorial, une flèche, signe +) ; D_1 (un pôle relié à quatre points de l'équateur, avec la mention « (+\circlearrowleft) ») ; ~~D_2~~ D_2 (sphère marquée + et -).

Dans la moitié inférieure : un petit triangle hachuré ; un icosaèdre en perspective dont les arêtes portent les lettres a, b, c, d, e ; un grand patron déplié de faces (pentagones et quadrilatères) aux arêtes marquées a, \ldots, e, avec des flèches courbes indiquant des recollements ; à droite, trois sphères au crayon portant des points cerclés et des méridiens.

les étaient 0, \infty au lieu de 0, 1, et la position (lieu de 0, \infty sur \mathbb{X}_1) était 1 au lieu de \infty, ~~i.e. — \mathbb{X}_1 but et \mathbb{X}_0~~, l'application dont il serait donné par (25), ou dans la composition avec une transformation homographique z \mapsto z^2, ~~composée avec l'isomorphisme~~ g_1(z) = \psi\bigl(\varphi(z)^2\bigr), ~~(application homographique qui réalise~~ où \psi est l'application homographique qui réalise 0 \;\; 1 \;\; \infty \longrightarrow 0 \;\; \infty \;\; 1 , i.e. ~~\psi(z) = \sigma_0(z) = \frac{z}{z-1}~~, et où \varphi est l'application homographique qui réalise ~~donc on trouve~~ 1 \mapsto 0, \quad -1 \mapsto \infty, \quad 0 \ (\text{ou } \infty) \mapsto 1 , ~~\mathbb{X}_1 \to \mathbb{X}_0, z \mapsto \frac{z^2}{z^2-1}~~ \varphi(z) = \dfrac{z-1}{z+1}, donc \psi(z) = \sigma_0(z) = \frac{z}{z-1}, et en composant l'application : \left\{ \begin{aligned} & g_1 : \mathbb{X}_1 \longrightarrow \mathbb{X}_0 : \\ & g_1(z) = -\frac{1}{4}\,\frac{(z-1)^2}{z} \end{aligned} \right. \tag{26} Une première écriture, lue avec doute z \mapsto z^4/(z^4-1), est biffée à droite de « g_1 : \mathbb{X}_1 \to \mathbb{X}_0 ». équation du monogone, !

d'où comme équation pour le bigône \left\{ \begin{aligned} & g_2 : \mathbb{X}_2 \longrightarrow \mathbb{X}_0 : \\ & g_2(z) = g_1(z^2) = -\frac{1}{4}\,\frac{(z^2-1)^2}{z^2} = -\frac{1}{4}\Bigl(z - \frac{1}{z}\Bigr)^2 \end{aligned} \right. \tag{27} (équation du bigône, de merveille !)

Le début de la page (« les étaient 0, \infty au lieu de 0, 1 ») et le renvoi à (25) supposent un argument commencé avant ce lot.

Les notes manuscrites occupent le haut d'une feuille dont l'imprimé, tête-bêche, est daté de Montpellier, 31 mai 1979 : c'est un terme a quo pour cette page. Seules les notes de Grothendieck sont transcrites.

Un tableau, colonnes séparées par des traits ; en tête des deux dernières paires de colonnes : « NB des cas » et « Nb de feuillets ». \begin{array}{cc|c|c||cc|cc} \mathbb{D}_5 & \mathbb{D}_5 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} & \mathbb{D}_5 & 12 & 12 & 12 & 6 \\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \mathbb{D}_2 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & 30 & 15 & 30 & 15 \\ \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} & \mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} & \mathfrak{S}_3 & 20 & 10 & 20 & 10 \end{array} Dans la première ligne, un nombre biffé et noirci précède le second « 12 ». Dans la première colonne, l'entrée de la troisième ligne est surchargée et entourée ; le « \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} » de la deuxième ligne pourrait se lire « \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} ».

Sous le tableau : un hexagone (deux triangles accolés et leurs diagonales) dont les côtés et les segments intérieurs portent les lettres a, b, c et a', b', c', avec une flèche de rotation ; un carré ; un pentagone, accompagné de la mention « cas d'incidence » ; une ellipse, accompagnée de la mention « pentagone orienté ».

Page de calculs et de figures écrite dans les deux sens : la moitié supérieure à l'endroit, la moitié inférieure tête-bêche. On transcrit d'abord la première, puis la seconde, qui porte dans son coin le nombre « 99 », peut-être une pagination de l'auteur.

-1 \mapsto (-1) / 0 / 1 \mapsto 0

\begin{tikzcd}[column sep=large] X_2 \arrow[r, "z \mapsto z^2"] & X_1 \arrow[r] & X_0 \end{tikzcd}

\begin{array}{ccc} X_2 & X_1 & X_0 \\ 0 & 0 \,|\, \infty & \infty \\ -1 & 1 & 0 \\ \infty & \text{\struck{$-1$}}\ \ast & 1 \end{array} Le signe \ast marque un symbole noirci illisible, écrit sur le -1 biffé. À gauche de la colonne de X_2, un « 1 » isolé en face de -1.

\frac{(1+z)^2 - (1-z)^2}{(1-z)^2} \Big/ \frac{(1+z)^2}{(1-z)^2} = \frac{1 - \left(\frac{1+z}{1-z}\right)^2}{\left(\frac{1+z}{1-z}\right)^2}, \qquad = \frac{-4z}{(1-z)^2} Calcul griffonné ; la disposition des exposants et des fractions est reconstituée avec doute.

-\frac{1}{4i}\,(i-1)^2 = \frac{1}{2}, \qquad (i-1)^2 = -1+1-2i .

Une ellipse dont un arc épais va d'un point marqué à 1, avec \infty en bas ; une sphère dont l'équateur porte un segment épais entre deux points marqués 0, avec 1 au milieu et \infty en avant.

Moitié tête-bêche.

Un quadrilatère de sommets 0, 1, \infty (et un quatrième), coupé par une diagonale, deux régions hachurées ; une ellipse traversée par le segment 1 \;\text{---}\; 0 \;\text{---}\; \infty, l'arc supérieur marqué r, avec l'inscription \sigma_0 r = \sigma_1 r.

Cartes \mathcal{C}_2-ens

Cartes orientées \mathcal{C}_2^0-ens

\sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \sigma_\infty^2 = (\sigma_0\sigma_\infty)^2 = 1 (\rho_0, \rho_1, \rho_\infty \,;\ \rho_\infty \rho_1 \rho_0 = \rho_1^2 = 1)

\begin{array}{lcl} 0 \mapsto 1, & & 1 \mapsto 1, \\ 1 \mapsto 1, & -1 \mapsto 0, & 0 \mapsto \infty, \\ i, -i \longmapsto \tfrac{1}{2} & & \end{array} \qquad \varphi(z) = \frac{z-1}{z+1}, \quad \Bigl(\frac{z-1}{z+1}\Bigr)^2 . Deux symboles biffés (\sigma ? ou un éclair) accompagnent ces correspondances ; (0, \infty) et 1 sont écrits au-dessous de z dans la même colonne.

\begin{tikzcd} X_1 \arrow[r, Rightarrow] & \mathbb{X}_1 \arrow[r, "z \mapsto z^2"] & \mathbb{X}_0 \arrow[r, "\psi"] & \mathbb{X}_0 \end{tikzcd}

(0, 1, \infty) \longrightarrow (0, 1, \infty) \longmapsto 0 \;\; \infty \;\; 1 \qquad\qquad 1 \;\; {-1} \;\; 0 .

Une sphère dont l'équateur porte un segment épais de 0 à 0, 1 au milieu, \infty au fond ; une sphère vide avec un arc pointillé vers 0 ; une grande ellipse avec \infty ; un segment épais de 0 à 1.

\frac{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^2}{\ \cdots\ } = \frac{(z-1)^2}{(z-1)^2 - (z+1)^2} La dernière ligne est coupée par le bord du feuillet ; le dénominateur de gauche, rendu « \cdots », n'est pas lisible : .

\begin{tikzcd}[column sep=small] M_{0,5} \arrow[rr, hook] \arrow[dr, hook] & & \hat{M}_{0,5} \\ & \hat{M}'_{0,5} \arrow[ur, hook] & \end{tikzcd}

\hat{M}'_{0,5} — correspond aux courbes MD de type (0,5) qui restent stables en l'un des de leurs 5 ; \hat{M}'_{0,5} \simeq \hat{\mathcal{X}}^*_{0,4} . Sous \hat{\mathcal{X}}^*_{0,4}, un symbole vertical noirci (une égalité ou un isomorphisme biffé).

\hat{\mathcal{X}}_{0,4} \longrightarrow \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 éclatement des trois points de la diagonale \Delta, correspondant aux pts 0, 1, \infty ; \hat{\mathcal{X}}^*_{0,4} \simeq \hat{\mathcal{X}}_{0,4} - \text{les quatre sections } \tilde{\Delta}_0, \tilde{\Delta}_1, \tilde{\Delta}_\infty, \tilde{\Delta} . Devant le second \hat{\mathcal{X}}_{0,4}, un mot biffé : . Les indices des trois premières sections sont lus avec doute (\tilde{\Delta}_1 pourrait être \tilde{\Delta}_2).

\hat{M}_{0,5} via \hat{\mathcal{X}}^*_{0,4} ?

Que manque-t-il : courbes MD du type (0,5) qui ne sont plus stables en enlevant un des pts : un seul singularité.

Plusieurs configurations de courbes stables : une droite portant deux grappes de composantes, marquée 5 ; deux droites sécantes dont l'une porte trois points et un point marqué 5^*, i, avec la légende 1 \leqslant i \leqslant 4 ; une droite portant trois composantes verticales ; trois droites dont l'une porte un point, marquée \mathbb{P}.

\begin{tikzcd} \hat{\mathcal{X}}_{0,4} \arrow[d] & \hat{\mathcal{X}}_{0,4} \times \hat{\mathcal{X}}_{0,4} \arrow[l] \arrow[d] \\ \hat{M}_{0,4} \arrow[r, no head, "\supset" description] & \hat{\mathcal{X}}_{0,4} \arrow[u, bend right=40, "{\sigma_i \; (i \leqslant 4), \; \delta}"'] \end{tikzcd}

Devant la colonne de gauche un symbole biffé ; \hat{M}_{0,4} est écrit sur un mot biffé. La section notée « \sigma_i\ (i \leqslant 4), \delta » est une flèche courbe remontant de \hat{\mathcal{X}}_{0,4} vers le produit.

\hat{M}_{0,3} : pts isolés — en nombre \hat{M}_{0,3} \;\text{---}\; \hat{\mathcal{X}}_{0,3}

\bigotimes_{i \in K} L_i = L_K L_i \simeq L_K \otimes p^*_{K \setminus \{i\}, K}\, L_{K \setminus \{i\}} L_K est entouré et souligné dans la seconde formule ; dessous, un mot en pointillé, . Au-dessous encore, une ligne biffée : « 12 6 ».

\begin{array}{l|c|c|c} n & 4 & 5 & 6 \\ \hline (n-1)(n-2) & 6 & 12 & 20 \\ \hline \text{meilleur exposant pour trivialiser } L & 3 & 12\,? & 20\,? \\ \hline \text{meilleur exposant pour trivialiser } L_i & 6 & 12\,? & 60\,? \\ \hline \text{exposant pour trivialiser } \text{\struck{$H^1(M_{0,I}, \mathfrak{S}_I;\, \mathbb{G}_m)$}} & & & \\ \hline \text{dividende (?)} \ H^1(M_{0,I}, \mathfrak{S}_{I \setminus \{i\}};\, \mathbb{G}_m) & & & \end{array} « dividende » est une lecture douteuse. Les intitulés des lignes sont écrits obliquement dans la marge gauche du tableau ; les deux dernières lignes sont restées vides. Dans la première colonne, « (n-1)(n-2) » est écrit sur un premier essai noirci.

L_K quand n = 5 : \cdots\ \prod_{A \in \mathbb{P}_3}{}' p_A^*(L_A) = \prod_{\substack{(i \in A) \\ i \in A \in \mathbb{P}_3(K)}} L_i = \Bigl(\prod_{i \in K} L_i\Bigr)^{\otimes 4} = L^{4} Le premier membre, rendu « \cdots », est illisible : . Sous L_A, un mot en pointillé et « p. 3 », illisibles. L'exposant final de L est surchargé. (L^4)^3 \simeq \text{\struck{$\mathcal{O}$ \ldots}}

Les notes sont écrites sous un sujet d'examen dactylographié (Université des Sciences et Techniques du Languedoc, session de juin 1978) qui demande de décrire les classes de conjugaison de sous-groupes et d'éléments du groupe alterné \mathfrak{A}_5 en termes de l'icosaèdre ; seules les notes manuscrites sont transcrites. La date de l'imprimé est un terme a quo pour cette page.

Trois points alignés ; au-dessous, trois points sur un segment.

\xi_A \in \Gamma(M_{0,I}, L_A^*) , \qquad \prod_A \xi_A \in \Gamma\Bigl(M_{0,I}, \bigotimes_A L_A\Bigr) \xi, \quad A \in \mathbb{P}_3(I), \qquad M_{0,I} \xrightarrow{\ \ast\ } M_{0,A} \xi = \prod \xi_A \in L^{\otimes \nu}, \qquad \tfrac{(n-1)(n-2)}{2} = \nu L'étiquette \ast de la flèche M_{0,I} \to M_{0,A} est un symbole surchargé illisible. Devant « \frac{(n-1)(n-2)}{2} » un symbole biffé ; le dénominateur est surchargé, et l'exposant de L (\otimes\nu) est noirci.

L_i \xrightarrow{\ \varphi_{i,A,\omega}\ } \mathcal{O}, \qquad i \in A \in \mathbb{P}_3(I), \qquad L = \bigotimes_{i \in I} L_i , \qquad \nu = \frac{(n-1)(n-2)}{2} L_i^2 \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \psi_{i,A}\ } \mathcal{O} \qquad \text{\struck{$L_i \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{O}$}} \qquad \xi \in L_i \ \text{---}\ \xi \xi^*_{i,A} \in \Gamma L_i^2 \qquad \xi \in L_A^2 \simeq

Dans « L = \bigotimes L_i », un symbole biffé précède le produit ; un autre est biffé entre \xi^*_{i,A} et \xi \in L_A^2.

Ex n = 4, \nu = 3 : on trouve L^{\otimes 6} \simeq 1 ; Ex n = 5, \nu = 6, on trouve L^{\otimes 6} \simeq 1.

L_i \simeq L \otimes L^{-1}_{I \setminus \{i\}} \simeq L \otimes p_i^*\bigl(\mathcal{O}(\ast)\bigr), \qquad p_i : M_{0,I} \longrightarrow M_{0, I \setminus \{i\}} \simeq \Sigma Dans le dernier exposant, l'argument de \mathcal{O} est surchargé (rendu \ast ; peut-être 4 ou 1).

\mathcal{T}_{0,I} \mathcal{T}_{0,I} i_0 \in I, i_1 \neq i_0, i_0 \in I \setminus \{i_1\} = i_0 \sqcup (I \setminus \{i_0, i_1\})

\begin{tikzcd} \mathcal{T}_{0,I} \arrow[d, "p_1"] & M_{0,K} \arrow[d] \\ \mathcal{T}_{0, I \setminus \{i_1\}} & M_{0,I} \end{tikzcd}

Devant le premier \mathcal{T}_{0,I} de la colonne, un symbole biffé.

\mathcal{T} \times 1\ 2\ 3\ 4 5 \mathcal{O}(4)^{\ast}\ \cdots \simeq \mathcal{O}(-2) \simeq \Omega^1 H \qquad \mathcal{O}( \qquad \prod_{i \in I} L_i M_{0,I} \hookrightarrow \prod_{i \in K} \Sigma_{J(i)}, \qquad J(i) = I \setminus \{i\} L'exposant \ast de \mathcal{O}(4) est un petit signe illisible, suivi d'un mot souligné, rendu « \cdots », lui aussi illisible : . Dans \prod L_i, un symbole est biffé devant L_i. Sous \Sigma_{J(i)}, souligné, est écrit « I \setminus \{i\} », que l'on rend par l'égalité ; l'indice du produit, K, est écrit sur un I.

H^1(\mathfrak{S}_5, M^!_{0,5};\, \mathbb{G}_m), \qquad H^1(M_{0,5};\, \mathbb{G}_m) \simeq 0, \qquad H^0(M^!_{0,5}, \mathbb{G}_m), H^2(\mathcal{T}^+_{0,5}, \mathbb{Z}) = \qquad H^1(M^!_{0,5} Ces lignes sont laissées inachevées ; un trait les sépare de la colonne de droite.

M_{0,5} à corps d'éclatement : partir de \mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_1.

\begin{tikzcd} M^!_{0,5} \arrow[d] & \mathcal{U}_{3} \times \mathcal{U}_{0,3} \arrow[d] \\ M^!_{0,4} \simeq \mathcal{U}_{0,3} & \mathcal{U}_{0,3} \end{tikzcd}

H^0(M_{0,3}, \mathbb{G}_m) \simeq \text{\struck{$\ast$}} Le second membre biffé, rendu \ast, est illisible.

Deux petites configurations de courbes stables, la première biffée.

0 \longrightarrow \mathbb{G}_m \longrightarrow H^0(M_{0,K}, \mathbb{G}_m) \longrightarrow \bigl(\mathbb{Z}^{\mathbb{P}_3(K)}\bigr)' \longrightarrow 0 0 \longrightarrow \underbrace{H^1(\mathfrak{S}_K, \mathbb{G}_m)}_{\pm 1} \longrightarrow \underbrace{H^1\bigl(\mathfrak{S}_K, H^0(M_{0,K}, \mathbb{G}_m)\bigr)}_{H^1(M_{0,K}, \mathfrak{S}_K;\, \mathbb{G}_m)} \longrightarrow H^1\bigl(\mathfrak{S}_5, (\mathbb{Z}^{\mathbb{P}_3(K)})'\bigr) H^1\bigl(\mathfrak{S}_5, (\mathbb{Z}^{\mathbb{P}_3(K)})'\bigr) \longrightarrow H^2(\mathfrak{S}_K, \mathbb{G}_m) Dans la première suite, le K de M_{0,K} et de \mathbb{P}_3(K) est écrit sur un autre indice ; au-dessus de M_{0,K} un petit symbole . La dernière flèche est verticale sur la page, de H^1(\mathfrak{S}_5, \ldots) vers H^2(\mathfrak{S}_K, \mathbb{G}_m).

La page commence au milieu d'un énoncé (« dont la deuxième… ») dont le début ne se trouve pas dans ce lot.

dont la deuxième est donnée par \boxed{\rho_1 \longleftrightarrow \sigma_\infty, \quad \rho_\infty \longmapsto \rho^{-1}} \qquad \rho_0 = (\rho_\infty \rho_1)^{-1} \longrightarrow \sigma_\infty \rho^{\ast} = \varepsilon_0 \tag{41} et la première par \boxed{\tau_0 \longmapsto \tau_\infty}, \quad \underset{\displaystyle \rho_0}{\tau_0 \,\shortparallel} \longmapsto \quad , \quad \boxed{\tau_\infty \longmapsto \tau_\infty} , \tag{42} L'exposant \ast de \rho dans (41) est illisible. Dans (42), sous le second \tau_0, un signe d'égalité vertical renvoie à \rho_0 ; l'image de \tau_0 est laissée en blanc. Le (41) est écrit sur un autre numéro. Les indices 0 de \tau sont noircis et lus avec doute.

Un triangle sphérique de sommets 0, 1, \infty, avec un signe \xi (ou \zeta) à gauche et un i au-dessous ; à droite, une figure mêlant un triangle (sommets marqués, dont l'un \infty biffé et l'autre 1) et un pentagone, une région hachurée en zigzag.

\pi_{\mathbb{D}_n}, \quad \pi_{\mathfrak{S}_4^+}, \quad \pi_{\mathfrak{S}_4}, \quad \pi_{\mathfrak{S}_5^+}

\pi_X \pi_X \hookrightarrow X une carte : on enlève les sommets

\pi_{P} \pi_{\mathrm{icos}}, \pi_{\mathrm{dodéc}}, \pi_{\mathrm{tétr.}}, \pi_{\mathrm{cube}}, \pi_{\mathrm{oct.}}, ~~\pi~~

\pi, \pi_{\mathbf{P}} \longrightarrow polygone combinatoire fini…

Feuillet en largeur, presque entièrement de figures : trois sphères à gauche, dont l'équateur porte des points cerclés étiquetés a, b, c, d, e et s, t, u, v, w, avec un pôle a relié par des méridiens, un secteur hachuré et des flèches de rotation ; au centre, un grand patron (un pentagone en perspective, sommets s, t, et des faces hachurées) dont les arêtes portent (a), (b), (c), (d), (e) ; au-dessous, une sphère et deux cercles équatoriaux portant les mêmes lettres ; en haut à droite, un fuseau de sommets s et t, arêtes b, c, d, e, une région hachurée et un point \alpha.

\begin{tikzcd}[row sep=small, column sep=large] & \mathfrak{F} \\ \mathcal{R} \arrow[ur] \arrow[r] \arrow[dr] & \mathcal{A} \\ & \mathcal{S} \end{tikzcd}

\mathcal{R} : repères des bidodécagones (120) grands ; \mathfrak{F} : faces des bidodécagones (12) ; \mathcal{A} : arêtes ~~des~~ des dodécagones (30) ; \mathcal{S} : sommets des bidodécagones (20).

Le nombre des faces est surchargé : « 12 » est lu avec doute. Le \mathfrak{F} est écrit sur une autre lettre.

2 \times (6 + 15 + 10) = 62

Croquis sans texte de sa main, dessinés sur une circulaire datée du 12 février 1982 (terme a quo pour cette page). Ils prolongent les figures de cartes et de recollements des pages précédentes.

Un ruban hexagonal hachuré, replié sur lui-même ; plusieurs graphes trivalents en forme de « nœud papillon » ou de deux triangles joints par une arête, certains avec des sommets cerclés ou hachurés ; une grande ellipse au crayon traversée par un segment ; un réseau en zigzag de quadrilatères et de triangles ; un segment portant trois points ; une boucle à deux points cerclés ; un triangle dont un sommet est cerclé, prolongé par une queue.

Feuillet de chemise, vide à part un titre de sa main en haut à droite (et, au crayon, l'indication « (19 p) », peut-être des archivistes). Il marque le début d'une nouvelle liasse, qui commence à la page 80.

Groupoïdes

Lemme 1. Soit 1 \to L \longrightarrow \tilde{\pi} \longrightarrow \pi \longrightarrow 1 une suite exacte de groupes, soit (x_i)_{i \in I} un syst. de générateurs de \pi, (a_j)_{j \in J} un syst. de générateurs de L, R_\alpha\bigl((x_i)\bigr) = 1 \quad (\alpha \in A) un syst. de relations définissantes de \pi, S_\beta\bigl((a_j)\bigr) = 1 \quad (\beta \in B) un syst. de relations définissantes de L. Relevons les x_i en des \tilde{x}_i \in \tilde{\pi}, et choisissons des mots M_\alpha et M_{ij} (\alpha \in A, (i,j) \in I \times J) en des lettres a_j, de telle façon qu'on ait \left\{ \begin{aligned} & R_\alpha\bigl((\tilde{x}_i)\bigr) = M_\alpha\bigl((a_j)\bigr) && \forall \alpha \in A \qquad (1) \\ & \tilde{x}_{i_0}\, a_{j_0}\, \tilde{x}_{i_0}^{-1} = M_{i_0 j_0}\bigl((a_j)\bigr) && \forall (i_0, j_0) \in I \times J \qquad (2) \end{aligned} \right. Alors les relations (1), (2), jointes à S_\beta\bigl((a_j)\bigr) = 1 \quad (\beta \in B) \qquad (3) sont un syst. de relations définissantes (pour \tilde{\pi}) par rapport aux générateurs (\tilde{x}_i), (a_j).

(1) : relations « relèvements » des R_\alpha ; (2) : relations d'action ; (3) : « relations de S_\beta » dans L. Les trois annotations marginales sont écrites en oblique dans la marge gauche, face aux formules (1)–(3) ; leur lecture est très incertaine, en particulier celle qui concerne (2).

NB Si L est central dans \tilde{\pi}, ~~les relations~~ (relations triviales), on peut prendre les M_{i_0 j_0} les mots vides, donc (2) devient \tilde{x}_i\, a_j\, \tilde{x}_i^{-1} = a_j, \quad \text{i.e.}\ [\tilde{x}_i, a_j] = 1 \qquad (2') pour tout (i,j) \in I \times J.

La page s'arrête ici ; la suite du lemme et sa démonstration, s'il y en a une, sont hors de ce lot.