Cote n° 146, pages 41–60

Cote n° 146 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Groupoïdes de Teichmüller et les S0 Tg,!ν, S0 TG : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978]
Édition de démonstration

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41la feuille ne porte, très pâle, que le texte de la p. 42, ligne pour ligne et note marginale comprise (« Soient $n$ un entier $\geq 3$, et considérons un polygone régulier… », jusqu'à $z \mapsto \zeta z$) ; il est transcrit une seule fois, à la page suivante.

42Il suffirait […] $n \geq 2$, mais le cas $n = 2$ est un peu très dégénéré […] pour certaines […] ; […] manque d'ailleurs […] distinct[…], […] c'est le cas du […] un trou ! Soient $n$ un entier $\geq 3$, et considérons un polygone régulier à ⌜$m =$⌝ $2n$ côtés, dans un espace vectoriel ⌜réel⌝ $V$ de dimension 2. L'ens. $\tilde{J}$ des sommets du polygone forme ⌜l'ens. des sommets d'⌝un polygone combinatoire (on dira aussi qu'il est muni d'une structure de polygone combinatoire, exprimable de diverses façons équivalentes bien connues), dont la donnée équivaut, à isom. can. près, à celle du plan vectoriel réel $V$ et du polygone régulier dans $V$. La donnée de l'un ou de l'autre équivaut en effet à celle d'un torseur sous le groupe diédral \[(1)\qquad D_m = \mu_m \cdot \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\] (produit semi-direct, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ opérant sur $\mu_m$ via $\zeta \mapsto \zeta^{-1}$) qui est le groupe d'automorphismes de la structure standard \[(2)\qquad V_0 = \mathbb{C}, \qquad \tilde{J}_0 = \mu_m \overset{\text{déf}}{=} {}_m\mathbb{C}^{*} \subset V_0 ,\] $\mu_m$ opérant sur $(V_0, \tilde{J}_0)$ par homothéties \[z \longmapsto \zeta z \qquad (\zeta \in \mu_m)\] et $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ par $z \longmapsto \bar{z}$ conjugaison complexe.

43On posera \[(3)\qquad D = D_{\tilde{J}} = \operatorname{Aut}(V, \tilde{J}) \qquad (\tilde{J} \subset V)\] \[(4)\qquad \underline{\omega} = \underline{\omega}_{\tilde{J}} = \Omega(\tilde{J}) \simeq \Omega(V)\] ens. des orientations du poly. comb. $\tilde{J}$, ou de l'espace vectoriel réel $V$ On a dans $D$ le sous-groupe $D^{+}$ des rotations, qui est le noyau de l'hom. naturel ⌜(transport de str.)⌝ $D \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \simeq \operatorname{Aut}(\underline{\omega})$, d'où suite exacte \[(5)\qquad 1 \longrightarrow D^{+} \longrightarrow D \longrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \longrightarrow 1 ,\] $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ opérant sur $D^{+}$ par $\zeta \mapsto \zeta^{-1}$. On a un plongement […] \[(6)\qquad \underline{\omega} \subset D^{+}\] et $\underline{\omega}$ est formé de deux rotations inverses l'une de l'autre, d'angle $\frac{2\pi}{m}$ pour l' ⌜dans le⌝ sens de l'orientation ⌜l'une et l'autre⌝ orientation de $V$. Ce sont deux générateurs de $D^{+}$, inverses l'un de l'autre. On a si l'un de l'autre, $\omega' = \omega^{-1}$, iso correspondant (le choix de $\omega$ […] $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \xrightarrow{\sim} D^{+}$). Les points de Les sommets du polygone seront désignés individuellement par $\tilde{R}_i$ ($i \in \tilde{J}$). On n'a pas utilisé […] le fait que $m$ est pair, ce qui équivaut au fait que l'ens. des $\tilde{R}_i$ dans $V$ est stable par la symétrie $x \mapsto -x$,

44p. 2 de l'auteur. donc ⌜on a encore⌝ défini par un élément privilégié d'ordre ⌜d'ordre 2⌝ \[(7)\qquad a_0 \in D^{+}, \qquad a_0 : x \longmapsto -x ,\] qui est en fait le seul élément d'ordre 2 de $D^{+}$. Si à tout $j \in \tilde{J}$ on associe l'unique réflexion élément $r_j \in D$ (nécessairement une réflexion) donc qui soit $\neq 1$ et telle que \[(8)\qquad r_j(\tilde{R}_j) = \tilde{R}_j ,\] on trouve \[(9)\qquad r_j = r_{a_0(j)} ,\] et donc il y a précisément $n = m/2$ réflexions $r_j$ distinctes, qui correspondent à la moitié ⌜exactement⌝ des éléments de la classe $D^{-}$ de $D$ modulo $D^{+}$. Les autres réflexions sont celles associées aux côtés des polygones envisagés.

Il y a sur $V$ une unique forme quadratique invariante par $D$ ([…] seulement par $D^{+}$), prise égale à 1 sur les $\tilde{R}_j$. On considère $V$ comme espace vect. euclidien, grâce à cette forme.

NB Le groupe agissant $D$ est réduit à $\{1, a_0\}$ […] […] cas $n$ pair […] […] $D_n$ […] $\neq \{1\}$ en haut à droite, un petit bloc de quatre lignes biffé d'obliques (on y devine « réflexion », « $\mathbb{R}$ », « d'ordre 2 »), illisible pour le reste.

45un hexagone inscrit dans un cercle, de sommets marqués $\tilde{R}_1$, $\tilde{R}'_0$, $\tilde{R}_5$, $\tilde{R}'_4$, $\tilde{R}_3$, $\tilde{R}_2$ (ce dernier surchargé d'un $4$), le centre pointé ; les diagonales et quelques cordes sont tracées en tirets au crayon.

On s'intéresse au complexifié $V_{\mathbb{C}}$, et à la droite projective complexe \[\text{\struck{$\Sigma \ldots$}}\] \[(10)\qquad \Sigma_{\tilde{J}}(\mathbb{C}) = \Sigma_{\tilde{J}} \overset{\text{déf}}{=} \Sigma = \mathbb{P}(V_{\mathbb{C}}) = V_{\mathbb{C}}^{*}/\mathbb{C}^{*} ,\] ⌜les⌝ sur lequel $D$ opère […] au moyen de cette opération ; le centre $\{1, a_0\}$ opérant trivialement, […] $D/\{1, a_0\}$ (groupe diédral $D_n$). On note $R_i \in \Sigma$ l'image de $\tilde{R}_i$ dans $\Sigma$, […] $R_i = R_{a_0(i)}$, […] $J = \tilde{J}/\{1, a_0\}$ […]. les lignes de ce paragraphe sont écrites en oblique, de bas à gauche vers le haut à droite, entremêlées avec le NB qui suit ; seules les formules se lisent avec quelque sûreté.

NB $(\Sigma, J \subset \Sigma)$ étant donnés ($\Sigma$ comme droite projective complexe, (11) […]) ainsi que sphère conforme orientée […] $D_n$ […] $(V_{\mathbb{R}}, \tilde{J})$ […] à isom. près […] $D_n$ !) […], mais seulement […] les $D_n$ […] $\#J$ […] torseurs […] […] modulo twist par […] (11) […] ; l'ambiguïté […] à savoir […] la donnée d'une […] les deux […]-gônes dont les […] des (13) autres […]-gônes […]

46p. 3 de l'auteur. L'ens. des points fixes de $D^{+}$ opérant sur $\Sigma$ est index réduit à deux éléments, un dans chacun des deux hémisphères en lesquels $\Sigma_{\mathbb{R}} = P(V)$ découpe $\Sigma$ — on a : \[(14)\qquad \pi_0(\Sigma \setminus \Sigma_{\mathbb{R}}) \simeq \underline{\omega} = \Omega(\Sigma_{\mathbb{R}})\] (couvr. de Stokes, provenant de l'orientation can. de $\Sigma$) donc les deux « pôles » seront indexés par $\underline{\omega}$, et notés $P_\omega$ \[(15)\qquad \begin{cases} P_\omega \quad (\omega \in \underline{\omega}) \\ P_\omega = \Sigma^{D^{+}} \cap \Sigma_\omega \end{cases}\] sous $\Sigma^{D^{+}}$ : « invariants $D^{+}$ op. sur $\Sigma$ » ; sous $\Sigma_\omega$ : « comp. conn. de $\Sigma \setminus \Sigma_{\mathbb{R}}$ indexée par $\omega$ ».

Si on exprime la définition de $\Sigma^{D^{+}}$ en termes d'algèbre linéaire, on trouve que ce sont les droites ⌜propres⌝ (dans $V_{\mathbb{C}}$) propres pour l'action de $D^{+}$. Mais considérons la double structure euclidienne sur $V_{\mathbb{C}}$, qui définit s'étend en une structure

47quadratique non dégénérée sur $V_{\mathbb{C}}$, par laquelle $V_{\mathbb{C}}$ se décompose en sous-espaces isotropes \[(16)\qquad V_{\mathbb{C}} = \bigoplus_{\omega \in \underline{\omega}} V_{\mathbb{C}}^{\omega}\] qui sont aussi les sous-espaces propres pour le groupe ⌜$O^{+}(V)$⌝ des rotations de $V$. La donnée d'une orientation ⌜$\omega$⌝ de $V$ permet de choisir une autom. de \[(17)\qquad \begin{cases} u_\omega \in \text{\struck{\ill{}}}\; O^{+}(V) \\ u_\omega^{2} = -1 \end{cases}\] rotation d'un quart de tour dans le sens de l'orientation $\omega$ d'où une structure complexe sur $V$ ⌜(qui devient un vect. complexe de rang 1, soit $V_{(\omega)}$)⌝, en faisant opérer $i \in \mathbb{C}$ par \[i_\omega\, x = u_\omega x .\] Mais par la définition universelle du complexifié, la structure application $\mathbb{R}$-linéaire $V \to V_{(\omega)}$ se prolonge canoniquement en une application

48p. 4 de l'auteur. $\mathbb{C}$-linéaire, commutant d'ailleurs (par transport de str.) \[(17')\qquad V_{\mathbb{C}} \xrightarrow{\;p_\omega\;} V_{(\omega)} \qquad (\mathbb{C}\text{-lin.})\] cette application commute par transport de str. à $O^{+}(V)$ (opérant sur $V_{\mathbb{C}}$ par complexification) d'où une application ⌜$\mathbb{C}$-lin.⌝ canonique $V_{\mathbb{C}} \to \prod_{\omega \in \underline{\omega}} V_{(\omega)}$, qui est un isomorphisme \[(18)\qquad p = (p_\omega)_{\omega \in \underline{\omega}} : V_{\mathbb{C}} \xrightarrow{\;\sim\;} \prod_{\omega \in \underline{\omega}} \underbrace{V_{(\omega)}}_{\simeq V_{\mathbb{C}}^{\omega}} .\] l'opération d'[…] $V_{\mathbb{C}}$ […] $V^{(\omega)}$ […] comme […] par […] $u_\omega$ sur le facteur Les $V_{(\omega)}$ sont apparus comme espaces quotients de $V_{\mathbb{C}}$, si on veut les regarder comme sous-espaces ⌜— auquel cas on les note $V_{\mathbb{C}}^{\omega}$ —⌝ on trouve que \[(19)\qquad \begin{aligned} V_{\mathbb{C}}^{\omega} &= \operatorname{Ker}\bigl(V_{\mathbb{C}} \xrightarrow{\;p_{\omega'}\;} V_{(\omega')}\bigr) \\ &= \{\, x \in V_{\mathbb{C}} \mid u_{\omega,\mathbb{C}}(x) = i.x \,\} \qquad (\omega \in \underline{\omega}) \end{aligned}\] Aussi $V_{\mathbb{C}}^{\omega} = \{\, x - i u_\omega x \mid x \in V \,\}$, […] $\varphi_\omega : V \xrightarrow{\sim} V_{\mathbb{C}}^{\omega}$ le $\mathbb{R}$-isom. induit par (17') En fait, les $V_{\mathbb{C}}^{\omega}$ ⌜sont des sous-espaces⌝ propres pour l'action de $O^{+}(V)$, i.e. stables par cette action, tandis que les éléments de $O^{-}(V)$ les interchangent. identification […] des $V^{\omega}$ […] propres […] coïncide […] par […] Stokes

On s'intéresse au fibré vectoriel

49$\mathcal{O}_\Sigma(1)$ sur $\Sigma$, défini par la représentation (10) de $\Sigma$ comme fibré espace des droites projectives associé à un vectoriel bien déterminé. Je désigne par $P\Sigma_{J,\mathbb{C}}$ — simplement $P\Sigma$ — le fibré principal associé, de groupe $\mathbb{C}^{*}$ (avec la topologie complexe, disons, avec la topologie habituelle — pour le moment […] dans le contexte des schémas…). […]

Un point $x$ de $\Sigma$ étant une droite $F$ de $V$, […] on a des isom. can. \[(18)\qquad \begin{cases} V(\underline{\mathcal{O}}(1))_x \simeq V/F \qquad \bigl(\mathcal{O}_F(1) \overset{\text{déf}}{=} \ldots\bigr) \\ F \otimes \mathcal{O}_F(1) \simeq \det(V) \simeq \mathbb{R}(\underline{\omega}) \;\bigl(\overset{\text{déf}}{=} \mathbb{R} \wedge_{\{\pm1\}} \underline{\omega}\bigr) \\ \mathcal{O}_F(1) \simeq \check{F}(\omega) \;\bigl(\overset{\text{déf}}{=} \check{F} \wedge_{\{\pm1\}} \underline{\omega}\bigr) \simeq F^{\perp} \end{cases}\] le numéro (18) est repris tel quel, bien qu'il serve déjà p. 48 ; de même (19) ci-dessous. En marge de la première ligne, « d'où, pour $x$ : dét » ; au-dessus de la troisième, « $\mathbb{R}$-tor. ». orth. pour la str. quadratique canonique d'où \[(19)\qquad (P\Sigma)_x = (P\Sigma)_F \simeq (V/F)^{*} \simeq (\check{F})^{*} \wedge_{\{\pm1\}} \underline{\omega} \simeq F^{\perp}\] et par son isom.s compatibles avec l'action de $\mathbb{C}^{*}$ (opérant sur $\check{F}$ par contra contragrédience de l'action sur $F$), on a encore \[(20)\qquad (P\Sigma)_x \simeq F^{*} \wedge_{\{\pm1\}} \underline{\omega} = (F \wedge_{\{\pm1\}} \underline{\omega})^{*} \simeq (F^{\perp})^{*}\]

50p. 5 de l'auteur. […] un isom. ([…] $V(\omega)^{*}$, $V^{*}$) pour deux droites vectorielles $F, F'$ […] $F^{*} \simeq F'^{*}$ […], entre $(P\Sigma)_x$ et $(F \wedge \omega)^{*}$, ind qui renverse l'action […]. On trouve ainsi des isom. \[(21)\qquad \begin{cases} P\Sigma \simeq (V(\omega))^{*} \\ P\Sigma \simeq V^{*} \end{cases}\] à droite de (21), quelques symboles biffés (« $F$ », « $\mapsto \check{e}$ », « $F/e$ »). […] $(P\Sigma)_x$ […] $\simeq \check{F}(\omega) \simeq F^{\perp}$ […] $(F^{\perp})^{*}$ […] (21) […] $D$ […] l'action de […] (transformant […]) Mais on a un isom. canonique (provenant du produit extérieur) \[V \simeq \check{V}(\omega)\] et un isom. canonique (provenant de la forme quadratique) $V \to \check{V}$, donc $\check{V}(\omega) \simeq V(\omega)$, d'où un isom. canonique \[(21)\qquad V \xrightarrow{\;\sim\;} V(\omega)\] qui explicite la […] de l'un à l'autre isom. […] (21). D'ailleurs, (21) induit un isom. $D$, et par […] induisant l'identité \[\text{\struck{$\Sigma \simeq P(V) \xrightarrow{\text{id}} \Sigma \simeq P(V(\omega))$}}\] \[(22)\qquad \Sigma = P(V) \xrightarrow{\;\sigma\;} P(V(\omega)) \qquad (\simeq \Sigma = P(V))\] (qui est la rotation symétrie p.r. à l'axe polaire, qui […] qui s'exprime […] comme le passage de $F$ à $F^{\perp}$).

[…] est iso […] si $F$ correspond à $F' \subset V$, on fait $F'(\omega)$ […] dans $V(\omega)$ […] $F' = F^{\perp}$) on a $F(\omega) \simeq F'(\omega)$ i.e. $F(\omega) \simeq F'$. ces trois dernières lignes sont barrées en bloc de traits obliques.

51[…] […] l'iso. \[V \xrightarrow{\;\sim\;} \ldots \Sigma \simeq V^{*}\] \[P\Sigma \simeq V(\underline{\omega})^{*} ,\] […] ⌜[…]⌝ l'action de $\mathbb{C}^{*}$ […] ([…] par l'action opposée), […] compatible […] […] projections

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\begin{tikzcd}
  P\Sigma \arrow[r, "\sim", "(23)"'] \arrow[d, "\text{proj.\ can.}"']
    & V^{*} \arrow[d, "\text{proj.\ can.}"] \\
  \Sigma \arrow[r, "\sigma"] & \Sigma \simeq V^{*}/\mathbb{R}^{*}
\end{tikzcd}

Notons en passant que si $\tau$ désigne la conjugaison complexe (dans $V_{\mathbb{C}}$ — […] $\Sigma$) on a \[\tau\sigma = \underline{a}\] « antipodisme » de $\Sigma$… le numéro (25) figure dans la marge à hauteur de cette formule ; (24) n'apparaît que dans la note marginale.

Je m'intéresse à l'ouvert \[(26)\qquad \Sigma^{*} = \Sigma \setminus \{\, R_i \mid i \in J \,\}\] et à \[(27)\qquad P\Sigma^{*} = P\Sigma \,|\, \Sigma^{*} \overset{(23)}{\simeq} V^{**} = V^{*} - \bigcup_{i \in J} \Delta_i\] où les $\Delta_i$ sont les $n = m/2$ diagonales du Tout le […] digression précédente […] « sens des […] : […] d'un point $R_i \in \Sigma$, il […] $R_i$ canonique ([…] $\omega \in \underline{\omega}$), et […] $\Gamma(\Sigma, L)$ $\Gamma(\Sigma, \underline{L})$ […] $R_i$ des éléments […] de $\Gamma(\Sigma, L)$ […] dont la somme est $0$, […] $V \simeq \mathcal{O}^{J}/\mathcal{O}$ (diagonale) […] $\Sigma$ […] $V^{*}/\mathbb{C}^{*}$ […] $\Sigma$ : […] $P\Sigma$ […] $\mathbb{C}^{*}$ […] l'opération de […] (24) $V = \Gamma(\Sigma, \underline{L})(\omega)$ […] $V = \operatorname{Ker}(\mathcal{O}^{J} \to \mathcal{O})$ […] $D\ (\simeq \mathfrak{S}_3)$ […] (25) la note marginale ci-dessus est écrite en oblique sur tout le quart gauche de la feuille, en travers d'elle-même ; seuls des fragments s'en lisent.

52p. 6 de l'auteur. polygone régulier. Je veux décrire des groupoïdes équivalents aux groupoïdes fondamentaux \[(28)\qquad \Pi_1 P\Sigma^{*} \simeq \Pi_1 V^{**} , \qquad \Pi_1 \Sigma^{*}\] par générateurs et relations, avec des sommets bien choisis dans les espaces envisagés, stables par l'action de $D$ ainsi que de celle de $\tau$. Bien sûr, il faut garder présent le morphisme de groupoïdes \[(29)\qquad \Pi_1 P\Sigma^{*} = \Pi_1 V^{**} \longrightarrow \Pi_1 \Sigma^{*} .\] Sur la situation (28), (29) opère le groupe \[\text{\struck{\ill{}}}\; D \times \mathbb{C}^{*} \times \{1, \tau\}\] $D$ opère […], $\mathbb{C}^{*}$ par homothéties (mais c'est l'action opposée de celle sur $P\Sigma^{*}$) NB $D$ n'opère sur $\Sigma^{*}$, $P\Sigma^{*}$ que […] […] ([…] pas dans le cas $n = 3$) […] NB action non fidèle, l'élément $(a_0, -1)$ opérant trivialement.

On s'intéresse ⌜fini⌝ à l'action des sous-groupes \[D \times \mu_m \times \{1, \tau\}\] d'ordre […] $4m^{2} = 16n^{2}$ ($144$ si $n = 3$) mais qui n'est pas fidèle — le quotient qui opère fidèlement est d'ordre $8n^{2}$ ($72$ si $n = 3$). NB l'action quotient (30*) $(D \times \mu_m)/\{\pm 1\} \times \{1, \tau\}$ qui opère fidèlement le numéro (30) est porté dans la marge, à côté de la note ci-dessus ; il semble désigner le groupe $D \times \mu_m \times \{1,\tau\}$. On peut s'intéresser plutôt à son sous-groupe \[(31)\qquad D^{+} \times \mu_m \simeq \mu_m(\underline{\omega}) \times \mu_m\] de (30), en notant que pour la représentation

53(16), (18), i.e. $V_{\mathbb{C}} \simeq \bigoplus_{\omega \in \underline{\omega}} V_{\mathbb{C}}^{\omega}$, on a le groupe produit $\mu_m^{\underline{\omega}}$ d'ordre $m^{2}$ opère sur $V_{\mathbb{C}}$ : par \[(32)\qquad (\lambda_\omega)_{\omega \in \underline{\omega}} \cdot (x_\omega)_{\omega \in \underline{\omega}} = (\lambda_\omega x_\omega)\] On va a des homomorphismes \[(33)\qquad \begin{cases} \mu_m \longrightarrow \mu_m^{\underline{\omega}} \qquad \text{hom.\ diagonal} \\ \mu_m(\underline{\omega}) \simeq D^{+} \longrightarrow \mu_m^{\underline{\omega}} \\ \qquad \lambda \longmapsto (\lambda \wedge \omega)_{\omega \in \underline{\omega}} \end{cases}\] à droite de la dernière ligne, un mot biffé et, au-dessus, « droit ». tels que les actions de $\mu_m$, $D^{+}$ sur $V^{**}$ […] se font via celle de $\mu_m^{\underline{\omega}}$. L'hom. correspondant \[(34)\qquad \text{\struck{\ill{}}}\; \underbrace{D^{+}}_{\mu_m(\underline{\omega})} \times \mu_m \longrightarrow \mu_m^{\underline{\omega}}\] entre groupes de même ordre $m^{2} = 4n^{2}$ a comme noyau le sous-groupe d'ordre 2 engendré par […] $(a_0, -1)$, son image est donc d'indice 2, elle est formée des couples $(\lambda_\omega)_{\omega \in \underline{\omega}}$ tels que l'on ait \[(35)\qquad \text{\struck{\ill{}}}\; \Bigl(\prod_{\omega \in \underline{\omega}} \lambda_\omega\Bigr)^{n} = 1 \qquad \text{i.e.}\quad (\lambda_\omega \lambda_{\omega'})^{n} = 1 .\] Notons que les autom. de $V_{\mathbb{C}}$ qui stabilisent $V_{\mathbb{C}}^{**}$ i.e. qui induisent un automorphisme de $\Sigma$ qui stabilise $J$, sont ceux qui provien-

54p. 7 de l'auteur. nent de $D$ mod $\mathbb{C}^{*}$, donc qui proviennent de $D \times \mathbb{C}^{*}$. Ceux qui conservent […] chaque $P_\omega$, i.e. chaque sous-espace isotrope $V_{\mathbb{C}}^{\omega}$, sont ceux qui proviennent de $D^{+} \times \mathbb{C}^{*}$. Si on plonge \[(36)\qquad D^{+} \times \mathbb{C}^{*} \hookrightarrow \mathbb{C}^{*\,\underline{\omega}}\] comme dans (34), alors l'image est formée des éléments $(\lambda_\omega)_{\omega \in \underline{\omega}}$ tels que, choisissant $\omega \in \underline{\omega}$, on ait \[(37)\qquad \text{\struck{\ill{}}}\; (\lambda_\omega \lambda_{\omega'}^{-1})^{n} = 1\] (condition indépendante du choix de $\omega$), ce qui, pour […] $\lambda_\omega, \lambda_{\omega'} \in \mu_m = \mu_{2n}$, équivaut à la condition sous la forme (35). Donc plus symétriquement, les éléments de $\mu_m^{\underline{\omega}}$ qui ne satisfont pas cette relation ne stabilisent pas $V^{**}$.

On s'intéresse à des choix de pts base […], un […] état de cases, suivant stables par $D \times \{1, \tau\}$, et éventuellement — par le groupe de symétries plus grand \[(D \times \mu_m)/\{\pm 1\} \times \{1, \tau\}\] (d'ordre 72 dans le cas $n = 3$) le texte rédigé (pp. 42–54, p. 1 à 7 de l'auteur) s'arrête ici, en bas de feuille ; la suite n'est pas dans ce lot.

55${}_0\mathfrak{T}_{0,5}$ et $S_0\mathfrak{T}_{0,5}$ seule ligne de la feuille, au crayon, en haut à droite : titre de ce qui suit. La p. 56 est blanche.

57en haut à gauche, une sphère portant un grand cercle (équateur) avec quatre petits cercles pointés ; légende « 4 sommets, deux faces ». Une flèche « deux façons » mène à une seconde sphère, même équateur à quatre sommets cerclés, coupé par un grand cercle méridien (« cercle marqué ») ; légende « 1 cercle marqué, 6 sommets, 4 faces ».

3 possibilités sur I (trois faces aux centres gauches) ; 6 possibilités sur I (6 arêtes du cercle gauche)

une flèche vers le haut, marquée « trois façons (supprimer une des trois […] d'arêtes opposées) », part d'un tétraèdre dont les quatre sommets portent de petits angles ; légende « 4 sommets, 4 faces ». À droite, une petite sphère au crayon et un croquis raturé (une sphère quadrillée dans un cube), avec « […] I ».

deux possibilités sur I

sous un trait horizontal, deux sphères. À gauche, « I », avec le schéma de trois branches « $\vee\!\!\!\perp\!\vee$ » : équateur à cinq sommets cerclés, coupé par deux grands cercles méridiens ; « $\mathbb{Z}/2$ » ; légende « $9 = 5 + 4$ sommets, […] faces, deux cercles marqués » et « $12.5 = 60$ possibilités pour $K$ (pentagone + sommet) », « $D_{01}$ ». À droite, « II », schéma « $\vee\!\!\perp\!\vee$ » : équateur à cinq sommets cerclés, un méridien ; « $\mathbb{Z}/2$ » ; légende « $5 + 2 = 7$ sommets, 4 faces, 1 cercle marqué » et « $12.5 = 60$ poss. pour […] (pentagone + arête) », « $D_{02}$ ». « $12.5 = 60$ » sous II est écrit « 66 » ou « 60 » ; le calcul $12 \cdot 5$ donne 60.

59à gauche, « III » : une sphère portant deux cercles parallèles reliés par deux montants verticaux, le cercle du haut « cercle marqué », deux sommets cerclés sur le cercle du bas et deux au pôle ; « $\mathbb{Z}/2$ » ; légende « $9 = 3 + 3 + 1 + 2$ sommets, 6 faces, 1 cercle marqué » ; « $60 = 10 \times 3 \times 2$ poss. pour $K$ » ; « (triangle + sommet marqué + […]) » avec sous les termes 10, 3, 2. Au centre, un schéma en « $\vee\!\!\perp\!\vee$ » à deux branches. À droite : « $D_0$ », « III » : une sphère à équateur portant cinq sommets cerclés, marquée « $D_5$ » ; légende « 12 façons 5 sommets, 2 faces, 12 possibilités qui […] orientation de $K$ » ; « IV », « $D_2$ » : une sphère méridienne en fuseaux avec trois sommets cerclés ; légende « […] sommets, 6 faces, 20 possibilités (cf […], car il faut choisir une orientation de la sphère) $\sim$ orientation de $K$ » ; un croquis raturé « $\mathfrak{S}_3$ ».

choisissons une orientation sur $K$, […] et […], d'abord dans I, II, avec pentagones compatibles […] l'orienta- tion. $\mathrm{II} \to \mathrm{I}$ deux façons Alors

donnée I $=$ sommet de l'icosaèdre ⌜$\mathrm{Ic}_\omega$⌝ ⌜grandes⌝ $+$ arête […] ⌜incident⌝, i.e. $\in D_{01}(\mathrm{Ic}_\omega)$ diagramme de type 01 ;
donnée II $=$ sommet de l'icos. […] $+$ face […] ⌜incident⌝, i.e. $\in D_{02}(\mathrm{Ic}_\omega)$ ;
donnée III $=$ […] ⌜resp. de⌝ […] de l'icos. […] + sommet dessus

en bas, plusieurs croquis largement raturés : une ellipse, une sphère en fuseaux à quatre sommets cerclés (« $9 = 5 + 4\,\struck{+1}$ sommets », « 30 possibilités (car il faut choisir l'orientation du carré) »), une petite sphère à quatre sommets, un tétraèdre, une sphère « $D_1$ » ; flèches « $\to D_1$ », « $\mathbb{Z}$ ». À gauche, une liste : \[\begin{array}{l} \text{\struck{$D_0 \to D_1$ \quad cinq façons}} \\ D_1 \to D_2 \\ D_{01} \to D_0 \\ D_{01} \to D_1 \\ D_{02} \to D_0 \\ D_{02} \to D_2 \quad \text{\struck{\ill{}}} \end{array}\]