Fonds Grothendieck, cote n° 146, pages 41–60

la feuille ne porte, très pâle, que le texte de la p. 42, ligne pour ligne et note marginale comprise (« Soient n un entier \geq 3, et considérons un polygone régulier… », jusqu'à z \mapsto \zeta z) ; il est transcrit une seule fois, à la page suivante.

Il suffirait n \geq 2, mais le cas n = 2 est un peu très dégénéré pour certaines ; manque d'ailleurs distinct, c'est le cas du un trou ! Soient n un entier \geq 3, et considérons un polygone régulier à m = 2n côtés, dans un espace vectoriel réel V de dimension 2. L'ens. \tilde{J} des sommets du polygone forme l'ens. des sommets d'un polygone combinatoire (on dira aussi qu'il est muni d'une structure de polygone combinatoire, exprimable de diverses façons équivalentes bien connues), dont la donnée équivaut, à isom. can. près, à celle du plan vectoriel réel V et du polygone régulier dans V. La donnée de l'un ou de l'autre équivaut en effet à celle d'un torseur sous le groupe diédral (1)\qquad D_m = \mu_m \cdot \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} (produit semi-direct, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} opérant sur \mu_m via \zeta \mapsto \zeta^{-1}) qui est le groupe d'automorphismes de la structure standard (2)\qquad V_0 = \mathbb{C}, \qquad \tilde{J}_0 = \mu_m \overset{\text{déf}}{=} {}_m\mathbb{C}^{*} \subset V_0 , \mu_m opérant sur (V_0, \tilde{J}_0) par homothéties z \longmapsto \zeta z \qquad (\zeta \in \mu_m) et \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} par z \longmapsto \bar{z} conjugaison complexe.

On posera (3)\qquad D = D_{\tilde{J}} = \operatorname{Aut}(V, \tilde{J}) \qquad (\tilde{J} \subset V) (4)\qquad \underline{\omega} = \underline{\omega}_{\tilde{J}} = \Omega(\tilde{J}) \simeq \Omega(V) ens. des orientations du poly. comb. \tilde{J}, ou de l'espace vectoriel réel V On a dans D le sous-groupe D^{+} des rotations, qui est le noyau de l'hom. naturel (transport de str.) D \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \simeq \operatorname{Aut}(\underline{\omega}), d'où suite exacte (5)\qquad 1 \longrightarrow D^{+} \longrightarrow D \longrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \longrightarrow 1 , \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} opérant sur D^{+} par \zeta \mapsto \zeta^{-1}. ~~On a un plongement~~ (6)\qquad \underline{\omega} \subset D^{+} et \underline{\omega} est formé de deux rotations inverses l'une de l'autre, d'angle \frac{2\pi}{m} ~~pour l'~~ dans le sens de ~~l'orientation~~ l'une et l'autre orientation de V. Ce sont deux générateurs de D^{+}, inverses ~~l'un de l'autre. On a si~~ l'un de l'autre, \omega' = \omega^{-1}, iso correspondant (le choix de \omega \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \xrightarrow{\sim} D^{+}). ~~Les points de~~ Les sommets du polygone seront désignés individuellement par \tilde{R}_i (i \in \tilde{J}). On n'a pas utilisé le fait que m est pair, ce qui équivaut au fait que l'ens. des \tilde{R}_i dans V est stable par la symétrie x \mapsto -x,

p. 2 de l'auteur. ~~donc~~ on a encore défini par un élément ~~privilégié d'ordre~~ d'ordre 2 (7)\qquad a_0 \in D^{+}, \qquad a_0 : x \longmapsto -x , ~~qui est~~ en fait le seul élément d'ordre 2 de D^{+}. Si à tout j \in \tilde{J} on associe l'unique ~~réflexion~~ élément r_j \in D (nécessairement une réflexion) ~~donc~~ qui soit \neq 1 et telle que (8)\qquad r_j(\tilde{R}_j) = \tilde{R}_j , on trouve (9)\qquad r_j = r_{a_0(j)} , et donc il y a précisément n = m/2 réflexions r_j distinctes, qui correspondent à la moitié exactement des éléments de la classe D^{-} de D modulo D^{+}. Les autres réflexions sont celles associées aux côtés des polygones envisagés.

Il y a sur V une unique forme quadratique invariante par D ( seulement par D^{+}), prise égale à 1 sur les \tilde{R}_j. On considère V comme espace vect. euclidien, grâce à cette forme.

NB Le groupe ~~agissant~~ D est réduit à \{1, a_0\} cas n pair D_n \neq \{1\} en haut à droite, un petit bloc de quatre lignes biffé d'obliques (on y devine « réflexion », « \mathbb{R} », « d'ordre 2 »), illisible pour le reste.

un hexagone inscrit dans un cercle, de sommets marqués \tilde{R}_1, \tilde{R}'_0, \tilde{R}_5, \tilde{R}'_4, \tilde{R}_3, \tilde{R}_2 (ce dernier surchargé d'un 4), le centre pointé ; les diagonales et quelques cordes sont tracées en tirets au crayon.

On s'intéresse au complexifié V_{\mathbb{C}}, et à la droite projective complexe \text{\struck{$\Sigma \ldots$}} (10)\qquad \Sigma_{\tilde{J}}(\mathbb{C}) = \Sigma_{\tilde{J}} \overset{\text{déf}}{=} \Sigma = \mathbb{P}(V_{\mathbb{C}}) = V_{\mathbb{C}}^{*}/\mathbb{C}^{*} , les sur lequel D opère au moyen de cette opération ; le centre \{1, a_0\} opérant trivialement, D/\{1, a_0\} (groupe diédral D_n). On note R_i \in \Sigma l'image de \tilde{R}_i dans \Sigma, R_i = R_{a_0(i)}, J = \tilde{J}/\{1, a_0\} . les lignes de ce paragraphe sont écrites en oblique, de bas à gauche vers le haut à droite, entremêlées avec le NB qui suit ; seules les formules se lisent avec quelque sûreté.

NB (\Sigma, J \subset \Sigma) étant donnés (\Sigma comme droite projective complexe, (11) ) ainsi que sphère conforme orientée D_n (V_{\mathbb{R}}, \tilde{J}) à isom. près D_n !) , mais seulement les D_n \#J torseurs modulo twist par (11) ; l'ambiguïté à savoir la donnée d'une les deux -gônes dont les des (13) autres -gônes

p. 3 de l'auteur. L'ens. des points fixes de D^{+} opérant sur \Sigma est ~~index~~ réduit à deux éléments, un dans chacun des deux hémisphères en lesquels \Sigma_{\mathbb{R}} = P(V) découpe \Sigma — on a : (14)\qquad \pi_0(\Sigma \setminus \Sigma_{\mathbb{R}}) \simeq \underline{\omega} = \Omega(\Sigma_{\mathbb{R}}) (couvr. de Stokes, provenant de l'orientation can. de \Sigma) donc les deux « pôles » seront indexés par \underline{\omega}, et notés P_\omega (15)\qquad \begin{cases} P_\omega \quad (\omega \in \underline{\omega}) \\ P_\omega = \Sigma^{D^{+}} \cap \Sigma_\omega \end{cases} sous \Sigma^{D^{+}} : « invariants D^{+} op. sur \Sigma » ; sous \Sigma_\omega : « comp. conn. de \Sigma \setminus \Sigma_{\mathbb{R}} indexée par \omega ».

Si on exprime la définition de \Sigma^{D^{+}} en termes d'algèbre linéaire, on trouve que ce sont les droites propres (dans V_{\mathbb{C}}) ~~propres~~ pour l'action de D^{+}. Mais considérons la double structure euclidienne sur V_{\mathbb{C}}, qui ~~définit~~ s'étend en une structure

quadratique non dégénérée sur V_{\mathbb{C}}, par laquelle V_{\mathbb{C}} se décompose en sous-espaces isotropes (16)\qquad V_{\mathbb{C}} = \bigoplus_{\omega \in \underline{\omega}} V_{\mathbb{C}}^{\omega} qui sont aussi les sous-espaces propres pour le groupe O^{+}(V) des rotations de V. La donnée d'une orientation \omega de V permet de choisir une autom. de (17)\qquad \begin{cases} u_\omega \in \text{\struck{\ill{}}}\; O^{+}(V) \\ u_\omega^{2} = -1 \end{cases} rotation d'un quart de tour dans le sens de l'orientation \omega d'où une structure complexe sur V (qui devient un vect. complexe de rang 1, soit V_{(\omega)}), en ~~faisant~~ opérer i \in \mathbb{C} par i_\omega\, x = u_\omega x . Mais par la définition universelle du complexifié, la ~~structure~~ application \mathbb{R}-linéaire V \to V_{(\omega)} se prolonge canoniquement en une application

p. 4 de l'auteur. \mathbb{C}-linéaire, ~~commutant d'ailleurs (par transport de str.)~~ (17')\qquad V_{\mathbb{C}} \xrightarrow{\;p_\omega\;} V_{(\omega)} \qquad (\mathbb{C}\text{-lin.}) cette application commute par transport de str. à O^{+}(V) (opérant sur V_{\mathbb{C}} par complexification) d'où une application \mathbb{C}-lin. canonique V_{\mathbb{C}} \to \prod_{\omega \in \underline{\omega}} V_{(\omega)}, qui est un isomorphisme (18)\qquad p = (p_\omega)_{\omega \in \underline{\omega}} : V_{\mathbb{C}} \xrightarrow{\;\sim\;} \prod_{\omega \in \underline{\omega}} \underbrace{V_{(\omega)}}_{\simeq V_{\mathbb{C}}^{\omega}} . l'opération d' V_{\mathbb{C}} V^{(\omega)} comme par u_\omega sur le facteur Les V_{(\omega)} sont apparus comme espaces quotients de V_{\mathbb{C}}, si on veut les regarder comme sous-espaces — auquel cas on les note V_{\mathbb{C}}^{\omega} — on trouve que (19)\qquad \begin{aligned} V_{\mathbb{C}}^{\omega} &= \operatorname{Ker}\bigl(V_{\mathbb{C}} \xrightarrow{\;p_{\omega'}\;} V_{(\omega')}\bigr) \\ &= \{\, x \in V_{\mathbb{C}} \mid u_{\omega,\mathbb{C}}(x) = i.x \,\} \qquad (\omega \in \underline{\omega}) \end{aligned} Aussi V_{\mathbb{C}}^{\omega} = \{\, x - i u_\omega x \mid x \in V \,\}, \varphi_\omega : V \xrightarrow{\sim} V_{\mathbb{C}}^{\omega} le \mathbb{R}-isom. induit par (17') En fait, les V_{\mathbb{C}}^{\omega} sont des sous-espaces propres pour l'action de O^{+}(V), i.e. stables par cette action, tandis que les éléments de O^{-}(V) les interchangent. identification des V^{\omega} propres coïncide par Stokes

On s'intéresse au fibré vectoriel

\mathcal{O}_\Sigma(1) sur \Sigma, défini par la représentation (10) de \Sigma comme ~~fibré~~ espace des droites projectives associé à un vectoriel bien déterminé. Je désigne par P\Sigma_{J,\mathbb{C}} — simplement P\Sigma — le fibré principal associé, de groupe \mathbb{C}^{*} (avec la topologie complexe, disons, avec la topologie habituelle — pour le moment dans le contexte des schémas…).

Un point x de \Sigma étant une droite F de V, on a des isom. can. (18)\qquad \begin{cases} V(\underline{\mathcal{O}}(1))_x \simeq V/F \qquad \bigl(\mathcal{O}_F(1) \overset{\text{déf}}{=} \ldots\bigr) \\ F \otimes \mathcal{O}_F(1) \simeq \det(V) \simeq \mathbb{R}(\underline{\omega}) \;\bigl(\overset{\text{déf}}{=} \mathbb{R} \wedge_{\{\pm1\}} \underline{\omega}\bigr) \\ \mathcal{O}_F(1) \simeq \check{F}(\omega) \;\bigl(\overset{\text{déf}}{=} \check{F} \wedge_{\{\pm1\}} \underline{\omega}\bigr) \simeq F^{\perp} \end{cases} le numéro (18) est repris tel quel, bien qu'il serve déjà p. 48 ; de même (19) ci-dessous. En marge de la première ligne, « d'où, pour x : dét » ; au-dessus de la troisième, « \mathbb{R}-tor. ». orth. pour la str. quadratique canonique d'où (19)\qquad (P\Sigma)_x = (P\Sigma)_F \simeq (V/F)^{*} \simeq (\check{F})^{*} \wedge_{\{\pm1\}} \underline{\omega} \simeq F^{\perp} ~~et par son~~ isom.s compatibles avec l'action de \mathbb{C}^{*} (opérant sur \check{F} par ~~contra~~ contragrédience de l'action sur F), on a encore (20)\qquad (P\Sigma)_x \simeq F^{*} \wedge_{\{\pm1\}} \underline{\omega} = (F \wedge_{\{\pm1\}} \underline{\omega})^{*} \simeq (F^{\perp})^{*}

p. 5 de l'auteur. un isom. ( V(\omega)^{*}, V^{*}) pour deux droites vectorielles F, F' F^{*} \simeq F'^{*} , entre (P\Sigma)_x et (F \wedge \omega)^{*}, ~~ind~~ qui renverse l'action . On trouve ainsi des isom. (21)\qquad \begin{cases} P\Sigma \simeq (V(\omega))^{*} \\ P\Sigma \simeq V^{*} \end{cases} à droite de (21), quelques symboles biffés (« F », « \mapsto \check{e} », « F/e »). (P\Sigma)_x \simeq \check{F}(\omega) \simeq F^{\perp} (F^{\perp})^{*} (21) D l'action de (transformant ) Mais on a un isom. canonique (provenant du produit extérieur) V \simeq \check{V}(\omega) et un isom. canonique (provenant de la forme quadratique) V \to \check{V}, donc \check{V}(\omega) \simeq V(\omega), d'où un isom. canonique (21)\qquad V \xrightarrow{\;\sim\;} V(\omega) qui explicite la de l'un à l'autre isom. ~~(21)~~. D'ailleurs, (21) induit ~~un isom. D, et par induisant l'identité~~ \text{\struck{$\Sigma \simeq P(V) \xrightarrow{\text{id}} \Sigma \simeq P(V(\omega))$}} (22)\qquad \Sigma = P(V) \xrightarrow{\;\sigma\;} P(V(\omega)) \qquad (\simeq \Sigma = P(V)) (~~qui est~~ la ~~rotation~~ symétrie p.r. à l'axe polaire, ~~qui~~ qui s'exprime comme le passage de F à F^{\perp}).

~~est iso si F correspond à F' \subset V, on fait F'(\omega) dans V(\omega) F' = F^{\perp}) on a F(\omega) \simeq F'(\omega) i.e. F(\omega) \simeq F'.~~ ces trois dernières lignes sont barrées en bloc de traits obliques.

l'iso. V \xrightarrow{\;\sim\;} \ldots \Sigma \simeq V^{*} P\Sigma \simeq V(\underline{\omega})^{*} , l'action de \mathbb{C}^{*} ( par l'action opposée), compatible projections

\begin{tikzcd} P\Sigma \arrow[r, "\sim", "(23)"'] \arrow[d, "\text{proj.\ can.}"'] & V^{*} \arrow[d, "\text{proj.\ can.}"] \\ \Sigma \arrow[r, "\sigma"] & \Sigma \simeq V^{*}/\mathbb{R}^{*} \end{tikzcd}

Notons en passant que si \tau désigne la conjugaison complexe (dans V_{\mathbb{C}} — \Sigma) on a \tau\sigma = \underline{a} « antipodisme » de \Sigma… le numéro (25) figure dans la marge à hauteur de cette formule ; (24) n'apparaît que dans la note marginale.

Je m'intéresse à l'ouvert (26)\qquad \Sigma^{*} = \Sigma \setminus \{\, R_i \mid i \in J \,\} et à (27)\qquad P\Sigma^{*} = P\Sigma \,|\, \Sigma^{*} \overset{(23)}{\simeq} V^{**} = V^{*} - \bigcup_{i \in J} \Delta_i où les \Delta_i sont les n = m/2 diagonales du Tout le digression précédente « sens des : d'un point R_i \in \Sigma, il R_i canonique ( \omega \in \underline{\omega}), et ~~\Gamma(\Sigma, L)~~ \Gamma(\Sigma, \underline{L}) R_i des éléments de \Gamma(\Sigma, L) dont la somme est 0, V \simeq \mathcal{O}^{J}/\mathcal{O} (diagonale) \Sigma V^{*}/\mathbb{C}^{*} \Sigma : P\Sigma \mathbb{C}^{*} l'opération de (24) V = \Gamma(\Sigma, \underline{L})(\omega) V = \operatorname{Ker}(\mathcal{O}^{J} \to \mathcal{O}) D\ (\simeq \mathfrak{S}_3) (25) la note marginale ci-dessus est écrite en oblique sur tout le quart gauche de la feuille, en travers d'elle-même ; seuls des fragments s'en lisent.

p. 6 de l'auteur. polygone régulier. Je veux décrire des groupoïdes équivalents aux groupoïdes fondamentaux (28)\qquad \Pi_1 P\Sigma^{*} \simeq \Pi_1 V^{**} , \qquad \Pi_1 \Sigma^{*} par générateurs et relations, avec des sommets bien choisis dans les espaces envisagés, stables par l'action de D ainsi que de celle de \tau. Bien sûr, il faut garder présent le morphisme de groupoïdes (29)\qquad \Pi_1 P\Sigma^{*} = \Pi_1 V^{**} \longrightarrow \Pi_1 \Sigma^{*} . Sur la situation (28), (29) opère le groupe \text{\struck{\ill{}}}\; D \times \mathbb{C}^{*} \times \{1, \tau\} D opère , \mathbb{C}^{*} par homothéties (mais c'est l'action opposée de celle sur P\Sigma^{*}) NB D n'opère sur \Sigma^{*}, P\Sigma^{*} que ( pas dans le cas n = 3) NB action non fidèle, l'élément (a_0, -1) opérant trivialement.

On s'intéresse fini à l'action des sous-groupes D \times \mu_m \times \{1, \tau\} d'ordre 4m^{2} = 16n^{2} (144 si n = 3) mais qui n'est pas fidèle — le quotient qui opère fidèlement est d'ordre 8n^{2} (72 si n = 3). NB l'action quotient (30*) (D \times \mu_m)/\{\pm 1\} \times \{1, \tau\} qui opère fidèlement le numéro (30) est porté dans la marge, à côté de la note ci-dessus ; il semble désigner le groupe D \times \mu_m \times \{1,\tau\}. On peut s'intéresser plutôt à son sous-groupe (31)\qquad D^{+} \times \mu_m \simeq \mu_m(\underline{\omega}) \times \mu_m de (30), en notant que pour la représentation

(16), (18), i.e. V_{\mathbb{C}} \simeq \bigoplus_{\omega \in \underline{\omega}} V_{\mathbb{C}}^{\omega}, on a le groupe produit \mu_m^{\underline{\omega}} d'ordre m^{2} opère sur V_{\mathbb{C}} : par (32)\qquad (\lambda_\omega)_{\omega \in \underline{\omega}} \cdot (x_\omega)_{\omega \in \underline{\omega}} = (\lambda_\omega x_\omega) On va a des homomorphismes (33)\qquad \begin{cases} \mu_m \longrightarrow \mu_m^{\underline{\omega}} \qquad \text{hom.\ diagonal} \\ \mu_m(\underline{\omega}) \simeq D^{+} \longrightarrow \mu_m^{\underline{\omega}} \\ \qquad \lambda \longmapsto (\lambda \wedge \omega)_{\omega \in \underline{\omega}} \end{cases} à droite de la dernière ligne, un mot biffé et, au-dessus, « droit ». tels que les actions de \mu_m, D^{+} sur V^{**} se font via celle de \mu_m^{\underline{\omega}}. L'hom. correspondant (34)\qquad \text{\struck{\ill{}}}\; \underbrace{D^{+}}_{\mu_m(\underline{\omega})} \times \mu_m \longrightarrow \mu_m^{\underline{\omega}} entre groupes de même ordre m^{2} = 4n^{2} a comme noyau le sous-groupe d'ordre 2 engendré par (a_0, -1), son image est donc d'indice 2, elle est formée des couples (\lambda_\omega)_{\omega \in \underline{\omega}} tels que l'on ait (35)\qquad \text{\struck{\ill{}}}\; \Bigl(\prod_{\omega \in \underline{\omega}} \lambda_\omega\Bigr)^{n} = 1 \qquad \text{i.e.}\quad (\lambda_\omega \lambda_{\omega'})^{n} = 1 . Notons que les autom. de V_{\mathbb{C}} qui stabilisent V_{\mathbb{C}}^{**} i.e. qui induisent un automorphisme de \Sigma qui stabilise J, sont ceux qui provien-

p. 7 de l'auteur. nent de D mod \mathbb{C}^{*}, donc qui proviennent de D \times \mathbb{C}^{*}. Ceux qui conservent chaque P_\omega, i.e. chaque sous-espace isotrope V_{\mathbb{C}}^{\omega}, sont ceux qui proviennent de D^{+} \times \mathbb{C}^{*}. Si on plonge (36)\qquad D^{+} \times \mathbb{C}^{*} \hookrightarrow \mathbb{C}^{*\,\underline{\omega}} comme dans (34), alors l'image est formée des éléments (\lambda_\omega)_{\omega \in \underline{\omega}} tels que, choisissant \omega \in \underline{\omega}, on ait (37)\qquad \text{\struck{\ill{}}}\; (\lambda_\omega \lambda_{\omega'}^{-1})^{n} = 1 (condition indépendante du choix de \omega), ce qui, pour \lambda_\omega, \lambda_{\omega'} \in \mu_m = \mu_{2n}, équivaut à la condition sous la forme (35). Donc plus symétriquement, les éléments de \mu_m^{\underline{\omega}} qui ne satisfont pas cette relation ne stabilisent pas V^{**}.

On s'intéresse à des choix de pts base , un état de cases, suivant stables par D \times \{1, \tau\}, et éventuellement — par le groupe de symétries plus grand (D \times \mu_m)/\{\pm 1\} \times \{1, \tau\} (d'ordre 72 dans le cas n = 3) le texte rédigé (pp. 42–54, p. 1 à 7 de l'auteur) s'arrête ici, en bas de feuille ; la suite n'est pas dans ce lot.

{}_0\mathfrak{T}_{0,5} et S_0\mathfrak{T}_{0,5} seule ligne de la feuille, au crayon, en haut à droite : titre de ce qui suit. La p. 56 est blanche.

en haut à gauche, une sphère portant un grand cercle (équateur) avec quatre petits cercles pointés ; légende « 4 sommets, deux faces ». Une flèche « deux façons » mène à une seconde sphère, même équateur à quatre sommets cerclés, coupé par un grand cercle méridien (« cercle marqué ») ; légende « 1 cercle marqué, 6 sommets, 4 faces ».

3 possibilités sur I (trois faces aux centres gauches) ; 6 possibilités sur I (6 arêtes du cercle gauche)

une flèche vers le haut, marquée « trois façons (supprimer une des trois d'arêtes opposées) », part d'un tétraèdre dont les quatre sommets portent de petits angles ; légende « 4 sommets, 4 faces ». À droite, une petite sphère au crayon et un croquis raturé (une sphère quadrillée dans un cube), avec « I ».

deux possibilités sur I

sous un trait horizontal, deux sphères. À gauche, « I », avec le schéma de trois branches « \vee\!\!\!\perp\!\vee » : équateur à cinq sommets cerclés, coupé par deux grands cercles méridiens ; « \mathbb{Z}/2 » ; légende « 9 = 5 + 4 sommets, faces, deux cercles marqués » et « 12.5 = 60 possibilités pour K (pentagone + sommet) », « D_{01} ». À droite, « II », schéma « \vee\!\!\perp\!\vee » : équateur à cinq sommets cerclés, un méridien ; « \mathbb{Z}/2 » ; légende « 5 + 2 = 7 sommets, 4 faces, 1 cercle marqué » et « 12.5 = 60 poss. pour (pentagone + arête) », « D_{02} ». « 12.5 = 60 » sous II est écrit « 66 » ou « 60 » ; le calcul 12 \cdot 5 donne 60.

à gauche, « III » : une sphère portant deux cercles parallèles reliés par deux montants verticaux, le cercle du haut « cercle marqué », deux sommets cerclés sur le cercle du bas et deux au pôle ; « \mathbb{Z}/2 » ; légende « 9 = 3 + 3 + 1 + 2 sommets, 6 faces, 1 cercle marqué » ; « 60 = 10 \times 3 \times 2 poss. pour K » ; « (triangle + sommet marqué + ) » avec sous les termes 10, 3, 2. Au centre, un schéma en « \vee\!\!\perp\!\vee » à deux branches. À droite : « D_0 », « III » : une sphère à équateur portant cinq sommets cerclés, marquée « D_5 » ; légende « ~~12 façons~~ 5 sommets, 2 faces, 12 possibilités qui orientation de K » ; « IV », « D_2 » : une sphère méridienne en fuseaux avec trois sommets cerclés ; légende « sommets, 6 faces, 20 possibilités (cf , car il faut choisir une orientation de la sphère) \sim orientation de K » ; un croquis raturé « \mathfrak{S}_3 ».

choisissons une orientation sur K, et , d'abord dans I, II, avec pentagones compatibles l'orienta- tion. ~~\mathrm{II} \to \mathrm{I} deux façons~~ Alors

donnée I = sommet de l'icosaèdre \mathrm{Ic}_\omega grandes + arête incident, i.e. \in D_{01}(\mathrm{Ic}_\omega) diagramme de type 01 ; donnée II = sommet de l'icos. + face incident, i.e. \in D_{02}(\mathrm{Ic}_\omega) ; donnée III = resp. de de l'icos. ~~+ sommet dessus~~

en bas, plusieurs croquis largement raturés : une ellipse, une sphère en fuseaux à quatre sommets cerclés (« 9 = 5 + 4\,\struck{+1} sommets », « 30 possibilités (car il faut choisir l'orientation du carré) »), une petite sphère à quatre sommets, un tétraèdre, une sphère « D_1 » ; flèches « \to D_1 », « \mathbb{Z} ». À gauche, une liste : \begin{array}{l} \text{\struck{$D_0 \to D_1$ \quad cinq façons}} \\ D_1 \to D_2 \\ D_{01} \to D_0 \\ D_{01} \to D_1 \\ D_{02} \to D_0 \\ D_{02} \to D_2 \quad \text{\struck{\ill{}}} \end{array}