Cote n° 146, pages 21–40

Cote n° 146 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Groupoïdes de Teichmüller et les S0 Tg,!ν, S0 TG : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978]
Édition de démonstration

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Points du cercle et vecteurs $\widetilde{R}_i$, $\widetilde{Q}^\omega_i$

21la page reprend une figure et des notations qui viennent d'avant le lot ; on ne les a pas consultées.

Un grand cercle, sur lequel sont marqués et nommés des points : en haut $\widetilde{R}^\omega_k$, $\widetilde{R}_k$, $\widetilde{R}^{\omega'}_k$, puis en tournant $\widetilde{Q}^{\omega'}_j$, $-\widetilde{R}_i$ et ses deux voisins, $\widetilde{Q}^\omega_k$, $\widetilde{R}_j$ et ses deux voisins, $\widetilde{Q}^{\omega'}_i$, en bas $-\widetilde{R}^{\omega'}_k$, $-\widetilde{R}_k$, $-\widetilde{R}^\omega_k$, puis $\widetilde{Q}^\omega_j$, $\widetilde{R}_i$ et ses voisins, $\widetilde{Q}^{\omega'}_k$, $-\widetilde{R}_j$ et ses voisins, $\widetilde{Q}^\omega_i$. Chacun des six points $\pm\widetilde{R}$ est entouré d'un petit demi-cercle ; deux triangles inscrits forment une étoile à six branches, et quelques traits au crayon partent du centre et vers l'extérieur.

où $\omega_{ij}$ est l'orientation telle que $\omega_{ij}(j) = i$

$\{i,j,k\} = {}$$J$ : \[\widetilde{R}_i = (e_j - e_k)\wedge\omega_{jk}, \qquad \widetilde{Q}^\omega_i = \widetilde{R}_{\omega^2 i} - \widetilde{R}_{\omega i},\] donc \[i_\omega \widetilde{Q}^\omega_i = \widetilde{R}_i, \qquad i_\omega \widetilde{R}_i = -\widetilde{Q}^\omega_i = \widetilde{Q}^{\omega'}_i ,\] \[\widetilde{Q}^\omega_i = (e_j + e_k - 2e_i)\wedge\omega .\] l'exposant de $\widetilde{R}_i$ dans la première formule est surchargé et illisible ; l'indice de $\widetilde{R}_{\omega^2 i}$ est corrigé.

23Page de figures, sans texte suivi. En haut, un cercle avec une flèche courbe notée $3$ (rotation d'ordre 3), deux triangles inscrits, des points marqués de part et d'autre des sommets et étiquetés de petits symboles $R$, $Q$ avec exposants $2$, $3$, $\bar 3$ (illisibles dans le détail) ; des tirets vont d'un sommet vers le centre. En bas à gauche, une sphère avec équateur et méridien, les points $Q_+$ (en haut), $Q_-$ (en bas), $P_+$, $Q_0$, $P'$ sur l'équateur, avec de petites boucles autour de certains points. Au milieu, une petite ellipse et un petit cercle partagé en trois. En bas à droite, un tétraèdre, une flèche, puis une sphère traversée par une ellipse avec des flèches tangentes.

Générateurs et relations

26$r$ parcourt $R$, et $r = (s,a,\omega)$ ou $(s,a,\omega)$ selon l'ordre adopté ; $r' = \sigma_0 r = (s,a')$.

Flèches « obliques » (en face, les objets $P^\omega \leftarrow \widetilde{P}^\omega_a$, $Q_a \leftarrow \widetilde{Q}_a$, $R_r \leftarrow \widetilde{R}_r$, indexés par $(a,\omega) \in A\times\underline{\omega} \simeq R$, $a\in A$, $r\in R$) : \[\begin{array}{lll} a_r \leftrightarrow \tilde a_r : \widetilde{R}_r \to \widetilde{R}_{r'} & & r \in R\\ b_r \leftrightarrow \tilde b_r : \widetilde{Q}_a \to \widetilde{R}_r & & r\in R\\ c_a \leftrightarrow \tilde c^\omega_a : \widetilde{P}^\omega_a \to \widetilde{Q}_a \ \text{ou}\ \tilde c_r & & (a,\omega)\in A\times\underline{\omega}\simeq R \end{array}\]

Flèches « fibres » verticales : \[\begin{array}{lll} 1 \leftrightarrow \lambda_{\widetilde{P}^\omega_a}\ \text{lacet en}\ \widetilde{P}^\omega_a & & (a,\omega)\in A\times\underline{\omega}\simeq R\\ 1 \leftrightarrow \lambda_{\widetilde{Q}_a}\ \text{lacet en}\ \widetilde{Q}_a & & a \in A\\ 1 \leftrightarrow \lambda_{\widetilde{R}_r}\ \text{lacet en}\ \widetilde{R}_r & & r\in R\\ \mu_{\widetilde{Q}_a} : \widetilde{Q}_a \to \widetilde{Q}_a^\vee & & a\in A\\ \mu_{\widetilde{R}_r} : \widetilde{R}_r \to \widetilde{R}_r^\vee & & r\in R\\ 1 \leftrightarrow \tilde d^\omega_r : \widetilde{P}^\omega_{a_1} \to \widetilde{P}^\omega_{\bullet}\ \text{ou}\ \tilde d^\omega_s & & r = (s,\omega)\in S\times\underline{\omega}\simeq R \end{array}\] une flèche courbe porte « renversons l'ordre » entre $\widetilde{P}^\omega_a$ et $\widetilde{R}_r$, une autre entre $\mu_{\widetilde{Q}_a}$ et $\mu_{\widetilde{R}_r}$ ; à gauche, une colonne de symboles biffés ($\mu$, $\lambda$) que l'auteur a remplacés par $1$. Les indices de droite de la colonne des $\mu$ sont en partie biffés : $(a,\ldots)\in A$.

« relations […] » : \[(1)\quad \tilde a_r \tilde b_r \tilde c_r \tilde d_r = \tilde b_{r_1} \tilde c_{r_2} \qquad r\in R,\ r' = \sigma_0 r,\ r_1 = \sigma_1\sigma_0(r') = \omega^{-1} r'\] « relations fibres » : \[(2)\quad \tilde d_{\omega^m r}\cdots \tilde d_{\omega r}\tilde d_r = \lambda_{\widetilde{P}^\omega_{a_1}} \qquad r\in R,\ r = (s,a,\omega),\ a' = \omega^{-1}(a)\] \[(6)\quad \mu_{\widetilde{Q}_a^\vee}\,\mu_{\widetilde{Q}_a} = \lambda_{\widetilde{Q}_a} \qquad (7)\quad \mu_{\widetilde{R}_r^\vee}\,\mu_{\widetilde{R}_r} = \lambda_{\widetilde{R}_r} \qquad r\in R\] les numéros des relations fibres sont surchargés : $(2)$ corrigé en $(5)$, $(5)$ en $(6)$, $(6)$ en $(7)$ ; on donne la dernière lecture là où elle se laisse lire.

« relations de transport » ou « de commutation » : \[\begin{array}{lll} (8) & \tilde a_r(\lambda_{\widetilde{R}_r}) = \lambda_{\widetilde{R}_{r'}} & r\in R,\ r' = \sigma_0(r)\\ (9) & \tilde b_r(\lambda_{\widetilde{Q}_a}) = \lambda_{\widetilde{R}_r} & r\in R,\ r = (a,s,\omega)\\ (10) & \tilde c_r(\lambda_{\widetilde{P}^\omega_a}) = \lambda_{\widetilde{Q}_a} & (a,\omega)\in A\times\underline{\omega}\simeq R \end{array}\]

28$\mu_{\widetilde{Q}^{\omega}_a{}^\vee}\,\mu_{\widetilde{Q}^\omega_a} = \lambda_{\widetilde{Q}^\omega_a} = \tilde e^\omega_a(\lambda_{\widetilde{P}^\omega_a})$ $\lambda_{\widetilde{Q}^\omega_a}$ — (2), entouré

$\widetilde{A}_{\omega^n r^*}\cdots\widetilde{A}_{\omega r^*}\widetilde{A}_{r^*}\,\tilde c_r = \tilde c_{r^\vee}\,\tilde d_{\omega^n r^*}\cdots\tilde d_{\omega r^*}\tilde d_{r^*}$ conséquence de (1) encadré puis barré de traits obliques ; une accolade sous le produit des $\widetilde{A}$ porte « déf $= \mu_{\widetilde{Q}^\omega_a}$ flèche fibre ».

\[(3)\quad \mu_{\widetilde{R}_r}\circ\tilde b_r = \tilde b_{r^\vee}\circ\mu_{\widetilde{Q}^\omega_a}\] i.e. l'autre \[(4)\quad \mu_{\widetilde{R}_{r'}}\circ\tilde a_r = \tilde a_{r^\vee}\,\mu_{\widetilde{R}_r}\] \[(2)\quad \mu_{\widetilde{Q}_a}\,\tilde c_r = \tilde c_{r^\vee}\,\tilde d_{\omega^n r^*}\cdots\tilde d_{r^*} \ \Longrightarrow\ \ill{}\] \[\overset{\text{via (1)}}{\Longrightarrow}\quad \mu_{\widetilde{Q}_0} = \widetilde{A}_{\omega^n r^*}\cdots\widetilde{A}_{\omega r^*}\widetilde{A}_{r^*}, \qquad \widetilde{A}_r = \tilde b_r^{-1}\tilde a_r^{-1}\tilde b_{r_1}\] d'où $\mu_{\widetilde{R}_r}$ via (3) : \[\mu_{\widetilde{R}_r} = \widetilde{B}_{\omega^n r}\cdots\widetilde{B}_{\omega r}\widetilde{B}_r \quad\text{où}\quad \widetilde{B}_r \overset{\text{déf}}{=} \tilde a_{r''}^{-1}\,\tilde b_{r'}\,\tilde b_r^{-1}\] et (4) devient une relation entre les $\tilde a_r, \tilde b_r, \tilde c_r$, à laquelle il faut ajouter l'expression de $\tilde c_r$ […] […] et $\mu_{\widetilde{Q}_0}$ […]. 2 groupes de relations […] entre $\tilde a_r$, $\tilde b_r$ […] ($\mu$ éliminés […]) ; […] $\in A$, $r\in R$ ($\mu_{\widetilde{Q}^\omega_0} = \mu_{\widetilde{Q}_0}$ […]) […] la relation (5) […]

Mais on voit que ces deux relations […] équivalentes et $\pm$ triviales.

On peut considérer (5), (6), (7) comme définitions des $\lambda_{\widetilde{P}^\omega_\bullet}$, des $\lambda_{\widetilde{Q}_0}$ et $\lambda_{\widetilde{R}_r}$ en termes des $\tilde a_r, \tilde b_r, \tilde c_r$) dans les équations $(8, 9, 10)$ deviennent des équations en $\tilde a_r, \tilde b_r, \tilde c_r$.

30\[(2')\quad \widetilde{A}_{\omega^m r^{**}}\cdots\widetilde{A}_{r^{**}} = \widetilde{A}_{\omega^m r_1^*}\cdots\widetilde{A}_{r_1^*} \qquad \forall a\in A\] (3), entouré

les relations de transport $(10)$ […] identique, $(9)$ […], $(8)$ […]

Il reste \[\begin{array}{ll} (1) & \tilde a_r\tilde b_r\tilde c_r\tilde d_r = \tilde b_{r_1}\tilde c_{r_2}\\[2pt] & \quad r\in R,\ r_1 = \sigma_0(r),\ r_2 = \sigma_1\sigma_0(r) = \omega^{-1}(r)\\[4pt] (2') & \widetilde{A}_{\omega^m r''}\widetilde{A}_{\omega^{m-1} r''}\cdots\widetilde{A}_{r''} = \widetilde{A}_{\omega^m r_1}\cdots\widetilde{A}_{r_1}\\[2pt] & \quad r\in R,\ r_1 = \sigma_0 r,\ r'' = \sigma_0\sigma_1(r) = \omega(r) \end{array}\] où on pose $\widetilde{A}_r = \tilde b_r^{-1}\tilde a_r^{-1}\tilde b_{r_1}$ ; le membre de gauche de (2') est, par définition, $\mu_{\widetilde{Q}_a}$. dans la marge gauche, un passage surchargé et biffé, où se lisent « (2') », « 6 relations » et $\widetilde{A}_r$ ; illisible pour le reste.

introduction des $\mu$ : \[\begin{aligned} \mu_{\widetilde{Q}_0} &\overset{\text{déf}}{=} \widetilde{A}_{\omega^m r''}\cdots\widetilde{A}_{r''} = \cdots\\ \mu_{\widetilde{R}_r} &\overset{\text{déf}}{=} \widetilde{B}_{\omega^m r}\cdots\widetilde{B}_r \qquad\text{où}\quad \widetilde{B}_r \overset{\text{déf}}{=} \tilde a_{r''}^{-1}\tilde b_{r'}\tilde b_r^{-1}\\ \mu_{\widetilde{P}^\omega_a} &\overset{\text{déf}}{=} \tilde d_{\omega^m r''}\cdots\tilde d_{\omega r''}\tilde d_{r''} \end{aligned}\] $\Longrightarrow$ relations (3) (4) (5) de « commutation » de ces flèches avec $\tilde a$, $\tilde b$, $\tilde c$.

introduction des $\lambda$ : \[\begin{aligned} \lambda_{\widetilde{Q}_0} &\overset{\text{déf}}{=} \mu_{\widetilde{Q}_a^\vee}\,\mu_{\widetilde{Q}_a} = \widetilde{A}_{\omega^m r''}\cdots\widetilde{A}_{r''} = \widetilde{A}_{\omega^m r_1}\cdots\widetilde{A}_{r_1}\\ \lambda_{\widetilde{R}_r} &\overset{\text{déf}}{=} \mu_{\widetilde{R}_r^\vee}\,\mu_{\widetilde{R}_r} = \widetilde{B}_{\omega^m r}\cdots\widetilde{B}_r\\ \lambda_{\widetilde{P}^\omega_a} &\overset{\text{déf}}{=} \mu_{\widetilde{P}^\omega_{a^\vee}}\,\mu_{\widetilde{P}^\omega_a} = \tilde d_{\omega^m r''}\cdots\tilde d_{r''} \end{aligned}\] relations de transport (8), (9), (10) […] Commutation des flèches $\tilde a_r, \tilde b_r, \tilde c_r$ avec […] $\lambda$) l'exposant $m$ ou $n$ des produits n'est pas tenu fixe d'une ligne à l'autre ; on le transcrit tel qu'il se lit.

32\[(2'')\quad \tilde c^\omega_a(\lambda_{\widetilde{P}^\omega_a}) = \tilde c^\omega_a(\lambda_{\widetilde{P}^{\omega'}_a})\] (4) en présence de (1), c'est une conséquence de (2'), qui équivaut à la relation déduite de (2') en la portant au carré.

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
Q \arrow[r, bend left=40, "\mu'"] \arrow[r, bend left=15, "\mu"'] & Q^\vee \arrow[l, bend left=15, "\check\mu"'] \arrow[l, bend left=40, "\check\mu'"]
\end{tikzcd}

le sens des quatre flèches est lu sur la figure : $\mu, \mu'$ vont de $Q$ à $Q^\vee$, $\check\mu, \check\mu'$ en reviennent ; les têtes sont peu nettes.

\[\underbrace{\check\mu\,\mu}_{\lambda} = \underbrace{\check\mu'\,\mu'}_{\lambda'} \qquad \check\mu'^{-1}\check\mu = \mu'\mu^{-1} \quad (\mu'^{-1}\mu)^{-1}\] \[\mu' = 1,\ \check\mu' = \check\mu \quad\Longleftarrow\quad \check\mu = \check\mu'\mu'\]

\[\overbrace{\widetilde{A}_{\omega^n r''}\widetilde{A}_{\omega^{n-1} r''}\cdots\widetilde{A}_{r''}}^{\mu_{\widetilde{Q}^\omega_a}} = \overbrace{\widetilde{A}_{\omega^n r_1}\widetilde{A}_{\omega^{n-1} r_1}\cdots\widetilde{A}_{r_1}}^{\mu_{\widetilde{Q}^{\omega'}_{\bullet}}}\] équivaut à : ceci, […] $\widetilde{B}_{\omega^m r}\widetilde{B}_{\omega r}\cdots\widetilde{B}_r = \mu_r$

Une chaîne de points sur une courbe fermée, chacun muni de petites boucles fléchées (les lacets $\lambda$), reliés par des flèches à double sens. Au premier plan, en trait gras : $\widetilde{Q}_a \xrightarrow{\tilde b_r} \widetilde{R}_r$, puis un arc $\tilde a_r$ de $\widetilde{R}_r$ vers $\widetilde{R}_{r_1}$, sous lequel un arc $\tilde a_{r_1}$ ; au-dessus, un autre point avec l'arc $\tilde a_{r_1^\vee}$. La région entre $\widetilde{R}_r$, $\widetilde{Q}_a$ et un sommet commun est hachurée ; des traits fins portent $r$, $r_1$, $r_2$. Plus bas à droite, un petit triangle isolé.

Lemmes sur les homotopies linéaires

35Lemme 1. Soit $\overrightarrow{[x,y]}$ un segment orienté […] tel que la droite […] $\Delta$ […] droite […] qui […] $\Delta_0$ […], orienté, ne contienne pas l'origine, […] $x, y$, on suppose que […] orientation […] de $\Delta$ […] (tel que l'orientation de $\Delta$ induite par la […] aille de $x$ vers $y$). les premières lignes du lemme sont plusieurs fois reprises et biffées ; on n'en donne que ce qui se lit.

Soit $\Delta$ une droite horizontale […] telle que $\Delta\cap\{x,y\} = \emptyset$. Considérons \[f_{x,y}(s,t) = (1-s)\,\varphi_\omega\,\ell_{y,x}(t) + s\,\ell_{y,x}(t),\] qui, pour $t$ fixé, parcourt le segment $\varphi_\omega\ell_{y,x}(t) : \ell_{y,x}(t)$. Alors $f_{x,y}([0,1]\times[0,1])$ ne rencontre pas $\Delta_{\mathbb C}$.

$\ell_{y,x}(t) = \frac{x+y}{2} + e(t)\frac{x-y}{2}$, $e(t) = \exp i\pi t$. $L_{y,x}(t) = \uncertain{(1-t)x + ty}$ en marge gauche, une note oblique de plusieurs lignes, en partie biffée, commençant par « ici » : illisible.

Corollaire. Si $x, y\in V^{**}$ […] (cf. […]) i.e. $x, y$ correspondent à […] de $\Sigma^*$) dans $\Pi_1 V^{**}$, […] :

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\begin{tikzcd}[column sep=huge, row sep=large]
x \arrow[r, "\ell_{y,x}"] \arrow[d, leftrightarrow, "L_{x,\varphi_\omega(x)}"'] & y \arrow[d, leftrightarrow, "L_{y,\varphi_\omega(y)}"] \\
\varphi_\omega(x) \arrow[r] & \varphi_\omega(y)
\end{tikzcd}

\[\varphi_\omega(\ell_{y,x}) = \ell_{\varphi_\omega(y),\varphi_\omega(x)}\] les flèches verticales ont une tête à chaque bout sur la page.

37Lemme 2 (trivial). […] Posons, pour $x, y\in V$ et un chemin $\ell : x\to y$ dans $V$, \[g(s,t) = \text{\struck{$1$}}\ (1-s)\,\varphi_\omega\,\ell(t) + s\,\ell(t).\] le facteur $s$ du second terme ne se distingue pas nettement ; on le lit par analogie avec le lemme 1. Soit $\Delta$ une droite de $V$ telle que $\ell[0,1]$ $|\ell|\cap\Delta = \emptyset$. Alors $g([0,1]\times[0,1])\cap\Delta_{\mathbb C} = \emptyset$. En effet, $\Re\, g([0,1]\times[0,1]) = |\ell|$, et $\Re\,\Delta_{\mathbb C} = \Delta$.

Corollaire. […] Si $\ell$ est un chemin dans $V^{**}$, […] commutatif dans […] :

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\begin{tikzcd}[column sep=huge, row sep=large]
\varphi_\omega(x) \arrow[r, "\varphi_\omega(\ell)"] \arrow[d, "L_{x,\varphi_\omega(x)}"'] & \varphi_\omega(y) \arrow[d, "L_{y,\varphi_\omega(y)}"] \\
x \arrow[r, "\ell"] & y
\end{tikzcd}

Lemme 3 ($\pm$ trivial). $|\ell_{y,x}|\cap\Delta_{\mathbb C} = \emptyset$ pour toute droite $\Delta$ qui ne rencontre pas $\{x,y\}$. sous « Lemme 3 », une ligne courte entre parenthèses, illisible.

Car on a $\Re\,\ell_{y,x} = [x,y]$, […] […] $|\ell_{y,x}|\cap\Delta_{\mathbb C}\neq\emptyset$ pour […] ($\Delta\cap\{x,y\} = \emptyset$) donc $\Delta\cap[x,y]\neq\emptyset$, […], $\Delta\cap[x,y] = \{a\}$, $a\neq x,y$, […], $a = \Re\,\ell_{x,y}(t)$, avec $t\neq 0,1$ ; alors $\operatorname{Im}\ell_{x,y}(t) = (\sin t)\,\frac{y-x}{2}$ dans […] $y - x\in$ […] […] $\Delta$ […] $x, y\in\Delta$ […]. le $\sin t$ (sans le facteur $\pi$ de $e(t) = \exp i\pi t$, page 35) est lu tel qu'écrit.

39Lemme 4. Posons \[\ell_x(t) = \ell_{-x,x}(t) = e(t)\,x : x\to -x,\] et considérons \[\begin{aligned} h(s,t) &= (1-s)\ \text{\struck{$\cdots$}}\ \ell_{\varphi(x)}(t) + s\,\ell_x(t)\\ &= e(t)\bigl((1-s)\varphi(x) + s x\bigr). \end{aligned}\] Alors pour toute droite $\Delta$ de $V$ telle que $x\notin\Delta$, on a \[h([0,1]\times[0,1])\cap\Delta_{\mathbb C} = \emptyset.\] En effet, $h(s,t)\in\Delta_{\mathbb C}$ $\Longleftrightarrow$ $(1-s)\varphi(x) + s x\in\Delta_{\mathbb C}$ $\Longrightarrow$ $(1-s)x + s x\in\Delta$ i.e. $x\in\Delta$ pour […] $\Re$. dans la définition de $h$, un premier essai est biffé et illisible ; à la dernière ligne, l'implication passe à la partie réelle ; le mot qui précède $\Re$ est illisible.

Corollaire. Le […] commutatif dans $\Pi_1 V^{**}$, si $x\in V^{**}$ :

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\begin{tikzcd}[column sep=huge, row sep=large]
\varphi_\omega(x) \arrow[r, "\ell_{\varphi_\omega(x)}"] \arrow[d, "L_{x,\varphi_\omega(x)}"'] & -\varphi_\omega(x) \arrow[d, "L_{-x,\varphi_\omega(x)}"] \\
x \arrow[r, "\ell_x"] & -x
\end{tikzcd}

l'étiquette de droite se lit $L_{-x,\varphi_\omega(x)}$, et non $L_{-x,-\varphi_\omega(x)}$ ; on la laisse telle. La suite des lemmes déborde peut-être au-delà du lot.

Points du cercle et vecteurs \(\widetilde{R}_i\), \(\widetilde{Q}^\omega_i\)

Générateurs et relations

Lemmes sur les homotopies linéaires