Fonds Grothendieck, cote n° 146, pages 21–40

Points du cercle et vecteurs \widetilde{R}_i, \widetilde{Q}^\omega_i

la page reprend une figure et des notations qui viennent d'avant le lot ; on ne les a pas consultées.

Un grand cercle, sur lequel sont marqués et nommés des points : en haut \widetilde{R}^\omega_k, \widetilde{R}_k, \widetilde{R}^{\omega'}_k, puis en tournant \widetilde{Q}^{\omega'}_j, -\widetilde{R}_i et ses deux voisins, \widetilde{Q}^\omega_k, \widetilde{R}_j et ses deux voisins, \widetilde{Q}^{\omega'}_i, en bas -\widetilde{R}^{\omega'}_k, -\widetilde{R}_k, -\widetilde{R}^\omega_k, puis \widetilde{Q}^\omega_j, \widetilde{R}_i et ses voisins, \widetilde{Q}^{\omega'}_k, -\widetilde{R}_j et ses voisins, \widetilde{Q}^\omega_i. Chacun des six points \pm\widetilde{R} est entouré d'un petit demi-cercle ; deux triangles inscrits forment une étoile à six branches, et quelques traits au crayon partent du centre et vers l'extérieur.

où \omega_{ij} est l'orientation telle que \omega_{ij}(j) = i

\{i,j,k\} = {}J : \widetilde{R}_i = (e_j - e_k)\wedge\omega_{jk}, \qquad \widetilde{Q}^\omega_i = \widetilde{R}_{\omega^2 i} - \widetilde{R}_{\omega i}, donc i_\omega \widetilde{Q}^\omega_i = \widetilde{R}_i, \qquad i_\omega \widetilde{R}_i = -\widetilde{Q}^\omega_i = \widetilde{Q}^{\omega'}_i , \widetilde{Q}^\omega_i = (e_j + e_k - 2e_i)\wedge\omega . l'exposant de \widetilde{R}_i dans la première formule est surchargé et illisible ; l'indice de \widetilde{R}_{\omega^2 i} est corrigé.

Page de figures, sans texte suivi. En haut, un cercle avec une flèche courbe notée 3 (rotation d'ordre 3), deux triangles inscrits, des points marqués de part et d'autre des sommets et étiquetés de petits symboles R, Q avec exposants 2, 3, \bar 3 (illisibles dans le détail) ; des tirets vont d'un sommet vers le centre. En bas à gauche, une sphère avec équateur et méridien, les points Q_+ (en haut), Q_- (en bas), P_+, Q_0, P' sur l'équateur, avec de petites boucles autour de certains points. Au milieu, une petite ellipse et un petit cercle partagé en trois. En bas à droite, un tétraèdre, une flèche, puis une sphère traversée par une ellipse avec des flèches tangentes.

Générateurs et relations

r parcourt R, et r = (s,a,\omega) ou (s,a,\omega) selon l'ordre adopté ; r' = \sigma_0 r = (s,a').

Flèches « obliques » (en face, les objets P^\omega \leftarrow \widetilde{P}^\omega_a, Q_a \leftarrow \widetilde{Q}_a, R_r \leftarrow \widetilde{R}_r, indexés par (a,\omega) \in A\times\underline{\omega} \simeq R, a\in A, r\in R) : \begin{array}{lll} a_r \leftrightarrow \tilde a_r : \widetilde{R}_r \to \widetilde{R}_{r'} & & r \in R\\ b_r \leftrightarrow \tilde b_r : \widetilde{Q}_a \to \widetilde{R}_r & & r\in R\\ c_a \leftrightarrow \tilde c^\omega_a : \widetilde{P}^\omega_a \to \widetilde{Q}_a \ \text{ou}\ \tilde c_r & & (a,\omega)\in A\times\underline{\omega}\simeq R \end{array}

Flèches « fibres » verticales : \begin{array}{lll} 1 \leftrightarrow \lambda_{\widetilde{P}^\omega_a}\ \text{lacet en}\ \widetilde{P}^\omega_a & & (a,\omega)\in A\times\underline{\omega}\simeq R\\ 1 \leftrightarrow \lambda_{\widetilde{Q}_a}\ \text{lacet en}\ \widetilde{Q}_a & & a \in A\\ 1 \leftrightarrow \lambda_{\widetilde{R}_r}\ \text{lacet en}\ \widetilde{R}_r & & r\in R\\ \mu_{\widetilde{Q}_a} : \widetilde{Q}_a \to \widetilde{Q}_a^\vee & & a\in A\\ \mu_{\widetilde{R}_r} : \widetilde{R}_r \to \widetilde{R}_r^\vee & & r\in R\\ 1 \leftrightarrow \tilde d^\omega_r : \widetilde{P}^\omega_{a_1} \to \widetilde{P}^\omega_{\bullet}\ \text{ou}\ \tilde d^\omega_s & & r = (s,\omega)\in S\times\underline{\omega}\simeq R \end{array} une flèche courbe porte « renversons l'ordre » entre \widetilde{P}^\omega_a et \widetilde{R}_r, une autre entre \mu_{\widetilde{Q}_a} et \mu_{\widetilde{R}_r} ; à gauche, une colonne de symboles biffés (\mu, \lambda) que l'auteur a remplacés par 1. Les indices de droite de la colonne des \mu sont en partie biffés : (a,\ldots)\in A.

« relations » : (1)\quad \tilde a_r \tilde b_r \tilde c_r \tilde d_r = \tilde b_{r_1} \tilde c_{r_2} \qquad r\in R,\ r' = \sigma_0 r,\ r_1 = \sigma_1\sigma_0(r') = \omega^{-1} r' « relations fibres » : (2)\quad \tilde d_{\omega^m r}\cdots \tilde d_{\omega r}\tilde d_r = \lambda_{\widetilde{P}^\omega_{a_1}} \qquad r\in R,\ r = (s,a,\omega),\ a' = \omega^{-1}(a) (6)\quad \mu_{\widetilde{Q}_a^\vee}\,\mu_{\widetilde{Q}_a} = \lambda_{\widetilde{Q}_a} \qquad (7)\quad \mu_{\widetilde{R}_r^\vee}\,\mu_{\widetilde{R}_r} = \lambda_{\widetilde{R}_r} \qquad r\in R les numéros des relations fibres sont surchargés : (2) corrigé en (5), (5) en (6), (6) en (7) ; on donne la dernière lecture là où elle se laisse lire.

« relations de transport » ou « de commutation » : \begin{array}{lll} (8) & \tilde a_r(\lambda_{\widetilde{R}_r}) = \lambda_{\widetilde{R}_{r'}} & r\in R,\ r' = \sigma_0(r)\\ (9) & \tilde b_r(\lambda_{\widetilde{Q}_a}) = \lambda_{\widetilde{R}_r} & r\in R,\ r = (a,s,\omega)\\ (10) & \tilde c_r(\lambda_{\widetilde{P}^\omega_a}) = \lambda_{\widetilde{Q}_a} & (a,\omega)\in A\times\underline{\omega}\simeq R \end{array}

~~\mu_{\widetilde{Q}^{\omega}_a{}^\vee}\,\mu_{\widetilde{Q}^\omega_a} = \lambda_{\widetilde{Q}^\omega_a} = \tilde e^\omega_a(\lambda_{\widetilde{P}^\omega_a})~~ \lambda_{\widetilde{Q}^\omega_a} — (2), entouré

~~\widetilde{A}_{\omega^n r^*}\cdots\widetilde{A}_{\omega r^*}\widetilde{A}_{r^*}\,\tilde c_r = \tilde c_{r^\vee}\,\tilde d_{\omega^n r^*}\cdots\tilde d_{\omega r^*}\tilde d_{r^*}~~ conséquence de (1) encadré puis barré de traits obliques ; une accolade sous le produit des \widetilde{A} porte « déf = \mu_{\widetilde{Q}^\omega_a} flèche fibre ».

(3)\quad \mu_{\widetilde{R}_r}\circ\tilde b_r = \tilde b_{r^\vee}\circ\mu_{\widetilde{Q}^\omega_a} ~~i.e. l'autre~~ (4)\quad \mu_{\widetilde{R}_{r'}}\circ\tilde a_r = \tilde a_{r^\vee}\,\mu_{\widetilde{R}_r} (2)\quad \mu_{\widetilde{Q}_a}\,\tilde c_r = \tilde c_{r^\vee}\,\tilde d_{\omega^n r^*}\cdots\tilde d_{r^*} \ \Longrightarrow\ \ill{} \overset{\text{via (1)}}{\Longrightarrow}\quad \mu_{\widetilde{Q}_0} = \widetilde{A}_{\omega^n r^*}\cdots\widetilde{A}_{\omega r^*}\widetilde{A}_{r^*}, \qquad \widetilde{A}_r = \tilde b_r^{-1}\tilde a_r^{-1}\tilde b_{r_1} d'où \mu_{\widetilde{R}_r} via (3) : \mu_{\widetilde{R}_r} = \widetilde{B}_{\omega^n r}\cdots\widetilde{B}_{\omega r}\widetilde{B}_r \quad\text{où}\quad \widetilde{B}_r \overset{\text{déf}}{=} \tilde a_{r''}^{-1}\,\tilde b_{r'}\,\tilde b_r^{-1} et (4) devient une relation entre les \tilde a_r, \tilde b_r, \tilde c_r, à laquelle il faut ajouter l'expression de \tilde c_r et \mu_{\widetilde{Q}_0} . 2 groupes de relations entre \tilde a_r, \tilde b_r (\mu éliminés ) ; \in A, r\in R (\mu_{\widetilde{Q}^\omega_0} = \mu_{\widetilde{Q}_0} ) la relation (5)

Mais on voit que ces deux relations équivalentes et \pm triviales.

On peut considérer (5), (6), (7) comme définitions des \lambda_{\widetilde{P}^\omega_\bullet}, des \lambda_{\widetilde{Q}_0} et \lambda_{\widetilde{R}_r} en termes des \tilde a_r, \tilde b_r, \tilde c_r) dans les équations (8, 9, 10) deviennent des équations en \tilde a_r, \tilde b_r, \tilde c_r.

(2')\quad \widetilde{A}_{\omega^m r^{**}}\cdots\widetilde{A}_{r^{**}} = \widetilde{A}_{\omega^m r_1^*}\cdots\widetilde{A}_{r_1^*} \qquad \forall a\in A (3), entouré

les relations de transport (10) identique, (9) , (8)

Il reste \begin{array}{ll} (1) & \tilde a_r\tilde b_r\tilde c_r\tilde d_r = \tilde b_{r_1}\tilde c_{r_2}\\[2pt] & \quad r\in R,\ r_1 = \sigma_0(r),\ r_2 = \sigma_1\sigma_0(r) = \omega^{-1}(r)\\[4pt] (2') & \widetilde{A}_{\omega^m r''}\widetilde{A}_{\omega^{m-1} r''}\cdots\widetilde{A}_{r''} = \widetilde{A}_{\omega^m r_1}\cdots\widetilde{A}_{r_1}\\[2pt] & \quad r\in R,\ r_1 = \sigma_0 r,\ r'' = \sigma_0\sigma_1(r) = \omega(r) \end{array} où on pose \widetilde{A}_r = \tilde b_r^{-1}\tilde a_r^{-1}\tilde b_{r_1} ; le membre de gauche de (2') est, par définition, \mu_{\widetilde{Q}_a}. dans la marge gauche, un passage surchargé et biffé, où se lisent « (2') », « 6 relations » et \widetilde{A}_r ; illisible pour le reste.

introduction des \mu : \begin{aligned} \mu_{\widetilde{Q}_0} &\overset{\text{déf}}{=} \widetilde{A}_{\omega^m r''}\cdots\widetilde{A}_{r''} = \cdots\\ \mu_{\widetilde{R}_r} &\overset{\text{déf}}{=} \widetilde{B}_{\omega^m r}\cdots\widetilde{B}_r \qquad\text{où}\quad \widetilde{B}_r \overset{\text{déf}}{=} \tilde a_{r''}^{-1}\tilde b_{r'}\tilde b_r^{-1}\\ \mu_{\widetilde{P}^\omega_a} &\overset{\text{déf}}{=} \tilde d_{\omega^m r''}\cdots\tilde d_{\omega r''}\tilde d_{r''} \end{aligned} \Longrightarrow relations (3) (4) (5) de « commutation » de ces flèches avec \tilde a, \tilde b, \tilde c.

introduction des \lambda : \begin{aligned} \lambda_{\widetilde{Q}_0} &\overset{\text{déf}}{=} \mu_{\widetilde{Q}_a^\vee}\,\mu_{\widetilde{Q}_a} = \widetilde{A}_{\omega^m r''}\cdots\widetilde{A}_{r''} = \widetilde{A}_{\omega^m r_1}\cdots\widetilde{A}_{r_1}\\ \lambda_{\widetilde{R}_r} &\overset{\text{déf}}{=} \mu_{\widetilde{R}_r^\vee}\,\mu_{\widetilde{R}_r} = \widetilde{B}_{\omega^m r}\cdots\widetilde{B}_r\\ \lambda_{\widetilde{P}^\omega_a} &\overset{\text{déf}}{=} \mu_{\widetilde{P}^\omega_{a^\vee}}\,\mu_{\widetilde{P}^\omega_a} = \tilde d_{\omega^m r''}\cdots\tilde d_{r''} \end{aligned} ~~relations~~ de transport (8), (9), (10) Commutation des flèches \tilde a_r, \tilde b_r, \tilde c_r avec \lambda) l'exposant m ou n des produits n'est pas tenu fixe d'une ligne à l'autre ; on le transcrit tel qu'il se lit.

(2'')\quad \tilde c^\omega_a(\lambda_{\widetilde{P}^\omega_a}) = \tilde c^\omega_a(\lambda_{\widetilde{P}^{\omega'}_a}) (4) en présence de (1), c'est une conséquence de (2'), qui équivaut à la relation déduite de (2') en la portant au carré.

\begin{tikzcd}[column sep=large] Q \arrow[r, bend left=40, "\mu'"] \arrow[r, bend left=15, "\mu"'] & Q^\vee \arrow[l, bend left=15, "\check\mu"'] \arrow[l, bend left=40, "\check\mu'"] \end{tikzcd}

le sens des quatre flèches est lu sur la figure : \mu, \mu' vont de Q à Q^\vee, \check\mu, \check\mu' en reviennent ; les têtes sont peu nettes.

\underbrace{\check\mu\,\mu}_{\lambda} = \underbrace{\check\mu'\,\mu'}_{\lambda'} \qquad \check\mu'^{-1}\check\mu = \mu'\mu^{-1} \quad (\mu'^{-1}\mu)^{-1} \mu' = 1,\ \check\mu' = \check\mu \quad\Longleftarrow\quad \check\mu = \check\mu'\mu'

\overbrace{\widetilde{A}_{\omega^n r''}\widetilde{A}_{\omega^{n-1} r''}\cdots\widetilde{A}_{r''}}^{\mu_{\widetilde{Q}^\omega_a}} = \overbrace{\widetilde{A}_{\omega^n r_1}\widetilde{A}_{\omega^{n-1} r_1}\cdots\widetilde{A}_{r_1}}^{\mu_{\widetilde{Q}^{\omega'}_{\bullet}}} équivaut à : ceci, ~~\widetilde{B}_{\omega^m r}\widetilde{B}_{\omega r}\cdots\widetilde{B}_r = \mu_r~~

Une chaîne de points sur une courbe fermée, chacun muni de petites boucles fléchées (les lacets \lambda), reliés par des flèches à double sens. Au premier plan, en trait gras : \widetilde{Q}_a \xrightarrow{\tilde b_r} \widetilde{R}_r, puis un arc \tilde a_r de \widetilde{R}_r vers \widetilde{R}_{r_1}, sous lequel un arc \tilde a_{r_1} ; au-dessus, un autre point avec l'arc \tilde a_{r_1^\vee}. La région entre \widetilde{R}_r, \widetilde{Q}_a et un sommet commun est hachurée ; des traits fins portent r, r_1, r_2. Plus bas à droite, un petit triangle isolé.

Lemmes sur les homotopies linéaires

Lemme 1. Soit \overrightarrow{[x,y]} un segment orienté ~~tel que la droite~~ ~~\Delta droite qui~~ \Delta_0 , orienté, ne contienne pas l'origine, ~~x, y, on suppose que~~ orientation de \Delta (tel que l'orientation de \Delta induite par la aille de x vers y). les premières lignes du lemme sont plusieurs fois reprises et biffées ; on n'en donne que ce qui se lit.

Soit \Delta une droite horizontale telle que \Delta\cap\{x,y\} = \emptyset. Considérons f_{x,y}(s,t) = (1-s)\,\varphi_\omega\,\ell_{y,x}(t) + s\,\ell_{y,x}(t), qui, pour t fixé, parcourt le segment \varphi_\omega\ell_{y,x}(t) : \ell_{y,x}(t). Alors f_{x,y}([0,1]\times[0,1]) ne rencontre pas \Delta_{\mathbb C}.

\ell_{y,x}(t) = \frac{x+y}{2} + e(t)\frac{x-y}{2}, e(t) = \exp i\pi t. L_{y,x}(t) = \uncertain{(1-t)x + ty} en marge gauche, une note oblique de plusieurs lignes, en partie biffée, commençant par « ici » : illisible.

Corollaire. Si x, y\in V^{**} (cf. ) i.e. x, y correspondent à de \Sigma^*) dans \Pi_1 V^{**}, :

\begin{tikzcd}[column sep=huge, row sep=large] x \arrow[r, "\ell_{y,x}"] \arrow[d, leftrightarrow, "L_{x,\varphi_\omega(x)}"'] & y \arrow[d, leftrightarrow, "L_{y,\varphi_\omega(y)}"] \\ \varphi_\omega(x) \arrow[r] & \varphi_\omega(y) \end{tikzcd}

\varphi_\omega(\ell_{y,x}) = \ell_{\varphi_\omega(y),\varphi_\omega(x)} les flèches verticales ont une tête à chaque bout sur la page.

Lemme 2 (trivial). Posons, pour x, y\in V et un chemin \ell : x\to y dans V, g(s,t) = \text{\struck{$1$}}\ (1-s)\,\varphi_\omega\,\ell(t) + s\,\ell(t). le facteur s du second terme ne se distingue pas nettement ; on le lit par analogie avec le lemme 1. Soit \Delta une droite de V telle que ~~\ell[0,1]~~ |\ell|\cap\Delta = \emptyset. Alors g([0,1]\times[0,1])\cap\Delta_{\mathbb C} = \emptyset. En effet, \Re\, g([0,1]\times[0,1]) = |\ell|, et \Re\,\Delta_{\mathbb C} = \Delta.

Corollaire. Si \ell est un chemin dans V^{**}, commutatif dans :

\begin{tikzcd}[column sep=huge, row sep=large] \varphi_\omega(x) \arrow[r, "\varphi_\omega(\ell)"] \arrow[d, "L_{x,\varphi_\omega(x)}"'] & \varphi_\omega(y) \arrow[d, "L_{y,\varphi_\omega(y)}"] \\ x \arrow[r, "\ell"] & y \end{tikzcd}

Lemme 3 (\pm trivial). |\ell_{y,x}|\cap\Delta_{\mathbb C} = \emptyset pour toute droite \Delta qui ne rencontre pas \{x,y\}. sous « Lemme 3 », une ligne courte entre parenthèses, illisible.

Car on a \Re\,\ell_{y,x} = [x,y], |\ell_{y,x}|\cap\Delta_{\mathbb C}\neq\emptyset pour (\Delta\cap\{x,y\} = \emptyset) donc \Delta\cap[x,y]\neq\emptyset, , \Delta\cap[x,y] = \{a\}, a\neq x,y, , a = \Re\,\ell_{x,y}(t), avec t\neq 0,1 ; alors \operatorname{Im}\ell_{x,y}(t) = (\sin t)\,\frac{y-x}{2} dans y - x\in \Delta x, y\in\Delta . le \sin t (sans le facteur \pi de e(t) = \exp i\pi t, page 35) est lu tel qu'écrit.

Lemme 4. Posons \ell_x(t) = \ell_{-x,x}(t) = e(t)\,x : x\to -x, et considérons \begin{aligned} h(s,t) &= (1-s)\ \text{\struck{$\cdots$}}\ \ell_{\varphi(x)}(t) + s\,\ell_x(t)\\ &= e(t)\bigl((1-s)\varphi(x) + s x\bigr). \end{aligned} Alors pour toute droite \Delta de V telle que x\notin\Delta, on a h([0,1]\times[0,1])\cap\Delta_{\mathbb C} = \emptyset. En effet, h(s,t)\in\Delta_{\mathbb C} \Longleftrightarrow (1-s)\varphi(x) + s x\in\Delta_{\mathbb C} \Longrightarrow (1-s)x + s x\in\Delta i.e. x\in\Delta pour \Re. dans la définition de h, un premier essai est biffé et illisible ; à la dernière ligne, l'implication passe à la partie réelle ; le mot qui précède \Re est illisible.

Corollaire. Le commutatif dans \Pi_1 V^{**}, si x\in V^{**} :

\begin{tikzcd}[column sep=huge, row sep=large] \varphi_\omega(x) \arrow[r, "\ell_{\varphi_\omega(x)}"] \arrow[d, "L_{x,\varphi_\omega(x)}"'] & -\varphi_\omega(x) \arrow[d, "L_{-x,\varphi_\omega(x)}"] \\ x \arrow[r, "\ell_x"] & -x \end{tikzcd}

l'étiquette de droite se lit L_{-x,\varphi_\omega(x)}, et non L_{-x,-\varphi_\omega(x)} ; on la laisse telle. La suite des lemmes déborde peut-être au-delà du lot.