Cote n° 146 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Groupoïdes de Teichmüller et les S0 Tg,!ν, S0 TG : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978]
Édition de démonstration

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Calculs des \(S_0\mathcal{T}_G\)

titre souligné, de sa main, seul sur le feuillet 1, qui sert de couverture à la suite (feuillets 2 à 17)

2

I. Calcul de \(S_0\mathcal{T}_G\), pour \(G\) graphe MD de dim. modulaire \(0\)

Obtient-on \(S_0\mathcal{T}_G\) […] \(S_0\mathcal{T}_{G^b}\) par […] […] groupoïdes […] […] […]

\(S_0\mathcal{T}_G\) est un \(\mathbb{Z}^{\hat A}\)-groupoïde, déduit du \(\mathbb{Z}^{\vec{\hat A}}\)-groupoïde \(S_0\mathcal{T}_{G^b}\) par le changement de groupes […] interne \[\mathbb{Z}^{\vec{\hat A}} \longrightarrow \mathbb{Z}^{\hat A}\] associé à : \(\vec{\hat A} \longrightarrow \hat A\), i.e. \[(1) \qquad S_0\mathcal{T}_G = S_0\mathcal{T}_{G^b} \wedge^{\mathbb{Z}^{\vec{\hat A}}} \mathbb{Z}^{\hat A}\] et \[(2) \qquad S_0\mathcal{T}_{G^b} = \prod_{s\in S} S_0\mathcal{T}_{G^b_s} = \prod_{s\in S} S_0\mathcal{T}_{0,\vec{\hat A}_s} ,\] ce qui nous ramène à : décrire \(S_0\mathcal{T}_G\), quand \(G\) est un […]graphe ayant un seul sommet, i.e. \(G\) est un \(G_{0,I}\), \(I\) étant un ens. à trois éléments, de sorte — i.e. on est ramené à décrire […] \(S_0\mathcal{T}_{0,I}\).

Considérons la courbe ⌜droite⌝ projective \(I\)-marquée sur \(\mathbb{C}\), \(\mathbb{P}^1_I\). Soit \(\omega(I)\) l'une des deux orientations de \(I\). Si \(\alpha \in \omega(I)\), on a des iso. canoniques (par les espaces tangents) ⌜de \(\mathbb{U}\)-torseurs⌝ […] \(T_i\) aux \(i \in I \subset \mathbb{P}^1_I\) \[T_i \xleftrightarrow[\ \sim\ ]{\ \varphi_{\alpha,i}\ } \mathbb{U} \qquad \mathbb{U} = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \}\] i.e. un isom. de \(\mathbb{U}^I\)-torseurs \[\mathbb{U}^I \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \varphi\ } P\mathbb{U}_G = P\mathbb{U}_{0,I} = \prod_{i\in I} T_i\] i.e. un point noté \(\bar\alpha = \varphi(1) \in P\mathbb{U}_{0,I}\), d'où une […]injection canonique \[(3) \qquad \omega(I) \hookrightarrow P\mathbb{U}_{0,I}\] compatible avec l'homomorphisme sur les groupes d'opérateurs

diagramme numéroté (4) dans la marge

\begin{tikzcd}
\{\pm 1\} \arrow[rr] \arrow[dr, "\mathrm{diag}"'] & & \mathbb{U}^I \\
& \{\pm 1\}^I \arrow[ur, "\text{déduit de l'inclusion } \{\pm1\} \hookrightarrow \mathbb{U}"'] &
\end{tikzcd}

3Bien entendu, (3) et (4) sont compatibles avec l'action de \(\mathfrak{S}_I\) (qui opère sur \(\omega(I)\) par la signature). Je définis \(S_0\mathcal{T}_{0,I}\) comme le sous-groupoïde du groupoïde fondamental de \(P\mathbb{U}_{0,I}\) induit par son ens. d'objets \(\omega(I)\). Je voudrais en donner une expression purement algébrique. Pour ceci, soit \(\tilde{\mathbb{U}} \simeq \mathbb{R}\) le revêtement universel standard de \(\mathbb{U}\), et considérons la suite exacte \[(5) \qquad 0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{R} \to \mathbb{U} \to 0 , \qquad t \mapsto \exp 2i\pi t\] d'où \[(5_I) \qquad 0 \to \mathbb{Z}^I \to \mathbb{R}^I \to \mathbb{U}^I \to 0 ,\] Notons que \(P\mathbb{U}_{0,I}\) est un torseur sous le groupe topologique \(\mathbb{U}^I\), […] ⌜structure algébrique⌝ qui détermine sa topologie. Je vais […] une construction purement algébrique du groupoïde fondamental […] […], en utilisant seulement \((5_I)\) et sa structure de torseur. Plus généralement, considérons une structure d'extension de groupes topologiques \[(6) \qquad 0 \to \pi \to \tilde T \to T \to 0\] \(\pi\) discret, avec \(\pi \subset \tilde T^0\) et \(\tilde T^0\) simplement connexe

4(contractile⌜simplement connexe⌝), \(\tilde T\) est un espace contractile tel que […] de rang fini, \(\pi\) un \(\mathbb{Z}\)-module libre de t.f.). On sait, pour \(x, y \in\) ⌜Soit \(P\) un \(\mathbb{U}\)-torseur,⌝ qui hérite donc d'une topologie, d'où […] un groupoïde fondamental ? Peut-on décrire purement algébriquement le groupoïde […] ? […] on […], pour \(x, y \in P\), on a […] \[(7) \qquad \Pi(x,y) = \tilde{\mathbb{U}}_{y-x} \qquad \text{(fibre de $\tilde{\mathbb{U}}$ en $y - x \in \mathbb{U}$)}\] La composition des flèches dans \(\Pi\) […] étant donnée par l'addition dans \(\tilde{\mathbb{U}}\).

[…] Cette formule décrit un groupoïde en fait, pour toute extension de groupes abéliens \[(8) \qquad 0 \to \pi \to \mathcal{E} \to \Gamma \to 0\] et un torseur \(\varepsilon\) sous \(\Gamma\) — on ⌜connaît⌝ un \(\pi\)-groupoïde \(\mathcal{E}(\varepsilon)\), ayant \(\varepsilon\) comme ens. d'objets, et ses flèches données par \[(9) \qquad \mathrm{Hom}(x,y) = \mathcal{E}_{y-x}\] la composition des flèches étant donnée par l'addition dans \(\mathcal{E}\). On peut aussi décrire ce groupoïde par l'ens. des flèches \[(10) \qquad \mathrm{Fl}\,\mathcal{E}(\varepsilon) = \mathcal{E} \times \varepsilon\] un symbole biffé, illisible, devant \(\mathcal{E} \times \varepsilon\)

[…] […] un \(\pi\)-groupoïde […] […] connexe […] […] […] \(\mathcal{E}(\varepsilon)\) […] […] (9) […]

5Avec l'application source donnée par \(\mathrm{pr}_2\), l'application but par la loi d'opération de \(\mathcal{E}\) sur \(\varepsilon\) (via \(\Gamma\) et \(\mathcal{E} \to \Gamma\)), la loi de composition étant donnée par \[(u, vx) \circ (v, x) = (uv, x)\] Considérons un groupe \(\Gamma'\), un \(\Gamma'\)-torseur \(\varepsilon'\), et un homomorphisme de torseurs \[\varepsilon' \longrightarrow \varepsilon\] associé à un homomorphisme de groupes \[\Gamma' \longrightarrow \Gamma\] On veut décrire le \(\pi\)-groupoïde induit sur \(\varepsilon'\) comme ens. d'objets par le \(\pi\)-groupoïde \(\mathcal{E}(\varepsilon)\), […] : l'application […]. On trouve qu'il est canon. isomorphe au \(\pi\)-groupoïde \(\mathcal{E}'(\varepsilon')\), où \(\mathcal{E}'\) \[(11) \qquad 0 \to \pi \to \mathcal{E}' \to \Gamma' \to 0\] est l'extension, image inverse de (8) par \(\Gamma' \to \Gamma\).

Remarque : la description de \(S_0\mathcal{T}_{0,I}\), en termes de l'inclusion (3), se traduit : \[(12) \qquad S_0\mathcal{T}_{0,I} \simeq \mathcal{E}_I(\omega(I))\] ⌜comme⌝ \(\mathbb{Z}^I\)-groupoïde, où \(\mathcal{E}_I\) est l'extension \[(13) \qquad 0 \to \mathbb{Z}^I \to \mathcal{E}_I \to \{\pm 1\} \to 0\]

6image inverse de l'extension \((5_I)\), par l'homomorphisme (4) de \(\underbrace{\{\pm1\}}_{\mu_2}\) dans \(\mathbb{U}^I\).

Je vais donner une description plus simple de cette extension, en […] ⌜factorisant⌝ […] […] de (4) \[\mu_2 \xrightarrow{\ \mathrm{diag}\ } \mu_2^I \longrightarrow \mathbb{U}^I .\] D'abord […] […] : déterminons l'ext. […] de \(\mu_2\) par \(\mathbb{Z}\) déduite de l'ext. can. (5) de \(\mathbb{U}\) par \(\mathbb{Z}\), par le plongement \(\mu_2 \subset \mathbb{U}\) — extension qui est canoniquement isomorphe à \[(14) \qquad 0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\ 2\ } \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0 , \qquad \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \simeq \mu_2 .\] De là on prend le produit cartésien \(I\)-ième […] \[0 \to \mathbb{Z}^I \xrightarrow{\ 2\ } \mathbb{Z}^I \to (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^I \to 0 , \qquad (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^I \simeq \mu_2^I ,\] qui donne l'image inverse de \((5_I)\) par \(\mu_2^I \to \mathbb{U}^I\), puis on prend l'ext. induite (de \(\mu_2\) par \(\mathbb{Z}^I\)) déduite de l'homom. diagonal \(\mu_2 \to \mu_2^I\). On peut considérer l'homom. d'extensions

\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & \mathbb{Z} \arrow[r, "2"] \arrow[d, "\mathrm{diag}"'] & \mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{diag}"] & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{diag}"] & 0 \\
0 \arrow[r] & \mathbb{Z}^I \arrow[r, "2"] & \mathbb{Z}^I \arrow[r] & (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^I \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

7qui donne la description suivante de (13) comme extension déduite de l'extension évidente de \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) par \(\mathbb{Z}\), grâce à l'hom. diag. \(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^I\) :

diagramme numéroté (15)

\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & \mathbb{Z} \arrow[r, "2"] \arrow[d] & \mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[d] & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & 0 \\
0 \arrow[r] & \mathbb{Z}^I \arrow[r] & \mathcal{E}_I \arrow[r] & \mu_2 \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

Donc pour un \(\mu_2\)-torseur \(\varepsilon\) i.e. un ens. à deux éléments \(\varepsilon\), on a pour \(x, y \in \varepsilon\) un \(\mathbb{Z}^I\)-torseur \[(16) \qquad \underbrace{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{E}_I(\varepsilon)}(x,y) = T_{x-y} \wedge^{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}^I \simeq \begin{cases} \mathbb{Z}^I & \text{si } x = y \\ \mathrm{Imp}^I & \text{si } x \neq y \end{cases}\] où \(\mathrm{Imp}\) = l'ens. des entiers impairs.

où \(T_{x-y}\) \(T_{x-y}\) désigne le \(\mathbb{Z}\)-torseur ⌜des⌝ image inverse de \(x - y \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) dans \(\mathbb{Z}\) (i.e. formé des entiers pairs si \(x = y\), des entiers impairs si \(x \neq y\)), et où l'extension du groupe d'opérateurs de torseurs est celle de : l'hom. diagonal \(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^I\).

Ceci s'applique en particulier au cas de \(\mathcal{E}_I(\omega(I))\) i.e. où \(\varepsilon = \omega(I)\), et donne la description algébrique complète de \(S_0\mathcal{T}_{0,I}\), en termes de \(I \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Ens}\).

Cette description est compatible avec les opérations de \(\mathfrak{S}_I\). On trouve donc une

8description des groupes fondamentaux variants en un point \(x \in \omega(I)\) : \[(17) \qquad \pi_1(S_0\mathcal{T}_{0,I}, \mathfrak{S}_I; x) = \bigl\{ \alpha, l \bigm| \alpha \in \mathfrak{S}_I,\ l : x \leftarrow \alpha x \text{ dans } S_0\mathcal{T}_{0,I} \bigr\}\] \[= \bigl\{ (\alpha, (n_i)_{i\in I}) \in \mathfrak{S}_I \times \mathbb{Z}^I \bigm| \text{les $n_i$ ont la parité définie par $\mathrm{sg}(\alpha)$} \bigr\}\] au-dessus de (17), un premier essai biffé : \(S_0\mathcal{T}_{0,I}\) avec composition \[(18) \qquad (l, \alpha)(l', \alpha') = (\underbrace{l \circ \alpha(l')}_{l + \alpha(l')}, \alpha\alpha')\] dans (18), un mot biffé, illisible, devant \(l \circ \alpha(l')\) De façon générale, si \(x, y \in \varepsilon\) (\(= \omega(I)\)), les hom. dans le \(\Pi_1\) variant de \(x\) dans \(y\) sont donnés par les couples \((l, \alpha)\) avec \(l : \alpha x \to y\), et […] […] […] par (18)

Comme \(S_0\mathcal{T}_{0,I}\) est déduit d'un \(\mathbb{Z}\)-groupoïde (sur \(\omega(I)\) comme ens. d'objets) par changement des groupes d'opérateurs […] \(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^I\), l'extension […] de \(\mathfrak{S}_I\) par \(\mathbb{Z}^I\) peut être considérée comme […] déduite d'une extension de \(\mathfrak{S}_I\) par \(\mathbb{Z}\) (savoir le groupe fond. variant […] précédent) […] […] […] \(\mathbb{Z}\)-groupoïdes […] (à opérateurs \(\mathfrak{S}_I\)). Sa description explicite est […] […] […] […] (17), (18), […] que les \(l\) sont des éléments de \(\mathbb{Z}\) […] lieu de \(\mathbb{Z}^I\) — et l'op. de \(\mathfrak{S}_I\) sur \(\mathbb{Z}\) est triviale. Donc on voit que l'ext. […] […] […] que l'extension, déduite […] de l'extension (14) de \(\mu_2\) par \(\mathbb{Z}\), […] […] l'homom. signature \(\mathfrak{S}_I \to \mu_2\). En résumé :

Proposition. — Soit \(x \in \omega(I)\). Alors \(\pi_1(S_0\mathcal{T}_{0,I}, \mathfrak{S}_I; x)\) est can. isom. à une l'extension de \(\mathfrak{S}_I\) par \(\mathbb{Z}^I\)

9obtenue à partir de l'extension (14) de \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \simeq \mu_2\) par \(\mathbb{Z}\) \[0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\ 2\ } \mathbb{Z} \to \underset{\mu_2}{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \to 0 ,\] en prenant l'image inverse de celle-ci par l'homom. signature \[\mathfrak{S}_I \xrightarrow{\ \mathrm{sgn}\ } \mu_2 \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} ,\] et en prenant la \(\mathbb{Z}^I\)-extension déduite de celle-ci par l'homom. ⌜diag.⌝ \(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^I\).

Cette extension n'est pas scindable — ou l'extension induite sur un sous-groupe ⌜\(\Gamma_k\)⌝ d'ordre \(2\), défini par une transposition \(\sigma_k = (i,j)\), ne l'est pas — ou en augmentant la projection \(\mathbb{Z}^I \to \mathbb{Z}\) correspondant aux […] indices […] […] par l'involution) — on trouve une extension de \(\Gamma_k\) par \(\mathbb{Z}\), qui n'est autre (via l'identification \(\Gamma_k \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)) que l'extension (14) de \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) par \(\mathbb{Z}\), qui n'est pas scindable évidemment. Par contre la restriction de l'extension à \(\mathfrak{S}_I^+\), qui est le stabilisateur de \(x\) dans \(\mathfrak{S}_I\), est évidemment canoniquement scindée — ce qui est manifeste aussi sur la formule explicite (17), (18) — le scindage est \[(19) \qquad \alpha \longmapsto (0, \alpha) \qquad \alpha \in \mathfrak{S}_I^+ .\]

10Il est un peu étrange que l'expression obtenue pour \(\pi_1(S_0\mathcal{T}_{0,I}, \mathfrak{S}_I; x)\) ne dépende pas du choix de \(x \in \omega(I)\) — c'est un groupe \(G(I)\), extension de \(\mathfrak{S}_I\) par \(\mathbb{Z}^I\), qui se construit canoniquement, sans référence à un \(x \in \omega(I)\). Donc \(\mathfrak{S}_I\) opère […] de façon compatible avec son […] ([…]), bien qu'il n'y ait pas de scindage par quoi décrire cette opération. Bien entendu, la restriction de cette opération à \(\mathfrak{S}_I^+\) n'est autre que celle déduite du scindage canonique au-dessus de \(\mathfrak{S}_I^+\).

Regardons maintenant le cas d'un graphe MDG \(G\) de dim. modulaire \(0\), de sorte que \(S_0\mathcal{T}_G\) se déduit du produit \[S_0\mathcal{T}_{G^b} = \prod_{s\in S} S_0\mathcal{T}_{G^b_s} = \prod_{s\in S} S_0\mathcal{T}_{0,\vec{\hat A}_s}\] par l'homom. des groupes […] d'op. internes \[(20) \qquad \mathbb{Z}^{\vec{\hat A}} \longrightarrow \mathbb{Z}^{\hat A} .\] On peut d'autre part décrire le produit \(S_0\mathcal{T}_{G^b}\) en termes des torseurs \[\varepsilon(G) = \varepsilon(G^b) = \prod_{s\in S} \underbrace{\omega(\vec{\hat A}_s)}_{\varepsilon(G^b_s)}\] la ligne se poursuit au feuillet suivant ; en marge, devant elle, un mot abrégé, « et »

11i.e. l'ext. […] sous le groupe \[(22) \qquad \gamma(G) = \gamma(G^b) = \{\pm 1\}^S\] et de l'extension \[(23) \qquad 0 \to \mathbb{Z}^S \xrightarrow{\ 2\ } \mathbb{Z}^S \to \underset{\gamma(G)}{(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^S} \to 0\] (puiss. cartésienne, d'exposant \(S\), de l'ext. (14)) en considérant l'homomorphisme \[\mathbb{Z}^S \longrightarrow \mathbb{Z}^{\vec{\hat A}}\] déduit de l'application-source \[\vec{\hat A} \longrightarrow S\] d'où une extension \[(24) \qquad 0 \to \mathbb{Z}^{\vec{\hat A}} \longrightarrow \mathcal{E}(G^b) \longrightarrow \gamma(G) \to 0\] (ne dépendant que de \(G^b\)). Ceci posé, on a \[(25) \qquad S_0\mathcal{T}_{G^b} = \mathcal{E}(G^b)(\underbrace{\varepsilon(G^b)}_{\varepsilon(G)})\] Pour passer à \(S_0\mathcal{T}_G\), on considère l'extension \[(26) \qquad 0 \to \mathbb{Z}^{\hat A} \longrightarrow \mathcal{E}(G) \longrightarrow \gamma(G) \to 0\] de \(\gamma(G) = \gamma(G^b)\) par \(\mathbb{Z}^{\hat A}\), déduite de \(\mathcal{E}(G^b)\) (24) par l'hom. (20). On trouve les numéros d'équations (22) à (26) de ce feuillet sont lus avec peine, plusieurs chiffres étant récrits ; la suite (26) est reprise au feuillet suivant

12l'expression intrinsèque \[(27) \qquad S_0\mathcal{T}_G \simeq \mathcal{E}(G)(\varepsilon(G))\] i.e. \[(28) \qquad \begin{cases} \mathrm{Ob}\, S_0\mathcal{T}_G = \varepsilon(G) \\ \mathrm{Hom}_{S_0\mathcal{T}_G}(x,y) = \underbrace{\mathcal{E}(G)_{y-x}}_{\text{fibre de $\mathcal{E}(G)$ au-dessus de $y - x \in \gamma(G)$}} \quad \text{pour } x, y \in \varepsilon(G) \end{cases}\] la composition des homomorphismes étant donnée par la […] ⌜loi d'addition⌝ dans \(\mathcal{E}(G)\).

On pourrait d'ailleurs prendre \(\mathcal{E}(G)\) et \(\varepsilon(G)\) […] (27) […] (23), […] \(\mathbb{Z}^{\hat A} \leftarrow \mathbb{Z}^{\vec{\hat A}} \leftarrow \mathbb{Z}^S\)

On peut prendre (28) comme définition de \(S_0\mathcal{T}_G\), pour \(G\) de dim. modulaire nulle.

Considérons p.ex. le […] ⌜MD-graphe⌝ du type

un arbre à deux sommets reliés par l'arête \(a\), chaque sommet portant en outre deux demi-arêtes libres, terminées par des flèches

correspondant : à la donnée d'un ens. […] ⌜\(I\)⌝ de cardinal \(4\), et d'une partition de type \((2,2)\) de \(I\), i.e. à la donnée d'une courbe combinatoire à […] \(I\) […] l'une des sommets, et la partition […] […] celle des […] […]). On obtient

13\(G_Q\) le graphe associé à un carré combinatoire \(Q\),

un rectangle, les quatre sommets marqués d'un point

Soit \(\mathrm{diag}\,Q\) l'ens. des deux diagonales de \(Q\), \(A(Q)\) \(A(Q)\) l'ens. des quatre sommets, s'identifiant à \[A(Q) = \prod_{\Delta \in \mathrm{diag}\,Q} \Delta\] ens. sous-jacent ⌜torseur sous⌝ \(\{\pm1\}^{\mathrm{diag}\,Q}\), qui […] […] : \(\{\pm1\} \subset \{\pm1\}^{\mathrm{diag}\,Q}\) ⌜y opère⌝ par passage du sommet opposé, […] à codiagonales. Donc \[\mathrm{codiag}(Q) \simeq \bigwedge_{\Delta \in \mathrm{diag}\,Q} \Delta .\] On a ici, en termes du graphe \(G_Q\) \[\begin{aligned} S &\simeq \mathrm{diag}\,Q && \text{soit $\Delta_s$ la diagonale associée à $s \in S$} \\ I = A^{\mathrm{lib}} &= A(Q) && \text{ens.\ des sommets de $Q$} \\ \vec{\hat A} &\simeq A \amalg \tilde S && \text{en associant à $s \in S$ l'arête orientée $\tilde s$ d'origine $s$} \end{aligned}\] dans la deuxième ligne, un symbole biffé devant \(A(Q)\), et « sommets » écrit au-dessus d'un mot biffé \[\vec{\hat A}_s = \Delta_s \amalg \{\tilde s\} \qquad \text{donc} \qquad \varepsilon_s = \omega(\vec{\hat A}_s) \simeq \Delta_s\] \[\varepsilon(G) \simeq \prod_{s\in S} \Delta_s \simeq A(Q) \qquad \text{en tant que torseurs sous}\] \[\gamma_G = \prod_{s\in S} \{\pm1\} = \{\pm1\}^S .\] On trouve \(S_0\mathcal{T}_G\) à l'aide de l'extension \(\mathcal{E}_{G^b}\) \[0 \longrightarrow \mathbb{Z}^S \xrightarrow{\ 2\ } \mathbb{Z}^S \longrightarrow \overbrace{\{\pm1\}^S}^{\gamma(G)} \longrightarrow 0\] et du ⌜\(\gamma(G)\)-torseur⌝ \(\varepsilon(G)\), en prenant \(\mathcal{E}_{G^b}(\varepsilon(G))\), ⌜sur \(\gamma(G)\),⌝ qui donne un \(\mathbb{Z}^S\)-groupoïde, et en faisant l'extension des groupes internes \(\mathbb{Z}^S \to \mathbb{Z}^{\vec{\hat A}}\), puis

14l'homomorphisme

\begin{tikzcd}[column sep=small]
\mathbb{Z}^S \arrow[rr] \arrow[dr, "\text{déduit par contravariance de } \vec{\hat A} \xrightarrow{\mathrm{or.}} S"'] & & \mathbb{Z}^{\hat A} \\
& \mathbb{Z}^{\vec{\hat A}} \arrow[ur, "\text{déduit par cov.\ de } \vec{\hat A} \to \hat A \simeq \vec{\hat A}/\sigma"'] &
\end{tikzcd}

à droite du diagramme, une ligne biffée qui se termine par \(\vec{\hat A} \to S\), \(\vec a \mapsto \mathrm{or}(\vec a)\) : […]

On a : \(\mathbb{Z}^{\hat A} \simeq \mathbb{Z}^I \times \mathbb{Z}\), et \(\mathbb{Z}^S \to \mathbb{Z}^I \times \mathbb{Z}\) se décompose en \[\mathbb{Z}^S \to \mathbb{Z}^I \quad \text{associé par contravariance à } I \xrightarrow[\deg 2]{} S\] et en \[\mathbb{Z}^S \xrightarrow[\text{homm.\ somme}]{} \mathbb{Z} .\]

15

II. Détermination de \(S_0\mathcal{T}_{0,I}\), pour \(\mathrm{card}\, I = 4\)

Soit \[(1) \qquad \begin{cases} J = \text{ens.\ des partitions de type $(2,2)$ de $I$} \\ \Sigma = \mathbb{P}^1_J \quad \text{la \struck{sphère} \add{dr.\ proj.} $J$-marquée associée} \\ \omega = \omega(J) \quad \text{l'ens.\ des orientations de $J$.} \end{cases}\] N.B. \(\Sigma = \Sigma_I\) […] opère sur \(\mathfrak{S}_I\) par l'intermédiaire de \(\mathfrak{S}_I \to \mathfrak{S}_J\), de noyau \(V(I) \simeq\) […] (le groupe de Klein) […] […] […] […] […] \(\mathbb{F}_2\), déterminé par \(J\) : \(V(I)^* \simeq J\)

On peut plonger \(\omega\) dans \(\Sigma\) par un isomorphisme \[(2) \qquad \omega \simeq \Sigma^{\mathfrak{S}_J^+} = \Sigma^{\mathfrak{S}_I^+}\] en associant : \(x \in \omega\) le point fixe sous \(\mathfrak{S}_J^+\) qui est dans l'hémisphère qui correspond : l'orientation de l'équateur \(\Sigma_{\mathbb{R}}\) correspondante : l'ordre circulaire donné sur \(J\). Pour […] \(\alpha \in J\), je désigne par \(\sigma_\alpha\) la transposition \(\sigma_\alpha \in \mathfrak{S}_J\) la transposition dans \(J\) qui fixe \(\alpha\), \(\tilde\alpha\)⌜\(\tilde\alpha\)⌝ le pt fixe […] \(\neq \alpha\) de cette transposition.

une sphère : pôle \(P\) en haut et pôle opposé en bas ; l'équateur porte les points \(\beta\), \(\bar\alpha\) et un troisième point au bord droit ; un parallèle tracé en pointillé porte \(\tilde\alpha\), \(\alpha\), \(\tilde\beta\) la diagonale […] […] est […] […] […] […] \(\bar\Sigma\) par \(P\) et […]

On pose \[(3) \qquad \Sigma^* = \Sigma_I^* = \Sigma \setminus J\] deux symboles biffés et illisibles, l'un après \(\Sigma^*\), l'autre en exposant de \(\Sigma_I\), au-dessus duquel on lit un \(\alpha\) On a des iso. canoniques (sur \(\mathbb{C}\)) \[(4) \qquad \begin{cases} M_{0,I} \simeq \Sigma_I^* \\ \hat M_{0,I} \simeq \Sigma_I \end{cases}\]

16On prend \[\Sigma_J = \mathbb{P}(V(J)) \simeq \check{\mathbb{P}}(V(J))\] où \(V(J)\) défini par une suite exacte \[0 \to V(J) \longrightarrow \mathcal{O}^J \xrightarrow[\text{somme}]{} \mathcal{O} \to 0\] La section \(\alpha^*\) de \(\Sigma_J\) est définie par la suite

la section […] \(\Sigma\) […] \(\beta\) de \(V(\) \[V(J) \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_\alpha\ } \mathcal{O}\] sous la ligne biffée, également biffé : « pt de \(\{\alpha\}\) » ; à droite de la flèche, deux expressions biffées \(\mathcal{O}.(\beta - \gamma)\), […], où \(\beta\), \(\gamma\) sont les […] qui est donnée par ⌜loc.⌝ par les points […] \(J\) […] de \(\alpha\). Quand : \(\alpha'\), il est donné par la section \[-2\alpha + \beta + \gamma = -2\alpha + \sum_{\beta \in J \setminus \{\alpha\}} \beta\] soit \(\Delta_{\alpha'}\). On a \[0 \to \Delta_{\alpha'} \longrightarrow V(J) \longrightarrow \mathcal{O}_{\alpha'}(1) \to 0\] d'où ⌜et⌝ \[\Delta_{\alpha'} \xrightarrow[\substack{\mathrm{pr}_\beta \\ (\beta \neq \alpha)}]{\ \sim\ } \mathcal{O} .\] isom. indépendant du choix de \(\beta\). On trouve donc, prenant les déterminants \[\det V(J) \simeq \mathcal{O}_{\alpha'}(1) \simeq \mathcal{O}(1) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}(\omega)\] le second isomorphisme est écrit verticalement sous le premier ; \(\mathbb{Z}(\omega)\) y est glosé : « \(\mathbb{Z}\) tordu par \(\omega = \omega(J)\) » On a un isom. \[\hat T_i \simeq \mathcal{O}(1)^{\otimes} \otimes_{\mathbb{Z}} L(\omega) ,\] deux symboles biffés, illisibles, devant \(\hat T_i\) et devant \(\mathcal{O}(1)\) ; l'exposant de \(\mathcal{O}(1)\) est incertain où \(L(\omega)\) est l'alternative \[\begin{cases} L(\omega) = \mathbb{Z} \\ L(\omega) = \mathbb{Z}(\omega) \end{cases}\] en regard de la première ligne : « (non […] […], \(i\)) » ; de la seconde : « (id.) où \(\omega = \omega(J)\) » Signification de \(\hat T_{0,I}\) dans \(\hat M_{0,I}\) : le […] \(i \in I\) […] de la section […]

Pour déterminer quelle est l'alternative correcte

17Je prends l'image inverse par la section […] \(\alpha'\) (\(\alpha \in J\)) dans \(M_{0,I}\), on aura donc \[\underset{\substack{\text{fibré tangent} \\ \text{en long de la} \\ \text{section $i$ de la} \\ \text{droite proj.\ relative} \\ \text{$X$ $I$-marquée}}}{T_i} \simeq \underbrace{\underbrace{\mathcal{O}_{\alpha'}(1)}_{\mathcal{O} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}(\omega)} \otimes_{\mathbb{Z}} L(\omega)}_{\mathcal{O} \otimes_{\mathbb{Z}} (\mathbb{Z}(\omega) \otimes_{\mathbb{Z}} L(\omega))}\] devant \(\mathcal{O}_{\alpha'}(1)\), un symbole biffé Mais avec \(\alpha\), pour une structure carrée \(Q = Q_\alpha\) sur \(I\), et un sommet marqué \(i\), d'où une diagonale marquée

un carré, le sommet en bas à gauche marqué \(i\)

\[\omega(Q) \simeq \omega\] après \(\omega\), un symbole biffé et noirci et on trouve \[T_i \simeq \mathcal{O} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}(\omega)\] et comparant, on trouve \(L(\omega) = \mathbb{Z}\), donc en définitive \[\boxed{\hat T_i \simeq \mathcal{O}(1)} \simeq \check F(\omega) \qquad \text{où } 0 \to F \to V(J) \to \mathcal{O}_\Sigma(1) \to 0 .\] On trouve donc \[S\hat P_I \overset{\mathrm{déf}}{=} \prod_{/\hat M_{0,I}} \hat P_i \simeq \bigl(\check V^*(\mathcal{O}(1))^{I}\bigr)_{/\underset{\Sigma_I}{\hat M_{0,I}}} \simeq V^*(\mathcal{O}(1)) \wedge^{\mathbb{G}_m} \mathbb{G}_m^I\] donc \[SP_I \simeq \bigl(V^*(\mathcal{O}(1)) \mid \underset{\Sigma_I^*}{M_{0,I}}\bigr) \wedge^{\mathbb{G}_m} \mathbb{G}_m^I\] d'où (sur \(\mathbb{C}\) maintenant, et dans le contexte analytique) \[S\mathcal{T}_{0,I} \simeq \Pi_1\bigl(V^*(\mathcal{O}(1)) \mid \Sigma_I^*\bigr) \wedge^{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}^I\] l'exposant \(I\) de \(\check V^*(\mathcal{O}(1))\) dans la première formule est lu avec doute ; le \(\Pi\) de la dernière formule est récrit sur un premier tracé

Étude de \(P\Sigma_J^*\) (et de \(P\Sigma_n^*\) …) \(S_0\mathcal{T}_{0,4}\), \(S_0\mathcal{T}_{0,I}\) (\(\mathrm{card}\, I = 4\))

titre de sa main, seul au haut du feuillet 18, qui sert de couverture à la suite

19une page entière de dessin, au crayon : un cylindre vertical dont le cercle supérieur est marqué \(V_{\mathbb{C}}^{\omega}\), le cercle inférieur \(V_{\mathbb{C}}^{\omega'}\), et le cercle médian (l'équateur) \(V^{\omega}\), chacun avec une flèche de sens de rotation. Sur le cercle supérieur, les points \(\tilde P_{a_1}^{\omega}\), \(\tilde P_s^{\omega}\), \(\tilde P_a^{\omega}\), et l'arc \(\tilde d_s^{\omega}\) (un premier libellé biffé) tracé en gras de \(\tilde P_{a_1}^{\omega}\) à \(\tilde P_a^{\omega}\) ; de \(\tilde P_a^{\omega}\) descend en gras un segment vertical, libellé \(\tilde c_r\) ou \(\tilde c_a^{\omega}\), jusqu'au point \(\tilde Q_a\) de l'équateur ; le long de la verticale en pointillé issue de \(\tilde P_{a_1}^{\omega}\) on lit \(\tilde c_{a_1}^{\omega} = \tilde c_{\omega^{-1}(r_1)}\), et plus bas \(\tilde c_{r_1} = \tilde c_{a_1}^{\omega'}\). Sur l'équateur, quatre petits cercles fléchés autour de points marqués (des lacets autour des points enlevés), les points \(\tilde Q_{a_1}\), \(\tilde R_{r_1}\), \(\tilde R_s\), \(R_r\), \(\tilde Q_a\), les arcs \(\tilde b_{r_1}\), \(\tilde b_r\) (en gras), et un demi-cercle gras \(\tilde a_r\) autour de \(\tilde R_s\) ; un triangle hachuré à l'intérieur porte les libellés \(r\), \(r'\), \(r''\), \(r_1\), \(r_2\), plusieurs autres étant biffés. Sur le cercle inférieur, les points \(\tilde P_{a_1}^{\omega'}\), \(\tilde P_s^{\omega}\), \(\tilde P_a^{\omega'}\), les libellés \((\tilde d_{r_1})\), \(\tilde d_{r_1}\) ou \(\tilde d_s^{\omega'}\), et l'arc fléché \(\tilde b_r^{\omega'}\). Des lettres pâles \(a_\omega\), \(a\), \(a_{\omega'}\) dans la marge gauche du cylindre.

légende écrite à gauche du dessin : \[\begin{aligned} & s \in S, \qquad a \in A, \qquad r = (s, a) \\ & r_1 = (s, a_1) = \tau_1 r \\ & r_2 = \omega^{-1}(r_1) = \tau_0 \tau_1 r = \tau_0 \tau_1 r \\ & r' = \tau_0 r \\ & r'' = \tau_1 r' = \tau_1 \tau_0 r = \omega(r) \end{aligned}\] entre les lignes de \(r_2\) et de \(r'\), une ligne biffée : \(\ldots = \omega(r) = \tau_0(\tau_1 r)\) ; dans la ligne de \(r_2\), un symbole biffé et récrit après \(\tau_0\). Le cercle entourant un chiffre en haut de la page n'est pas lu.

la suite annoncée par le titre du feuillet 18 (étude de \(P\Sigma_J^*\) et de \(S_0\mathcal{T}_{0,I}\) pour \(\mathrm{card}\, I = 4\)) se poursuit au-delà de ce lot ; le dessin du feuillet 19 n'en est que le début