I. Calcul de S_0\mathcal{T}_G, pour G graphe MD de dim. modulaire 0

Obtient-on S_0\mathcal{T}_G S_0\mathcal{T}_{G^b} par groupoïdes

S_0\mathcal{T}_G est un \mathbb{Z}^{\hat A}-groupoïde, déduit du \mathbb{Z}^{\vec{\hat A}}-groupoïde S_0\mathcal{T}_{G^b} par le changement de groupes interne \mathbb{Z}^{\vec{\hat A}} \longrightarrow \mathbb{Z}^{\hat A} associé à : \vec{\hat A} \longrightarrow \hat A, i.e. (1) \qquad S_0\mathcal{T}_G = S_0\mathcal{T}_{G^b} \wedge^{\mathbb{Z}^{\vec{\hat A}}} \mathbb{Z}^{\hat A} et (2) \qquad S_0\mathcal{T}_{G^b} = \prod_{s\in S} S_0\mathcal{T}_{G^b_s} = \prod_{s\in S} S_0\mathcal{T}_{0,\vec{\hat A}_s} , ce qui nous ramène à : décrire S_0\mathcal{T}_G, quand G est un graphe ayant un seul sommet, i.e. G est un G_{0,I}, I étant un ens. à trois éléments, de sorte — i.e. on est ramené à décrire S_0\mathcal{T}_{0,I}.

Considérons la courbe droite projective I-marquée sur \mathbb{C}, \mathbb{P}^1_I. Soit \omega(I) l'une des deux orientations de I. Si \alpha \in \omega(I), on a des iso. canoniques (par les espaces tangents) de \mathbb{U}-torseurs T_i aux i \in I \subset \mathbb{P}^1_I T_i \xleftrightarrow[\ \sim\ ]{\ \varphi_{\alpha,i}\ } \mathbb{U} \qquad \mathbb{U} = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} i.e. un isom. de \mathbb{U}^I-torseurs \mathbb{U}^I \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \varphi\ } P\mathbb{U}_G = P\mathbb{U}_{0,I} = \prod_{i\in I} T_i i.e. un point noté \bar\alpha = \varphi(1) \in P\mathbb{U}_{0,I}, d'où une injection canonique (3) \qquad \omega(I) \hookrightarrow P\mathbb{U}_{0,I} compatible avec l'homomorphisme sur les groupes d'opérateurs

diagramme numéroté (4) dans la marge

\begin{tikzcd} \{\pm 1\} \arrow[rr] \arrow[dr, "\mathrm{diag}"'] & & \mathbb{U}^I \\ & \{\pm 1\}^I \arrow[ur, "\text{déduit de l'inclusion } \{\pm1\} \hookrightarrow \mathbb{U}"'] & \end{tikzcd}

Bien entendu, (3) et (4) sont compatibles avec l'action de \mathfrak{S}_I (qui opère sur \omega(I) par la signature). Je définis S_0\mathcal{T}_{0,I} comme le sous-groupoïde du groupoïde fondamental de P\mathbb{U}_{0,I} induit par son ens. d'objets \omega(I). Je voudrais en donner une expression purement algébrique. Pour ceci, soit \tilde{\mathbb{U}} \simeq \mathbb{R} le revêtement universel standard de \mathbb{U}, et considérons la suite exacte (5) \qquad 0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{R} \to \mathbb{U} \to 0 , \qquad t \mapsto \exp 2i\pi t d'où (5_I) \qquad 0 \to \mathbb{Z}^I \to \mathbb{R}^I \to \mathbb{U}^I \to 0 , Notons que P\mathbb{U}_{0,I} est un torseur sous le groupe topologique \mathbb{U}^I, structure algébrique qui détermine sa topologie. Je vais une construction purement algébrique du groupoïde fondamental , en utilisant seulement (5_I) et sa structure de torseur. Plus généralement, considérons une structure d'extension de groupes topologiques (6) \qquad 0 \to \pi \to \tilde T \to T \to 0 \pi discret, avec \pi \subset \tilde T^0 et \tilde T^0 simplement connexe

(contractilesimplement connexe), \tilde T est un espace contractile tel que de rang fini, \pi un \mathbb{Z}-module libre de t.f.). On sait, pour x, y \in Soit P un \mathbb{U}-torseur, qui hérite donc d'une topologie, d'où un groupoïde fondamental ? Peut-on décrire purement algébriquement le groupoïde ? on , pour x, y \in P, on a (7) \qquad \Pi(x,y) = \tilde{\mathbb{U}}_{y-x} \qquad \text{(fibre de $\tilde{\mathbb{U}}$ en $y - x \in \mathbb{U}$)} La composition des flèches dans \Pi étant donnée par l'addition dans \tilde{\mathbb{U}}.

Cette formule décrit un groupoïde en fait, pour toute extension de groupes abéliens (8) \qquad 0 \to \pi \to \mathcal{E} \to \Gamma \to 0 et un torseur \varepsilon sous \Gamma — on connaît un \pi-groupoïde \mathcal{E}(\varepsilon), ayant \varepsilon comme ens. d'objets, et ses flèches données par (9) \qquad \mathrm{Hom}(x,y) = \mathcal{E}_{y-x} la composition des flèches étant donnée par l'addition dans \mathcal{E}. On peut aussi décrire ce groupoïde par l'ens. des flèches (10) \qquad \mathrm{Fl}\,\mathcal{E}(\varepsilon) = \mathcal{E} \times \varepsilon un symbole biffé, illisible, devant \mathcal{E} \times \varepsilon

un \pi-groupoïde connexe \mathcal{E}(\varepsilon) (9)

Avec l'application source donnée par \mathrm{pr}_2, l'application but par la loi d'opération de \mathcal{E} sur \varepsilon (via \Gamma et \mathcal{E} \to \Gamma), la loi de composition étant donnée par (u, vx) \circ (v, x) = (uv, x) Considérons un groupe \Gamma', un \Gamma'-torseur \varepsilon', et un homomorphisme de torseurs \varepsilon' \longrightarrow \varepsilon associé à un homomorphisme de groupes \Gamma' \longrightarrow \Gamma On veut décrire le \pi-groupoïde induit sur \varepsilon' comme ens. d'objets par le \pi-groupoïde \mathcal{E}(\varepsilon), : l'application . On trouve qu'il est canon. isomorphe au \pi-groupoïde \mathcal{E}'(\varepsilon'), où \mathcal{E}' (11) \qquad 0 \to \pi \to \mathcal{E}' \to \Gamma' \to 0 est l'extension, image inverse de (8) par \Gamma' \to \Gamma.

Remarque : la description de S_0\mathcal{T}_{0,I}, en termes de l'inclusion (3), se traduit : (12) \qquad S_0\mathcal{T}_{0,I} \simeq \mathcal{E}_I(\omega(I)) comme \mathbb{Z}^I-groupoïde, où \mathcal{E}_I est l'extension (13) \qquad 0 \to \mathbb{Z}^I \to \mathcal{E}_I \to \{\pm 1\} \to 0

image inverse de l'extension (5_I), par l'homomorphisme (4) de \underbrace{\{\pm1\}}_{\mu_2} dans \mathbb{U}^I.

Je vais donner une description plus simple de cette extension, en factorisant de (4) \mu_2 \xrightarrow{\ \mathrm{diag}\ } \mu_2^I \longrightarrow \mathbb{U}^I . D'abord : déterminons l'ext. de \mu_2 par \mathbb{Z} déduite de l'ext. can. (5) de \mathbb{U} par \mathbb{Z}, par le plongement \mu_2 \subset \mathbb{U} — extension qui est canoniquement isomorphe à (14) \qquad 0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\ 2\ } \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0 , \qquad \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \simeq \mu_2 . De là on prend le produit cartésien I-ième 0 \to \mathbb{Z}^I \xrightarrow{\ 2\ } \mathbb{Z}^I \to (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^I \to 0 , \qquad (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^I \simeq \mu_2^I , qui donne l'image inverse de (5_I) par \mu_2^I \to \mathbb{U}^I, puis on prend l'ext. induite (de \mu_2 par \mathbb{Z}^I) déduite de l'homom. diagonal \mu_2 \to \mu_2^I. On peut considérer l'homom. d'extensions

\begin{tikzcd} 0 \arrow[r] & \mathbb{Z} \arrow[r, "2"] \arrow[d, "\mathrm{diag}"'] & \mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{diag}"] & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{diag}"] & 0 \\ 0 \arrow[r] & \mathbb{Z}^I \arrow[r, "2"] & \mathbb{Z}^I \arrow[r] & (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^I \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

qui donne la description suivante de (13) comme extension déduite de l'extension évidente de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} par \mathbb{Z}, grâce à l'hom. diag. \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^I :

diagramme numéroté (15)

\begin{tikzcd} 0 \arrow[r] & \mathbb{Z} \arrow[r, "2"] \arrow[d] & \mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[d] & \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & 0 \\ 0 \arrow[r] & \mathbb{Z}^I \arrow[r] & \mathcal{E}_I \arrow[r] & \mu_2 \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

Donc pour un \mu_2-torseur \varepsilon i.e. un ens. à deux éléments \varepsilon, on a pour x, y \in \varepsilon un \mathbb{Z}^I-torseur (16) \qquad \underbrace{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{E}_I(\varepsilon)}(x,y) = T_{x-y} \wedge^{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}^I \simeq \begin{cases} \mathbb{Z}^I & \text{si } x = y \\ \mathrm{Imp}^I & \text{si } x \neq y \end{cases} où \mathrm{Imp} = l'ens. des entiers impairs.

où T_{x-y} T_{x-y} désigne le \mathbb{Z}-torseur des image inverse de x - y \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} dans \mathbb{Z} (i.e. formé des entiers pairs si x = y, des entiers impairs si x \neq y), et où l'extension du groupe d'opérateurs de torseurs est celle de : l'hom. diagonal \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^I.

Ceci s'applique en particulier au cas de \mathcal{E}_I(\omega(I)) i.e. où \varepsilon = \omega(I), et donne la description algébrique complète de S_0\mathcal{T}_{0,I}, en termes de I \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Ens}.

Cette description est compatible avec les opérations de \mathfrak{S}_I. On trouve donc une

description des groupes fondamentaux variants en un point x \in \omega(I) : (17) \qquad \pi_1(S_0\mathcal{T}_{0,I}, \mathfrak{S}_I; x) = \bigl\{ \alpha, l \bigm| \alpha \in \mathfrak{S}_I,\ l : x \leftarrow \alpha x \text{ dans } S_0\mathcal{T}_{0,I} \bigr\} = \bigl\{ (\alpha, (n_i)_{i\in I}) \in \mathfrak{S}_I \times \mathbb{Z}^I \bigm| \text{les $n_i$ ont la parité définie par $\mathrm{sg}(\alpha)$} \bigr\} au-dessus de (17), un premier essai biffé : S_0\mathcal{T}_{0,I} avec composition (18) \qquad (l, \alpha)(l', \alpha') = (\underbrace{l \circ \alpha(l')}_{l + \alpha(l')}, \alpha\alpha') dans (18), un mot biffé, illisible, devant l \circ \alpha(l') De façon générale, si x, y \in \varepsilon (= \omega(I)), les hom. dans le \Pi_1 variant de x dans y sont donnés par les couples (l, \alpha) avec l : \alpha x \to y, et par (18)

Comme S_0\mathcal{T}_{0,I} est déduit d'un \mathbb{Z}-groupoïde (sur \omega(I) comme ens. d'objets) par changement des groupes d'opérateurs \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^I, l'extension de \mathfrak{S}_I par \mathbb{Z}^I peut être considérée comme déduite d'une extension de \mathfrak{S}_I par \mathbb{Z} (savoir le groupe fond. variant précédent) \mathbb{Z}-groupoïdes (à opérateurs \mathfrak{S}_I). Sa description explicite est (17), (18), que les l sont des éléments de \mathbb{Z} lieu de \mathbb{Z}^I — et l'op. de \mathfrak{S}_I sur \mathbb{Z} est triviale. Donc on voit que l'ext. que l'extension, déduite de l'extension (14) de \mu_2 par \mathbb{Z}, l'homom. signature \mathfrak{S}_I \to \mu_2. En résumé :

Proposition. — Soit x \in \omega(I). Alors \pi_1(S_0\mathcal{T}_{0,I}, \mathfrak{S}_I; x) est can. isom. à une l'extension de \mathfrak{S}_I par \mathbb{Z}^I

obtenue à partir de l'extension (14) de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \simeq \mu_2 par \mathbb{Z} 0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\ 2\ } \mathbb{Z} \to \underset{\mu_2}{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \to 0 , en prenant l'image inverse de celle-ci par l'homom. signature \mathfrak{S}_I \xrightarrow{\ \mathrm{sgn}\ } \mu_2 \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} , et en prenant la \mathbb{Z}^I-extension déduite de celle-ci par l'homom. diag. \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^I.

Cette extension n'est pas scindable — ou l'extension induite sur un sous-groupe \Gamma_k d'ordre 2, défini par une transposition \sigma_k = (i,j), ne l'est pas — ou en augmentant la projection \mathbb{Z}^I \to \mathbb{Z} correspondant aux indices par l'involution) — on trouve une extension de \Gamma_k par \mathbb{Z}, qui n'est autre (via l'identification \Gamma_k \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) que l'extension (14) de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} par \mathbb{Z}, qui n'est pas scindable évidemment. Par contre la restriction de l'extension à \mathfrak{S}_I^+, qui est le stabilisateur de x dans \mathfrak{S}_I, est évidemment canoniquement scindée — ce qui est manifeste aussi sur la formule explicite (17), (18) — le scindage est (19) \qquad \alpha \longmapsto (0, \alpha) \qquad \alpha \in \mathfrak{S}_I^+ .

Il est un peu étrange que l'expression obtenue pour \pi_1(S_0\mathcal{T}_{0,I}, \mathfrak{S}_I; x) ne dépende pas du choix de x \in \omega(I) — c'est un groupe G(I), extension de \mathfrak{S}_I par \mathbb{Z}^I, qui se construit canoniquement, sans référence à un x \in \omega(I). Donc \mathfrak{S}_I opère de façon compatible avec son (), bien qu'il n'y ait pas de scindage par quoi décrire cette opération. Bien entendu, la restriction de cette opération à \mathfrak{S}_I^+ n'est autre que celle déduite du scindage canonique au-dessus de \mathfrak{S}_I^+.

Regardons maintenant le cas d'un graphe MDG G de dim. modulaire 0, de sorte que S_0\mathcal{T}_G se déduit du produit S_0\mathcal{T}_{G^b} = \prod_{s\in S} S_0\mathcal{T}_{G^b_s} = \prod_{s\in S} S_0\mathcal{T}_{0,\vec{\hat A}_s} par l'homom. des groupes d'op. internes (20) \qquad \mathbb{Z}^{\vec{\hat A}} \longrightarrow \mathbb{Z}^{\hat A} . On peut d'autre part décrire le produit S_0\mathcal{T}_{G^b} en termes des torseurs \varepsilon(G) = \varepsilon(G^b) = \prod_{s\in S} \underbrace{\omega(\vec{\hat A}_s)}_{\varepsilon(G^b_s)} la ligne se poursuit au feuillet suivant ; en marge, devant elle, un mot abrégé, « et »

i.e. l'ext. sous le groupe (22) \qquad \gamma(G) = \gamma(G^b) = \{\pm 1\}^S et de l'extension (23) \qquad 0 \to \mathbb{Z}^S \xrightarrow{\ 2\ } \mathbb{Z}^S \to \underset{\gamma(G)}{(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^S} \to 0 (puiss. cartésienne, d'exposant S, de l'ext. (14)) en considérant l'homomorphisme \mathbb{Z}^S \longrightarrow \mathbb{Z}^{\vec{\hat A}} déduit de l'application-source \vec{\hat A} \longrightarrow S d'où une extension (24) \qquad 0 \to \mathbb{Z}^{\vec{\hat A}} \longrightarrow \mathcal{E}(G^b) \longrightarrow \gamma(G) \to 0 (ne dépendant que de G^b). Ceci posé, on a (25) \qquad S_0\mathcal{T}_{G^b} = \mathcal{E}(G^b)(\underbrace{\varepsilon(G^b)}_{\varepsilon(G)}) Pour passer à S_0\mathcal{T}_G, on considère l'extension (26) \qquad 0 \to \mathbb{Z}^{\hat A} \longrightarrow \mathcal{E}(G) \longrightarrow \gamma(G) \to 0 de \gamma(G) = \gamma(G^b) par \mathbb{Z}^{\hat A}, déduite de \mathcal{E}(G^b) (24) par l'hom. (20). On trouve les numéros d'équations (22) à (26) de ce feuillet sont lus avec peine, plusieurs chiffres étant récrits ; la suite (26) est reprise au feuillet suivant

l'expression intrinsèque (27) \qquad S_0\mathcal{T}_G \simeq \mathcal{E}(G)(\varepsilon(G)) i.e. (28) \qquad \begin{cases} \mathrm{Ob}\, S_0\mathcal{T}_G = \varepsilon(G) \\ \mathrm{Hom}_{S_0\mathcal{T}_G}(x,y) = \underbrace{\mathcal{E}(G)_{y-x}}_{\text{fibre de $\mathcal{E}(G)$ au-dessus de $y - x \in \gamma(G)$}} \quad \text{pour } x, y \in \varepsilon(G) \end{cases} la composition des homomorphismes étant donnée par la loi d'addition dans \mathcal{E}(G).

On pourrait d'ailleurs prendre \mathcal{E}(G) et \varepsilon(G) (27) (23), \mathbb{Z}^{\hat A} \leftarrow \mathbb{Z}^{\vec{\hat A}} \leftarrow \mathbb{Z}^S

On peut prendre (28) comme définition de S_0\mathcal{T}_G, pour G de dim. modulaire nulle.

Considérons p.ex. le MD-graphe du type

un arbre à deux sommets reliés par l'arête a, chaque sommet portant en outre deux demi-arêtes libres, terminées par des flèches

correspondant : à la donnée d'un ens. I de cardinal 4, et d'une partition de type (2,2) de I, i.e. à la donnée d'une courbe combinatoire à I l'une des sommets, et la partition celle des ). On obtient

G_Q le graphe associé à un carré combinatoire Q,

un rectangle, les quatre sommets marqués d'un point

Soit \mathrm{diag}\,Q l'ens. des deux diagonales de Q, A(Q) A(Q) l'ens. des quatre sommets, s'identifiant à A(Q) = \prod_{\Delta \in \mathrm{diag}\,Q} \Delta ens. sous-jacent torseur sous \{\pm1\}^{\mathrm{diag}\,Q}, qui : \{\pm1\} \subset \{\pm1\}^{\mathrm{diag}\,Q} y opère par passage du sommet opposé, à codiagonales. Donc \mathrm{codiag}(Q) \simeq \bigwedge_{\Delta \in \mathrm{diag}\,Q} \Delta . On a ici, en termes du graphe G_Q \begin{aligned} S &\simeq \mathrm{diag}\,Q && \text{soit $\Delta_s$ la diagonale associée à $s \in S$} \\ I = A^{\mathrm{lib}} &= A(Q) && \text{ens.\ des sommets de $Q$} \\ \vec{\hat A} &\simeq A \amalg \tilde S && \text{en associant à $s \in S$ l'arête orientée $\tilde s$ d'origine $s$} \end{aligned} dans la deuxième ligne, un symbole biffé devant A(Q), et « sommets » écrit au-dessus d'un mot biffé \vec{\hat A}_s = \Delta_s \amalg \{\tilde s\} \qquad \text{donc} \qquad \varepsilon_s = \omega(\vec{\hat A}_s) \simeq \Delta_s \varepsilon(G) \simeq \prod_{s\in S} \Delta_s \simeq A(Q) \qquad \text{en tant que torseurs sous} \gamma_G = \prod_{s\in S} \{\pm1\} = \{\pm1\}^S . On trouve S_0\mathcal{T}_G à l'aide de l'extension \mathcal{E}_{G^b} 0 \longrightarrow \mathbb{Z}^S \xrightarrow{\ 2\ } \mathbb{Z}^S \longrightarrow \overbrace{\{\pm1\}^S}^{\gamma(G)} \longrightarrow 0 et du \gamma(G)-torseur \varepsilon(G), en prenant \mathcal{E}_{G^b}(\varepsilon(G)), sur \gamma(G), qui donne un \mathbb{Z}^S-groupoïde, et en faisant l'extension des groupes internes \mathbb{Z}^S \to \mathbb{Z}^{\vec{\hat A}}, puis

l'homomorphisme

\begin{tikzcd}[column sep=small] \mathbb{Z}^S \arrow[rr] \arrow[dr, "\text{déduit par contravariance de } \vec{\hat A} \xrightarrow{\mathrm{or.}} S"'] & & \mathbb{Z}^{\hat A} \\ & \mathbb{Z}^{\vec{\hat A}} \arrow[ur, "\text{déduit par cov.\ de } \vec{\hat A} \to \hat A \simeq \vec{\hat A}/\sigma"'] & \end{tikzcd}

à droite du diagramme, une ligne biffée qui se termine par \vec{\hat A} \to S, \vec a \mapsto \mathrm{or}(\vec a) :

On a : \mathbb{Z}^{\hat A} \simeq \mathbb{Z}^I \times \mathbb{Z}, et \mathbb{Z}^S \to \mathbb{Z}^I \times \mathbb{Z} se décompose en \mathbb{Z}^S \to \mathbb{Z}^I \quad \text{associé par contravariance à } I \xrightarrow[\deg 2]{} S et en \mathbb{Z}^S \xrightarrow[\text{homm.\ somme}]{} \mathbb{Z} .

II. Détermination de S_0\mathcal{T}_{0,I}, pour \mathrm{card}\, I = 4

Soit (1) \qquad \begin{cases} J = \text{ens.\ des partitions de type $(2,2)$ de $I$} \\ \Sigma = \mathbb{P}^1_J \quad \text{la \struck{sphère} \add{dr.\ proj.} $J$-marquée associée} \\ \omega = \omega(J) \quad \text{l'ens.\ des orientations de $J$.} \end{cases} N.B. \Sigma = \Sigma_I opère sur \mathfrak{S}_I par l'intermédiaire de \mathfrak{S}_I \to \mathfrak{S}_J, de noyau V(I) \simeq (le groupe de Klein) \mathbb{F}_2, déterminé par J : V(I)^* \simeq J

On peut plonger \omega dans \Sigma par un isomorphisme (2) \qquad \omega \simeq \Sigma^{\mathfrak{S}_J^+} = \Sigma^{\mathfrak{S}_I^+} en associant : x \in \omega le point fixe sous \mathfrak{S}_J^+ qui est dans l'hémisphère qui correspond : l'orientation de l'équateur \Sigma_{\mathbb{R}} correspondante : l'ordre circulaire donné sur J. Pour \alpha \in J, je désigne par \sigma_\alpha la transposition \sigma_\alpha \in \mathfrak{S}_J la transposition dans J qui fixe \alpha, \tilde\alpha\tilde\alpha le pt fixe \neq \alpha de cette transposition.

une sphère : pôle P en haut et pôle opposé en bas ; l'équateur porte les points \beta, \bar\alpha et un troisième point au bord droit ; un parallèle tracé en pointillé porte \tilde\alpha, \alpha, \tilde\beta la diagonale est \bar\Sigma par P et

On pose (3) \qquad \Sigma^* = \Sigma_I^* = \Sigma \setminus J deux symboles biffés et illisibles, l'un après \Sigma^*, l'autre en exposant de \Sigma_I, au-dessus duquel on lit un \alpha On a des iso. canoniques (sur \mathbb{C}) (4) \qquad \begin{cases} M_{0,I} \simeq \Sigma_I^* \\ \hat M_{0,I} \simeq \Sigma_I \end{cases}

On prend \Sigma_J = \mathbb{P}(V(J)) \simeq \check{\mathbb{P}}(V(J)) où V(J) défini par une suite exacte 0 \to V(J) \longrightarrow \mathcal{O}^J \xrightarrow[\text{somme}]{} \mathcal{O} \to 0 La section \alpha^* de \Sigma_J est définie par la suite

la section \Sigma \beta de V( V(J) \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_\alpha\ } \mathcal{O} sous la ligne biffée, également biffé : « pt de \{\alpha\} » ; à droite de la flèche, deux expressions biffées \mathcal{O}.(\beta - \gamma), , où \beta, \gamma sont les qui est donnée par loc. par les points J de \alpha. Quand : \alpha', il est donné par la section -2\alpha + \beta + \gamma = -2\alpha + \sum_{\beta \in J \setminus \{\alpha\}} \beta soit \Delta_{\alpha'}. On a 0 \to \Delta_{\alpha'} \longrightarrow V(J) \longrightarrow \mathcal{O}_{\alpha'}(1) \to 0 d'où et \Delta_{\alpha'} \xrightarrow[\substack{\mathrm{pr}_\beta \\ (\beta \neq \alpha)}]{\ \sim\ } \mathcal{O} . isom. indépendant du choix de \beta. On trouve donc, prenant les déterminants \det V(J) \simeq \mathcal{O}_{\alpha'}(1) \simeq \mathcal{O}(1) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}(\omega) le second isomorphisme est écrit verticalement sous le premier ; \mathbb{Z}(\omega) y est glosé : « \mathbb{Z} tordu par \omega = \omega(J) » On a un isom. \hat T_i \simeq \mathcal{O}(1)^{\otimes} \otimes_{\mathbb{Z}} L(\omega) , deux symboles biffés, illisibles, devant \hat T_i et devant \mathcal{O}(1) ; l'exposant de \mathcal{O}(1) est incertain où L(\omega) est l'alternative \begin{cases} L(\omega) = \mathbb{Z} \\ L(\omega) = \mathbb{Z}(\omega) \end{cases} en regard de la première ligne : « (non , i) » ; de la seconde : « (id.) où \omega = \omega(J) » Signification de \hat T_{0,I} dans \hat M_{0,I} : le i \in I de la section

Pour déterminer quelle est l'alternative correcte

Je prends l'image inverse par la section \alpha' (\alpha \in J) dans M_{0,I}, on aura donc \underset{\substack{\text{fibré tangent} \\ \text{en long de la} \\ \text{section $i$ de la} \\ \text{droite proj.\ relative} \\ \text{$X$ $I$-marquée}}}{T_i} \simeq \underbrace{\underbrace{\mathcal{O}_{\alpha'}(1)}_{\mathcal{O} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}(\omega)} \otimes_{\mathbb{Z}} L(\omega)}_{\mathcal{O} \otimes_{\mathbb{Z}} (\mathbb{Z}(\omega) \otimes_{\mathbb{Z}} L(\omega))} devant \mathcal{O}_{\alpha'}(1), un symbole biffé Mais avec \alpha, pour une structure carrée Q = Q_\alpha sur I, et un sommet marqué i, d'où une diagonale marquée

un carré, le sommet en bas à gauche marqué i

\omega(Q) \simeq \omega après \omega, un symbole biffé et noirci et on trouve T_i \simeq \mathcal{O} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}(\omega) et comparant, on trouve L(\omega) = \mathbb{Z}, donc en définitive \boxed{\hat T_i \simeq \mathcal{O}(1)} \simeq \check F(\omega) \qquad \text{où } 0 \to F \to V(J) \to \mathcal{O}_\Sigma(1) \to 0 . On trouve donc S\hat P_I \overset{\mathrm{déf}}{=} \prod_{/\hat M_{0,I}} \hat P_i \simeq \bigl(\check V^*(\mathcal{O}(1))^{I}\bigr)_{/\underset{\Sigma_I}{\hat M_{0,I}}} \simeq V^*(\mathcal{O}(1)) \wedge^{\mathbb{G}_m} \mathbb{G}_m^I donc SP_I \simeq \bigl(V^*(\mathcal{O}(1)) \mid \underset{\Sigma_I^*}{M_{0,I}}\bigr) \wedge^{\mathbb{G}_m} \mathbb{G}_m^I d'où (sur \mathbb{C} maintenant, et dans le contexte analytique) S\mathcal{T}_{0,I} \simeq \Pi_1\bigl(V^*(\mathcal{O}(1)) \mid \Sigma_I^*\bigr) \wedge^{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}^I l'exposant I de \check V^*(\mathcal{O}(1)) dans la première formule est lu avec doute ; le \Pi de la dernière formule est récrit sur un premier tracé