Cote n° 145, pages 21–37

Cote n° 145 · batch 2 · pages 21–37 · Transcription · Printemps 81 (vieille rédaction) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1981
Édition de démonstration

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Critique des notations — suite : l'extension \(\mathcal{E}\) de \(\Gamma_{0,3}\) par \(\pi\)

ce titre est de l'édition : le lot reprend au milieu du développement commencé à la page 14 (lot 1), sans titre de sa main avant celui de la page 32

21p. 9 de l'auteur

il faut aussi écrire (au moins !) les relations \(\rho\,\varepsilon_0\,\rho^{-1} = \varepsilon_1\) etc., donc on a […] […] \((\varepsilon_0\rho)\)[…]

\[(10)\quad \left\{ \begin{aligned} &\rho^{3} = 1\\ &\varepsilon_\infty^{2}\ \varepsilon_1^{2}\ \varepsilon_0^{2} = 1\\ &\varepsilon_1 = \varepsilon_0\,\varepsilon_\infty^{\uncertain{4}}\,\rho\,\varepsilon_{\uncertain{0}}^{2}\ \varepsilon_\infty^{2}\\ &\varepsilon_\infty = \varepsilon_1\,\varepsilon_0^{\uncertain{4}}\,\rho\,\varepsilon_{\uncertain{\infty}}^{2}\ \varepsilon_0^{2}\\ &\varepsilon_0 = \varepsilon_\infty\,\varepsilon_1^{\uncertain{4}}\,\rho\,\varepsilon_\infty^{2}\ \varepsilon_1^{2} \end{aligned} \right.\] système lu tel quel et très incertain. Devant la première des trois dernières lignes, un signe biffé ; entre le second \(\varepsilon^{2}\) et le dernier facteur de chacune de ces lignes, un petit trait vertical ondulé surchargé, lu comme une rature et omis ; au-dessus de \(\varepsilon_0\) de la même ligne, une surcharge illisible. Les exposants lus « 4 » peuvent être autre chose. La deuxième ligne pourrait vouloir dire \(\varepsilon_\infty^2 = \varepsilon_1^2 = \varepsilon_0^2 = 1\)

Chacun […] des \(\varepsilon_i\), \(\rho\) s'expriment en fonction des \(\varepsilon_i\), et on trouve comme […] tantôt […].

Quant à relever \(\tau\) en un élément de \(\mathcal{E}\), pour \(\Gamma : \overline{P}\), on voit par des choix privilégiés — on voit trois choix également naturels. Au lieu de les expliciter directement, il est plus simple de considérer le sous-groupe d'isotropie de \(P\) dans \(\Gamma = \Gamma_{0,3} = \mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2\), qui se forme des couples \(\dot\sigma, \dot\tau^{\varepsilon}\) tels que \(\operatorname{sg}(\dot\sigma) = \varepsilon\) ; donc i.e. les éléments \[\dot\sigma^{*} = (\dot\sigma, \dot\tau^{\operatorname{sg}(\dot\sigma)}) \in \Gamma\] qui se relèvent canoniquement en des éléments (\(\tilde\sigma\), fixant un \(P\)) de \(\mathcal{E}\). Ces termes définissent une section \[(11)\quad \varphi : \mathfrak{S}_3 \longrightarrow \Gamma = \mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2, \qquad \dot\sigma \longmapsto (\dot\sigma, \operatorname{sg}(\dot\sigma))\] et un relèvement canonique de \(\varphi\) en \[(12)\quad \sigma \longmapsto \tilde\sigma : \mathfrak{S}_3 \longrightarrow \mathcal{E} .\] On pose \(\tilde\sigma_i = \tilde{\dot\sigma}_i\) (on a d'autre part […] \(\tilde\rho = \rho\)) la parenthèse finale est tracée à gauche d'un passage biffé ; ce qui suit « \(\tilde\rho\) » est lu « \(= \rho\) » sans certitude

22p. 10 de l'auteur

Le sous-groupe \(\mathcal{E}_\tau\) de \(\mathcal{E}\) image inverse de \(\mathbb{Z}/2\) engendré par \(\tau\), est le groupe cartographique « […] […] » de Malgoire, ayant comme générateurs \(\tau_0, \tau_1, \tau_\infty\) relation avec \[(17)\quad \left\{ \begin{aligned} \struck{\tau_1\tau_\infty =}\ l_0 &= \tau_\infty\tau_1\\ \struck{\tau_\infty\tau_0 =}\ l_1 &= \tau_0\tau_\infty\\ l_\infty &= \tau_1\tau_0 \end{aligned} \right.\] les deux premières lignes commencent par une écriture biffée d'un hachurage, lue \(\tau_1\tau_\infty =\) et \(\tau_\infty\tau_0 =\) ; en face, à droite, « NB » souligné, sans suite

\(\mathcal{E}_\tau\) peut être considéré comme le groupe engendré par les \(\tau_i\), avec les seules relations (16) — […] […] […] \(\tau_i \to -1\) de \(\mathcal{E}_\tau\) dans \(\pm 1\), dont le noyau est \(\pi\) engendré par les \(l_i\) définis par (17)… […] relations […]

Revenons à une description plus symétrique des extensions de \(\mathcal{E}\). On désigne par \(\hat{\mathcal{E}}\) le complété profini de \(\mathcal{E}\), extension de \(\hat\Gamma_{0,3} = \Gamma_{0,3} = \mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2\) par \(\hat\pi\), et par \(\hat{\hat{\mathcal{E}}}\) le groupe des automorphismes extérieurs lacets de \(\hat\pi\), extension de \(\hat{\hat\Gamma} = \operatorname{Autext}_{\mathrm{lac}}(\hat\pi)\) par \(\hat\pi\) : \[(18)\quad 1 \longrightarrow \hat\pi \longrightarrow \hat{\hat{\mathcal{E}}} \longrightarrow \hat{\hat\Gamma} \longrightarrow 1, \qquad \hat{\hat\Gamma} \subset \operatorname{Autext}_{\mathrm{lac}}(\hat\pi)\] sous \(\hat{\hat\Gamma}\) de la suite (18), un petit signe vertical, lu comme une inclusion (ou une égalité) avec \(\operatorname{Autext}_{\mathrm{lac}}(\hat\pi)\) écrit en dessous. L'indice « lac » est lu sous « Autext » ici et sur toute la suite

qui contient \(\hat{\mathcal{E}}\) comme sous-extension. On désigne par \(\boldsymbol{\Gamma}\) le commutant de \(\mathfrak{S}_3\) dans \(\hat{\hat\Gamma}\) ([…] […]), et par \(\mathbf{E}\) l'extension correspondante de \(\boldsymbol{\Gamma}\) par \(\hat\pi\). Notons déjà que \[\left\{ \begin{aligned} &\Gamma \cap \boldsymbol{\Gamma} = \{1, \tau\}\\ &\boldsymbol{\Gamma} \cap \mathfrak{S}_3 = \{1\} \end{aligned} \right.\] \(\boldsymbol{\Gamma}\) rend un \(\Gamma\) à double jambage. Dans la première ligne le second \(\Gamma\) est encadré d'un trait appuyé qui recouvre un \(\mathfrak{S}_3\) ; la lecture \(\Gamma \cap \boldsymbol{\Gamma}\) est incertaine. À droite, une rature

\(\mathfrak{S}_3 \times \hat{\hat\Gamma}^{!}\) \(\cup\) NB \(\hat{\hat\Gamma} \supset \mathfrak{S}_3 \times \boldsymbol{\Gamma}\) — j'ignore si elles coïncident, […] une égalité, i.e. si \(\hat{\hat\Gamma}^{!} \to \boldsymbol{\Gamma}\) […] est une égalité la note marginale est écrite en oblique ; elle introduit un \(\hat{\hat\Gamma}^{!}\) que la page ne définit pas autrement et que la suite utilise (\(\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}\))

On veut donner d'abord une description plus symétrique de \(\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}\), sans faire jouer un rôle particulier à \(L_0\) = sous-groupe engendré par \(l_0\) (\(L_0 = k_0(\hat{\mathbb{Z}})\)). Un \(u \in \hat{\hat{\mathcal{E}}}\) est défini par un multiplicateur \[(19)\quad p = \chi(u) \in \hat{\mathbb{Z}}^{*}\] et des \[(20)\quad g_i \in \hat\pi \qquad i = 0, 1, \infty\] […] \[(21)\quad u(l_i) = \operatorname{int}(g_i^{-1})\, l_i^{\,p}\] l'exposant \(-1\) sur \(g_i\), ici et dans toute la suite, est ajouté après coup d'un crayon plus noir les données (19), (20) étant liées par la relation \[(22)\quad (\operatorname{int}(g_\infty^{-1})\, l_\infty^{\,p})\, (\operatorname{int}(g_1^{-1})\, l_1^{\,p})\, (\operatorname{int}(g_0^{-1})\, l_0^{\,p}) = 1,\] et par le fait que les \(u(l_i)\) définis par (21) engendrent \(\hat\pi\) topologiquement. Pour \(u\) fixé, \(p\)

24p. 11 de l'auteur

est unique, et \(g_i\) défini à multiplication à gauche près par un élt. quelconque de \(L_i\), soit \(l_i^{\alpha_i}\) (\(\alpha_i \in \hat{\mathbb{Z}}\)). Les […] de \(u\) : \(\operatorname{int}(g) \circ u\) gardent \(p\), et remplacent les \(g_i\) par les \(gg_i\).

Si \(v\) est donné par \(q, (h_i)\), on a \[vu(l_i) = v(\operatorname{int}(g_i^{-1})\, l_i^{\,p}) = \operatorname{int}(v(g_i^{-1}))\, v(l_i)^{p}\] où \[v(l_i) = \operatorname{int}(h_i^{-1})\, l_i^{\,q} \quad \text{donc} \quad v(l_i)^{p} = \operatorname{int}(h_i^{-1})\, l_i^{\,pq},\] d'où \[(23)\quad vu(l_i) = \operatorname{int}(v(g_i^{-1})\, h_i^{-1})\, l_i^{\,pq}\] au-dessus de l'argument de \(\operatorname{int}\), une première écriture biffée, lue \((h_i\, v(g_i))^{-1}\), reliée par une accolade

Si on désigne par \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}\) l'extension de \(\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}\) par \(\hat{\mathbb{Z}}^{\{0,1,\infty\}}\) définie […] par le groupe des couples triples d'un \(u \in \hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}\) et d'un […] (21) […] des \(g_i\) qui explicite […] (\(p\) étant le multiplicateur), on a sur \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}\) trois fonctions à valeurs dans \(\hat\pi\) \[(u, (g_i)) \overset{\gamma_i}{\longmapsto} g_i ,\] et on aura \[(24)\quad \gamma_i(\tilde v\tilde u) = \struck{\tilde v(\gamma_i(\tilde u))\cdot\gamma_i(\tilde v)}\ \tilde v(\gamma_i(\tilde u))\,\gamma_i(\tilde v)\] deux premières écritures du membre de droite sont biffées, l'une par hachurage, l'autre d'un trait ; la troisième, écrite à droite et reliée par un trait courbe, est celle qui est gardée i.e. \((\gamma_i)\) est un 1-cocycle sur le groupe \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}\) […] à valeurs dans le groupe […] […] \(\hat\pi^{\{0,1,\infty\}}\). Le sous-groupe […] de \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}\) noyau de \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!} \to \operatorname{Autext}^{!}_{\mathrm{lac}}(\hat\pi)\) s'identifie au groupe produit \[\Bigl(\hat\pi \times \prod_{i \in \{0,1,\infty\}} L_i\Bigr) \simeq \hat\pi \times \hat{\mathbb{Z}}^{\{0,1,\infty\}}\]

NB \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}\) a été construit comme ensemble des systèmes \((p, g_0, g_1, g_\infty) \in \hat{\mathbb{Z}}^{*} \times \hat\pi^{\{0,1,\infty\}}\) satisfaisant la relation (22)

en associant à \((g, (\alpha_i)_{i \in \{0,1,\infty\}})\) le système \[\struck{\ill{}}\ \struck{\ill{}}\ (g\, l_i^{\alpha_i})\] dans \(p = 1\), \((g_\cdot) = \struck{\ill{}}\,(g\, l_i^{\alpha_i})\). « \(p=1\), \((g_\cdot) =\) » ouvre la ligne ; les deux groupes biffés qui suivent sont illisibles, et la parenthèse \((g\,l_i^{\alpha_i})\) est ce qui reste

Il faudrait expliciter les opérations des éléments \(\sigma_i\) ou \(\varepsilon_i\) (\(\in S\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}\)), ou \(\tilde\varepsilon\) […] \(\in S\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}\), sur ces groupes, et en particulier […] que […] les \(\gamma_i\) sont « covariants » par \(\rho\), i.e. \[\gamma_i(\rho\tilde u\rho^{-1}) = \gamma_{i+1}(\tilde u)\] i.e. […] \(\tilde u\) est défini par

NB Il y a lieu d'introduire aussi le groupe \(S\hat{\mathcal{E}}\), extension de \(\mathcal{E}\) par \(\hat{\mathbb{Z}}^{\{0,1,\infty\}}\) (celle-ci étant d'ailleurs une extension de \(\Gamma\) par […] […] […] \(\hat{\mathbb{Z}}^{\{0,1,\infty\}}\)) et d'introduire […] les relèvements des \(\sigma_i\), \(\rho\) dans \(S\hat{\mathcal{E}}\)

26p. 12 de l'auteur

L'extension \(\mathcal{E} = \mathcal{E}_{0,3}\) de \(\Gamma = \Gamma_{0,3} \simeq \mathfrak{S}_{\{0,1,\infty\}} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) par \[\pi = \pi_{0,3} = \{ l_0, l_1, l_\infty \mid l_\infty l_1 l_0 = 1 \} = \pi_1(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \setminus \{0,1,\infty\}, \ill{}) .\] sous \(\mathfrak{S}_{\{0,1,\infty\}}\), une accolade avec « \(=\mathfrak{S}_3\) » ; sous \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), « engendré par \(\tau : z \mapsto \bar z\) » ; sous \(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \setminus \{0,1,\infty\}\), une accolade avec « \(U = U_{0,3}\) » (lecture incertaine). Le point base, après la virgule, est illisible

Les classes de conjugaison au-dessus de scindages partiels maximaux correspondent aux points fixes de \(\dot\rho, \dot\sigma_0, \dot\sigma_1, \dot\sigma_\infty\) opérant sur \(X_{0,3}\), et (éventuellement) aux comp. connexes des ens. d'invariants de \(\dot\rho\tau, \dot\sigma_0\tau, \dot\sigma_1\tau, \dot\sigma_\infty\tau\). Les pts fixes de \(\dot\rho\) sont (savoir \(\varphi(\mathfrak{S}_3)\)) \(P\) et \(\overline{P}\) (dont le stabilisateur est d'ordre 6, formé de \(1, \dot\rho, \dot\rho^2, \dot\sigma_0\tau, \dot\sigma_1\tau, \dot\sigma_\infty\tau\)). On a étudié le relèvement correspondant (de \(\varphi(\mathfrak{S}_3)\)) : \(P\) ; on trouve entre eux des relèvements (\(\pi\)-conjugués) relatifs à \(\overline{P}\) s'obtiennent en conj prenant un élément de \(\mathcal{E}\) […] qui soit au-dessus d'un élément de \(\Gamma\) envoyant \(P\) en \(\overline{P}\) (savoir \(\dot\sigma_0, \dot\sigma_1, \dot\sigma_\infty, \tau, \tau\rho, \tau\rho^2\)) et en conjuguant par cet élément. On peut donc prendre […] un des éléments \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty\) (ou \(\varepsilon_0, \varepsilon_1, \varepsilon_\infty\)) ou \(\tau_0, \tau_1, \tau_\infty\) ou […] les produits des précédents par […] \(\rho\) ou \(\rho^2\)….

Le [seul] les pts fixe de \(\sigma_0\) est \(2\), dont le stabilisateur est le groupe \(\simeq \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2\) engendré par \(\sigma_0\) et \(\tau\). On a un relèvement de ce sous-groupe

dans \(\mathcal{E}\), qui par choix convenable […] prenant le quart de grand cercle qui joint \(P\) au milieu \(2\) du segment l'arc \((1, \infty)\) de grand cercle opposé à \(0\), ce qui définit un isomorphisme […] […] universel de \(U\) en \(P\), avec celui de \(U\) en \(\overline{P}\) sur lequel le groupe précédent opère de façon canonique, […] aussi […] […] structure sur \(\widetilde{U}(P)\), […] il s'envoie dans \(\mathcal{E}\). « \(\widetilde{U}(P)\) » est écrit sur une rature appuyée ; l'argument entre parenthèses est lu \(P\) sans certitude

On trouve que \[\dot\sigma_0 \longmapsto \sigma_0, \qquad \struck{t}\ \tau \longmapsto \tau_0\] est le scindage correspondant. De \(\equiv\) pour le pt fixe \(-1\) de \(\dot\sigma_1\), ou \(\frac12\) de \(\dot\sigma_\infty\), on trouve des scindages partiels sur les ss-groupes de […] stabilité \(\Gamma_{-1} \subset \Gamma\) et \(\Gamma_{\frac12} \subset \Gamma\). Je note […] […] […] les indices des deux sous-groupes de stabilité sont lus \(-1\) et \(\frac12\) d'après les points fixes nommés juste avant ; sur la page le second ressemble à un \(2\) \[\struck{F}\ 2 = 0' , \quad -1 = 1' ; \quad \tfrac12 = \infty' ,\] d'où des groupes d'isotropie \(\Gamma_{0'} = \{\dot\sigma_0, \tau\}\), \(\Gamma_{1'} = \{\dot\sigma_1, \tau\}\) et \(\Gamma_{\infty'} = \{\dot\sigma_\infty, \tau\}\), qui se remontent chacun en \(\sigma_0\) et \(\tau_0\), […] en \(\sigma_1\) et \(\tau_1\), en \(\sigma_\infty\) et \(\tau_\infty\).

Les composantes connexes de \(U^{\tau}\) sont les trois arcs de grand cercle entre \(0, 1, \infty\), contiennent contenant chacun un […] et un seul des pts \(0', 1', \infty'\), et les classes classes de conjugaison

28p. 13 de l'auteur

correspondantes de relèvements ([relèvements] du \(\{1, \dot\tau\}\)) sont resp. les relèvements en \(\tau_0\), en \(\tau_1\), et en \(\tau_\infty\) — qui ne donnent rien de nouveau. Reste à considérer \(\tau\dot\sigma_1\) (et ses conjugués par \(\rho\), \(\tau\dot\sigma_\infty\), \(\tau\dot\sigma_0\)), on a \(\dot\sigma_1(2) = 1/2\), donc \[(\tau\dot\sigma_1)(2) = \tfrac12\] et \[U^{\tau\dot\sigma_1} = \{ z \in U \mid z\bar z = 1 \} = \mathbb{U} - \{1\},\] où \(\mathbb{U} = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \}\). Cet ensemble contient \(P\) et \(\overline{P}\), et ne donne donc pas de nouveaux relèvements p.r. à celui déjà donné, avec \(\tilde\sigma_1\) relevant \(\dot\sigma_1\tau\).

Je voudrais quand même donner aussi une description de \(\mathcal{E}\) et notamment par gén. et relations, en partant d'un syst. de gén. de \(\Gamma = \mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2\), qu'on relève de façon judicieuse. On prendra les (gén.) générateurs \[\struck{\ill{}} = \rho\,\struck{\ill{}},\ \tilde{\dot\sigma}_0,\ \tilde{\dot\sigma}_1,\ \tilde{\dot\sigma}_\infty \qquad (\tilde{\dot\sigma}_0 = \dot\sigma_0\tau,\ \tilde{\dot\sigma}_1 = \dot\sigma_1\tau,\ \tilde{\dot\sigma}_\infty = \dot\sigma_\infty\tau)\] (donc \(\rho'^{6} = 1\), \(\rho'^{3} = \tau\), \(\rho'^{2} = \rho^{2} = \rho^{-1}\)) avec les relations \[\left\{ \begin{aligned} &\tilde{\dot\sigma}_0^{\,2} = \tilde{\dot\sigma}_1^{\,2} = \tilde{\dot\sigma}_{\uncertain{3}}^{\,2} = 1\\ &\tilde{\dot\sigma}_0\tilde{\dot\sigma}_1 = \tilde{\dot\sigma}_1\tilde{\dot\sigma}_\infty = \tilde{\dot\sigma}_\infty\tilde{\dot\sigma}_0 = \rho'^{\,\ill{}}\\ &\rho'^{6} = 1\\ &\rho'^{3} \text{ commute aux } \dot\sigma_i \end{aligned} \right.\] le nouveau générateur est écrit sur une rature appuyée, au début de la liste ; il est noté ici \(\rho'\), car les exposants lus « 16 » et « 13 » sont vraisemblablement \(\rho'^{6}\) et \(\rho'^{3}\), l'apostrophe tracée comme un 1. Tout le bloc final (la liste des générateurs et les relations) est biffé de longs traits en diagonale. Dans la première relation, le troisième indice est lu « 3 » là où l'on attend \(\infty\) ; l'exposant de \(\rho'\) dans la deuxième est surchargé

qui décrivent \(\mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2\), on en relève ces générateurs en des élts de \(\mathcal{E}\), de façon que \(l_\infty, l_1, l_0\) s'expriment comme des mots en ces éléments, et il suffit alors d'ajouter aux relations précédentes… la relation \(l_\infty l_1 l_0\) — la relation correspondante ce paragraphe, qui achève la phrase biffée au bas de la page 28, est lui-même biffé de quatre traits obliques

Or […] […] \(\dot\sigma_0, \dot\sigma_1, \dot\sigma_\infty, \dot\rho, \tau\), avec les relations \[\left\{ \begin{aligned} &\dot\sigma_0^{2} = \dot\sigma_1^{2} = \dot\sigma_\infty^{2} = 1\\ &\dot\sigma_0\dot\sigma_1 = \dot\sigma_1\dot\sigma_\infty = \dot\sigma_\infty\dot\sigma_0 = \dot\rho\\ &\dot\rho^{3} = 1\\ &\tau^{2} = 1\\ &\tau \text{ commute à } \dot\sigma_0, \dot\sigma_1, \dot\sigma_\infty \quad (\text{donc aussi à } \dot\rho) \end{aligned} \right.\] On les relève en \(\tau_0, \tau_1, \tau_\infty\) \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty, \rho, \tau_0, \tau_1, \tau_\infty\) (ces trois derniers au-dessus de \(\tau\)), et on trouve les relations \[\left\{ \begin{aligned} &\sigma_0^{2} = \sigma_1^{2} = \sigma_\infty^{2} = \tau_0^{2} = [\tau_1^{2} = \tau_\infty^{2}] = 1\\ &\rho^{3} = 1\\ &\rho\tau_0\rho^{-1} = \tau_1, \quad \rho\tau_1\rho^{-1} = \tau_\infty, \quad \rho\tau_\infty\rho^{-1} = \tau_0\\ &\tau_0\sigma_0 = \sigma_0\tau_0, \quad \tau_1\sigma_1 = \sigma_1\tau_1, \quad \tau_\infty\sigma_\infty = \sigma_\infty\tau_\infty\\ &\sigma_0\sigma_1 = \tau_\infty\tau_1\rho, \quad \sigma_1\sigma_\infty = \tau_0\tau_\infty\rho, \quad \sigma_\infty\sigma_0 = \tau_1\tau_0\rho \end{aligned} \right.\]

NB Il faut ajouter les relations \(\rho\sigma_0\rho^{-1} = \sigma_1\), \(\rho\sigma_1\rho^{-1} = \sigma_\infty\), \(\rho\sigma_\infty\rho^{-1} = \sigma_0\), conséquences des relations ci-contre (définissant les éléments \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty\)) la note marginale est écrite en oblique dans la marge gauche et reliée par une flèche à la ligne \(\tau_0\sigma_0 = \sigma_0\tau_0\) ; la lecture de la parenthèse finale est incertaine

NB On trouve \(l_0 = \tau_\infty\tau_1\), \(\struck{l_1 = \tau_0\tau_\infty}\), \(l_1 = \tau_0\tau_\infty\), \(l_\infty = \tau_1\tau_0\) et \(l_\infty l_1 l_0 = 1\) […] […] Cela indique que \(\tau_0, \tau_1, \tau_\infty\) engendrent un sous-groupe engendré par \(l_0, l_1, l_\infty\) note entre crochets à droite du système, reliée par une flèche montante à la relation \(\rho\tau_\infty\rho^{-1} = \tau_0\) ; la dernière phrase est lue avec peine

Question : Est-ce que \(\rho \mapsto\) composantes \(\rho\) en fonction des \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty, \tau_0, \tau_1, \tau_\infty\) ? — l'une des relations, et […] […] dernier groupe de relations, et substituer dans les autres. ce paragraphe, qui ferme la page, est biffé de deux traits obliques ; un segment « et […] plus » y est en outre barré à part

30p. 14 de l'auteur

On peut prendre aussi comme seuls gén. \(\rho, \sigma_0, \tau_0\) (dont se déduisent \(\sigma_1, \tau_1\), comme \(\rho\sigma_0\rho^{-1}, \rho\tau_0\rho^{-1}\), \(\sigma_\infty, \tau_\infty\) comme \(\rho^{2}\sigma_0\rho^{-2}, \rho^{2}\tau_0\rho^{-2}\)) et les relations \[\left\{ \begin{aligned} &\text{a)}\ \sigma_0^{2} = \tau_0^{2} = 1, \quad \tau_0\sigma_0 = \sigma_0\tau_0 \quad (\text{i.e.\ } (\underbrace{\sigma_0\tau_0}_{\tilde\sigma_0})^{2} = 1)\\ &\text{b)}\ \rho^{3} = 1\\ &\underbrace{\sigma_0\rho\sigma_0^{-1}\rho^{-1}}_{\uncertain{\sigma_1}} = \underbrace{\rho^{2}\tau_0\rho^{-2}}_{\tau_\infty}\, \underbrace{\rho\tau_0\rho^{-1}}_{\tau_1}\,\rho \quad \text{i.e.} \quad \sigma_0\rho\sigma_0^{-1}\rho^{-1} = \rho^{-1}\tau_0\rho\tau_0\\ &\rho\sigma_0\rho^{-1}\sigma_0 = \tau_0\rho^{-1}\tau_0\rho \quad \text{\uncertain{soit}} \quad \struck{\operatorname{int}(\rho)\sigma_0}\ [\rho, \sigma_0] = [\tau_0, \rho^{-1}]\\ &\text{\uncertain{soit}} \quad [\rho, \sigma_0][\rho^{-1}, \tau_0] = 1 \end{aligned} \right.\] au-dessus de « \([\rho,\sigma_0] = [\tau_0,\rho^{-1}]\) », des mots biffés (lus « i.e. […] […] ») ; au-dessus de « \(\tau_0\rho^{-1}\tau_0 \rho\) », « ou encore ». L'accolade sous \(\sigma_0\rho\sigma_0^{-1} \rho^{-1}\) porte un \(\sigma_1\), que la seule écriture \(\rho\sigma_0\rho^{-1}\) aurait donné

(C'est donc un quotient du produit libre \[(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) * \mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\] par le sous-groupe invariant décrit par la relation \([\rho, \sigma_0][\rho^{-1}, \tau_0] = 1\).

NB On trouve une symétrie dans les groupes, qui échange \(\sigma_0\) et \(\tau_0\), et échange \(\rho\) et \(\rho^{-1}\). [donc qui échange […] \(\sigma_1\) et \(\tau_\infty\), \(\sigma_\infty\) et \(\tau_1\)] — mais cette symétrie n'est pas compatible avec la structure d'extension, comme on voit de suite (en passant au quotient \(\mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2\), elle devrait conserver les cartes !).

Il faudrait encore expliciter l'extension \(S\Gamma = S\Gamma_{0,3}\) de \(\Gamma\) par \(\mathbb{Z}^{\{0,1,\infty\}}\), ce qui nous donnera (par produits fibrés) une description de \[S\mathcal{E} = S\Gamma \times_{\Gamma} \mathcal{E} .\]

32p. 15 de l'auteur

(2) Le groupe \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}\)

le titre est de sa main, souligné ; le « 2 » est cerclé

Par le calcul, il s'explicite comme l'ens. des systèmes \[(1)\quad (p, \sigma, g_0, g_1, g_\infty) = \tilde u, \qquad p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*},\ \sigma \in \mathfrak{S}_3,\ g_0, g_1, g_\infty \in \hat\pi,\] satisfaisant la condition \[(2)\quad \operatorname{int}(g_\infty)(l_{\sigma(\infty)}^{\,p}) \cdot \operatorname{int}(g_1)(l_{\sigma(1)}^{\,p}) \cdot \operatorname{int}(g_0)(l_{\sigma(0)}^{\,p}) = 1\] dans le premier facteur, \(g_\infty\) est écrit sur un \(g_0\) surchargé. L'exposant \(-1\) des pages 23–24 a disparu des \(g_i\) sous \(\operatorname{int}\) et tels que les trois facteurs de ce produit soient un syst. de générateurs de \(\hat\pi\) [avec la relation génératrice (2)]. Le morphisme \(u\) défini par ce morphi système est \[(3)\quad \left\{ \begin{aligned} u(l_0) &= \operatorname{int}(g_0)\, l_{\sigma(0)}^{\,p}\\ u(l_1) &= \operatorname{int}(g_1)\, l_{\sigma(1)}^{\,p}\\ u(l_\infty) &= \operatorname{int}(g_\infty)\, l_{\sigma(\infty)}^{\,p} \end{aligned} \right. \qquad \text{ce qui explicite l'homomorphisme}\] dans la première ligne de (3), le signe \(=\) est écrit sur une flèche \(\mapsto\) \[(4)\quad S\hat{\hat{\mathcal{E}}} \xrightarrow{\ p\ } \hat{\hat{\mathcal{E}}} = \operatorname{Aut}_{\mathrm{lac}}(\hat\pi) .\] L'homomorphisme canonique \[(5)\quad i : \hat\pi \times \hat{\mathbb{Z}}^{\{0,1,\infty\}} \longrightarrow S\hat{\hat{\mathcal{E}}}\] s'explicite par \[(6)\quad i(g; \alpha_0, \alpha_1, \alpha_\infty) = (1, 1, g\,l_0^{\alpha_0}, g\,l_1^{\alpha_1}, g\,l_\infty^{\alpha_\infty})\] donc \[(7)\quad p\,i(g; \alpha_0, \alpha_1, \alpha_\infty) = \operatorname{int} g .\]

On retrouve que (4) est surjectif, et a comme noyau \(i(\hat\pi)\) note écrite en oblique dans la marge gauche, face aux formules (5)–(7) ; elle dit « \(i(\hat\pi)\) » là où l'on attendrait l'image de \(i\) tout entière

La multiplication dans \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}\) est donnée par \[(8)\quad \underbrace{(p, \sigma, g_0, g_1, g_\infty)}_{\tilde u} \underbrace{(p', \sigma', g'_0, g'_1, g'_\infty)}_{\tilde u'} = (pp', \sigma\sigma', u(g'_0)\,g_{\sigma'(0)}, u(g'_1)\,g_{\sigma'(1)}, u(g'_\infty)\,g_{\sigma'(\infty)})\] les indices des \(g\) du membre de droite sont lus \(\sigma'(0)\), \(\sigma'(1)\), \(\sigma'(\infty)\) ; le dernier est au bord de la feuille

Cette formule n'est pas, du point de vue du calcul,

entièrement explicite et satisfaisante, puisque le deuxième membre fait intervenir les quantités \(u(g'_0), u(g'_1), u(g'_\infty)\), qui ne sont donc pas exprimées directement en termes des [seules] données \((p, \sigma, g_0, g_1, g_\infty)\), \((p', \sigma', g'_0, g'_1, g'_\infty)\) ; […] pour que \(g'_0, g'_1, g'_\infty\) soient eux-mêmes donnés explicitement comme des mots (ou limites de tels) en les \(l_0, l_1, l_\infty\), mais ils s'explicitent ainsi. la dernière proposition, « mais ils s'explicitent ainsi », est ajoutée au-dessus de la ligne ; son point d'insertion n'est pas sûr

Cependant quand \(\tilde u\) est de la forme \(i(g, \alpha_0, \alpha_1, \alpha_\infty)\), on trouve (en tenant compte des facteurs) \[(9)\quad i(g, \alpha_0, \alpha_1, \alpha_\infty)\,(p, \sigma, g_0, g_1, g_\infty) = (p, \sigma, g\,g_0\,l_{\sigma(0)}^{\alpha_{\sigma(0)}}, g\,g_1\,l_{\sigma(1)}^{\alpha_{\sigma(1)}}, g\,g_\infty\,l_{\sigma(\infty)}^{\alpha_{\sigma(\infty)}})\] devant le premier \(g\,g_0\), une surcharge biffée ; les indices sont lus avec peine qui se simplifie pour \(\sigma = 1\) en \[(9')\quad i(g, \alpha_0, \alpha_1, \alpha_\infty)\,(p, 1, g_0, g_1, g_\infty) = (p, 1, g\,g_0\,l_0^{\alpha_0}, g\,g_1\,l_1^{\alpha_1}, g\,g_\infty\,l_\infty^{\alpha_\infty}) .\] Par ailleurs, l'opération de \(\hat{\hat{\mathcal{E}}}\) sur \(i(\pi \times \mathbb{Z}^{\{0,1,\infty\}})\) par automorphismes intérieurs s'explicite aisément, et ne dépend que de \(u\) […] : \[(10)\quad \tilde u\, i(g; \alpha_0, \alpha_1, \alpha_\infty)\,\tilde u^{-1} = i(u(g); p\,\alpha_{\sigma^{-1}(0)}, p\,\alpha_{\sigma^{-1}(1)}, p\,\alpha_{\sigma^{-1}(\infty)})\] où \(\tilde u = (p, \sigma; g_0, g_1, g_\infty)\) — mais sur cette formule, on peut faire les mêmes commentaires que plus haut, sur la nécessité d'expliciter des termes \(u(g)\) de cette formule, pour \(g\) non exprimé comme un mot p.r. aux \(l_0, l_1, l_\infty\) (ou limite de tels mots). dans (10), l'exposant \(-1\) de \(\tilde u^{-1}\) est ajouté d'une encre plus noire sur un signe surchargé

34p. 16 de l'auteur

On va regarder de plus près la partie \(S\hat{\mathcal{E}}\) de \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}\), image inverse de \(\Gamma = \mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2 = \hat\Gamma \subset \hat{\hat\Gamma} = \operatorname{Autext}_{\mathrm{lac}}\hat\pi\). On va regarder les éléments […] \(\rho\), \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty\), \(\tau_0, \tau_1, \tau_\infty\) de \(\hat{\hat{\mathcal{E}}}\), notamment (NB ils sont même dans \(\mathcal{E}\)) et voir comment ils se relèvent en \(S\hat{\mathcal{E}}\) (et même, en \(S\mathcal{E}\)). En fait, par \(\dot\rho \mapsto \rho\), \(\dot\sigma_0 \mapsto \tilde\sigma_0 = \sigma_0\tau_0\), on a un relèvement multiplicatif de \(\Gamma^{*}_{P} = \{(\sigma, \operatorname{sg}(\sigma)) \mid \sigma \in \mathfrak{S}_3\}\) dans \(\mathcal{E}\), qui aimerait remonter à \(S\mathcal{E}\) — et de même pour \(\dot\sigma_0 \mapsto \sigma_0\), \(\tau \mapsto \tau_0\) du ss-groupe de stabilité de \(0\) dans \(\Gamma\) (et, par conjugaison, des pour \(1, \infty\)). On trouve en fait un homomorphisme canonique « \(\Gamma^{*}_{P}\) » : l'astérisque est tracé comme une petite étoile, l'indice est un \(P\) ; le mot « multiplicatif » est ajouté au-dessus de la ligne. Le « \(= \hat\Gamma\) » sous \(\mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2\) est écrit en dessous, relié par un signe d'égalité vertical \[(11)\quad \varphi : \Gamma^{*}_{P} \longrightarrow S\mathcal{E}\] qui remonte section partielle de \(S\mathcal{E}\) sur \(\Gamma\), qui remonte \(\Gamma^{*} \to \mathcal{E}\) déjà considéré, par \[(12)\quad \begin{aligned} \dot\rho = (\dot\rho, 1) &\longmapsto (1, \rho, 1, 1, 1) \overset{\text{déf}}{=} \tilde\rho\\ \dot\sigma'_i = (\dot\sigma_i, -1) &\longmapsto (-1, \dot\sigma_i, 1, 1, 1) \overset{\text{déf}}{=} \tilde\sigma'_i \qquad \bigl(i \in \{0, 1, \infty\}\bigr) \end{aligned}\] dans la première ligne de (12), le second terme du quintuplet est un \(\rho\) sans point ; dans la seconde, un \(\dot\sigma_i\) pointé

On peut dire aussi que le sous-groupe [ens.] de \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}\) formé des \((p, \sigma, g_0, g_1, g_\infty)\) pour lesquels \(g_0, g_1, g_\infty\) sont égaux à \(1\) est un sous-groupe « ens. » est écrit au-dessus de « groupe » biffé

(évident sur (8)), qui est peut se décrire comme l'ens. des \((p, \sigma)\) (\(p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*}\), \(\sigma \in \mathfrak{S}_3\)) tels que l'on ait \[(13)\quad l_{\sigma(0)}^{\,p}\, l_{\sigma(1)}^{\,p}\, l_{\sigma(\infty)}^{\,p} = 1 .\] Quand on se borne à \(S\mathcal{E}\) […] lieu de \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}\), de sorte qu'on doit avoir \(p \in \mathbb{Z}^{*} = \{\pm 1\}\), on trouve que les […] i.e. l'ens. des \((p, \sigma)\) tels [à] la condition (13) devient […] \(\times \mathfrak{S}_3 \simeq \mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}_2 \simeq \Gamma\)), il n'est autre que \(\Gamma_P\) : on voit que \((p, \sigma)\) satisfait (13) ssi \((\sigma, p) \in \Gamma_P\). Ainsi, \(\tilde\Gamma_P \subset S\mathcal{E} \subset S\hat{\hat{\mathcal{E}}}\) est caractérisé comme le sous-groupe de \(S\mathcal{E}\) des auto[morphismes] de \(\pi\) […] qui invarient \(L_0, L_1, L_\infty\), affectés des « rectificateurs » multiplicateurs \(g_0 = 1\), \(g_1 = 1\), \(g_\infty = 1\). le « \(\Gamma_P\) » est écrit sans l'astérisque de la page 34 ; le groupe biffé devant « \(\times\,\mathfrak{S}_3\) » est illisible sous le hachurage. Dans « […] lieu », le mot manquant est sans doute « au », mais il est tracé comme « a »

Sans doute il est vrai que le même résultat est valable dans \(S\hat{\hat{\mathcal{E}}}\), i.e. que la relation (13) implique forcément \(p \in \{\pm 1\}\). Je pense qu'on peut [quitte : corriger par un \(\tilde\sigma_i\), ou \(\sigma \in \Gamma_P\) )] revient au \(\equiv\) de dire que la relation \[(14)\quad l_\infty^{\,p}\, l_1^{\,p}\, l_0^{\,p} = 1\] (pour un \(p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*}\) fixé) implique \(p = 1\).

Exercice ! la parenthèse entre crochets est écrite sous la ligne et reliée à « Je » ; la phrase qui commence par « Je » est lue avec peine

36p. 17 de l'auteur

Comment remonter les \(2\)-groupes de Sylow \(\simeq \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2\) de \(\Gamma\), engendrés resp. par \(\{\sigma_0, \tau\}\), \(\{\sigma_1, \tau\}\), \(\{\sigma_\infty, \tau\}\) ? Eh bien justement, ils ne se remontent pas — on sait bien que les extensions locales de \(\Gamma^{+}_0\) (p. ex.) par \(\mathbb{Z}_0\) (quotient de \(\mathbb{Z}^{\{0,1,\infty\}}\) par \(\mathbb{Z}^{\{1,\infty\}}\)) n'est pas scindée, i.e. le générateur \(\dot\sigma_0\) de \(\Gamma^{+}_0\) ne se remonte pas en un élément d'ordre \(2\) de \(\mathcal{E}\) qui centralise (ou ce qui revient au \(\equiv\), normalise) \(L_0\). le numérateur de « \(2\)-groupes de Sylow » est surchargé ; « de Sylow » est ajouté au-dessus de la ligne. « \(\Gamma^{+}_0\) » : la première fois, l'exposant est une croix appuyée, lue \(+\) ; « (p. ex.) » est ajouté au-dessus

On pourrait s'amuser à écrire \(S\Gamma\) et \(S\mathcal{E}\) en générateurs et relations — je ne vais pas m'y attarder. Par contre, je vais donner des formules pour l'action de \(\operatorname{int}(\tilde\rho)\) et des \(\operatorname{int}(\tilde\sigma_i)\). On trouve \[\begin{aligned} (15)&\quad (\operatorname{int}\tilde\rho)(p, \sigma, g_0, g_1, g_\infty) = (p, \dot\rho\sigma\dot\rho^{-1}, \rho(g_\infty), \rho(g_0), \rho(g_1))\\ (16)&\quad \operatorname{int}(\tilde\sigma_0)(p, \sigma, g_0, g_1, g_\infty) = (p, \dot\sigma_0\sigma\dot\sigma_0^{-1}, \sigma_0(g_0), \sigma_0(g_\infty), \sigma_0(g_1)) \end{aligned}\] dans (15), le second terme est surchargé ; il est lu \(\dot\rho\sigma\dot\rho^{-1}\) par analogie avec (16)

On voit donc : a) Pour que \(\tilde u = (p, \sigma, g_0, g_1, g_\infty)\) commute à \(\rho\), il f. et s. que \(g_0, g_1, g_\infty\) soient \(\sigma\) commute à \(\rho\), i.e. \(\sigma \in \{1, \rho, \rho^{2}\}\), et qu'on ait \[(17)\quad g_1 = \rho(g_0), \quad g_\infty = \rho(g_1), \quad g_0 = \rho(g_\infty) .\] Ce qui signifie aussi que \(g_1, g_\infty\) se déduisent de \(g_0\) par \[g_1 = \rho(g_0), \quad g_\infty = \rho(g_1) = \rho^{2}(g_0) = \rho^{-1}(g_0)\]

(qui impliquent déjà \(g_0 = \rho(g_\infty)\) dans (17)). Les \(\tilde u\) en question correspondent donc aux systèmes \((p, \sigma, g_0) \in \hat{\mathbb{Z}}^{*} \times \mathfrak{S}_3^{+} \times \hat\pi\) tels que l'on ait la relation qui correspond à (2) : \[(18)\quad \operatorname{int}(\rho^{2}(g_0))(l_{\sigma(\infty)}^{\,p}) \cdot \operatorname{int}(\rho(g_0))(l_{\sigma(1)}^{\,p}) \cdot \operatorname{int}(g_0)(l_{\sigma(0)}^{\,p}) = 1\] (et que les trois facteurs engendrent \(\hat\pi\)…) dans (18), l'exposant du deuxième facteur porte un astérisque ajouté au-dessus du \(p\) ; « \(\mathfrak{S}_3^{+}\) » est lu tel quel

b) Pour que \(\tilde u\) commute à \(\tilde\sigma_0\), il f. et s. que \(\sigma\) commute à \(\dot\sigma_0\) (i.e. \(\sigma \in \{1, \dot\sigma_0\}\)), et qu'on ait \[g_0 = \sigma_0(g_0), \quad g_\infty = \sigma_0(g_1) \quad (\text{donc } g_1 = \sigma_0(g_\infty))\] […] […]

variante intéressante pour la suite note écrite en oblique dans la marge gauche, face au début de b)

À vrai dire, nous nous intéressons plutôt à la commutation dans \(\hat{\hat\Gamma}\), i.e. la commutation modulo automorphismes intérieurs. deux lignes biffées au-dessus de « À vrai dire », illisibles sous les ratures ; la seconde commence par « […] \(\tilde u\) commute »