Critique des notations — suite : l'extension
\mathcal{E} de
\Gamma_{0,3} par
\pi
ce titre est de l'édition : le lot reprend au milieu du développement
commencé à la page 14 (lot 1), sans titre de sa main avant celui de la
page 32
p. 9 de l'auteur
il faut aussi écrire (au moins !) les relations
\rho\,\varepsilon_0\,\rho^{-1} = \varepsilon_1 etc., donc on a
(\varepsilon_0\rho)
(10)\quad
\left\{
\begin{aligned}
&\rho^{3} = 1\\
&\varepsilon_\infty^{2}\ \varepsilon_1^{2}\ \varepsilon_0^{2} = 1\\
&\varepsilon_1 = \varepsilon_0\,\varepsilon_\infty^{\uncertain{4}}\,\rho\,\varepsilon_{\uncertain{0}}^{2}\ \varepsilon_\infty^{2}\\
&\varepsilon_\infty = \varepsilon_1\,\varepsilon_0^{\uncertain{4}}\,\rho\,\varepsilon_{\uncertain{\infty}}^{2}\ \varepsilon_0^{2}\\
&\varepsilon_0 = \varepsilon_\infty\,\varepsilon_1^{\uncertain{4}}\,\rho\,\varepsilon_\infty^{2}\ \varepsilon_1^{2}
\end{aligned}
\right.
système lu tel quel et très incertain. Devant la première des trois
dernières lignes, un signe biffé ; entre le second \varepsilon^{2} et le
dernier facteur de chacune de ces lignes, un petit trait vertical ondulé
surchargé, lu comme une rature et omis ; au-dessus de \varepsilon_0 de la
même ligne, une surcharge illisible. Les exposants lus « 4 » peuvent être
autre chose. La deuxième ligne pourrait vouloir dire
\varepsilon_\infty^2 = \varepsilon_1^2 = \varepsilon_0^2 = 1
Chacun des \varepsilon_i, \rho s'expriment en fonction
des \varepsilon_i, et on trouve comme tantôt .
Quant à relever \tau en un élément de \mathcal{E}, pour
\Gamma : \overline{P}, on voit par des choix privilégiés — on
voit trois choix également naturels. Au lieu de les expliciter directement,
il est plus simple de considérer le sous-groupe d'isotropie de
P dans \Gamma = \Gamma_{0,3} = \mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2, qui se
forme des couples \dot\sigma, \dot\tau^{\varepsilon} tels que
\operatorname{sg}(\dot\sigma) = \varepsilon ; donc
i.e. les éléments
\dot\sigma^{*} = (\dot\sigma, \dot\tau^{\operatorname{sg}(\dot\sigma)}) \in \Gamma
qui se relèvent canoniquement en des éléments (\tilde\sigma, fixant
un P) de \mathcal{E}. Ces termes définissent une section
(11)\quad
\varphi : \mathfrak{S}_3 \longrightarrow \Gamma = \mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2,
\qquad \dot\sigma \longmapsto (\dot\sigma, \operatorname{sg}(\dot\sigma))
et un relèvement canonique de \varphi en
(12)\quad \sigma \longmapsto \tilde\sigma : \mathfrak{S}_3 \longrightarrow \mathcal{E} .
On pose \tilde\sigma_i = \tilde{\dot\sigma}_i (on a d'autre part
p. 10 de l'auteur
Le sous-groupe \mathcal{E}_\tau de \mathcal{E} image inverse de \mathbb{Z}/2
engendré par \tau, est le groupe cartographique « » de
Malgoire, ayant comme générateurs \tau_0, \tau_1, \tau_\infty
relation avec
(17)\quad
\left\{
\begin{aligned}
\struck{\tau_1\tau_\infty =}\ l_0 &= \tau_\infty\tau_1\\
\struck{\tau_\infty\tau_0 =}\ l_1 &= \tau_0\tau_\infty\\
l_\infty &= \tau_1\tau_0
\end{aligned}
\right.
les deux premières lignes commencent par une écriture biffée d'un
hachurage, lue \tau_1\tau_\infty = et \tau_\infty\tau_0 = ; en face, à
droite, « NB » souligné, sans suite
\mathcal{E}_\tau peut être considéré comme le groupe engendré par les \tau_i,
avec les seules relations (16) — \tau_i \to -1 de
\mathcal{E}_\tau dans \pm 1, dont le noyau est \pi engendré par les l_i
définis par (17)…
relations
Revenons à une description plus symétrique des extensions de
\mathcal{E}. On désigne par \hat{\mathcal{E}} le complété profini de \mathcal{E},
extension de \hat\Gamma_{0,3} = \Gamma_{0,3} = \mathfrak{S}_3 \times
\mathbb{Z}/2 par \hat\pi, et par \hat{\hat{\mathcal{E}}} le groupe des
automorphismes extérieurs lacets
de \hat\pi, extension de \hat{\hat\Gamma} =
\operatorname{Autext}_{\mathrm{lac}}(\hat\pi) par \hat\pi :
(18)\quad 1 \longrightarrow \hat\pi \longrightarrow \hat{\hat{\mathcal{E}}}
\longrightarrow \hat{\hat\Gamma} \longrightarrow 1,
\qquad \hat{\hat\Gamma} \subset \operatorname{Autext}_{\mathrm{lac}}(\hat\pi)
sous \hat{\hat\Gamma} de la suite (18), un petit signe vertical, lu
comme une inclusion (ou une égalité) avec
\operatorname{Autext}_{\mathrm{lac}}(\hat\pi) écrit en dessous. L'indice
« lac » est lu sous « Autext » ici et sur toute la suite
qui contient \hat{\mathcal{E}} comme sous-extension. On désigne par
\boldsymbol{\Gamma} le commutant de \mathfrak{S}_3 dans
\hat{\hat\Gamma} ( ), et par \mathbf{E} l'extension
correspondante de \boldsymbol{\Gamma} par \hat\pi. Notons déjà que
\left\{
\begin{aligned}
&\Gamma \cap \boldsymbol{\Gamma} = \{1, \tau\}\\
&\boldsymbol{\Gamma} \cap \mathfrak{S}_3 = \{1\}
\end{aligned}
\right.
\boldsymbol{\Gamma} rend un \Gamma à double jambage. Dans la
première ligne le second \Gamma est encadré d'un trait appuyé qui recouvre
un \mathfrak{S}_3 ; la lecture \Gamma \cap \boldsymbol{\Gamma} est
incertaine. À droite, une rature
\mathfrak{S}_3 \times \hat{\hat\Gamma}^{!} \cup
NB \hat{\hat\Gamma} \supset \mathfrak{S}_3 \times
\boldsymbol{\Gamma} — j'ignore si elles coïncident, une
égalité, i.e. si \hat{\hat\Gamma}^{!} \to \boldsymbol{\Gamma}
est une égalité
la note marginale est écrite en oblique ; elle introduit un
\hat{\hat\Gamma}^{!} que la page ne définit pas autrement et que la suite
utilise (\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!})
On veut donner d'abord une description plus symétrique de
\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}, sans faire jouer un rôle particulier à
L_0 = sous-groupe engendré par l_0
(L_0 = k_0(\hat{\mathbb{Z}})). Un u \in \hat{\hat{\mathcal{E}}} est défini par
un multiplicateur
(19)\quad p = \chi(u) \in \hat{\mathbb{Z}}^{*}
et des
(20)\quad g_i \in \hat\pi \qquad i = 0, 1, \infty
p. 11 de l'auteur
est unique, et g_i défini à multiplication à gauche
près par un élt. quelconque de L_i, soit l_i^{\alpha_i}
(\alpha_i \in \hat{\mathbb{Z}}). Les de u : \operatorname{int}(g)
\circ u gardent p, et remplacent les g_i par les
gg_i.
Si v est donné par q, (h_i), on a
vu(l_i) = v(\operatorname{int}(g_i^{-1})\, l_i^{\,p})
= \operatorname{int}(v(g_i^{-1}))\, v(l_i)^{p}
où
v(l_i) = \operatorname{int}(h_i^{-1})\, l_i^{\,q} \quad \text{donc} \quad
v(l_i)^{p} = \operatorname{int}(h_i^{-1})\, l_i^{\,pq},
d'où
(23)\quad vu(l_i) = \operatorname{int}(v(g_i^{-1})\, h_i^{-1})\, l_i^{\,pq}
au-dessus de l'argument de \operatorname{int}, une première écriture
biffée, lue (h_i\, v(g_i))^{-1}, reliée par une accolade
Si on désigne par S\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!} l'extension de
\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!} par \hat{\mathbb{Z}}^{\{0,1,\infty\}} définie
couples triples d'un
u \in \hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!} et d'un (21) des g_i qui
explicite (p étant le multiplicateur), on a sur
S\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!} trois fonctions à valeurs dans \hat\pi
(u, (g_i)) \overset{\gamma_i}{\longmapsto} g_i ,
et on aura
(24)\quad \gamma_i(\tilde v\tilde u) =
\struck{\tilde v(\gamma_i(\tilde u))\cdot\gamma_i(\tilde v)}\
\tilde v(\gamma_i(\tilde u))\,\gamma_i(\tilde v)
deux premières écritures du membre de droite sont biffées, l'une par
hachurage, l'autre d'un trait ; la troisième, écrite à droite et reliée par
un trait courbe, est celle qui est gardée
i.e. (\gamma_i) est un 1-cocycle sur le groupe S\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}
\hat\pi^{\{0,1,\infty\}}.
Le sous-groupe
NB S\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!} a été construit comme ensemble
des systèmes (p, g_0, g_1, g_\infty) \in \hat{\mathbb{Z}}^{*} \times
\hat\pi^{\{0,1,\infty\}} satisfaisant la relation (22)
en associant à (g, (\alpha_i)_{i \in \{0,1,\infty\}}) le système
\struck{\ill{}}\ \struck{\ill{}}\ (g\, l_i^{\alpha_i})
dans p = 1, (g_\cdot) = \struck{\ill{}}\,(g\, l_i^{\alpha_i}).
« p=1, (g_\cdot) = » ouvre la ligne ; les deux groupes biffés qui
suivent sont illisibles, et la parenthèse (g\,l_i^{\alpha_i}) est ce qui
reste
Il faudrait expliciter les opérations des éléments \sigma_i ou
\varepsilon_i (\in S\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}), ou \tilde\varepsilon
\in S\hat{\hat{\mathcal{E}}}^{!}, sur ces groupes, et en particulier
que i.e. \tilde u est défini par
NB Il y a lieu d'introduire aussi le groupe
S\hat{\mathcal{E}}, extension de \mathcal{E} par \hat{\mathbb{Z}}^{\{0,1,\infty\}}
(celle-ci étant d'ailleurs une extension de \Gamma par
p. 12 de l'auteur
L'extension \mathcal{E} = \mathcal{E}_{0,3} de \Gamma = \Gamma_{0,3} \simeq
\mathfrak{S}_{\{0,1,\infty\}} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} par
\pi = \pi_{0,3} = \{ l_0, l_1, l_\infty \mid l_\infty l_1 l_0 = 1 \}
= \pi_1(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \setminus \{0,1,\infty\}, \ill{}) .
sous \mathfrak{S}_{\{0,1,\infty\}}, une accolade avec « =\mathfrak{S}_3 » ;
sous \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, « engendré par \tau : z \mapsto \bar z » ;
sous \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}} \setminus \{0,1,\infty\}, une accolade avec
« U = U_{0,3} » (lecture incertaine). Le point base, après la virgule, est
illisible
Les classes de conjugaison au-dessus de scindages partiels
maximaux correspondent aux points fixes de \dot\rho, \dot\sigma_0,
\dot\sigma_1, \dot\sigma_\infty opérant sur X_{0,3}, et
(éventuellement) aux comp. connexes des ens. d'invariants de
\dot\rho\tau, \dot\sigma_0\tau, \dot\sigma_1\tau, \dot\sigma_\infty\tau. Les
pts fixes de \dot\rho sont (savoir \varphi(\mathfrak{S}_3))
P et \overline{P} (dont le stabilisateur est d'ordre 6, formé de 1,
\dot\rho, \dot\rho^2, \dot\sigma_0\tau, \dot\sigma_1\tau,
\dot\sigma_\infty\tau). On a étudié le relèvement correspondant (de
\varphi(\mathfrak{S}_3)) : P ; on trouve entre eux des
relèvements (\pi-conjugués) relatifs à \overline{P}
s'obtiennent en conj prenant un élément de \mathcal{E}
Le seul les pts fixe de \sigma_0 est 2, dont le
stabilisateur est le groupe \simeq \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2
engendré par \sigma_0 et \tau. On a un relèvement de ce sous-groupe
dans \mathcal{E}, qui par choix convenable prenant le
quart de grand cercle qui joint P au milieu 2 du segment l'arc
(1, \infty) de grand cercle opposé à 0, ce qui définit un
isomorphisme universel de U en P, avec celui
de U en \overline{P} sur lequel le groupe précédent opère
de façon canonique, aussi structure sur
\widetilde{U}(P), il s'envoie dans \mathcal{E}.
« \widetilde{U}(P) » est écrit sur une rature appuyée ; l'argument
entre parenthèses est lu P sans certitude
On trouve que
\dot\sigma_0 \longmapsto \sigma_0, \qquad \struck{t}\ \tau \longmapsto \tau_0
est le scindage correspondant. De \equiv pour le
pt fixe -1 de \dot\sigma_1, ou \frac12 de \dot\sigma_\infty, on
trouve des scindages partiels sur les ss-groupes de
Les composantes connexes de U^{\tau} sont les trois arcs de grand cercle
entre 0, 1, \infty, contiennent contenant
chacun un classes classes de conjugaison
p. 13 de l'auteur
correspondantes de relèvements (relèvements du \{1, \dot\tau\}) sont
resp. les relèvements en \tau_0, en \tau_1, et en \tau_\infty — qui
ne donnent rien de nouveau. Reste à considérer \tau\dot\sigma_1 (et ses
conjugués par \rho, \tau\dot\sigma_\infty,
\tau\dot\sigma_0), on a \dot\sigma_1(2) = 1/2, donc
(\tau\dot\sigma_1)(2) = \tfrac12
et
U^{\tau\dot\sigma_1} = \{ z \in U \mid z\bar z = 1 \} = \mathbb{U} - \{1\},
où \mathbb{U} = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \}. Cet ensemble contient
P et \overline{P}, et ne donne donc pas de nouveaux relèvements p.r. à
celui déjà donné, avec \tilde\sigma_1 relevant \dot\sigma_1\tau.
Je voudrais quand même donner aussi une description de \mathcal{E}
et notamment par gén. et relations, en partant d'un
syst. de gén. de \Gamma = \mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2, qu'on
relève de façon judicieuse. On prendra les (gén.) générateurs
\struck{\ill{}} = \rho\,\struck{\ill{}},\ \tilde{\dot\sigma}_0,\
\tilde{\dot\sigma}_1,\ \tilde{\dot\sigma}_\infty
\qquad (\tilde{\dot\sigma}_0 = \dot\sigma_0\tau,\ \tilde{\dot\sigma}_1 =
\dot\sigma_1\tau,\ \tilde{\dot\sigma}_\infty = \dot\sigma_\infty\tau)
(donc \rho'^{6} = 1, \rho'^{3} = \tau, \rho'^{2} = \rho^{2} =
\rho^{-1}) avec les relations
\left\{
\begin{aligned}
&\tilde{\dot\sigma}_0^{\,2} = \tilde{\dot\sigma}_1^{\,2} =
\tilde{\dot\sigma}_{\uncertain{3}}^{\,2} = 1\\
&\tilde{\dot\sigma}_0\tilde{\dot\sigma}_1 =
\tilde{\dot\sigma}_1\tilde{\dot\sigma}_\infty =
\tilde{\dot\sigma}_\infty\tilde{\dot\sigma}_0 = \rho'^{\,\ill{}}\\
&\rho'^{6} = 1\\
&\rho'^{3} \text{ commute aux } \dot\sigma_i
\end{aligned}
\right.
le nouveau générateur est écrit sur une rature appuyée, au début de la
liste ; il est noté ici \rho', car les exposants lus « 16 » et « 13 » sont
vraisemblablement \rho'^{6} et \rho'^{3}, l'apostrophe tracée comme un
1. Tout le bloc final (la liste des générateurs et les relations) est biffé
de longs traits en diagonale. Dans la première relation, le troisième indice
est lu « 3 » là où l'on attend \infty ; l'exposant de \rho' dans la
deuxième est surchargé
qui décrivent \mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2, on en relève
ces générateurs en des élts de \mathcal{E}, de façon que l_\infty, l_1, l_0
s'expriment comme des mots en ces éléments, et il suffit alors d'ajouter
aux relations précédentes… la relation l_\infty l_1 l_0 —
la relation correspondante
ce paragraphe, qui achève la phrase biffée au bas de la page 28, est
lui-même biffé de quatre traits obliques
Or \dot\sigma_0, \dot\sigma_1, \dot\sigma_\infty,
\dot\rho, \tau, avec les relations
\left\{
\begin{aligned}
&\dot\sigma_0^{2} = \dot\sigma_1^{2} = \dot\sigma_\infty^{2} = 1\\
&\dot\sigma_0\dot\sigma_1 = \dot\sigma_1\dot\sigma_\infty =
\dot\sigma_\infty\dot\sigma_0 = \dot\rho\\
&\dot\rho^{3} = 1\\
&\tau^{2} = 1\\
&\tau \text{ commute à } \dot\sigma_0, \dot\sigma_1, \dot\sigma_\infty
\quad (\text{donc aussi à } \dot\rho)
\end{aligned}
\right.
On les relève en \tau_0, \tau_1, \tau_\infty \sigma_0, \sigma_1,
\sigma_\infty, \rho, \tau_0, \tau_1, \tau_\infty (ces trois derniers
au-dessus de \tau), et on trouve les relations
\left\{
\begin{aligned}
&\sigma_0^{2} = \sigma_1^{2} = \sigma_\infty^{2} = \tau_0^{2}
= [\tau_1^{2} = \tau_\infty^{2}] = 1\\
&\rho^{3} = 1\\
&\rho\tau_0\rho^{-1} = \tau_1, \quad \rho\tau_1\rho^{-1} = \tau_\infty,
\quad \rho\tau_\infty\rho^{-1} = \tau_0\\
&\tau_0\sigma_0 = \sigma_0\tau_0, \quad \tau_1\sigma_1 = \sigma_1\tau_1,
\quad \tau_\infty\sigma_\infty = \sigma_\infty\tau_\infty\\
&\sigma_0\sigma_1 = \tau_\infty\tau_1\rho, \quad \sigma_1\sigma_\infty =
\tau_0\tau_\infty\rho, \quad \sigma_\infty\sigma_0 = \tau_1\tau_0\rho
\end{aligned}
\right.
NB Il faut ajouter les relations \rho\sigma_0\rho^{-1} =
\sigma_1, \rho\sigma_1\rho^{-1} = \sigma_\infty, \rho\sigma_\infty\rho^{-1}
= \sigma_0, conséquences des relations ci-contre (définissant
les éléments \sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty)
la note marginale est écrite en oblique dans la marge gauche et reliée
par une flèche à la ligne \tau_0\sigma_0 = \sigma_0\tau_0 ; la lecture de la
parenthèse finale est incertaine
NB On trouve l_0 = \tau_\infty\tau_1,
\struck{l_1 = \tau_0\tau_\infty}, l_1 = \tau_0\tau_\infty, l_\infty =
\tau_1\tau_0 et l_\infty l_1 l_0 = 1 Cela
indique que \tau_0, \tau_1, \tau_\infty engendrent un sous-groupe engendré
par l_0, l_1, l_\infty
note entre crochets à droite du système, reliée par une flèche montante
à la relation \rho\tau_\infty\rho^{-1} = \tau_0 ; la dernière phrase est
lue avec peine
Question : Est-ce que \rho \mapsto
composantes \rho en fonction des \sigma_0, \sigma_1,
\sigma_\infty, \tau_0, \tau_1, \tau_\infty ? — l'une des relations, et
dernier groupe de relations, et substituer dans
les autres.
ce paragraphe, qui ferme la page, est biffé de deux traits obliques ;
un segment « et plus » y est en outre barré à part
p. 14 de l'auteur
On peut prendre aussi comme seuls gén. \rho, \sigma_0, \tau_0
(dont se déduisent \sigma_1, \tau_1, comme \rho\sigma_0\rho^{-1},
\rho\tau_0\rho^{-1}, \sigma_\infty, \tau_\infty comme
\rho^{2}\sigma_0\rho^{-2}, \rho^{2}\tau_0\rho^{-2}) et les relations
\left\{
\begin{aligned}
&\text{a)}\ \sigma_0^{2} = \tau_0^{2} = 1, \quad \tau_0\sigma_0 =
\sigma_0\tau_0 \quad (\text{i.e.\ } (\underbrace{\sigma_0\tau_0}_{\tilde\sigma_0})^{2} = 1)\\
&\text{b)}\ \rho^{3} = 1\\
&\underbrace{\sigma_0\rho\sigma_0^{-1}\rho^{-1}}_{\uncertain{\sigma_1}}
= \underbrace{\rho^{2}\tau_0\rho^{-2}}_{\tau_\infty}\,
\underbrace{\rho\tau_0\rho^{-1}}_{\tau_1}\,\rho
\quad \text{i.e.} \quad \sigma_0\rho\sigma_0^{-1}\rho^{-1} =
\rho^{-1}\tau_0\rho\tau_0\\
&\rho\sigma_0\rho^{-1}\sigma_0 = \tau_0\rho^{-1}\tau_0\rho
\quad \text{\uncertain{soit}} \quad \struck{\operatorname{int}(\rho)\sigma_0}\
[\rho, \sigma_0] = [\tau_0, \rho^{-1}]\\
&\text{\uncertain{soit}} \quad [\rho, \sigma_0][\rho^{-1}, \tau_0] = 1
\end{aligned}
\right.
au-dessus de « [\rho,\sigma_0] = [\tau_0,\rho^{-1}] », des mots
biffés (lus « i.e. ») ; au-dessus de « \tau_0\rho^{-1}\tau_0
\rho », « ou encore ». L'accolade sous \sigma_0\rho\sigma_0^{-1}
\rho^{-1} porte un \sigma_1, que la seule écriture \rho\sigma_0\rho^{-1}
aurait donné
(C'est donc un quotient du produit libre
(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) * \mathbb{Z}/3\mathbb{Z},
par le sous-groupe invariant décrit par la relation [\rho, \sigma_0][\rho^{-1},
\tau_0] = 1.
NB On trouve une symétrie dans les groupes, qui échange \sigma_0 et
\tau_0, et échange \rho et \rho^{-1}. [donc qui échange
\sigma_1 et \tau_\infty, \sigma_\infty et \tau_1] — mais cette
symétrie n'est pas compatible avec la structure d'extension, comme on voit
de suite (en passant au quotient \mathfrak{S}_3 \times
\mathbb{Z}/2, elle devrait conserver les cartes !).
Il faudrait encore expliciter l'extension S\Gamma = S\Gamma_{0,3} de
\Gamma par \mathbb{Z}^{\{0,1,\infty\}}, ce qui nous donnera (par produits
fibrés) une description de
S\mathcal{E} = S\Gamma \times_{\Gamma} \mathcal{E} .
p. 15 de l'auteur
(2) Le groupe
S\hat{\hat{\mathcal{E}}}
le titre est de sa main, souligné ; le « 2 » est cerclé
Par le calcul, il s'explicite comme l'ens. des systèmes
(1)\quad (p, \sigma, g_0, g_1, g_\infty) = \tilde u, \qquad
p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*},\ \sigma \in \mathfrak{S}_3,\ g_0, g_1, g_\infty
\in \hat\pi,
satisfaisant la condition
(2)\quad \operatorname{int}(g_\infty)(l_{\sigma(\infty)}^{\,p}) \cdot
\operatorname{int}(g_1)(l_{\sigma(1)}^{\,p}) \cdot
\operatorname{int}(g_0)(l_{\sigma(0)}^{\,p}) = 1
dans le premier facteur, g_\infty est écrit sur un g_0 surchargé.
L'exposant -1 des pages 23–24 a disparu des g_i sous
\operatorname{int}
et tels que les trois facteurs de ce produit soient un syst. de générateurs
de \hat\pi [avec la relation génératrice (2)]. Le morphisme u défini
par ce morphi système est
(3)\quad
\left\{
\begin{aligned}
u(l_0) &= \operatorname{int}(g_0)\, l_{\sigma(0)}^{\,p}\\
u(l_1) &= \operatorname{int}(g_1)\, l_{\sigma(1)}^{\,p}\\
u(l_\infty) &= \operatorname{int}(g_\infty)\, l_{\sigma(\infty)}^{\,p}
\end{aligned}
\right.
\qquad \text{ce qui explicite l'homomorphisme}
dans la première ligne de (3), le signe = est écrit sur une flèche
\mapsto
(4)\quad S\hat{\hat{\mathcal{E}}} \xrightarrow{\ p\ } \hat{\hat{\mathcal{E}}} =
\operatorname{Aut}_{\mathrm{lac}}(\hat\pi) .
L'homomorphisme canonique
(5)\quad i : \hat\pi \times \hat{\mathbb{Z}}^{\{0,1,\infty\}} \longrightarrow
S\hat{\hat{\mathcal{E}}}
s'explicite par
(6)\quad i(g; \alpha_0, \alpha_1, \alpha_\infty) = (1, 1, g\,l_0^{\alpha_0},
g\,l_1^{\alpha_1}, g\,l_\infty^{\alpha_\infty})
donc
(7)\quad p\,i(g; \alpha_0, \alpha_1, \alpha_\infty) = \operatorname{int} g .
On retrouve que (4) est surjectif, et a comme noyau
i(\hat\pi)
note écrite en oblique dans la marge gauche, face aux formules (5)–(7) ;
elle dit « i(\hat\pi) » là où l'on attendrait l'image de i tout entière
La multiplication dans S\hat{\hat{\mathcal{E}}} est donnée par
(8)\quad \underbrace{(p, \sigma, g_0, g_1, g_\infty)}_{\tilde u}
\underbrace{(p', \sigma', g'_0, g'_1, g'_\infty)}_{\tilde u'} =
(pp', \sigma\sigma', u(g'_0)\,g_{\sigma'(0)}, u(g'_1)\,g_{\sigma'(1)},
u(g'_\infty)\,g_{\sigma'(\infty)})
les indices des g du membre de droite sont lus \sigma'(0),
\sigma'(1), \sigma'(\infty) ; le dernier est au bord de la feuille
Cette formule n'est pas, du point de vue du calcul,
entièrement explicite et satisfaisante, puisque le deuxième membre fait
intervenir les quantités u(g'_0), u(g'_1), u(g'_\infty), qui ne sont donc
pas exprimées directement en termes des seules données
(p, \sigma, g_0, g_1, g_\infty), (p', \sigma', g'_0, g'_1, g'_\infty) ;
Cependant quand \tilde u est de la forme i(g, \alpha_0, \alpha_1,
\alpha_\infty), on trouve (en tenant compte des facteurs)
(9)\quad i(g, \alpha_0, \alpha_1, \alpha_\infty)\,(p, \sigma, g_0, g_1,
g_\infty) = (p, \sigma, g\,g_0\,l_{\sigma(0)}^{\alpha_{\sigma(0)}},
g\,g_1\,l_{\sigma(1)}^{\alpha_{\sigma(1)}},
g\,g_\infty\,l_{\sigma(\infty)}^{\alpha_{\sigma(\infty)}})
devant le premier g\,g_0, une surcharge biffée ; les indices sont
lus avec peine
qui se simplifie pour \sigma = 1 en
(9')\quad i(g, \alpha_0, \alpha_1, \alpha_\infty)\,(p, 1, g_0, g_1,
g_\infty) = (p, 1, g\,g_0\,l_0^{\alpha_0}, g\,g_1\,l_1^{\alpha_1},
g\,g_\infty\,l_\infty^{\alpha_\infty}) .
Par ailleurs, l'opération de \hat{\hat{\mathcal{E}}} sur i(\pi \times
\mathbb{Z}^{\{0,1,\infty\}}) par automorphismes intérieurs s'explicite
aisément, et ne dépend que de u
p. 16 de l'auteur
On va regarder de plus près la partie S\hat{\mathcal{E}} de
S\hat{\hat{\mathcal{E}}}, image inverse de \Gamma = \mathfrak{S}_3 \times
\mathbb{Z}/2 = \hat\Gamma \subset \hat{\hat\Gamma} =
\operatorname{Autext}_{\mathrm{lac}}\hat\pi.
On va regarder les éléments notamment (NB ils sont même dans
\mathcal{E}) et voir comment ils se relèvent en S\hat{\mathcal{E}} (et même, en
S\mathcal{E}). En fait, par \dot\rho \mapsto \rho, \dot\sigma_0 \mapsto
\tilde\sigma_0 = \sigma_0\tau_0, on a un relèvement multiplicatif de
\Gamma^{*}_{P} = \{(\sigma, \operatorname{sg}(\sigma)) \mid \sigma \in
\mathfrak{S}_3\} dans \mathcal{E}, qui aimerait remonter à S\mathcal{E} — et de
même pour \dot\sigma_0 \mapsto \sigma_0, \tau \mapsto \tau_0 du
ss-groupe de stabilité de 0 dans \Gamma (et, par conjugaison, des pour
1, \infty). On trouve en fait un homomorphisme canonique
« \Gamma^{*}_{P} » : l'astérisque est tracé comme une petite étoile,
l'indice est un P ; le mot « multiplicatif » est ajouté au-dessus de la
ligne. Le « = \hat\Gamma » sous \mathfrak{S}_3 \times \mathbb{Z}/2 est
écrit en dessous, relié par un signe d'égalité vertical
(11)\quad \varphi : \Gamma^{*}_{P} \longrightarrow S\mathcal{E}
qui remonte section partielle de S\mathcal{E} sur \Gamma, qui remonte
\Gamma^{*} \to \mathcal{E} déjà considéré, par
(12)\quad
\begin{aligned}
\dot\rho = (\dot\rho, 1) &\longmapsto (1, \rho, 1, 1, 1)
\overset{\text{déf}}{=} \tilde\rho\\
\dot\sigma'_i = (\dot\sigma_i, -1) &\longmapsto (-1, \dot\sigma_i, 1, 1, 1)
\overset{\text{déf}}{=} \tilde\sigma'_i \qquad \bigl(i \in \{0, 1,
\infty\}\bigr)
\end{aligned}
dans la première ligne de (12), le second terme du quintuplet est un
\rho sans point ; dans la seconde, un \dot\sigma_i pointé
On peut dire aussi que le sous-groupe ens. de
S\hat{\hat{\mathcal{E}}} formé des (p, \sigma, g_0, g_1, g_\infty) pour lesquels
g_0, g_1, g_\infty sont égaux à 1 est un sous-groupe
« ens. » est écrit au-dessus de « groupe » biffé
(évident sur (8)), qui est peut se décrire
comme l'ens. des (p, \sigma) (p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*}, \sigma \in
\mathfrak{S}_3) tels que l'on ait
(13)\quad l_{\sigma(0)}^{\,p}\, l_{\sigma(1)}^{\,p}\, l_{\sigma(\infty)}^{\,p} = 1 .
Quand on se borne à S\mathcal{E} lieu de S\hat{\hat{\mathcal{E}}}, de sorte
qu'on doit avoir p \in \mathbb{Z}^{*} = \{\pm 1\}, on trouve que
les i.e. l'ens. des (p, \sigma) tels à
la condition (13) devient multiplicateurs g_0 = 1, g_1 = 1, g_\infty = 1.
le « \Gamma_P » est écrit sans l'astérisque de la page 34 ; le groupe
biffé devant « \times\,\mathfrak{S}_3 » est illisible sous le hachurage.
Dans « lieu », le mot manquant est sans doute « au », mais il est
tracé comme « a »
Sans doute il est vrai que le même résultat est valable dans
S\hat{\hat{\mathcal{E}}}, i.e. que la relation (13) implique forcément p \in
\{\pm 1\}. Je pense qu'on peut
[quitte : corriger par un \tilde\sigma_i, ou \sigma \in
\Gamma_P )] revient au \equiv de dire que la relation
(14)\quad l_\infty^{\,p}\, l_1^{\,p}\, l_0^{\,p} = 1
(pour un p \in \hat{\mathbb{Z}}^{*} fixé) implique p = 1.
Exercice !
la parenthèse entre crochets est écrite sous la ligne et reliée à «
Je » ; la phrase qui commence par « Je » est lue avec peine
p. 17 de l'auteur
Comment remonter les 2-groupes de Sylow \simeq \mathbb{Z}/2
\times \mathbb{Z}/2 de \Gamma, engendrés resp. par \{\sigma_0, \tau\},
\{\sigma_1, \tau\}, \{\sigma_\infty, \tau\} ? Eh bien justement, ils
ne se remontent pas — on sait bien que les extensions locales de
\Gamma^{+}_0 (p. ex.) par \mathbb{Z}_0 (quotient de
\mathbb{Z}^{\{0,1,\infty\}} par \mathbb{Z}^{\{1,\infty\}}) n'est
pas scindée, i.e. le générateur \dot\sigma_0 de \Gamma^{+}_0 ne
se remonte pas en un élément d'ordre 2 de \mathcal{E} qui centralise
(ou ce qui revient au \equiv, normalise) L_0.
le numérateur de « 2-groupes de Sylow » est surchargé ;
« de Sylow » est ajouté au-dessus de la ligne. « \Gamma^{+}_0 » : la
première fois, l'exposant est une croix appuyée, lue + ; « (p. ex.) » est
ajouté au-dessus
On pourrait s'amuser à écrire S\Gamma et S\mathcal{E} en générateurs et
relations — je ne vais pas m'y attarder. Par contre, je vais donner des
formules pour l'action de \operatorname{int}(\tilde\rho) et des
\operatorname{int}(\tilde\sigma_i). On trouve
\begin{aligned}
(15)&\quad (\operatorname{int}\tilde\rho)(p, \sigma, g_0, g_1, g_\infty) =
(p, \dot\rho\sigma\dot\rho^{-1}, \rho(g_\infty), \rho(g_0), \rho(g_1))\\
(16)&\quad \operatorname{int}(\tilde\sigma_0)(p, \sigma, g_0, g_1, g_\infty) =
(p, \dot\sigma_0\sigma\dot\sigma_0^{-1}, \sigma_0(g_0), \sigma_0(g_\infty),
\sigma_0(g_1))
\end{aligned}
dans (15), le second terme est surchargé ; il est lu
\dot\rho\sigma\dot\rho^{-1} par analogie avec (16)
On voit donc : a) Pour que \tilde u = (p, \sigma, g_0, g_1, g_\infty)
commute à \rho, il f. et s. que g_0, g_1, g_\infty soient
\sigma commute à \rho, i.e. \sigma \in \{1, \rho, \rho^{2}\},
et qu'on ait
(17)\quad g_1 = \rho(g_0), \quad g_\infty = \rho(g_1), \quad g_0 =
\rho(g_\infty) .
Ce qui signifie aussi que g_1, g_\infty se déduisent de g_0 par
g_1 = \rho(g_0), \quad g_\infty = \rho(g_1) = \rho^{2}(g_0) =
\rho^{-1}(g_0)
(qui impliquent déjà g_0 = \rho(g_\infty) dans (17)). Les \tilde u en
question correspondent donc aux systèmes (p, \sigma, g_0) \in
\hat{\mathbb{Z}}^{*} \times \mathfrak{S}_3^{+} \times \hat\pi tels que l'on
ait la relation qui correspond à (2) :
(18)\quad \operatorname{int}(\rho^{2}(g_0))(l_{\sigma(\infty)}^{\,p}) \cdot
\operatorname{int}(\rho(g_0))(l_{\sigma(1)}^{\,p}) \cdot
\operatorname{int}(g_0)(l_{\sigma(0)}^{\,p}) = 1
(et que les trois facteurs engendrent \hat\pi…)
dans (18), l'exposant du deuxième facteur porte un astérisque ajouté
au-dessus du p ; « \mathfrak{S}_3^{+} » est lu tel quel
b) Pour que \tilde u commute à \tilde\sigma_0, il f. et s. que
\sigma commute à \dot\sigma_0 (i.e. \sigma \in \{1, \dot\sigma_0\}),
et qu'on ait
g_0 = \sigma_0(g_0), \quad g_\infty = \sigma_0(g_1) \quad (\text{donc } g_1 =
\sigma_0(g_\infty))
variante intéressante pour la suite
note écrite en oblique dans la marge gauche, face au début de b)
À vrai dire, nous nous intéressons plutôt à la commutation dans
\hat{\hat\Gamma}, i.e. la commutation modulo automorphismes
intérieurs.
deux lignes biffées au-dessus de « À vrai dire », illisibles sous les
ratures ; la seconde commence par « \tilde u commute »