Cote n° 144 · batch 10 · pages 181–183 · Transcription · [Suite autour de Teichmüller dont] Teichmülleries, 1981-1982 : notes manuscrites (1981-1983, s.d.), lettres (1981, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1981-1983
Édition de démonstration

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181la page s'ouvre sur une liste numérotée de conditions sur une courbe \(X\) ; ce qui précède la condition 1° n'est pas dans ce lot.

\(g\), \(\mu\)

dans la marge de gauche, plusieurs croquis de courbes à points doubles ordinaires : des branches qui se croisent, une boucle se recoupant elle-même, et un cycle de six droites se coupant deux à deux en hexagone.

1°) ⌜\(X\) propre,⌝ connexe, lisse ⌜sauf⌝ pts doubles ordinaires ⌜(diviseur \(D\))⌝, dim 1

2°) \(\chi(X, \mathcal{O}_X) = 1-g\) la formule est surchargée : le second argument de \(\chi\) est récrit par-dessus un premier jet ; la lecture \(\mathcal{O}_X\) est probable sans être sûre.

i.e. si \(\widetilde{X}\) la normalisée, \(g_i\) les genres, \(\mu\) le nb des pts doubles un petit signe en exposant après \(\widetilde{X}\) reste […]. \[g-1 = \sum (g_i - 1) + \mu\] \[g = \sum g_i + \mu + 1 - s\] \(s\) nb des comp. irr., \(\mu\) nb des pts doubles (NB on a toujours \(\mu + 1 - s \geq 0\) à cause connexité)

3°) \(S \subset X\) multisection […] diviseur ⌜sous-schéma fini ét., de rang \(\nu\)⌝ contenu dans l'ens des pts de lissité de \(X\)

« types d'[…] inf. de la rigidité »cette note marginale est reliée par une accolade aux conditions 4° et 5°.

4°) Si \(X_i\) comp. irréd. ⌜avec⌝ de genre \(\widetilde{X}_i\) genre 1, alors \(X_i\) contient un pt double ou \(X_i \cap S \neq \emptyset\), i.e. \(X_i \cap (D \cup S) \neq \emptyset\) (\(\Longleftrightarrow\) \(X\) sauf si \(X\) lisse de genre 1, \(S = \emptyset\))

5°) Si \(X_i\) comp. irréd. avec \(\widetilde{X}_i\) de genre 0, alors l'image inverse de \((D \cup S)\) dans \(\widetilde{X}_i\) a au moins trois pts.

\begin{tikzcd}
\widetilde{D} \arrow[r, hook] \arrow[dr, "\text{surj}"'] & \widetilde{D} \amalg S \arrow[r, "\text{surj}"] & \pi_0(\widetilde{X}) \arrow[r, "g"] & \mathbb{N} \\
 & D & &
\end{tikzcd}

\(\pi_0(\widetilde{X}) = \Delta\) ; \(\widetilde{D} \to D\) fibres de card \(\leq 2\) sous \(\widetilde{D} \amalg S\), une accolade porte un signe […] suivi d'un \(\widetilde{\Delta}\).

À droite, sous une accolade : \[\operatorname{card} S = \nu, \qquad \sum_{\delta \in \Delta} (g_\delta - 1) + \underbrace{\mu}_{\operatorname{card} \widetilde{D}} = g - 1,\] \[\operatorname{card}\bigl(D \amalg_{\widetilde{D}} \Delta\bigr) = 1\] fibres de \(\widetilde{D} \to \Delta\) de card \(\leq 2\) \(\nu\) et \(g\) sont entourés. Au-dessus du premier \(D\) de la dernière égalité, un « \(2\mu\) » paraît biffé ; sous \(\mu\) il écrit « card \(\widetilde{D}\) », alors que \(\operatorname{card}\widetilde{D} = 2\mu\) (cf. p. 182, où \(\operatorname{card}\widetilde{D} = 2\mu\)).

182Squelette de \(X\) (sous hyp. dessus) \[\begin{align*} \widetilde{D} &= \text{image inv.\ de } D \text{ dans } \widetilde{X} \\ \widetilde{S} &= \text{image inv.\ de } S \text{ dans } \widetilde{X} \qquad (\text{NB } \widetilde{S} \xrightarrow{\sim} S) \\ \Delta &= \pi_0(\widetilde{X}) \simeq \text{ens des comp.\ irréd.\ de } X \\ D &= (\text{pour mémoire}) \text{ ens des pts doubles} \end{align*}\] à la deuxième ligne, « image inv. de » est rendu par un trait de répétition.

\(\Sigma\) :

\begin{tikzcd}
\widetilde{D} \arrow[r, hook, "\text{can}"] \arrow[dr, "q\ (\text{surj})"'] & \widetilde{D} \amalg \widetilde{S} \arrow[r, "p\ (\text{surj})"] & \Delta \arrow[r, "g"] & \mathbb{N} \\
 & D & &
\end{tikzcd}

a) \(D \amalg_{\widetilde{D}} \Delta\) de card. 1

b) les fibres de \(q : \widetilde{D} \to D\) de card \(\leq 2\) ⌜de degré 2⌝

c) \(\displaystyle \sum_{\delta \in \Delta} \bigl(g(\delta) - 1\bigr) + \underbrace{\operatorname{card} D}_{\mu} = g - 1\) \(g\) est entouré. Au-dessus du \(D\) de « card \(D\) », une marque, peut-être un tilde biffé ; l'accolade donne \(\mu\), qui est \(\operatorname{card} D\).

d) \(\operatorname{card} \widetilde{S} = \nu\) \(\nu\) entouré.

e) Si \(\delta \in \Delta\) tel que \(g(\delta) = 1\), alors \(p^{-1}(\delta) \neq \emptyset\) (\(\Longleftrightarrow\) on n'a pas \(\widetilde{D} = \widetilde{S} = \emptyset\), \(\Delta = \{\delta\}\), \(g(\delta) = 1\))

f) Si \(\delta \in \Delta\) tel que \(g(\delta) = 0\), alors \(\operatorname{card} p^{-1}(\delta) \geq 3\)

\[\mu(\Sigma) = \sum_{\delta \in \Delta} \mu(\delta, \Sigma)\] où \(\mu(\delta, \Sigma)\) ne dépend que de \(g(\delta) \overset{\text{déf}}{=} g_\delta\), et de \(\operatorname{card}\bigl(p^{-1}(\delta)\bigr) \overset{\text{déf}}{=} \nu_\delta\), \[\mu(\delta, \Sigma) = \mu(g_\delta, \nu_\delta) \overset{\text{déf}}{=} 3(g_\delta - 1) + \nu_\delta\] avant \(\mu(g_\delta, \nu_\delta)\), quelques signes biffés […]. La définition était d'abord une accolade à deux cas : à la suite de \(3(g_\delta - 1) + \nu_\delta\) un « si \(g_\delta \geq 1\) » est barré, et la seconde ligne de l'accolade ([…], « si \(g_\delta\) … 1 ») est entièrement biffée. \[\begin{align*} \mu(\Sigma) &= \sum_{\delta} \mu(\delta, \Sigma) = 3 \sum (g_\delta - 1) + \underbrace{\sum \nu_\delta}_{\operatorname{card}\widetilde{D} + \operatorname{card}\widetilde{S}} \\ &= 3 \sum (g_\delta - 1) + 2\mu + \nu \\ &= 3 \underbrace{\Bigl(\sum_{\delta} (g_\delta - 1) + \mu\Bigr)}_{g-1} + \nu - \mu \\ &= \underbrace{\bigl(3(g-1) + \nu\bigr)}_{\mu(g, \nu)} - \mu = \mu(g, \nu) - \mu \end{align*}\] sur la page, \(\operatorname{card}\widetilde{D}\) et \(\operatorname{card}\widetilde{S}\) portent eux-mêmes des accolades \(2\mu\) et \(\nu\). Le \(\mu(\Sigma)\) de tête est récrit par-dessus un premier jet. Le calcul s'arrête en bas de la page ; la page suivante du lot ne le continue pas, et ce qui suit éventuellement n'est pas dans ce lot.