Fonds Grothendieck, cote n° 144, pages 181–183

la page s'ouvre sur une liste numérotée de conditions sur une courbe X ; ce qui précède la condition 1° n'est pas dans ce lot.

g, \mu

dans la marge de gauche, plusieurs croquis de courbes à points doubles ordinaires : des branches qui se croisent, une boucle se recoupant elle-même, et un cycle de six droites se coupant deux à deux en hexagone.

1°) X propre, connexe, lisse sauf pts doubles ordinaires (diviseur D), dim 1

2°) \chi(X, \mathcal{O}_X) = 1-g la formule est surchargée : le second argument de \chi est récrit par-dessus un premier jet ; la lecture \mathcal{O}_X est probable sans être sûre.

i.e. si \widetilde{X} la normalisée, g_i les genres, \mu le nb des pts doubles un petit signe en exposant après \widetilde{X} reste . g-1 = \sum (g_i - 1) + \mu g = \sum g_i + \mu + 1 - s s nb des comp. irr., \mu nb des pts doubles (NB on a toujours \mu + 1 - s \geq 0 à cause connexité)

3°) S \subset X ~~multisection diviseur~~ sous-schéma fini ét., de rang \nu contenu dans l'ens des pts de lissité de X

« types d' inf. de la rigidité »cette note marginale est reliée par une accolade aux conditions 4° et 5°.

4°) Si X_i comp. irréd. avec ~~de genre~~ \widetilde{X}_i genre 1, alors X_i contient un pt double ou X_i \cap S \neq \emptyset, i.e. X_i \cap (D \cup S) \neq \emptyset (\Longleftrightarrow X sauf si X lisse de genre 1, S = \emptyset)

5°) Si X_i comp. irréd. avec \widetilde{X}_i de genre 0, alors l'image inverse de (D \cup S) dans \widetilde{X}_i a au moins trois pts.

\begin{tikzcd} \widetilde{D} \arrow[r, hook] \arrow[dr, "\text{surj}"'] & \widetilde{D} \amalg S \arrow[r, "\text{surj}"] & \pi_0(\widetilde{X}) \arrow[r, "g"] & \mathbb{N} \\ & D & & \end{tikzcd}

\pi_0(\widetilde{X}) = \Delta ; \widetilde{D} \to D fibres de card \leq 2 sous \widetilde{D} \amalg S, une accolade porte un signe suivi d'un \widetilde{\Delta}.

À droite, sous une accolade : \operatorname{card} S = \nu, \qquad \sum_{\delta \in \Delta} (g_\delta - 1) + \underbrace{\mu}_{\operatorname{card} \widetilde{D}} = g - 1, \operatorname{card}\bigl(D \amalg_{\widetilde{D}} \Delta\bigr) = 1 ~~fibres de \widetilde{D} \to \Delta de card \leq 2~~ \nu et g sont entourés. Au-dessus du premier D de la dernière égalité, un « 2\mu » paraît biffé ; sous \mu il écrit « card \widetilde{D} », alors que \operatorname{card}\widetilde{D} = 2\mu (cf. p. 182, où \operatorname{card}\widetilde{D} = 2\mu).

Squelette de X (sous hyp. dessus) \begin{align*} \widetilde{D} &= \text{image inv.\ de } D \text{ dans } \widetilde{X} \\ \widetilde{S} &= \text{image inv.\ de } S \text{ dans } \widetilde{X} \qquad (\text{NB } \widetilde{S} \xrightarrow{\sim} S) \\ \Delta &= \pi_0(\widetilde{X}) \simeq \text{ens des comp.\ irréd.\ de } X \\ D &= (\text{pour mémoire}) \text{ ens des pts doubles} \end{align*} à la deuxième ligne, « image inv. de » est rendu par un trait de répétition.

\Sigma :

\begin{tikzcd} \widetilde{D} \arrow[r, hook, "\text{can}"] \arrow[dr, "q\ (\text{surj})"'] & \widetilde{D} \amalg \widetilde{S} \arrow[r, "p\ (\text{surj})"] & \Delta \arrow[r, "g"] & \mathbb{N} \\ & D & & \end{tikzcd}

a) D \amalg_{\widetilde{D}} \Delta de card. 1

b) ~~les fibres de q : \widetilde{D} \to D de card \leq 2~~ de degré 2

c) \displaystyle \sum_{\delta \in \Delta} \bigl(g(\delta) - 1\bigr) + \underbrace{\operatorname{card} D}_{\mu} = g - 1 g est entouré. Au-dessus du D de « card D », une marque, peut-être un tilde biffé ; l'accolade donne \mu, qui est \operatorname{card} D.

d) \operatorname{card} \widetilde{S} = \nu \nu entouré.

e) Si \delta \in \Delta tel que g(\delta) = 1, alors p^{-1}(\delta) \neq \emptyset (\Longleftrightarrow on n'a pas \widetilde{D} = \widetilde{S} = \emptyset, \Delta = \{\delta\}, g(\delta) = 1)

f) Si \delta \in \Delta tel que g(\delta) = 0, alors \operatorname{card} p^{-1}(\delta) \geq 3

\mu(\Sigma) = \sum_{\delta \in \Delta} \mu(\delta, \Sigma) où \mu(\delta, \Sigma) ne dépend que de g(\delta) \overset{\text{déf}}{=} g_\delta, et de \operatorname{card}\bigl(p^{-1}(\delta)\bigr) \overset{\text{déf}}{=} \nu_\delta, \mu(\delta, \Sigma) = \mu(g_\delta, \nu_\delta) \overset{\text{déf}}{=} 3(g_\delta - 1) + \nu_\delta avant \mu(g_\delta, \nu_\delta), quelques signes biffés . La définition était d'abord une accolade à deux cas : à la suite de 3(g_\delta - 1) + \nu_\delta un « si g_\delta \geq 1 » est barré, et la seconde ligne de l'accolade (, « si g_\delta … 1 ») est entièrement biffée. \begin{align*} \mu(\Sigma) &= \sum_{\delta} \mu(\delta, \Sigma) = 3 \sum (g_\delta - 1) + \underbrace{\sum \nu_\delta}_{\operatorname{card}\widetilde{D} + \operatorname{card}\widetilde{S}} \\ &= 3 \sum (g_\delta - 1) + 2\mu + \nu \\ &= 3 \underbrace{\Bigl(\sum_{\delta} (g_\delta - 1) + \mu\Bigr)}_{g-1} + \nu - \mu \\ &= \underbrace{\bigl(3(g-1) + \nu\bigr)}_{\mu(g, \nu)} - \mu = \mu(g, \nu) - \mu \end{align*} sur la page, \operatorname{card}\widetilde{D} et \operatorname{card}\widetilde{S} portent eux-mêmes des accolades 2\mu et \nu. Le \mu(\Sigma) de tête est récrit par-dessus un premier jet. Le calcul s'arrête en bas de la page ; la page suivante du lot ne le continue pas, et ce qui suit éventuellement n'est pas dans ce lot.