Cote n° 144, pages 161–180

Cote n° 144 · batch 9 · pages 161–180 · Transcription · [Suite autour de Teichmüller dont] Teichmülleries, 1981-1982 : notes manuscrites (1981-1983, s.d.), lettres (1981, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1981-1983
Édition de démonstration

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Le groupe $\Gamma_{1,1}$ : générateurs $\tau'$, $\tau''$, $\sigma$, $\rho'$, $\rho''$

161Le feuillet commence au milieu d'un calcul : les objets $X'$, $X''$, $\varepsilon_0$, $\varepsilon_1$, $\omega$ sont introduits avant ce lot.

à gauche, un parallélépipède en pointillés, flèches le long des arêtes ; au centre, un cylindre (anneau) avec deux arcs $X'$ (en dessus) et $X''$ (le long du cylindre), les points $a_0, a_1, a_2, a_3$, deux vecteurs $e'$, $e''$ issus de $a_0$ et une flèche de rotation $\sigma$ ; au-dessus, une petite croix fléchée.

\[\begin{array}{ll} X'_{\xi} & \varepsilon_0(X') \xrightarrow{\ \sim\ } \varepsilon_1(X'') \\ X''_{\xi} & \varepsilon_1(X') \xleftarrow{\ \sim\ } \varepsilon_0(X'') \\ \hline & \omega(X') \simeq \omega(X'') \end{array} \qquad \Longrightarrow\] sous la dernière ligne, une flèche vers $\omega(X' \wedge X'')$, avec un signe $(-)$ entouré et la mention « anticommutatif ».

$\tau'$, $\tau''$, $\sigma$ ne dépendent pas du « choix d'orientations ».

$e'$, $e''$ fixent les orientations et aussi une 2-orientation […] sur $X'$, $X''$, d'où $\rho'$, $\rho''$. \[\begin{aligned} \tau' e' &= e' & \qquad \tau'' e' &= -e' \\ \tau' e'' &= -e'' & \qquad \tau'' e'' &= e'' \end{aligned}\] dans $\tau'' e'' = e''$, un signe biffé devant le second membre.

d'où $\rho'$, $\rho''$ : \[\left\{ \begin{aligned} &\tau'(\rho') = \tau''(\rho') = \rho'^{-1} \\ &\tau'(\rho'') = \tau''(\rho'') = \rho''^{-1} \\ &\sigma(\rho') = \rho'', \quad \sigma\rho'' = \rho' \end{aligned} \right. \qquad \begin{aligned} \rho'(e') &= e' \\ \rho'(e'') &= e' + e'' \end{aligned}\]

163$\tau'$, $\tau''$, $\sigma$, $\rho'$, $\rho''$ $\tau''$ et $\sigma$ soulignés ; un $\sigma$ biffé dessous. \[\begin{aligned} \rho' &\longmapsto \varepsilon_0 \\ \rho'' &\longmapsto \varepsilon_1 \\ \tau'' &\longmapsto \tau_\infty = \tau = r_\infty \\ \tau' &\longmapsto \omega_0 \tau_\infty = -\tau \\ \sigma &\longmapsto \sigma_\infty = \sigma \end{aligned} \qquad \left\{ \begin{aligned} &\tau'^2 = \tau''^2 = \sigma^4 = 1, \quad \sigma^2 = \tau'\tau'' \\ &\tau'(\rho') = \tau''(\rho') = \rho'^{-1}, \quad \tau'(\rho'') = \tau''(\rho'') = \rho''^{-1} \\ &\sigma(\rho') = \rho'' \quad (\Rightarrow \sigma(\rho'') = \rho') \end{aligned} \right.\] à la fin de la première ligne de l'accolade, $\sigma(\rho') = \rho$ biffé.

$(\sigma\rho')^3 \neq 1$ dans $\Gamma^{+}_{1,1}$ (mais ⌜$= 1$⌝ dans un groupe spécial). le signe entre $(\sigma\rho')^3$ et $1$ est surchargé ; la lecture $\neq$ est douteuse. \[\begin{aligned} \sigma^{-1}\rho' = \sigma^3\rho' &\longmapsto \sigma^3\varepsilon_0 = \sigma^3(\sigma\rho) = \rho \\ \tau''\sigma &\longmapsto \tau'_\infty = r_0 \\ \tau''\rho' = \underbrace{(\tau''\sigma)}_{\mapsto r_0}\underbrace{(\sigma^{-1}\rho')}_{\mapsto \rho} &\longmapsto r_1 \end{aligned}\] Encadré : \[\begin{array}{l|l} \tau'' \longmapsto r_\infty & \rho' \longmapsto \varepsilon_0 \\ \tau''\sigma \longmapsto r_0 & \sigma \longmapsto \sigma \\ \tau''\rho' \longmapsto r_1 & \sigma^{-1}\rho' \longmapsto \rho \end{array}\]

à gauche, un tore dessiné en perspective, avec deux cercles méridiens et des courbes en pointillés ; à droite, un carré de sommets $a_0, a_1, a_2, a_3$ (côté $a_0a_1$ fléché), un petit carré intérieur, deux axes fléchés $e'$ (horizontal) et $e''$ (vertical), avec les légendes $\tau' = \mathrm{id}$ et $\tau'' = \ill{}$.

$\mathfrak{X} = (X, X', X'')$, $\mathcal{E}(\mathfrak{X})$.

$\{X', X''\}$ = ens. des codiagonales du carré

$\varepsilon_0(X') \simeq$ ens. des deux côtés opposés du carré qui correspondent à la $X''$

$\varepsilon_1(X') \simeq$ ens. des deux côtés opposés du carré qui correspondent à $X'$ \[\begin{aligned} \varepsilon_0(X') \times \varepsilon_1(X') &\simeq \text{ens. des \struck{côtés} \add{\uncertain{sommets}} du carré} \\ &\simeq \varepsilon_1(X'') \times \varepsilon_0(X'') \\ &\simeq \varepsilon_0(X') \times \varepsilon_0(X'') \\ &\simeq \varepsilon_1(X') \times \varepsilon_1(X'') \end{aligned}\] avant la dernière ligne, un début $\simeq \varepsilon_0(X'') \times \ldots$ biffé. En bas à gauche : $\mathcal{E}(\mathfrak{X})$ suivi de $\varepsilon_0(X')$ biffé, et un mot biffé […].

165\[\left\{ \begin{aligned} &\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = (\sigma_1\sigma_2)^2 = 1 \\ &\rho_1, \rho_2 \end{aligned} \right. \qquad \sigma_i\rho_j = \rho_j^{-1}\] \[\tilde\tau\tilde\rho = \tilde\rho^{-1}, \qquad \tilde\tau\tilde\sigma = \tilde\sigma^{-1}, \qquad \tilde\rho^3 -\]

un cylindre ; au-dessous, un empilement de boîtes en perspective avec des axes $x$, $y$ ; à gauche, un cylindre sur lequel est collée une anse, avec une flèche de rotation et deux vecteurs $e_1$, $e_2$ ; plus bas, un parallélépipède hachuré avec les points $a_0, a_1, a_2, a_3$, $b_0, b_1, b_2, b_3$, $c_0, c_1, c_2, c_3$ ; à côté, $\sigma\varphi$ et $D_\sigma$ (un premier mot biffé). \[x \longmapsto -x, \qquad y \longmapsto y, \qquad (x, y, z) \longmapsto ix,\] \[(z, t) \longrightarrow (iz, -t)\] Encadré : \[\sigma^2 = \sigma_1\sigma_2 = \sigma_2\sigma_1\] \[\sigma_1^2 = \sigma_2^2 \ (= \sigma^4) = 1\] \[\sigma_1(\sigma) = \sigma^{-1}, \qquad \sigma_2(\sigma) = \sigma^{-1} \quad ?\] \[\text{\struck{$(\sigma_1, \sigma_2)$}} \qquad \text{\struck{$(\sigma_1\sigma_2)^2$}}\] \[\sigma_2 = \sigma_1\sigma^2 = \sigma^2\sigma_1\] \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\] \[\begin{aligned} \sigma(z, t) &= (iz, -t) \\ \sigma_1(z, t) &= (\bar z, t) \\ \sigma_2(z, t) &= (-\bar z, t) \end{aligned}\] \[(z, t) \longmapsto (\bar z, t) \longmapsto (i\bar z, -t) \longmapsto (-iz, -t)\]

167\[\sigma_1, \sigma_2, \sigma, \rho_1, \rho_2\] \[\left. \begin{aligned} &\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = (\sigma_1\sigma_2)^2 = 1 \\ &\sigma_1\sigma_2 = \sigma^2, \quad \sigma_1(\sigma) = \sigma_2(\sigma) = \sigma^{-1} \end{aligned} \right\} \quad D_\sigma \simeq D_4\] $D_\sigma$ engendré par $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma$. \[\left. \begin{aligned} &\sigma_i(\rho_j) = \rho_j^{-1} \\ &\sigma(\rho_1) = \rho_2 \end{aligned} \right| \Longrightarrow \sigma(\rho_2) = \rho_1\] $\sigma$ : $D_\sigma \ast_{D_{\sigma_1}} D_{\rho_1}$ ($D_{\rho_1}$ engendré par $\rho_1$, $\sigma_1$)

Encadré : \[\sigma, \sigma_1, \rho_1 \;\Big|\; \sigma^4 = \sigma_1^2 = 1, \qquad \begin{aligned} \sigma_1(\sigma) &= \sigma^{-1} \\ \sigma_1(\rho_1) &= \rho_1^{-1} \\ \sigma^2(\rho_1) &= \rho_1 \end{aligned}\] $\sigma_2 = \sigma_1\sigma^2$ ($\sigma^2$ central) commute à $\sigma_1$ ; $\sigma_1\sigma_2 =$

$\sigma_2(\rho_1) =$

$\sigma^2$ — un cercle traversé par deux diamètres perpendiculaires ; plus bas, un hexagone dont les côtés ne se rejoignent pas, et un cercle portant les points $a_1, c_0, b_0, a_0, c_3, b_3, a_3, c_2, b_2, a_2, c_1, b_1$, traversé de deux droites pleines et de segments en pointillés. \[\left\{ \begin{aligned} \sigma_1 e_1 &= e_1 \\ e_1 e_2 &= -e_2 \end{aligned} \right. \qquad \left\{ \begin{aligned} \sigma_2 e_1 &= -e_1 \\ \sigma_2 e_2 &= e_2 \end{aligned} \right. \qquad \left\{ \begin{aligned} \sigma e_1 &= e_2 \\ \sigma e_2 &= -e_1 \end{aligned} \right.\] « $e_1 e_2 = -e_2$ » tel quel ; on attend $\sigma_1 e_2 = -e_2$. \[\rho_1 e_1 = e_1, \qquad \rho_1 e_2 = e_2 - e_1\] dans la dernière formule, un premier second membre biffé. \[\tau' = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \tau'' = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \tau_\infty, \qquad \sigma = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\] \[\rho_0 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \sigma(\varepsilon_0) = \rho(\varepsilon_0) = \varepsilon_1\] $\tau''$ est écrit sur un $\tau_2$ biffé ; la lecture de l'indice de $\rho_0$, écrit sur une autre lettre, est douteuse.

Le groupe $D_\infty \times \mu$ agissant sur le cylindre

169\[(z, s) \longrightarrow (\varepsilon z \exp 2i\pi a s, \ \varepsilon' s), \qquad \varepsilon, \varepsilon' \in \mu, \quad a \in \mathbb{Q}\] un cylindre couché traversé par un axe vertical. \[\bigl(z \exp 2i\pi a s\bigr)^{(-1)^\nu}, \quad \varepsilon s\] $\varepsilon \ \varepsilon'$ $D_\infty \times \mu$

Dans un cadre : $\varepsilon = 1$ ; $\varepsilon = 1$, $\varepsilon' = -1$.

un cylindre couché, traversé d'un axe, avec un segment oblique à l'intérieur. \[\begin{aligned} \sigma_1(z, s) &= (z^{-1}, s) \\ \sigma_2(z, s) &= (z, -s) \\ \theta(z, s) &= (z \exp 2i\pi s, s) \end{aligned} \qquad \mathbf{a}(z, s) = (-z, -s)\] la lettre $\mathbf{a}$ est soulignée sur la page ; elle est rendue ici en gras. Dans $\sigma_2(z,s)$, le signe devant $s$ surcharge un autre caractère ; devant $\theta$, une lettre biffée.

Encadré : \[\begin{gathered} \mathbf{a}^2 = \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = 1, \qquad \sigma_1\sigma_2 = \sigma_2\sigma_1, \quad \mathbf{a}\sigma_1 = \sigma_1\mathbf{a} \\ \sigma_1(\theta) = \theta^{-1}, \qquad \sigma_2(\theta) = \theta^{-1} \\ \mathbf{a}(\theta) = \theta^{-1} \end{gathered}\] \[\mathbf{a}, \ \alpha, \ \beta, \ \theta\] \[\begin{gathered} (z^{-1} \exp 2i\pi s, \ s) \\ (z \exp -2i\pi s, \ s) \\ z \exp -2i\pi s, \ {+s} \\ -z \exp -2i\pi s, \ -s \\ z \exp -2i\pi s, \ s) \end{gathered}\]

Composition dans une extension ; l'élément $\tilde\eta$

172\[a \xrightarrow{\ l\ } \gamma^{-1}(a), \qquad a \xrightarrow{\ l'\ } \gamma'^{-1}(a)\] \[(\gamma, l)(\gamma', l') = \bigl(\gamma\gamma', \ \gamma'^{-1}(l) \circ l'\bigr)\] \[(\gamma . l)(\gamma' . l') = (\gamma\gamma')\,\underbrace{\gamma'^{-1}\, l\, \gamma'}\, l'\] \[a \longrightarrow (\gamma\gamma')^{-1}a = \gamma'^{-1}(\gamma^{-1}a), \qquad a \xrightarrow{\ l'\ } \gamma'^{-1}a \xrightarrow{\ \gamma'^{-1}(l)\ } (\gamma\gamma')^{-1}a\] ces trois lignes sont au crayon, plus pâles que la suite. \[\tilde u\,\tilde v\,\tilde u^{-1}\,\tilde v^{-1}\] chemins $\gamma a \xrightarrow{l} a \to \gamma^{-1}a$ et $\gamma' a \xrightarrow{l'} a$ ; puis $\gamma\gamma' a \xrightarrow{\gamma(l')} \gamma(a) \xrightarrow{l} a$, et, biffé, $\gamma'(l') \to \gamma'(a)$, $e'$. \[(\gamma, l)(\gamma', l') = \bigl(\gamma\gamma', \ l \circ \gamma(l')\bigr)\] $l \circ \gamma(l')$ est écrit au-dessus d'une première expression biffée. \[1 \longrightarrow \pi \longrightarrow E \longrightarrow G \longrightarrow 1\] \[(l, \gamma)(l', \gamma') = (l . \gamma(l'))\] Encadré : \[(l, \gamma)(l', \gamma') = \bigl(l . \gamma(l'), \ \gamma\gamma'\bigr)\] \[\text{\struck{$u \longmapsto u$, $a = \varepsilon_3(\tau')\alpha^{-1}u$, $b = \beta^{-1}u$}} \qquad \begin{aligned} \alpha &= u\,\mathbf{a}^{-1}\varepsilon_3(\tau') \\ \beta &= u\,\mathbf{b}^{-1} \end{aligned}\] ici et plus bas, les lettres soulignées $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{u}$ sont rendues en gras. Le symbole $\mathfrak{z}$ transcrit une lettre en forme de 3 bouclé, qui note l'image dans $G$ d'un élément de $\widehat{\mathbb{Z}}$ (cf. p. 174). \[\begin{aligned} \tilde\eta &= \tilde\beta\,\tilde\sigma\,(\tilde\beta)^{-1} &&= \eta_0\,\mathfrak{z}(6\nu) \\ \tilde\sigma(\tilde\eta) &= \tilde\sigma(\tilde\beta)\,\tilde\beta^{-1} = \tilde\eta^{-1} &&= \tilde\sigma(\eta_0)\,\mathfrak{z}(6\nu) = \eta_0^{-1}\mathfrak{z}(6\nu) \end{aligned}\] $\tilde\sigma^2$ ne commute à $\tilde\beta$ que si $\nu_2 = 0$, i.e. $\nu = 2\nu'$. \[\begin{aligned} \tilde\eta = \eta_0 = [\beta_0, \sigma_0] &= \beta_0(\sigma_0)\sigma_0^{-1} = \mathbf{u}(\sigma_0)\sigma_0^{-1}, \qquad \tilde\sigma = \sigma_0\,\mathfrak{z}(3) \end{aligned}\] \[\text{\struck{$\tilde\eta = u(\tilde\sigma)\tilde\sigma^{-1} = u($}}\] \[\begin{aligned} \tilde\eta = \mathbf{u}(\tilde\sigma)\,\tilde\sigma^{-1} &= \mathbf{u}(\sigma_0)\,\mathfrak{z}(3\mu)\,\sigma_0^{-1}\,\mathfrak{z}(-3) \\ &= \mathbf{u}(\sigma_0)\,\sigma_0^{-1}\,\mathfrak{z}\bigl(\underbrace{3(\mu - 1)}_{6\nu}\bigr) \end{aligned}\] \[\beta(\tilde\sigma) = u(\tilde\sigma), \qquad \beta(\tilde\sigma) = \beta(\sigma_0)\,\mathfrak{z}(3)\] au bas de la page, sous $u(\tilde\sigma)$, un signe $=$ vertical suivi d'un trait inachevé.

173\[\tilde\eta = \eta_0, \qquad \tilde\xi = \xi_0\] \[\begin{aligned} \tilde u(\tilde\varepsilon_0) = \tilde u(\tilde\sigma\tilde\rho) &= \mathfrak{z}(\nu')\,\tilde\eta\,\tilde\sigma\,\mathfrak{z}(-\nu'')\,\tilde\xi\,\tilde\rho \\ &= \mathfrak{z}(\nu' - \nu'')\,\underbrace{\eta_0\,\sigma(\xi_0)}_{l_0^{\nu}}\, \underbrace{\tilde\sigma\tilde\rho}_{\sigma_0\rho_0\mathfrak{z}(1) = \varepsilon_0\mathfrak{z}(1)} \\ &= \mathfrak{z}(\nu' - \nu'')\,\underbrace{l_0^{\nu}}_{\varepsilon_0^{2\nu}}\,\varepsilon_0\,\mathfrak{z}(1) \\ &= \mathfrak{z}(1 + \nu' - \nu'')\,\varepsilon_0^{2\nu+1} \\ &= \mathfrak{z}(1 + \nu' - \nu'')\,\underbrace{\varepsilon_0^{\mu}}_{\tilde\varepsilon_0^{\mu}\mathfrak{z}(-\mu)} \end{aligned}\] à la première ligne, un symbole biffé devant $\mathfrak{z}(\nu')$ ; à la quatrième, un facteur biffé devant $\varepsilon_0^{2\nu+1}$.

Encadré : \[\tilde u(\tilde\varepsilon_0) = \mathfrak{z}(\nu' - \nu'' - 2\nu)\,\tilde\varepsilon_0^{\mu}\] \[\begin{aligned} &\underbrace{\nu' - \nu''}_{-\nu_2\nu_3 + \nu_0} = 2\nu \\ &-\nu_2\nu_3 + \nu_0 = 2(2\nu_3 - 3\nu_2 - 6\nu_2\nu_3 + 6\nu_0) \\ &11\nu_0 = 0, \qquad \nu_0 = 0 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \tilde u_1(\tilde\varepsilon_0) &= \mathfrak{z}(\nu_1' - \nu_1'' - 2\nu_1)\,\tilde\varepsilon_0^{\mu_1} \\ \tilde u_1\tilde u(\tilde\varepsilon_0) &= \mathfrak{z}\bigl(\mu_1(\nu' - \nu'' - 2\nu)\bigr)\,\tilde u_1(\tilde\varepsilon_0^{\mu}) \end{aligned}\] le facteur $2\nu$ de l'encadré surcharge une première écriture. La ligne $11\nu_0 = 0$ ne se déduit pas telle quelle de la précédente ; elle est transcrite comme elle est écrite.

Construction

174Construction. Soit \[(1) \qquad G = Gl(2, \widehat{\mathbb{Z}}) . \widehat{\mathbb{Z}} \qquad \text{(produit semi-direct)}\] où $Gl(2, \widehat{\mathbb{Z}})$ opère sur $\widehat{\mathbb{Z}}$ par \[(2) \qquad u . \lambda = \det(u)\,\lambda\] Considérons […] Pour $u \in Gl(2, \widehat{\mathbb{Z}})$, on désigne par $u_G$ son image dans $G$, et pour $\lambda \in \widehat{\mathbb{Z}}$, on désigne par $\mathfrak{z}(\lambda)$ son image dans $G$. « produit ½ direct » sur la page. La lecture $u_G$ est douteuse. \[(3) \qquad \left\{ \begin{aligned} &Sl(2, \mathbb{Z})^{\sim} \longrightarrow G \\ &\tilde\rho \longmapsto \rho_0 . \mathfrak{z}(-2) \\ &\tilde\sigma \longmapsto \sigma_0 . \mathfrak{z}(3) \\ &\Bigl[\ \tilde\omega_0 = \tilde\rho^{-3} = \tilde\sigma^2 \longmapsto \omega_0 . \mathfrak{z}(6), \quad l'_0 = \tilde\omega_0^{2} \longmapsto \mathfrak{z}(12)\ \Bigr] \\ &\tilde r_0 = \tilde\tau' \longmapsto r_0 \end{aligned} \right.\] dans $\tilde\sigma \mapsto \sigma_0 . \mathfrak{z}(3)$, le $3$ surcharge un premier chiffre ; devant $r_0$, une lettre biffée.

Soit le sous-groupe $SG$ une première écriture $Sl(2,\mathbb{Z}) \ldots$ biffée \[(4) \qquad SG = Sl(2, \widehat{\mathbb{Z}}) . \widehat{\mathbb{Z}}\] image par l'inverse de $Sl(2, \widehat{\mathbb{Z}})$ dans $G$, opérant admet comme centre $\mu \times \widehat{\mathbb{Z}}$ — il s'ensuit que l'opération de $G$ sur $SG$ par automorph. int. se factorise en une opération de $G/\widehat{\mathbb{Z}}^{\ast} \simeq Gl(2, \widehat{\mathbb{Z}})$ sur $SG$, donc si $\alpha \in Gl(2, \widehat{\mathbb{Z}})$, $x \in SG$, $\alpha(x) = \alpha x \alpha^{-1}$ est défini […], à savoir $\tilde\alpha x \tilde\alpha^{-1}$, où $\tilde\alpha$ est un relèvement arbitraire de $\alpha$ dans $G$ : \[(5) \qquad \alpha(x) \text{ ou } \alpha x \alpha^{-1} \overset{\text{déf}}{=} \tilde\alpha(x) = \tilde\alpha x \tilde\alpha^{-1} = \alpha_0(x) = \alpha_0 x \alpha_0^{-1}.\] Considérons \[(6) \qquad \left\{ \begin{aligned} &\beta \in Sl(2, \widehat{\mathbb{Z}}), \qquad \beta = \mathbf{u}\,b^{-1}, \quad \mathbf{u} = \begin{pmatrix} \mu & \lambda \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad b \in \mathrm{Cent}(L_\sigma) \\ &\text{i.e.}\quad \beta = \mathbf{u}\,(t\sigma + u)^{-1} \end{aligned} \right.\] \[\left| \begin{aligned} &\nu_2 \in \{0, 1\}, \quad t^2 + u^2 = \mu \in \widehat{\mathbb{Z}}^{\ast} \\ &t, u \in \widehat{\mathbb{Z}} \end{aligned} \right.\] après $Sl(2,\widehat{\mathbb{Z}})$, un mot raturé ; sous $\mathbf{u}$, une ligne biffée ; sous $\mathrm{Cent}(L_\sigma)$, la précision $(Gl(2,\widehat{\mathbb{Z}}))$. La lecture $\mathrm{Cent}$ est douteuse.

Considérons un rel. $\tilde\beta$ de $\beta$ dans $SG$ (p. ex. $\tilde\beta = \beta_0$), d'où \[(7) \qquad \tilde\eta \overset{\text{déf}}{=} [\tilde\beta, \tilde\sigma] = \tilde\beta\,\tilde\sigma\,(\tilde\beta)^{-1} = \tilde\beta(\tilde\sigma)\,\tilde\sigma^{-1} = \beta(\tilde\sigma)\,\tilde\sigma^{-1}\] devant $[\tilde\beta, \tilde\sigma]$, une première écriture raturée.

On a \[\sigma(\tilde\eta) = \tilde\sigma(\tilde\eta) = \tilde\sigma(\tilde\beta)\,\underbrace{\tilde\sigma^2(\tilde\beta)^{-1}} =\] au-dessus du premier $=$, un « (déf) » biffé. La ligne s'arrête là, au bas du feuillet.

176Encadré : \[\left\{ \begin{aligned} &\tilde u(\tilde\rho) = \lambda'\,\tilde\xi\,\tilde\rho \\ &\tilde u(\tilde\sigma) = \lambda''\,\tilde\eta\,\tilde\sigma \\ &\tilde u(\tilde\omega_0) = \tilde\omega_0^{\mu} \\ &\tilde u(\tilde\varepsilon_0) \overset{?}{=} \tilde\varepsilon_0^{\mu} \end{aligned} \right. \quad\Longleftrightarrow\quad \underbrace{\nu' - \nu''}_{-\nu_2\nu_3 + \nu_0} = 2\nu \quad (\text{i.e. } \nu_0 = 0 \text{ si } \nu_2 = \nu_3 = 0)\] $\lambda', \lambda'' \in$ $\widehat{Z}_{1,1}$. dans la deuxième ligne de l'encadré, $\lambda''$ surcharge une autre lettre ; sous l'accolade, une ligne biffée.

Ext des gr. de $\mathcal{M}_{0,3}[0]$ dans $Sl(2, \mathbb{Z})^{\wedge}$ : $Sl(2, \mathbb{Z})^{\sim\wedge}$

Relations \[\left\{ \begin{aligned} &\tilde\rho^{-3} = \tilde\sigma^2 = \tilde\omega_0 \\ &\tilde\varepsilon_0 = \tilde\sigma\tilde\rho \end{aligned} \right. \qquad \text{N.B. on pose } l'_0 = \tilde\omega_0^2\] $\lambda'$, $\lambda''$ déterminés par \[\text{\struck{$\underbrace{\tilde\eta\,\tilde\sigma(\tilde\eta)}_{\in \widehat{Z}_{1,1}}\,\lambda''^2 = l_0\,\tilde\omega_0^{2\nu}$, \quad $\underbrace{\tilde\xi\,\rho(\tilde\xi)\,\rho^2(\tilde\xi)}_{\in Z_{1,1}}\,\lambda'^3 = \tilde\omega_0^{2\nu}$}}\] ce passage est barré d'une grande croix ; un terme raturé après $\tilde\sigma(\tilde\eta)$. \[\begin{aligned} \tilde u(\tilde\rho) &= \lambda'\,\mathrm{int}(\tilde\alpha)(\tilde\rho) \\ \tilde u(\tilde\rho^3) &= \lambda'^3\,\mathrm{int}(\tilde\alpha)(\underbrace{\tilde\rho^3}_{\tilde\omega_0^{-1}}) = \lambda'^3\,\tilde\omega_0^{-\varepsilon_3} \overset{?}{=} \tilde u(\tilde\omega_0^{-1}) = \tilde\omega_0^{-\mu} \\ \lambda'^3 &= \tilde\omega_0^{-(\mu - \varepsilon_3)} \end{aligned}\] à la fin de la dernière ligne, $= \tilde\omega_0^{-2\nu}$ biffé.

Encadré : \[\begin{aligned} \lambda' &= \tilde\omega_0^{-\frac{\mu - \varepsilon_3}{3}} = \tilde\omega_0^{-2\nu''} = l'^{-\nu''}_0 \\ \lambda'' &= \tilde\omega_0^{\frac{\mu - \varepsilon_2}{2}} = \omega_0^{2\nu'} = l'^{\nu'}_0 \end{aligned}\] \[\lambda'\lambda'' = \omega_0^{\frac{\mu - 3\varepsilon_2 + 2\varepsilon_3}{6}}\] les égalités à droite de l'encadré sont serrées dans la marge et surchargées ; leur lecture est douteuse. \[\text{\struck{$\tilde u(\tilde\sigma) = \lambda''\,\mathrm{int}(\tilde\beta)(\tilde\sigma)$}}\] \[\text{\struck{$\tilde u(\tilde\sigma^2) = \lambda''^2\,\mathrm{int}(\tilde\beta)(\tilde\sigma^2) = \lambda''^2\,\tilde\omega_0^{\varepsilon_2}$}} \;\text{\struck{$\overset{?}{=} \tilde u(\tilde\omega_0) = \tilde\omega_0^{\mu}$}}\] \[\begin{aligned} \tilde u(\tilde\varepsilon_0) &= \tilde u(\tilde\sigma)\,\tilde u(\tilde\rho) = \lambda''\,\tilde\eta\,\tilde\sigma\,\lambda'\,\tilde\xi\,\tilde\rho = \lambda''\,\tilde\eta\,\tilde\sigma(\lambda'\tilde\xi)\,\tilde\sigma\tilde\rho \\ &= \lambda''\,\tilde\eta . \sigma(\lambda'\tilde\xi)\,\tilde\varepsilon_0 \overset{?}{=} \tilde\varepsilon_0^{\mu} \end{aligned}\] \[\lambda''\,\tilde\eta\,\sigma(\lambda'\tilde\xi) \overset{?}{=} \tilde l_0^{\nu}\] \[(\lambda'\lambda'')\,\underbrace{\sigma(\tilde\eta)\,\tilde\xi}_{\tilde\eta^{-1}\tilde\xi} \overset{?}{=} \tilde l_1^{\nu} \qquad \begin{aligned} \tilde\eta &= \tilde\beta\,\sigma(\tilde\beta^{-1}) \\ \sigma(\tilde\eta) &= \sigma(\tilde\beta)\,\tilde\beta^{-1} = \tilde\eta^{-1} \end{aligned}\] Encadré : \[(\lambda'\lambda'') \overset{?}{=} \tilde\xi^{-1}\,\tilde\eta\,\tilde l_1^{\nu} \quad ?\] dans l'encadré, un terme raturé après $(\lambda'\lambda'')$ ; le $\tilde\xi$ est surchargé.

Les groupes $\Gamma^{!+}_{g,\nu}$ et leurs sous-groupes canoniques

179\[\begin{array}{ccccccccc} \mathfrak{S}_\nu & & \mathfrak{S}_{\nu-1} & & \mathfrak{S}_5 & & \mathfrak{S}_4 & & \\ \Gamma^{!+}_{0,\nu} & \longrightarrow & \Gamma^{!+}_{0,\nu-1} & \cdots & \Gamma^{!+}_{0,5} & \longrightarrow & \Gamma^{!+}_{0,4} & \longrightarrow & \Gamma^{!+}_{0,3} \\ \cup & & \cup & & \cup & & \wr & & \| \\ & & & & & & Sl(2,\mathbb{Z})/\pm 1 & & \{1\} \\ & & & & & & \cup & & \\ \Pi_{0,\nu-1} & & \Pi_{0,\nu-2} & \cdots & \Pi_{0,4} & & \Pi_{0,3} & & \\ \cup & & \cup & & \cup & & \cup & & \\ L_0^{(0,\nu-1)} & & L_0^{(0,\nu-1)} & & L_0^{(0,4)} & & L_0^{(0,3)} & & \end{array}\] les $\mathfrak{S}_\nu, \ldots, \mathfrak{S}_4$ sont écrits au-dessus des groupes. Sous $\Gamma^{!+}_{0,3}$, un premier groupe raturé, remplacé par $\{1\}$. Le deuxième exposant $(0, \nu - 1)$ est tel qu'on le lit ; on attendrait $(0, \nu - 2)$.

Dans $\Gamma^{!+}_{0,\nu}$ ⌜$(\nu \geq 4)$⌝, sous-groupes canoniques nilpotents commutatifs ⌜libres⌝ de rang $\nu - 3$ (i.e. $\simeq \mathbb{Z}^{\nu-3}$).

une rangée de points numérotés $0, 1, 2, 3, \ldots, \nu - 1, \nu$ ; au-dessous, un cercle contenant deux points, puis deux points isolés marqués $1$ et $\infty$. \[k[x_1, x_2, \ldots, x_\nu] \subset k\{x_1\}\{x_2\} \cdots \{x_\nu\}\] un terme raturé entre $\{x_1\}$ et les points de suspension. \[\begin{array}{ccccccc} \Gamma^{!+}_{1,\nu} & \longrightarrow & \cdots & \Gamma^{!+}_{1,3} & \longrightarrow & \Gamma^{!+}_{1,2} \longrightarrow & \Gamma^{!+}_{1,1} \\ & & & \cup & & \cup & \wr \\ \Pi_{1,\nu-1} & & & \Pi_{1,2} & & \Pi_{1,1} & Sl(2,\mathbb{Z}) \\ \cup & & & \cup & & \cup & \cup \\ L_0^{(1,\nu-1)} & & & L_0^{(1,2)} & & L_0^{(1,1)} & L_0^{\ill{}} \end{array}\] Dans $\Gamma^{!+}_{1,\nu}$ $(\nu \geq 1)$, sous-groupes can. nilpotents […] […] de rang $\nu$.

$g \geq 2$, $\nu \geq 0$ \[\begin{array}{cccccc} \Gamma^{!+}_{g,\nu} \longrightarrow \cdots & & \Gamma^{!+}_{g,2} & \longrightarrow \Gamma^{!+}_{g,1} & \longrightarrow \Gamma^{!+}_{g,0} & \\ \cup & & \cup & \cup & \cup & \\ \Pi_{g,\nu-1} & \cdots & \Pi_{g,1} & \Pi_g & \Delta_g \simeq \mathbb{Z}^g & \\ \cup & & \cup & \cup & & \\ L_0^{(g,\nu-1)} & & L_0^{(g,1)} & \Lambda_g\ (\simeq \mathbb{Z}) & & \\ & & & ? & & \end{array}\] Sous-groupes canoniques nilpotents maximaux de rang $3g + \nu$. la lettre $\Delta_g$ (tracée en gras) est d'une lecture douteuse. L'exposant de $\Gamma^{!+}_{g,\nu}$ est écrit « $!+1$ ». Le chiffre devant $g$ dans « rang $3g+\nu$ » surcharge un autre chiffre ; la lecture est douteuse. Au bas de la page, une formule entièrement biffée, illisible, se terminant par $\frac{(\nu - 1)g}{2}$ environ.

Le groupe \(\Gamma_{1,1}\) : générateurs \(\tau'\), \(\tau''\), \(\sigma\), \(\rho'\), \(\rho''\)

Le groupe \(D_\infty \times \mu\) agissant sur le cylindre

Composition dans une extension ; l'élément \(\tilde\eta\)

Construction

Les groupes \(\Gamma^{!+}_{g,\nu}\) et leurs sous-groupes canoniques