Le groupe
\Gamma_{1,1} : générateurs
\tau',
\tau'',
\sigma,
\rho',
\rho''
Le feuillet commence au milieu d'un calcul : les objets X', X'', \varepsilon_0, \varepsilon_1, \omega sont introduits avant ce lot.
à gauche, un parallélépipède en pointillés, flèches le long des arêtes ; au centre, un cylindre (anneau) avec deux arcs X' (en dessus) et X'' (le long du cylindre), les points a_0, a_1, a_2, a_3, deux vecteurs e', e'' issus de a_0 et une flèche de rotation \sigma ; au-dessus, une petite croix fléchée.
\begin{array}{ll}
X'_{\xi} & \varepsilon_0(X') \xrightarrow{\ \sim\ } \varepsilon_1(X'') \\
X''_{\xi} & \varepsilon_1(X') \xleftarrow{\ \sim\ } \varepsilon_0(X'') \\
\hline
& \omega(X') \simeq \omega(X'')
\end{array}
\qquad \Longrightarrow
sous la dernière ligne, une flèche vers \omega(X' \wedge X''), avec un signe (-) entouré et la mention « anticommutatif ».
\tau', \tau'', \sigma ne dépendent pas du « choix d'orientations ».
e', e'' fixent les orientations et aussi une 2-orientation
d'où \rho', \rho'' :
\left\{
\begin{aligned}
&\tau'(\rho') = \tau''(\rho') = \rho'^{-1} \\
&\tau'(\rho'') = \tau''(\rho'') = \rho''^{-1} \\
&\sigma(\rho') = \rho'', \quad \sigma\rho'' = \rho'
\end{aligned}
\right.
\qquad
\begin{aligned}
\rho'(e') &= e' \\
\rho'(e'') &= e' + e''
\end{aligned}
\tau', \tau'', \sigma, \rho', \rho'' \tau'' et \sigma soulignés ; un \sigma biffé dessous.
\begin{aligned}
\rho' &\longmapsto \varepsilon_0 \\
\rho'' &\longmapsto \varepsilon_1 \\
\tau'' &\longmapsto \tau_\infty = \tau = r_\infty \\
\tau' &\longmapsto \omega_0 \tau_\infty = -\tau \\
\sigma &\longmapsto \sigma_\infty = \sigma
\end{aligned}
\qquad
\left\{
\begin{aligned}
&\tau'^2 = \tau''^2 = \sigma^4 = 1, \quad \sigma^2 = \tau'\tau'' \\
&\tau'(\rho') = \tau''(\rho') = \rho'^{-1}, \quad \tau'(\rho'') = \tau''(\rho'') = \rho''^{-1} \\
&\sigma(\rho') = \rho'' \quad (\Rightarrow \sigma(\rho'') = \rho')
\end{aligned}
\right.
à la fin de la première ligne de l'accolade, \sigma(\rho') = \rho biffé.
(\sigma\rho')^3 \neq 1 dans \Gamma^{+}_{1,1} (mais = 1 dans un groupe spécial).
le signe entre (\sigma\rho')^3 et 1 est surchargé ; la lecture \neq est douteuse.
\begin{aligned}
\sigma^{-1}\rho' = \sigma^3\rho' &\longmapsto \sigma^3\varepsilon_0 = \sigma^3(\sigma\rho) = \rho \\
\tau''\sigma &\longmapsto \tau'_\infty = r_0 \\
\tau''\rho' = \underbrace{(\tau''\sigma)}_{\mapsto r_0}\underbrace{(\sigma^{-1}\rho')}_{\mapsto \rho} &\longmapsto r_1
\end{aligned}
Encadré :
\begin{array}{l|l}
\tau'' \longmapsto r_\infty & \rho' \longmapsto \varepsilon_0 \\
\tau''\sigma \longmapsto r_0 & \sigma \longmapsto \sigma \\
\tau''\rho' \longmapsto r_1 & \sigma^{-1}\rho' \longmapsto \rho
\end{array}
à gauche, un tore dessiné en perspective, avec deux cercles méridiens et des courbes en pointillés ; à droite, un carré de sommets a_0, a_1, a_2, a_3 (côté a_0a_1 fléché), un petit carré intérieur, deux axes fléchés e' (horizontal) et e'' (vertical), avec les légendes \tau' = \mathrm{id} et \tau'' = \ill{}.
\mathfrak{X} = (X, X', X''), \mathcal{E}(\mathfrak{X}).
\{X', X''\} = ens. des codiagonales du carré
\varepsilon_0(X') \simeq ens. des deux côtés opposés du carré qui correspondent à la X''
\varepsilon_1(X') \simeq ens. des deux côtés opposés du carré qui correspondent à X'
\begin{aligned}
\varepsilon_0(X') \times \varepsilon_1(X') &\simeq \text{ens. des \struck{côtés} \add{\uncertain{sommets}} du carré} \\
&\simeq \varepsilon_1(X'') \times \varepsilon_0(X'') \\
&\simeq \varepsilon_0(X') \times \varepsilon_0(X'') \\
&\simeq \varepsilon_1(X') \times \varepsilon_1(X'')
\end{aligned}
avant la dernière ligne, un début \simeq \varepsilon_0(X'') \times \ldots biffé. En bas à gauche : \mathcal{E}(\mathfrak{X}) suivi de \varepsilon_0(X') biffé, et un mot biffé .
\left\{
\begin{aligned}
&\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = (\sigma_1\sigma_2)^2 = 1 \\
&\rho_1, \rho_2
\end{aligned}
\right.
\qquad
\sigma_i\rho_j = \rho_j^{-1}
\tilde\tau\tilde\rho = \tilde\rho^{-1}, \qquad \tilde\tau\tilde\sigma = \tilde\sigma^{-1}, \qquad \tilde\rho^3 -
un cylindre ; au-dessous, un empilement de boîtes en perspective avec des axes x, y ; à gauche, un cylindre sur lequel est collée une anse, avec une flèche de rotation et deux vecteurs e_1, e_2 ; plus bas, un parallélépipède hachuré avec les points a_0, a_1, a_2, a_3, b_0, b_1, b_2, b_3, c_0, c_1, c_2, c_3 ; à côté, \sigma\varphi et D_\sigma (un premier mot biffé).
x \longmapsto -x, \qquad y \longmapsto y, \qquad (x, y, z) \longmapsto ix,
(z, t) \longrightarrow (iz, -t)
Encadré :
\sigma^2 = \sigma_1\sigma_2 = \sigma_2\sigma_1
\sigma_1^2 = \sigma_2^2 \ (= \sigma^4) = 1
\sigma_1(\sigma) = \sigma^{-1}, \qquad \sigma_2(\sigma) = \sigma^{-1} \quad ?
\text{\struck{$(\sigma_1, \sigma_2)$}} \qquad \text{\struck{$(\sigma_1\sigma_2)^2$}}
\sigma_2 = \sigma_1\sigma^2 = \sigma^2\sigma_1
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{aligned}
\sigma(z, t) &= (iz, -t) \\
\sigma_1(z, t) &= (\bar z, t) \\
\sigma_2(z, t) &= (-\bar z, t)
\end{aligned}
(z, t) \longmapsto (\bar z, t) \longmapsto (i\bar z, -t) \longmapsto (-iz, -t)
\sigma_1, \sigma_2, \sigma, \rho_1, \rho_2
\left.
\begin{aligned}
&\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = (\sigma_1\sigma_2)^2 = 1 \\
&\sigma_1\sigma_2 = \sigma^2, \quad \sigma_1(\sigma) = \sigma_2(\sigma) = \sigma^{-1}
\end{aligned}
\right\}
\quad D_\sigma \simeq D_4
D_\sigma engendré par \sigma_1, \sigma_2, \sigma.
\left.
\begin{aligned}
&\sigma_i(\rho_j) = \rho_j^{-1} \\
&\sigma(\rho_1) = \rho_2
\end{aligned}
\right|
\Longrightarrow \sigma(\rho_2) = \rho_1
\sigma : D_\sigma \ast_{D_{\sigma_1}} D_{\rho_1} (D_{\rho_1} engendré par \rho_1, \sigma_1)
Encadré :
\sigma, \sigma_1, \rho_1 \;\Big|\; \sigma^4 = \sigma_1^2 = 1, \qquad
\begin{aligned}
\sigma_1(\sigma) &= \sigma^{-1} \\
\sigma_1(\rho_1) &= \rho_1^{-1} \\
\sigma^2(\rho_1) &= \rho_1
\end{aligned}
\sigma_2 = \sigma_1\sigma^2 (\sigma^2 central) commute à \sigma_1 ; \sigma_1\sigma_2 =
\sigma_2(\rho_1) =
\sigma^2 — un cercle traversé par deux diamètres perpendiculaires ; plus bas, un hexagone dont les côtés ne se rejoignent pas, et un cercle portant les points a_1, c_0, b_0, a_0, c_3, b_3, a_3, c_2, b_2, a_2, c_1, b_1, traversé de deux droites pleines et de segments en pointillés.
\left\{
\begin{aligned}
\sigma_1 e_1 &= e_1 \\
e_1 e_2 &= -e_2
\end{aligned}
\right.
\qquad
\left\{
\begin{aligned}
\sigma_2 e_1 &= -e_1 \\
\sigma_2 e_2 &= e_2
\end{aligned}
\right.
\qquad
\left\{
\begin{aligned}
\sigma e_1 &= e_2 \\
\sigma e_2 &= -e_1
\end{aligned}
\right.
« e_1 e_2 = -e_2 » tel quel ; on attend \sigma_1 e_2 = -e_2.
\rho_1 e_1 = e_1, \qquad \rho_1 e_2 = e_2 - e_1
dans la dernière formule, un premier second membre biffé.
\tau' = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad
\tau'' = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \tau_\infty, \qquad
\sigma = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\rho_0 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad
\sigma(\varepsilon_0) = \rho(\varepsilon_0) = \varepsilon_1
\tau'' est écrit sur un \tau_2 biffé ; la lecture de l'indice de \rho_0, écrit sur une autre lettre, est douteuse.
Le groupe
D_\infty \times \mu agissant sur le cylindre
(z, s) \longrightarrow (\varepsilon z \exp 2i\pi a s, \ \varepsilon' s), \qquad \varepsilon, \varepsilon' \in \mu, \quad a \in \mathbb{Q}
un cylindre couché traversé par un axe vertical.
\bigl(z \exp 2i\pi a s\bigr)^{(-1)^\nu}, \quad \varepsilon s
\varepsilon \ \varepsilon' D_\infty \times \mu
Dans un cadre : \varepsilon = 1 ; \varepsilon = 1, \varepsilon' = -1.
un cylindre couché, traversé d'un axe, avec un segment oblique à l'intérieur.
\begin{aligned}
\sigma_1(z, s) &= (z^{-1}, s) \\
\sigma_2(z, s) &= (z, -s) \\
\theta(z, s) &= (z \exp 2i\pi s, s)
\end{aligned}
\qquad
\mathbf{a}(z, s) = (-z, -s)
la lettre \mathbf{a} est soulignée sur la page ; elle est rendue ici en gras. Dans \sigma_2(z,s), le signe devant s surcharge un autre caractère ; devant \theta, une lettre biffée.
Encadré :
\begin{gathered}
\mathbf{a}^2 = \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = 1, \qquad \sigma_1\sigma_2 = \sigma_2\sigma_1, \quad \mathbf{a}\sigma_1 = \sigma_1\mathbf{a} \\
\sigma_1(\theta) = \theta^{-1}, \qquad \sigma_2(\theta) = \theta^{-1} \\
\mathbf{a}(\theta) = \theta^{-1}
\end{gathered}
\mathbf{a}, \ \alpha, \ \beta, \ \theta
\begin{gathered}
(z^{-1} \exp 2i\pi s, \ s) \\
(z \exp -2i\pi s, \ s) \\
z \exp -2i\pi s, \ {+s} \\
-z \exp -2i\pi s, \ -s \\
z \exp -2i\pi s, \ s)
\end{gathered}
Composition dans une extension ; l'élément
\tilde\eta
a \xrightarrow{\ l\ } \gamma^{-1}(a), \qquad a \xrightarrow{\ l'\ } \gamma'^{-1}(a)
(\gamma, l)(\gamma', l') = \bigl(\gamma\gamma', \ \gamma'^{-1}(l) \circ l'\bigr)
(\gamma . l)(\gamma' . l') = (\gamma\gamma')\,\underbrace{\gamma'^{-1}\, l\, \gamma'}\, l'
a \longrightarrow (\gamma\gamma')^{-1}a = \gamma'^{-1}(\gamma^{-1}a), \qquad
a \xrightarrow{\ l'\ } \gamma'^{-1}a \xrightarrow{\ \gamma'^{-1}(l)\ } (\gamma\gamma')^{-1}a
ces trois lignes sont au crayon, plus pâles que la suite.
\tilde u\,\tilde v\,\tilde u^{-1}\,\tilde v^{-1}
chemins \gamma a \xrightarrow{l} a \to \gamma^{-1}a et \gamma' a \xrightarrow{l'} a ; puis \gamma\gamma' a \xrightarrow{\gamma(l')} \gamma(a) \xrightarrow{l} a, et, biffé, \gamma'(l') \to \gamma'(a), e'.
(\gamma, l)(\gamma', l') = \bigl(\gamma\gamma', \ l \circ \gamma(l')\bigr)
l \circ \gamma(l') est écrit au-dessus d'une première expression biffée.
1 \longrightarrow \pi \longrightarrow E \longrightarrow G \longrightarrow 1
(l, \gamma)(l', \gamma') = (l . \gamma(l'))
Encadré :
(l, \gamma)(l', \gamma') = \bigl(l . \gamma(l'), \ \gamma\gamma'\bigr)
\text{\struck{$u \longmapsto u$, $a = \varepsilon_3(\tau')\alpha^{-1}u$, $b = \beta^{-1}u$}}
\qquad
\begin{aligned}
\alpha &= u\,\mathbf{a}^{-1}\varepsilon_3(\tau') \\
\beta &= u\,\mathbf{b}^{-1}
\end{aligned}
ici et plus bas, les lettres soulignées \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{u} sont rendues en gras. Le symbole \mathfrak{z} transcrit une lettre en forme de 3 bouclé, qui note l'image dans G d'un élément de \widehat{\mathbb{Z}} (cf. p. 174).
\begin{aligned}
\tilde\eta &= \tilde\beta\,\tilde\sigma\,(\tilde\beta)^{-1} &&= \eta_0\,\mathfrak{z}(6\nu) \\
\tilde\sigma(\tilde\eta) &= \tilde\sigma(\tilde\beta)\,\tilde\beta^{-1} = \tilde\eta^{-1} &&= \tilde\sigma(\eta_0)\,\mathfrak{z}(6\nu) = \eta_0^{-1}\mathfrak{z}(6\nu)
\end{aligned}
\tilde\sigma^2 ne commute à \tilde\beta que si \nu_2 = 0, i.e. \nu = 2\nu'.
\begin{aligned}
\tilde\eta = \eta_0 = [\beta_0, \sigma_0] &= \beta_0(\sigma_0)\sigma_0^{-1} = \mathbf{u}(\sigma_0)\sigma_0^{-1}, \qquad \tilde\sigma = \sigma_0\,\mathfrak{z}(3)
\end{aligned}
\text{\struck{$\tilde\eta = u(\tilde\sigma)\tilde\sigma^{-1} = u($}}
\begin{aligned}
\tilde\eta = \mathbf{u}(\tilde\sigma)\,\tilde\sigma^{-1}
&= \mathbf{u}(\sigma_0)\,\mathfrak{z}(3\mu)\,\sigma_0^{-1}\,\mathfrak{z}(-3) \\
&= \mathbf{u}(\sigma_0)\,\sigma_0^{-1}\,\mathfrak{z}\bigl(\underbrace{3(\mu - 1)}_{6\nu}\bigr)
\end{aligned}
\beta(\tilde\sigma) = u(\tilde\sigma), \qquad \beta(\tilde\sigma) = \beta(\sigma_0)\,\mathfrak{z}(3)
au bas de la page, sous u(\tilde\sigma), un signe = vertical suivi d'un trait inachevé.
\tilde\eta = \eta_0, \qquad \tilde\xi = \xi_0
\begin{aligned}
\tilde u(\tilde\varepsilon_0) = \tilde u(\tilde\sigma\tilde\rho)
&= \mathfrak{z}(\nu')\,\tilde\eta\,\tilde\sigma\,\mathfrak{z}(-\nu'')\,\tilde\xi\,\tilde\rho \\
&= \mathfrak{z}(\nu' - \nu'')\,\underbrace{\eta_0\,\sigma(\xi_0)}_{l_0^{\nu}}\,
\underbrace{\tilde\sigma\tilde\rho}_{\sigma_0\rho_0\mathfrak{z}(1) = \varepsilon_0\mathfrak{z}(1)} \\
&= \mathfrak{z}(\nu' - \nu'')\,\underbrace{l_0^{\nu}}_{\varepsilon_0^{2\nu}}\,\varepsilon_0\,\mathfrak{z}(1) \\
&= \mathfrak{z}(1 + \nu' - \nu'')\,\varepsilon_0^{2\nu+1} \\
&= \mathfrak{z}(1 + \nu' - \nu'')\,\underbrace{\varepsilon_0^{\mu}}_{\tilde\varepsilon_0^{\mu}\mathfrak{z}(-\mu)}
\end{aligned}
à la première ligne, un symbole biffé devant \mathfrak{z}(\nu') ; à la quatrième, un facteur biffé devant \varepsilon_0^{2\nu+1}.
Encadré :
\tilde u(\tilde\varepsilon_0) = \mathfrak{z}(\nu' - \nu'' - 2\nu)\,\tilde\varepsilon_0^{\mu}
\begin{aligned}
&\underbrace{\nu' - \nu''}_{-\nu_2\nu_3 + \nu_0} = 2\nu \\
&-\nu_2\nu_3 + \nu_0 = 2(2\nu_3 - 3\nu_2 - 6\nu_2\nu_3 + 6\nu_0) \\
&11\nu_0 = 0, \qquad \nu_0 = 0
\end{aligned}
\begin{aligned}
\tilde u_1(\tilde\varepsilon_0) &= \mathfrak{z}(\nu_1' - \nu_1'' - 2\nu_1)\,\tilde\varepsilon_0^{\mu_1} \\
\tilde u_1\tilde u(\tilde\varepsilon_0) &= \mathfrak{z}\bigl(\mu_1(\nu' - \nu'' - 2\nu)\bigr)\,\tilde u_1(\tilde\varepsilon_0^{\mu})
\end{aligned}
le facteur 2\nu de l'encadré surcharge une première écriture. La ligne 11\nu_0 = 0 ne se déduit pas telle quelle de la précédente ; elle est transcrite comme elle est écrite.
Construction
Construction. Soit
(1) \qquad G = Gl(2, \widehat{\mathbb{Z}}) . \widehat{\mathbb{Z}} \qquad \text{(produit semi-direct)}
où Gl(2, \widehat{\mathbb{Z}}) opère sur \widehat{\mathbb{Z}} par
(2) \qquad u . \lambda = \det(u)\,\lambda
Considérons Pour u \in Gl(2, \widehat{\mathbb{Z}}), on désigne par u_G son image dans G, et pour \lambda \in \widehat{\mathbb{Z}}, on désigne par \mathfrak{z}(\lambda) son image dans G.
« produit ½ direct » sur la page. La lecture u_G est douteuse.
(3) \qquad
\left\{
\begin{aligned}
&Sl(2, \mathbb{Z})^{\sim} \longrightarrow G \\
&\tilde\rho \longmapsto \rho_0 . \mathfrak{z}(-2) \\
&\tilde\sigma \longmapsto \sigma_0 . \mathfrak{z}(3) \\
&\Bigl[\ \tilde\omega_0 = \tilde\rho^{-3} = \tilde\sigma^2 \longmapsto \omega_0 . \mathfrak{z}(6), \quad
l'_0 = \tilde\omega_0^{2} \longmapsto \mathfrak{z}(12)\ \Bigr] \\
&\tilde r_0 = \tilde\tau' \longmapsto r_0
\end{aligned}
\right.
dans \tilde\sigma \mapsto \sigma_0 . \mathfrak{z}(3), le 3 surcharge un premier chiffre ; devant r_0, une lettre biffée.
Soit le sous-groupe SG une première écriture Sl(2,\mathbb{Z}) \ldots biffée
(4) \qquad SG = Sl(2, \widehat{\mathbb{Z}}) . \widehat{\mathbb{Z}}
image par l'inverse de Sl(2, \widehat{\mathbb{Z}}) dans G, opérant admet comme centre \mu \times \widehat{\mathbb{Z}} — il s'ensuit que l'opération de G sur SG par automorph. int. se factorise en une opération de G/\widehat{\mathbb{Z}}^{\ast} \simeq Gl(2, \widehat{\mathbb{Z}}) sur SG, donc si \alpha \in Gl(2, \widehat{\mathbb{Z}}), x \in SG, \alpha(x) = \alpha x \alpha^{-1} est défini
Considérons un rel. \tilde\beta de \beta dans SG (p. ex. \tilde\beta = \beta_0), d'où
(7) \qquad \tilde\eta \overset{\text{déf}}{=} [\tilde\beta, \tilde\sigma] = \tilde\beta\,\tilde\sigma\,(\tilde\beta)^{-1}
= \tilde\beta(\tilde\sigma)\,\tilde\sigma^{-1} = \beta(\tilde\sigma)\,\tilde\sigma^{-1}
devant [\tilde\beta, \tilde\sigma], une première écriture raturée.
On a
\sigma(\tilde\eta) = \tilde\sigma(\tilde\eta) = \tilde\sigma(\tilde\beta)\,\underbrace{\tilde\sigma^2(\tilde\beta)^{-1}} =
au-dessus du premier =, un « (déf) » biffé. La ligne s'arrête là, au bas du feuillet.
Encadré :
\left\{
\begin{aligned}
&\tilde u(\tilde\rho) = \lambda'\,\tilde\xi\,\tilde\rho \\
&\tilde u(\tilde\sigma) = \lambda''\,\tilde\eta\,\tilde\sigma \\
&\tilde u(\tilde\omega_0) = \tilde\omega_0^{\mu} \\
&\tilde u(\tilde\varepsilon_0) \overset{?}{=} \tilde\varepsilon_0^{\mu}
\end{aligned}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\underbrace{\nu' - \nu''}_{-\nu_2\nu_3 + \nu_0} = 2\nu
\quad (\text{i.e. } \nu_0 = 0 \text{ si } \nu_2 = \nu_3 = 0)
\lambda', \lambda'' \in \widehat{Z}_{1,1}.
dans la deuxième ligne de l'encadré, \lambda'' surcharge une autre lettre ; sous l'accolade, une ligne biffée.
Ext des gr. de \mathcal{M}_{0,3}[0] dans Sl(2, \mathbb{Z})^{\wedge} : Sl(2, \mathbb{Z})^{\sim\wedge}
Relations
\left\{
\begin{aligned}
&\tilde\rho^{-3} = \tilde\sigma^2 = \tilde\omega_0 \\
&\tilde\varepsilon_0 = \tilde\sigma\tilde\rho
\end{aligned}
\right.
\qquad \text{N.B. on pose } l'_0 = \tilde\omega_0^2
\lambda', \lambda'' déterminés par
\text{\struck{$\underbrace{\tilde\eta\,\tilde\sigma(\tilde\eta)}_{\in \widehat{Z}_{1,1}}\,\lambda''^2 = l_0\,\tilde\omega_0^{2\nu}$,
\quad $\underbrace{\tilde\xi\,\rho(\tilde\xi)\,\rho^2(\tilde\xi)}_{\in Z_{1,1}}\,\lambda'^3 = \tilde\omega_0^{2\nu}$}}
ce passage est barré d'une grande croix ; un terme raturé après \tilde\sigma(\tilde\eta).
\begin{aligned}
\tilde u(\tilde\rho) &= \lambda'\,\mathrm{int}(\tilde\alpha)(\tilde\rho) \\
\tilde u(\tilde\rho^3) &= \lambda'^3\,\mathrm{int}(\tilde\alpha)(\underbrace{\tilde\rho^3}_{\tilde\omega_0^{-1}})
= \lambda'^3\,\tilde\omega_0^{-\varepsilon_3} \overset{?}{=} \tilde u(\tilde\omega_0^{-1}) = \tilde\omega_0^{-\mu} \\
\lambda'^3 &= \tilde\omega_0^{-(\mu - \varepsilon_3)}
\end{aligned}
à la fin de la dernière ligne, = \tilde\omega_0^{-2\nu} biffé.
Encadré :
\begin{aligned}
\lambda' &= \tilde\omega_0^{-\frac{\mu - \varepsilon_3}{3}} = \tilde\omega_0^{-2\nu''} = l'^{-\nu''}_0 \\
\lambda'' &= \tilde\omega_0^{\frac{\mu - \varepsilon_2}{2}} = \omega_0^{2\nu'} = l'^{\nu'}_0
\end{aligned}
\lambda'\lambda'' = \omega_0^{\frac{\mu - 3\varepsilon_2 + 2\varepsilon_3}{6}}
les égalités à droite de l'encadré sont serrées dans la marge et surchargées ; leur lecture est douteuse.
\text{\struck{$\tilde u(\tilde\sigma) = \lambda''\,\mathrm{int}(\tilde\beta)(\tilde\sigma)$}}
\text{\struck{$\tilde u(\tilde\sigma^2) = \lambda''^2\,\mathrm{int}(\tilde\beta)(\tilde\sigma^2) = \lambda''^2\,\tilde\omega_0^{\varepsilon_2}$}}
\;\text{\struck{$\overset{?}{=} \tilde u(\tilde\omega_0) = \tilde\omega_0^{\mu}$}}
\begin{aligned}
\tilde u(\tilde\varepsilon_0) &= \tilde u(\tilde\sigma)\,\tilde u(\tilde\rho)
= \lambda''\,\tilde\eta\,\tilde\sigma\,\lambda'\,\tilde\xi\,\tilde\rho
= \lambda''\,\tilde\eta\,\tilde\sigma(\lambda'\tilde\xi)\,\tilde\sigma\tilde\rho \\
&= \lambda''\,\tilde\eta . \sigma(\lambda'\tilde\xi)\,\tilde\varepsilon_0 \overset{?}{=} \tilde\varepsilon_0^{\mu}
\end{aligned}
\lambda''\,\tilde\eta\,\sigma(\lambda'\tilde\xi) \overset{?}{=} \tilde l_0^{\nu}
(\lambda'\lambda'')\,\underbrace{\sigma(\tilde\eta)\,\tilde\xi}_{\tilde\eta^{-1}\tilde\xi} \overset{?}{=} \tilde l_1^{\nu}
\qquad
\begin{aligned}
\tilde\eta &= \tilde\beta\,\sigma(\tilde\beta^{-1}) \\
\sigma(\tilde\eta) &= \sigma(\tilde\beta)\,\tilde\beta^{-1} = \tilde\eta^{-1}
\end{aligned}
Encadré :
(\lambda'\lambda'') \overset{?}{=} \tilde\xi^{-1}\,\tilde\eta\,\tilde l_1^{\nu} \quad ?
dans l'encadré, un terme raturé après (\lambda'\lambda'') ; le \tilde\xi est surchargé.
Les groupes
\Gamma^{!+}_{g,\nu} et leurs sous-groupes canoniques
\begin{array}{ccccccccc}
\mathfrak{S}_\nu & & \mathfrak{S}_{\nu-1} & & \mathfrak{S}_5 & & \mathfrak{S}_4 & & \\
\Gamma^{!+}_{0,\nu} & \longrightarrow & \Gamma^{!+}_{0,\nu-1} & \cdots & \Gamma^{!+}_{0,5} & \longrightarrow & \Gamma^{!+}_{0,4} & \longrightarrow & \Gamma^{!+}_{0,3} \\
\cup & & \cup & & \cup & & \wr & & \| \\
& & & & & & Sl(2,\mathbb{Z})/\pm 1 & & \{1\} \\
& & & & & & \cup & & \\
\Pi_{0,\nu-1} & & \Pi_{0,\nu-2} & \cdots & \Pi_{0,4} & & \Pi_{0,3} & & \\
\cup & & \cup & & \cup & & \cup & & \\
L_0^{(0,\nu-1)} & & L_0^{(0,\nu-1)} & & L_0^{(0,4)} & & L_0^{(0,3)} & &
\end{array}
les \mathfrak{S}_\nu, \ldots, \mathfrak{S}_4 sont écrits au-dessus des groupes. Sous \Gamma^{!+}_{0,3}, un premier groupe raturé, remplacé par \{1\}. Le deuxième exposant (0, \nu - 1) est tel qu'on le lit ; on attendrait (0, \nu - 2).
Dans \Gamma^{!+}_{0,\nu} (\nu \geq 4), sous-groupes canoniques nilpotents commutatifs libres de rang \nu - 3 (i.e. \simeq \mathbb{Z}^{\nu-3}).
une rangée de points numérotés 0, 1, 2, 3, \ldots, \nu - 1, \nu ; au-dessous, un cercle contenant deux points, puis deux points isolés marqués 1 et \infty.
k[x_1, x_2, \ldots, x_\nu] \subset k\{x_1\}\{x_2\} \cdots \{x_\nu\}
un terme raturé entre \{x_1\} et les points de suspension.
\begin{array}{ccccccc}
\Gamma^{!+}_{1,\nu} & \longrightarrow & \cdots & \Gamma^{!+}_{1,3} & \longrightarrow & \Gamma^{!+}_{1,2} \longrightarrow & \Gamma^{!+}_{1,1} \\
& & & \cup & & \cup & \wr \\
\Pi_{1,\nu-1} & & & \Pi_{1,2} & & \Pi_{1,1} & Sl(2,\mathbb{Z}) \\
\cup & & & \cup & & \cup & \cup \\
L_0^{(1,\nu-1)} & & & L_0^{(1,2)} & & L_0^{(1,1)} & L_0^{\ill{}}
\end{array}
Dans \Gamma^{!+}_{1,\nu} (\nu \geq 1), sous-groupes can. nilpotents
g \geq 2, \nu \geq 0
\begin{array}{cccccc}
\Gamma^{!+}_{g,\nu} \longrightarrow \cdots & & \Gamma^{!+}_{g,2} & \longrightarrow \Gamma^{!+}_{g,1} & \longrightarrow \Gamma^{!+}_{g,0} & \\
\cup & & \cup & \cup & \cup & \\
\Pi_{g,\nu-1} & \cdots & \Pi_{g,1} & \Pi_g & \Delta_g \simeq \mathbb{Z}^g & \\
\cup & & \cup & \cup & & \\
L_0^{(g,\nu-1)} & & L_0^{(g,1)} & \Lambda_g\ (\simeq \mathbb{Z}) & & \\
& & & ? & &
\end{array}
Sous-groupes canoniques nilpotents maximaux de rang 3g + \nu.
la lettre \Delta_g (tracée en gras) est d'une lecture douteuse. L'exposant de \Gamma^{!+}_{g,\nu} est écrit « !+1 ». Le chiffre devant g dans « rang 3g+\nu » surcharge un autre chiffre ; la lecture est douteuse. Au bas de la page, une formule entièrement biffée, illisible, se terminant par \frac{(\nu - 1)g}{2} environ.