Cote n° 144, pages 101–120

Cote n° 144 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · [Suite autour de Teichmüller dont] Teichmülleries, 1981-1982 : notes manuscrites (1981-1983, s.d.), lettres (1981, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1981-1983
Édition de démonstration

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Les feuillets 104 à 114 portent sa numérotation 11 à 16 : le calcul a commencé avant ce lot (feuillets 1 à 10 de sa main). Il porte sur le groupe $\Pi_{0,3}$ de $\mathbb{P}^1$ privé de $0, 1, \infty$, ses lacets $l_0, l_1, l_\infty$ (avec $l_\infty l_1 l_0 = 1$), le revêtement de degré 2 donné par $z \mapsto (2z-1)^{2}$ et les relèvements $\hat{\varphi}$ au complété profini.

102Une sphère (la droite projective complexe) : un grand cercle horizontal portant les points $0$, $1/2$, $1$, $2$, $-1$, le point $\infty$ marqué sur la face arrière ; un méridien passant par $1/2$ ; un fuseau hachuré entre deux méridiens.

$e_0$ — $e_1$ \[\begin{array}{ll} e_0 \longmapsto e_0 & \qquad e_0 \longmapsto e_1 \\ e_1 \longmapsto e_1 - e_0 & \qquad e_1 \longmapsto -e_0 \end{array}\] $B$ lettre biffée, lecture douteuse \[e_0 \longmapsto e_0 + e_1, \qquad e_1 \longmapsto -e_0\] \[\begin{pmatrix} 1 & \lambda \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^{*} \end{pmatrix}\] dans la seconde matrice, un $\lambda$ est surchargé par $\zeta$ ; l'exposant de $\zeta^{*}$ est $*$.

[…] \[\det(u - \lambda\,\mathrm{id}) = \det \begin{pmatrix} 1-\lambda & -1 \\ 1 & -\lambda \end{pmatrix} = \lambda^{2} - \lambda + 1\] racines $\mapsto$ racines primitives 6[ièmes] de $1$

trait horizontal sur toute la largeur de la page.

$l_0 \quad l_{1/2} \quad l_1 \quad l_\infty \;\big/\; \dot{\sigma}_\infty,\ \bar{\tau},\ \sigma_\infty \tau$ les accents sur $\sigma_\infty$ et $\tau$ sont lus point et barre.

\[\boxed{\,l_\infty\, l_1\, l_{1/2}\, l_0 = 1\,}\]

\[z \longmapsto 1 - z\] \[\begin{array}{rcl} g : \mathbb{P}^1 & \longrightarrow & \mathbb{P}^1 \\ \infty & \longmapsto & \infty \\ 1/2 & \longmapsto & 0 \\ 0,\ 1 & \longmapsto & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{l} g(z) = (2z-1)^{2} \\ g(1-z) = (1-2z)^{2} \\ \end{array}\] $(2z - 1\text{\struck{\ill{}}})^{2}$ le dernier terme est surchargé, lecture incertaine. \[\begin{array}{l} l_0 \longmapsto -1 \\ l_1 \longmapsto +1 \\ l_\infty \longmapsto -1 \end{array}\]

104numéro de sa main en tête de feuillet : 11. $\lambda'_0 \quad \lambda'_{1/2} \quad \lambda'_1 \quad \lambda'_\infty$ \[\pi' \subset \widehat{\Pi}_{0,3}, \qquad \pi' \longrightarrow \widehat{\Pi}_{0,3}\] le second $\widehat{\Pi}_{0,3}$ est au bout d'une flèche oblique issue de $\pi'$.

Un point base d'où partent des chemins vers les points $0$, $1/2$, $1$ d'une droite horizontale, chacun contournant le point par un petit lacet fléché ; plus loin sur la droite un point $z$ et, au bout, $\infty$.

\[(-2\bar{j} - 1)^{2} = 4\bar{j}^{2} + \ldots\] \[\lambda^{k}_{1/2} \text{ \struck{\ill{}} } \longmapsto l_0 \qquad \text{\struck{$2z-1$}} \longmapsto \lambda\]

Deux sphères. Sur la première, un cercle horizontal portant $-1$, $0$, $1$, $\infty$ ; lacets fléchés $\lambda'_{1/2}$, $\lambda'_1$, $\lambda'_\infty$ autour des points, et un chemin marqué $3$. Sur la seconde, le pôle marqué $-\bar{j}$, un méridien épais descendant au point $1/2$ du cercle équatorial (en tirets), les points $0$, $1$, $\infty$ ; une petite flèche tourne autour de $1/2$. À droite, un fuseau (lentille) coupé par deux segments perpendiculaires.

\[\text{\struck{$2z-1$}} \qquad (2x - 1 + 2iy)^{2} = (2x-1)^{2} - 4y^{2} + 4iy(2x-1)\] \[y = 0 \qquad x = 1/2\] \[\text{\struck{\ill{}$(z) = 1 - z$}} \quad (-2\bar{j} + 1)^{2} = 4\bar{j}^{2} + 1 - 4\bar{j} = 4(\bar{j}^{2} - \bar{j})\] […] \[(2\bar{j} - 1)^{2} = 4(\bar{j}^{2} - \bar{j}) + 1 = -3\] \[\bar{j}^{2} - \bar{j} + 1 = (\bar{j} - \alpha)(\bar{j} - \bar{\alpha})\] la dernière égalité est lue avec doute ($\bar{\alpha}$ ou $\beta$) ; en dessous, un fragment biffé : $\alpha \ldots$.

\[\begin{array}{lll} \lambda_0 & \longmapsto & \text{\struck{$(l_\infty^{2}\, l_1\, l_0^{2})^{-1}$}} = l_0^{-2}\, l_1^{-1}\, l_\infty^{-2} \\ \lambda_{1/2} & \longmapsto & l_0^{2} \\ \lambda_1 & \longmapsto & l_1 \\ \lambda_\infty & \longmapsto & l_\infty^{2} \end{array}\] \[\begin{aligned} &= l_0^{-1}\, l_\infty^{-1} = l_0^{-1}\, l_1\, l_0 \\ &= (l_\infty l_0)^{-1} \\ &\text{\struck{$= \bigl(\mathrm{int}(l_0^{-1})(l_0 l_\infty)\bigr)^{-1}$}} \\ &= \mathrm{int}(l_0^{-1})\bigl((l_0 l_\infty)^{-1}\bigr) \\ &= \mathrm{int}(l_0^{-1})(l_1) \end{aligned}\] il note $\mathrm{int}$ l'automorphisme intérieur ; sous $(l_0 l_\infty)^{-1}$ il écrit $l_1$. \[\text{\struck{$= l_0^{-1} l_1 l_0$}} \qquad l_1\, l_0\, l_\infty = 1, \qquad l_1^{-1} = l_0\, l_\infty, \qquad \text{\struck{$l_1 = l_\infty^{-1}\, l_0^{-1}$}}\] \[l_0^{-1}(l_1 l_\infty \quad l_0 \qquad \text{\struck{$ab\,(a^{-1}b^{-1})\,(ba)\,ab$}}\]

106numéro de sa main : 12. \[\pi' \subset \Pi_{0,3}\] engendré par \[\begin{array}{l} \text{\struck{\ill{}}} \\ \lambda_0 = \mathrm{int}(l_0^{-1})\, l_1 \\ \lambda_{1/2} = l_0^{2} \\ \lambda_1 = l_1 \\ \lambda_\infty = l_\infty^{2} \end{array} \qquad \begin{array}{l} \Pi_{0,3} \longrightarrow \{\pm 1\} \longrightarrow 1 \\ l_0,\ l_\infty \longmapsto -1 \\ l_1 \longmapsto +1 \end{array}\]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
1 \arrow[r] & \pi' \arrow[r, hook] \arrow[d, "\text{épi}"] & \Pi_{0,3} \arrow[r] \arrow[d] & \{\pm 1\} \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\
1 \arrow[r] & \Pi_{0,3} \arrow[r] & \Pi_{0,3}\cdot\{1,\sigma_\infty\} \arrow[r] & \{\pm 1\} \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

les $1$ de gauche et de droite de la seconde ligne sont à demi coupés sur la feuille.

$l_0 \longmapsto \sigma_\infty$ ? \[\begin{array}{lll} \lambda_0 = \mathrm{int}(l_0^{-1})\, l_1 = l_0^{-1} l_1 l_0 & \longmapsto & l_0 \\ \lambda_{1/2} = l_0^{2} & \longrightarrow & 1 \\ \lambda_1 = l_1 & \longrightarrow & l_1 \\ \lambda_\infty = l_\infty^{2} & \longrightarrow & l_\infty \end{array}\] dans les membres de gauche, des indices sont surchargés ($l_0$ sur $l_1$, $l_1$ sur $l_0$…) ; on donne la forme finale.

$l_\infty^{2}\, l_1\, l_0\, l_0^{-1} l_1 l_0$ sous l'expression biffée, il écrit $l'_\infty$. $\hat{\varphi}$ : \[\boxed{ \begin{array}{l} l_0 \longmapsto \sigma_\infty \\ l_1 \longmapsto l_1 \\ l_\infty \longmapsto \varepsilon_\infty \end{array}}\] deux points d'interrogation en marge de l'encadré, en face de $\sigma_\infty$ et de $\varepsilon_\infty$. \[\varepsilon_\infty\, l_1\, \sigma_\infty = \varepsilon_\infty\, \varepsilon_1^{2}\, \sigma_\infty\] \[\begin{array}{l} \varepsilon_0 = \sigma_\infty \rho \\ \varepsilon_1 = \rho\, \sigma_\infty \\ \varepsilon_\infty = \rho^{-1} \sigma_\infty \rho^{-1} \end{array}\] $\rho^{-1} \sigma_\infty \rho^{-1}\, \rho\, \sigma_\infty\, \rho\, \sigma_\infty\, \sigma_\infty$

108numéro de sa main : 13. \[\widehat{\Pi}_{0,3} \xrightarrow{\ \hat{\varphi}_{1/2}\ } \widehat{\Pi}_{0,3}\cdot\{1,\sigma_\infty\}\] \[\hat{\varphi}\bigl(u(x)\bigr) = u\,\hat{\varphi}(x)\] au-dessus de $u$, relié par un trait : $\mathrm{int}(\varphi(g))$, lecture $\varphi(g)$ pour l'argument.

1) $x = l_0$ \[\begin{aligned} u(x) &= \mathrm{int}(g_0)\, l_0^{p} \\ \hat{\varphi}\bigl(u(x)\bigr) &= \mathrm{int}\bigl(\hat{\varphi}(g_0)\bigr)\, \sigma_\infty^{p} \\ \hat{\varphi}(x) &= \sigma_\infty \qquad u\bigl(\hat{\varphi}(x)\bigr) = \sigma_\infty \end{aligned}\] \[\bigl(\mathrm{int}(\hat{\varphi}(g_0))\bigr)(\sigma_\infty^{p}) = \text{\struck{\ill{}}}\,(\sigma_\infty)\] sous $\sigma_\infty^{p}$, un signe d'égalité vertical renvoie à $\sigma_\infty$.

$\hat{\varphi}(g_0)$ commute à $\sigma_\infty$ ; $\alpha$ dépend du choix de $g_0$ modulo […].

\[\text{\struck{\ill{}}}\qquad \boxed{\,\hat{\varphi}_{1/2}(g_0) = \sigma_\infty^{\alpha}\,}\]

2) $x = l_1$ \[\begin{aligned} \hat{\varphi}\bigl(u(x)\bigr) &= \hat{\varphi}\bigl(\mathrm{int}(g_1)\, l_1^{p}\bigr) = \mathrm{int}\bigl(\hat{\varphi}(g_1)\bigr)(l_1^{p}) \\ u\bigl(\hat{\varphi}(x)\bigr) &= u(l_1) = \mathrm{int}(g_1)(l_1^{p}) \end{aligned}\] \[\text{\struck{$\hat{\varphi}_{1/2}(g_1) = g_1\, l_1^{\beta}$}}\] cette ligne encadrée est barrée d'un trait horizontal, avec une accolade ondulée dessous. \[g_1 = g\,\rho(g_0) = \sigma_\infty(g_0\, l_0^{\gamma}) \;=\; \sigma_\infty(g_0)\, l_1^{\gamma}\] la lecture de $g\,\rho(g_0)$ est douteuse ; dans la seconde égalité il écrit $l_1$ là où la première porte $l_0$. \[\hat{\varphi}\bigl(\sigma_\infty(g_0)\, l_1^{\gamma}\bigr) = \sigma_\infty(g_0)\, l_1^{\beta+\gamma}\] \[\boxed{\,\hat{\varphi}_{1/2}\bigl(\sigma_\infty(g_0)\bigr) = \sigma_\infty(g_0)\, l_1^{\beta}\,}\] \[\sigma_\infty(g_0)^{-1}\, g_0 = h_0, \qquad \sigma_\infty(g_0) = g_0\, h_0^{-1}\] $\beta$ ne dépend que du choix de $g_0$ modulo $L_0$. \[\begin{aligned} \hat{\varphi}\bigl(g_0\, h_0^{-1}\, l_1^{\gamma}\bigr) &= \text{\struck{\ill{}}}\; g_0\, h_0^{-1}\, l_1^{\beta+\gamma} \\ \hat{\varphi}(g_0)\, \hat{\varphi}(h_0^{-1})\, l_1^{\gamma} &= g_0\, h_0^{-1}\, l_1^{\beta+\gamma} \end{aligned}\] sous $\hat{\varphi}(g_0)$, une accolade renvoie à $\sigma_\infty^{\alpha}$. Les deux dernières lignes sont barrées en partie d'un trait oblique. \[\hat{\varphi}(h_0) = l_1^{-\beta}\, h_0\, g_0^{-1}\, \sigma_\infty^{\alpha}\]

\[\begin{aligned} &\text{3) } x = l_\infty \qquad \hat{\varphi}\bigl(u(x)\bigr) = \hat{\varphi}\bigl(\mathrm{int}(g_\infty)\, l_\infty^{p}\bigr) = \mathrm{int}\bigl(\hat{\varphi}(g_\infty)\bigr)\, \varepsilon_\infty^{p} \\ &\phantom{\text{3) } x = l_\infty \qquad} u\,\hat{\varphi}(x) = u(\varepsilon_\infty) = \mathrm{int}(g_\infty)\, \varepsilon_\infty^{p} \end{aligned}\] \[\text{\struck{\ill{}}}\;\hat{\varphi}(g_\infty) = g_\infty\] le cas 3) est entouré à gauche d'un crochet.

110numéro de sa main : 14. \[\pi' \longrightarrow \pm 1, \qquad \lambda_0,\ \lambda_{1/2},\ \lambda_1,\ \lambda_\infty \longmapsto -1\] \[\Pi_{0,3} \longrightarrow \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\] \[\left. \begin{array}{l} \text{\struck{$\lambda$}}\; l_0^{-1} l_1 l_0 \\ l_0^{2} \\ l_1 \\ l_\infty^{2} \end{array} \right\} \longmapsto 2 \bmod 4 \qquad\qquad \begin{array}{l} l_0 \longmapsto \alpha_0 \\ l_1 \longmapsto \alpha_1 = 2 \bmod 4 \\ l_\infty \longmapsto \alpha_\infty \end{array}\] à gauche, un trait vertical réunit les quatre éléments et une seule flèche part vers $2 \bmod 4$. \[\begin{array}{ll} \alpha_0 + \alpha_\infty \equiv 2 & (4) \\ 2\alpha_0 \equiv 2 & (4) \\ 2\alpha_\infty \equiv 2 & (4) \\ \alpha_0 \equiv \pm 1 & (4) \\ \alpha_\infty \equiv \pm 1 & (4) \end{array} \qquad \begin{array}{l} \text{sps } \alpha_0 \equiv 1 \\ \text{alors } \alpha_\infty \equiv 1 \end{array}\] « sps » : sans doute « supposons ». \[\boxed{ \begin{array}{l} l_0,\ l_\infty \longmapsto 1 \bmod 4 \\ l_1 \longmapsto 2 \bmod 4 \end{array}}\]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
1 \arrow[r] & \pi'' \arrow[r] \arrow[dr] & \Pi_{0,3} \arrow[r] & \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \arrow[r] & 1 \\
 & & \pi''/\Delta(\lambda_0^{2},\lambda_1^{2},\lambda_\infty^{2}) & &
\end{tikzcd}

devant le quotient, un début biffé : $\lambda_0 \cdot \pi''_{\ldots}$. Sous les trois générateurs du quotient, des signes d'égalité verticaux renvoient à $l_0^{-1} l_1^{2} l_0$, $l_1^{2}$, $l_\infty^{4}$ ; la lecture de $\Delta$ est douteuse.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \mathrm{Autext}_{\mathrm{car}}(\pi'')' & & & \\
1 \arrow[r] & \widehat{\mathcal{S}}^{+}_{0,3} \arrow[r] \arrow[u] & M_{0,3} \arrow[r] \arrow[d] & \Pi \arrow[r] & 1 \\
 & & N'_{1,1} & &
\end{tikzcd}

l'indice de $\mathrm{Autext}$ est lu car ; la lettre $\widehat{\mathcal{S}}$ (une S cursive coiffée d'un chapeau, au bout de la flèche verticale) est d'une lecture incertaine. Sur la flèche $M_{0,3} \to \Pi$, une étiquette biffée : $l_0$.

112numéro de sa main, cerclé : 15. \[\begin{array}{lll} l_0^{-1} l_1 l_0 = \lambda_0 & \longmapsto & 1 \\ l_0^{2} = \lambda_{1/2} & \longrightarrow & l_0 \\ l_1 = \lambda_1 & \longmapsto & l_1 \\ l_\infty^{2} = \lambda_\infty & \longmapsto & l_\infty \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{lll} l_0 & \longmapsto & \varepsilon_0 \\ l_1 & \longmapsto & l_1 \\ l_\infty & \longmapsto & \varepsilon_\infty \end{array}\] \[\varepsilon_\infty\, l_1\, \varepsilon_0 = 1 \quad \text{i.e.} \quad \underbrace{\rho^{-1}\sigma_\infty\rho^{-1}}\;\underbrace{\rho\,\sigma_\infty\,\rho\,\sigma_\infty}\;\sigma_\infty\,\rho = \rho^{-1}\sigma_\infty\] dans le produit, les facteurs qui se simplifient sont barrés un à un de traits obliques ; les accolades sont les siennes. \[\begin{array}{l} \varepsilon_0 = \sigma_\infty\, \rho \\ \varepsilon_1 = \rho\, \sigma_\infty \\ \varepsilon_\infty = \rho^{-1} \sigma_\infty\, \rho^{-1} \end{array}\]

114numéro de sa main : 16. \[\begin{array}{lll} \lambda_0 = l_0^{-1} l_1 l_0 & \longmapsto & l_1 \\ \lambda_{1/2} = l_0^{2} & \longmapsto & l_\infty \\ \lambda_1 = l_1 & \longmapsto & l_0 \\ \lambda_\infty = l_\infty^{2} & \longmapsto & 1 \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{lll} l_0 & \longmapsto & \varepsilon_\infty \\ l_1 & \longmapsto & l_0 \\ l_\infty^{\ast} & \longrightarrow & \sigma_\infty \end{array}\] les images $l_1$ et $1$ de la première colonne sont écrites par-dessus d'autres signes ; l'exposant de $l_\infty^{\ast}$ est un trait (peut-être $\infty$). \[\begin{aligned} (l_1 \varepsilon_0)^{-1} &= (\rho\,\sigma_\infty\, \rho^{-1}\ \ldots)^{-1} = \sigma_\infty\, \rho^{-1} \\ (l_0\, \varepsilon_\infty)^{-1} &= (\sigma_\infty\rho\,\sigma_\infty\rho\,\rho^{-1}\sigma_\infty\rho^{-1}) = \sigma_\infty \end{aligned}\] ici encore les facteurs simplifiés sont barrés de traits obliques ; dans la première ligne, le facteur barré qui suit $\sigma_\infty$ est $\rho^{-1}\sigma_\infty\sigma_\infty\rho$. \[\hat{\varphi}_\infty : \widehat{\Pi}_{0,3} \longrightarrow \widehat{\Pi}_{0,3}\cdot\{1,\sigma_\infty\}\]

\[\mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}/12)' \simeq \bigl(\mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}/4) \times \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}/3)\bigr)/\pm 1\]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}/12)' \arrow[d] \\
\mathfrak{S}_3 \simeq \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}/2)
\end{tikzcd}

au-dessus, isolé, $\hat{\varphi}_\infty$. Le « $12$ » du premier membre est lu $\mathbb{Z}/12$ : la page porte « $(2,12)'$ ».

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\widehat{\mathfrak{S}}^{+}_{0,3} \arrow[d] & \\
\mathrm{Sl}(2,\widehat{\mathbb{Z}})' \arrow[r] & \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

sous $\mathrm{Sl}(2,\widehat{\mathbb{Z}})'$, un signe $\wr$ renvoie à un second $\widehat{\mathfrak{S}}^{+}_{0,3}$, surchargé.

$(c,d)$ $c \equiv 0\ (3)$ : $D = d^{2} \in \{0,1\}$, $0$ exclus ; $c \equiv 1\ (3)$ : $D = 1 + d^{2} + d \in \{1,0\}$, $0$ exclus ; $c \equiv -1\ (3)$ : $D = 1 + d^{2} - d \in \{1,0\}$, $0$ exclus !!! tout le bloc est biffé d'un grand zigzag ; dans la deuxième ligne, un membre intermédiaire est surchargé.

Calculs divers sur Teichmüller — Lettre Deligne sur groupes profinis

Titre de sa main, au crayon, sur un feuillet par ailleurs blanc (p. 116 de la cote) : « Calculs divers sur Teichmüller » et, en dessous, « Lettre Deligne sur groupes profinis ». Le feuillet fait couverture ; la première ligne peut désigner aussi les calculs qui précèdent. Les pages suivantes sont deux lettres de P. Deligne à Grothendieck (« Schurik »), qui ne sont pas transcrites.

117À partir d'ici, le crayon de l'archiviste porte un numéro d'avance sur la position dans la cote (ce feuillet porte 118, le dernier du lot 121). Les numéros employés pour page sont ceux de la position, que suit le fac-similé.

Lettre manuscrite de Pierre Deligne à Grothendieck, datée « 27/3/81 », pp. 117–118, signée « Pierre » : pro-groupes libres (renvoi au ch. I de Serre, Cohomologie galoisienne), éléments d'ordre fini et éléments centraux d'un complété profini de groupe libre, centre des sous-groupes d'indice fini de $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$, sous-groupes finis du groupe de Teichmüller (référence à Kerckhoff, Bull. AMS) ; un paragraphe personnel en russe. Correspondance d'un tiers, non transcrite (RIGHTS.md).

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119Seconde lettre de Deligne, sans date, pp. 119–120 et suite au lot 7 (pp. 121–123) : un résumé de la théorie du corps de classes, locale, globale et local-global (renvoi à Tate, « Number theoretic background », Corvallis), puis le théorème de Shimura–Taniyama sur la multiplication complexe. Correspondance d'un tiers, non transcrite (RIGHTS.md).

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