Cote n° 144 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · [Suite autour de Teichmüller dont] Teichmülleries, 1981-1982 : notes manuscrites (1981-1983, s.d.), lettres (1981, s.d.).
Datation de l’inventaire : 1981-1983
Édition de démonstration

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Discussion avec Deligne + lettre Barry Mazur

Titre de sa main sur le feuillet de garde (p. 1), qui ne porte rien d'autre.

2Conversations avec Deligne du 30.5 et 5.6.

1) Pour groupes finis opérant sur surfaces : utiliser « th. de Smith » (suites spectrales) pour prouver que le lieu des points fixes est une variété homologique du pt de vue local – donc […] loc. connexe, donc connexe par arcs…

2) Exemple de Bing d'une involution de \(B^3\) ayant un cercle de pts fixes sauvage (sphère ⌜genre⌝ cornue d'Alexander) mais, dans la […] : \(S^2=\partial B^3\) […] la conj. complexe.

3) Il doit y avoir des actions ⌜simpliciales⌝ de groupes finis sur \(B^n\) (\(n\geq{}\)[…] \(5\) ??) qui ne sont pas le cône d'une action sur \(S^{n-1}=\partial B^n\). Lié au fait qu'une […] action (d'un groupe fini sur une sphère avec pt fixe) […] n'est pas nécess. ! contenue dans un conjugué ⌜topologique⌝ du groupe orthogonal. (J'ai pas bien compris comment….)

4) Nécessité de faire intervenir le fermé universel (d'ailleurs dans \(\bar{T}\)) pour décrire les gps ⌜la⌝ structure « arithmétique » du groupe fondamental d'une courbe lisse propre connexe sur \(k\) alg. clos. Question de définir cohomologiquement les intersections de « chemins » (ou sans théorie des revêtements)

Deux chemins orientés entre points marqués, l'un coupant l'autre.

Données théories cohomologiques d'une courbe dans le […] ……

Deux autres figures de chemins orientés à points marqués, avec une boucle, séparées par « ou ».

35) Compactification des topos modulaires \(M_{g,\nu}\) et structure à l'infini. Il semble qu'on ait \(\pi_1(\widehat{M_{g,\nu}})=1\) si \(g\geq 2\) (si \(g=1\), \(\nu=0\), le \(\pi_1\) doit être cyclique fini d'ordre fini divisant 12…), et \(\pi_1(M^{\infty}_{g,\nu})=1\) itm.

* Déf. de \(\widehat{M}_{g,\nu}\) : schémas \(X/S\) munis de sections \((f_1,\dots,f_\nu)\), \(X/S\) schémas propres (pas plats ?) et plats sur \(S\), de prés. finie, à fibres \(X_s\) géom. connexes réduites, n'ayant comme singularités que des pts doubles ordinaires, et les \(f_{is}\) étant des pts lisses, enfin le groupe des automorphismes de \((X_s,f_{1s},\dots,f_{\nu s})\) étant fini (ce qui signifie que les chaque composante irréductible de genre 0 de \(X_s\) a au moins trois points marqués – soit par intersection avec les autres comp. irréd., soit comme pts \(f_{is}\)…)

* Question : si \(\nu=0\), \(X_s\) ⌜lisse⌝ est-il contenu dans sa jacobienne, extension d'une VA par un tore ?

La vérification des critères valuatifs * semble étrange.

Les générateurs « twist » de \(\mathcal{T}_{g,\nu}\) sont les lacets autour des comp. irréductibles de \(M^{\infty}_{g,\nu}\)….

46) Nécessité, en dim\({}>1\), d'une description plus délicate de la « structure à l'infini » d'un schéma lisse connexe ⌜séparé⌝ sur \(k\) alg. clos.

\(X\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
1 \arrow[r] & \pi_1^{\infty}(X) \arrow[r, "i"] & \pi_1(X) \arrow[r] & \pi_1(\hat X) \arrow[r] & 1 \\
1 \arrow[r] & \pi_1^{\infty}(\mathcal{U}) \arrow[r] \arrow[u, "\alpha"] & \pi_1(\mathcal{U}) \arrow[r] \arrow[u] & \pi_1(\mathcal{X}) \arrow[r] \arrow[u] & 1 \\
 & & & \pi_1(Y) \arrow[u, no head, "\simeq"'] &
\end{tikzcd}

Au-dessus de \(\pi_1(\hat X)\), la page ajoute « compactifié ». Devant la seconde ligne, \(\hat X\supset Y\).

\(\mathcal{U}\subset\mathcal{X}\) ⌜complété formel de \(\hat X\) le long de \(Y\)⌝, au-dessus de \(X\subset\hat X\supset Y\) (\(=\hat X\setminus X\)).

\(\pi_1^{\infty}(X)\) est le sous-groupe ⌜fermé⌝ invariant de \(\pi_1(X)\) engendré par \(\alpha(\pi_1^{\infty}(\mathcal{U}))\), mais \(\alpha\) n'est pas nécess. surjectif. Il faudrait expliciter, ⌜comme on a dit⌝, en termes de « combinatoire » \(T=\varprojlim_n\) […] et de la structure de \(Y\) (qu'on pourrait supposer ⌜[…]⌝ diviseur à croisements normaux) le groupe \(\pi_1^{\infty}(\mathcal{U})\) et l'action de Galois dessus, et ⌜l'hom. ext.⌝ exiger que (\(i\circ\alpha: \pi_1^{\infty}(\mathcal{U})\to\pi_1(X)\)) commute à l'action de Galois…

On doit pouvoir ⌜par récurrence⌝ faire une réduction au cas \(\dim X=2\) ….

7) Sur l'espace de Teichmüller ⌜complexe⌝ \(\widetilde{M}^{\mathrm{an}}_{g,\nu}\) (\(=\mathcal{M}^{\mathrm{an}}_{g,\nu}\)) (rev. universel de la multiplicité ⌜[…]⌝ \(M^{\mathrm{an}}_{g,\nu}(\mathbb{C})\))

5Suite du point 7) de la p. 4, sur l'espace de Teichmüller. on n'a pas défini jusqu'à présent de métrique riemannienne intrinsèque, mais bien des métriques finsleriennes. On espère trouver une métrique riemannienne […] intégration, qui permettrait par un argument géométrique simple (cf. l'existence ⌜et unicité⌝ de la géodésique qui joint deux pts) de prouver que tout groupe fini d'automorph. complexes de \(\mathcal{M}_{g,\nu}\) admet un pt fixe. Deligne pense que ⌜c'est vrai que⌝ tout groupe fini de \(\mathcal{T}_{g,\nu}\) admet un pt fixe dans \(M_{g,\nu}\), et il ne doit pas être […] […].

Points \(x_0, x_1, gx_0, gx_1, g^2x_0, g^2x_1, \dots, g^{N-1}x_0, g^{N-1}x_1\) et \(x_2, gx_2, \dots, g^{N-1}x_2\), disposés en polygones emboîtés qui se resserrent ; une flèche désigne le point central, légendé « pt fixe par […] ».

8) Mumford connaîtrait la présentation des \(\mathcal{T}_{g,\nu}\) via les générateurs habituels).

L. Bers (Columbia Sc.) ferait de la « chirurgie » de surfaces de Riemann pour déterminer établir la compactification des \(\mathcal{M}_{g,\nu}\).

69) Le cône sur une variété compacte \(S\) peut être une variété : bord, sans que \(S\) soit une sphère.

Exemple : considérons le \(\uncertain{4}\)-groupe \(\Gamma\subset S^3\) d'ordre 120, […] et \(\mathfrak{G}^{+}_{5}\subset S^3/\pm1\) (\(=SO(3,\mathbb{R})\)), image de \(\Gamma\), \(\mathfrak{G}^{+}_{5}=\mathfrak{A}\). Considérons \(S^3/\Gamma\simeq SO(3,\mathbb{R})/\mathfrak{A}\simeq{}\)classification des icosaèdres ⌜réguliers⌝ inscrits dans une sphère donnée. Ce n'est pas une sphère, […] sa suspension, qui a deux pts singuliers, n'est pas une variété (elle a en ces pts, le groupe fondamental local est \(\simeq\Gamma\), donc non trivial) Mais elle a un ⌜[…]⌝ sa double suspension ⌜(suspension itérée)⌝ est […] est la suspension le produit par une droite et […] est une variété (?), et \(\simeq S^5\), et \(\simeq\) […] ⌜\(S^5\)⌝.

Edwards, Exposé Bourbaki 1977–78 (Cannon, 515) : \(X\) variété de dim. \(n\), \(\mathbb{Z}\)-sphère homologique, sa double suspension est une sphère.

En fait, sa double suspension est une variété – y compris aux deux « pôles » ….

Pour donner ⌜les limites de nature […] topolog.⌝ des conditions […] sur un espace à stratification […] ⌜conique⌝ (choisissant l'interprétation ⌜[…]⌝ qui l'implique ⌜du fait que⌝ certaines espaces, suivant des sphères, […], il faudrait d'après Deligne se placer dans un cadre

7tel que le PL (ou d'autres milieux, […] p. ex.), le cadre topologique ne s'y prêtant pas. Il semble néanmoins que dans le cas des variétés loc. finies régulières, les difficultés disparaissent, grâce au fait que

à vérifier avec soin …

10) Les groupes apparaissant comme groupes d'automorphismes de « cartes » régulières […] connexes (loc. finies ?), […] ⌜variétés⌝ en fait, sont tous des groupes de Coxeter. id Ceux parmi eux qui sont finis sont bien connus (cf. livre Bourbaki) – il semble qu'ils correspondent tous : des sphères – avec la décomposition « simpliciale » évidente, liée à la géométrie des groupes de Coxeter. D'après Deligne, toutes les « cartes » régulières ⌜simplement connexes⌝ (finies ou non) (données

8figurent dans Bourbaki (pour groupes coniques finis etc.) – tous au moins dans le cas non singulier. Dans le cas infini, (le cas semblerait lié à l'hyperbolique ?) : celui où la forme quadratique invariante est (de signe […]) de signature \((1,\dots,1)\) – ce qui signifie que la sphère unité se décompose en deux composantes connexes simplement connexes : c'est une des composantes qui ⌜doit⌝ jouer le rôle de la […] variété, en prenant les traces dessus des cônes simpliciaux ([…] de \(\mathfrak{A}\)) de l'un d'eux…

11) Lien entre l'icosaèdre et \(E_8\) : la forme quadratique de degré 4 sur \(\mathbb{Z}[\alpha]=\mathbb{Z}[T]/(T^2+T-1)\) \(=\) anneau des entiers de \(\mathbb{Q}\bigl(\tfrac12(-1\pm\sqrt5)\bigr)=\mathbb{Q}(\sqrt5)\), ? composée avec la trace, donne la forme quadratique de \(E_8\) …. d'où syst. de racines de \(E_8\)…. Mais attention : la ramification en 5 …

9Lettre dactylographiée de Barry Mazur à Grothendieck, en anglais, sans date, avec des ajouts de sa main à l'encre verte. Elle répond aux questions d'une lettre de Grothendieck : un contre-exemple de Deligne à la question (a) (une extension non scindée d'un groupe fini par le revêtement universel de \(\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})\)), la question (b), une involution de la boule \(B^3\) à lieu fixe sauvage, les sous-groupes finis du groupe de Teichmüller ; et elle fixe sa visite (fin mai, début juin). Correspondance d'un tiers, non transcrite (RIGHTS.md).

10Post-scriptum manuscrit de Mazur, au verso de la même feuille : ce qu'en disent Siebenmann et Kravitz (sous-groupes finis du groupe de Teichmüller et courbes algébriques ; automorphismes finis, théorie de Smith). Correspondance d'un tiers, non transcrite (RIGHTS.md).

121982 Le groupe noté ici \(\mathfrak{S}\) est écrit d'une lettre gothique cursive, la même qu'en \(\mathfrak{S}_3\) p. 13 ; pour le « \(\tau\) » cursif du groupe de Teichmüller, \(\mathcal{T}\). Les traits de ce premier diagramme sont sans flèches sur la page.

(1)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathcal{X}_{g,\nu\,\mathbb{Q}} \simeq M_{g,\nu+1,\nu\,\mathbb{Q}} \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & \mathcal{X}_{g,\nu\,\mathbb{C}} \simeq M_{g,\nu+1,\nu\,\mathbb{C}} \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & \mathcal{X}^{\mathrm{an}}_{g,\nu} \simeq M^{\mathrm{an}}_{g,\nu+1,\nu} \arrow[d, no head] \\
M_{g,\nu\,\mathbb{Q}} \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & M_{g,\nu\,\mathbb{C}} \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & M^{\mathrm{an}}_{g,\nu} \\
\mathbb{Q} \arrow[r, no head] & \mathbb{C} &
\end{tikzcd}

\(X_{g,\nu}\) courbe alg./\(\mathbb{C}\) type \(g,\nu\), corr. : \(\xi_0\in\operatorname{Ob}\mathrm{Pt}(M_{g,\nu\,\mathbb{Q}};\mathbb{C})\) \({}\simeq\operatorname{Ob}\mathrm{Pt}(M_{g,\nu\,\mathbb{C}}/\mathbb{C})\) \({}\simeq\operatorname{Ob}\mathrm{Pt}(M^{\mathrm{an}}_{g,\nu})\), \(X_{g,\nu}\simeq(\mathcal{X}_{g,\nu})_{\xi_0}\) ; \(x_0\in X_{g,\nu}(\mathbb{C})\simeq X^{\mathrm{an}}_{g,\nu}\), \((\xi_0,x_0)\) corr. : \(\xi_0\) \(\in\operatorname{Ob}\mathrm{Pt}(\mathcal{X}_{g,\nu\,\mathbb{Q}};\mathbb{C})\) \({}\simeq\operatorname{Ob}\mathrm{Pt}(\mathcal{X}_{g,\nu\,\mathbb{C}}/\mathbb{C})\) \({}\simeq\operatorname{Ob}\mathrm{Pt}(\mathcal{X}^{\mathrm{an}}_{g,\nu})\) au-dessus de \(\xi_0\).

Déf. (1) \[\begin{cases} \mathcal{T}^{+}_{g,\nu} = \pi_1(M^{\mathrm{an}}_{g,\nu},\xi_0)\\ \mathfrak{S}^{+}_{g,\nu} = \pi_1(\mathcal{X}^{\mathrm{an}}_{g,\nu},x_0) \simeq \mathcal{T}_{g,\nu+1,\nu} \subset \mathcal{T}_{g,\nu+1}\\ \pi_{g,\nu} = \pi_1(X_{g,\nu},x_0)\\ \mathcal{N}_{g,\nu} = \pi_1(M_{g,\nu\,\mathbb{Q}},\xi_0)\\ \mathcal{M}_{g,\nu} = \pi_1(\mathcal{X}_{g,\nu\,\mathbb{Q}},x_0) \end{cases}\]

d'où (2)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
1 \arrow[r] & \pi_{g,\nu} \arrow[r] \arrow[d, no head, "="] & \mathfrak{S}^{+}_{g,\nu} \arrow[r] \arrow[d, "i"] & \mathcal{T}^{+}_{g,\nu} \arrow[r] \arrow[d, "i"] & 1 \\
1 \arrow[r] & \pi_{g,\nu} \arrow[r] & \mathrm{Aut}_{\mathrm{loc}}(\pi_{g,\nu}) \arrow[r] & \mathrm{Autext}_{\mathrm{loc}}(\pi_{g,\nu}) &
\end{tikzcd}

et et, en prenant les complétés : (3)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
1 \arrow[r] & \hat\pi_{g,\nu} \arrow[r] \arrow[d, no head, "="] & \hat{\mathfrak{S}}^{+}_{g,\nu} \arrow[r] \arrow[d, "?"] & \hat{\mathcal{T}}^{+}_{g,\nu} \arrow[r] \arrow[d, "?"] & 1 \\
1 \arrow[r] & \hat\pi_{g,\nu} \arrow[r] & \mathrm{Aut}_{\mathrm{loc}}(\hat\pi_{g,\nu}) \arrow[r] & \mathrm{Autext}_{\mathrm{loc}}(\hat\pi_{g,\nu}) &
\end{tikzcd}

Les flèches verticales de (2) portent un petit signe, lu ici \(i\) (« injectif » ?).

[…]

(4) \[\begin{cases} \hat{\mathcal{T}}^{+}_{g,\nu} \overset{\mathrm{can}}{\simeq} \pi_1(M_{g,\nu\,\mathbb{C}},\xi_0) \simeq \pi_1(M_{g,\nu\,\bar{\mathbb{Q}}},\xi_0)\\ \hat{\mathfrak{S}}^{+}_{g,\nu} \overset{\mathrm{can}}{\simeq} \pi_1(\mathcal{X}_{g,\nu\,\mathbb{C}},x_0) \simeq \pi_1(\mathcal{X}_{g,\nu\,\bar{\mathbb{Q}}},x_0) \simeq \hat{\mathcal{T}}_{g,\nu+1,\nu} \subset \hat{\mathcal{T}}_{g,\nu+1}\\ \hat\pi_{g,\nu} \overset{\mathrm{can}}{\simeq} \pi_1(X_{g,\nu\,\mathbb{C}},x_0) \simeq \pi_1(X_{g,\nu\,\bar{\mathbb{Q}}},x_0) \end{cases}\]

(5)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & 1 & 1 & & \\
1 \arrow[r] & \hat{\mathcal{T}}^{+}_{g,\nu} \arrow[r] \arrow[u] & \mathcal{N}_{g,\nu} \arrow[r] \arrow[u] & \Gamma_{\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} \arrow[r] & 1 \\
1 \arrow[r] & \hat{\mathfrak{S}}^{+}_{g,\nu} \arrow[r] \arrow[u] & \mathcal{M}_{g,\nu} \arrow[r] \arrow[u] & \Gamma_{\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} \arrow[r] \arrow[u, no head, "="'] & 1 \\
 & \hat\pi_{g,\nu} \arrow[r, no head, "="] \arrow[u] & \hat\pi_{g,\nu} \arrow[u] & & \\
 & 1 \arrow[u] & 1 \arrow[u] & &
\end{tikzcd}

Une accolade sous les deux colonnes de gauche renvoie à (3).

(cf. […] \(\hat\pi_{g,\nu}\to\mathcal{M}_{g,\nu}\to\mathcal{N}_{g,\nu}\to 1\))

NB \(\hat{\mathcal{T}}_{g,\nu}\), \(\hat{\mathfrak{S}}_{g,\nu}\) s'obtiennent comme images inverses de \(\{1,\tau\}\subset\Gamma_{\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\) (\(\tau\in\Gamma_{\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\), conj. complexe) dans \(\mathcal{N}_{g,\nu}\), \(\mathcal{M}_{g,\nu}\).

NB On a (via \(\mathcal{N}_{g,\nu}\to\mathrm{Autext}_{\mathrm{loc}}(\hat\pi_{g,\nu})\) p. ex.) : (7)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathcal{T}^{+}_{g,\nu} \arrow[r] & \hat{\mathcal{T}}^{+}_{g,\nu} \arrow[r] & \mathcal{N}_{g,\nu} \arrow[r] & \mathfrak{S}_{\nu} \\
\mathfrak{S}_{g,\nu} \arrow[r] \arrow[u] & \hat{\mathfrak{S}}_{g,\nu} \arrow[r] \arrow[u] & \mathcal{M}_{g,\nu} \arrow[u] &
\end{tikzcd}

La flèche \(\mathcal{N}_{g,\nu}\to\mathfrak{S}_{\nu}\) est encadrée ; la lecture de son but est douteuse.

d'où, en prenant les images, des groupes (8) \(\mathcal{T}^{+!}_{g,\nu}\), \(\hat{\mathcal{T}}^{+!}_{g,\nu}\), \(\mathcal{N}^{!}_{g,\nu}\) ; \(\mathfrak{S}^{+!}_{g,\nu}\), \(\hat{\mathfrak{S}}^{+!}_{g,\nu}\), \(\mathcal{M}^{!}_{g,\nu}\) s'interprétant comme des \(\pi_1\) […]…

Il y a lieu des variantes « en ! » (2') (3') (5'). TSVP TSVP !

13(9)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
1 \arrow[r] & \hat\pi_{g,\nu} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel"] & \mathcal{M}_{g,\nu} \arrow[r] \arrow[d, "?"'] & \mathcal{N}_{g,\nu} \arrow[r] \arrow[d, "?"'] & 1 \\
1 \arrow[r] & \hat\pi_{g,\nu} \arrow[r] & \mathrm{Aut}_{\mathrm{loc}}(\hat\pi_{g,\nu}) \arrow[r] & \mathrm{Autext}_{\mathrm{loc}}(\hat\pi_{g,\nu}) \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

prolongeant (2) et (3). On a donc que l'image \(\mathcal{M}'_{g,\nu}\) de \(\mathcal{M}_{g,\nu}\) dans \(\mathrm{Aut}_{\mathrm{loc}}(\hat\pi_{g,\nu})\) normalise celle \(\hat{\mathcal{T}}'_{g,\nu}\) de \(\hat{\mathcal{T}}^{+}_{g,\nu}\) (le partie « Teichmüller profini ») et l'image \[(10)\qquad \mathcal{M}'_{g,\nu}/\mathcal{T}'_{g,\nu} \simeq \text{quotient de } \Gamma_{\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\]

NB on peut prouver que pour \(g\) fixé, \(\nu\) grand, c'est un isom. avec \(\Gamma_{\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\) lui-même ([…]). Mais je pense que c'est toujours un isom. C'est le cas pour \(g=0\) (où le cas critique est \(\nu=3\)) – ce qui […] ⌜équivaut à dire aussi que⌝

\begin{tikzcd}
\Gamma_{\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} \arrow[r, hook] & \mathrm{Autext}_{\mathrm{loc}}(\hat\pi_{0,3})
\end{tikzcd}

Sous cette flèche, une première version biffée : \(\mathcal{M}_{0,3}\hookrightarrow\mathrm{Aut}\).

(NB \[\mathcal{N}_{0,3} \simeq \hat{\mathcal{T}}^{+}_{0,3} \times \mathcal{N}^{!}_{0,3}, \qquad \hat{\mathcal{T}}^{+}_{0,3} = \mathcal{T}^{+}_{0,3} = \mathfrak{S}_3, \qquad \mathcal{N}^{!}_{0,3} \simeq \Gamma_{\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\,)\] et pour \(g=1\) (cas critique \(\nu=1\))

14Il numérote ce feuillet (2) en haut à gauche ; la p. 12 en est vraisemblablement le (1).

Soit maintenant \(k\) une ext. alg. close de \(\mathbb{Q}\) ([…] \(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}\)), et \(X\) une courbe de type \(g,\nu\) sur \(k\), \(x\in X\). Alors \(X\) correspond à un pt géom. \[\begin{gathered} \xi\in\operatorname{Ob}\mathrm{Pt}(M_{g,\nu},k) \simeq\operatorname{Ob}\mathrm{Pt}(M_{g,\nu\,k}/k)\\ X\simeq(\mathcal{X}_{g,\nu\,k})_\xi \end{gathered}\] \(\xi\), \(\{x\}\in\operatorname{Ob}\mathrm{Pt}(\mathcal{X}_{g,\nu\,k},k)\) \({}\simeq\operatorname{Ob}\mathrm{Pt}(\mathcal{X}_{g,\nu\,k}/k)\) (\(x\) au-dessus de \(\xi\)) Dans les \(\mathrm{Pt}\) de cette page comme de la p. 12, le symbole est souligné sur la page.

[…] Considérons \(\pi_1(\mathcal{X}_{g,\nu})\) (11) \[\begin{cases} \mathcal{T}_X \overset{\mathrm{déf}}{=} \pi_1(M_{g,\nu\,k},\xi), \quad \mathcal{M}_X=\pi_1(M_{g,\nu},\xi)\\ \mathfrak{S}_{X,x} = \pi_1(\mathcal{X}_{g,\nu\,k},x), \quad \mathcal{N}_{X,x}=\pi_1(\mathcal{X}_{g,\nu},x)\\ \pi_{X,x} = \pi_1(X,x) \end{cases}\] Les lettres \(\mathcal{M}\) et \(\mathcal{N}\) semblent ici échangées par rapport à la p. 12 (où \(\mathcal{N}\) est le \(\pi_1\) de l'espace de modules et \(\mathcal{M}\) celui de la courbe universelle) ; le diagramme (12) ci-dessous revient à l'usage de la p. 12. Transcrit tel quel.

d'où (12)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & 1 \arrow[d] & 1 \arrow[d] & \\
1 \arrow[r] & \pi_{X,x} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel"] & \mathfrak{S}_{X,x} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{T}_X \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\
1 \arrow[r] & \pi_{X,x} \arrow[r] & \mathcal{M}_{X,x} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{N}_X \arrow[r] \arrow[d] & 1 \\
 & & \Gamma_{\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} \arrow[r, "\sim"] & \Gamma_{\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} \arrow[d] & \\
 & & & 1 &
\end{tikzcd}

[…] \(\bar{\mathbb{Q}}\) […] clôture alg. de \(\mathbb{Q}\) dans \(k\)

Une première rédaction biffée commençait la deuxième ligne par « On a des isom. […] » ; au bas de la colonne de gauche, « \(\Gamma\) » porte une marque biffée.

On a un isom. […] extérieur canonique […] \[(13)\qquad \mathcal{M}_{X,x}\xrightarrow{\ \sim\ }\mathcal{M}_{g,\nu}\] (i.e. isom. défini à automorph. int. près), définissant un isom. des suites exactes entre (12) et (5), conséquence : (14)

Le diagramme suivant est biffé d'un trait sur chacune de ses lignes. \(1\to\pi_{X,x}\to\mathfrak{S}_{X,x}\to\mathcal{T}_X\to 1\)

\(1\to\hat\pi_{g,\nu}\to\hat{\mathfrak{S}}_{g,\nu}\to\hat{\mathcal{T}}_{g,\nu}\to 1\) Les deux lignes sont reliées par des flèches verticales marquées \(\simeq\). \[(14)\qquad \pi_{X,x}\ \overset{\mathrm{iso}}{\simeq}\ \hat\pi_{g,\nu}\] défini mod. opération de \(\mathcal{M}_{g,\nu}\supset\hat{\mathfrak{S}}_{g,\nu}\). C'est une structure supplémentaire ⌜canonique⌝ sur le groupe profini extérieur \(\pi_{X,x}\), Weil […] « arithmétisation canonique » : restriction du groupe structural

15\(\mathrm{Autext}_{\mathrm{loc}}(\hat\pi_{g,\nu})\) dans \(\mathrm{Isomext}_{\mathrm{loc}}(\hat\pi_{g,\nu},\pi_{X,x})\), […] sous-groupe \(\mathcal{N}'_{g,\nu}\) image de \(\mathcal{N}_{g,\nu}\). Sous \(\mathrm{Autext}_{\mathrm{loc}}(\hat\pi_{g,\nu})\) la page porte un signe \(\cup\) au-dessus de \(\mathcal{N}'_{g,\nu}\) ; le début de la phrase est sur la page précédente.

Mais si \(\mathcal{N}_{g,\nu}\xrightarrow{\mathrm{épi}}\mathcal{N}'_{g,\nu}\) n'était pas iso, il serait quand\({}={}\)même plus fin de dire que via (13), on a un torseur canonique \[(15)\qquad P_{X,x} = \mathrm{Isom}_{\substack{\text{groupoïde}\\ \text{fond.\ de}\\ \mathcal{X}_{g,\nu\,\mathbb{Q}}}}(x_0,x)\] torseur à droite sous \(\mathcal{M}_{g,\nu}\), et un hom. \[(16)\qquad P_{X,x}\longrightarrow\mathrm{Isom}_{\mathrm{loc}}(\hat\pi_{g,\nu},\pi_{X,x})\] compatible avec \[\struck{(17)}\qquad \mathcal{M}_{g,\nu}\xrightarrow{\ \mathrm{can}\ }\mathrm{Aut}_{\mathrm{loc}}(\hat\pi_{g,\nu})\] Le but de cette flèche est récrit sur un premier mot biffé. sur les groupes d'opérateurs, d'où par passage au quotient par \(\hat\pi_{g,\nu}\) \[(17)\qquad Q_{X}\longrightarrow\mathrm{Isomext}_{\mathrm{loc}}(\hat\pi_{g,\nu},\pi_{X,x})\] \(\Bigl(P_{X,x}/\hat\pi_{X,x}\simeq\mathrm{Isom}_{\substack{\text{groupoïde}\\ \text{fond.\ de } M_{g,\nu\,\mathbb{Q}}}}(\xi_0,\xi)\Bigr)\), Sous \(Q_X\), un signe \(\simeq\) vertical renvoie à cette parenthèse. compatible avec \[\mathcal{N}_{g,\nu}\longrightarrow\mathrm{Autext}_{\mathrm{loc}}(\hat\pi_{g,\nu},\pi_{X,x})\] Et (17) Les données (16) et (17) sont équivalentes. (Ce […] que structure suppl. sur \(\pi_{X,x}\)) – c'est une « arithmétisation » en un sens plus fin que via \(P'_{X,x}\), \(Q'_{X}\) (images de \(P_{X,x}\), \(Q_X\))

16Feuillet numéroté (3) de sa main, à la suite des p. 12 et 14.

NB Si on réduit ⌜étend⌝ le groupe structural de \(Q_X\) sous \(\mathcal{N}_{g,\nu}\) via \(\Gamma_{\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\) (⌜sous-groupe […]⌝), on trouve \[(18)\qquad R_X \overset{\mathrm{déf}}{=} Q_X \wedge^{\mathcal{N}_{g,\nu}} \Gamma_{\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} \simeq R_X/\hat{\mathcal{T}}^{+}_{g,\nu}\] Le membre de droite se lit bien \(R_X/\hat{\mathcal{T}}^{+}_{g,\nu}\), sans doute pour \(Q_X/\hat{\mathcal{T}}^{+}_{g,\nu}\) ; transcrit tel quel. et ce \(\Gamma_{\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\)-torseur est canonique : \[(19)\qquad \begin{cases} R_X \simeq \mathrm{Isom}_{\substack{\text{grpd.\ fond.}\\ \text{de } \operatorname{Spec}\mathbb{Q}}}(\operatorname{Spec}\bar{\mathbb{Q}},\operatorname{Spec}\tilde{\mathbb{Q}})\\ \phantom{R_X}\simeq \mathrm{Isom}(\bar{\mathbb{Q}},\tilde{\mathbb{Q}})\\ \phantom{R_X}\simeq \mathrm{plongts}(\bar{\mathbb{Q}},k) \end{cases}\] Donc, la donnée d'une trivialisation de \(R_X\), i.e. d'une restriction du groupe structural de \(Q_X\) de \(\mathcal{N}_{g,\nu}\) à \(\hat{\mathcal{T}}^{+}_{g,\nu}\) (ou de \(P_{X,x}\) de \(\mathcal{M}_{g,\nu}\) à \(\hat{\mathfrak{S}}^{+}_{g,\nu}\)) équivaut à la donnée d'un isom. \[(20)\qquad \bar{\mathbb{Q}}\simeq\tilde{\mathbb{Q}}, \quad\text{i.e.\ plongement } \bar{\mathbb{Q}}\to k.\] \(\tilde{\mathbb{Q}}\) désigne vraisemblablement la clôture algébrique de \(\mathbb{Q}\) dans \(k\), comme dans la marge de la p. 14.

17NB Donnons-nous un plongement \[k\overset{\varphi}{\hookrightarrow}\mathbb{C}\] alors i.e. ⌜alors ce⌝ plongement permet de réduire le groupe structural du torseur \(P_{X,x}\) […] ⌜de⌝ \(\mathcal{M}_{g,\nu}\) au sous-groupe \(\mathfrak{S}^{+}_{g,\nu}\), ce qui revient au même, le groupe structural \(\mathcal{N}_{g,\nu}\) de \(Q_X\) au sous-groupe \(\mathcal{T}^{+}_{g,\nu}\) (structure de « discrétification » ⌜« variantes »⌝ des groupes profinis \(\pi_{X,x}\)) : a fortiori \[(21)\qquad \begin{cases} P^{\varphi}_{X,x}\subset P_{X,x} &\Longleftrightarrow\quad Q^{\varphi}_X\subset Q_X\\ \mathfrak{S}^{+}_{g,\nu}\subset\mathcal{M}_{g,\nu} &\phantom{\Longleftrightarrow}\quad \mathcal{T}^{+}_{g,\nu}\subset\mathcal{N}_{g,\nu} \end{cases}\] a fortiori, par passage aux adhérences, on trouve \[(22)\qquad \begin{cases} \widehat{P^{\varphi}_{X,x}}\subset P_{X,x} &\Longleftrightarrow\quad \hat{Q}^{\varphi}_X\subset Q_X\\ \hat{\mathfrak{S}}^{+}_{g,\nu}\subset\mathcal{M}_{g,\nu} &\phantom{\Longleftrightarrow}\quad \hat{\mathcal{T}}^{+}_{g,\nu}\subset\mathcal{N}_{g,\nu} \end{cases}\] qui ⌜dont⌝ la donnée équivaut, par ce qui précède à la page précédente, à celle d'un iso plongt \(\tilde{\mathbb{Q}}\to\bar{\mathbb{Q}}\). Un double trait vertical, dans la marge gauche, marque les quatre dernières lignes de la page. Cela montre que cette donnée (22) ne permet pas de reconstituer […] la donnée \(\varphi\) elle-même, mais seulement \(\varphi\,|\,\tilde{\mathbb{Q}}\). Mais je pense que la connaissance de \(\varphi\) \(P^{\varphi}_{X,x}\) (ou \(Q^{\varphi}_X\)) lui-même, pour tout \(X\) (et tout \(g,\nu\)) définit \(\varphi\) ….

184) Récapitulation (II) Le feuillet porte « 4) » en haut à gauche, à la suite des feuillets numérotés (2) et (3), p. 14 et 16.

\(k\) corps alg. clos, car. 0, i.e. […] \(\mathbb{Q}\to k\), \(X\) courbe de type \(g,\nu\) sur \(k\), \(x\in X\), d'où \[\xi\in M_{g,\nu}(k)=\Gamma(M_{g,\nu\,k}/k) \qquad X=\mathcal{X}_{g,\nu\,\xi}=(\mathcal{X}_{g,\nu\,k})_\xi, \qquad x\in\mathcal{X}_{g,\nu}(k)\] \(\xi\), \(x\) pts géométriques de \(M_{g,\nu\,\mathbb{Q}}\), \(\mathcal{X}_{g,\nu\,\mathbb{Q}}\), d'où par fibration exacte Dans la formule ci-dessus, le \(\Gamma\) est souligné sur la page ; un signe biffé, illisible, précède \(M_{g,\nu}(k)\).

(0)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathcal{X}_{g,\nu\,\mathbb{Q}} \arrow[d] & \mathcal{X}_{g,\nu\,k} \arrow[l, no head] \arrow[d, no head] \\
M_{g,\nu\,\mathbb{Q}} \arrow[d, no head] & M_{g,\nu\,k} \arrow[d, no head] \\
\mathbb{Q} & k \arrow[l, no head]
\end{tikzcd}

le diagramme de suites exactes

(1)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & 1 \arrow[d] & 1 \arrow[d] & & \\
 & \pi_{X,x} \arrow[r, no head, "="] \arrow[d] & \pi_{X,x} \arrow[d] & & \\
1 \arrow[r] & \mathfrak{S}_{X,x} \arrow[r] \arrow[d] & M_{X,x} \arrow[r] \arrow[d] & \Gamma_{\tilde{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel"] & 1 \\
1 \arrow[r] & \mathcal{T}_X \arrow[r] \arrow[d] & N_X \arrow[r] \arrow[d] & \Gamma_{\tilde{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} \arrow[r] & 1 \\
 & 1 & 1 & &
\end{tikzcd}

\(\tilde{\mathbb{Q}}\to\mathbb{C}\) clôture alg. de \(\mathbb{Q}\) dans \(k\)

NB Le diagramme équivaut à la donnée […] ⌜de \(N_X\)⌝ \[1\subset\pi_{X,x}\subset\mathfrak{S}_{X,x}\subset M_{X,x},\] Sous la chaîne, deux accolades : l'une sous \(\mathfrak{S}_{X,x}/\pi_{X,x}\) marquée \(\mathcal{T}_X\), l'autre sous \(M_{X,x}/\mathfrak{S}_{X,x}\) marquée \(\Gamma_{\tilde{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\). où \[(2)\qquad \text{déf}\quad \begin{cases} \pi_{X,x}=\pi_1(X,x) & (\simeq\hat\pi_{g,\nu}\ \text{\uncertain{non can.}})\\ \mathfrak{S}_{X,x}=\pi_1(\mathcal{X}_{g,\nu\,k},x) & (\simeq\hat{\mathfrak{S}}_{g,\nu}\ \text{---})\\ \mathcal{T}_X=\pi_1(M_{g,\nu\,k},\xi) & (\simeq\hat{\mathcal{T}}_{g,\nu}\ \cdots)\\ M_{X,x}=\pi_1(\mathcal{X}_{g,\nu},x) & (\simeq M_{g,\nu}\ \cdots)\\ N_X=\pi_1(M_{g,\nu},\xi) & (\simeq N_{g,\nu}\ \cdots) \end{cases}\] Sur cette page les groupes \(M\), \(N\) sont écrits en capitales droites, non en ronde comme \(\mathcal{M}\), \(\mathcal{N}\) aux p. 12–17 ; transcrits tels quels. Devant (2), une première amorce biffée (« \(\mathfrak{S}_{X,x}={}\) »).

Les derniers membres \(\hat\pi_{g,\nu}\) etc. se définissent comme les premiers, mais à l'aide de \((X_0,x_0)\) sur \(\mathbb{C}\), de type \(g,\nu\), définissant les pts géom. \(x_0\) et \(\xi_0\) de […] \(\mathcal{X}_{g,\nu\,\mathbb{Q}}\) et \(M_{g,\nu\,\mathbb{Q}}\).

19Les choix des derniers pts \(\xi_0\) : \(\xi\) définissent un torseur \[(3)\qquad P_{X,x}\ \text{torseur à droite sous } \mathcal{M}_{g,\nu} \quad(\text{\uncertain{commutant} à } \mathcal{M}_{X,x})\] de telle façon que (1) soit déduit du diagramme analogue pour \((X_0,x_0)\)

(\(1_{g,\nu}\))

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & 1 \arrow[d] & 1 \arrow[d] & & \\
 & \hat\pi_{g,\nu} \arrow[r, no head, "="] \arrow[d] & \hat\pi_{g,\nu} \arrow[d] & & \\
1 \arrow[r] & \hat{\mathfrak{S}}_{g,\nu} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{M}_{g,\nu} \arrow[r] \arrow[d] & \Gamma_{\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\parallel"] & 1 \\
1 \arrow[r] & \hat{\mathcal{T}}_{g,\nu} \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{N}_{g,\nu} \arrow[r] \arrow[d] & \Gamma_{\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} \arrow[r] & 1 \\
 & 1 & 1 & &
\end{tikzcd}

par le torseur, grâce à l'action de \(\mathcal{M}_{g,\nu}\) opérant par automorphismes sur lui-même, et sur sa filtration par \(\hat{\mathfrak{S}}_{g,\nu}\), \(\hat\pi_{g,\nu}\). En particulier \[(4)\qquad \begin{cases} \pi_{X,x}\simeq P_{X,x}\wedge^{\mathcal{M}_{g,\nu}}\hat\pi_{g,\nu}\\ \mathfrak{S}_{X,x}\simeq P_{X,x}\wedge^{\mathcal{M}_{g,\nu}}\hat{\mathfrak{S}}_{g,\nu}\\ \mathcal{T}_{X,x}\simeq P_{X,x}\wedge^{\mathcal{M}_{g,\nu}}\hat{\mathcal{T}}_{g,\nu} \simeq Q_X\wedge^{\mathcal{N}_{g,\nu}}\hat{\mathcal{T}}_{g,\nu}\\ \mathcal{M}_{X,x}\simeq P_{X,x}\wedge^{\mathcal{M}_{g,\nu}}\mathcal{M}_{g,\nu}\\ \mathcal{N}_X\simeq P_{X,x}\wedge^{\mathcal{M}_{g,\nu}}\mathcal{N}_{g,\nu} \simeq Q_X\wedge^{\mathcal{N}_{g,\nu}}\mathcal{N}_{g,\nu}\\ \tilde{\mathbb{Q}}\simeq P_{X,x}\wedge^{\mathcal{M}_{g,\nu}}\bar{\mathbb{Q}} \simeq Q_X\wedge^{\mathcal{N}_{g,\nu}}\bar{\mathbb{Q}} \simeq R\wedge^{\Gamma_{\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}}\bar{\mathbb{Q}} \end{cases}\] Les produits contractés sont écrits \(P\wedge_{G}A\), le groupe en indice ; on les rend \(P\wedge^{G}A\). À la fin de la deuxième ligne, un \(\mathcal{M}_{X,x}\) biffé.

20Feuillet marqué « 5) » en haut à gauche.

où \[(5)\qquad Q_X=P_{X,x}\wedge^{\mathcal{M}_{g,\nu}}\mathcal{N}_{g,\nu}, \qquad R=P_{X,x}\wedge^{\mathcal{M}_{g,\nu}}\Gamma_{\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}} \simeq Q_X\wedge^{\mathcal{N}_{g,\nu}}\Gamma_{\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}}\] Ainsi, \(\tilde{\mathbb{Q}}\) et (1) sont connus par la connaissance du ⌜\(\mathcal{M}_{g,\nu}\)-tors.⌝ \(P_{X,x}\) (3). Mais bien sûr, même si \(k\) est alg. sur \(\mathbb{Q}\) (\(k=\tilde{\mathbb{Q}}\), voire \(k=\bar{\mathbb{Q}}\) i.e. avec \(R\) trivialisé) la donnée de \(Q\) \(P_{X,x}\) ne permet pas de récupérer \(X\) sur \(k\) – p. ex. les automorph. des torseurs \(P_{X,x}\) sont les éléments de \(\mathcal{M}_{X,x}\) – ils ont la puissance du continu – quand même \(\tilde{\mathbb{Q}}\) \(\hat{\mathfrak{S}}_{g,\nu}\)-torseurs correspondant à une restriction des groupes structuraux à \(\hat{\mathcal{T}}_{g,\nu}\) i.e. à un iso. \(\tilde{\mathbb{Q}}\simeq\bar{\mathbb{Q}}\), correspondant à un élément de \(\mathfrak{S}_{X,x}\) – il a la puissance du continu, tandis que les automorph. de \(X,x\) compatibles avec l'identité sur \(k=\tilde{\mathbb{Q}}\) (\({}\simeq\bar{\mathbb{Q}}\) ⌜donné⌝) forment un groupe fini !

Mais … \[(6)\qquad k=\varinjlim_i K_i\] les \(K_i\) sous-corps de t.f. – et […] ⌜la⌝ structure dite \((X,x)\) implique une structure L'argument se poursuit au-delà de ce lot.