Cote n° 142, pages 101–120

Cote n° 142 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · Action de Galois sur Teichmüller : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978]
Édition de démonstration

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101la page continue une discussion commencée avant ce lot : les conditions 2°, 3°, 4° auxquelles elle renvoie sont énoncées dans les pages précédentes. À vrai dire, il ne serait pas difficile d'expliciter une condition 5°) qui mette ensemble 3°) et 4°), quand on se donne […] $X'_1 \to X'_2$, un morphisme \[X'_1 \xrightarrow{\;f_1\;} Y, \qquad X'_2 \xrightarrow{\;f_2\;} Y\] au-dessus de $X'_1 \to X'_2$, une flèche biffée et surchargée, et une flèche oblique $f_1$ vers $Y$ ; le petit diagramme est trop raturé pour être rendu fidèlement. […] $f_2$ […] induisant des homomorphismes fidèles sur les $\pi_1$, de sorte que surjectif sur les fibres pour l'application […] $\hat\pi_1(X'_2, I'_2)$, de partition […] […] $\Theta'_2$ de $\Theta$ sur $\hat\pi_1(Y, f_2(I'_2))$, soit que l'action […] respecte les dessins pour : $\hat\pi_1(Y, f_2(I'_2))$ … Mais je ne sais pas encore si j'aurai besoin de cette généralisation commune de 3° et 4° (cet $=$ de 2°, 3°, 4°, à mon avis !).

Les conditions 2° : 4° sont pour moi seulement nécessaires pour trouver […] des conditions nécessaires sur les paramètres introduits qui répondent aux […] pour que ils soient effectifs, i.e. proviennent tel […] et […] d'un […]. Le problème de trouver l'ensemble naturellement […] de dégager des conditions nécessaires et suffisantes qui permettent de caractériser les $\Theta$ provenant de $\Gamma$ …

102Soit $X/K$, et soit $T$ une partie de $X(\mathbb{C})$ ⌜$X =$ […]⌝, loc[alemen]t fermée 1-connexe. Soit $X' \to X$ un […] ⌜un⌝ voisinage […] $K$-multiplicité, qui sur les points de un voisinage de $T$ soit fini étale. Alors $X' \mid T = X'_T$ […] un ens[emble] fini de copies de $T$ ; il y a une relation d'équivalence des […] […] la $T$-adjacence de points de $X'$ au-dessus de $T$. On se donne $X'_T$ $x', y' \in X'_T$ $T$-adjacents ; on note $W'$ … $x', y' \in X'_{\bar K}$ si $u \in \Gamma$, on a $u(x')$, $u(y')$ […] sont aussi $T$-adjacents. Mais si on les […], on trouve $\hat\pi_1(X'_{\bar K}, \ldots)$ ⌜dans $T$-horizontal⌝ […]. On peut regarder $l^{T}_{x';y'} : x' \to y'$ dans […] et les transformés, […] […] : $u(l^{T}_{y';x'})$ et la composition : $l^{T}_{u(y'),u(x')}$ qui lie $u(x'), u(y')$ (d'homotopie horizontale) défini par lui. \[\begin{equation*} \tag{53} u\, l^{T}_{y';x'} \;=\; g^{T}_{x,y}(u)\; l^{T}_{u(y'),u(x')} \end{equation*}\] où \[g^{T}_{x',y'}(u) \in \hat\pi_1\bigl(X',\, T(u(x'),u(y'))\bigr)\] $T(u(x'),u(y'))$ : structure horizontale de $X'_T$ qui contient $u(x')$, $u(y')$ l'indice de $g$ dans (53) se lit $x,y$ ; dans la ligne suivante il porte un exposant raturé et se lit $x',y'$.

Ceci posé, on voit \[\begin{equation*} \tag{54} \hat f\bigl(\underbrace{g^{T}_{y';x'}(u)}_{\in\, \hat\pi_1(X,T)}\bigr) \;=\; g^{T}_{y,x}(u) \end{equation*}\]

103Prenons que […] ⌜les composantes connexes⌝ $T_\alpha$ de $X'_T$, considérons \[\hat\varphi_\alpha : \hat\pi_1(X'_{\bar K}, T_\alpha) \longrightarrow \hat\pi_1(X, T)\] (c'est un hom[omorphisme] injectif si $X'$ rev[êtement] étale de $X$), et tous les éléments […] images des $\varphi_\alpha$ sont les conjugués ⌜si […] l'on prend des points $x'_\alpha, y'_\alpha$ convenables⌝ des […] de l'[…] […]. Donc (la formule (54) ⌜pour tout $\alpha$⌝) […] […] : \[g^{T}_{y,x}(u) \in \bigcap_{\alpha \in \pi_0(X'_T)} \operatorname{Im} \hat\varphi_\alpha \qquad \forall u \in \Gamma = \Gamma_{\bar K/K}\] une condition utile nécessaire, issue de la variété (finie topologique […]) $X'$ puisque particulière étale […] d'une […] $K$-schéma, pour laquelle $f : X' \to X$ soit net $/K$, et telle que $\forall \alpha \in \pi_0(X'_T)$, $x'_\alpha, y'_\alpha$ $\forall u \in \Gamma$, $u(x'_\alpha)$ et $u(y'_\alpha)$ soient $T$-adjacents (ce qui est une condition nettement plus faible que celle que $x', y' \in X'_{\bar K}$ ⌜i.e. $x', y'$⌝ soient fixés sous $\Gamma$)…

Si $X'$ est un rev. de $X$, l'ens[emble] $E = \pi_0(X'_T)$ des « feuilles » (55) qui […] de $X'$ […], $\pi = \pi_1(X,T)$, est la « fibre » définie par $T \to X$ ($T$ 1-connexe), […] une action de $\pi$ sur $E$, et […] dist. […] $\pi \to \mathfrak{S}_E$ […] […] note marginale écrite en diagonale dans l'angle inférieur gauche de la page ; lecture très partielle.

Groupoïde fondamental d'une carte trouée (préliminaires à l'action de Galois)

titre écrit de sa main sur une feuille de garde, p. 104, avec la mention « (14 pages) » ; la feuille ne porte rien d'autre.

105page de quatre figures : la sphère privée de $0, 1, \infty$, chaque point entouré d'un petit cercle, avec des sommets marqués sur ces cercles et des chemins orientés entre eux ; ce sont des présentations du groupoïde fondamental relatif à divers ensembles de points de base.

Première figure. Trois petits cercles autour de $0$, $1$, $\infty$, deux sommets sur chacun ; les arcs des cercles portent $\lambda^0_+, \lambda^0_-$, $\lambda^1_+, \lambda^1_-$, $\lambda^\infty_+, \lambda^\infty_-$ ; trois chemins $a^1$ (de $\infty$ vers $0$), $a^\infty$ (de $0$ vers $1$), $a^0$ (de $1$ vers $\infty$). Légende : « 6 sommets, 9 flèches, 1 2 relations ».

Deuxième figure. Même sphère ; un seul sommet sur chacun des cercles de $0$ et $\infty$, deux sur celui de $1$ ; flèches $\Lambda^\infty_+$, $\Lambda^0_+$, $\lambda^1_+$, $\lambda^1_-$, $a^\infty$ (de $0$ vers $1$), $a^0$ (de $1$ vers $\infty$). Légende : « 4 sommets, 1 relation, 6 flèches » ; dessous : « 3 cas ».

Troisième figure, biffée de traits en zigzag : cercles autour de $\infty$, $0$, $1$, un chemin de $1$ vers $\infty$ et un de $0$ vers $1$ ; au-dessus, « 1 cas ».

Quatrième figure. Cercles autour de $0$ et $1$, un chemin $a^\infty$ de $0$ vers $1$, le point $\infty$ isolé dans un petit cercle. Inscriptions $\Lambda^0_+ = (\Lambda^0_-)^{-1}$, $\Lambda'^1_- = (\Lambda'^1_+)^{-1}$. Légende : « 2 sommets, trois flèches, 0 relation » ; dessous : « 3 cas ».

Cinquième figure. Un seul sommet sur le cercle de $0$, un chemin vers le cercle de $1$ (étiquette raturée), le point $\infty$ isolé ; flèches $\Lambda^+_0$ et $\Lambda^{01}_+$. Légende : « 1 sommet, 2 flèches, 0 relation » ; dessous : « 3 cas. »

107Au crayon, deux sphères. La première : pôles $0$ (en haut) et $\infty$ (en bas), méridiens et équateur ; sur l'équateur, quatre petits cercles orientés autour de $1$, $i$, $-1$, $-i$ (étiquettes partiellement lisibles), reliés aux pôles par des chemins fléchés, certains en pointillé.

À droite de la première sphère : \[z \mapsto -z, \qquad z \mapsto \frac{1}{z}, \qquad \text{\struck{\ill{}}}\] \[1 \longrightarrow \mathbb{F}_2^{\,2} \longrightarrow \mathfrak{A}_4 \longrightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \longrightarrow 1\]

La seconde sphère : petit cercle orienté autour du pôle supérieur et autour de $\infty$ en bas ; sur l'équateur, cercles autour de $1$ et $-1$, points $-i$ et $i$ ; chemins marqués $\beta$, « $\beta$ relevé », « $\gamma$ relevé » (deux fois), le dernier avec la mention « $\gamma$ relevé, symétrique de […] ».

\[l_\infty\, l_1\, l_0\, l_{-1} = 1\] dans le symbole $\mathfrak{A}_4$ la lettre est une capitale cursive, lue comme le groupe alterné.

109la feuille porte deux couches d'écriture tête-bêche : en haut, à l'endroit, des formules sur les sous-groupes ; le reste de la page, retourné, est occupé par des dessins de sphères. On donne d'abord les formules, puis les dessins.

\[E_0 \;\text{---}\; \pi_0(E_0) \;\text{\struck{$\simeq E_0/\pi \;\mathrm{Ssgr}($}}\]

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  E_0 \arrow[r, no head] \arrow[d] & \pi_0(E_0) \arrow[d] \\
  \mathrm{Ssgr}(\pi) \arrow[r] & \mathrm{Ssgr}(E)/\pi
\end{tikzcd}

les deux flèches verticales descendent de $E_0$ et de $\pi_0(E_0)$ ; sous la ligne du bas, une accolade porte l'inscription « $\Sigma$ opérant ci-dessus » (lecture incertaine, la lettre surchargée).

\[\Sigma \;(= \Gamma \cdot \pi) \supset \pi \;\text{---}\; E_0 \longrightarrow \mathrm{Ssgr}(\pi)/\pi, \qquad \Sigma/\pi = \Gamma\] une flèche descend de $\Sigma$ vers $\mathrm{Ssgr}(\pi)/\pi$.

Partie retournée. Une sphère avec pôles $0$ et $\infty$, l'équateur passant par $1$, quatre petits cercles sur l'équateur ($a$, $b$ marqués) ; deux flèches en partent vers le bas, avec la légende « division par $D$ (multiplication par les […] $R_s$) ». Une seconde flèche « division par $D^+$ (multiplication […] sur $(0, \infty)$) » mène à une sphère dont l'équateur passe par $1$.

Sphère centrale, au crayon et à l'encre : sur l'équateur le point $Q_1$ près de $-1$, le cercle autour de $1$ avec $s^+_1$, $s^-_1$, $a^{++}_1$, $a^{+-}_1$ ; chemins $b^+_1$, $b^-_1$ vers les cercles des pôles ($R^-_\infty$, $a^-_\infty$, $R^+_\infty$, $a^+_\infty$) ; inscriptions $d^+_1 (c^+_1)^{-1}$, $(a^-_1 a^+_1)^{-1}$, $d^-_1 (c^-_1)^{-1}$ ; un axe traverse la sphère, une flèche de rotation à côté.

Sphère inférieure : pôles marqués $-\zeta$ et $-\bar\zeta$ (lecture incertaine), cercles autour de $\infty$ (point $R^+_\infty$), de $0$ (point $R_0$) et de $1$ ; chemins $c^\pm_1$, $d^\pm_1$, $b^\pm_1$, $a^{\pm\pm}_1$, $s^\pm_1$, le point $Q_1$. À côté : « stable par symétrie autour de l'axe ».

À gauche, deux sphères raturées ; sur la seconde, les points $0$, $1$, $\infty$ sur un équateur, une moitié hachurée. À côté, la table $0, \infty \mapsto \infty$, $1 \mapsto 0$, $-1 \mapsto 1$.

110\[\Sigma_J = \mathbb{P}\bigl(V(J)\bigr) \simeq \check{\mathbb{P}}\bigl(V(J)\bigr)\] le premier $\mathbb{P}$ est récrit sur une autre lettre.

Suite $0 \to F \to V(J)_\Sigma \to \mathcal{O}_\Sigma(1) \to 0$ $0 \to V(J) \to \mathcal{O}^J \xrightarrow{\text{somme}} \mathcal{O} \to 0$

\[F(1) \simeq \mathcal{O}(\omega)\] ($\mathcal{O}$ tordu par $\underline{\omega} = \underline{\omega}(J)$, i.e. $\det V(J)$) \[\check{\mathcal{O}}(1) \simeq \check F(\omega)\] (par $F \wedge \mathcal{O}_\Sigma(1) \xrightarrow{\sim} \det V(J)_\Sigma \simeq \mathcal{O}_\Sigma(\omega_\Sigma)$, prod. ext.) attention signe ! \[\Omega^1_\Sigma \simeq F(-1) \simeq \mathcal{O}(-2)(\omega), \qquad \check\Omega^1_\Sigma \simeq \mathcal{O}(2)(\omega) \quad \text{fibré tangent à } \Sigma\]

Accouplement $F \times V(J) \to \underline{\mathcal{O}}$ […] donné par […] (isomorphisme) $x \wedge y \wedge \ldots = \lambda \, x \wedge y \wedge \ldots$, $x \in F$, $y \in V(J)$ […] i.e. […] […] de $(x, y)$. note marginale en diagonale, à gauche du haut de la page ; lecture très partielle.

Points $R_i$ ($i \in J$) (« trous ») de $\Sigma$ et $\mathbb{P}\Sigma$ ; $\tilde R_i$ ⌜(entouré)⌝ $R_i \subset$ $\mathbb{V}(J)$ $\mathcal{O}(1)_{R_i} \simeq \mathcal{O}$ $\tilde R_i$ pt au-dessus de $R_i$, image de $e_i - e_j = \varphi_{ji}$ ($\equiv e_i - e_k$) dans $V(J)/R_i$ ; $R_i = \mathcal{O}_k(e_k - e_j) \simeq \mathcal{O}(\underline\omega)$ l'indice $k$ de $\mathcal{O}$ est douteux. on a choisi $e_k - e_j$, l'orientation $(i, j, k)$. Désignons par $\tilde R_i$ … dans $\mathbb{P}\Sigma_J = \check{\mathbb{V}}^*(\mathcal{O}_\Sigma(1))$ l'élément $1$ au-dessus de $R_i$. \[\Gamma\bigl(\Sigma_J, \mathcal{O}_\Sigma(1)\bigr) \simeq V(J) \qquad \text{\struck{$e_j - e_k$ section $\omega_{j,k}$}}\] \[\varphi_{jk} = e_k - e_j \in \Gamma\bigl(\Sigma, \mathcal{O}_\Sigma(1)\bigr) \quad \text{nulle en } R_i, \qquad \varphi_{kj} = -\varphi_{jk}\] $\varphi_{ij} + \varphi_{jk} + \varphi_{ki} = 0$ \[\varphi_{jk}(R_i) = 0 \qquad \boxed{\varphi_{jk}(R_k) = \tilde R_k, \quad \varphi_{jk}(R_j) = -\tilde R_j}\] attention signes !

Points $Q_i$ ($i \in J$), $Q^\omega_i$ ($i \in J$, $\omega \in \underline\omega$) $Q_i \subset$ $\mathbb{V}(J)$ $= \mathcal{O}\bigl(-2e_i + (e_j + e_k)\bigr)$ $\mathcal{O}(1)_{Q_i} \simeq \mathcal{O}(\underline\omega)$ les deux points privilégiés de $\mathcal{O}(\underline\omega)^*_{Q_i}$, indexés par $\underline\omega$, sont notés $\tilde Q_i, \tilde Q'_i$, ou $Q_{i,\omega}$ ($(i,\omega) \in J \times \underline\omega$)

($e_i - e_j = e_{\omega i} - e_{\omega^2 i}$ dans $V(J)$ mod $Q_i$) donc […] pour $\varphi_{\omega i, \omega' i}(Q_i) =$ \[\tilde Q_i = \varphi_{jk}(Q_i), \qquad \tilde Q'_i = -\varphi_{jk}(Q_i) = \varphi_{kj}(Q_i)\] \[\boxed{Q^\omega_{i} = \varphi_{\omega i, \omega' i}(Q_i)}\] la formule encadrée est récrite plusieurs fois ; l'indice de $\varphi$ est en partie noyé dans l'encre. encadré : $Q^{\omega+1}_i = -Q^\omega_i$ ; $\varphi_{\omega i, \omega' i}(Q_i) = \ldots$ […]

Points $P_\omega$ ($\omega \in \underline\omega$), $P^\omega_i$ ($i \in J$, $\omega \in \underline\omega$). Soit $\zeta$ une racine primitive cubique de $1$ (on prendra $\zeta = \exp 2i\pi/3$).

Alors

111les ensembles $\Sigma$ portent en exposant de petites piles de signes ($\ast$ et points) qui disent quels points ont été ôtés ; on les rend par $\ast$ et $\cdot$ dans l'ordre où ils se lisent, sans garantir la disposition.

Carte régulière (orientée) des polygones réguliers $P_n$ ($n \geq 2$) en la trouant ⌜(au-dessus de)⌝ les sommets et les centres des faces et les milieux ⌜[…]⌝ des segments le « et » est souligné par lui. \[\Sigma_n^{\ast\ast} = \Sigma_n \setminus \bigl\{ S(\Sigma_n) \cup A(\Sigma_n) \cup F(\Sigma_n) \bigr\}\] centres faces divisions par $D_n^+ \subset D_{2n}^+$ \[\Sigma_n^{\ast\ast} \xrightarrow{\ \deg n\ } \Sigma_1^{\ast\ast} = \mathbb{P}_1 \setminus \{\underbrace{0, \infty}_{\text{« pôles »}}, 1, -1\} \xrightarrow{\ \deg 2\ } \Sigma_3^{\ast\cdot} = U_{0,3}\] division par $D_n/D_n^+$ (cartes régulières $\Sigma_\alpha$ à sommets) \[\Sigma_n^{\ast\ast} \simeq \Sigma_1^{\ast\ast}/D_n \;\; \text{\uncertain{(sic)}}\] sous $\Sigma_n^{\ast\ast}$, un signe $\simeq$ vertical renvoie à $\Sigma_{2n}^{\ast\cdot}$ ; à droite, $\Sigma_n^{\ast\ast}/D_n$ est relié à la ligne précédente par $\parallel$. La disposition exacte est incertaine. \[\Sigma_{2n}^{\ast\cdot} \longrightarrow \Sigma_1^{\ast\cdot} \xrightarrow{\ 2\ } \Sigma_1^{\ast\cdot} \simeq U_0^3\] division par $D_{2n}^+$

(on n'a troué que les sommets et centres faces) À cause de l'isomorphisme $D_{2n}$ opérant sur $\Sigma_n^{\ast\cdot}$ ($\simeq \Sigma_{2n}^{\ast\cdot}$), on peut […]

Diagramme de quotients :

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  & \Sigma_n^{\ast\cdot} \simeq \Sigma_{2n}^{\ast\cdot} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
  \Sigma_{2n}^{\ast\cdot}/D_{2n}^+ \arrow[d] & & \Sigma_n^{\ast\cdot}/D_n^+ \\
  \Sigma_{2n}^{\ast\cdot}/D_{2n} & &
\end{tikzcd}

le diagramme principal est à droite, entouré d'un trait :

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  & \Sigma_n^{\ast\cdot} \simeq \Sigma_{2n}^{\ast\cdot} \arrow[d] & \\
  & \Sigma_n^{\ast\cdot}/D_n^+ \simeq \Sigma_1^{\ast\ast} \simeq \Sigma_2^{\ast\cdot} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
  \Sigma_n^{\ast\ast}/D_{2n}^+ \arrow[dr] & & \Sigma_n^{\ast\cdot}/D_n \arrow[dl] \\
  & \Sigma_n^{\ast\cdot}/D_{2n} &
\end{tikzcd}

au-dessus du diagramme entouré, $\Sigma^{\ast\ast}/D_n$, relié par une flèche venant de la gauche. \[\Sigma_n^{\ast\ast} \xrightarrow{\ D_n^+\ } \Sigma_1^{\ast\cdot} \simeq U_0^3\] si on divise par $D_n$ tout entier, on trouve […] à une réflexion près les arêtes.

112la page reprend les notations de la p. 110 : points $R_i$, $Q_i$, $Q^\omega_i$ ; elle est faite surtout de figures.

Au crayon, trois bandes concentriques qui figurent le revêtement au-dessus de $\Sigma$ ; on y lit les points $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ (marqués d'une croix), $Q^{\omega'}_1$, $Q^{\omega^2}_1$, $Q^{\omega'}_3$, $Q^{\omega}_3$, et, autour de chaque trou $R_i$, les points $R_{i,\omega}$, $R_{i,\omega'}$, $\tilde R_i$, $-\tilde R_i$, $R^\omega_i$, $R^{\omega'}_i$, $-R^\omega_i$, $-R^{\omega'}_i$. Autour de $R_1$ et de $R_2$, à l'encre, de petits quadrilatères de flèches courbes reliant ces points.

Un cercle, le centre relié par des rayons au crayon à douze points du bord, nommés dans l'ordre $R^{\omega'}_2$, $-R^\omega_1$, $-R^{\omega'}_1$, $R^\omega_3$, $R^{\omega'}_3$, $-R^\omega_2$, $-R^{\omega'}_2$, $R^\omega_1$, $R^{\omega'}_1$, $-R^\omega_3$, $-R^{\omega'}_3$, $R^\omega_2$ ; des flèches courbes relient les points voisins deux à deux.

Un petit cercle avec les points $1$, $-1$ et $\zeta$, l'arc de $1$ à $\zeta$ fléché.

\[Q^\omega_i = R_j - R_k \longmapsto R_j - \zeta R_k = P^\omega_i \;\text{\struck{\ill{}}}\; = P^{\omega,\zeta}_i\] \[P^{\omega,\zeta}_i = R_{\omega i} \;\text{\struck{$\zeta$}}\; - \zeta R_{\omega^2 i} \;\equiv\; -P^{\omega,\zeta}_{\omega^2 i}\] \[P^{\omega',\zeta'}_i = R_{\omega' i} - \zeta' R_{\omega i} = R_k - \zeta^2 R_j = -\zeta' P^{\omega,\zeta}_i\] les exposants $\omega^4 i$, $\omega^2 i$ de la deuxième ligne sont en partie surchargés ; lecture incertaine.

$P^{\omega,\zeta}_i$ prend 12 valeurs distinctes ; $P_{i}$ six valeurs pour […] $\zeta$ fixé (les $P^\omega_i$) et les six […]

113p. 1 de l'auteur : le chiffre est en tête de la page ; la page suivante porte « 2 ».

Carte $\mathcal{X}$ (pas orientée) ⌜finie⌝, $\mathcal{R}$ ens[emble]. des repères, $S = S_0 \sqcup S_1 \sqcup S_\infty$ ⌜sommets, arêtes, faces⌝ l'ens[emble] de ces feuillets, identifiés aux à leurs centres, dans […] […] désignons par $\mathcal{X}$ aussi le […] complexe topologique correspondant : $\mathcal{X}$, \[S = S_0 \sqcup S_1 \sqcup S_\infty \subset \mathcal{X}\] si $\varphi \in S$, on désigne par $R_\varphi$ le sommet associé. On identifie un $r = (s, a, f) \in \mathcal{R}$ à la région triangulaire correspondante (c'est un triangle de la subdivision barycentrique), de sommets $R_s$, $R_a$, $R_f$, d'indices respectifs $0, 1, \infty$. On oriente un triangle dans le sens $0, 1, \infty$ (orientation du repère). Les repères « adjacents » à $r$ \[\tau_0(r),\ \tau_1(r),\ \tau_\infty(r),\] opposés respectivement aux sommets d'indice $0$, $1$, $\infty$ de $r$. Notons \[\begin{equation*} \tag{1} \begin{cases} \tau_1(\tau_0(r)) = \rho_\infty(r) \\ \tau_0(\tau_1(r)) = \rho_\infty^{-1}(r) \end{cases} \qquad \text{(face conservée)} \end{equation*}\] déduits de $r$ par « rotation » ⌜d'un cran⌝ autour des sommets, du type $\infty$ vers $0$, dans le sens indiqué de l'orientation définie par $r$ resp[ectivement]. dans le sens inverse. De même \[\begin{equation*} \tag{2} \begin{cases} \tau_\infty \tau_1(r) = \rho_0(r) \\ \tau_1 \tau_\infty(r) = \rho_0^{-1}(r) \end{cases} \qquad \text{(sommet conservé)} \end{equation*}\] où $\rho_0$ est la rotation ⌜d'un cran⌝ autour du sommet de type $0$, dans le sens indiqué par l'orientation définie par $r$. Enfin \[\begin{equation*} \tag{3} \tau_0 \tau_\infty(r) = \tau_\infty \tau_0(r) \overset{\text{def}}{=} \rho_1(r) \end{equation*}\]

À gauche, un morceau de carte et sa subdivision barycentrique : sommets marqués $0$, $1$, $\infty$, le triangle central $r$ (entouré) avec ses sommets $R^0_r$, $R^1_r$, $R^\infty_r$ et ses côtés $a^0_r$, $a^1_r$, $a^\infty_r$, $\lambda^0_r$, $\lambda^1_r$, $\lambda^\infty_r$ ; les triangles voisins sont étiquetés $\tau_0(r)$, $\tau_1(r)$, $\tau_\infty(r)$ (signe $-$), $\rho_\infty(r) = \tau_1\tau_0(r)$, $\rho_\infty^{-1}(r) = \tau_0(\tau_1(r))$, $\tau_\infty\tau_1(r) = \rho_0(r)$, $\tau_1\tau_\infty(r) = \rho_0^{-1}(r)$, $\rho_1(r) = \tau_0\tau_\infty(r) = \tau_\infty\tau_0(r)$ (signe $+$) ; les points $R_f$ ($\infty$), $R_s$ ($0$), $R_a$ ($1$), $R^{0,1}_r$, $R^{1,\infty}_r$, $R^{0,\infty}_r$ ; flèches courbes de rotation autour des sommets.

[Pour mémoire, les relations dans le groupe cartographique \[\begin{equation*} \tag{4} \tau_0^2 = \tau_1^2 = \tau_\infty^2 = (\tau_0 \tau_\infty)^2 = 1 \end{equation*}\] \[\begin{equation*} \tag{5} \begin{cases} \rho_\infty = \tau_1 \tau_0 \\ \rho_0 = \tau_\infty \tau_1 \\ \rho_1 = \tau_0 \tau_\infty \end{cases} \qquad \rho_\infty \rho_1 \rho_0 \;\text{\struck{$\rho_\infty$}}\; = 1 \end{equation*}\] ]

114p. 2 de l'auteur.

On introduit des sommets \[\begin{equation*} \tag{6} R^{i,j}_r \qquad r \in \mathcal{R},\ (i,j) \in \mathrm{Rep}\{0,1,\infty\} \quad \text{i.e.\ } i,j \in \{0,1,\infty\},\ i \neq j \end{equation*}\] comme indiqué, satisfaisant aux seules relations \[\begin{equation*} \tag{7} \boxed{R^{i,j}_r = R^{i,j}_{\tau_k(r)}, \quad k \notin \{i,j\}} \end{equation*}\] On dit que $R^{ij}_r$ est « proche » ⌜du sommet⌝ ⌜$R^i_r$ de $r$⌝ ($= R_s, R_a, R_f$ suivant le cas), il se trouve sur le côté […] ⌜qui joint⌝ … […] au sommet de type $j$.

On introduit des arcs \[\begin{equation*} \tag{8} \lambda^i_r : R^{i,i+1}_r \longrightarrow R^{i,i+2}_r \qquad r \in \mathcal{R},\ i \in \{0,1,\infty\} \end{equation*}\] \[\begin{equation*} \tag{9} a^i_r : R^{i+1,i}_r \;\text{\struck{\ill{}}}\; \longrightarrow R^{i+1,i+2}_r \qquad r \in \mathcal{R},\ i \in \{0,1,\infty\} \end{equation*}\] qui les $a^i_r$ entourent la droite du milieu repère $r$ en formant une contour fermé dans le sens […] ⌜défini par⌝ l'orientation de $r$ ⌜les $=$ désignent⌝ […] les $\lambda^i_r$ sont des portions d'arcs autour des sommets de $r$ du type $i$ dans le sens correspondant à l'orientation de $r$. (Cela […] signifie que : la convention de notation ne dépend que des sommets identifiés […] […] […]). On a les \[\begin{equation*} \tag{10} \boxed{a^i_r = a^i_{\tau_i(r)}} \end{equation*}\]

NB On écrit pour simplifier (8) et (9) … (11) … en notant $i+1$, $i+2$ ou plutôt les successeurs de $i$ dans l'ordre circulaire $(0, 1, \infty)$, $(1, \infty, 0)$, $(\infty, 0, 1)$ identifiés par $(i, i+1, i+2)$. NB On désigne appelle flèches les […] […] de […] sommets et arcs … les trous bordés par les $R^i_r$ (trous de dimension $= 1$) deux notes marginales écrites en diagonale dans la marge gauche ; lecture très partielle.

NB On désigne On observe que la carte combinatoire à trous réalisée par sa réalisation conforme canonique, qui est une surface $\mathcal{C}$ analytique réelle dans $\mathbb{C}^\ast$, dont on peut considérer la réalisation en les $R_\varphi$ ($\varphi \in S$) et la découpe de l'identité, qui est une surface à bord analytique réelle (mais pas conforme) dont l'intérieur coïncide avec $X \setminus S$, on la note la phrase se poursuit à la page suivante.

115$\tilde X^{\ast\ast}$ ; (les trois $\ast$ signifient qu'on a enlevé trois types ⌜de trous⌝ de points de type $0, 1, \infty$, des points comme seuls ⌜$\infty$, $1$⌝, on définirait de même $\tilde X^{\cdot\ast}$, $\tilde X^{\ast\ast}$, $\tilde X^{\ast\cdot}$, etc. […] L'intérieur de cette surface à bord, savoir $X \setminus S = X \setminus \{R_\varphi \mid \varphi \in S\}$, est noté $X^{\ast\ast}$, on définit de même $X^{\ast\ast}$ etc. Les points $R^{ij}_r$ et les chemins précédents sont regardés, la plus commodément, comme un point et chemins (parfaitement canoniques pas seulement des classes d'homotopie !) dans $\tilde X^{\ast\ast}$. On notera par les $R_\varphi$ ($\varphi \in S$) un seul point des $\tilde X^{\ast\ast}_{\varphi}$ mais dans l'application $C^\infty$ canoniques analytiques réelle) canonique \[\begin{equation*} \tag{11} \tilde X^{\ast\ast} \longrightarrow X \end{equation*}\] On pose $R^{ij}_r$ va sur $R^i_r = R_\varphi$, où $\varphi$ est le sommet ⌜point⌝ de type $i$ de $r$.

En marge gauche, un triangle de sommets $0$, $1$, $\infty$ ; à chaque sommet un petit arc fléché, et le long de la base une flèche intérieure marquée $b^0_r$.

On a, dans $\Pi_1 X^{\ast\ast}$, la relation \[\begin{equation*} \tag{12} \boxed{\underbrace{(\lambda^0_r)^{-1} a^1_r}_{\overset{\text{def}}{=}\, b^\infty_r}\; \underbrace{(\lambda^\infty_r)^{-1} a^0_r}_{b^1_r}\; \underbrace{(\lambda^1_r)^{-1} a^\infty_r}_{b^0_r} = 1} \qquad \text{lacet en } R^{1\infty}_r \end{equation*}\] Les sommets $R^{ij}_r$, les flèches $\lambda^i_r$ et $a^i_r$, et les relations (10) (12), forment une présentation du groupoïde $\Pi_1(\tilde X^{\ast\ast}, (R^{ij}_r))$. « on la note » (fin de p. 114) s'achève sur $\tilde X^{\ast\ast}$ en tête de cette page. Les exposants $\ast$, $\cdot$ sont lus comme à la p. 111, sans certitude sur leur disposition.

116p. 3 de l'auteur.

Les notations introduites sont telles qu'elles gardent un sens pour toute carte triangulaire « partielle » du type $\{0, 1, \infty\}$, sans que celle-ci […] soit la de […] nécessairement la subdivision barycentrique d'une carte $X$, condition qui s'exprime par la condition ⌜dernière⌝ relation \[\text{\struck{\ill{}}} \qquad (\tau_0 \tau_\infty)^2 = 1 \quad \text{i.e.} \quad \rho_1^2 = 1\] dans (4) (qui s'énonce donc par la suite) et qui signifie aussi que les points ⌜sommets⌝ de type $1$ sont d'ordre réduit $2$ (d'ordre ordinaire $4$), on aura que \[\tau_0 \tau_\infty(r) = \tau_\infty \tau_0(r) \qquad \text{pour tout } r.\] Dans le cas général, $\rho_1$ est donc une op[ération]. qui joue un peu plus un rôle particulier pour […] : c'est la « rotation d'un cran » de $r$ autour du sommet de type $1$, dans le […] sens de l'orientation de $r$.

On introduit \[\begin{equation*} \tag{13} \begin{cases} \Lambda^i_r = (\lambda^i_{\tau_{i+1}(r)})^{-1} \lambda^i_r : R^{i,i+1}_r \longrightarrow R^{i,i+1}_{\tau_{i+1}(r)} \\ \Lambda'^i_r = \lambda^i_{\tau_{i-1}(r)} (\lambda^i_r)^{-1} : R^{i,i-1}_r \longrightarrow R^{i,i-1}_{\tau_{i-1}(r)} \end{cases} \end{equation*}\] « rotation d'un double cran » autour du sommet de type $i$ de $r$, à partir du sommet proche de type $(i, i+1)$ ⌜resp. $(i, i-1)$⌝, dans le sens de rotation donné ⌜resp. au sens opposé⌝ par l'orientation de $r$. On a les relations \[\begin{equation*} \tag{14} \boxed{\Lambda^i_r \Lambda^i_{\tau_{i+1}(r)} = 1} \qquad \boxed{\Lambda'^i_r \Lambda'^i_{\tau_{i-1}(r)} = 1} \end{equation*}\] les indices $\tau_{i\pm1}$ de (13) et (14) sont lus avec hésitation : le signe en indice est mal formé.

En bas à gauche, un morceau de carte : le triangle $r$ entre les sommets $0$, $1$, $\infty$ (deux exemplaires de $0$, deux de $1$, deux de $\infty$ sur les bords) ; sommets proches $R^{0,1}_r$, $R^{1,\infty}_r$, $R^{\infty,0}_r$, $R^{0}_{\tau_1 r}$, $R^{1\infty}_{\tau_0 r}$, $R^{\infty,0}_{\tau_0 r}$ ; arcs $\lambda^0_r$, $\lambda^1_r$, $\lambda^\infty_r$, $\lambda^0_{\tau_1 r}$, $\lambda^1_{\tau_0 r}$, $\lambda^\infty_{\tau_0 r}$ ; et les doubles crans $\Lambda^0_r$, $\Lambda^1_r$, $\Lambda^\infty_r$ en arcs courbes autour des sommets.

117p. 4 de l'auteur ; en tête, « Suite ».

L'introduction des $\Lambda^i_r$

Fixons maintenant un indice de $\{0, 1, \infty\}$, disons $1$ (conséquence au cas où la triangulation est barycentrique, ⌜où⌝ donc $1$ joue un rôle particulier !). Nous pouvons éliminer les sommets $R^{ij}_r$ qui se trouvent sur des côtés de $r$ qui sont de type $1$, i.e. pour lesquels $i, j \neq 1$, et l'arc $a^1_r$ qui les joint, en gardant les sommets \[\begin{equation*} \tag{14} \{R^{ij}_r\} \quad \begin{cases} r \in \mathcal{R} \\ i \text{ ou } j \text{ est égal à } 1 \text{ i.e.\ } \{i,j\} \neq \{0,\infty\} \end{cases} \end{equation*}\] il numérote (14) à nouveau, alors que (14) désigne déjà les relations de la p. 116. et les arcs \[\begin{equation*} \tag{15} \begin{cases} \lambda^1_r & r \in \mathcal{R} \\ \Lambda^0_r,\ \Lambda^\infty_r & r \in \mathcal{R},\ \text{\struck{\ill{}}} \\ a^i_r & r \in \mathcal{R},\ i \in \{0, \infty\} \end{cases} \qquad \Lambda^0_r \Lambda^0_{\tau_1 r} = \end{equation*}\] avec comme relations les relations (14) de redondance ⌜pour $i = 0$ et $i = \infty$⌝ toutes les relations du type $\Lambda^0_r = 1$ et

\[\begin{equation*} \tag{16} \text{\struck{$\Lambda^\infty_{\tau_1 r} (a_{\tau_1 r})^{-1} \lambda^1_{\tau_1 r} (a^\infty_{\tau_1 r})^{-1} \Lambda^0_r a^\infty_r \lambda^1_r a^0_r = 1$}} \end{equation*}\] pour $r \in \mathcal{R}$ (lacet en $R^{\infty 1}_r$) NB Cette relation est équivalente à la relation où $r$ est remplacé par $\tau_1 r$ tout ce bloc est barré de traits obliques ; sous le premier facteur, l'accolade $\beta^{1\,-1}_{\tau_1 r}$, sous le dernier $\beta^1_r$.

\[\begin{equation*} \tag{16} \boxed{\Lambda'^\infty_{\tau_1(r)} \underbrace{\bigl(a^0_{\tau_1 r} (\lambda^1_{\tau_1 r})^{-1} a^\infty_{\tau_1 r}\bigr)}_{\beta^1_{\tau_1(r)}}{}^{\!-1} \Lambda^0_r \underbrace{\bigl((a^\infty_r)^{-1} \lambda^1_r (a^0_r)^{-1}\bigr)}_{\beta^{1\,-1}_r} = 1} \end{equation*}\] relation stable par passage de $r$ à $\tau_1(r)$, donc il suffit de la prendre pour $r \in \mathcal{R}^+$ (si $X$ orientable) l'exposant après la première parenthèse est surchargé ; lu $-1$ avec hésitation.

Au milieu à gauche, une étoile de triangles hachurés autour d'un sommet $1$, avec des sommets $0$, $\infty$ alternés sur le pourtour, chemins pointillés et flèches courbes de rotation ; les triangles $r$ et $\tau_1 r$ sont marqués. rouge par des carrés ?, dont seulement seuls les sommets de type $1$, sont « arrondis », de façon à faire des losanges évitant les trous

En bas à gauche, un triangle $0$, $1$, $\infty$ et, à l'intérieur, le chemin $\beta^1_r$ fait de trois flèches.

118Au crayon, un morceau de carte (cinq faces polygonales) ; le long d'une chaîne d'arêtes, de petits cercles fléchés autour des sommets, reliés par des flèches. Légende : « Cas IV ».

119p. 5 de l'auteur.

On a donc trouvé $4 = 1 + 3$ présentations du groupoïde fondamental $\Pi_1(\tilde X^{\ast\ast}, S)$, suivant qu'on utilise tous les chemins (8), (9), ou qu'on élimine les chemins $a^i_r$ ⌜($i$ fixé, dans l'exemple $i = 1$)⌝ et les $2$ sommets qui se trouvent dessus. Je vais maintenant examiner le cas où on élimine […] deux côtés des triangles fondamentaux, i.e. où on ne garde les $a^i_r$ que d'un seul type – disons les $a^\infty_r$ – ce qui conduit aussi : éliminons tous les sommets ⌜et chemins qui vivent sur les arêtes⌝ proches des $R_\varphi$ ($\varphi \in S$) de type $\infty$ […], […], des contours des faces ⌜dans⌝ faces – i.e. les $R^i_r$ $j \neq \infty$ à ne garder que les $R^{ij}_r$ ⌜$(i,j) \in \{0,1\}$⌝ […] pour avoir $j = \infty$ : \[\begin{equation*} \tag{17} R^{ij}_r \quad \begin{cases} r \in \mathcal{R} \\ \{i, j\} = \{0, 1\} \end{cases} \qquad\quad \boxed{ \begin{cases} R^{0,1}_r = R^{0,1}_{\tau_\infty r} \\ R^{1,0}_r = R^{1,0}_{\tau_\infty(r)} \end{cases}} \end{equation*}\] relations de redondance pour mémoire \[\begin{equation*} \tag{18} \begin{cases} a^\infty_r : R^{0,1}_r \;\text{\struck{\ill{}}}\; \longrightarrow R^{1,0}_r & (r \in \mathcal{R}) \\ \Lambda^0_r \;\text{\struck{$\Lambda^1_r$}} : R^{01}_r \longrightarrow R^{01}_{\tau_1(r)} \\ \Lambda'^1_r : R^{10}_r \longrightarrow R^{1,0}_{\tau_0(r)} \end{cases} \end{equation*}\] ⌜avec⌝ relations de redondance seulement \[\begin{equation*} \tag{19} \boxed{ \begin{aligned} \Lambda^0_r \Lambda^0_{\tau_1(r)} &= 1 \\ \Lambda'^1_r \Lambda'^1_{\tau_0(r)} &= 1 \end{aligned}} \end{equation*}\] c'est donc directement exprimé comme un groupoïde libre. Cela fait trois autres présentations de $\Pi_1(X)$, mais sur des ens[embles] de sommets différents, savoir $\Pi_1(\tilde X^{\ast\ast}, S \setminus S_i)$, pour $i = \infty$ (cas explicité) ou $0$ ou $1$.

En bas à gauche, une étoile de faces autour d'un sommet $\infty$, entourée d'autres sommets $0$, $1$, $\infty$ ; les arcs $\Lambda^0_r$, $\Lambda'^1_r$ en flèches courbes, chemins hachurés sur certaines arêtes. rouge par des faces polygonales du centre des sommets de type $\infty$ – les coins de ces polygones étant « arrondis » pour éviter les trous

120Je vais donner […] ⌜trois⌝ autres présentations, où on élimine non seulement les p[oin]ts proches (distincts) des $R_\varphi$ sommets de type $\infty$, ⌜et les sommets qui leur sont liés directement⌝ mais aussi ceux proches des sommets (distincts) de type $1$, en gardant donc que les sommets ⌜$R^{ij}_r$⌝ de type $0$, i.e. \[\begin{equation*} \tag{20} R^{0,1}_r \qquad r \in \mathcal{R} \qquad\quad \boxed{R^{0,1}_r = R^{0,1}_{\tau_\infty r}} \end{equation*}\] relations de redondance pour mémoire $(r \in \mathcal{R})$ et on introduit les chemins \[\begin{equation*} \tag{21} \begin{cases} A^{0,1}_r \overset{\text{def}}{=} (a^\infty_{\tau_0 r})^{-1} \;\text{\struck{\ill{}}}\; (\Lambda'^1_r)^{-1} a^\infty_r : R^{0,1}_r \longrightarrow R^{0,1}_{\tau_0(r)} \\ \Lambda^0_r : R^{0,1}_r \longrightarrow R^{0,1}_{\tau_1 r} & (r \in \mathcal{R}) \end{cases} \end{equation*}\] plus les chemins déjà connus la définition de $A^{0,1}_r$ est surchargée ; l'ordre et les exposants des facteurs sont lus avec hésitation. avec les relations de redondance \[\begin{equation*} \tag{22} \boxed{ \begin{cases} \Lambda^0_r \Lambda^0_{\tau_1(r)} = 1 & r \in \mathcal{R} \\ A^{0,1}_r A^{0,1}_{\tau_0(r)} = 1 & r \in \mathcal{R} \end{cases}} \end{equation*}\] et c'est tout : $\Pi_1(\tilde X^{\ast\ast}, \{R^{01}_r\}_{r \in \mathcal{R}})$ est ⌜présenté⌝ engendré par les sommets et flèches (20) (21), avec les seules relations de redondance (20) (22).

En marge gauche, un triangle $r$ de sommets $0$, $1$, $\infty$, et son voisin $\tau_0 r$ ; le chemin $A^{0,1}_r$ va du point $R^{01}_r$ au point $R^{01}_{\tau_0 r}$ en passant autour du sommet $1$.

Bouchage de trous Dans chacun des quatre cas envisagés, (en fait $10 = 1 + 3 + 3 + 3$ cas), le « bouchage » d'un trou $R_\varphi$ ($\varphi \in S = S_0 \sqcup S_1 \sqcup S_\infty$) se fait de façon essentiellement triviale. Dans chacun des quatre cas, il faut, en termes des […] flèches génératrices choisies, définir les la page s'arrête au milieu de la phrase ; le développement sur le bouchage des trous se poursuit au-delà de ce lot.