Fonds Grothendieck, cote n° 142, pages 101–120 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-10-02) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-10-03

Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.

 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 142 Action de Galois sur Teichmüller : notes manuscrites (s.d.). Pages 101 à 120 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 6 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. [à partir de 1978]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/142.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \supplied devient supplied (restitué par le transcripteur) ; \add devient add (ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \drawing devient note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète est une restitution (supplied), un ajout isolé est de l'auteur (add). Certains add sont donc encore des restitutions du transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

 https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project français, avec la notation mathématique de l'auteur Export TEI depuis la source LaTeX. Première passe de transcription.

la page continue une discussion commencée avant ce lot : les conditions 2°, 3°, 4° auxquelles elle renvoie sont énoncées dans les pages précédentes. À vrai dire, il ne serait pas difficile d'expliciter une condition 5°) qui mette ensemble 3°) et 4°), quand on se donne X'_1 \to X'_2, un morphisme X'_1 \xrightarrow{\;f_1\;} Y, \qquad X'_2 \xrightarrow{\;f_2\;} Y au-dessus de X'_1 \to X'_2, une flèche biffée et surchargée, et une flèche oblique f_1 vers Y ; le petit diagramme est trop raturé pour être rendu fidèlement. f_2 induisant des homomorphismes fidèles sur les \pi_1, de sorte que surjectif sur les fibres pour l'application \hat\pi_1(X'_2, I'_2), de partition \Theta'_2 de \Theta sur \hat\pi_1(Y, f_2(I'_2)), soit que l'action respecte les dessins pour : \hat\pi_1(Y, f_2(I'_2)) … Mais je ne sais pas encore si j'aurai besoin de cette généralisation commune de 3° et 4° (cet = de 2°, 3°, 4°, à mon avis !).

Les conditions 2° : 4° sont pour moi seulement nécessaires pour trouver des conditions nécessaires sur les paramètres introduits qui répondent aux pour que ils soient effectifs, i.e. proviennent tel et d'un . Le problème de trouver l'ensemble naturellement de dégager des conditions nécessaires et suffisantes qui permettent de caractériser les \Theta provenant de \Gamma …

Soit X/K, et soit T une partie de X(\mathbb{C}) X = , localement fermée 1-connexe. Soit X' \to X un un voisinage K-multiplicité, qui sur les points de un voisinage de T soit fini étale. Alors X' \mid T = X'_T un ensemble fini de copies de T ; il y a une relation d'équivalence des la T-adjacence de points de X' au-dessus de T. On se donne X'_T x', y' \in X'_T T-adjacents ; on note W' … x', y' \in X'_{\bar K} si u \in \Gamma, on a u(x'), u(y') sont aussi T-adjacents. Mais si on les , on trouve \hat\pi_1(X'_{\bar K}, \ldots) dans T-horizontal . On peut regarder l^{T}_{x';y'} : x' \to y' dans et les transformés, : u(l^{T}_{y';x'}) et la composition : l^{T}_{u(y'),u(x')} qui lie u(x'), u(y') (d'homotopie horizontale) défini par lui. \begin{equation*} \tag{53} u\, l^{T}_{y';x'} \;=\; g^{T}_{x,y}(u)\; l^{T}_{u(y'),u(x')} \end{equation*} où g^{T}_{x',y'}(u) \in \hat\pi_1\bigl(X',\, T(u(x'),u(y'))\bigr) T(u(x'),u(y')) : structure horizontale de X'_T qui contient u(x'), u(y') l'indice de g dans (53) se lit x,y ; dans la ligne suivante il porte un exposant raturé et se lit x',y'.

Ceci posé, on voit \begin{equation*} \tag{54} \hat f\bigl(\underbrace{g^{T}_{y';x'}(u)}_{\in\, \hat\pi_1(X,T)}\bigr) \;=\; g^{T}_{y,x}(u) \end{equation*}

Prenons que les composantes connexes T_\alpha de X'_T, considérons \hat\varphi_\alpha : \hat\pi_1(X'_{\bar K}, T_\alpha) \longrightarrow \hat\pi_1(X, T) (c'est un homomorphisme injectif si X' revêtement étale de X), et tous les éléments images des \varphi_\alpha sont les conjugués si l'on prend des points x'_\alpha, y'_\alpha convenables des de l' . Donc (la formule (54) pour tout \alpha) : g^{T}_{y,x}(u) \in \bigcap_{\alpha \in \pi_0(X'_T)} \operatorname{Im} \hat\varphi_\alpha \qquad \forall u \in \Gamma = \Gamma_{\bar K/K} une condition utile nécessaire, issue de la variété (finie topologique ) X' puisque particulière étale d'une K-schéma, pour laquelle f : X' \to X soit net /K, et telle que \forall \alpha \in \pi_0(X'_T), x'_\alpha, y'_\alpha \forall u \in \Gamma, u(x'_\alpha) et u(y'_\alpha) soient T-adjacents (ce qui est une condition nettement plus faible que celle que x', y' \in X'_{\bar K} i.e. x', y' soient fixés sous \Gamma)…

Si X' est un rev. de X, l'ensemble E = \pi_0(X'_T) des « feuilles » (55) qui de X' , \pi = \pi_1(X,T), est la « fibre » définie par T \to X (T 1-connexe), une action de \pi sur E, et dist. \pi \to \mathfrak{S}_E note marginale écrite en diagonale dans l'angle inférieur gauche de la page ; lecture très partielle.

Groupoïde fondamental d'une carte trouée (préliminaires à l'action de Galois)

titre écrit de sa main sur une feuille de garde, p. 104, avec la mention « (14 pages) » ; la feuille ne porte rien d'autre.

page de quatre figures : la sphère privée de 0, 1, \infty, chaque point entouré d'un petit cercle, avec des sommets marqués sur ces cercles et des chemins orientés entre eux ; ce sont des présentations du groupoïde fondamental relatif à divers ensembles de points de base.

Première figure. Trois petits cercles autour de 0, 1, \infty, deux sommets sur chacun ; les arcs des cercles portent \lambda^0_+, \lambda^0_-, \lambda^1_+, \lambda^1_-, \lambda^\infty_+, \lambda^\infty_- ; trois chemins a^1 (de \infty vers 0), a^\infty (de 0 vers 1), a^0 (de 1 vers \infty). Légende : « 6 sommets, 9 flèches, 1 2 relations ».

Deuxième figure. Même sphère ; un seul sommet sur chacun des cercles de 0 et \infty, deux sur celui de 1 ; flèches \Lambda^\infty_+, \Lambda^0_+, \lambda^1_+, \lambda^1_-, a^\infty (de 0 vers 1), a^0 (de 1 vers \infty). Légende : « 4 sommets, 1 relation, 6 flèches » ; dessous : « 3 cas ».

Troisième figure, biffée de traits en zigzag : cercles autour de \infty, 0, 1, un chemin de 1 vers \infty et un de 0 vers 1 ; au-dessus, « 1 cas ».

Quatrième figure. Cercles autour de 0 et 1, un chemin a^\infty de 0 vers 1, le point \infty isolé dans un petit cercle. Inscriptions \Lambda^0_+ = (\Lambda^0_-)^{-1}, \Lambda'^1_- = (\Lambda'^1_+)^{-1}. Légende : « 2 sommets, trois flèches, 0 relation » ; dessous : « 3 cas ».

Cinquième figure. Un seul sommet sur le cercle de 0, un chemin vers le cercle de 1 (étiquette raturée), le point \infty isolé ; flèches \Lambda^+_0 et \Lambda^{01}_+. Légende : « 1 sommet, 2 flèches, 0 relation » ; dessous : « 3 cas. »

Au crayon, deux sphères. La première : pôles 0 (en haut) et \infty (en bas), méridiens et équateur ; sur l'équateur, quatre petits cercles orientés autour de 1, i, -1, -i (étiquettes partiellement lisibles), reliés aux pôles par des chemins fléchés, certains en pointillé.

À droite de la première sphère : z \mapsto -z, \qquad z \mapsto \frac{1}{z}, \qquad \text{\struck{\ill{}}} 1 \longrightarrow \mathbb{F}_2^{\,2} \longrightarrow \mathfrak{A}_4 \longrightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \longrightarrow 1

La seconde sphère : petit cercle orienté autour du pôle supérieur et autour de \infty en bas ; sur l'équateur, cercles autour de 1 et -1, points -i et i ; chemins marqués \beta, « \beta relevé », « \gamma relevé » (deux fois), le dernier avec la mention « \gamma relevé, symétrique de ».

l_\infty\, l_1\, l_0\, l_{-1} = 1 dans le symbole \mathfrak{A}_4 la lettre est une capitale cursive, lue comme le groupe alterné.

la feuille porte deux couches d'écriture tête-bêche : en haut, à l'endroit, des formules sur les sous-groupes ; le reste de la page, retourné, est occupé par des dessins de sphères. On donne d'abord les formules, puis les dessins.

E_0 \;\text{---}\; \pi_0(E_0) \;\text{\struck{$\simeq E_0/\pi \;\mathrm{Ssgr}($}}

\begin{tikzcd} E_0 \arrow[r, no head] \arrow[d] & \pi_0(E_0) \arrow[d] \\ \mathrm{Ssgr}(\pi) \arrow[r] & \mathrm{Ssgr}(E)/\pi \end{tikzcd}

les deux flèches verticales descendent de E_0 et de \pi_0(E_0) ; sous la ligne du bas, une accolade porte l'inscription « \Sigma opérant ci-dessus » (lecture incertaine, la lettre surchargée).

\Sigma \;(= \Gamma \cdot \pi) \supset \pi \;\text{---}\; E_0 \longrightarrow \mathrm{Ssgr}(\pi)/\pi, \qquad \Sigma/\pi = \Gamma une flèche descend de \Sigma vers \mathrm{Ssgr}(\pi)/\pi.

Partie retournée. Une sphère avec pôles 0 et \infty, l'équateur passant par 1, quatre petits cercles sur l'équateur (a, b marqués) ; deux flèches en partent vers le bas, avec la légende « division par D (multiplication par les R_s) ». Une seconde flèche « division par D^+ (multiplication sur (0, \infty)) » mène à une sphère dont l'équateur passe par 1.

Sphère centrale, au crayon et à l'encre : sur l'équateur le point Q_1 près de -1, le cercle autour de 1 avec s^+_1, s^-_1, a^{++}_1, a^{+-}_1 ; chemins b^+_1, b^-_1 vers les cercles des pôles (R^-_\infty, a^-_\infty, R^+_\infty, a^+_\infty) ; inscriptions d^+_1 (c^+_1)^{-1}, (a^-_1 a^+_1)^{-1}, d^-_1 (c^-_1)^{-1} ; un axe traverse la sphère, une flèche de rotation à côté.

Sphère inférieure : pôles marqués -\zeta et -\bar\zeta (lecture incertaine), cercles autour de \infty (point R^+_\infty), de 0 (point R_0) et de 1 ; chemins c^\pm_1, d^\pm_1, b^\pm_1, a^{\pm\pm}_1, s^\pm_1, le point Q_1. À côté : « stable par symétrie autour de l'axe ».

À gauche, deux sphères raturées ; sur la seconde, les points 0, 1, \infty sur un équateur, une moitié hachurée. À côté, la table 0, \infty \mapsto \infty, 1 \mapsto 0, -1 \mapsto 1.

\Sigma_J = \mathbb{P}\bigl(V(J)\bigr) \simeq \check{\mathbb{P}}\bigl(V(J)\bigr) le premier \mathbb{P} est récrit sur une autre lettre.

Suite 0 \to F \to V(J)_\Sigma \to \mathcal{O}_\Sigma(1) \to 0 0 \to V(J) \to \mathcal{O}^J \xrightarrow{\text{somme}} \mathcal{O} \to 0

F(1) \simeq \mathcal{O}(\omega) (\mathcal{O} tordu par \underline{\omega} = \underline{\omega}(J), i.e. \det V(J)) \check{\mathcal{O}}(1) \simeq \check F(\omega) (par F \wedge \mathcal{O}_\Sigma(1) \xrightarrow{\sim} \det V(J)_\Sigma \simeq \mathcal{O}_\Sigma(\omega_\Sigma), prod. ext.) attention signe ! \Omega^1_\Sigma \simeq F(-1) \simeq \mathcal{O}(-2)(\omega), \qquad \check\Omega^1_\Sigma \simeq \mathcal{O}(2)(\omega) \quad \text{fibré tangent à } \Sigma

Accouplement F \times V(J) \to \underline{\mathcal{O}} donné par (isomorphisme) x \wedge y \wedge \ldots = \lambda \, x \wedge y \wedge \ldots, x \in F, y \in V(J) i.e. de (x, y). note marginale en diagonale, à gauche du haut de la page ; lecture très partielle.

Points R_i (i \in J) (« trous ») de \Sigma et \mathbb{P}\Sigma ; \tilde R_i (entouré) R_i \subset \mathbb{V}(J) \mathcal{O}(1)_{R_i} \simeq \mathcal{O} \tilde R_i pt au-dessus de R_i, image de e_i - e_j = \varphi_{ji} (\equiv e_i - e_k) dans V(J)/R_i ; R_i = \mathcal{O}_k(e_k - e_j) \simeq \mathcal{O}(\underline\omega) l'indice k de \mathcal{O} est douteux. on a choisi e_k - e_j, l'orientation (i, j, k). Désignons par \tilde R_i … dans \mathbb{P}\Sigma_J = \check{\mathbb{V}}^*(\mathcal{O}_\Sigma(1)) l'élément 1 au-dessus de R_i. \Gamma\bigl(\Sigma_J, \mathcal{O}_\Sigma(1)\bigr) \simeq V(J) \qquad \text{\struck{$e_j - e_k$ section $\omega_{j,k}$}} \varphi_{jk} = e_k - e_j \in \Gamma\bigl(\Sigma, \mathcal{O}_\Sigma(1)\bigr) \quad \text{nulle en } R_i, \qquad \varphi_{kj} = -\varphi_{jk} \varphi_{ij} + \varphi_{jk} + \varphi_{ki} = 0 \varphi_{jk}(R_i) = 0 \qquad \boxed{\varphi_{jk}(R_k) = \tilde R_k, \quad \varphi_{jk}(R_j) = -\tilde R_j} attention signes !

Points Q_i (i \in J), Q^\omega_i (i \in J, \omega \in \underline\omega) Q_i \subset \mathbb{V}(J) = \mathcal{O}\bigl(-2e_i + (e_j + e_k)\bigr) \mathcal{O}(1)_{Q_i} \simeq \mathcal{O}(\underline\omega) les deux points privilégiés de \mathcal{O}(\underline\omega)^*_{Q_i}, indexés par \underline\omega, sont notés \tilde Q_i, \tilde Q'_i, ou Q_{i,\omega} ((i,\omega) \in J \times \underline\omega)

(e_i - e_j = e_{\omega i} - e_{\omega^2 i} dans V(J) mod Q_i) donc pour \varphi_{\omega i, \omega' i}(Q_i) = \tilde Q_i = \varphi_{jk}(Q_i), \qquad \tilde Q'_i = -\varphi_{jk}(Q_i) = \varphi_{kj}(Q_i) \boxed{Q^\omega_{i} = \varphi_{\omega i, \omega' i}(Q_i)} la formule encadrée est récrite plusieurs fois ; l'indice de \varphi est en partie noyé dans l'encre. encadré : Q^{\omega+1}_i = -Q^\omega_i ; \varphi_{\omega i, \omega' i}(Q_i) = \ldots

Points P_\omega (\omega \in \underline\omega), P^\omega_i (i \in J, \omega \in \underline\omega). Soit \zeta une racine primitive cubique de 1 (on prendra \zeta = \exp 2i\pi/3).

Alors

les ensembles \Sigma portent en exposant de petites piles de signes (\ast et points) qui disent quels points ont été ôtés ; on les rend par \ast et \cdot dans l'ordre où ils se lisent, sans garantir la disposition.

Carte régulière (orientée) des polygones réguliers P_n (n \geq 2) en la trouant (au-dessus de) les sommets et les centres des faces et les milieux des segments le « et » est souligné par lui. \Sigma_n^{\ast\ast} = \Sigma_n \setminus \bigl\{ S(\Sigma_n) \cup A(\Sigma_n) \cup F(\Sigma_n) \bigr\} centres faces divisions par D_n^+ \subset D_{2n}^+ \Sigma_n^{\ast\ast} \xrightarrow{\ \deg n\ } \Sigma_1^{\ast\ast} = \mathbb{P}_1 \setminus \{\underbrace{0, \infty}_{\text{« pôles »}}, 1, -1\} \xrightarrow{\ \deg 2\ } \Sigma_3^{\ast\cdot} = U_{0,3} division par D_n/D_n^+ (cartes régulières \Sigma_\alpha à sommets) \Sigma_n^{\ast\ast} \simeq \Sigma_1^{\ast\ast}/D_n \;\; \text{\uncertain{(sic)}} sous \Sigma_n^{\ast\ast}, un signe \simeq vertical renvoie à \Sigma_{2n}^{\ast\cdot} ; à droite, \Sigma_n^{\ast\ast}/D_n est relié à la ligne précédente par \parallel. La disposition exacte est incertaine. \Sigma_{2n}^{\ast\cdot} \longrightarrow \Sigma_1^{\ast\cdot} \xrightarrow{\ 2\ } \Sigma_1^{\ast\cdot} \simeq U_0^3 division par D_{2n}^+

(on n'a troué que les sommets et centres faces) À cause de l'isomorphisme D_{2n} opérant sur \Sigma_n^{\ast\cdot} (\simeq \Sigma_{2n}^{\ast\cdot}), on peut

Diagramme de quotients :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & \Sigma_n^{\ast\cdot} \simeq \Sigma_{2n}^{\ast\cdot} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ \Sigma_{2n}^{\ast\cdot}/D_{2n}^+ \arrow[d] & & \Sigma_n^{\ast\cdot}/D_n^+ \\ \Sigma_{2n}^{\ast\cdot}/D_{2n} & & \end{tikzcd}

le diagramme principal est à droite, entouré d'un trait :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & \Sigma_n^{\ast\cdot} \simeq \Sigma_{2n}^{\ast\cdot} \arrow[d] & \\ & \Sigma_n^{\ast\cdot}/D_n^+ \simeq \Sigma_1^{\ast\ast} \simeq \Sigma_2^{\ast\cdot} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ \Sigma_n^{\ast\ast}/D_{2n}^+ \arrow[dr] & & \Sigma_n^{\ast\cdot}/D_n \arrow[dl] \\ & \Sigma_n^{\ast\cdot}/D_{2n} & \end{tikzcd}

au-dessus du diagramme entouré, \Sigma^{\ast\ast}/D_n, relié par une flèche venant de la gauche. \Sigma_n^{\ast\ast} \xrightarrow{\ D_n^+\ } \Sigma_1^{\ast\cdot} \simeq U_0^3 si on divise par D_n tout entier, on trouve à une réflexion près les arêtes.

la page reprend les notations de la p. 110 : points R_i, Q_i, Q^\omega_i ; elle est faite surtout de figures.

Au crayon, trois bandes concentriques qui figurent le revêtement au-dessus de \Sigma ; on y lit les points Q_1, Q_2, Q_3 (marqués d'une croix), Q^{\omega'}_1, Q^{\omega^2}_1, Q^{\omega'}_3, Q^{\omega}_3, et, autour de chaque trou R_i, les points R_{i,\omega}, R_{i,\omega'}, \tilde R_i, -\tilde R_i, R^\omega_i, R^{\omega'}_i, -R^\omega_i, -R^{\omega'}_i. Autour de R_1 et de R_2, à l'encre, de petits quadrilatères de flèches courbes reliant ces points.

Un cercle, le centre relié par des rayons au crayon à douze points du bord, nommés dans l'ordre R^{\omega'}_2, -R^\omega_1, -R^{\omega'}_1, R^\omega_3, R^{\omega'}_3, -R^\omega_2, -R^{\omega'}_2, R^\omega_1, R^{\omega'}_1, -R^\omega_3, -R^{\omega'}_3, R^\omega_2 ; des flèches courbes relient les points voisins deux à deux.

Un petit cercle avec les points 1, -1 et \zeta, l'arc de 1 à \zeta fléché.

Q^\omega_i = R_j - R_k \longmapsto R_j - \zeta R_k = P^\omega_i \;\text{\struck{\ill{}}}\; = P^{\omega,\zeta}_i P^{\omega,\zeta}_i = R_{\omega i} \;\text{\struck{$\zeta$}}\; - \zeta R_{\omega^2 i} \;\equiv\; -P^{\omega,\zeta}_{\omega^2 i} P^{\omega',\zeta'}_i = R_{\omega' i} - \zeta' R_{\omega i} = R_k - \zeta^2 R_j = -\zeta' P^{\omega,\zeta}_i les exposants \omega^4 i, \omega^2 i de la deuxième ligne sont en partie surchargés ; lecture incertaine.

P^{\omega,\zeta}_i prend 12 valeurs distinctes ; P_{i} six valeurs pour \zeta fixé (les P^\omega_i) et les six

p. 1 de l'auteur : le chiffre est en tête de la page ; la page suivante porte « 2 ».

Carte \mathcal{X} (pas orientée) finie, \mathcal{R} ensemble. des repères, S = S_0 \sqcup S_1 \sqcup S_\infty sommets, arêtes, faces l'ensemble de ces feuillets, identifiés aux à leurs centres, dans désignons par \mathcal{X} aussi le complexe topologique correspondant : \mathcal{X}, S = S_0 \sqcup S_1 \sqcup S_\infty \subset \mathcal{X} si \varphi \in S, on désigne par R_\varphi le sommet associé. On identifie un r = (s, a, f) \in \mathcal{R} à la région triangulaire correspondante (c'est un triangle de la subdivision barycentrique), de sommets R_s, R_a, R_f, d'indices respectifs 0, 1, \infty. On oriente un triangle dans le sens 0, 1, \infty (orientation du repère). Les repères « adjacents » à r \tau_0(r),\ \tau_1(r),\ \tau_\infty(r), opposés respectivement aux sommets d'indice 0, 1, \infty de r. Notons \begin{equation*} \tag{1} \begin{cases} \tau_1(\tau_0(r)) = \rho_\infty(r) \\ \tau_0(\tau_1(r)) = \rho_\infty^{-1}(r) \end{cases} \qquad \text{(face conservée)} \end{equation*} déduits de r par « rotation » d'un cran autour des sommets, du type \infty vers 0, dans le sens indiqué de l'orientation définie par r respectivement. dans le sens inverse. De même \begin{equation*} \tag{2} \begin{cases} \tau_\infty \tau_1(r) = \rho_0(r) \\ \tau_1 \tau_\infty(r) = \rho_0^{-1}(r) \end{cases} \qquad \text{(sommet conservé)} \end{equation*} où \rho_0 est la rotation d'un cran autour du sommet de type 0, dans le sens indiqué par l'orientation définie par r. Enfin \begin{equation*} \tag{3} \tau_0 \tau_\infty(r) = \tau_\infty \tau_0(r) \overset{\text{def}}{=} \rho_1(r) \end{equation*}

À gauche, un morceau de carte et sa subdivision barycentrique : sommets marqués 0, 1, \infty, le triangle central r (entouré) avec ses sommets R^0_r, R^1_r, R^\infty_r et ses côtés a^0_r, a^1_r, a^\infty_r, \lambda^0_r, \lambda^1_r, \lambda^\infty_r ; les triangles voisins sont étiquetés \tau_0(r), \tau_1(r), \tau_\infty(r) (signe -), \rho_\infty(r) = \tau_1\tau_0(r), \rho_\infty^{-1}(r) = \tau_0(\tau_1(r)), \tau_\infty\tau_1(r) = \rho_0(r), \tau_1\tau_\infty(r) = \rho_0^{-1}(r), \rho_1(r) = \tau_0\tau_\infty(r) = \tau_\infty\tau_0(r) (signe +) ; les points R_f (\infty), R_s (0), R_a (1), R^{0,1}_r, R^{1,\infty}_r, R^{0,\infty}_r ; flèches courbes de rotation autour des sommets.

[Pour mémoire, les relations dans le groupe cartographique \begin{equation*} \tag{4} \tau_0^2 = \tau_1^2 = \tau_\infty^2 = (\tau_0 \tau_\infty)^2 = 1 \end{equation*} \begin{equation*} \tag{5} \begin{cases} \rho_\infty = \tau_1 \tau_0 \\ \rho_0 = \tau_\infty \tau_1 \\ \rho_1 = \tau_0 \tau_\infty \end{cases} \qquad \rho_\infty \rho_1 \rho_0 \;\text{\struck{$\rho_\infty$}}\; = 1 \end{equation*} ]

p. 2 de l'auteur.

On introduit des sommets \begin{equation*} \tag{6} R^{i,j}_r \qquad r \in \mathcal{R},\ (i,j) \in \mathrm{Rep}\{0,1,\infty\} \quad \text{i.e.\ } i,j \in \{0,1,\infty\},\ i \neq j \end{equation*} comme indiqué, satisfaisant aux seules relations \begin{equation*} \tag{7} \boxed{R^{i,j}_r = R^{i,j}_{\tau_k(r)}, \quad k \notin \{i,j\}} \end{equation*} On dit que R^{ij}_r est « proche » du sommet R^i_r de r (= R_s, R_a, R_f suivant le cas), il se trouve sur le côté qui joint … au sommet de type j.

On introduit des arcs \begin{equation*} \tag{8} \lambda^i_r : R^{i,i+1}_r \longrightarrow R^{i,i+2}_r \qquad r \in \mathcal{R},\ i \in \{0,1,\infty\} \end{equation*} \begin{equation*} \tag{9} a^i_r : R^{i+1,i}_r \;\text{\struck{\ill{}}}\; \longrightarrow R^{i+1,i+2}_r \qquad r \in \mathcal{R},\ i \in \{0,1,\infty\} \end{equation*} qui les a^i_r entourent la droite du milieu repère r en formant une contour fermé dans le sens défini par l'orientation de r les = désignent les \lambda^i_r sont des portions d'arcs autour des sommets de r du type i dans le sens correspondant à l'orientation de r. (Cela signifie que : la convention de notation ne dépend que des sommets identifiés ). On a les \begin{equation*} \tag{10} \boxed{a^i_r = a^i_{\tau_i(r)}} \end{equation*}

NB On écrit pour simplifier (8) et (9) … (11) … en notant i+1, i+2 ou plutôt les successeurs de i dans l'ordre circulaire (0, 1, \infty), (1, \infty, 0), (\infty, 0, 1) identifiés par (i, i+1, i+2). NB On désigne appelle flèches les de sommets et arcs … les trous bordés par les R^i_r (trous de dimension = 1) deux notes marginales écrites en diagonale dans la marge gauche ; lecture très partielle.

NB On désigne On observe que la carte combinatoire à trous réalisée par sa réalisation conforme canonique, qui est une surface \mathcal{C} analytique réelle dans \mathbb{C}^\ast, dont on peut considérer la réalisation en les R_\varphi (\varphi \in S) et la découpe de l'identité, qui est une surface à bord analytique réelle (mais pas conforme) dont l'intérieur coïncide avec X \setminus S, on la note la phrase se poursuit à la page suivante.

\tilde X^{\ast\ast} ; (les trois \ast signifient qu'on a enlevé trois types de trous de points de type 0, 1, \infty, des points comme seuls \infty, 1, on définirait de même \tilde X^{\cdot\ast}, \tilde X^{\ast\ast}, \tilde X^{\ast\cdot}, etc. L'intérieur de cette surface à bord, savoir X \setminus S = X \setminus \{R_\varphi \mid \varphi \in S\}, est noté X^{\ast\ast}, on définit de même X^{\ast\ast} etc. Les points R^{ij}_r et les chemins précédents sont regardés, la plus commodément, comme un point et chemins (parfaitement canoniques pas seulement des classes d'homotopie !) dans \tilde X^{\ast\ast}. On notera par les R_\varphi (\varphi \in S) un seul point des \tilde X^{\ast\ast}_{\varphi} mais dans l'application C^\infty canoniques analytiques réelle) canonique \begin{equation*} \tag{11} \tilde X^{\ast\ast} \longrightarrow X \end{equation*} On pose R^{ij}_r va sur R^i_r = R_\varphi, où \varphi est le sommet point de type i de r.

En marge gauche, un triangle de sommets 0, 1, \infty ; à chaque sommet un petit arc fléché, et le long de la base une flèche intérieure marquée b^0_r.

On a, dans \Pi_1 X^{\ast\ast}, la relation \begin{equation*} \tag{12} \boxed{\underbrace{(\lambda^0_r)^{-1} a^1_r}_{\overset{\text{def}}{=}\, b^\infty_r}\; \underbrace{(\lambda^\infty_r)^{-1} a^0_r}_{b^1_r}\; \underbrace{(\lambda^1_r)^{-1} a^\infty_r}_{b^0_r} = 1} \qquad \text{lacet en } R^{1\infty}_r \end{equation*} Les sommets R^{ij}_r, les flèches \lambda^i_r et a^i_r, et les relations (10) (12), forment une présentation du groupoïde \Pi_1(\tilde X^{\ast\ast}, (R^{ij}_r)). « on la note » (fin de p. 114) s'achève sur \tilde X^{\ast\ast} en tête de cette page. Les exposants \ast, \cdot sont lus comme à la p. 111, sans certitude sur leur disposition.

p. 3 de l'auteur.

Les notations introduites sont telles qu'elles gardent un sens pour toute carte triangulaire « partielle » du type \{0, 1, \infty\}, sans que celle-ci soit la de nécessairement la subdivision barycentrique d'une carte X, condition qui s'exprime par la condition dernière relation \text{\struck{\ill{}}} \qquad (\tau_0 \tau_\infty)^2 = 1 \quad \text{i.e.} \quad \rho_1^2 = 1 dans (4) (qui s'énonce donc par la suite) et qui signifie aussi que les points sommets de type 1 sont d'ordre réduit 2 (d'ordre ordinaire 4), on aura que \tau_0 \tau_\infty(r) = \tau_\infty \tau_0(r) \qquad \text{pour tout } r. Dans le cas général, \rho_1 est donc une opération. qui joue un peu plus un rôle particulier pour : c'est la « rotation d'un cran » de r autour du sommet de type 1, dans le sens de l'orientation de r.

On introduit \begin{equation*} \tag{13} \begin{cases} \Lambda^i_r = (\lambda^i_{\tau_{i+1}(r)})^{-1} \lambda^i_r : R^{i,i+1}_r \longrightarrow R^{i,i+1}_{\tau_{i+1}(r)} \\ \Lambda'^i_r = \lambda^i_{\tau_{i-1}(r)} (\lambda^i_r)^{-1} : R^{i,i-1}_r \longrightarrow R^{i,i-1}_{\tau_{i-1}(r)} \end{cases} \end{equation*} « rotation d'un double cran » autour du sommet de type i de r, à partir du sommet proche de type (i, i+1) resp. (i, i-1), dans le sens de rotation donné resp. au sens opposé par l'orientation de r. On a les relations \begin{equation*} \tag{14} \boxed{\Lambda^i_r \Lambda^i_{\tau_{i+1}(r)} = 1} \qquad \boxed{\Lambda'^i_r \Lambda'^i_{\tau_{i-1}(r)} = 1} \end{equation*} les indices \tau_{i\pm1} de (13) et (14) sont lus avec hésitation : le signe en indice est mal formé.

En bas à gauche, un morceau de carte : le triangle r entre les sommets 0, 1, \infty (deux exemplaires de 0, deux de 1, deux de \infty sur les bords) ; sommets proches R^{0,1}_r, R^{1,\infty}_r, R^{\infty,0}_r, R^{0}_{\tau_1 r}, R^{1\infty}_{\tau_0 r}, R^{\infty,0}_{\tau_0 r} ; arcs \lambda^0_r, \lambda^1_r, \lambda^\infty_r, \lambda^0_{\tau_1 r}, \lambda^1_{\tau_0 r}, \lambda^\infty_{\tau_0 r} ; et les doubles crans \Lambda^0_r, \Lambda^1_r, \Lambda^\infty_r en arcs courbes autour des sommets.

p. 4 de l'auteur ; en tête, « Suite ».

L'introduction des \Lambda^i_r

Fixons maintenant un indice de \{0, 1, \infty\}, disons 1 (conséquence au cas où la triangulation est barycentrique, où donc 1 joue un rôle particulier !). Nous pouvons éliminer les sommets R^{ij}_r qui se trouvent sur des côtés de r qui sont de type 1, i.e. pour lesquels i, j \neq 1, et l'arc a^1_r qui les joint, en gardant les sommets \begin{equation*} \tag{14} \{R^{ij}_r\} \quad \begin{cases} r \in \mathcal{R} \\ i \text{ ou } j \text{ est égal à } 1 \text{ i.e.\ } \{i,j\} \neq \{0,\infty\} \end{cases} \end{equation*} il numérote (14) à nouveau, alors que (14) désigne déjà les relations de la p. 116. et les arcs \begin{equation*} \tag{15} \begin{cases} \lambda^1_r & r \in \mathcal{R} \\ \Lambda^0_r,\ \Lambda^\infty_r & r \in \mathcal{R},\ \text{\struck{\ill{}}} \\ a^i_r & r \in \mathcal{R},\ i \in \{0, \infty\} \end{cases} \qquad \Lambda^0_r \Lambda^0_{\tau_1 r} = \end{equation*} avec comme relations les relations (14) de redondance pour i = 0 et i = \infty toutes les relations du type \Lambda^0_r = 1 et

\begin{equation*} \tag{16} \text{\struck{$\Lambda^\infty_{\tau_1 r} (a_{\tau_1 r})^{-1} \lambda^1_{\tau_1 r} (a^\infty_{\tau_1 r})^{-1} \Lambda^0_r a^\infty_r \lambda^1_r a^0_r = 1$}} \end{equation*} pour r \in \mathcal{R} (lacet en R^{\infty 1}_r) NB Cette relation est équivalente à la relation où r est remplacé par \tau_1 r tout ce bloc est barré de traits obliques ; sous le premier facteur, l'accolade \beta^{1\,-1}_{\tau_1 r}, sous le dernier \beta^1_r.

\begin{equation*} \tag{16} \boxed{\Lambda'^\infty_{\tau_1(r)} \underbrace{\bigl(a^0_{\tau_1 r} (\lambda^1_{\tau_1 r})^{-1} a^\infty_{\tau_1 r}\bigr)}_{\beta^1_{\tau_1(r)}}{}^{\!-1} \Lambda^0_r \underbrace{\bigl((a^\infty_r)^{-1} \lambda^1_r (a^0_r)^{-1}\bigr)}_{\beta^{1\,-1}_r} = 1} \end{equation*} relation stable par passage de r à \tau_1(r), donc il suffit de la prendre pour r \in \mathcal{R}^+ (si X orientable) l'exposant après la première parenthèse est surchargé ; lu -1 avec hésitation.

Au milieu à gauche, une étoile de triangles hachurés autour d'un sommet 1, avec des sommets 0, \infty alternés sur le pourtour, chemins pointillés et flèches courbes de rotation ; les triangles r et \tau_1 r sont marqués. rouge par des carrés ?, dont seulement seuls les sommets de type 1, sont « arrondis », de façon à faire des losanges évitant les trous

En bas à gauche, un triangle 0, 1, \infty et, à l'intérieur, le chemin \beta^1_r fait de trois flèches.

Au crayon, un morceau de carte (cinq faces polygonales) ; le long d'une chaîne d'arêtes, de petits cercles fléchés autour des sommets, reliés par des flèches. Légende : « Cas IV ».

p. 5 de l'auteur.

On a donc trouvé 4 = 1 + 3 présentations du groupoïde fondamental \Pi_1(\tilde X^{\ast\ast}, S), suivant qu'on utilise tous les chemins (8), (9), ou qu'on élimine les chemins a^i_r (i fixé, dans l'exemple i = 1) et les 2 sommets qui se trouvent dessus. Je vais maintenant examiner le cas où on élimine deux côtés des triangles fondamentaux, i.e. où on ne garde les a^i_r que d'un seul type – disons les a^\infty_r – ce qui conduit aussi : éliminons tous les sommets et chemins qui vivent sur les arêtes proches des R_\varphi (\varphi \in S) de type \infty , , des contours des faces dans faces – i.e. les R^i_r j \neq \infty à ne garder que les R^{ij}_r (i,j) \in \{0,1\} pour avoir j = \infty : \begin{equation*} \tag{17} R^{ij}_r \quad \begin{cases} r \in \mathcal{R} \\ \{i, j\} = \{0, 1\} \end{cases} \qquad\quad \boxed{ \begin{cases} R^{0,1}_r = R^{0,1}_{\tau_\infty r} \\ R^{1,0}_r = R^{1,0}_{\tau_\infty(r)} \end{cases}} \end{equation*} relations de redondance pour mémoire \begin{equation*} \tag{18} \begin{cases} a^\infty_r : R^{0,1}_r \;\text{\struck{\ill{}}}\; \longrightarrow R^{1,0}_r & (r \in \mathcal{R}) \\ \Lambda^0_r \;\text{\struck{$\Lambda^1_r$}} : R^{01}_r \longrightarrow R^{01}_{\tau_1(r)} \\ \Lambda'^1_r : R^{10}_r \longrightarrow R^{1,0}_{\tau_0(r)} \end{cases} \end{equation*} avec relations de redondance seulement \begin{equation*} \tag{19} \boxed{ \begin{aligned} \Lambda^0_r \Lambda^0_{\tau_1(r)} &= 1 \\ \Lambda'^1_r \Lambda'^1_{\tau_0(r)} &= 1 \end{aligned}} \end{equation*} c'est donc directement exprimé comme un groupoïde libre. Cela fait trois autres présentations de \Pi_1(X), mais sur des ensembles de sommets différents, savoir \Pi_1(\tilde X^{\ast\ast}, S \setminus S_i), pour i = \infty (cas explicité) ou 0 ou 1.

En bas à gauche, une étoile de faces autour d'un sommet \infty, entourée d'autres sommets 0, 1, \infty ; les arcs \Lambda^0_r, \Lambda'^1_r en flèches courbes, chemins hachurés sur certaines arêtes. rouge par des faces polygonales du centre des sommets de type \infty – les coins de ces polygones étant « arrondis » pour éviter les trous

Je vais donner trois autres présentations, où on élimine non seulement les points proches (distincts) des R_\varphi sommets de type \infty, et les sommets qui leur sont liés directement mais aussi ceux proches des sommets (distincts) de type 1, en gardant donc que les sommets R^{ij}_r de type 0, i.e. \begin{equation*} \tag{20} R^{0,1}_r \qquad r \in \mathcal{R} \qquad\quad \boxed{R^{0,1}_r = R^{0,1}_{\tau_\infty r}} \end{equation*} relations de redondance pour mémoire (r \in \mathcal{R}) et on introduit les chemins \begin{equation*} \tag{21} \begin{cases} A^{0,1}_r \overset{\text{def}}{=} (a^\infty_{\tau_0 r})^{-1} \;\text{\struck{\ill{}}}\; (\Lambda'^1_r)^{-1} a^\infty_r : R^{0,1}_r \longrightarrow R^{0,1}_{\tau_0(r)} \\ \Lambda^0_r : R^{0,1}_r \longrightarrow R^{0,1}_{\tau_1 r} & (r \in \mathcal{R}) \end{cases} \end{equation*} plus les chemins déjà connus la définition de A^{0,1}_r est surchargée ; l'ordre et les exposants des facteurs sont lus avec hésitation. avec les relations de redondance \begin{equation*} \tag{22} \boxed{ \begin{cases} \Lambda^0_r \Lambda^0_{\tau_1(r)} = 1 & r \in \mathcal{R} \\ A^{0,1}_r A^{0,1}_{\tau_0(r)} = 1 & r \in \mathcal{R} \end{cases}} \end{equation*} et c'est tout : \Pi_1(\tilde X^{\ast\ast}, \{R^{01}_r\}_{r \in \mathcal{R}}) est présenté engendré par les sommets et flèches (20) (21), avec les seules relations de redondance (20) (22).

En marge gauche, un triangle r de sommets 0, 1, \infty, et son voisin \tau_0 r ; le chemin A^{0,1}_r va du point R^{01}_r au point R^{01}_{\tau_0 r} en passant autour du sommet 1.

Bouchage de trous Dans chacun des quatre cas envisagés, (en fait 10 = 1 + 3 + 3 + 3 cas), le « bouchage » d'un trou R_\varphi (\varphi \in S = S_0 \sqcup S_1 \sqcup S_\infty) se fait de façon essentiellement triviale. Dans chacun des quatre cas, il faut, en termes des flèches génératrices choisies, définir les la page s'arrête au milieu de la phrase ; le développement sur le bouchage des trous se poursuit au-delà de ce lot.